高三数学第一轮复习测试及详细解答(1)——《集合与函数》

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高三数学同步测试集合与函数

高三数学同步测试（１）—《集合与函数》一、选择题（本题每小题５分，共60分）１．设集合{}{}P Q ==3454567，，，，，，，定义P ※Q ＝{}Q b P a b a ∈∈，|),(，则P ※Q 中元素的个数为（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．7Ｄ．１２２．设A 、B 是两个集合，定义{|,}{||12}.|A B x x A x B M x x -=∈∉=+≤且若， ∈==αα|,sin ||{x x N R }，则M —N= （）Ａ．[—３，１] Ｂ．[—３，0]Ｃ．[0，１]Ｄ．[—３，0]３．映射f ：A →B ，如果满足集合B 中的任意一个元素在Ａ中都有原象，则称为“满射”。

已知集合A 中有４个元素，集合B 中有３个元素，那么从A 到B 的不同满射的个数为（）Ａ．２４ B ．6C ．３6D ．7２４．若的图象与则函数其中x x b x g a x f b a b a ==≠≠=+)()(),1,1(0lg lg（）Ａ．关于直线y =x 对称 B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称５．已知函数)2cos()2sin(θπθπ++=x y 在x=２时最大值, 则θ的一个值是（）A ．4πB ．2πC ．32πD ．43π6．若函数f （x ）=x —2px p +在（１，+∞）上是增函数，则实数p 的取值范围是（）A ．［—１,＋∞)B ．［１,+∞) Ｃ．(—∞,—１］Ｄ．( —∞,１］１c = 0时，y =)(x f 是奇函数２b =0 , c >0时，方程)(x f =0 只有一个实根３y =)(x f 的图象关于（0 , c ）对称４方程)(x f =0至多两个实根其中正确的命题是（）A ．１、４B ．１、３C ．１、２、３D ．１、２、４8．函数1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞-的反函数是（）A ．)1,(,11ln -∞∈+-=x x x y B ．)1,(,11ln-∞∈-+=x x x y C ．),1(,11ln +∞∈+-=x x x yD ．),1(,11ln +∞∈-+=x x x y9．如果命题P:}{Φ∈Φ, 命题Q:}{Φ⊂Φ,那么下列结论不正确的是（）Ａ．“P 或Q ”为真Ｂ．“P 且Q ”为假Ｃ．“非P ”为假Ｄ．“非Q ”为假１0．函数y =x ２—２x 在区间[a ，b ]上的值域是[—１,３],则点（a ，b ）的轨迹是图中的（）Ａ．线段AB 和线段AD Ｂ．线段AB 和线段CD Ｃ．线段AD 和线段BCＤ．线段AC 和线段BD１１．已知函数)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0cos )(<x x f 的解集是（）Ａ．)3,2()1,0()2,3(ππ--B ．)3,2()1,0()1,2(ππ--C ．)3,1()1,0()1,3( --D ．)3,1()1,0()2,3( π--１２．某种电热水器的水箱盛满水是２00升，加热到一定温度，既可用来洗浴。

高考数学总复习集合与函数第一轮复习测试题试题

智才艺州攀枝花市创界学校2021届高考数学总复习集合与函数第一轮复习测试题一、选择题(每一小题5分，一共50分) 1.集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==-===M y x y x P x y x M R U,log ,1,21,以下各式正确的选项是()A.P P M=⋂ B.M P C M U =⋃)(C.{}1)(≤=⋃x x PM C U D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<≤=⋂1210)()(x x x P C M C U U 或2.52+的小数局部为a ，那么)4(log +a a 等于()A.1B.-1C.2D.-23.函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1log 12)(21x xx x f x，那么))2((f f 等于() A.1B.2 C.-1D.214.函数|log |)(3x x f =在区间a [，]b 上的值域为[0，1]，那么a b -的最小值为() A.2B.1C.31 D.32 5.假设的图象与则函数其中x x b x g a x f b a ba ==≠≠=+)()(),1,1(0lg lg ()A.关于直线y =x 对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于原点对称6.函数)1(2)(2f x x x f '+=,那么)1(-f 与)1(f 的大小关系是()A.)1()1(f f =- B.)1()1(f f >- C.)1()1(f f <- D.不能确定7.在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全一样的假币〔重量稍轻〕，如今只有一台天平，请问？最多需要称几次就可以发现这枚假币() A.3B.4 C.5D.6 8.设函数))((N x x f ∈表示x 除以3的余数，对于N y x ∈,，以下等式一定成立的是()A.)()3(x f x f =+ B.)()()(y f x f y x f +=+C.)3()(3x f x f =D.)()()(xy f y f x f =9.0,1>>>t a b ，假设t a a x +=，那么x b 与t b +的大小关系是()A.xb>t b + B.x b <t b + C.x b ≥t b + D.x b ≤t b +10.某水池装有编号为1，2，3，…，9一共9个进出口水管，有的只进水，有的只出水。

(超全)高考一轮复习数学同步练习01——集合与函数的运算

第一章集合与函数的运用一、选择题1、设{}{}1,2,3,,,M N e g h=＝，从M 到N 的四种对应方式如图，其中是从M 到N的映射的是( )A B C D2、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|3≤x<7}，B ＝{x| 2<x<5}，则∁R (A∩B)=（）A 、()(,5,) ∞⋃∞－3＋B 、5[)3,()∞⋃∞－，＋ C 、([)3]5∞⋃∞－，,＋ D 、5()3,(]∞⋃∞－，＋3、设集合A ={x |1<x <4},B ={x |x 2-2x -3≤0},则A ∩(R B )=（）A 、(1,4)B 、(3,4)C 、(1,3)D 、(1,2)4、已知集合，则中所含元素的个数为（） A 、3 B 、6 C 、8 D 、105、设集合M={-1,0,1},N={x|x 2≤x},则M ∩N=（） A 、{0} B 、{0,1} C 、{-1,1} D 、{-1,0,0}6、.已知函数，则（） A 、4 B 、1 C 、0 D 、－17、下列函数为奇函数的是（）C {1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈B ⎩⎨⎧>-≤-=0,)1(0,)1()(2x x x x x f =])2([f fA 、B 、C 、y=D 、8、若奇函数f(x)在[1，3]上为增函数，且有最小值0，则它在[-3，-1]上（） A 、是减函数，有最小值0 B 、是增函数，有最小值0 C 、是减函数，有最大值0 D 、是增函数，有最大值09、若偶函数)(x f 在区间[)+∞,0上单调递增，且()⎪⎭⎫⎝⎛<311-2f m f ，则m 取值范围是（）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,31C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21D 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,2110、若函数y=x 2+(2a －1)x+1在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A 、[－23，+∞） B 、（－∞，－23 ] C 、[23，+∞） D 、（－∞，23]11、设函数为奇函数，则（）A 、0B 、1C 、D 、512、如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是（）A 、B 、C 、D 、13、若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x ∈A,y ∈B}中的元素的个数为)2,2[.2-∈=x x y x y =x x -332+=x y ))((R x x f ∈),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+==)5(f 25（） A 、5 B 、4 C 、3 D 、214、已知集合,则（）A 、0B 、0或3C 、1D 、1或315、已知集合,则满足条件的集合的个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题16、若全集，集合，则。

高考数学一轮复习讲练测专题1.1集合的概念及其基本运算(讲)理(含解析)

1}，专题1.1集合的概念及其基本运算（讲）【辭析】由已知得^ = {1,4}.当口 = ＜时.A = [3],则討二〔12*卜・4厂直=0,当也=1时,J = ；L3j ; 则JU5 = {1.3r 4} p = 当a = 4时.^ = {4.3}, = （1,3.4}, -40-8={4}.当疽产1,戊戸吳。

否4时…儿丘二卩”丸好，JO^ =0,综上所述，当a = 3时—儿P = {1S4齐AClB^Qi 当应"时，血JH"4}, /仃丘二{1»当*4时,则加UE 二口34、“5={4}f 当口工1, 口产3, a 芦4时I dl-再三卜 B =0.2.【2015高考天津，理1】已知全集U 1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合A 2,3,5,6，集合B 1,3,4,6,7则集合AI ejB （） (A )2,5( B )3,6 (C ) 2,5,6 ( D ) 2,3,5,6,8【答案】A【赭斤】^5 = （2,5,8}_所以二冷5},故选九3. 【云南省玉溪一中 2015届高三上学期第一次月考试卷】设集合B {(x, y) y 3x }，则A B 的子集的个数是( )A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A1.【课本典型习题，P12第3题】设集合Ax(x a)(x 3) 0,a R , Bx(x 4)(x 1) 0 ,AUB , AI B .【答案】当a 3时，AU B 1,3,4 , AI B ;当a 1 时，AU B1,3,4,AI B 1 ;当 a时，贝U AU B 1,3,4 , AIB 4 ;当 a 1 ,a 3, a 4时， AU B1,3,4, a , AI B【课前小测摸底细】求4{(“)話【解析】篥會話为橢區|兰+匸=1上的昌集合卫为扌無心煎i' = 丁上的点，由于指纹函数恒过点(Q1)・16 -4* 斗由于点121在椭圆兰十二“曲内部，因此扌旨数函数与椭圆有2个交点.，的子篥的个数次F =4个，16 4故答累为扎4. 【基础经典试题】集合M ={y | y= x2—1, x R}，集合N={x|y= 9 x2, x R}，则MIN等于( )A. {t|0 t 3} B . {t|—1 t 3} C . {(- . 2,1),( .2,1) D •【答案】B【鱷析】■・」=/—in —h 二対=[—h +工)・又丫)=嗣-》匸9 - ? > 0 +/■[- 3,3]. ■- M A -V = [-l(3].5. 【改编自2012年江西卷理科】若集合A={— 1,1}, B= 0,2，则集合{z|z= x+ y, x A, y B}中的元素的非空子集个数为()A. 7 B . 6 C . 5 D . 4【答案】A【鋒析】由已知得，集台V尸K+F送用ye ^={-1.1.3}-所以其非空子集个数冷2为二7,故选【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识•纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算•解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素•二是考查抽象集合的关系判断以及运算•【经典例题精析】考点1集合的概念K【1-1 】若a, b R，集合{1 , a b, a 0,-,b，求b a的值_____________________ .a【答案】2iy【解析】由d d+方卫｝=0—血可知“山则只能卄庄0,则有以下对应关爲CJ - b = 0.b—=c ab = 1.Jl_2【1-2】已知集合A=｛x|x+ m好4 = 0｝为空集，则实数m的取值范围是()A. ( —4, 4) B . [ —4, 4] C . ( —2, 2) D . [ —2, 2]【答案】A【解析】依题意知一元二次方程F十ww十4二0无解，^flzA A= w;_16 < 0(解得一4€楞羔4.故选A.【1-3】已知A=｛a+ 2, (a+ 1)2, a2+ 3a+ 3｝，若1€ A,则实数a构成的集合B的元素个数是()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3【答案】B丽析】若口则1,代入集合」」得川=｛1"1｝,与集合元责的互异性若S+1F=1,帶住=0或一2,代入集合4帰/=匸切｝或去｛0二1｝,后■看与集合的互异性矛盾，故尸0 符合要求J若/+3卄3=1,则尸—诫-拿代人黑皆出得沪｛山1｝或看•戶｛轴助都与集合的互异性相矛盾, 無上可如只有口二。

新高考数学理一轮总复习知能演练1.1集合的概念与运算(含答案详析)

