重庆中考数学最新几何证明题专题

合集下载

【精选】重庆市中考数学题型复习题型七几何图形的相关证明及计算类型六等腰三角形中的辅助线课件

三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
题型七几何图形的相关证明及计算
类型六等腰三角形中的辅助线
典例精讲
例 6 已知，Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点D是直线AC上的动点，过点D作DE⊥BC交直线BC于点F，连接EC，且 EC＝ED，DC＝2AB.将线段DE绕点E旋转90°得到线段GE，连接BG. (1)如图①，当点D在线段AC上时，证明：四边形BCEG为菱形；
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举一反三，事半功倍。

重庆中考24题几何证明专题训练

重庆中考24题几何证明专题训练1、如图，△ABC 中，∠ABC=45°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，BM 交CD 于点E ，且点E 为CD 的中点，连接MD ，过点D 作ND ⊥MD 于点D ，DN 交BM 于点N ． 1）若BC= ，求△BDE 的周长； 2）求证：NE －ME=CM ．2、如图,正方形ABCD 的边长为6, 点E 在边AB 上，连接ED ,过点D 作FD ⊥DE 与BC 的延长线相交于点F , 连接EF 与边CD 相交于点G 、与对角线BD 相交于点H ． (1)若BD ＝BF ，求BE 的长；(2)若∠2＝2∠1,求证：HF ＝HE ＋HD ．3、如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E.在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC.（1）求证：BE=CF ；（2）在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME.求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN.4、在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，过点C 作CF⊥AE 的延长线于点F ，连接DF ，过点D 作DG⊥DF 交AE 于点G ．（1）求证：△AGD≌△CFD ；（2）若E 为CD 的中点，求证：CF+EF=GE ．5、如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 中点，点F 是AD 上一点，且DE ＝CF ，ED 、FC 交于点G ，连接BG ，BH 平分∠GBC 交FC 于H ，连接DH 。

