人教版八年级数学全等三角形的性质讲义 (含解析)

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人教版八年级上册第3讲全等三角形讲义

第3讲全等形和全等三角形全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个图形经过平移、翻折、旋转后位置变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转后的图形全等。

重合的顶点叫做对应点：A→D，B→E，C→F；重合的边叫做对应边:AB→DE，AC→DF，BC→EF；重合的角叫做对应角：∠A→∠D，∠B→∠E，∠C→∠F ；记作△ABC≌DEF全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等。

即AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F【例1--1】:△ABC△△DEF，△A的对应角是△D，△B的对应角△E，则△C与______ 是对应角；AB与____ 是对应边，BC与_______ 是对应边，AC与_______ 是对应边.【例1--2】如图的两个三角形全等.∠B和∠D，∠BAC与∠DCA是对应角。

（1）若按对应顶点写在对应位置上，则应写为△ABC△__________.（2）找出对应边和对应角.【例1--3】如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,DE与AC相交于点F,若DE=7,BC=4,∠D=35°,∠C=60°(1)求线段AE的长。

(2)求∠DFA的度数。

【例1--4】如图,A、D.E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE，试说明：(1)BD=DE+CE；(2)△ABD满足什么条件时,BD∥CE?A B C A’ B’ C’全等三角形的判定Ⅰ。

边边边（SSS ）三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。

书写格式：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧===''''''C B BC C A AC B A AB∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（SSS ）【例2--1】：如图,已知AB=CD,BC=DA,E,F 是AC 上的两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中全等三角形有( )A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对练习：如图,在△ABC 和△BDE 中,点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点 F. 若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB 等于( )A. ∠EDBC. 21∠AFB ABF【例2--2】如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB=DF ，AC=DE ，BE=FC.（1）证明：△ABC△△DEF.（2）若△A=65°，求△D 的度数.【例2--3】如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接A 与BC 中点D 的支架。

《全等三角形》讲义

《全等三角形》讲义一、全等三角形的定义两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形。

“完全重合”意味着它们的形状和大小完全相同，对应边相等，对应角也相等。

例如，我们将一个三角形沿着某条直线对折，如果对折后的两部分能够完全重合，那么这就是一个全等三角形。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这是全等三角形最基本的性质之一。

如果两个三角形全等，那么它们对应的三条边的长度是相等的。

比如，三角形 ABC 全等于三角形DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。

2、全等三角形的对应角相等同样，如果两个三角形全等，它们对应的三个角的度数也是相等的。

还是以上面的例子来说，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。

3、全等三角形的周长相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也必然相等。

4、全等三角形的面积相等由于全等三角形的形状和大小完全相同，所以它们所覆盖的面积也是相等的。

三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么可以得出这两个三角形全等。

3、 ASA（角边角）当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。

例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，∠C ＝∠F，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么这两个三角形全等。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》知识点总结(含答案解析)(1)