一、选择题1．会合 P＝{ x|y＝x＋ 1} ，会合 Q＝ { y|y＝x－ 1} ，则 P 与 Q 的关系是 ()A． P＝Q B ．P QC．P Q D．P∩Q＝?分析：选 B.依题意得， P＝{ x|x＋ 1≥ 0} ＝ { x|x≥ － 1} ， Q＝{ y|y≥ 0} ，∴ P Q.2．(2011 高·考课标全国卷 )已知会合 M＝ {0,1,2,3,4} ，N＝ {1,3,5} ，P＝ M∩ N，则 P 的子集共有 ()A．2个B．4 个C．6 个D．8 个22＝ 4(个 )．分析：选 B.∵ M＝ {0,1,2,3,4} ，N＝ {1,3,5} ，∴ M∩N＝ {1,3} ．∴ M∩ N 的子集共有3． (2012 高·考山东卷 ) 已知全集 U ＝ {0,1,2,3,4} ，会合 A＝{1,2,3} ， B＝ {2,4}，则 (?U A)∪B 为()A． {1,2,4} B ． {2,3,4}C． {0,2,4} D ．{0,2,3,4}分析：选 C.由题意知 ?U A＝ {0,4} ，又 B＝ {2,4} ，∴(?U A)∪ B＝ {0,2,4} ．应选 C.4．(2011 高·考北京卷 )已知会合P＝ { x|x2≤ 1} ，M＝ { a} ．若 P∪ M＝ P，则 a 的取值范围是 ()A． (－∞，－C． [ －1,1]1]B．[1，＋∞ )D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞ )分析：选 C.由 P∪M ＝P，有 M ? P.∴a2≤ 1，∴－ 1≤ a≤ 1.应选 C.5． (2011 高·考广东卷 )已知会合A＝{( x， y)|x， y 为实数，且x2＋ y2＝ 1} ， B＝ {( x， y)|x，y 为实数，且 y＝ x} ，则 A∩ B 的元素个数为 ()A． 0 B ． 1C． 2 D ．3分析：选 C.法一： A 为圆心在原点的单位圆， B 为过原点的直线，故有 2 个交点，应选C.222，2，x＋ y ＝ 1，x＝2x＝－2法二：由可得或应选 C.y＝x，2，2，y＝2y＝－2二、填空题6．(2012 ·考四川卷高)设全集 U＝ { a，b，c，d} ，会合 A＝ { a，b} ，B＝ { b，c，d} ，则 (? U A)∪ (?U B)＝ ________.分析： ?U A＝ { c，d} ， ?U B＝ { a} ，∴(?U A)∪ (?U B)＝ { a， c， d} ．答案： { a， c， d}7．(2013 南·京月考 )已知会合A＝ {(0,1) ，(1,1)， (－ 1,2)} ， B＝ {( x， y)|x＋ y－1＝ 0， x， y ∈Z }，则A∩B＝________.分析： A、B 都表示点集， A∩B 即是由 A 中在直线 x＋ y－1＝ 0 上的全部点构成的会合，代入考证即可．答案： {(0,1) ， (－ 1,2)}8．设 U ＝{0,1,2,3} ， A＝ { x∈ U |x2＋ mx＝ 0} ，若 ?U A＝ {1,2} ，则实数 m＝________.分析：∵ ?U A＝ {1,2} ，∴ A＝ {0,3} ，∴0,3 是方程 x2＋ mx＝ 0 的两根，∴m＝－ 3.答案：－3三、解答题9．设全集U＝R， A＝ { x|2x－ 10≥ 0} ，B＝ { x|x2－5x≤ 0，且 x≠ 5} ．求(1)?U (A∪B)；(2)(?U A)∩ (?U B)．解： A＝ { x|x≥ 5} ，B＝ { x|0≤ x＜ 5} ．(1)A∪ B＝ { x|x≥ 0} ，于是 ?U(A∪B)＝ { x|x＜ 0} ．(2)?U A＝ { x|x＜ 5} ， ?U B＝ { x|x＜ 0 或 x≥5} ，于是 (?U A)∩ (?U B)＝ { x|x＜0} ．10．设 A＝ {2 ，－ 1， x2－ x＋1} ， B＝ {2 y，－ 4， x＋4} ， C＝ { － 1,7} ，且 A∩ B＝ C，求x、 y 的值．解：∵A∩ B＝ C＝ { － 1,7} ，∴必有7∈A,7∈ B，－ 1∈ B.2即有 x －x＋ 1＝ 7? x＝－ 2 或 x＝ 3.①当 x＝－ 2 时， x＋ 4＝ 2，又 2∈A，∴ 2∈ A∩B，但 2?C，∴不知足 A∩B＝ C，∴ x＝－ 2 不切合题意．②当 x＝ 3 时， x＋ 4＝ 7，∴ 2y＝－ 1? y＝－1 2.1所以， x＝ 3， y＝－2.一、选择题1． (2012 ·考湖北卷高) 已知会合 A＝ { x|x2－ 3x＋ 2＝ 0， x∈R } ， B＝{ x|0＜ x＜5， x∈N} ，则知足条件 A? C? B 的会合 C 的个数为 ()A． 1 B ． 2C． 3 D ．4分析：选 D. 解出会合 A、B 后，再确立会合 C 的个数．由于会合 A＝{1,2} ，B＝ {1,2,3,4} ，所以当知足 A? C? B 时，会合 C 能够为 {1,2} 、 {1,2,3} 、{1,2,4} 、 {1,2,3,4} ，故会合 C 有 4 个．2.已知全集 U＝Z，会合 A＝ { x|x2＝ x} ，B＝ { －1,0,1,2} ，则图中暗影部分所表示的会合为()A． { －1,2} C． {0,1}B．{－ 1,0} D ．{1,2}分析：选 A. 由题意得会合A＝ {0,1} ，图中暗影部分所表示的会合是不在会合 A 中，但在会合 B 中的元素的会合，即 (?U A)∩ B，易知 (?U A)∩ B＝ { － 1,2} ，故图中暗影部分所表示的会合为 { － 1,2} ．正确选项为 A.二、填空题3．已知会合 A＝ { x|a－ 3＜ x＜ a＋3} ，B＝ { x|x＜－ 1 或 x＞2} ，若 A∪ B＝R，则 a 的取值范围为 ________．分析：由 a－ 3＜－ 1 且 a＋ 3＞ 2，解得－ 1＜a＜ 2.也可借助数轴来解．答案： (－ 1,2)4．(2012 高·考天津卷 )已知会合A ＝{ x ∈ R ||x ＋ 2|＜ 3} ，会合B ＝{ x ∈ R |(x － m)(x － 2)＜ 0} ，且 A ∩ B ＝ (－ 1， n) ，则 m ＝ ________， n ＝ ________.分析： A ＝ { x ∈ R ||x ＋ 2|<3} ＝{ x ∈ R |－ 5<x<1} ，由 A ∩ B ＝(－1， n)，可知 m<2 ，则 B ＝ { x|m<x<2} ，画出数轴，可得 m ＝－ 1， n ＝1.答案：－1 1三、解答题5．记函数 f( x)＝2－ x ＋ 3的定义域为A ， g(x)＝ lg[( x － a － 1)(2a － x)](a ＜ 1)的定义域x ＋ 1为 B.(1)求 A ；(2)若 B? A ，务实数 a 的取值范围．解： (1)由 2－ x ＋ 3≥ 0，得 x － 1≥ 0.x ＋ 1 x ＋ 1∴ x ＜－ 1 或 x ≥1，即 A ＝ (－ ∞ ，－ 1)∪ [1，＋ ∞ )．(2)由 (x － a － 1)(2a － x)＞ 0，得 (x － a － 1)(x － 2a)＜0.∵ a ＜1，∴ a ＋1＞ 2a.∴B ＝ (2a ，a ＋ 1)．由 B? A ，得 2a ≥ 1 或 a ＋ 1≤－ 1，即 a ≥1或 a ≤ －2.而 a ＜1，2∴ 1≤a ＜ 1 或 a ≤ － 2. 21故 a 的范围是 (－∞ ，－ 2]∪ 2，1 .。

高三一轮复习集合与函数测试题(含答案)

高三一轮复习集合与函数选择题1．已知命题“012,2<++∈∃ax x x R ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ )A ．)1,(--∞B ．),1(+∞C ．),1()1,(+∞--∞YD ．（—1，1）2、若{}8222<≤∈=-x Z x A {}1log R <∈=x x B x ，则)(C R B A ⋂的元素个数为（） A.0 B.1 C.2 D.33、设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（） A ．2 B ．4 C ．22 D ．24、在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数 ()x f （）A.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数5 .设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（）A. -1,3B.-1,1C. 1,3D.-1,1,36．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.1[,1)7D.11[,)73 7．若函数2)1(log )(223++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，（a ，b 为常数），则函数)(x f 在),0(+∞上（）A ．有最大值9B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值58．函数|3||4|92-++-=x x x y 的图象关于（） A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称 D ．直线0=-y x 对称9．若函数21(1)()lg (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩,则f(f(10)=（）A ．lg101B ．2C ．1D ．010．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，当 )02(，-∈x 时， x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为（） A.21- B.21 C. 2 D.2-11．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b －3(x ∈R )图象恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．5 B.15 C ．4 D.1412. 设函数()f x =cx b ax ++2的图象如下图所示，则a 、b 、c 的大小关系是 11-1-1O xyA.a ＞b ＞cB.a ＞c ＞bC.b ＞a ＞cD.c ＞a ＞b二、填空题13、函数x x f 6log 21)(-=的定义域为__14、若24log 3,(22)x x x -=-=则＿＿＿15. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当 ),0(∞+∈x 时，=)(x f16. .函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是______三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：（1）0021)51(1212)4(2---+-+-（2）91log 161log 25log 532••18．（本小题满分12分）已知函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数，且满足()()()(),31f xy f x f y f =+=(1)求()()9,27f f 的值 (2)解不等式()()82f x f x +-<19. （12分）已知函数2()(8),f x ax b x a ab =+---的零点是－3和2.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当函数f （x ）的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域.20. （本小题满分12分）某地区预计明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量．．．．()f x （万件）与月份x 的近似关系为1()(1)(352)(12)150f x x x x x N x =+-∈≤且．（1）写出明年第x 个月的需求量()g x （万件）与月份x 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过1.4万件；（2）如果将该商品每月都投放市场p 万件，要保持每月都满足市场需求，则p 至少为多少万件．21.．(本小题满分12分) 已知定义域为R 的函数ab x f x x+-=22)(是奇函数.(1)求b a ,的值; (2)用定义证明)(x f 在()+∞∞-,上为减函数.(3)若对于任意R t ∈,不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立,求k 的范围.。

高考数学一轮专题01 集合综合归类(原卷版及答案)

专题01 集合综合归类目录题型一：相等集合 .............................................................................................................................................................. 1 题型二：相等集合求参 ...................................................................................................................................................... 2 题型三：集合中的元素 ...................................................................................................................................................... 2 题型四：集合元素个数求参............................................................................................................................................... 3 题型五：子集与真子集关系............................................................................................................................................... 4 题型十：并集运算求参 ...................................................................................................................................................... 8 题型十一：补集与全集 (9)题型十二：补集与全集运算求参..................................................................................................................................... 10 题型十三：韦恩图应用 . (11)题型十四：交并补混合型运算......................................................................................................................................... 12 题型十五：交并补综合运算求参..................................................................................................................................... 13 题型十六：集合新定义型 (14)题型一：相等集合1．（2023·浙江·三模）设函数的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，，则( ) A ．B ．C ．A=BD ．2．（21-22高三上·浙江金华模拟）已知集合{}sin ,cos ,tan ααα=M {}()0,,,,,,2πα∈=∈N a b c a b c R ，则满足M N =且2a b c +=的集合N 的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知集合1,Z 6M x x m m ==+∈，1,Z 23n N x x n ==−∈ ，1,Z 26p P x x p ==+∈，则M ，N ，P 的关系为（）A ．M N = PB ．N P = MC ．M N PD ．M N P =4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知{}31,Z M x x m m ==−∈， {}32,Z N x x n n ==+∈ ，集合的相关概念（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．（2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈ ；不属于，记为∉ ．（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．{}61,Z P x x p p ==−∈ ，则下列结论正确的是（） A ．M P = N B ．P M N =C ．M N ⊆ PD ．N M ⊆ P5．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知R a ∈，R b ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a=−，则20232023ab +的值为（） A ．2− B ．1− C ．1 D ．2题型二：相等集合求参1．（22-23高三 ·江苏苏州·阶段练习）设a ､b､c 是两个两两不相等的正整数.若{a b +，bc +，2}{c a n +=，2(1)n +，2(2)}(N )n n ++∈，则222a b c ++的最小值是（） A ．1000 B ．1297 C ．1849 D ．20202．（2022·上海杨浦·预测）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（） A ．[0,4) B ．[1,4)− C ．[3,5]− D ．[0,7)3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知集合{|A y y ==，{|}B x x a =≥，若A B =，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（23-24高三·江苏常州·模拟）已知函数()()221R f x x ax a =−+∈，若非空集合(){}()(){}0,1A xf x B x f f x =≤=≤∣∣，满足A B =，则实数a 的取值范围是（） A ．11 −− B ．1 −C ．D ．1,1 +5．（23-24高三·北京·阶段练习）已知函数()()2122x f x m x nx +⋅++，集合(){}0,A x f x x ==∈R ，集合{},R |[()]0Bx f f x x ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（）A ．[]1,4−B ．[)1,1−C ．[]3,5−D ．[)0,4题型三：集合中的元素1．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）已知{}n a 是等差数列，()sin n n b a =，存在正整数()8t t ≤，使得n t n b b +=，*n ∈N .若集合{}*,n Sx x b n N ==∈中只含有4个元素，则t 的可能取值有（）个A ．2B ．3C ．4D ．51.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。

高三数学《集合与函数-测试试题(含答案)

高三数学测试试题（集合与函数）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．若集合}{2-==x y y M ，}1{-==x y y P ，那么=P M （）A ．),1(+∞B ．),1[+∞C ．),0(+∞D ．),0[+∞2．若函数)(x f y =的图象与函数)1lg(-=x y 的图象关于直线0=-y x 对称，则=)(x f （）A ．x 101-B ．110+xC ．110+-xD ．110--x 3．函数)1(21)(x x x f --=的最大值是（）A ．49B ．94C ．47D ．744．已知函数)(1x f y -=的图象过点)0,1(，则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点（）A ．)2,1(B ．)1,2(C ．)2,0(D ．)0,2(5．设集合},,{c b a M =，}1,0{=N ，映射N M f →:满足)()()(c f b f a f =+，则映射N M f →:的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．曲线y ＝e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( )A ． 1B ．2C ．e D.1e7．设偶函数b x x f a -=log )(在)0,(-∞上递增，则)1(+a f 与)2(+b f 的大小关系是A ．)1(+a f ≥)2(+b fB ．)1(+a f ≤)2(+b fC ．)1(+a f <)2(+b fD ．)1(+a f >)2(+b f8．函数b x y +-=与x b y -=（0>b 且0≠b ）的图象可能是（）9．已知函数x x f )21()(=，则函数)(x g 的图象与)(x f 的图象关于直线x y =对称，则函数)(2x g 是（）A ．奇函数在),0(+∞上单调递减B ．偶函数在),0(+∞上单调递增C ．奇函数在)0,(-∞上单调递减D ．偶函数在)0,(-∞上单调递增10．若f(x)＝x 2－2x －4lnx ，则f′(x)>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0) 11．曲线y ＝x 3＋11在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．1512设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R)，若x ＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能．．．为y ＝f(x)的图象是()第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分共16分。