（1）若DE ＝10，求线段AB 的长；（2）求证：DE －HG ＝EG 。

6．如图，矩形ABCD 中，点E 是∠ABC 的平分线上一点，且AE ⊥CE 于点E ，连接ED ，BE 与边AD 边相交于点F 。

（1）求证：EF=ED ；（2）若AB=3，BC=5，求四边形BCDE 的面积。

重庆中考复习重庆中考几何题分类汇编含答案

重庆中考几何题分类汇编含答案类型1线段的倍分：要证线段倍与半;延长缩短去实验例1如图Z3－1;在△ABC中;AB＝AC;CM平分∠ACB交AB于M;在AC的延长线上截取CN ＝BM;连接MN交BC于P;在CB的延长线截取BQ＝CP;连接MQ.1求证：MQ＝NP；2求证：CN＝2CP.针对训练：1．如图Z3－2;在ABCD中;AC⊥BC;点E、点FAC＝AE＝CF;连接CE、AF、EF.1若∠ABC＝35°;求∠EAF的度数；2若CE⊥EF;求证：CE＝2EF.2．已知;在△ABC中;AB＝AC;∠BAC＝90°;E为边AC点;连接BE.1如图①;若∠ABE＝15°;O为BE中点;连接AO;且AO的长；2如图②;F也为AC上一点;且满足AE＝CF;过A作AD⊥连接DF交BE于点G;连接AG.若AG平分∠CAD;求证：AH＝AC.3．在△ACB中;AB＝AC;∠BAC＝90°;点D是AC上一点;连接BD;过点A作AE⊥BD于E;交BC于F.1如图①;若AB＝4;CD＝1;求AE的长；2如图②;点G是AE上一点;连接CG;若BE＝AE＋AG;求证：CG＝AE.4．在等腰直角三角形ABC中;∠BAC＝90°;AB＝AC;D是斜边BC的中点;连接AD.1如图①;E是AC的中点;连接DE;将△CDE沿CD翻折到△CDE′;连接AE′;当AD＝时;求AE′的值．2如图②;在AC上取一点E;使得CE＝AC;连接DE;将△CDE沿CD翻折到△CDE′;连接AE′交BC于点F;求证：DF＝CF.类型2线段的和差：要证线段和与差;截长补短去实验例2如图;在△ABC中;∠BAC＝90°;BA;连接AD;在AD左侧作∠EAD＝451若AC＝3;则CE＝________2如图①;M、N分别为AB和AC且AM＝AN;连接EM、DN;若∠AME＋∠AND＝180°;求证：DE＝DN＋ME；3如图②;过E作EF⊥AE;交ADEC上选取一点H;使得EH＝BE;连接FH;在AC上选取一点G;使得AG＝AB;连接BG、FG;求证：FH＝FG.针对训练：1．如图Z3－7;在ABCD中;AE⊥BC于E;AE＝G;延长GE、DC交于点F;连接AF.1若BE＝2EC;AB＝;求AD的长；2求证：EG＝BG＋FC.2．如图;在正方形ABCD中;点P为AD延长线上一点;连接AC、CP;过点C作CF⊥CP 于点C;交AB于点F;过点B作BM⊥CF于点N;交AC于点M.1若AP＝AC;BC＝4;求S△ACP；2若CP－BM＝2FN;求证：BC＝MC.3．如图;在△ABC中;AB＝BC;以AB为一边向形ABDE;连接DC;EB并延长EB交AC于F;且AE 于G.1若∠EBG＝20°;求∠AFE；2试问线段AE;AF;CF之间的数量关系并证明．类型3倍长中线：三角形中有中线;延长中线等中线例3如图Z3－10①;在Rt△ABC中;∠ABC＝90°;D为斜边AC上两点;且AD＝AB;CE＝CB;连接BD、1求∠EBD的度数；2如图Z3－10②;过点D作FD⊥BD于点D;交BEF;在AB上选取一点H;使得BH＝BC;连接CH;在一点G;使得GD＝CD;连接FH、FG;求证：FH＝FG.针对训练：1．如图;已知在ABCD中;G为BC的中点;点E在AD边上;且∠1＝∠2.1求证：E是AD中点；2若F为CD延长线上一点;连接BF;且满足∠3＝∠2;求证：CD＝BF＋DF.2．如图Z3－12;在菱形ABCD中;点E、F分别是BC、CD上的点;连接AE;AF;DE、EF;∠DAE＝∠BAF.1求证：CE＝CF；2若∠ABC＝120°;点G是线段AF的中点;连接DG;EG.求证：DG⊥GE.3．在Rt△ABC中;∠ACB＝90°;点D与点B在;∠ADC＞∠BAC;且DA＝DC;过点B作BE∥DA交于点E;M为AB的中点;连接MD;ME.1如图①;当∠ADC＝90°时;线段MD与ME________；2如图②;当∠ADC＝60°时;试探究线段MD数量关系;并证明你的结论；3如图③;当∠ADC＝α时;求的值．4．如图①;等边三角形ABC中;CE平分∠ACB;D为BC边上一点;且DE＝CD;连接BE.1若CE＝4;BC＝6;求线段BE的长；2如图②;取BE中点P;连接AP;PD;AD;求证：AP⊥PD且AP＝PD；3如图③;把图Z3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度;然后连接BE;点P为BE中点;连接AP;PD;AD;问第2问中的结论还成立吗若成立;请证明；若不成立;请说明理由．5．在△ABC中;以AB为斜边;作直角三角形ABD;使点D落在△ABC内;∠ADB＝90°.1如图①;若AB＝AC;∠BAD＝30°;AD＝6;点P、M分别为BC、AB边的中点;连接PM;求线段PM的长；2如图②;若AB＝AC;把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度;得到△ACE;连接ED并延长交BC于点P;求证：BP＝CP；3如图③;若AD＝BD;过点D的直线交AC于点E;交BC于点F;EF⊥AC;且AE＝EC;请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系不需要证明．类型4中位线：三角形中两中点;连接则成中位线例42017·河南如图①;在Rt△ABC中;∠A＝90°;AB＝AC;点D;E分别在边AB;AC上;AD＝AE;连接DC;点M;P;N分别为DE;DC;BC的中点．1观察猜想：图①中;线段PM与PN的数量关系是__________;位置关系是__________；2探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置;连接MN;BD;CE;判断△PMN 的形状;并说明理由；3拓展延伸：把△ADE绕点A＝10;请直接写出△PMN面积的最大值．针对训练：1．如图①;在任意的三角形ABC以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD;AB＝AE;AC＝AD;且∠BAE＋∠CAD＝180°;连接DE;延长CA交DE于F.1求证：∠CAB＝∠AED＋∠ADE；2若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°;如图②;求证：BC＝2AF；3若在△ABC中;如图③所示;作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD;AB与DE交于点F;F为DE的中点;请问2中的结论还成立吗若成立;请给出证明;若不成立;请说明理由．2．如图;在△ABC和△ADE中;AB＝AC;AD＝AE;∠BAC＋∠EAD＝180°;△ABC不动;△ADE绕点A旋转;连接BE、CD;F为BE的中点;连接AF.1如图①;当∠BAE＝90°时;求证：CD＝2AF；2当∠BAE≠90°时;1的结论是否成立请结合图②说明理由．3．如图①;在等腰三角形ABC中;AB＝AC;在底边BC上取一点D;在边AC上取一点E;使AE＝AD;连接DE;在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC;交AD于点F.1求证：△ABF是等腰三角形；2如图②;BF的延长交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG;延长AC至点M;使GM＝AB;连接BM;点N是BG的中点;连接AN;试判断线段AN、BM之间的数量关系;并证明你的结论．类型5角的和差倍分图中有角平分线;关系现．角平分线平行线;;三线合一试试看．例5．如图;把△EFP放置在菱形ABCD中;顶点E;F;P分别在线段AB;AD;AC上;EP＝FP＝6;EF＝6;∠BAD＝60°;且＞6.1求∠EPF的大小；2若AP＝10;求AE＋AF的值．针对训练：1．已知：如图①;AD平分∠BAC;∠B＋∠C＝180°°;易知：DB＝DC.探究：如图②;AD平分∠BAC;∠ABD＋∠ACD;∠ABD＜90°;求证：DB＝DC.2．在△ACB中;AB＝AC;∠BAC＝90°;点D;连接BD;过点A作AE⊥BD于E;交BC于F.1如图①;若AB＝4;CD＝1;求AE的长；2如图②;点P是AC上一点;连接FP;若AP＝CD;求证：∠ADB＝∠CPF.3．已知;在ABCD中;∠BAD＝45°;AB＝BD;E为BC上一点;连接AE交BD于F;过点D 作DG⊥AE于G;延长DG交BC于H.1如图①;若点E与点C重合;且AF＝;求AD的长；2如图②;连接FH;求证：∠AFB＝∠HFB.4．如图;将正方形纸片ABCD沿EF折叠点E、F分别在边AB、CD上;使点B落在AD边上的点M处;点C落在点N处;MN与CD交于点P;连接EP.当点M在边AD上移动时;连接BM、BP.1求证：BM是∠AMP的平分线；2△PDM的周长是否发生变化证明你的结论．类型6旋转型全等问题：图中若有边相等;可用旋转做例6．△ABC中;∠BAC＝90°;AB＝AC;点D为直线点点D不与B;C重合;以AD为边在AD右侧作正方形ADEF;连接CF.1观察猜想：如图①;当点D在线段BC上时;①BC与CF关系为：________．②BC;CD;CF之间的数量关系为：___________；将结写在横线上2数学思考：如图Z3－25②;当点D在线段CB的延长线上时;结论①;②是否仍然成立若成立;请给予证明；若不成立;请你写出正确结论再给予证明．3拓展延伸：如图Z3－25③;当点D在线段BC的延长线上时;延长BA交CF于点G;连接GE.若已知AB＝2;CD＝BC;请求出GE的长．针对训练：1．在四边形ABCD中;∠B＋∠180°;对角线AC平分∠BAD.1如图①;若∠DAB＝120°;且∠B＝90°;试探究边AD、AB与对角线AC2如图②;若将1中的条件“∠B＝去掉;1中的结论是否成立请说明理由．3如图③;若∠DAB＝90°;探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．2．如图①;在正方形ABCD中;点E为边BC上一点;将△ABE沿AE翻折得△AHE;延长EH交边CD于F;连接AF.1求证：∠EAF＝45°；2延长AB;AD;如图②;射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N;连接MN;若以BM、DN、MN为三边围成三角形;试猜想三角形的形状;并证明你的结论．3．如图①;在正方形ABCD内有一点P;PA＝;PB＝;PC＝1;求∠BPC的度数．分析问题根据已知条件比较分散的特点;我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起;于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°;得到了△BP′A如图Z3－28②;然后连接PP′.1请你通过计算求出图Z3－28②中∠BPC的度数；2如图③;若在正六边形ABCDEF内有一点P;且PA＝2;PB＝4;PC＝2.请求出∠BPC的度数．重庆中考几何题分类汇编答案例1.证明：1∵AB＝AC;∴∠ABC＝∠ACB.∵∠MBQ＋∠ABC＝180°;∠ACB＋∠PCN＝180°;∴∠MBQ＝∠PCN.在△QBM和△PCN中;∴△QBM≌△PCNSAS．∴MQ＝NP.2过M作MG∥AC交BC于G;∵MG∥AC;∴∠MGB＝∠ACB;∠MGC＝∠PCN;∵由1知;∠ABC＝∠ACB;∴∠ABC＝∠MGB;∴MB＝MG;∵MB＝CN;∴MG＝CN.在△MGP和△NCP中;∴△MGP≌△NCPAAS．∴PG＝CP;∴CG＝CP＋PG;即CG＝2CP.∵CM平分∠ACB;∴∠BCM＝∠MCA;∵MG∥AC;∴∠MCA＝∠GMC;∴∠BCM＝∠GMC;∴MG＝CG;∵MG＝CN;∴CN＝CG;∴CN＝2CP.针对训练1.解：1∵AC⊥BC;∴∠ACB＝90°;又∵AC＝CF;∴∠45°;∵∠ABC＝35°;∴∠EAF＝10°；2证明：方法1：取CF的中点M;连接EM、AM;∵CE⊥EF;∴EM＝CM＝FM＝CF;又∵AC＝AE;∴AM为EC的中垂线;∴∠CAM＋°; 又∵∠ECF＋∠ACE＝90°;∴∠CAM＝∠FCE;又∵∠CEF＝∠ACM＝90°;∴△ACM∽△CEF;∴＝;又∵CF＝AC＝2CM;∴＝＝;即CE＝2EF；方法2：延长FE至M;使EF＝EM;连接CM;∵CE⊥EF;∴△CMF为等腰三角形;又∵AC＝AE＝CF;且∠ACE＝∠CFE易证;∴△CMF≌△CEA;∴FM＝CE＝2EF.2.解：1如图①;在AB上取一点M;使得BM＝ME;连在Rt△ABE中;∵OB＝OE;∴BE＝2OA＝2;∵MB＝ME;∴∠MBE＝∠MEB＝15°;∴∠AME＝∠MBE＋∠MEB＝30°;设AE＝x;则ME＝BM＝2x;AM＝x;∵AB2＋AE2＝BE2;∴2x＋x2＋x2＝22;∴x＝负根舍弃;∴AB＝AC＝2＋·;∴BC＝AB＝＋1.2证明：如图②;作CP⊥AC;交AD的延长线于P;GM⊥AC 于M.