一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩，即3634t t vt =-⎧⎨=⎩，解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = D解析：D【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、添加BD ＝CE ，可以利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；B 、添加AD ＝AE ，根据等边对等角可得∠ADE ＝∠AED ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；C 、添加BE ＝CD 可以利用“边角边”证明△ABE 和△ACD 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD ，可得∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；D 、添加DA ＝DE 无法求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（）A ．2B ．5C ．3D ．7C解析：C【分析】先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．4．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA C解析：C【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.5．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（）A ．110°B ．90°C ．70°D ．20°B解析：B【分析】根据正方形的性质得到AB=AD ，∠BAD=90︒，由旋转的性质推出ADE ≌ABF ，求出∠FAE=∠BAD=90︒，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90︒，由旋转得ADE ≌ABF ，∴∠FAB=∠EAD ，∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE ，∴∠FAE=∠BAD=90︒，∴旋转角的度数是90︒，故选：B ．【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 6．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ B 解析：B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P 到OB 的距离为5，再根据垂线段最短解答．【详解】∵点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，∴点P 到OB 的距离为5，∵点Q 是OB 边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．7．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF C解析：C【分析】由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．【详解】∵AD FC =，∴AC=FD ，∵AB FE =，∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△，故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，故选：C ．【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．8．下列命题，真命题是（）A ．全等三角形的面积相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个角对应相等的两个三角形全等D ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C 、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键． 9．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（）A ．OA =OBB ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2B解析：B【分析】根据题意可以得到∠AOC=∠BOC，OC=OC，然后即可判断各个选项中条件是否能判定△AOC≌△BOC，从而可以解答本题．【详解】解：由已知可得，∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴若添加条件OA=OB，则△AOC≌△BOC（SAS），故选项A不符合题意；若添加条件AC=BC，则无法判断△AOC≌△BOC，故选项B符合题意；若添加条件∠A=∠B，则△AOC≌△BOC（AAS），故选项C不符合题意；若添加条件∠1=∠2，则∠ACO=∠BCO，则△AOC≌△BOC（ASA），故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'=25°，则∠ACA'的度数为（）A．35°B．30°C．25°D．20°C解析：C【分析】利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB，再利用等式的性质可得答案．【详解】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB，∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB，∴∠ACA′=∠BCB′=25°，故选：C．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．二、填空题11．如图，AC=BC，请你添加一个条件，使AE=BD．你添加的条件是：________．∠A=∠B或CD=CEAD=BE∠AEC=∠BDC等【分析】根据全等三角形的判定解答即可【详解】解：因为AC=BC∠C=∠C所以添加∠A=∠B或CD=CEAD=BE∠AEC=∠BDC可得△ADC与△解析：∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC等【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【详解】解：因为AC=BC，∠C=∠C，所以添加∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC，可得△ADC与△BEC全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE，故答案为：∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．0,3，另12．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C的坐标为()8,8，则点A的坐标为____________一个顶点B的坐标为()（5－5）【分析】根据余角的性质可得∠BCP=∠CAQ根据全等三角形的判定与性质可得AQCQ根据线段的和差可得OQ可得答案【详解】解：作BP⊥y轴AQ⊥y轴如图∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=A解析：（5，－5）【分析】根据余角的性质，可得∠BCP=∠CAQ，根据全等三角形的判定与性质，可得AQ，CQ，根据线段的和差，可得OQ，可得答案．【详解】解：作BP⊥y轴，AQ⊥y轴，如图，∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=AC，∠BCA=90°，∴∠BCP+∠ACQ=90°．又∠CAQ+∠ACQ=90°∴∠BCP=∠CAQ ．在△BPC 和△CQA 中，BPC CQA BCP CAQ BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ Rt △BPC ≌Rt △ACQ （AAS ），AQ=PC=8-3=5；CQ=BP=8．∵QO=QC-CO=8-3=5，∴A （5，-5），故答案为：（5，-5）．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出AQ ，CQ 是解题关键．13．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD 再求出AD 的长即可【详解】解：∵AB=6BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵∴∠BAC=∠FCE 在△ADE 和△CFE 中∴△ADE ≌△CFE ∴解析：4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD ，再求出AD 的长即可．【详解】解：∵AB=6，BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵//CE AB∴∠BAC=∠FCE ，在△ADE 和△CFE 中BAC FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CFE∴CF=AD=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE ≌△CFE 是解答此题的关键．14．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE此时AE=BC=5可据此求出E 点的位置②Rt △CBA ≌Rt △DAE 此时AE=AB=12EB 重合【详解】解：①当AE=CB 时∵∠B=∠EA解析：5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE ，此时AE=BC=5，可据此求出E 点的位置．