高一数学集合与函数的概念试题答案及解析

高一数学集合与函数的概念试题答案及解析1. 设集合，，则（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得，，，∴，故选A.【考点】1.解一元二次不等式；2.集合的交集.2. 下列命题正确的是（） A ．∁U （∁U P ）={P}B ．若M={1，∅，{2}}，则{2}⊆MC ．∁R Q=QD ．若N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，则N ∈S【答案】D【解析】根据集合的定义和补集运算法则，集集合子集的性质，对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断；解：A 、∁U （∁U P ）=p ，∵{P}，∴p ∈{P}，故A 错误；B 、集合M 中的元素，有1和，∅，{2}，知1是数，∅，{2}是集合，∴1和，∅，{2}，不能构成集合B ，故B 错误；C 、∵∁R Q 为无理数集，而Q 为有理数集，故C 错误；D 、∵N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，∴N 的所有子集构成集合S ，∴N ∈S ，故D 正确；故选D ．点评：此题主要考查集合的定义及其元素与集合的关系，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．3. 已知M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}，则M∩N=（） A ．{0，1} B ．{（0，1）} C ．{1} D ．以上均不对【答案】C【解析】根据函数值域求得集合M=[1，+∞），N}=（﹣∞，1]，根据集合交集的求法求得M∩N ．解；集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}=[1，+∞）， N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}=（﹣∞，1]， ∴M∩N={1} 故选C ．点评：此题是个基础题．考查交集及其运算，以及函数的定义域和圆的有界性，同时考查学生的计算能力．4. 集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A={a ，b ，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】考虑集合A 1为空集，有一个元素，2个元素，和集合A 相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，即可求出值．当A 1为A 时，A 2可取A 的任何子集，此时A 2有8种情况，故拆法为8种；总之，共27种拆法．解：当A 1=φ时，A 2=A ，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时，A2=∁AA1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；当A1为双元素集时，如A1={a，b}，A2={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．点评：本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在．5.已知a∈R，b∈R，A={2，4，x2﹣5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+（a+1）x﹣3，1}：求（1）A={2，3，4}的x值；（2）使2∈B，B⊊A，求a，x的值；（3）使B=C的a，x的值．【答案】（1）x=2或x=3；（2）当x=2时，a=﹣；当x=3时，a=﹣；（3）{x|x=﹣1或3} {a|a=﹣6或﹣2}．【解析】（1）解方程x2﹣5x+9=3即可求得x值；（2）由x2+ax+a=2与x2﹣5x+9=3联立即可求得a，x的值；（3）x2+（a+1）x﹣3=3与x2+ax+a=1即可求得a，x的值．解：（1）依题意，x2﹣5x+9=3，∴x=2或x=3；（2）∵2∈B，B⊊A，∴x2+ax+a=2且x2﹣5x+9=3，当x=2时，a=﹣；当x=3时，a=﹣；（3）∵B={3，x2+ax+a}=C={x2+（a+1）x﹣3，1}，∴整理得：x=5+a，将x=5+a代入x2+ax+a=1得：a2+8a+12=0，解得a=﹣2或a=﹣6．当a=﹣2时，x=3或﹣1；当a=﹣6时，x=﹣1或x=7（当a=﹣6，x=7时代入x2+（a+1）x﹣3="3" 不成立所以舍去）．综上所述{x|x=﹣1或3} {a|a=﹣6或﹣2}．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，考查方程思想运算能力，属于中档题．6.若，则的值为A．0B．1C．D．1或【答案】C【解析】由已知得，则有，又，。

高考数学一轮复习练习第一章集合与常用逻辑函数第1讲 Word版含答案

.(·安徽卷改编)设全集＝{，，，，，}，＝{，}，＝{，，}，则∩(∁)等于.解析由题意得，∁＝{，，}，＝{，}，故∩(∁)＝{}.答案{}.(·苏北四市调研)已知集合＝{(，)，∈，且＋＝}，＝{(，)，∈，且＝}，则∩的元素个数为.解析集合表示的是圆心在原点的单位圆，集合表示的是直线＝，据此画出图象，可得图象有两个交点，即∩的元素个数为.答案.(·长春监测)已知集合＝{≥}，＝，则∩等于.解析∵＝{≥}，＝＝{≤－或＞}，∴∩＝{＞}.答案{>}.(·南京师大附中模拟)设集合＝{－＜≤，∈}，集合＝{，}，则∪等于.解析＝{－＜≤，∈}＝{，，}，故∪＝{，，，}.答案{，，，}.已知集合＝{，，，，}，＝{，，}，＝∩，则的子集共有.解析＝∩＝{，}，故的子集共有个.答案个.(·扬州检测)设集合＝{＞}，＝{－＞}，则①⊆，②⊆，③＝，④∪＝.其中结论正确的是(填序号).解析由集合＝{－＞}，知＝{＜或＞}，所以⊆.答案①.(·银川一中一模)已知集合＝{＜}，＝{≤＜}，且∪(∁)＝，则实数的取值范围是.解析∵＝{≤＜}，∴∁＝{＜或≥}.又∪(∁)＝，如图，只要≥.答案[，＋∞).(·西安模拟)已知集合＝{－＋＝，∈}，＝{＜＜，∈}，则满足条件⊆⊆的集合的个数为.解析＝{，}，＝{，，，}，⊆⊆，则集合可以为：{，}，{，，}，{，，}，{，，，}.答案.(·湖南卷)已知集合＝{，，，}，＝{，}，＝{，，}，则∪(∁)＝.解析由已知可得∁＝{}，故∪(∁)＝{，，}.答案{，，}.已知集合＝{∈＋<}，集合＝{∈(－)(－)<}，且∩＝(－，)，则＝，＝.解析＝{－<<}，因为∩＝{－<<}，＝{(－)(－)<}，所以＝－，＝.答案－.设集合＝{－，，}，＝{＋，＋}，∩＝{}，则实数的值为.解析由题意得＋＝，则＝.此时＝{－，，}，＝{，}，∩＝{}，满足题意.答案.(·皖南八校联考)设集合＝{(，)＝}，＝{＝}，则①∩≠∅；②∩＝∅；③∪＝；④∪＝.其中结论正确的是(填序号).解析因为为点集，为数集，所以∩＝∅.答案②.已知集合＝{＝(－)}，＝{－＜，＞}，若⊆，则实数的取值范围是.解析＝{＝(－)}＝{－＞}＝(，)，＝{－＜，＞}＝(，)，因为⊆，画出数轴，如图所示，得≥.答案[，＋∞).若，∈，＝{(，)(＋)＋＝}，＝{(，)＋＋＝}，当∩≠∅时，则实数的取值范围是；当∩＝∅时，则实数的取值范围是.解析观察得集合表示的是以(－，)为圆心，为半径的圆上的点，表示的是直线＋＋＝上的点，若满足∩≠∅，只需直线与圆相切或相交，即满足不等式≤，－≤，－≤－≤，即－≤≤；若满足∩＝∅时，只需直线与圆相离，即满足不等式>，即<－或>.答案[－，] (－∞，－)∪(，＋∞)。

高三数学一轮复习测试题1——集合与函数部分

高三数学一轮复习测试题1——集合与函数部分work Information Technology Company.2020YEAR高三数学（文科）一轮复习综合测试题（一）————集合与函数部分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数1()lg 4xf x x -=-的定义域为（）Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞，，Ｄ．(1](4)-∞+∞，，2．若函数3()()f x x x =∈R ，则函数()y f x =-在其定义域上是（） A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数D ．单调递增的奇函数3．设2:40p b ac ->（0a ≠），:q 关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）有实数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．下列说法错误．．的是（） A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则0232≠+-x x ” B ．“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件 C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题p ：“R x ∈∃，使得012<++x x ”，则p ⌝：“R x ∈∀，均有012≥++x x ” 5．下列四个数中最大的是（）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．D ．ln 26．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1)=-2f (1.5)=0.625 f (1.25)=-0.984 f (1.375)=-0.260f (1.4375)=0.162f (1.40625)=-0.054那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为 ( )． A . 1.2 B . 1.3 C . 1.4 D . 1.58．设P 、Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P ⊙Q=}.|{Q P x Q P x x ⋂∉⋃∈，且如果}0,4|{},4|{2>==-==x y y Q x y y P x ，则P ⊙Q= （） A ．),4(]1,0[+∞⋃ B ．),4[]1,0[+∞⋃C ．[1，4]D ．（4，+∞）9．若函数),0(),1,0(log )(+∞∈≠>=x a x x x f a 在上是减函数，则函数1)(-=x a x f 的图象大致是（）10．已知函数f （x ）是以2为周期的偶函数，且当)10(log ,12)(,)1,0(2f x f x x 则时-=∈的值（）A ．53B ．58C ．85-D ．35-11．已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（）Ａ．()0f x '>，()0g x '> Ｂ．()0f x '>，()0g x '< Ｃ．()0f x '<，()0g x '>Ｄ．()0f x '<，()0g x '<12．如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M （M 为常数），称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是（）①3)(x x f = ②x x f lg )(= ③x e x f =)( ④⎪⎩⎪⎨⎧-<-=>=)1(1)0(0)0(1)(x x x x fA ．①③B ．①②④C ．②③④D ．③④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题有4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.13．()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是．14．函数221x y x =+（x ∈R ）的值域是．15．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿．16．设两个命题：命题P ：关于x 的不等式210mx +>的解集为R ；命题Q ：函数()log xm f x =是减函数；若“p q ∨为真，p q ∧为假”，则实数m 的取值范围是三、解答题：本大题有6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题共12分）记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数11()(0)f x a a x=-> （1）证明()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）若()f x 的定义域、值域都是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的值；19．（本小题满分12分）设有两个命题：（1）关于x 的不等式12cos sin 2-+>mm x x 的解集是R ；（2）函数x m x f )37()(--=是减函数；若这两个命题都是真命题，求m 的取值范围.20．（本小题满分12分）奇函数cx bx ax x f ++=23)(的图象E 过点)210,22(),2,2(B A -两点. （1）求)(x f 的表达式；（2）求)(x f 的单调区间；（3）若方程0)(=+m x f 有三个不同的实根，求m 的取值范围.21．（本题满分12分）已知函数)1(log )()()1(>==+a x f x g y x a 与的图象关于原点对称. （1）写出)(x g y =的解析式；（2）若函数m x g x f x F ++=)()()(为奇函数，试确定实数m 的值；（3）当)1,0[∈x 时，总有n x g x f ≥+)()(成立，求实数n 的取值范围.22．（本小题满分14分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．（Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．高三文科数学综合测试题（一）参考答案：一：选择题：1—5：A B A C D ；6—10：D C A B A ；11—12：B D ；二、填空题： 13．314．[01)， 15．316．0m =或1m ≥；三、解答题： 17．解：（I ）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<．（II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，即a 的取值范围是(2)+∞，．18．（1）用定义或导数证明；（2）25a = 19．由（1）真知1222-<-+m m2110)1)(12(0122<<-<+-<-+m m m m m 即由（2）真知137>-m2<m∴所以的取值范围是)21,1(-20．解：（1）ax bx ax x f ++=23)( 为奇函数0)()()(=∴∈-=-∴b R x x f x f∴cx ax x f +=3)(∵图象过点)2,2(-A 、)210,22(B3,15812210222162222-==∴⎩⎨⎧=+=--⎪⎩⎪⎨⎧=+=--∴c a c a c a c a c a 即x x x f 3)(3-=∴……………………………………………………5分（2）)1)(1(333)(3)(23+-=-='∴-=x x x x f x x x f0)(,11;0)(,11>'>-<<'<<-∴x f x x x f x 时或时)(x f ∴的增区间是),1()1,(+∞--∞和，减区间是（－1，1）…………10分（3）2)1(,2)1(-==-f f为使方程m x f m x f -==+)(0)(即有三个不等根，则2222<<-<-<-m m 即m ∴的取值范围是（－2，2）…………21．解：（1）设M （x ，y ）是函数)(x g y =图象上任意一点，则M （x ，y ）关于原点的对称点为N （－x ，－y ） N 在函数)1(log )(+=x x f a 的图象上，)1(log +-=-∴x y a)1(log x y a --=∴…………………………………………………………3分（2）m x F x ax a +-=-+)1()1(log log )( 为奇函数.mm x F x F x ax ax ax a-+-=+-∴-=-∴-++-)1()1()1()1(log log log log )()(00log log log 211111=∴==+=∴+--+m m a xx a xx a ……………………8分（3）由n n x g x f xx a ≥≥+-+11log ,)()(得设)1,0[,11log )(∈-+=x xxax Q ，即可只要由题意知n ≥min Q(x ),,………………10分)121(log )(xax F -+-= 在[0，1)上是增函数.0)0()(min ==∴Q x Q 即0≤n 即为所求.……………………………………12分22．解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-．（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）．当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >．。