∵BE⊥AP;∴∠AHB＝90°;∴∠ABH＋∠BAH＝90°;∵∠BAH＋∠PAC＝90°;∴∠ABE＝∠PAC;又∵AB＝AC;∠BAE＝∠ACP＝90°;∴△ABE≌△CAP;∴AE＝CP＝CF;∠AEB＝∠P;在△DCF和△DCP中;∴△DCF≌△DCP;∴∠DFC＝∠P;∴∠GFE＝∠GEF;∴GE＝GF;∵GM⊥EF;∴FM＝ME;∵AE＝CF;∴AF＝CE;∴AM＝CM;在△GAH和△GAM中;∴△AGH≌△AGM;∴AH＝AM＝CM＝AC.3.解：1∵AB＝4;∴AC＝AB＝4.∵CD＝1;∴AD＝AC－CD＝3.∵在Rt△ABD中;∠BAC＝90°;∴BD＝＝5;∵S＝AB·AD＝AE·BD;∴AE＝2.4.△ABD2证明：如图;在线段EB上截取EH＝AE;并连接∵AE⊥BD;EH＝AE;∴AH＝AE.∵BE＝AE＋AG;∴BH＝BE－HE＝AG.∵∠BAD＝∠BEA＝90°;∴∠ABE＋∠BAE＝∠CAG＋∠BAE＝90°;∴∠ABE＝∠CAG.∵BA＝AC;∴△ABH≌△CAG;∴CG＝AH＝AE.4.解：1∵∠BAC＝90°;AB＝AC;D是斜边BC的中点;∴∠ADC＝90°;∠ACD＝45°.在Rt△ADC中;AC＝AD÷sin45°＝2.∵E是AC的中点;∴CE＝AC＝.∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′;∴CE′＝CE＝;∠ACE由勾股定理;得AE′＝＝.2证明：如图;过B作AE′的垂线交AD于点G;交AC于点∵∠ABH＋∠BAF＝90°;∠CAF＋∠BAF＝90°;∴∠ABH＝∠CAF.又∵AB＝AC;∠BAH＝∠ACE′＝90°;∴△ABH≌△CAE′.∴AH＝CE′＝CE;∵CE＝AC;∴AH＝HE＝CE.∵D是BC中点;∴DE∥BH;∴G是AD中点．在△ABG和△CAF中：AB＝AC;∠BAD＝∠ACD＝45°;∠ABH＝∠CAF; ∴△ABG≌△CAF.∴AG＝CF.∵AG＝AD;∴CF＝AD＝CD.∴DF＝CF.类型2线段的和差：要证线段和与差;截长补短去实验例2：解：132证明：延长DN到K;使得NK＝ME;连接AK;如图①;因为∠1＋∠3＝180°;∠1＋∠2＝180°;∴∠2＝∠3.在△AME和△ANK中;∴△AME≌△ANK SAS．∴AE＝AK;∠4＝∠5;∴∠4＋∠EAC＝90°;∴∠5＋∠EAC＝90°;即∠EAK＝∵∠EAD＝45°;∴∠KAD＝∠EAK－∠EAD＝90°－45∴∠EAD＝∠KAD.在△EAD和△KAD中;∴△EAD≌△KAD SAS;∴ED＝KD.∵DK＝DN＋KN;∴ED＝DN＋KN;又NK＝ME;∴ED＝DN＋ME.3证明：延长AE到J;使得EJ＝AE;连接JH;JF.如图②;在△ABE和△JHE中;∴△ABE≌△JHESAS;∴JH＝AB;∠1＝∠2;∵AB＝AG;∴JH＝AG;∵AE＝EJ;EF⊥AJ;∴AF＝JF;∴∠JAF＝∠AJF＝45°;即∠2＋∠3＝45°;∵∠BAC＝90°;∴∠1＋∠EAD＋∠4＝90°;∴∠1＋∠4＝90°－∠EAD;＝90°－45°＝45°;∵∠1＝∠2;∴∠3＝∠4;在△JHF和△AGF中;∴△JHF≌△AGFSAS;∴FH＝FG.针对训练：1.解：1∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD＝BC.∵BE＝2EC;设CE＝x;BE＝2x;∴BC＝AD＝AE＝3x.又∵EG⊥AB;∴∠AEB＝90°;∴AB2＝AE2＋BE2;即13＝9x2＋4x2;∴x＝1;∴AD＝3x＝3.2证明：如图;过C作CH⊥AB于H;则四边形CHGF为矩形．∴CF＝HG;∠CHB＝90°;GF＝CH.∵AE⊥BC;EG⊥AB;∴∠AEB＝∠CHB＝90°;∠BCH＋∠B＝90°;∠BAE＋∠B＝90°;∴∠BCH＝∠BAE.又∵AE＝BC;∴△AGE≌△CHB;∴GE＝BH;AG＝GF;∴GE＝BH＝BG＋GH＝BG＋CF.2.解：1∵四边形ABCD是正方形;BC＝4;∴AB＝AD＝CD＝BC＝4;∠ADC＝∠ABC＝90°.∵在Rt△ABC中;AC＝＝4;∴AP＝AC＝;∴S＝AP·CD＝7.△ACP2证明：方法一：如图①;在NC上截取NK＝NF;连接BK.∵四边形ABCD是正方形;∴AB＝BC＝DC;∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∵∠BCD＝90°;CF⊥CP;∴∠1＋∠DCF＝∠2＋∠DCF＝90°;∴∠1＝∠2;∵在△FBC和△PDC中;∴△FBC≌△PDCASA;∴CF＝CP;∵CP－2FN＝BM;∴CF－FK＝BM;即CK＝BM;∵∠FBC＝90°;BM⊥CF;∴∠1＋∠NBC＝∠4＋∠NBC; ∴∠1＝∠4;∵在△ABM和△BCK中;∴△ABM≌△BCKSAS;∴∠7＝∠6.∵BM⊥CF;NK＝NF;∴BF＝BK;∵BF＝BK;BM⊥CF;∴∠4＝∠∴∠4＋∠7＝∠5＋∠6;∵∠8＝∠4＋∠7;∴∠8＝∠MBC;∴BC＝MC.解：方法二：如图②;延长BM交AD于点G;过A作AE⊥BGE先证△AEB≌△BNCAAS;∴AE＝BN;又证△AEG≌△BNFAAS;∴EG＝NF;再证四边形BCPG为平行四边形;∴BG＝CP;∵CP－BM＝2FN;∴BG－BM＝2EG;∴MG＝2EG;∴点E为MG中点;∵AE⊥MG;EM＝EG;∴AM＝AG;∴∠3＝∠4;∵∠2＝∠3;∠1＝∠4;∴∠1＝∠2;∴BC＝MC.3.解：1∵∠EBG＝20°;CB⊥AE;∴∠BEG＝70o;∠CBF＝∠EBG＝20°;∵四边形ABDE是菱形;∴∠ABE＝∠BEG＝70°;∴∠ABG＝50°;∵AB＝BC;∴∠FCB＝25°;∴∠AFE＝∠CBF＋∠FCB＝45°；2AE;AF;CF之间的数量关系是AF2＋CF2＝2AE2;证明如下：连接DF;∵四边形ABDE是菱形;∴AB＝DB;∠DBE＝∠ABE;∴∠DBF＝∠ABF;∵BF＝BF;∴△DBF≌△ABFSAS;∴DF＝AF;∠BDF＝∠BAF;∵∠BCF＝∠BAF;∴∠BCF＝∠BDF; ∵CB⊥AE;AE∥DB;∴DB⊥CB;∵CB＝AB＝BD;∴△DBC是等腰直角三角形;∴DC＝BD＝AE;∵∠DPB＝∠CPF;∴∠CFP＝∠DBP＝90°;∴DF2＋CF2＝DC2; 即有：AF2＋CF2＝2AE2.类型3倍长中线：三角形中有中线;延长中线等中线例3解：1设∠BEC＝α;∠BDA＝β;则∠C＝180°－2α;∠A＝180°－2β.∵在Rt△ABC中;∠ABC＝90°;∴∠A＋∠C＝90°;即180°－2α＋180°－2β＝90°;∴α＋β＝135°;∴∠EBD＝45°.2证明：法一：如图①;延长BD至点B′;使得DB′＝在△GDB′和△CDB中;∴△GDB′≌△CDB.∴GB′＝BC＝BH;∠GB′D∵FD⊥BD;BD＝DB′;∴FB＝FB′.∵∠FB′G＝45°－∠GB′D;∠HBF＝90°－45°－∠CBD＝45°－∠CBD;∴∠FB′G＝∠HBF.在△FHB和△FGB′中;∴△FHB≌△FGB′;∴HF＝GF.法二：如图②;延长FD至点F′;使得DF′＝DF;先证△DGF≌△DCF′;再证△BHF≌△BCF′;∴HF＝GF.针对训练1.证明：1∵四边形ABCD是平行四边形;∴AB＝CD;AD＝BC;∠A＝∠C.又∵∠1＝∠2;∴△ABE≌△CDG ASA;∴AE＝CG.∵G为BC中点;∴CG＝BC;∴AE＝CG＝BC＝AD;∴E是AD中点．2如图;延长BE;CD交于点H.∵四边形ABCD是平行四边形;∴AB綊CD;∴∠A＝∠ADH;∠1＝∠4;又∵∠1＝∠2;∠3＝∠2;∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4;∴FH＝FB.由1;E是AD中点;∴AE＝DE;∴△ABE≌△DHEAAS;∴AB＝DH;∴CD＝AB＝DH＝DF＋FH＝DF＋BF;即CD＝BF＋DF.2.证明：1在菱形ABCD中;AB＝BC＝CD＝AD;∠ADF＝∠ABE; ∵∠DAE＝∠BAF;∴∠DAE－∠EAF＝∠BAF－∠EAF;即∠DAF＝∠BAE.∴△DAF≌△BAE;∴BE＝DF.又∵BC＝CD;∴CE＝CF2如图;延长DG交AB于H;连接EH;∵在菱形ABCD中;AB∥CD;∴∠DFA＝∠GAH.∵G为AF中点;∴AG＝GF.又∵∠DGF＝∠AGH;∴△DGF≌△HGA.∴DG＝又∵AB＝CD;∴BH＝CF.又∵AB∥CD;∠ABC＝120°;∴∠C＝60°.又∵CE＝CF;∴△CEF为等边三角形;∴CF＝EF;∠CFE＝60°;∴EF＝BH;∠DFE＝∠ABC＝120°.又∵BE＝DF;∴△EFD≌△HBE;∴HE＝ED;又∵HG＝DG;∴DG⊥GE.3.解：1MD=ME2MD＝ME.理由如下：如图①;延长EM交DA于点F.∵BE∥DA;∴∠FAM＝∠EBM.又∵AM＝BM;∠AMF＝∠BME;∴△AMF≌△BME;∴AF＝BE;MF＝ME.∵DA＝DC;∠ADC＝60°;∴∠BED＝∠ADC＝60°;∠ACD＝60°.∵∠ACB＝90°;∴∠ECB＝30°;∴∠EBC＝30°;∴CE＝BE;∴AF＝EC;∴DF＝DE;∴DM⊥EF;DM平分∠ADC;∴∠MDE＝30°.在Rt△MDE中;tan∠MDE＝＝.∴MD＝ME.3如图②;延长EM交DA于点F;∵BE∥DA;∴∠FAM＝∠EBM;又∵AM＝BM;∠AMF＝∠BME;∴△AMF≌△BME;∴AF＝BE;MF＝ME.延长BE交AC于点N;∴∠BNC＝∠DAC.∵DA＝DC;∴∠DCA＝∠DAC;∴∠BNC＝∠DCA;∵∠ACB＝90°;∴∠ECB＝∠EBC;∴CE＝BE;∴AF＝CE.∴DF＝DE;∴DM⊥EF;DM平分∠ADC;∵∠ADC＝α;∴∠MDE＝.∴在Rt△MDE中;＝tan∠MDE＝tan.4.解：1如图①;作EH⊥BC于点H.∵△ABC是等边三角形;∴∠ACB＝60°.∵CE平分∠ACB;∴∠ECH＝∠ACB＝30°;∵EC＝4;∠ECH＝30°;∴EH＝2;HC＝2.∵BC＝6;∴BH＝6－2＝4.在Rt△BHE中;BE2＝42＋22＝52;∴BE＝2.2如图②;延长DP至M;使DP＝PM;连接BM、AM.在△PDE和△PMB中;∴△PDE≌△PMB SAS．∴BM＝DE;∠1＝∠2.∴BM∥DE.∴∠MBD＋∠BDE＝180°.∵CE平分∠ACB;DE＝CD;∴∠BDE＝30°＋30°＝60∴∠MBD＝120°.∵△ABC是等边三角形;∴∠ABC＝60°;∴∠3＝60°.∵BM＝DE;DE＝CD;∴BM＝CD.在△ABM和△ACD中;∴△ABM≌△ACD SAS．∴AD＝AM;∠4＝∠5.∵PD＝PM;∴AP⊥PD.∵∠4＝∠5;∠BAD＋∠5＝60°;∴∠4＋∠BAD＝60°;即∠MAD＝60°.∴∠PAD＝∠MAD＝30°.∵在Rt△APD中;tan30°＝;∴AP＝PD.3第2问中的结论成立;理由如下：如图③;延长DP至使DP＝PN;连接BN、AN;取BE、AC交于点O.在△PDE∴△PDE≌△PNBSAS．∴BN＝DE;∠1＝∠2.∵DE＝CD;∴BN＝CD.∵∠AOB＝∠EOC;∴∠1＋∠3＋∠BAO＝∠2＋∠4＋∠DEC＋∠DCE.∵∠BAO＝60°;∠DEC＝∠DCE＝30°;∴∠1＋∠3∴∠3＝∠4.在△ABN和△ACD中;∴△ABN≌△ACDSAS．∴∠5＝∠6;AN＝AD.∵PD＝PN;∴AP⊥PD.∵∠NAC＋∠5＝60°;∴∠NAC＋∠6＝60°;即∠NAD＝60°.∴∠PAD＝∠NAD＝30°; ∵在Rt△APD中;tan∠PAD＝;∴AP＝PD.5.解：1∵∠ADB＝90°;∠BAD＝30°;AD＝6;∴cos∠BAD＝;∴＝;∴AB＝12.又∵AB＝AC;∴AC＝12;∴PM为△ABC的中位线;∴PM＝AC＝6.2证明：方法一：如图①;在截取ED上截取EQ＝PD;∵∠ADB＝90°;∴∠1＋∠2＝90°;又∵AD＝AE;∴∠2＝∠3;又∵∠3＋∠4＝90°;∴∠1＝∠4.在△BDP和△CEQ中;PD＝QE;∠1＝∠4;BD＝CE;∴△BDP≌△CEQ.∴BP＝CQ;∠DBP＝∠QCE;又∵∠5＝∠1＋∠DBP;∠6＝∠4＋∠QCE;∴∠5＝∠6;∴PC＝CQ;∴BP＝CP.方法二：如图②;过点B作EP的垂线交EP的延长线于点M;过C EP的垂线交EP于点N.∵∠ADB＝90°;∴∠1＋∠2＝90°;又∵AD＝AE;∴∠2＝∠3;又∵∠3＋∠4＝90°;∴∠1＝∠4;在△BMD和△CNE中;∠1＝∠4;∠BMD＝∠CNE＝90°;BD＝CE;∴△BMD≌△CNE.∴BM＝CN.在△BMP和△CNP中;∠5＝∠6;∠BMP＝∠CNP;BM＝CN;∴△BMP≌△CNP;∴BP＝CP.方法三：如图③;过点B作BM∥CE交EP略证△BMP≌△CEP;∴BP＝CP.3BF2＋FC2＝2AD2.类型4中位线：三角形中两中点;连接则成中位线例4:解：1PM=PN;PM⊥PN2△PMN为等腰直角三角形;理由如下：由题意知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形;∴AB＝AC;AD＝AE;∠BAC＝∠DAE＝90°;∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC;∴∠BAD＝∠CAE;∴△BAD≌△CAE;∴∠ABD＝∠ACE;BD＝CE.又∵M、P、N分别是DE、CD、BC的中点;∴PM是△CDE的中位线;∴PM∥CE且PM＝CE;∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE.同理;PN∥BD且PN＝BD;∠DBC＝∠PNC;又∵BD＝CE;∠ABD＝∠ACE;∴PM＝PN;∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ECD＋∠DCN＋∠CNP＝∠ACD＋∠ACE＋∠DCN＋∠CBD＝∠ACD＋∠DCN＋∠ABD＋∠CBD＝∠ACB＋∠ABC＝90°;∴PM⊥PN;∴△PMN为等腰直角三角形；3△PMN面积的最大值为.提示：在旋转的过程中;由2中的结论知△PMN为等腰直角三角形;S＝PN2＝BD2;当S△PMN有最大值时;则BD的值最大;由三角形三边关系可推断出当B、A、D三△PMN点共线时;BD的值最大;其最大值为14;此时S△PMN＝PN2＝BD2＝×14×14＝.针对训练：1.解：1证明：延长DA交BE于G点．∵∠BAE＋∠CAD＝180°;即∠EAG＋∠GAB＋∠CAD＝180°;∵∠GAB＋∠BAC＋∠CAD＝180°;∴∠EAG＝∠CAB.∵∠EAG＝∠AED＋∠ADE;∴∠CAB＝∠AED＋∠ADE.2证明：如图①;过E点作DA延长线的垂线;垂足为H.∴∠AHE＝∠ACB＝90°;由1可知;∠EAH＝∠BAC;又∵AE＝AB;∴△AHE≌△ACB;∴EH＝BC;AH＝AC.∵AC＝AD;∴AH＝AD.∵∠EHA＝∠FAD＝90°;∴AF∥EH.∵A为DH中点;∴AF为△DHE中位线;∴EH＝2AF;∴BC＝2AF.3成立．证明如下：如图②;延长DA至M点;使AM＝DA;连接EM;∵∠BAE＋∠CAD＝180°;∠CAD＋∠CAM＝180°;∴∠BAE＝∠CAM;∴∠BAE＋∠CAC＝∠CAM＋∠EAC;即∠BAC＝∠CAM.∵AM＝AD;AD＝AC;∴AM＝AC.又∵AB＝AE;∠BAC＝∠EAM;∴△BAC≌△EAM;∴BC＝EM.∵F、A分别为DE、DM中点;∴AF为△DEM中位线;∴EM＝2AF;∴BC＝2AF.2.解：1证明：∵∠BAC＋∠EAD＝180°;∠BAE＝90°;∴∠DAC＝90°;在△ABE与△ACD中;AE＝AD;∠BAE＝∠CAD＝90°;AB＝AC;∴△ABE≌△ACDSAS;∴CD＝BE;∵在Rt△ABE中;F为BE的中点;∴BE＝2AF;∴CD＝2AF.2成立;证明：如图;延长EA交BC于G;在AG上截取AH＝∵∠BAC＋∠EAD＝180°;∴∠EAB＋∠DAC＝180°;∵∠EAB＋∠BAH＝180°;∴∠DAC＝∠BAH;在△ABH与△ACD中;AH＝AD;∠BAH＝∠CAD;AB＝AC;∴△ABH≌△ACDSAS;∴BH＝DC;∵AD＝AE;AH＝AD;∴AE＝AH;∵EF＝FB;∴BH＝2AF;∴CD＝2AF.3.解：1证明：∵AB＝AC;∴∠ABD＝∠ACD;∵AE＝AD;∴∠ADE＝∠AED;∵∠BAD＋∠ABD＝∠ADE＋∠EDC;∠EDC＋∠ACD∴∠BAD＝2∠EDC;∵∠ABF＝2∠EDC;∴∠BAD＝∠ABF;∴△ABF是等腰三角形；2方法一：如图①;延长CA至点H;使AG＝AH;连接BH;∵点N是BG的中点;∴AN＝BH;∵∠BAD＝∠ABF;∠DAC＝∠CBG;∴∠CAB＝∠CBA;∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝AC;∠BAC＝∠BCA＝∵GM＝AB;AB＝AC;∴CM＝AG;∴AH＝CM;在△BAH和△BCM中;∴△BAH≌△BCMSAS;∴BH＝BM;∴AN＝BM;方法二：如图②;延长AN至K;使NK＝AN;连接KB;同方法一;先证△ABC是等边三角形;再证△ANG≌△KNB SAS;所以BK＝AG＝CM;然后可以证得∠ABK＝∠BCN＝120°;最后证△ABK≌△BCN SAS;所以BM＝AK＝2AN.类型5角的和差倍分例5：解：1如图;过点P作PG⊥EF于G.∵PE＝PF＝6;EF＝6;∴FG＝EG＝3;∠FPG＝∠EPG＝∠EPF.在Rt△FPG中;sin∠FPG＝＝＝.∴∠FPG＝60°;∴∠EPF＝2∠FPG＝120°.2如图;作PM⊥AB于M;PN⊥AD于N.∵AC为菱形ABCD的对角线;∴∠DAC＝∠BAC;AM＝AN;PM＝PN.在Rt△PME和Rt△PNF中;PM＝PN;PE＝∴Rt△PME≌Rt△PNF;∴NF＝ME.又∵AP＝10;∠PAM＝∠DAB＝30°;∴AM＝AN＝AP cos30°＝10×＝5.∴AE＋AF＝AM＋ME＋AN－NF＝AM＋AN针对训练：1.证明：如图;过D作DE⊥AB于E;过D作DF⊥AC于F;∵DA平分∠BAC;DE⊥AB;DF⊥AC;∴DE＝DF;∵∠B＋∠ACD＝180°;∠ACD＋∠FCD＝180°∴∠B＝∠FCD;在△DFC和△DEB中;∴△DFC≌△DEB;∴DC＝DB.2.解：1∵AC＝AB＝4;且CD＝1;∴AD＝AC－CD＝3.在Rt△ABD中;∠BAD＝90°;∴BD＝＝5;＝AB·AD＝AE·BD;∵S△ABD∴AE＝2.4.2证明：如图;取BC的中点M;连接AM交BD于点N.∵∠BAC＝90°;AB＝AC;点M为BC的中点;∴AM＝BM＝CM;AM⊥BC;∠NAD＝∠FCP＝45°;∴∠AMF＝∠BMN＝90°.∵AE⊥BD;∴∠MAF＋∠ANE＝∠MBN＋∠BNM＝90°;又∠ANE＝∠BNM;∴∠MAF＝∠MBN;∴△AMF≌△BMN;∴MF＝MN;∴AM－MN＝CM－MF;即AN＝CF.∵AP＝CD;∴AC－CD＝AC－AP;即AD＝CP.∴△ADN≌△CPF;∴∠ADB＝∠CPF.3.解：1∵AB＝BD;∠BAD＝45°;∴∠BDA＝45°;即∠ABD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形;∴当E、C重合时;BF＝BD＝AB.∵在Rt△ABF中;AB2＋BF2＝AF2;∴2BF2＋BF2＝2;∴BF＝1;AB＝2.在Rt△ABD中;AD＝＝＝2.2证明：如图;在AF上截取AK＝HD;连接BK.∵∠AFD＝∠ABF＋∠2＝∠FGD＋∠3且∠ABF＝∠FGD＝90°; ∴∠2＝∠3.在△ABK与△DBH中;∴△ABK≌△DBH;∴BK＝BH;∠6＝∠5.∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD∥BC;∴∠5＝∠4＝45°;∴∠6＝∠5＝45°;∴∠7＝∠ABD－∠6＝45°＝∠5.在△BFK与△BFH中;∴△BFK≌△BFH.∴∠BFK＝∠BFH;即∠AFB＝∠HFB.4.解：1证明：由折叠知∠EMN＝∠ABC＝90°∴∠EMB＝∠EBM;∴∠EMN－∠EMB＝∠ABC－∠EBM;即∠BMP＝∠MBC.∵在正方形ABCD中;AD∥BC;∴∠AMB＝∠MBC;∴∠AMB＝∠BMP;∴BM是∠AMP的平分线．2△PDM的周长没有发生变化．证明如下：如图;过B作BQ∵∠A＝90°;且由1知BM是∠AMP的平分线;∴BA＝BQ;∵∠A＝∠MQB＝90°;∠AMB＝∠BMP;MB＝MB;∴△AMB≌△QMB AAS．∴MA＝MQ.∵BA＝BC;∴BQ＝BC;又∵∠BQP＝90°＝∠C;BP＝BP;∴Rt△BPC≌Rt△BPQ HL．∴PC＝PQ;∴△PDM的周长＝MD＋MP＋DP＝MD＋MQ＋QP＋PD＝MD＋MA＋PC＋PD＝AD＋DC＝2AD.∴△PDM的周长没有发生变化．类型6旋转型全等问题：图中若有边相等;可用旋转做实验例6：解：1①∵四边形ADEF是正方形;∴AD＝AF;AB＝AC;∵∠BAC＝∠DAF＝90°;∴∠BAD＝∠CAF;∴△DAB≌△FAC;∴∠B＝∠ACF;∴∠ACB＋∠ACF＝90°;即CF⊥BC；②∵△DAB≌△FAC;∴CF＝BD;∵BC＝BD＋CD;∴BC＝CF＋CD.2结论①成立;结论②不成立．∵四边形ADEF是正方形;∴AD＝AF;AB＝AC.∵∠BAC＝∠DAF＝90°;∴∠BAD＝∠CAF;∴△DAB≌△FAC;∴∠ABD＝∠ACF;CF＝BD;∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°;即CF⊥BC；∵BC＝CD－BD;∴BC＝CD－CF.3如图;过A作AH⊥BC于H;过E作EM⊥BD于M;EN∵∠BAC＝90°;AB＝AC;∴BC＝AB＝4;AH＝CH＝BC∴CD＝BC＝1;∴DH＝3;同2证得△BAD≌△CAF;∴∠ABD＝∠ACF＝45°;∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝∴BC⊥CF;CF＝BD＝5.∵四边形ADEF是正方形;∴AD＝DE;∠ADE＝90°;∵BC⊥CF;EM⊥BD;EN⊥CF;∴四边形CMEN是矩形;∴NE＝CM;EM＝CN;∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°;∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°;∴∠ADH＝∠DEM;∴△ADH≌△DEM;∴EM＝DH＝3;DM＝AH＝2;∴CN＝EM＝3;EN＝CM＝3;∵∠ABC＝45°;∴∠BGC＝45°;∴△BCG是等腰直角三角形;∴CG＝BC＝4;∴GN＝1;∴EG＝＝.针对训练：1.解：1AC＝AD＋AB.证明如下：∵∠B＋∠D＝180°;∠B＝90°;∴∠D＝90°.∵∠DAB＝120°;AC平分∠DAB;∴∠DAC＝∠BAC＝60°;∵∠B＝90°;∴AB＝AC;同理AD＝AC.∴AC＝AD＋AB.21中的结论成立;理由如下：如图①;以C为顶点;AC为一边作∠ACE＝60°;∠ACE的另一边交AB的延长线于点E;∵∠BAC＝60°;∴△AEC为等边三角形;∴AC＝AE＝CE;∠E＝60°;∵∠ABC＋∠D＝180°;∠DAB＝120°;∴∠DCB＝60°;∴∠DCA＝∠ECB.在△DAC和△BEC中;∴△DAC≌△BEC;∴AD＝BE;∴AC＝AE＝AD＋AB.3AD＋AB＝AC.理由如下：如图②;过点C作CE⊥AC交AB的延长于点E;∵∠ABC＋∠D＝180°;∠DAB＝90°;∴∠DCB＝90°;∵∠ACE＝90°;∴∠DCA＝∠BCE;又∵AC平分∠DAB;∴∠CAB＝45°;∴∠E＝45°;∴AC＝CE.∴△CDA≌△CBE;∴AD＝BE;∴AD＋AB＝AE.∵在Rt△ACE中;∠CAB＝45°;∴AE＝＝AC;∴AD＋AB＝AC.2.解：1证明：∵四边形ABCD是正方形;∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°;AB＝AD;∵△ABE沿AE翻折得到△AHE;∴△ABE≌△AHE;∴AH＝AB＝AD;BE＝EH;∠AHE＝∠AHF＝∠B＝∠D＝90°.在Rt△AHF和Rt△ADF中;∴Rt△AHF≌Rt△ADFHL;∴∠HAF＝∠DAF;∴∠EAF＝∠EAH＋∠FAH＝∠BAH＋∠HAD＝∠BAD＝45°;2以BM;DN;MN为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图;过点A作AH⊥AN并截取AH＝AN;连接BH、HM;∵∠1＋∠BAN＝90°;∠3＋∠BAN＝90°;∴∠1＝∠3;在△ABH和△ADN中;∴△ABH≌△ADN SAS;∴BH＝DN;∠HBA＝∠NDA＝135°;∵∠HAN＝90°;∠MAN＝45°;∴∠1＋∠2＝∠HAM＝∠MAN＝45°;在△AHM和△ANM中;∴△AHM≌△ANM SAS;∴HM＝NM;∴∠HBP＝180°－∠HBA＝180°－135°＝45°;∴∠HBP＋∠PBM＝45°＋45°＝90°;∴△HBM是直角三角形;∵HB＝DN;HM＝MN;∴以BM;DN;MN为三边围成的三角形为直角三角形．3.解：1如图①;将△PBC绕点B逆时针旋转90°得△P△AP′B≌△CPB;∴P′B＝PB＝;P′A＝PC＝1;∠1＝∠2;∠AP′B＝∠BPC.∵四边形ABCD是正方形;∴AB＝BC;∠ABC＝90°;∴∠2＋∠3＝90°;∴∠1＋∠3＝90°;即∠P′BP＝90°;∴∠BP′P＝45°.在Rt△P′BP中;由勾股定理;得PP′2＝ 4. ∵P′A＝1;AP＝∴P′A2＝1;AP2＝5;∴P′A2＋PP′2＝AP2;∴△P′AP是直角三角形;∴∠AP′P＝90°;∴∠AP′B＝45°＋90°＝135°;∴∠BPC＝135°.2仿照分析中的思路;将△BPC绕点B逆时针旋转120°;得到了△BP′A;连接PP′;如图②.则△PBC≌△P′BA;∴P′B＝PB＝4;P′A＝PC＝2;∠BPC＝∠BP′A;∴△BPP′为等腰三角形;∵∠ABC＝120°;∴∠PBP′＝120°;∴∠BP′P＝30°;过点B作BG⊥PP′于G;则∠P′GB＝90°;∴PP′＝2P′G.∵P′B＝PB＝4;∠BP′P＝30°;∴BG＝2;∴P′G＝2.∴PP′＝4;在△APP′中;∵PA＝2;P′A＝2;PP′＝4;∴P′A2＋P′P2＝PA2;∴△PP′A是直角三角形;∴∠AP′P＝90°;∴∠BPC＝∠BP′A＝∠PP′B＋∠AP′P＝30°＋90°＝120°.。