2025年高考数学一轮知识点复习-第1讲-集合及其运算-专项训练【含解析】

第1讲-集合及其运算-专项训练（原卷版）一、单项选择题1．若集合M ＝{x |x ＜4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝()A ．{x |0≤x ＜2}B |13≤x ＜C ．{x |3≤x ＜16}D |13≤x ＜2．设全集U ＝{0，1，2，4，6，8}，集合M ＝{0，4，6}，N ＝{0，1，6}，则M ∪(∁U N )＝()A ．{0，2，4，6，8}B ．{0，1，4，6，8}C ．{1，2，4，6，8}D ．U3．已知集合A ＝{0，1，2}，B B ⊆A ，则实数x ＝()A ．12B ．1C ．12或1D ．04．设集合A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∩B 的子集个数为()A ．2B ．3C ．4D ．65．已知集合A ＝{x |3x －1＞8}，B ＝{x |x ≤10}，则A ∩B ＝()A ．(10，＋∞)B ．(3，10)C ．(3，10]D ．[10，＋∞)6．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |－1＜x ＜2}，则{x |x ≥2}＝()A ．∁U (M ∪N )B ．N ∪(∁U M )C ．∁U (M ∩N )D ．M ∪(∁U N )7．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a －1，a 2＋2}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．38．能正确表示集合M ＝{x |0≤x ≤2}和集合N ＝{x |x 2－2x ＝0}的关系的Venn 图是()ABC D9．若集合A ＝x |x ＝k 6＋1，k ∈Z，B ＝x |x ＝k 3＋12，k ∈Z，C ＝x |x ＝2k 3＋12，k ∈Z()A ．A ⊆B ⊆C B ．A ⊆C ⊆B C ．C ⊆B ⊆AD ．C ⊆A ⊆B10．某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为()A ．36B ．35C ．34D ．33二、多项选择题11．已知集合A ＝{x |log 2x ≤0}，B y |y ＋1y －1≥0D z |3z ≥19()A ．A ∪D ＝RB ．A ∩B ＝∅C ．∁R (A ∪B )DD ．∁R D B12．若非空集合M ，N ，P 满足M ∩N ＝N ，M ∪P ＝P ，则()A ．P ⊆MB ．M ∩P ＝MC ．N ∪P ＝PD ．M ∩(∁P N )＝∅13．已知M ，N 均为实数集R 的子集，且N ∩(∁R M )＝∅，则下列结论正确的是()A ．M ∩(∁R N )＝∅B ．M ∪(∁R N )＝RC ．(∁R M )∪(∁R N )＝∁R MD ．(∁R M )∩(∁R N )＝∁R M14．我们知道，如果集合A ⊆S ，那么A 的补集为∁S A ＝{x |x ∈S 且x ∉A }．类似地，对于集合A ，B ，我们把集合{x |x ∈A 且x ∉B }叫做集合A 和B 的差集，记作A －B .例如：A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{4，5，6，7，8}，则有A －B ＝{1，2，3}，B －A ＝{6，7，8}．下列选项正确的是()A ．已知A ＝{4，5，6，7，9}，B ＝{3，5，6，8，9}，则B －A ＝{3，7，8}B ．如果A －B ＝∅，那么A ⊆BC ．已知全集U ，集合A ，集合B 的关系如图所示，则B －A ＝A ∩(∁U B )D ．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，B ＝{x |－2≤x ＜4}，则A －B ＝{x |x ＜－2或x ≥4}三、填空题15．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋2x －3＜0}，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，则A ∩B ＝________．16．已知集合A ＝{x |ax 2－2x ＋a ＝0}中至多含有一个元素，则实数a 的取值范围是_______．17．已知集合A ＝[1，6]，B ＝{x |y ＝x －a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是_________．18．已知集合A ＝{－2，0，2，4}，B ＝{x ||x －3|≤m }，若A ∩B ＝A ，则m 的最小值为________．19．若x ∈A ，1x∈A ，则称A 是伙伴关系集合，集合M ＝1，0，13，12，1，2，3，________．第1讲-集合及其运算-专项训练（解析版）一、单项选择题1．若集合M ＝{x |x ＜4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝(D )A ．{x |0≤x ＜2}B |13≤x ＜C ．{x |3≤x ＜16}D |13≤x ＜【解析】M ＝{x |0≤x ＜16}，N |x M ∩N x |13≤x ＜2．设全集U ＝{0，1，2，4，6，8}，集合M ＝{0，4，6}，N ＝{0，1，6}，则M ∪(∁U N )＝(A )A ．{0，2，4，6，8}B ．{0，1，4，6，8}C ．{1，2，4，6，8}D ．U【解析】由题得∁U N ＝{2，4，8}，所以M ∪(∁U N )＝{0，2，4，6，8}．3．已知集合A ＝{0，1，2}，B B ⊆A ，则实数x ＝(A )A ．12B ．1C ．12或1D ．0【解析】因为集合A ＝{0，1，2}，B B ⊆A ，所以由集合元素的互异性及子集的概念可知1x ＝2，解得x ＝12.4．设集合A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∩B 的子集个数为(C)A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】由题可知A ＝{－1，0，1}，所以A ∩B ＝{0，1}，所以其子集分别是∅，{1}，{0}，{0，1}，共有4个子集．5．已知集合A ＝{x |3x －1＞8}，B ＝{x |x ≤10}，则A ∩B ＝(C )A ．(10，＋∞)B ．(3，10)C ．(3，10]D ．[10，＋∞)【解析】如图，将集合A ＝{x |3x －1＞8}＝{x |x ＞3}和集合B 标在数轴上，由图可知C 正确．6．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |－1＜x ＜2}，则{x |x ≥2}＝(A )A ．∁U (M ∪N )B ．N ∪(∁U M )C ．∁U (M ∩N )D ．M ∪(∁U N )【解析】由题意可得M ∪N ＝{x |x ＜2}，则∁U (M ∪N )＝{x |x ≥2}，故A 正确；∁U M ＝{x |x ≥1}，则N ∪(∁U M )＝{x |x ＞－1}，故B 错误；M ∩N ＝{x |－1＜x ＜1}，则∁U (M ∩N )＝{x |x ≤－1或x ≥1}，故C 错误；∁U N ＝{x |x ≤－1或x ≥2}，则M ∪(∁U N )＝{x |x ＜1或x ≥2}，故D 错误．7．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a －1，a 2＋2}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为(C)A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】因为A ＝{1，2}，B ＝{a －1，a 2＋2}，且A ∩B ＝{1}，又a 2＋2≠1，所以a －1＝1，即a ＝2，此时B ＝{1，6}，符合题意．8．能正确表示集合M ＝{x |0≤x ≤2}和集合N ＝{x |x 2－2x ＝0}的关系的Venn 图是(B)A B C D【解析】由x 2－2x ＝0，解得x ＝2或x ＝0，则N ＝{0，2}．又M ＝{x |0≤x ≤2}，则N ⊆M ，故M 和N 对应的Venn 图如B 所示．9．若集合A ＝x |x ＝k 6＋1，k ∈，B ＝x |x ＝k 3＋12，k ∈，C ＝x |x ＝2k 3＋12，k ∈(C )A ．A ⊆B ⊆C B ．A ⊆C ⊆B C ．C ⊆B ⊆AD ．C ⊆A ⊆B【解析】依题意，A x |x ＝k ＋66，k ∈x |x ＝(k ＋3)＋36，k ∈B ＝x |x ＝2k ＋36，k ∈C x |x ＝4k ＋36，k ∈x |x ＝2×2k ＋36，k ∈集合C 中的任意元素都是集合B 中的元素，即有C ⊆B ，集合B 中的任意元素都是集合A 中的元素，即B ⊆A ，所以C ⊆B ⊆A .10．某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为(B)A ．36B ．35C ．34D ．33【解析】如图，设两个项目都参加的有x 人，“你追我赶”为集合A ，“携手共进”为集合B ，则数学组共有5＋18－x ＋x ＋20－x ＝43－x (x ≥8)人，显然43－x ≤35.二、多项选择题11．已知集合A ＝{x |log 2x ≤0}，B y |y ＋1y －1≥D z |3z 则(BCD )A ．A ∪D ＝RB ．A ∩B ＝∅C ．∁R (A ∪B )DD ．∁R D B【解析】由log 2x ≤0，得0＜x ≤1，所以A ＝{x |0＜x ≤1}．由y ＋1y －1≥0，得(y ＋1)(y －1)≥0且y －1≠0，得y ≤－1或y ＞1，所以B ＝{y |y ≤－1或y ＞1}．由3z ≥19＝3-2，得z ≥－2，所以D ＝{z |z ≥－2}．对于A ，A ∪D ＝{x |x ≥－2}≠R ，所以A 错误；对于B ，A ∩B ＝∅，所以B 正确；对于C ，因为A ∪B ＝{x |x ≤－1或x ＞0}，所以∁R (A ∪B )＝{x |－1＜x ≤0}D ，所以C 正确；对于D ，因为D ＝{z |z ≥－2}，所以∁R D ＝{z |z ＜－2}．因为B ＝{y |y ≤－1或y ＞1}，所以∁R D B ，所以D正确．12．若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则(BC)A．P⊆M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩(∁P N)＝∅【解析】由M∩N＝N可得N⊆M.由M∪P＝P，可得M⊆P，推不出P⊆M，故A错误；由M⊆P可得M∩P＝M，故B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确；由N⊆M可得M∩(∁P N)不一定为空集，故D错误．13．已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁R M)＝∅，则下列结论正确的是(BD)A．M∩(∁R N)＝∅B．M∪(∁R N)＝RC．(∁R M)∪(∁R N)＝∁R MD．(∁R M)∩(∁R N)＝∁R M【解析】因为N∩(∁R M)＝∅，所以N⊆M.若N是M的真子集，则M∩(∁R N)≠∅，故A错误；由N⊆M，得M∪(∁R N)＝R，故B正确；由N⊆M，得(∁R N)⊇(∁R M)，故C错误，D正确．14．我们知道，如果集合A⊆S，那么A的补集为∁S A＝{x|x∈S且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－B.例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}．下列选项正确的是(BD)A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8} B．如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集U，集合A，集合B的关系如图所示，则B－A＝A∩(∁U B)D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4}【解析】对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，知B－A＝{3，8}，A错误；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A－B＝∅，知A⊆B，B正确；对于C，由韦恩图知B－A如图中阴影部分所示，则B－A＝B∩(∁U A)，C错误；对于D，∁R B＝{x|x＜－2或x≥4}，则A－B＝A∩(∁R B)＝{x|x＜－2或x≥4}，D正确．三、填空题15．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，则A∩B＝__{－2，0}__．【解析】由x2＋2x－3＜0，解得－3＜x＜1，所以A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|x ＝2k，k∈Z}，B是偶数集，所以A∩B＝{－2，0}．16．已知集合A＝{x|ax2－2x＋a＝0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围是__(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}__．【解析】由题意，原问题转化为方程ax2－2x＋a＝0至多只有一个根．当a ＝0时，方程为－2x＝0，解得x＝0，此时方程只有一个实数根，符合题意；当a≠0时，方程ax2－2x＋a＝0为一元二次方程，所以Δ＝4－4a2≤0，解得a≤－1或a≥1.综上，实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}．17．已知集合A＝[1，6]，B＝{x|y＝x－a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__(－∞，1]__．【解析】由x－a≥0，得x≥a，所以B＝[a，＋∞).因为A＝[1，6]，且A⊆B，所以a≤1，所以实数a的取值范围是(－∞，1].18．已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m 的最小值为__5__．【解析】由A∩B＝A，知A⊆B.由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有≤m＋3，2≥－m＋3，≥1，≥5，即m≥5，故m的最小值为5.19．若x∈A，1x∈A，则称A是伙伴关系集合，集合M＝1，0，13，12，1，2，3，__15__．【解析】因为1∈A ，11＝1∈A ；－1∈A ，1－1＝－1∈A ；2∈A ，12∈A ；3∈A ，13∈A ，所以所求集合即为由1，－1，“3和13”，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集，所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.。