2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练

2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练1.如图1，在Rt△ACB中，AC=BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．(1)如图1，若AC=6，tan∠ACD=2，求DE的长；(2)如图2，若CE=2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF=DF，在FD上取一点G，使∠EGF=∠CFG，求证：AF=EG；(3)如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC=90°，AC=6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出△ACH 的面积．2.在△ABC中，∠BAC=90°，点E为AC上一点，AB=AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．(1)如图1，若点M与点G重合，AH=2，BC=√26，求CE的长；(2)如图2，若AB=BM，连接MH，∠HMG=∠MAH，求证：AM=2√2HM；(3)如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．3.如图，在△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF=120°，线段BC与EF相交于点O．(1)若点O恰好是线段BC与线段EF的中点．①如图1，当点D在线段BC上，A、F、O、E四点在同一条直线上时，已知BC=4√3，DE=√3，求AD的长；②如图2，连接AD，CF相交于点G，连接OG，BG，当BG⊥OG时，求证：BG=√3CG．2(2)若点D与点A重合，CF//AB，H、K分别为OC、AF的中点，连接HK，直接写出HKAE−OF 的值．AC，连接4.在△ABC和△AEF中，∠AFE=∠ABC=90°，∠AEF=∠ACB=30°，AE=12 EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图1，若E恰好在线段AC上，AB=2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB=√3AB+GC；2GC最大时，直接写出直线AB，(3)如图3，若AB=3，在△AEF旋转过程中，当GB−12AC，BG所围成三角形的面积．5.如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF=90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．(1)如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．(2)将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？说明理由．(3)若AB=5，AE=1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．6.如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．(1)若点E为BD的中点，AD=4，CD=5，求△BCE的面积；(2)如图2，若BC=CD，点F为CD的中点，求证：AB=2AF；(3)如图3，若AB//CD，∠BAD=90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ.当AB=6√2，AD=4√2，tan∠ABC=2时，求CQ+√10BQ的最小值．107.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC．(1)如图①，若AB=BD，AB⊥BD，求证：CD=√2AB；(2)如图②，若AB=AD，AB⊥AD，BC=1，求CD的长；(3)如图③，若AD=BD，AD⊥BD，AB=2√5，求CD的长．8.在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．(1)如图1，若AB=3√2，BC=5，求AC的长；(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．9.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF.以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG=90°，连接AG．(1)如图1，若∠EAB=30°，OA=2√3，AB=6，则求CE的长度；(2)如图2，若CF=CD，∠FGO=45°，求证：EC=√2AG+2EF；(3)如图3，动点P从点A运动到点D(不与点A、点D重合)，连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A′是点A关于FP的对称点，连接A′Q.若AE=2EC，FG=2OF，EF=1，AG=√5，则在动点P的运动过程中，直接写出A′Q的最小值．10.在正方形ABCD中，E为边CD上一点(不与点C、D重合)，垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．(1)如图1，当点M和点C重合时，若AN=4，求线段PM的长度；(2)如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P′处，AB的中点为Q，直接写出P′Q的最小值．11.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．(1)求∠CPE的度数；(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．12. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，分别过点B 作BC 的垂线，过点D 作CD 的垂线，两垂线相交于点E ．(1)如图1，若AD =4，连接AE ，BD ，求三角形ADE 的面积；(2)如图2，点F 是DE 延长线上的一点，点G 为EB 延长线上的一点，且EF =BG ，连接BF ，DG ，DG 交FB 的延长线于点H ，连接AH ，试猜想线段AH ，BH ，HD 的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，在(2)的条件下，在AH 上取得一点P ，使得HP =3AP ，已知Q 为直线ED 上一点，连接BQ ，连接QP ，当BQ +QP 最小时，直接写出S △QDC S 菱形ABCD 的值．13. 如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，CD 是边AB 上的高线，E 是AC 上一点，连接BE ，交CD 于点F ．(1)如图1，若∠ABE =15°，BC =√3+1，求DF 的长；(2)如图2，若BF =AC ，过点D 作DG ⊥BE 于点G ，求证：BE =CE +2DG ；(3)如图3，若R 为射线BA 上的一个动点，以BR 为斜边向外作等腰直角△BRH ，M 为RH 的中点.在(2)的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，得到△CE′F′，E ，F 的对应点分别为E′，F′，直线MF′与直线AB 交于点P ，tan∠ACD =13，直接写出当MF′取最小值时RMPF′的值．14. 如图△ABC 为等腰直角三角形，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，连接DE ，以DE 为直角边向上作等腰直角三角形DEF ，连接BE 、BF ．(1)如图1，当CE =AD 时，求证：BF ⊥BD ；(2)如图2，H 为BE 的中点，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，连接GH.求证：BF =2HG ；(3)如图3，BE 与DF 交于点R ，延长BF 交AC 于点P ，∠APB 的角平分线交BE 于点Q.若点E 为AC 上靠近点A 的三等分点，且tan∠AED =67，请直接写出BR QR 的值．15. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDE 是顶角为120°的等腰三角形，BD =DE ，连接CD ，AE ．(1)如图1，连接AD ，若∠ABE =60°，AB =BE =√3，求CD 的长；(2)如图2，若点F 是AE 的中点，连接CF ，DF.求证：CD =2DF ；(3)如图3，在(2)的条件下，若AB =2√3，BD =2，将△BDE 绕点B 旋转，点H 是△AFC 内部的一点，当DF 最大时，请直接写出2HA +HF +√5HC 的最小值的平方．16.如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形.连接AB，DF，延长DF交AB于点E．(1)如图1，若AD=BD，DE是△ABD的平分线，BC=1，求CD的长度；(2)如图2，连接CE，求证：DE=√2CE+AE；(3)如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上(点F与点A，C不重合).将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP.取AD的中点O，连接OP.当AC=2时，直接写出OP 长度的最大值．17.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC且∠CAB=90°，E为BC上一点，且BE=AC，过E作EF⊥BC且EF=EC，连接CF．(1)如图1，已知AB=2，连接AE、AF，求△AEF的面积；(2)如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH=45°交EF于H点，求证：CD=HF+√2CE；(3)已知△ABC面积为8+4√2，D为射线AC上一点，作∠DBH=45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．18.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是边BC上的一个动点，点D是射线AC上的一个动点；连接DE，以DE为斜边，在DE右侧作等腰Rt△DFE，再过点D 作DH⊥BC，交射线BC于点H．(1)如图1，若点F恰好落在线段AE上，且∠DEH=60°，CD=3√2，求出DF的长；(2)如图2，若点D在AC延长线上，此时，过F作FG⊥BC于点G，FG与AC边的交点记为M，当AE=DE时，求证：FM+√2MD=AB；(3)如图3，若AB=4√10，点D在AC延长线上运动，点E也随之运动，且始终满足AE=DE，作点E关于DF的对称点E′，连接CF、FE′、DE′，当CF取得最小值时，请直接写出此时四边形CFE′D的面积．19.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，连接DE．(1)如图1所示，若BC=4，在D点运动过程中，当tan∠BDE=8时，求线段CD的长；11(2)如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BF=CF；(3)如图3，若AB=2√3，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB′C′，连接CC′，P为线段CC′上一点，且CC′=√3PC′，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，连接PQ，K 为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值．20.在△ABC中，AC=BC，D为△ABC外一点，连接CD．(1)如图1，若∠ACB=60°，CD//AB，连接BD交AC于点E，且CD=2AB=2，求S△BCE．EC，(2)如图2，CE=CD，∠ECB=∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG=12BF．M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN=12(3)如图3，若∠ACB=90°，CD//AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD′，连接DD′，BD′，且AC=√6，求BD′的最小值．21.已知，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．(1)如图1，当∠CDE=30°，AD=1，BD=3时，求线段DE的长；(2)如图2，当CE=DE时，求证：点E为线段AF的中点；(3)如图3，当点D与点A重合，AB=4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．22.如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，点D是边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE交AC于点F．(1)如图1，若∠ADC=60°，求证：DF=AF+EF；(2)如图2，在点D运动的过程中，当∠ADC是锐角时，点M在线段DC上，且AM=AD，连接ME，猜想线段ME，MD，AC之间存在的数量关系，并证明你猜想的结论；(3)在点D运动的过程中，当∠ADC是钝角时，点N是线段DE上一动点，连接CN，若AF=m，请直接用含m的代数式表示2CN+√2NE的最小值．CF=3523.如图1，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，∠BAC=60°，CE⊥AB交AB于点E，AE=AD，点F在线段BD上，连接AF．(1)若AC=4，求线段BD的长；(2)如图2，若∠DAF=60°，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2CM=BF+√3AC；(3)如图3，在(2)的条件下，将△ADF绕点A旋转得△AD′F′，连接BF′，点M为线段BF′的中点，连接D′M，当D′M长度取最小时，在线段AB上有一动点N，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60°至MN′，连接D′N′，若AC=4，请直接写出(2MN′−√2D′N′)的最小值．。

中考复习初中数学几何证明试题(含答案)

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。

由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）.3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）APCDB D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 AFGCEBOD4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．BF求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值． A P CB P A D CB C B D A F PD E CB A APCB3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

【精选】重庆市中考数学题型复习题型七几何图形的相关证明及计算类型四构造等腰三角形课件

二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
(2)证明：如解图，延长BM交DC于点N，连接FN， ∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB， ∴∠NCM＝∠BEM. ∵点M是CE中点，∴CM＝EM, 又∵∠BME＝∠NMC， ∴△CMN≌△EMB(ASA)， ∴MN＝MB，CN＝EB，
∵AB＝DC，∴DN＝AE， ∵△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，EF＝AE， ∴∠BEF＝120°，EF＝DN， ∵AB＝AD，EA＝AF，∴DF＝EB， ∵DC∥AB，∴∠A＋∠D＝180°， ∴∠D＝120°，∴∠D＝∠BEF. ∴△FDN≌△BEF(SAS)，∴FN＝BF，又∵MN＝四构造等腰三角形
典例精讲
例 4 如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是边AB、AD上的点，且满足∠BCE＝∠DCF，连接EF. (1)若AF＝1，求EF的长； (2)如图②，取CE的中点M，连接BM、FM、BF.求证：BM⊥FM.
(1)【思维教练】要求EF长，考虑到∠BCE＝∠DCF, 结合菱形的性质，可判断出△DCF≌△BCE，得到BE＝DF，又因为∠A＝60°，结合等边三角形的特点，EF的长可求出．【自主作答】
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。

重庆中考几何证明讲义

专题复习：几何证明综合型问题——针对题型：24题（10分）☆核心：考虑构造辅助线，考虑证明全等专项突破1：特殊四边形（矩菱正）特殊性质与判定1.菱形A.性质①四边相等②对角线互相垂直，每一条对角线平分每一组对角S对角线乘积的一半③B.判定①一组邻边相等的平行四边形②两对角线垂直的平行四边形③四边相等的四边形2.矩形A.性质①四个角为直角②对角线相等B.判定①有一个角是直角的平行四边形②对角线相等的平行四边形③有三个角是直角的四边形注意：“三个角相等的四边形是矩形”是假命题3.正方形满足所有平矩菱的性质与判定专项突破2：角的转化（必考）✧ 1.和差角，用外角✧ 2.内角和（对角互补模型）✧ 3.平行线转角（倍长中线有平行）※注意：倍长中线无法证角时，考虑延长平行线和截线，构造三线八角✧ 4.同角（或等角）的余角（或补角）相等✧ 5.等量±等量✧ 6.以算代证，字母表示角✧7.八字模型（倒角重点图形）✧8.给角度算角度（67.5°，22.5°，45°，30°，60°，75°，120°······）✧9.利用四边形本身的平行（内错或同位或同旁内角）、对角特点（相等）倒角✧10.双垂图形，必有角等（相似）△11.四点共圆12.······专项突破3：四边形中常见辅助线☆可结合考查等边三角形、等腰（Rt ）三角形、平矩菱正等特殊平行四边形的性质和判定✧ 1.截长补短：截谁相等，证谁全等（第一对全等容易出现）✧ 2.“几个等式”：①矩形+中点==斜边中线②平分+平行（或垂直）==等腰③中点+平行（四边形）==延长相交④Rt+等腰==斜边中点✧ 3.一边一角构全等✧ 4.手拉手模型✧ 5.依靠60°构造等边三角形✧ 6.特殊角度的转化60°（120°）、22.5°（45°、135°、67.5°）、15°（75°、150°、105°）、90°······✧7.半角模型【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，180BAD BCD ABC ADC ︒∠+∠=∠+∠=，12EAF BAD E BC F CD ∠=∠，点在直线上,点在直线上【结论】BE DF EF 、、满足截长补短关系✧8.正方形中：①CFDE CF DE ⊥⇔=②对角线上有一点，构造对称型全等③旋转型全等④半角模型⑤旋转型全等✧9.以等腰Rt ∆斜边为斜边构造Rt ∆10.······考点突破（24题第1问）考点一：几何计算⎪⎩⎪⎨⎧③勾股定理②三角函数①相似“三板斧”（24题第2问）☆考点二：中点问题（一）已知中点（2倍/倍半关系）1.倍长中线法※注意：平行条件为后续证明提供条件2.中位线①有多个中点时，用中位线②有1个中点，再延长另一边使之成为中点，构造中位线※注意：必出平行条件，进而进行角的转化3.Rt ∆斜边中线等于斜边一半※注意：逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边一半，那么这个三角形是直角三角形4.等腰（或等边）∆的三线合一5.中垂线※注意：常向两端把线连6.······（二）证明中点1.作平行，证平行2.有等腰，证两线（平分或垂直）3.······【例1】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE =AF ，BAF DAE ∠=∠．（1）求证：CE =CF ；（2）若︒=∠120ABC ，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG ．求证：DG ⊥GE ．☆考点三：角平分线问题（一）有角平分线1.“两等腰”：角平分+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧平行（内错）垂直（延长）⇒等腰2.“两全等”：角平分+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧等）截相等（构造对称型全引垂线⇒全等3.等腰三角形“三线合一”AB CDE F G4.······（三）证角平分线作垂直考点四：截长补短☆核心：截谁相等，证谁全等，第一对全等容易出现，易出等腰三角形等特殊图形切记不要死脑筋！！！！【例2】正方形ABCD 中，M 在CD 上，N 在DA 延长线上，AN CM =，点E 在BD 上，NE 平分DNM ∠.过E 作MN EF ⊥于F ，求证：EF AD MN 22-=.考点五：综合型试题【例3】正方形ABCD 中，连接其对角线AC ，∠BCA 的平分线CF 交AB 于点F ，过点B 作BM ⊥CF 于点N ，交AC 于点M ，过点C 作CP ⊥CF ，交AD 延长线于点P ．（1）若正方形ABCD 的边长为4，求△ACP 的面积；（2）求证：CP=BM+2FN ．【练习1】如图，正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，︒=∠15ADE ，过D 作ED DG ⊥DG 于D ，且AD AG =，过G 作AC GF //交ED 的延长线于F ．（1）若64=ED ，求AG ；（2）求证：BD ED DF =+2．【练习2】如图，正方形ABCD 中，E 为AB 边上一点，过点D 作DF ⊥DE ，与BC 延长线交于点F ．连接EF ，与CD 边交于点G ，与对角线BD 交于点H ．（1）若BF=BD =2，求BE 的长；（2）若∠ADE=2∠BFE ，求证：FH=HE+HD ．【练习3】如图，AC 为正方形ABCD 的一条对角线，点E 为DA 边延长线上的一点，连接BE ，在BE 上取一点F ，使BC BF =，过点B 作BE BK ⊥于B ，交AC 于点K ，连接CF ，交AB 于点H ，交BK 于点G ．（1）求证：BG BH =；（2）求证：AE BG BE +=．备注：。

重庆中考数学20题典型的尺规作图+简单几何证明

20题典型的尺规作图+简单几何证明(一)编辑：天道酬勤尺规作图专题复习【知识回顾】1尺规作图的定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本，最常用的尺规作图。

通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成。

2、五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知线段的垂直平分线；④作已知角的角平分线;⑤过一点作已知直线的垂线；一．题目一:作一条线段等于已知线段已知:如图，线段a求作:线段AB，使AB=a作法:（1）作射线AP;（2）在射线AP上截取AB=a则线段AB就是所求作的图形。

二．题目二:作已知线段的中点。

已知:如图，线段MN求作:点O，使MO=NO（即O是MN的中点）作法:（1）分别以M、N为圆心，大于MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q （2）连接PQ交MN于O,则点O就是所求作的MN的中点.三．题目三:作已知角的角平分线。

已知:如图，∠AOB，求作:射线OP，使∠AOP=∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法:（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N;（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于P;2（3）作射线OP.则射线OP就是∠AOB的角平分线。

四．题目四:作一个角等于已知角。

已知:如图，∠AOB。

求作;∠A＇O＇B＇，使∠A＇O＇B＇=∠AOB作法:（1）作射线O＇A＇（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N（3）以O＇为圆心，以OM的长为半径画弧，交O＇A＇于M＇;（4）以M＇为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N＇（5）连接O＇N＇并延长到B＇。

则∠A＇O＇B＇就是所求作的角。

五．题目五:经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知:如图，P是直线AB上一点求作:直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。

作法:（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、NMN的长为半径画弧，两弧交于点Q （2）分别以M、N为圆心，大于12（3）过D、Q作直线CD.则直线CD是求作的直线。

中考数学-几何证明

2020年-春季-初三下-【入学考试】1.(初2020级BZ初三下入学测试)如图，正方形ABCD中，对角线AC, BD交于点。

，点E.点OB ,线段AB上，且AF OE ,连接AE交OF于G , 连接DG交AO于H.F分别在线段⑴如图1,若点E为线段BO中点，AE J5,求BF的长：(2)如图2,若AE平分BAC,求证：FG HG;(3)如图3,点E在线段BO (含端点)上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos HDO的值.2.(初2020级BS初三下入学测试)如图，平行四边形ABCD中，AB=2BC, B 60 . 曲 DC中点，连接AE . F为AD上一点，连接CF交AE与点G , CM平分FCB交AB于点M .(1)如图1,若BC 3,AF 1 求sin DCF 的值.(2)求证：EG BM CG(3)如图2, CN AB于点N ,若AG=4, MN : BN=3: 5.求CG 的长度.3.(初2020级YZ初三下入学测试)在0ABCD中BAC=90 , AB=AE,延长BE交CD 于点F . AG BE交BE于点H点，M是BC边上的点.(1)如图1,若点M与点G重合，AH 5, AD 显26 ,求CF的长：2(2)如图2.若AM是BAD的角平分线，连接MH , HMG MAH ,求证：AM 2 .2HM(3)如图3,若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN,请直接写出AMH、NAE、MNE之间的角度关系.4.(初2020级YZ 初三下入学测试)在正方形 ABCD 中，E 为边CD 上一点(不与点 C 、D 第4页共34重合)，垂直于BE 的一条直线 MN 分别交BC 、BE 、AD 于点M 、P 、N,正方形ABCD 的边长为6.(1)如图1,当点M 和点C 重合时，若AN =4,求线段PM 的长度;(2)如图2,当点M 在边BC 上时，判断线段AN 、MB 、EC 之间的数量关系，并说明理由;(3)如图3,当垂足P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上运动时，连接 NB,将^ BPN 沿着BN 翻折，点P 落在点P 处，AB 的中点为Q,直接写出PQ 的最小值.5.(万二中初2020级初三下入学测试)在4ABC与4ADF中，/BAC=/DAF=90° ,AB=AC,AD=AF, DF的延长线交BC于点E,连接DB、CF.(1)如图1,当点C、A、D三点在同一直线上，且AC=g AF, AF=超时，求CE的长；(2)如图2,当/ AFC = 90°时，求证：E是BC的中点；(3)如图3,若CF平分/ ACB,且CF的延长线与DB交于点G,请直接写出BG、DG、FG之间的数量关系.[ D6.(万中初2020级初三下入学测试) 如图，在？ABCD中，/ACB = 45° , AEXBC于点E, 过点C 作CFLAB于点F,交AE于点M.点N在边BC上，且AM = CN ,连结DN .(1)若AB= 10Q , AC = 4,求BC 的长；(2)求证：AD+AM= 22DN .(3)如图，连接EF、探究AF、EF、CF之间存在的数量关系，直接写出数量关系不需要证明.2020年-春季-初三下-【第一次诊断】1.(初2020级YW初三下第一次诊断)如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DELDC交直线AB于点E,过点E作EHXAD于点H,过点B作BFXAD于点F.(1)如图，若/ BAD=60° , AF=3, AH=2,求AC 的长.(2)如图，若BF=DH,在AC上取一点G,连接DG、GE, 若/ DGE=75° ,/CDG=45° -/CAB,求证：DG 立CG22.如图，已知ABCD中，/ B=45° , CE^AD于G,交BA延长线E, CF平分/ DCE ,连接EF, ED.(1)如果AB=5, AD = 372,求线段DE的长.(2)如果/ CFE=90° ,求证：CD 2DF 版AG .(3)如图，在(2)的条件下，若FG J5,点M、N是线段CF、CD上的动点，DM+MN 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 ^3.(初2020级BZ初三下第一次诊断)已知△ ABC是等边三角形，CD，AB交AB于M, DBXBC, E是AC上一点，EHXBC,垂足为H, EH与CD交于点F,连接BE.(1)如图，若EC=-AC , EH=6,求BE 的长. 5(2)如图，连接AF,将AF绕点A顺时针旋转，使F点落在BD边上的G点处，AG交CD 于Q,求证：BG=CF.(3)如图，在(2)的条件下，连接FG,交BE于N,连接MN,若竺勺，4AGF的面QG 3积为49户，求MN的长.3.(万州国本中学初三下期中考试)已知，在0ABCD中，AB BD, AB BD, E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F .(1)如图1,若点E与点C重合，且AF 2胫，求AD的长；(2)如图2,当点E在BC边上时，过点D作DG AE于G ,延长DG交BC于H ,连接FH ,求证：AF DH FH ；(3)如图3,当点E在射线BC上运动时，过点D作DG AE于G , M为AG的中点，点N在BC边上且BN 1 ,已知AB 4 J2 ,请直接写出MN的最小值.4 .（万州国本中学初三下第一次诊断）【问题背景】如图1所示，在gABC 中，AB= BC, ABC=90，点D 为直线BC 上的一个动点（不与 B 、C 重合），连结AD,将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90。