新高考数学人教A版一轮总复习集训-模块卷(一)集合、常用逻辑用语、函数、导数、不等式-含解析

模块卷(一)时间:120分钟分值:145分集合、常用逻辑用语、函数、导数、不等式一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2020浙江嘉兴期末,3)设曲线y =x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax +by +c =0垂直,则ab= ( )A.13 B.-13C.3D.-3 答案 B y'=x -2-(x+1)(x -2)2=-3(x -2)2,y'|x =1=-3,因为曲线y =x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax +by +c =0垂直,所以(-3)·(-a b)=-1,解得a b=-13,故选B .2.(2020新疆昌吉期中,6)若a >0,b >0,a +2b =3,则3a +6b的最小值为 ( ) A.5 B.6 C.8 D.9答案 D 本题考查基本不等式在求最值中的应用,考查了数学运算的核心素养. ∵a >0,b >0,a +2b =3,∴3a +6b =13(3a+6b)(a +2b ) =13(3+6b a +6a b +12)≥13×(15+2√6b a ·6ab )=9, 当且仅当6b a =6a b,即a =b =1时取等号, 所以3a +6b的最小值为9.故选D .3.(2019天津耀华中学一模,2)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f (x )=sin π2x ,则f (-52)+f (1)+f (2)=( )A.-2-√22B.-1-√22 C.-√22 D.1-√22 答案 C ∵f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数, ∴f (0)=0,f (1)=f (-1)=-f (1),∴f (1)=0, ∴f (-52)+f (1)+f (2)=-f (52)+f (1)+f (0) =-f (12)+0+0=-sin π4=-√22.4.(2020北京,9,4分)已知α,β∈R ,则“存在k ∈Z 使得α=k π+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C (1)充分性:已知存在k ∈Z 使得α=k π+(-1)kβ,(i )若k 为奇数,则k =2n +1,n ∈Z ,此时α=(2n +1)π-β,n ∈Z ,sin α=sin (2n π+π-β)=sin (π-β)=sin β; (ii )若k 为偶数,则k =2n ,n ∈Z ,此时α=2n π+β,n ∈Z , sin α=sin (2n π+β)=sin β.由(i )(ii )知,充分性成立.(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称,即α=β+2m π或α+β=2m π+π,m ∈Z ,即存在k ∈Z 使得α=k π+(-1)kβ,必要性也成立,故选C .5.(2017山东文,9,5分)设f (x )={√x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1.若f (a )=f (a +1),则f (1a )=( )A.2B.4C.6D.8答案 C 本题考查分段函数与函数值的计算.解法一:当0<a <1时,a +1>1,∴f (a )=√a ,f (a +1)=2(a +1-1)=2a.由f (a )=f (a +1)得√a =2a ,∴a =14.此时f (1a )=f (4)=2×(4-1)=6.当a ≥1时,a +1>1,∴f (a )=2(a -1),f (a +1)=2(a +1-1)=2a.由f (a )=f (a +1)得2(a -1)=2a ,无解.综上,f (1a)=6,故选C .解法二:∵当0<x <1时,f (x )=√x ,为增函数,当x ≥1时,f (x )=2(x -1),为增函数,又f (a )=f (a +1),∴√a =2(a +1-1),∴a =14.∴f (1a )=f (4)=6.6.(2020浙江镇海中学分校检测,6)已知函数f (x )=√a ·4x +a ·2x +3a -6的定义域是R ,则实数a 的取值范围是 ( ) A.[2,+∞) B.[2411,+∞) C.(0,2411] D.(-∞,2411] 答案 A 令t =2x(t >0),则at 2+at +3a -6≥0对t >0恒成立,所以a ≥6t 2+t+3,又6t 2+t+3<63=2,所以a ≥2.故选A .7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R 的奇函数f (x )在(-∞,0)单调递减,且f (2)=0,则满足xf (x -1)≥0的x 的取值范围是( )A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案 D ∵f (x )是定义在R 上的奇函数,∴f (x -1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f (x )在(-∞,0)上单调递减,∴f (x -1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f (x -1)的大致图象如图: 当-1≤x ≤0时,f (x -1)≤0,∴xf (x -1)≥0;当1≤x ≤3时,f (x -1)≥0,∴xf (x -1)≥0.综上,满足xf (x -1)≥0的x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.8.(2020山东百师联盟测试五,11)常数a ≠0,下列有关方程x 3+x 2-x -a =0的根的说法正确的是 ( )A.可以有三个负根B.可以有两个负根和一个正根C.可以有两个正根和一个负根D.可以有三个正根答案 BC 方程x 3+x 2-x -a =0可化为x 3+x 2-x =a.令函数f (x )=x 3+x 2-x ,则f'(x )=3x 2+2x -1=(3x -1)(x +1).当x <-1或x >13时,f'(x )>0,当-1<x <13时,f'(x )<0,故f (x )在(-∞,-1),(13,+∞)上为单调增函数,在(-1,13)上为单调减函数,且f (-1)>0,f (13)<0,作出f (x )的图象如图,从而方程x 3+x 2-x -a =0可以有两个正根和一个负根,也可以有两个负根和一个正根,但不会有三个负根,也不会有三个正根.故选BC .9.(多选题)(2020山东枣庄、滕州期末)如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ,从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h ,步行的速度为5km/h ,时间t (单位:h )表示他从小岛到城镇的时间,x (单位:km )表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设u =√x 2+4+x ,v =√x 2+4-x ,则 ( )A.函数v =f (u )为减函数B.15t -u -4v =32C.当x =1.5时,此人从小岛到城镇花费的时间最少D.当x =4时,此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 答案 AC A .∵u =√x 2+4+x ,v =√x 2+4-x ,∴√x 2+4=u+v 2,x =u -v 2,uv =4,易知v =4u在(0,+∞)上是减函数,A 正确.B.t =√x 2+43+12-x 5=u+v 6+125-u -v10,整理得15t =u +4v +36,B 错误; C.由A 、B 得15t =u +16u+36≥2√u ·16u +36=44,当且仅当u =16u ,即u =4时取等号,由√x 2+4+x =4,解得x =32=1.5,C 正确;D.x =4时,t =2√53+85,t -3=2√53-75=10√5-2115=√500-√44115>0,t >3,D 错误.故选AC. 10.(2020山东夏季高考模拟,12)函数f (x )的定义域为R ,且f (x +1)与f (x +2)都为奇函数,则 ( ) A.f (x )为奇函数 B.f (x )为周期函数 C.f (x +3)为奇函数 D.f (x +4)为偶函数答案 ABC 本题主要考查函数的奇偶性,周期性,考查逻辑推理的核心素养.∵f (x +1)为奇函数,∴f (-x +1)=-f (x +1), ∴f (-x )=-f (x +2),又∵f (x +2)为奇函数,∴f (-x +2)=-f (x +2), ∴f (-x )=-f (x +4),∴-f (x +2)=-f (x +4), ∴f (x +2)=f (x +4),即f (x +2)=f (x ),∴f (x )是周期为2的奇函数,∴f (x +4)是奇函数. 由于f (x )的周期为2,且f (x +1)是奇函数, ∴f (x +3)=f (x +1)是奇函数,故A ,B ,C 均正确.11.(多选题)(2020海南调研测试,12)已知函数f (x )=x +sin x -x cos x 的定义域为[-2π,2π),则 ( ) A.f (x )为奇函数 B.f (x )在[0,π)上单调递增C.f (x )恰有4个极大值点D.f (x )有且仅有4个极值点答案 BD 因为f (x )的定义域为[-2π,2π),所以f (x )是非奇非偶函数.f'(x )=1+cos x -(cos x -x sin x )=1+x sin x ,当x ∈[0,π)时,f'(x )>0,则f (x )在[0,π)上单调递增,显然f'(0)≠0,令f'(x )=0,得sin x =-1x,分别作出y =sin x ,y =-1x在区间[-2π,2π)上的图象,由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,2π)上共有4个公共点,且两图象在这些公共点上都不相切,故f (x )在区间[-2π,2π)上的极值点的个数为4,且f (x )只有2个极大值点,故选BD .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.12.(2020浙江“七彩阳光”联盟4月模考,11)集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |1<x <4},则A ∩B = ;A ∩(∁R B )=.答案 (1,2];[-1,1]解析本题考查集合的基本运算.A =[-1,2],B =(1,4),所以A ∩B =(1,2],∁R B =(-∞,1]∪[4,+∞),所以A ∩(∁R B )=[-1,1].13.(2020天津,14,5分)已知a >0,b >0,且ab =1,则12a +12b +8a+b的最小值为 .答案 4 解析 12a +12b +8a+b =a+b 2ab +8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2×8a+b =4,当且仅当a+b 2=8a+b,即(a +b )2=16,也即a +b =4时取等号.又∵ab =1,∴{a =2+√3,b =2-√3或{a =2-√3,b =2+√3时取等号,∴12a +12b +8a+b的最小值为4.14.(2020浙江嘉兴二模,16)已知函数f (x )={lnx ,x >0,(12)x -2,x ≤0,若f (f (a ))≤0,则实数a 的取值范围为 . 答案 [-log 23,0]∪[1e,e]解析本题考查分段函数和不等式的求解,属于基础题.令f (x )≤0,即{lnx ≤0,x >0或{(12)x-2≤0,x ≤0,解得0<x ≤1或-1≤x ≤0,所以f (f (a ))≤0等价于0<f (a )≤1或-1≤f (a )≤0,所以{0<lna ≤1,a >0或{0<(12)a-2≤1,a ≤0或{-1≤lna ≤0,a >0 或{-1≤(12)a-2≤0,a ≤0,解得-log 23≤a ≤0或1e≤a ≤e .15.(2018江苏,11,5分)若函数f (x )=2x 3-ax 2+1(a ∈R )在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f (x )在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 . 答案 -3解析本题考查利用导数研究函数的极值和最值. ∵f (x )=2x 3-ax 2+1,∴f'(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ).若a ≤0,则x >0时,f'(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)上为增函数,又f (0)=1,∴f (x )在(0,+∞)上没有零点,∴a >0.当0<x <a 3时,f'(x )<0,f (x )为减函数;当x >a 3时,f'(x )>0,f (x )为增函数,∴x >0时,f (x )有极小值,为f (a 3)=-a 327+1. ∵f (x )在(0,+∞)内有且只有一个零点, ∴f (a 3)=0,∴a =3.∴f (x )=2x 3-3x 2+1,则f'(x )=6x (x -1).x -1(-1,0) 0(0,1) 1f'(x )+-f (x )-4增1减∴f (x )在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4. ∴最大值与最小值的和为-3.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(10分)(2019安徽黄山模拟,18)已知函数f (x )=log 2(12x +a). (1)若函数f (x )是R 上的奇函数,求a 的值;(2)若函数f (x )的定义域是一切实数,求a 的取值范围;(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a 的取值范围. 解析 (1)因为函数f (x )是R 上的奇函数, 所以f (0)=0,求得a =0.(2分)当a =0时,f (x )=-x 是R 上的奇函数. 所以a =0为所求.(4分)(2)因为函数f (x )的定义域是一切实数,所以12x +a >0恒成立.即a >-12x 恒成立,由于-12x ∈(-∞,0), (6分) 故只要a ≥0即可.(7分)(3)由已知得函数f (x )是减函数,故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)=log 2(1+a ),最小值是f (1)=log 2(12+a).(8分)由题设得log 2(1+a )-log 2(12+a)≥2⇒{a +12>0,a +1≥4a +2.(11分)故-12<a ≤-13.(12分)17.(12分)已知函数f (x )=(x -√2x -1)·e -x(x ≥12). (1)求f (x )的导函数;(2)求f (x )在区间[12,+∞)上的取值范围.解析本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力. (1)因为(x -√2x -1)'=1-1√2x -1,(e -x )'=-e -x,所以f'(x )=(11√2x -1)e -x -(x -√2x -1)e -x=√2x -1-2)e -x √2x -1>12).(2)由f'(x )=√2x -1-2)e -x√2x -1=0,解得x =1或x =52. 因为x 12 (12,1) 1 (1,52) 52(52,+∞)f'(x )- 0 + 0- f (x )12e -12 ↘↗12e -52 ↘又f (x )=12(√2x -1-1)2e -x≥0,所以f (x )在区间[12,+∞)上的取值范围是[0,12e -12].18.(12分)(2019山西晋中模拟,18)已知f (x )=ax 2-2x +1-a ,a ∈R .(1)求f (x )在[0,2]上的最小值g (a );(2)若关于x 的方程f (2x )=(a +1)·4x -a ·(2x +1)-2x +1+3有正实数根,求实数a 的取值范围. 解析 (1)当a =0时,f (x )=-2x +1在[0,2]上单调递减,故最小值g (a )=f (2)=-3. 当a ≠0时,f (x )=ax 2-2x +1-a 是关于x 的二次函数,其图象的对称轴为x =1a.①当a <0时,x =1a<0,此时f (x )在[0,2]上单调递减, 故最小值g (a )=f (2)=3a -3; ②当a >0时,x =1a>0,当1a ∈(0,2),即a >12时,f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,2)上单调递增,故最小值g (a )=f (1a )=1-a -1a; 当1a∈[2,+∞),即0<a ≤12时,f (x )在[0,2]上单调递减, 故最小值g (a )=f (2)=3a -3.综上所述,g (a )={3a -3,a ≤12,1-1a-a ,a >12.(2)f (2x )=(a +1)4x-a (2x+1)-2x +1+3即a ·4x-2x +1+1-a =(a +1)4x-a (2x+1)-2x +1+3,化简得4x-a ·2x+2=0, 令t =2x (t >0),则方程变形为t 2-at +2=0, 根据题意得,原方程4x -a ·2x+2=0有正实数根,即关于t 的一元二次方程t 2-at +2=0有大于1的实数根, 而方程t 2-at +2=0⇔2t+t =a 在(1,+∞)上有实根,令F (t )=2t+t ,t ∈(1,+∞),则F (t )在(1,+∞)上的值域为[2√2,+∞),故a ∈[2√2,+∞). 19.(12分)已知函数f (x )=2x 3-ax 2+2.(1)讨论f (x )的单调性;(2)当0<a <3时,记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ,最小值为m ,求M -m 的取值范围.解析本题考查导数及其应用的基础知识,考查导数与函数单调性之间的关系以及利用导数求函数最值的方法,考查学生的运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想的应用. (1)f'(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ). 令f'(x )=0,得x =0或x =a 3.若a >0,则当x ∈(-∞,0)∪(a 3,+∞)时,f'(x )>0; 当x ∈(0,a 3)时,f'(x )<0.故f (x )在(-∞,0),(a 3,+∞)单调递增,在(0,a 3)单调递减; 若a =0,f (x )在(-∞,+∞)单调递增;若a <0,则当x ∈(-∞,a 3)∪(0,+∞)时,f'(x )>0; 当x ∈(a 3,0)时,f'(x )<0.故f (x )在(-∞,a 3),(0,+∞)单调递增,在(a 3,0)单调递减.(2)当0<a <3时,由(1)知,f (x )在(0,a 3)单调递减,在(a 3,1)单调递增,所以f (x )在[0,1]的最小值为f (a 3)=-a 327+2,最大值为f (0)=2或f (1)=4-a. 于是m =-a 327+2,M ={4-a ,0<a <2,2,2≤a <3.所以M -m ={2-a +a 327,0<a <2,a327,2≤a <3.当0<a <2时,可知2-a +a 327单调递减,所以M -m 的取值范围是(827,2). 当2≤a <3时,a 327单调递增,所以M -m 的取值范围是[827,1). 综上,M -m 的取值范围是[827,2). 20.(12分)(2019苏州期中,18)已知f (x )=e x-a ex 是奇函数. (1)求实数a 的值;(2)求函数y =e 2x+e -2x-2λf (x )在x ∈[0,+∞)上的值域; (3)令g (x )=f (x )-2x ,求不等式g (x 3+1)+g (1-3x 2)<0的解集. 解析 (1)函数的定义域为R ,因为f (x )为奇函数, 所以f (0)=0,所以1-a =0,所以a =1. (3分)当a =1时,f (-x )=e -x-1e -x =-e x +1ex =-f (x ), 此时f (x )为奇函数. (4分) (2)令e x-1ex =t (t ≥0),所以e 2x+1e 2x=t 2+2, 所以h (t )=t 2-2λt +2,对称轴为直线t =λ. (5分)①当λ≤0时,h (t )∈[h (0),+∞),所求值域为[2,+∞); (7分)②当λ>0时,h (t )∈[h (λ),+∞),所求值域为[2-λ2,+∞). (9分)(3)g (x )的定义域为R .因为f (x )=e x -1e x 为奇函数,所以g (-x )=f (-x )-2(-x )=-f (x )+2x =-g (x ),所以g (x )=f (x )-2x 为奇函数,所以g (x 3+1)+g (1-3x 2)<0等价于g (x 3+1)<g (3x 2-1). (10分)又g'(x )=f'(x )-2=e x +1e x -2≥2-2=0,当且仅当x =0时,等号成立,所以g (x )=f (x )-2x 在R 上单调递增,所以x 3+1<3x 2-1,即x 3-3x 2+2<0, (13分)即(x -1)(x 2-2x -2)<0,所以x <1-√3或1<x <1+√3. (14分)所以不等式的解集是(-∞,1-√3)∪(1,1+√3). (15分)21.(12分)(2020北京房山一模,20)已知函数f (x )=2x 3-ax 2+2. (1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)讨论函数f (x )的单调性;(3)若a >0,设函数g (x )=|f (x )|,g (x )在[-1,1]上的最大值不小于3,求a 的取值范围.解析本题考查导数的几何意义、导数的应用、导数与函数的单调性,考查学生解决问题的能力,渗透逻辑推理、数学运算的核心素养.(1)f'(x )=6x 2-2ax ,由f'(0)=0,f (0)=2,得曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =2.(2)函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ),令f'(x )=0,解得x 1=0,x 2=a 3,若a =0,则f'(x )=6x 2≥0,f (x )在R 上单调递增;若a >0,当x <0时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当0<x <a 3时,f'(x )<0,f (x )单调递减,当x >a 3时,f'(x )>0,f (x )单调递增; 若a <0,当x <a 3时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当a 3<x <0时,f'(x )<0,f (x )单调递减,当x >0时,f'(x )>0,f (x )单调递增.(3)若a >0,函数f (x )的单调递减区间为(0,a 3),单调递增区间为(-∞,0),(a 3,+∞).当a 3≥1,即a ≥3时,f (x )在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,则g (x )max =max {|f (-1)|,|f (0)|,|f (1)|}=max {a ,2,|4-a |}≥3,则a ≥3;当0<a 3<1,即0<a <3时,f (x )在[-1,0]和[a 3,1]上单调递增,在[0,a 3]上单调递减,∴f (x )在x =a 3处取得极小值,极小值为f (a 3)=2-a 327>0,则g (x )max =max {|f (-1)|,|f (0)|,|f (1)|}=max {a ,2,4-a },若g (x )max ≥3,则4-a ≥3,解得a ≤1,又0<a <3,∴0<a ≤1.综上,a 的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).。