《几何综合探究问题》(共48题)中考专项配套练习(重庆专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（重庆专用）专题13 几何综合探究问题（共48题）一．解析题（共10小题）1．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF=√22AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG 与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．2．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2√3．以AE 为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面五年中考真题积．3．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP=√17，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD=√2CM+2CE．4．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．6．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12√2，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．7．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝3√2，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．8．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB＝4√2，BE＝5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC．9．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出ABCG 的值．10．（2016•重庆）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，CD =12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．（1）如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证：MN ⊥AE ；（3）如图3，将图2中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索MNAC 的值并直接写出结果．一．解答题（共38小题）1．（2020•渝中区校级二模）如图，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，连接CD ；点E 为CD 的中点，EF ＝EG ＝EC ，且∠FEG ＝90°；点O 为CB 的中点，直线GO 与直线CF 交于点N ．（1）如图1，若∠FCD ＝30°，OC =√2，求CF 的长；（2）连接BG 并延长至点M ，使BG ＝MG ，连接CM ．①如图2，若NG ⊥MB ，求证：AB =√10CM ；②如图3，当点G 、F 、B 共线时，BM 交AC 于点H ，AH =14AC ，请直接写出FCMH 的值．一年模拟新题2．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．3．（2020•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2√3，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD=√2BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．4．（2020•南岸区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF=√2AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．（2020•南岸区校级模拟）△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ=12BD．（1）如图1，理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ=√3，求PF的长．（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．6．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．7．（2019•渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．8．（2019•重庆模拟）一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C 外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）9．（2020•南岸区校级模拟）如图1，直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠A＝60°，O为BC中点，将△ABC 绕O 点旋转180°得到△DCB ．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A →B →D 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ⊥AC 交折线段A ﹣C ﹣D 于M ．（1）如图2，当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN ∥PM 交折线段A ﹣C ﹣D 于N ，设点Q 的运动时间为t 秒，（0＜t ＜10）直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）如图3，当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B →C →D 的路线运动，且在BC 上以每秒√32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀速运动，是否存在这样的P 、R ．使△BPR 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC ，动点P 从A 点出发沿射线AB 方向运动，同时动点Q 从B 点出发以与P 点相同的速度沿射线BC 方向运动，连接AQ ，CP ，直线AQ 与直线CP 交于点H ．（1）如图1，当P ，Q 两点分别在线段AB 和线段BC 上时，直接写出∠CHQ 的度数；（2）如图2，当P ，Q 两点分别运动到线段AB 和线段BC 的延长线上时，试问（1）问中的结论是否成立：若成立请说明理由，若不成立，请求出∠CHQ 的度数；（3）如图3，在（2）问的前提下，连接DH ，过点D 作DE ⊥PH 交PH 延长线于点E ．求证：AH ﹣CE =12DH ．11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 分别在线段OB ，线段AB 上，且AF ＝OE ，连接AE 交OF 于G ，连接DG 交AO 于H ．（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE=√5，求BF的长；（2）如图2，若AE平分∠BAC，求证：FG＝HG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos ∠HDO的值．12．（2020•沙坪坝区自主招生）在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠F AG＝∠BFG，求证：AB=√10FG；（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．13．（2020•巴南区自主招生）已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ 的最大值．14．（2020•南岸区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM ⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE=√2NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．（2020•北碚区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE=√2，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG=√22BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F 作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．16．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，点F，G在边BC上，且AF＝AG．（1）如图1，若AG平分∠F AC，∠AFC＝5∠BAF，且AF＝4，求线段AC的长；（2）如图2，点E在边AB上，且BE＝EF，证明：AE＝BG；（3）在（2）的条件下，连接CE（如图3），若∠AEC＝∠ACD，你能得到AD，FG，BE怎样的数量关系？试证明你的猜想．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，到达A点停止运动；同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，到达D点停止运动，设点E移动的时间为t（秒）．（1）当t＝1时，求四边形BCFE的面积；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的关系式，并写出t的取值范围；（3）若F点到达D点后立即返回，并在线段CD上往返运动，当E点到达A点时它们同时停止运动，求当t为何值时，以E，F，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此的等腰三角形的面积S△EDF．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE 交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2√5，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4√2，请直接写出MN的最小值．19．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN=√10，请求出四边形ABED的⽴积．20．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB=12∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．21．（2019秋•吉州区期末）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．22．（2019春•江北区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点A （﹣2，0），线段AB＝8，线段AD＝6，且∠BAD＝60°，AD与y的交点记为E，连接BE．（1）求▱ABCD的面积．（2）如图2，在线段BE上有两个动点G、K（G在K点上方），且KG=√3，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG+GK+KP的值最小时，求出此时P点的坐标；此时在y轴上找一点H，x轴上线一点M，使得PH+HM−√22AM取得最小值，请求出PH+HM−√22AM的最小值．（3）如图3，将△AOE沿射线EB平移到△A′O'E'的位置，线段E′A′的中点N落在x轴上，此时再将△A′O'E'绕平面内某点W旋转90°，旋转后的三角形记为△A''O''E''，若△A''O''E'恰好只有两个顶点同时落在直线BC和直线BE上，且△A''E''B''的边均不在直线BC或直线BE上，请求出满足条件的W的坐标．23．（2019秋•北碚区校级月考）已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM=34，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥CD于点E，点G，F分别为AD，BC上一点，连接CG交AE于点H，连接AF，AF＝AH，∠GCF＝∠F AE＝45°．（1）若tan∠DAE=23，GH＝4，求AF的长；（2）求证：AG+√2GH＝GC．25．（2020春•北碚区校级期末）已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．（1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE：①若CE=5√22，求BD长度；②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：CE=√2EF；（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．26．（2020春•重庆期末）已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，﹣4），M（4，﹣4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（﹣2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证：∠NEF＝2∠AOG．27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为斜边作Rt△AEC，∠AEC＝90°，AB与CE相交于点D．（1）如图1，AB平分∠CAE，BD＝4，CD＝5，求AC；（2）如图2，若AC＝BC，点F在EA的延长线上，连接FB、FC，FB与CE相交于点G，且∠EAD＝∠ACF，求证：AF＝2GE；（3）如图3，在（2）的条件下，CE的中垂线与AB相交于点Q，连接EQ，若∠DEQ+2∠ACE＝90°，请直接写出线段FC、ED、EQ的关系．28．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE=√6+√2，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．29．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．（1）如图1，若DE＝3√10，BC＝2√3，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：AB=12EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．30．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF=√2DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．31．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，①求证：BF+EF＝BD；②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出EFBF的值．32．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．33．（2019秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证：AF＝CE+√3AE．34．（2020春•南岸区期末）把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE．（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE＝DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出∠F的度数（用含α的式子表示）．35．（2020春•渝中区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．（1）如图1，若AD＝2√3、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．36．（2020春•沙坪坝区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4√3，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．37．（2019秋•江津区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝CD，∠BAC＝90°，点E为BC边上一点，将AE绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF，连接FB，FB⊥BC．且FB的延长线与AE的延长线交于点G，点E是AG的中点．（1）若BG＝2，BE＝1，求FG的长；（2）求证：√2AB＝BG+2BE．38．（2020春•渝北区期中）如图1，光线照射在光滑表面上时会发生反射现象，入射光线与镜面的夹角等于出射光线与镜面的夹角，即∠1＝∠2．（1）如图1，AB、BC为两个平面镜，∠B＝90°，一束光线l经两次反射后，经点D，由从点E射出，求证：DM∥EN；（2）如图2，AB、BC为两个平面镜，∠B＝122°，一束光线l经两次反射后，经点D，且由从点E射出，且EN⊥AB，求∠ADM的度数；（3）如图3，已知FL∥GS，FG⊥GS，∠LPK＝∠SQK＝30°，∠PKQ绕点K顺时针旋转，旋转速度为5°/秒，记旋转角α（0＜α≤360°），同时，射线FG绕点F顺时针旋转，旋转速度为3°/秒，记旋转角β（0＜β≤360°），当FG所在直线平行于∠PKQ边所在直线时，直接写出对应时间t的所有值．。

重庆中考数学24题专题

重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I，∵G为CH的中点，∴HG=GC，∵EF⊥DC，HI⊥EF，∴∠HIG=∠GFC=90°，∠FGC=∠HGI，∴△GIH≌△GFC，∵△EBH≌△EIH（AAS），∴FC=HI=BH=1，∴AD=4-1=3．2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．解答：（1）证明：连接AC，∵DC ∥AB ，AB=BC ，∴∠1=∠CAB ，∠CAB=∠2， ∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ， ∴△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4， ∴△FDC ≌△GEC ，∴CF=CG ．（2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴BE=4CE=8，∴AB=BC=CE+BE=10，∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6， ∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102 由（1）知，△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ，AD=AE ，∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分）在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AE •CE=21AC •EH ， ∴EH=AC CEAE ⋅ =10226⨯ =5103∴DE=2EH=2×5103=5106 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证：（1）△BCQ ≌△CDP ；（2）OP=OQ ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，在△BCQ 和△CDP 中，∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ．（2）连接OB ．由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ，而点O 是AC 中点， ∴BO=21AC=CO ，∠4=21∠ABC=45°=∠PCO ，在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ，在△BAE 与△FCB 中，∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°， ∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ，在Rt △ABM 中，AM=AB •sin60°=6×23=33 ，∴EG=AM=33， BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=531533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F（1）求证：BF=AD+CF ；ABDECF（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．（1）证明：如图（1），延长AD交FE的延长线于N∵∠NDE=∠FCE=90°∠DEN=∠FEC DE=EC∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF ∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形∴BF=AD+DN=AD+FC（2）解：∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵BC+AD=7+1∴BF+CF+AD=8而由（1）知CF+AD=BF∴BF+BF=8∴2BF=8，∴BF=4，∴BF=EF=47、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．（1）证明：连接BF∵ABCD为矩形∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC∴△ABE为直角三角形∵F是AE的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA∴∠DAF=∠CBF∵AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,∴△DAF≌△CBF∴∠ADF=∠BCF∴∠FDC=∠FCD∴∠FGH=∠FHG ∴FG=FH ；（2）解：∵AC=CE ∠E=60° ∴△ACE 为等边三角形 ∴CE=AE=8 ∵AB ⊥BC ∴BC=BE=CE 21=4 ∴根据勾股定理AB=34 ∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=3248、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ．（1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ；（3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．证明：（1）延长DE 交BC 于F ，∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ．在Rt △DCF 中，∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CFCD=2，即CD=2CF ，∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ， ∴BC=BF+CF=21CD+21CD=CD ．即BC=CD ．（2）∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE=∠DCE ，由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ，∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ．（3）连接BD ，由（2）知BE=DE ， ∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ．又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ． ∵AD=21CD ，∴DP=21CD ．∴P 是CD 的中点． 9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）若23=DF ，求DP 的长；（2）求证：CF AE =.10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于N ．（1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由；（2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．11、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．（1）求证：△AGD 为正三角形；（2）求EF 的长度．G 24题图PFEDCBA解答：（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．12、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）13．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE,∠ECB=45°．⑴求证：AB=BE ；⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE =2，tan ∠CD E =31，求BF 的长． 13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°，而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG在△BEG 和△DCG 中，EBG CDG EGB CGD EG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB ⑵连结BD ．∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD =∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90° ∵CE=2，∴EG=CG=1又tan ∠CDE =31，∴13CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG =+=∴CD=BE=10法一：∵1122BCDSBC DG CD BF ==，11431022BF ⨯⨯=⨯∴6105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴BE BCBG BF=，∴1043BF = ∴6105BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=∥的垂直平分线EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G求证：(1)CG CF =；(2).BC DG =AB CDEF证明：(1) ,AB EF ⊥ 45B ∠=904545EFB ∴∠=-=45CFG ∴∠=//,90AD BC ADC ∠=90FCG ∴∠=45,FCG ∴∠= CG CF =∴(2)连接AF ， EF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥45=∠=∠∴BFE AFE90=∠∴AFB DCB AFB ∠=∠∴BC AD CD AF //,// ∴,AF DC BF DC ∴=∴=由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC =二、有关“截长补短”题型1、在ABCD 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ∆为等边三角形，BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。