高三第一轮复习解析代数练习题含答案

高三第一轮复习解析代数练习题含答案1. 集合论1.1 区间表示集合：[a,b] = {x | a<=x<=b}(a,b) = {x | a<x<b}1.2 集合之间的关系[a,b]与(c,d)是无交集的两个区间所有的区间集合之交都是区间空集（相当于任何两个区间里的数都不相同，区间的交集里没有任何元素）所有的区间集合之并都是区间[a,b]（任何一个数都在区间内部或者边界上，也就是所有的元素都在[a,b]范围内）任意两个区间的交集都是一个区间1.3 集合之间的基本运算包含：含于交集：A∩B并集：A∪B2. 二次函数2.1 二次函数的标准式y=a(x-h)^2+ka: 抛物线开口方向(h,k): 抛物线的顶点坐标2.2 正定形式或标准形式：y=a(x-p)(x-q)p,q是两个零点2.3 导数及图像3. 不等式3.1 符号的推导规则加减符号相反，乘除符号不变3.2 不等式的性质若a>0，a×正数是正数若a>0，分子增加或减少，分式增加或减少3.3 常用不等式若a>b，那么 a^n>b^n，其中n是正整数4. 立体几何4.1 空间几何基本概念点、直线、平面、角度、距离4.2 空间向量向量加、减、数量积和向量积4.3 空间几何相关定理比如：平面内两直线垂直，那么这两条直线的斜率之积为-1答案如下：1. {1.1 [0, 2]}表示包含0和2[0,2] = {x | 0<=x<=2}{1.2 False} [0,1]∩(1,2) = ∅{1.3 果皮果肉问题：含于的包含问题} 包含:a<b 其中a属于集合范围，同理b含于。

2. {2.1 y=-2(x-1)^2+3}抛物线开口向下，顶点坐标为(1,3){2.2 y=(x-1)(x-2)}零点为1，2{2.3 二次函数的极值}函数y=a(x-h)^2+k,(h,k)为顶点，导数y'=2a(x-h), 当x=h时，导数为0；因此，当x=h时，y取极值。

备考2024年新高考数学一轮复习专题1-1 集合含详解

专题1.1集合题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题题型二集合与集合之间的关系题型三集合间的基本运算题型四集合间的交并补混合运算题型五Venn 图题型六集合的含参运算题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题例1．（2022秋·湖南永州·高三校考阶段练习）若{}2122a a a ∈-+，，则实数a 的值为______.例2．（2022·上海·高一统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________练习1．（2022秋·贵州·高三统考期中）若{}{},,101a a a =，则=a __________.练习2．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则集合B 中的元素个数为________．练习3．（2022秋·北京海淀·高三校考期中）设集合{},A x y =，{}20,B x=，若A B =，则2x y +=______.练习4．（2021秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合2{,1,}A a b =，2{,,0}B a b =，若{1}A B ⋂=，则=a __________．练习5．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成,,1ba a⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20222022a b +=_____．题型二集合与集合之间的关系例3．（2023·河南开封·统考三模）已知集合{}1,0,1A =-，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的真子集个数是（）A ．3B ．4C ．7D ．8例4．（2021秋·高三课时练习）下列各式：①{}10,1,2⊆，②{}{}10,1,2∈，③{}{}0,1,20,1,2⊆，④{}0,1,2∅⊆，⑤{}{}2,1,00,1,2=，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4练习6．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知集合{}|15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<.(1)求R Að(2)求A B ⋂的子集个数练习7．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合{A =第一象限的角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，给出下列四个命题；①A B C ==；②A C ⊆；③C A ⊆；④A C B ⊆=.其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个练习8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合(){}22,|4A x y x y =+=，(){}|,0B x y x y =+=，则A ∩B 的子集个数（）A ．1B ．2C ．3D ．4练习9．（2022秋·高三课时练习）设集合{|M x x A =∈，且}x B ∉，若{1,3,5,6,7}A =，{2,3,5}B =，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15练习10．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A ．空集没有子集B ．{}{}21,2|320x x x ⊆-+=C ．{}{}2|,R |,Ry y x x y y x x =∈⊆=∈D ．非空集合都有真子集题型三集合间的基本运算例5．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若集合{}10,lg 01x A x B x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣，则A B = （）A ．[)1,1-B ．(]0,1C ．[)0,1D ．()0,1例6．（2023·山东菏泽·统考二模）已知全集{}|0U x x =≥，集合(){}|20A x x x =-≤，则U A =ð（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．(,0][2,)-∞⋃+∞练习11．（2023·全国·模拟预测）已知集合{}215A x x =∈-<N ，{}320B x x =-≥，则A B = （）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}2,3练习12．（江西省赣抚吉十一校联盟体2023届高三下学期4月联考数学（理）试卷）已知集合{2},{73}M x N x x =<=-<<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{3}xx <∣B ．{03}xx ≤<∣C ．{73}xx -<<∣D ．{74}xx -<<∣练习13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合{}12A x x =-<，[]{}2,0,2xB y y x ==∈，则（）A ．()1,3AB ⋂=B ．[)1,4A B =C ．(]1,4A B =-D ．(]1,3A B ⋃=-练习14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{}2|20A x x x =+-<，则U A =ð（）A ．(2,1]-B ．(3,2][1,3)--⋃C ．[2,1)-D ．(3,1)(1,3)-- 练习15．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知集合(){}lg 2M x y x ==-，{}e 1x N y y ==+，则M N ⋃=（）A ．(),-∞+∞B ．()1,+∞C ．[)1,2D ．()2,+∞题型四集合间的交并补混合运算例7．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试卷）已知集合{}|12M x x =-≥，{}1,0,1,2,3N -＝，则()RM N ⋂=ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,3例8．（山东省淄博市部分学校2023届高一下学期4月阶段性诊断考试数学试卷）已知集合{}21,{ln 1}x A x B x x =>=>∣∣，则下列集合为空集的是（）A ．()R A B ðB ．()A BR ðC ．A B⋂D ．()()A B R RI痧练习16．（天津市部分区2023届高三二模数学试卷）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4A B ==，则()UB A ⋂=ð（）A ．{}3B ．{}2,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,3练习17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B = ð，则集合B =（）A ．{}0,2,4,6B ．{}2,4,6C ．{}0,2,4D ．{}2,4练习18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{}2320M xx x =-+=∣，{}2Z 650N x x x =∈-+<∣，则集合()U M N ð中的子集个数为（）A ．1B ．2C ．16D ．无数个练习19．（2023·福建·统考模拟预测）已知全集*2{N ,80}I x x x =∈|<，{1,3,4,7}A =，{4,5,6,7}B =，则()I A B ⋃=ð（）A ．{2,5,6}B ．{1,2,3,8}C ．{2,8}D ．{1,3,4,5,6,7}练习20．（2023·广东·统考模拟预测）集合{}2xA y y ==，(){}2log 32B x y x ==-，则()R B A ⋂=ð（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦题型五Venn 图例9．（2023·山东潍坊·统考二模）已知集合{}|10M x x =+≥，{}|21xN x =<，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{}|10x x -≤<的是（）A ．B ．C ．D ．例10．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）已知全集U ，集合A 和集合B 都是U 的非空子集，且满足A B B ⋃=，则下列集合中表示空集的是（）A ．()U A B⋂ðB ．A B⋂C ．()()U UA B ⋂痧D ．()U A B ∩ð练习21．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）集合{}{}0,1,2,4,8,0,1,2,3A B ==，将集合,A B 分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A ．B ．C ．D ．练习22．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集U =R ，集合{}02A x x =∈<≤Z ，{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}2,0-B ．{}2,3-C ．{}2,0,2-D ．{}2,0,3-练习23．（2022秋·高三单元测试）（多选）如图，U 为全集，M P S ､､是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()U P S M ⎡⎤⋂⋂⎣⎦ðB ．()M P SC ．()U M P S⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð练习24．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习是（）A ．70％B ．56％C ．40％D ．30％练习25．（2023春·湖南·高三校联考期中）设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2题型六集合的含参运算例11．（广东省汕头市2023届高三二模数学试卷）已知集合{}21,3,A a =，{1,2}B a =+，且A B A ⋃=，则a 的取值集合为（）A ．{}1-B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}-例12．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）若集合{}2|60A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且BA ，求实数m 的值.练习26．（2022秋·山东菏泽·高三校联考期中）已知集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >．(1)若1a =-，求A B ⋃R ð；(2)若A B ⋂=∅，求a 的取值范围．练习27．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合{2A x x =<∣或{}4},1x B x a x a ≥=≤≤+∣，若()A B =∅R ð，则a 的取值范围是（）A ．1a ≤或4a >B ．1a <或4a ≥C ．1a <D ．4a >练习28．（2023·全国·模拟预测）设集合{(1)(3)0}A xx x =+-≤∣，{}5B x a x a =-<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,4B ．（3,4）C ．(,4]-∞D ．[3,)+∞练习29．（2023·全国·高三专题练习）设全集U =R ，{}|325M x a x a =<<+，{}|21P x x =-≤≤．(1)若0a =，求()UM P ⋂ð．(2)若U M P ⊆ð，求实数a 的取值范围．练习30．（2023·全国·高三专题练习）已知{}23A x x =-≤≤，{}23B x a x a =-<<，全集U =R (1)若2a =，求()U A B ∩ð；(2)若A B ⊇，求实数a 的取值范围.专题1.1集合题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题题型二集合与集合之间的关系题型三集合间的基本运算题型四集合间的交并补混合运算题型五Venn 图题型六集合的含参运算题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题例1．（2022秋·湖南永州·高三校考阶段练习）若{}2122a a a ∈-+，，则实数a 的值为______.【答案】2【分析】分1a =，222a a a =-+分别求解，再根据元素的互异性即可得答案.【详解】解：当1a =时，则2221a a -+=不满足元素的互异性，故1a ≠；所以222a a a -+=，解得:1a =(舍)或2a =，故实数a 的值为2.故答案为：2.例2．（2022·上海·高一统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________【答案】7【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n ，o ，t ，e ，b ，k ，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；故答案为：7.练习1．（2022秋·贵州·高三统考期中）若{}{},,101a a a =，则=a __________.【答案】101-.【分析】由集合相等和元素互异性，进行求解.【详解】由题意得101,101,a a ≠⎧⎨=⎩所以101a =-.故答案为：-101.练习2．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则集合B 中的元素个数为________．【答案】14【分析】根据元素特征，采用列举法表示出集合B ，由此可得元素个数.【详解】由题意得：()()()()()()()()()(){()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,B =()()()}4,1,5,1,6,1，B ∴中元素个数为14.故答案为：14.练习3．（2022秋·北京海淀·高三校考期中）设集合{},A x y =，{}20,B x =，若A B =，则2x y +=______.【答案】2【分析】根据集合相等可得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.【详解】由集合元素的互异性可知20x ≠，则0x ≠，因为A B =，则200x x y x ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，因此，22x y +=.故答案为：2.练习4．（2021秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合2{,1,}A a b =，2{,,0}B a b =，若{1}A B ⋂=，则=a __________．【答案】1-【分析】根据集合相等及集合中元素的互异性求解即可.【详解】由集合2{,1,}A a b =，2{,,0}B a b =，若{1}A B ⋂=，则集合B 中21a =或1b =，若21a =，则1a =-或1(a =舍去)，此时1b ≠±且0b ≠；若1b =，则集合A 中21b =，不符合集合中元素的互异性，不成立，综上， 1.a =-故答案为：1-练习5．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成,,1ba a⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20222022a b +=_____．【答案】1【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.【详解】因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，显然0a ≠，故0ba=，则0b =；此时两集合分别是{}{}2,1,0,,,0a a a ，则21a =，解得1a =或1-.当1a =时，不满足互异性，故舍去；当1a =-时，满足题意.所以2022202220222022(1)01a b +=-+=故答案为：1.题型二集合与集合之间的关系例3．（2023·河南开封·统考三模）已知集合{}1,0,1A =-，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的真子集个数是（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【分析】根据题意得到集合B ，然后根据集合B 中元素的个数求集合B 的真子集个数即可.【详解】由题意得{}1,0,1B =-，所以集合B 的真子集个数为3217-=.故选：C.例4．（2021秋·高三课时练习）下列各式：①{}10,1,2⊆，②{}{}10,1,2∈，③{}{}0,1,20,1,2⊆，④{}0,1,2∅⊆，⑤{}{}2,1,00,1,2=，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．【详解】由元素与集合的关系可知{}10,1,2∈，故①错误；由集合与集合的关系可知{}{}10,1,2⊆，故②错误；任何集合都是自身的子集，故③正确；空集是任何非空集合的子集，故④正确；集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；综上可得，只有①②错误．故选B ．练习6．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知集合{}|15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<.(1)求R Að(2)求A B ⋂的子集个数【答案】(1){R 5A x x =≥ð或}1x ≤-(2)8【分析】（1）根据补集的定义即可得解；（2）根据交集的定义求出A B ⋂，再根据子集的定义即可得解.【详解】（1）因为{}|15A x x =-<<，所以{R 5A x x =≥ð或}1x ≤-；（2）{}{}Z 182,3,4,5,6,7B x x =∈<<=，所以{}2,3,4A B = ，所以A B ⋂的子集个数有328=个.练习7．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合{A =第一象限的角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，给出下列四个命题；①A B C ==；②A C ⊆；③C A ⊆；④A C B ⊆=.其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】根据任意角的定义和集合的基本关系求解.【详解】A ={第一象限角}，只需要终边落在第一象限的都是属于第一象限角．B ={锐角}，是指大于0 而小于90 的角．C ={小于90 的角}，小于90 的角包括锐角，零角和负角．根据集合的含义和基本运算判断：①A B C ==，①错误；②A C ⊆，比如，361A ∈ ，但361C ∉ ，②错误；③C A ⊆，比如0C ∈ ，但0A ∉ ，③错误；④A C B ⊆=，④错误；∴正确命题个数为0个．故选：A ．练习8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合(){}22,|4A x y x y =+=，(){}|,0B x y x y =+=，则A ∩B 的子集个数（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据集合A 与集合B 中方程的几何意义，利用直线过圆心判断直线与圆的位置关系，确定交集中元素的个数，进而求解.【详解】集合(){}22,|4A x y x y =+=表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，集合(){}|,0B x y x y =+=表示直线0x y +=上的所有点，因为直线0x y +=经过圆心(0,0)，所以直线与圆相交，所以A B ⋂的元素个数有2个，则A B ⋂的子集个数为4个，故选：D .练习9．（2022秋·高三课时练习）设集合{|M x x A =∈，且}x B ∉，若{1,3,5,6,7}A =，{2,3,5}B =，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A =∈∣且}{1,6,7}x B ∉=，其非空真子集的个数为3226-=.故选：B练习10．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A ．空集没有子集B ．{}{}21,2|320x x x ⊆-+=C ．{}{}2|,R |,Ry y x x y y x x =∈⊆=∈D ．非空集合都有真子集【答案】BD【分析】根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，可判断出选项AD 的正误；选项B ，通过解方程，可求出集合{}2|320x x x -+=中的元素，从而判断出选项B 正确；选项C ，通过求出两集合的元素满足的条件，从而判断出集合{}|,R y y x x =∈与{}2|,R y y x x =∈间的关系，从而判断出选项C 错误.【详解】对于选项A ，因为空集是任何集合的子集，所以空集也是它自身的子集，所以选项A 错误；对于选项B ，由2320x x -+=，得到1x =或2x =，所以{}{}2|3201,2x x x -+==，所以选项B 正确；对于选项C ，因为{}|,R R y y x x =∈=，{}{}2|,R |0y y x x y y =∈=≥，所以{}{}2|,R |,R y y x x y y x x =∈⊆=∈，所以选项C 错误；对于选项D ，因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D 正确.故选：BD题型三集合间的基本运算例5．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若集合{}10,lg 01x A xB x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣，则A B = （）A ．[)1,1-B ．(]0,1C ．[)0,1D ．()0,1【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】解：由题意得{11},{01}A xx B x x =-≤<=<≤∣∣，()0,1A B ∴= ，故选：D.例6．（2023·山东菏泽·统考二模）已知全集{}|0U x x =≥，集合(){}|20A x x x =-≤，则U A =ð（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．(,0][2,)-∞⋃+∞【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再利用补集的定义求解作答.【详解】集合(){}|20[0,2]A x x x =-≤=，而全集[0,)U =+∞，所以(2,)U A =+∞ð.故选：A练习11．（2023·全国·模拟预测）已知集合{}215A x x =∈-<N ，{}320B x x =-≥，则A B = （）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}2,3【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】由条件可知，{}{}30,1,2A x x =∈<=N ，{}23203B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，所以{1,2}A B = ．故选：C.练习12．（江西省赣抚吉十一校联盟体2023届高三下学期4月联考数学（理）试卷）已知集合{2},{73}M x x N x x =<=-<<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{3}xx <∣B ．{03}xx ≤<∣C ．{73}xx -<<∣D ．{74}xx -<<∣【答案】B【分析】根据集合交集运算可得.【详解】因为{2}{04},{73}M x x x x N x x =<=≤<=-<<∣∣∣所以{|03}M N x x ⋂=≤<.故选：B练习13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合{}12A x x =-<，[]{}2,0,2xB y y x ==∈，则（）A ．()1,3AB ⋂=B ．[)1,4A B =C ．(]1,4A B =-D ．(]1,3A B ⋃=-【答案】C【分析】先解绝对值不等式得出集合，再根据交集并集概念计算求解即可.【详解】因为{}{}1213A x x x x =-<=-<<，[]{}{}2,0,214xB y y x y y ==∈=≤≤，所以[)1,3A B ⋂=，(]1,4A B =- .故选：C.练习14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{}2|20A x x x =+-<，则U A =ð（）A ．(2,1]-B ．(3,2][1,3)--⋃C ．[2,1)-D ．(3,1)(1,3)-- 【答案】B【分析】计算{}21A x x =-<<，再计算补集得到答案.【详解】{}{}2|2021A x x x x x =+-<=-<<，则(3,2][1,3)U A =--⋃ð.故选：B练习15．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知集合(){}lg 2M x y x ==-，{}e 1x N y y ==+，则M N ⋃=（）A ．(),-∞+∞B ．()1,+∞C ．[)1,2D ．()2,+∞【答案】B【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.【详解】集合(){}{}{}lg 2202M x y x x x x x ==-=-=，即(2,)M =+∞，e 11x +>，则(1,)N =+∞，所以()1,M N =+∞U .故选：B题型四集合间的交并补混合运算例7．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试卷）已知集合{}|12M x x =-≥，{}1,0,1,2,3N -＝，则()RM N ⋂=ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,3【答案】A【分析】解出集合{|1M x x =≤-或}3x ≥，再根据补集和交集的含义即可得到答案.【详解】12x -≥，解得3x ≥或1x ≤-，则{|1M x x =≤-或}3x ≥，则()R 1,3M =-ð，故(){}R 0,1,2M N ⋂=ð，故选：A.例8．（山东省淄博市部分学校2023届高一下学期4月阶段性诊断考试数学试卷）已知集合{}21,{ln 1}x A x B x x =>=>∣∣，则下列集合为空集的是（）A ．()R AB ðB ．()A BR ðC ．A B⋂D ．()()A B R RI痧【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合,A B ，然后利用集合的运算逐项进行判断即可求解.【详解】集合{|21}{|0}x A x x x ==>>，集合{|ln 1}{|e}B x x x x =>=>，所以R {|0}A x x =≤ð，R {|e}B x x =≤ð，对于A ，()R {|0e}A B x x =<≤ ð，故选项A 不满足题意；对于B ，()A B =∅R I ð，故选项B 满足题意；对于C ，={|e}A B x x > ，故选项C 不满足题意；对于D ，()(){|0}A B x x =≤R R 痧，故选项D 不满足题意，故选：B .练习16．（天津市部分区2023届高三二模数学试卷）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4A B ==，则()UB A ⋂=ð（）A ．{}3B ．{}2,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,3【答案】B【分析】由集合的运算求解.【详解】(){}{}{}2,4,62,42,3,4U A B ⋂==⋂ð.故选：B练习17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B = ð，则集合B =（）A ．{}0,2,4,6B ．{}2,4,6C ．{}0,2,4D ．{}2,4【答案】A【分析】由{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤可知集合U 中的元素，再由(){}1,3,5,7U A B = ð即可求得集合B .【详解】由(){}1,3,5,7U A B = ð知，{}{}1,3,5,71,3,5,,7U B A ⊆⊆ð又因为{}{}7017N 2356|04U A B x x =⋃=∈≤≤=，，，，，，，，所以B ={}0,2,4,6.故选：A.练习18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{}2320M xx x =-+=∣，{}2Z 650N x x x =∈-+<∣，则集合()U M N ð中的子集个数为（）A ．1B ．2C ．16D ．无数个【答案】B【分析】首先求集合,M N ，再求集合的运算.【详解】先求{}1,2M =，{Z 1}5}2,4|,{3N x x =∈<<=，所以{}1,2,3,4M N =U ，则(){}5U M N = ð，所以子集的个数为122=.故选：B练习19．（2023·福建·统考模拟预测）已知全集*2{N ,80}I x x x =∈|<，{1,3,4,7}A =，{4,5,6,7}B =，则()I A B ⋃=ð（）A ．{2,5,6}B ．{1,2,3,8}C ．{2,8}D ．{1,3,4,5,6,7}【答案】C【分析】利用集合的交并补运算即可求解.【详解】{1,2,3,4,5,6,7,8}I =，{1,3,4,5,6,7}A B = ，故(){}2,8I A B ⋃=ð．故选：C ．练习20．（2023·广东·统考模拟预测）集合{}2x A y y ==，(){}2log 32B x y x ==-，则()R B A ⋂=ð（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合()B A R ð.【详解】因为{}{}20xA y y y y ===>，(){}{}22log 323203B x y x x x x x ⎧⎫==-=->=>⎨⎬⎩⎭，则23B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，因此，()R 20,3B A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð.故选：C.题型五Venn 图例9．（2023·山东潍坊·统考二模）已知集合{}|10M x x =+≥，{}|21xN x =<，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{}|10x x -≤<的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】化简集合M ，N ，根据集合的运算判断{}|10x x -≤<为两集合交集即可得解.【详解】{}|10[1,)M x x =+≥=-+∞ ，{}|21(,0)xN x =<=-∞，{}|10M N x x ∴-=≤< ,由Venn 图知，A 符合要求.故选：A例10．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）已知全集U ，集合A 和集合B 都是U 的非空子集，且满足A B B ⋃=，则下列集合中表示空集的是（）A ．()U AB ⋂ðB ．A B⋂C ．()()U UA B ⋂痧D ．()U A B ∩ð【答案】D【分析】利用Venn 图表示集合,,U A B ，结合图像即可找出表示空集的选项.【详解】由Venn 图表示集合,,U A B 如下：，由图可得()U BA B A = 痧，A B A = ，()()U U UA B B ⋂=痧，()U A B =∅ ð，故选：D练习21．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）集合{}{}0,1,2,4,8,0,1,2,3A B ==，将集合,A B 分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用图象求得正确答案.【详解】{}0,1,2A B = ，所以:A 选项，阴影部分表示{}0,1,2，不符合题意.B 选项，阴影部分表示{}4,8，符合题意.C 选项，阴影部分表示{}3，不符合题意.D 选项，阴影部分表示{}3,4,8，不符合题意.故选：B练习22．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集U =R ，集合{}02A x x =∈<≤Z ，{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}2,0-B ．{}2,3-C ．{}2,0,2-D ．{}2,0,3-【答案】D【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】全集为U ，集合{}2,1,1,2A =--，{}1,0,1,2,3B =-，{}{}1,1,2,2,1,0,1,2,3A B A B ⋂=-⋃=--,图中阴影部分表示是A B ⋃去掉A B ⋂的部分，故表示的集合是{}2,0,3-．故选：D ．练习23．（2022秋·高三单元测试）（多选）如图，U 为全集，M P S ､､是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()U P S M⎡⎤⋂⋂⎣⎦ðB ．()M P SC ．()U M P S⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð【答案】AC 【分析】分析出阴影部分为M P 和U S ð的子集，从而选出正确答案.【详解】图中阴影部分是M P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集，即U S ð的子集，满足要求的为()()U U P S M M P S ⎡⎤=⎣⎦ 痧，均表示阴影部分,BD 不合要求.故选：AC练习24．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习是（）A ．70％B ．56％C ．40％D ．30％【答案】C【分析】根据公式()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂列方程求解即可.【详解】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％，这两组的比练习数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比练习，设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习为x ，则对物理或历史感兴趣的同学的比练习是56％＋74％－x ，所以56％＋74％－x ＝90％，解得40x =％，故选：C.练习25．（2023春·湖南·高三校联考期中）设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2【答案】B 【分析】先求得集合{}2,1,0A =--，结合题意及集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}1Z 32,1,02A x x ⎧⎫=∈-<<=--⎨⎬⎩⎭，根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素，即为{}1,2.故选：B.题型六集合的含参运算例11．（广东省汕头市2023届高三二模数学试卷）已知集合{}21,3,A a =，{1,2}B a =+，且A B A ⋃=，则a 的取值集合为（）A ．{}1-B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}-【答案】B 【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.【详解】由题意可得：23a +=或22a a +=若23a +=，此时211a a =⇒=，集合A 的元素有重复，不符合题意；若22a a +=，解得2a =或1a =-，显然2a =时符合题意，而211a a =-⇒=同上，集合A 的元素有重复，不符合题意；故2a =.故选：B例12．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）若集合{}2|60A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且B A ，求实数m 的值.【答案】13m =或12m =-或0m =【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】{}{}2|603,2A x x x =+-==-，当0m =时，B =∅A ，当0m ≠时，1{|10}B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭，因为B A ，所以13m -=-或12m-=，所以13m =或12-，综上所述，13m =或12m =-或0m =.练习26．（2022秋·山东菏泽·高三校联考期中）已知集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >．(1)若1a =-，求A B ⋃R ð；(2)若A B ⋂=∅，求a 的取值范围．【答案】(1){}25A C B x x ⋃=-≤≤R (2)1232x a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭或【分析】(1)根据题意，先求出集合A 的补集，再利用集合的并集运算求解即可；(2)根据集合的包含关系分A =∅和A ≠∅两种情况进行讨论即可求解.【详解】（1）若1a =-，则集合{}22A x x =-≤≤，所以{}15B x x =-≤≤R ð，所以{}25A C B x x ⋃=-≤≤R ；（2）因为集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >，因为A B ⋂=∅，所以分以下两种情况：若A =∅，即23a a >+，解得3a >，满足题意，若A ≠∅，则213523a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩解得122a -≤≤，综上所述a 的取值范围为1232x a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭或练习27．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合{2A x x =<∣或{}4},1x B x a x a ≥=≤≤+∣，若()A B =∅R ð，则a 的取值范围是（）A ．1a ≤或4a >B ．1a <或4a ≥C ．1a <D ．4a >【答案】B【分析】先求出A R ð，根据()A B =∅R ð，可求得结果.【详解】由集合{2A x x =<∣或4}x ≥，得{24}A x x =≤<R ∣ð，又集合{}1B x a x a =≤≤+∣且()A B =∅R ð，则1a +<2或4a ≥，即1a <或4a ≥.故选：B.练习28．（2023·全国·模拟预测）设集合{(1)(3)0}A xx x =+-≤∣，{}5B x a x a =-<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,4B ．（3,4）C ．(,4]-∞D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】根据集合的包含关系列出关于a 的不等式组即可.【详解】由已知可得，集合{}13A xx =-≤≤∣，{}5B x a x a =-<<，因为A B ⊆，所以351a a >⎧⎨-<-⎩，（注意端点值是否能取到），解得34a <<，故选：B ．练习29．（2023·全国·高三专题练习）设全集U =R ，{}|325M x a x a =<<+，{}|21P x x =-≤≤．(1)若0a =，求()UM P ⋂ð．(2)若U M P ⊆ð，求实数a 的取值范围．【答案】(1)(){}|20U M P x x =-≤≤ ð；(2)71,,23∞⎛⎤⎡⎫--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解.（2）求出U P ð，U M P ⊆ð，分=∅≠∅，M M ，两种情况讨论，根据集合的运算求解即可.【详解】（1）当0a =时，{}|05=<<M x x ，{}|21P x x =-≤≤，所以{0U M x x =≤ð或5}x ³，(){}|20U M P x x ⋂=-≤≤ð；（2）全集U =R ，{}|21P x x =-≤≤，{2U P x x ∴=<-ð或1}x >，⊆ U M P ð，∴分=∅≠∅，M M ，两种情况讨论.（1）当M 蛊时，如图可得，325252a a a <+⎧⎨+≤-⎩或32531a a a <+⎧⎨≥⎩，72a ∴≤-或153a ≤<；（2）当M =∅时，应有：325a a ≥+，解得5a ≥；综上可知，72a ∴≤-或13a ≥，故得实数a 的取值范围71,23∞⎛⎤⎡⎫--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.练习30．（2023·全国·高三专题练习）已知{}23A x x =-≤≤，{}23B x a x a =-<<，全集U =R(1)若2a =，求()U A B ∩ð；(2)若A B ⊇，求实数a 的取值范围.【答案】(1)(){}20U A B x x ⋂=-≤≤ð(2)(][],10,1-∞-⋃【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可；（2）分B =∅与B ≠∅由条件列不等式求范围即可.【详解】（1）当2a =时，{}06B x x =<<，所以{0U B x x =≤ð或}6x ≥，又{}23A x x =-≤≤，所以(){}20U A B x x ⋂=-≤≤ð.（2）由题可得：当B =∅时，有23a a -≥，解得a 的取值范围为(],1-∞-；当B ≠∅时有232233a a a a -<⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，解得a 的取值范围为[]0,1，综上所述a 的取值范围为(][],10,1-∞-⋃.。