中考数学经典几何证明题60例附试题分析和参考答案

中考数学经典几何证明题60例一、解答题（共60小题）1．（遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．2．（珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．3．（镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=°时，四边形BFDE是正方形．4．（漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．5．（玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O 的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．6．（永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．7．（营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．8．（徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=时，四边形BFCE是菱形．9．（宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．10．（湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．11．（咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．12．（咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．13．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．14．（威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．15．（铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．16．（通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．17．（铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．18．（天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：（1）AC•PD=AP•BC；（2）PE=PD．19．（泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．20．（随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．21．（绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E．（1）求证：BD+2DE=BM．（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=．22．（苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．23．（上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．24．（厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．25．（庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．（1）当AB=2时，求△GEC的面积；（2）求证：AE=EF．26．（青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．27．（钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．28．（黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．（1）求证：PN与⊙O相切；（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．29．（潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．30．（盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；（2）求证：直线BF是⊙O的切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．31．（内江）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC 于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．32．（南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．33．（南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）34．（南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．35．（南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．36．（南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D 的形状为A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．①求证：四边形AFF′D是菱形．②求四边形AFF′D的两条对角线的长．37．（梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．38．（龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：AE=DC；（2）已知DC=，求BE的长．39．（柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．40．（辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．41．（连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F 处，DF交AB于点E．（1）求证；∠EDB=∠EBD；（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．42．（莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD 交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．43．（酒泉）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE=cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE=cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）44．（荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O 于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．45．（吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？46．（黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．47．（黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠BCP=∠BAN（2）求证：=．48．（湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．49．（葫芦岛）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？50．（呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．51．（呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径．52．（贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）．53．（贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8．（1）求证：AF=EF；（2）求证：BF平分∠ABD．54．（河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形．55．（桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．56．（贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E 是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）（2）求证：四边形ABMC是菱形．57．（甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．（1）求证：CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．58．（东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．59．（大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．（1）证明：AB=CD；（2）证明：DP•BD=AD•BC；（2）证明：BD2=AB2+AD•BC．60．（赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO 交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是的切线．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．中考数学经典几何证明题60例参考答案与试题解析一、解答题（共60小题）1．（遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；（2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．解答：（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）解：设菱形DC边上的高为h，∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形的面积计算，主要考查学生的推理能力．2．（珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD=AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．专题：证明题．分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．解答：（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．在△ABF和△DFB中，，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF；（2）证明：如图：MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF．在△BMH和△FNG中，，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．3．（镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=20°时，四边形BFDE是正方形．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．专题：证明题．分析：（1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又因为BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF；（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要∠EBF=90°即得四边形BFDE 是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．解答：（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE与△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）；（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°．故答案为：20．点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．本题关键是根据SAS证明△BAE≌△BCF．4．（漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．解答：（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；（2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．点评：本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．5．（玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O 的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．考点：切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算．专题：证明题．分析：（1）由∠BOD=60°E为的中点，得到，于是得到DE∥BC，根据CD 是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；（2）连接OE，由（1）知，，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．解答：解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E为的中点，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形；（2）连接OE，由（1）知，，∴∠BOE=120°，∵阴影部分面积为6π，∴=6π，∴r=6．点评：本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明是解题的关键．6．（永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；（2）根据“边角边”证明即可．解答：（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．7．（营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．考点：切线的判定；扇形面积的计算．专题：证明题．分析：（1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论；（2）证明△ADP∽△PDA，得到成比例线段求出BC的长，根据S阴=S⊙O﹣S△ABC 求出答案；（3）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案．解答：（1）证明：如图1，连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切线；（2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD•DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD为△的中位线，∴BC=6，OD=6，AB=10．∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；（3）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵点E是的中点，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB•cos45°=5，∴EM==4，则CE=CM+EM=7．点评：本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和相似三角形的判定和性质，灵活运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键．8．（徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=4时，四边形BFCE是菱形．考点：平行四边形的判定；菱形的判定．专题：证明题．分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．解答：（1）证明：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴当BE=4 时，四边形BFCE是菱形，故答案为：4．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．9．（宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB 是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．解答：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC与△FED中，，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是边CD的中点，∴CE=DE，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四边形BDFC的面积=3×=3；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．10．（湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．解答：证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．点评：此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．11．（咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．专题：证明题．分析：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．解答：（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．12．（咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．考点：切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC•AF，进而求出AD．解答：（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．∵BC与⊙O相切于一点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE=AO=0D，∴四边形AODE是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形AODE是菱形．（2）解：设⊙O的半径为r．∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴，即10r=6（10﹣r）．解得r=，∴⊙O的半径为．如图2，连接OD、DF．∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC•AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．13．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：证明题．分析：（1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．解答：（1）证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP===4．∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2×=．由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．点评：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．14．（威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．专题：证明题．分析：（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．解答：（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．15．（铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．解答：证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：则∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，。

2021年重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题(三)

2021年重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题（三）1.已知在平行四边形ABCD 中,过点D 作DE ⊥BC 于点E,且AD=DE,连接AC 交DE 于点F,作DG⊥AC 于点G(1)如图1,若DF EF =21,AF=13,求DG 的长 (2)如图2,作EM⊥AC 于点M,连接DM,求证:AM-EM=2DG,2.如图,∆ABC 是等边三角形,AC 上有点,分别以BD 为边作等边∆BDE 和等腰∆BDF,边BC 、DE 交于点H,点F 在BA 延长线上且DB=DF,连接CE,求证(1) ∆ABD=∆CBE:(2)BC= AF+CE.3.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,M为对角线BD延长线上一点,连接AM 和CM,E为CM上一点,且满足CB=CE,连接BE,交CD于点F.(1)若∠AMB=30°,且DM=3,求BE的长:(2)证明:AM=CF+DM.4.如图,在矩形ABCD中,点E为AD上一点,连接BE、CE,∠ABE=45°(1)如图1,若BE=32,BC=4,求EC的长.(2)如图2,点P是EC的中点,连接BP并延长交CD于F,H为AD上一点,接HF,且∠DHF=∠CBF,求证:BP=PF+FH.5.(1)如图1,四边形EFGH中,FE=EH,∠EF G+∠EHG=180°,点A,B分1∠FEH,别在边FG,GH上,且∠AEB=2(1)求证:AB=AF+BH(2)如图2,四边形EFGH中,FE=EH,点M在边E上连接FM,EN平分∠FEH交FM于点N,∠ENM=a,∠FGH=180°-2a,连接GN,HN①找出图中与NH相等的线段,并加以证明;②求∠NGH的度数(用含a的式子表示).6.如图,在平行四边形ABCD中,点E在对角线BD上,AB=AE,AF⊥BD于点F, ∠ADB=45°(1)若BC=122,AB=13,求BF的长(2)延长AF交BC于点G,延长AD到点H.使得DH=BG,连接EH,求证:AE=EH.7.如图,在菱形ABCD中,∠B=120o,E、F分别是边BC、CD上的点,且满足CE=CF.连接EF.(1)若CE=1,AB=3,求AF的长;(2)取AF的中点G,连接EG、DG,求证:EG⊥DG.8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相较于点O,以AD为边向外作等边∆MDE,连接CE,交BD于F(1)如图1,若AE=6,求DF的长;(2)如图2,点M为AB的延长线上一点,连接CM,连接FM且FM平分∠AMC.求证:CM=3MF-AM.9.如图,在平行四边形ABCD中,∠B=45°,过点C作CE⊥AD于点,连结AC,过点D作DF⊥AC于点F,交CE于点G,连结EF.(1)若DG=8,求对角线AC的长.(2)求证:AF+FG=2EF.10.如图, 平行四边形ABCD中,DF平分∠ADC交AC于点H,G为DH的中点(1)如图①,若M为AD的中点,AB⊥AC，AC=9,CF=8,CG=25,求GM.(2)如图②,M为线段AB上一点,连接MF,满足∠MCD=∠BCG,∠MFB=∠BAC,求证:MC=2CG.11.如图,平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点M为BC上一点,连接AM,且AB=AM,点E为BM中点,AF⊥AB,连接EF,延长FO交AB于点N.(1)若BM=4,MC=3,AC=38,求AM的长度;(2)若∠ACB=∠AFE=45°,求证AN+AF=2 EF.12.平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连接DE交对角线AC于点F，点G为DE一点，AH⊥DE于H，BC＝2AG且∠ACE＝∠GAC，点M为AD的中点，连接MF；若∠DFC＝75°．（1）求∠MFD的度数；（2）求证：GF+GH＝AH．13.在平行四边形ABCD中，AD=BD，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于G．（1）如图1，若DF=DG=2，AB=8，求EF的长；（2）如图2，∠ADB=90°，点P为平行四边形ABCD外部一点，且AP=AD，连接BP、DP、EP，DP交EF于点Q，若BP⊥DP，EF⊥EP，求证：DQ=PQ．14.如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC=BC.(1)如图1,过点B作BE⊥AC于点E,若AC=8,BE=5时,求OE的长度;(2)如图2,若∠BDC=45°,过点C作CF⊥CD交BD于点F,过点B作BG⊥BC且BG=BC,连接AG、DG,求证:AG=2OF.15.如图1,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,连接CE,(1)若BE=42,CE=17,求AD的长;(2)如图2,点F是BC上一点,且EF=EC.过点C作CG⊥EF于点G,交BE于点H,求证:BH=2DEBH的值,(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG,当BE=BC时,请直接写出DG。