高中数学一轮复习(含答案)1.1 集合

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B .(2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A .(4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .考点一集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98. 3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为_____________ 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6.答案：（5，6］考点二集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( )A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．[解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C. (2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞) 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] (1)∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．(2)依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． [答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )A ．3B ．2C ．2或3D ．3或1[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.(2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A. [答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100B.⎝⎛⎭⎫12，2C.⎣⎡⎭⎫12，100 D ．∅解析：选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100. 3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. [课时跟踪检测]1．(2019·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1 D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <212，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 答案：{－1,0}解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________．解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素．法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．。

高三数学一轮复习测试“集合与函数”专题测试题及参考答案

2011届高三数学一轮复习测试：集合与函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(文)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(∁U B )等于( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x <－1}D ．{x |－1≤x ≤3}2．若集合M ＝{0,1,2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x 、y ∈M }，则N 中元素的个数为( )A ．9B ．6C ．4D ．23．函数f (x )＝lg 的定义域为( )1－x 2A ．[0,1] B ．(－1,1)C ．[－1,1] D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(文)函数f ：{1,2,3}→{1,2,3}满足f (f (x ))＝f (x )，则这样的函数个数共有( )A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个5．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为12( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,36．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝( )A.B. C.D ．2122227．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝1f (x )( )A ．－5 B ．－ C.D ．51515[答案]　B8．(文)定义运算a b ＝Error!，则函数f (x )＝1　2x 的图象是( )9．(文)函数f (x )＝1＋log 2x 和g (x )＝21＋x 在同一直角坐标系下的图象大致是( )10．(文)函数f (x )＝Error!(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[，1)13C ．(0，] D ．(0，]132311．(文)已知f (x )＝Error!，则f (8)等于( )A ．4B ．0 C. D ．21412．(08·陕西)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－3)等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．设g (x )＝Error!则g (g ())＝________.1214．函数y ＝的定义域为________．log0.5(4x 2－3x )15．用一根为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应分别为________．16．(08·辽宁)设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ()的所x ＋3x ＋4有x 之和为________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(a ∈R 且x ≠a )的定义域为[a －1，a －]时，求x ＋1－a a －x 12f (x )的值域．18．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (其中a ≠0)，且f ′(－2)＝0.13(1)若f (x )在x ＝2处取得极小值－2，求f (x )的单调区间；(2)令F (x )＝f ′(x )，若F ′(x )>0的解集是A ，且A ∪(0,1)＝(－∞，1)，求的最大值．ac 19．(本小题满分12分)某商场根据以往销售统计资料，预计2009年从1月起前x 个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p (x )件与月份x 的近似关系是p (x )＝x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，12且x ≤12)，该商品的进价q (x )元与月份x 的近似关系是q (x )＝150＋2x (x ∈N *，且x ≤12)．(1)写出今年第x 月的需求量f (x )件与月份x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？20．(本小题满分12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)已知集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}，Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)在区域Error!内随机任取一点(a ，b )．求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．21．(本小题满分12分)(08·广东)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)．购地总费用建筑总面积22．(本小题满分14分)(文)已知函数f (x )＝log a (a >0，且a ≠1)的图象关于原点对称．1－mxx －1(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并利用定义证明．参考答案1.[答案]　D[解析]　∵A ＝{x |－2≤x ≤3}　∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，∴A ∩∁U B ＝{x |－1≤x ≤3}．2．[解析]　由题意得①当x ＝y 时，有Error!，即－1≤x ≤1，又x ∈M ，则有序实数对(x ，y )有两对；②当x ≠y 时，若x ＝0，则有Error!，即－≤y ≤，又y ∈M ，则有序实数对(x ，y )不存在；若1212x ＝1，则有Error!，即0≤y ≤1，又y ∈M ，∴y ＝0，则有序实数对(x ，y )有一对；若x ＝2，则有Error!，即≤y ≤，又y ∈M ，∴y ＝1，则有序实数对(x ，y )有一对．综上所述，集合N 中元素的1232个数为4.3．[答案]　B[解析]　由1－x 2>0得－1<x <1.4．(文)函数f ：{1,2,3}→{1,2,3}满足f (f (x ))＝f (x )，则这样的函数个数共有( )A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个[答案]　D[解析]　①当f (x )＝k (k ＝1,2,3)时满足，这样的函数有3个；②当f (x )＝x 时满足，这样的函数有1个；③f (1)＝1，f (2)＝f (3)＝2；f (1)＝1，f (2)＝f (3)＝3有2个，同样，f (2)＝2和f (3)＝3，也各有2个．故满足题设要求的共有10个函数．如图5．[答案]　A[解析]　在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x ，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域为R ，且12是奇函数，故α＝1,3.6．[答案]　D[解析]　(1)a >1时，Error!⇒a ＝2，(2)0<a <1时，Error!，无解，综上所述a ＝2，故选D.7．[答案]　B[解析]　显然由f (x ＋2)＝⇒f (x ＋4)＝f (x )，说明函数的周期为4，f (f (5))＝f (f (1))＝f (－5)1f (x )＝f (－1)＝f (3)＝f (1＋2)＝＝－.1f (1)158．[答案]　A[解析]　当x <0时，2x <1，f (x )＝2x ；当x >0时，2x >1，f (x )＝1.答案为A.9．[答案]　D[解析]　∵f (x )的图象过点(1,1)，∴g (x )的图象过点(－1,1)．10．[答案]　B[解析]　f (x )在R 上单调递减，∴Error!∴≤a <1.311．[答案]　C[解析]　f (8)＝f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝f (－2)＝2－2＝，选C.1412．[答案]　C[解析]　∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy ，对任意x 、y ∈R 成立，∴x ＝y ＝0时，有f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0，又f (1)＝2，∴y ＝1时，有f (x ＋1)－f (x )＝f (1)＋2x ＝2x ＋2，∴f (0)－f (－1)＝0，f (－1)－f (－2)＝－2，f (－2)－f (－3)＝－4，三式相加得：f (0)－f (－3)＝－6，∴f (－3)＝6.13．[答案]　12[解析]　>0，则g ＝ln <012(12)12∴g (g ())＝g (ln )＝eln ＝.1212121214．[答案]　[－，0)∪(，1]1434[解析]　由题意得：log 0.5(4x 2－3x )≥0，则由对数函数的性质得：0<4x 2－3x ≤1，即Error!∴－≤x <0或<x ≤1，1434∴函数的定义域为：[－，0)∪(，1]．143415．[答案]　3m,1.5m[解析]　题意即求窗户面积最大时的长与宽，设长为x m ，则宽为(3－x )m ，12∴S ＝x (3－x )＝－x 2＋3x (0<x <6)，解得当x ＝3时，S max ＝.121292∴长为3m ，宽为1.5m.16．[答案]　－8[解析]　根据题设条件，令f (x )＝x 2，则f (x )＝f ()化为x 2＝()2，∴＝±x ，x ＋3x ＋4x ＋3x ＋4x ＋3x ＋4∴x 2＋3x －3＝0　①，或x 2＋5x ＋3＝0　②，方程①的两根之和为－3，方程②的两根之和为－5.∴满足f (x )＝f ()的所有x 之和为－8.x ＋3x ＋417．[解析]　f (x )＝＝－1＋，－(a －x )＋1a －x1a －x 当a －1≤x ≤a －时，－a ＋≤－x ≤－a ＋1，1212∴≤a －x ≤1，∴1≤≤2，121a －x∴0≤－1＋≤1.a －x 即f (x )的值域为[0,1]．18．[解析]　(1)∵f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∴Error!解得b ＝0，a ＝，c ＝－.3832∴f ′(x )＝x 2－≥0，得x ≥2或x ≤－2.3832同理f ′(x )＝x 2－≤0，3832得－2≤x ≤2.即函数f (x )的单调减区间是[－2,2]，增区间是(－∞，－2]和[2，＋∞)．(2)∵f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ＝F (x )，F (－2)＝4a －4b ＋c ＝0，∴4b ＝4a ＋c .F ′(x )＝2ax ＋2b ＝2ax ＋>0，∴2ax >－.4a ＋c 24a ＋c2当a >0时，F ′(x )>0的解集是，显然不满足A ∪(0,1)＝(－∞，1)，(－4a ＋c 4a ，＋∞)当a <0时，F ′(x )>0的解集是，(－∞，－4a ＋c4a )若满足A ∪(0,1)＝(－∞，1)，则0<－≤1，4a ＋c4a 解得－<≤－.14a c 18∴的最大值为－.a c 1819．[解析]　(1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37；当2≤x ≤12时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝x (x ＋1)(39－2x )－(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且2≤x ≤12)．1212验证x ＝1符合f (x )＝－3x 2＋40x ，∴f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *且1≤x ≤12)．(2)该商场预计销售该商品的月利润为g (x )＝(－3x 2＋40x )(185－150－2x )＝6x 3－185x 2＋1400x (x ∈N *,1≤x ≤12)，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5，x ＝(舍去)．1409当1≤x <5时，g ′(x )>0，当5<x ≤12时，g ′(x )<0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3125(元)．综上可知，5月份的月利润最大是3125元．20．[解析]　(1)∵a ∈P ，∴a ≠0.∴函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝，2ba 要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且≤1，即2b ≤a .2ba 若a ＝1，则b ＝－2，－1；若a ＝2，则b ＝－2，－1,1；若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2；若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2.所求事件包含基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16.∴所求事件的概率为＝.163649(2)由条件知a >0，∴同(1)可知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域Error!，为△OAB ，所求事件构成区域为如图阴影部分．由Error!得交点D ，(163，83)∴所求事件的概率为P ＝＝.12×8×8312×8×81321．[解析]　设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋＝560＋48x ＋(x ≥10，x ∈N *)，2160×100002000x10800xf ′(x )＝48－，10800x 2令f ′(x )＝0得x ＝15.当x >15时，f ′(x )>0；当0<x <15时，f ′(x )<0，因此当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2000.答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．22．[解析]　(1)m ＝－1.(2)f (x )＝log a ，x ＋1x －1当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．证明：设1<x 1<x 2，则－＝>0，x 1＋1x 1－1x 2＋1x 2－12(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)∴>>0.x 1＋1x 1－1x 2＋1x 2－1当a >1时，log a >log a ，即f (x 1)>f (x 2)，x 1＋1x 1－1x 2＋1x 2－1∴f (x )在(1，＋∞)上单调递减．当0<a <1时，log a <log a ，x 1＋1x 1－1x 2＋1x 2－1即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．。

2024年高考数学一轮复习第1章第1讲：集合(附答案解析)

第1页共23页2024年高考数学一轮复习第1章第1讲：集合学生版考试要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn
图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法集合
非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N *(或N ＋)Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．
(2)真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )．
(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B .
(4)
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算表示
运算
集合语言图形语言记法并集{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B。