②Rt △CBA ≌Rt △DAE ，此时AE=AB=12，E 、B 重合．【详解】解：①当AE=CB 时，∵∠B=∠EAP=90°，在Rt △ABC 与Rt △DAE 中，AE CB DE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DAE （HL ），即AE=BC=5；②当E 运动到与B 点重合时，AE=AB ，在Rt △CBA 与Rt △DAE 中，AE AB DE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CBA ≌Rt △DAE （HL ），即AE=AB=12，∴当点E 与点B 重合时，△CBA 才能和△DAE 全等．综上所述，AE=5或12．故答案为：5或12．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．15．已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上，点B 、D 在直线l 的异侧，若AB=CD ，AE=CF ，BF=DE ，则AB 与CD 的位置关系是_______．AB//CD 【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE 然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF 最后根据内错角相等两直线平行即可解答【详解】解：∵AE=CF ∴AE+EF=CF+EF 即AF=EC 在解析：AB//CD【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE ，然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF ，最后根据内错角相等、两直线平行即可解答．【详解】解：∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF,即AF=EC在△ABF 和△CDE 中，,,,AB CD AF EC BF DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CDE （SSS ），∴∠DCE=∠BAF ．∴AB//CD ．故答案为：AB//CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，运用全等三角形的知识得到∠DCE=∠BAF 成为解答本题的关键．16．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．【分析】连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到ABACBC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ）从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3代入求出即解析：33【分析】连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ），从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【详解】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D∴OE＝OF＝OD＝3，∵△ABC的周长是22，∴S△ABC＝12×AB×OE＋12×BC×OD＋12×AC×OF＝12×（AB＋BC＋AC）×3＝12×22×3＝33．故答案为：33．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法，熟知角平分线的性质，并根据题意合理添加辅助线是解题关键．17．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为___．cm2【分析】如图延长AP交BC于T利用全等三角形的性质证明AP=PT即可解决问题【详解】解：如图延长AP交BC于T∵BP⊥AT∴∠BPA=∠BPT=90°∵BP=BP∠PBA=∠PBT∴△BPA≌解析：12cm2【分析】如图，延长AP交BC于T．利用全等三角形的性质证明AP=PT即可解决问题．【详解】解：如图，延长AP交BC于T．∵BP ⊥AT ，∴∠BPA=∠BPT=90°，∵BP=BP ，∠PBA=∠PBT ，∴△BPA ≌△BPT （ASA ），∴PA=PT ，∴BPA BPT CAP CPT S S S S ==， 1122PBC ABC S S ∴==，故答案为12cm 2. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题．18．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．30【分析】根据∠ACB ＝∠DCE ＝90°可得∠ACD ＝∠BCE 利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE 则BE ＝AD ∠DAC ＝∠EBC 再证明∠DBE ＝90°根据三角形面积计算公式便可求得结果【详解】解析：30【分析】根据∠ACB ＝∠DCE ＝90°，可得∠ACD ＝∠BCE ，利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE ，则BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ，再证明∠DBE ＝90°，根据三角形面积计算公式便可求得结果．【详解】解：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ．即∠ACD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∠ADC ＝∠BEC ，∴△ACD ≌△BCE ．∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ．∵∠DAC ＋∠ABC ＝90°，∴∠EBC ＋∠ABC ＝90°．∴△BDE 为直角三角形．∵AB ＝17，BD ＝5，∴AD ＝AB －BD ＝12．∴S △BDE ＝12BD ⋅BE ＝30．故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键．19．ABC 中，4AB =，6AC =，则第三边BC 边上的中线m 的取值范围是______．【分析】如图延长AD 至点E 使得DE=AD 可证△ABD ≌△CDE 可得AB=CEAD=DE 在△ACE 中根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围即可解题【详解】解：延长AD 至点E 使得DE=AD ∵点D 是BC解析：15a <<【分析】如图延长AD 至点E ，使得DE=AD ，可证△ABD ≌△CDE ，可得AB=CE ，AD=DE ，在△ACE 中，根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围，即可解题．【详解】解：延长AD 至点E ，使得DE=AD ，∵点D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 和△CDE 中，AD DE ADB CDE BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CDE （SAS ），∴AB=CE ，∵△ACE 中，AC-CE ＜AE ＜AC+CE ，即：AC-AB ＜AE ＜AC+AB ，∴2＜AE ＜10，∴1＜AD ＜5．故答案为：1＜AD ＜5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD ≌△CDE 是解题的关键．20．如图，ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ，已知6EH EB ==，8AE =，则ACH ∆的面积为______．8【分析】由题意可得进而证明结合已知条件证明故根据分别求出与的面积即可【详解】在和中故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质熟记全等三角形的判定定理是解题关键解析：8【分析】由题意可得90ADC CEA ∠=∠=︒，进而证明EAH HCD ∠=∠，结合已知条件证明BEC HEA ∆≅∆，故8EC EA == ，根据AHC AEC AEH S S S ∆∆∆=-分别求出AEH S ∆与AEC S ∆的面积即可．【详解】AD BC ⊥，CE AB ⊥，90ADC CEA ∴∠=∠=︒，AHE CHD ∠=∠，EAH CEH HCD ADC ∴∠+∠=∠+∠，EAH HCD ∴∠=∠，在BEC △和HEA △中，90BEC HEA HCD EAHEB EH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEC HEA AAS ∴≅，EC EA ∴=，8EA =，8EC ∴=，6EH =，11862422AEH S AE EH ∆∴=⨯⋅=⨯⨯=， 11883222AEC S AE EC ∆=⋅=⨯⨯=，32248AHC AEC AEH S S S ∆∆∆∴=-=-=．故答案为：8．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题关键．三、解答题21．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．解析：见解析【分析】根据ASA 定理证明三角形全等，从而利用全等三角形的性质求解．【详解】证明：∵DE=BF ，∴DE+EF=BF+EF ；∴DF=BE ；∵AF BD ⊥，CE BD ⊥∴∠AFD=∠CEB=90°∵//AD CB∴∠B=∠D在Rt △ADF 和Rt △BCE 中B D DF BE AFD CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △ADF ≌Rt △BCE∴AF CE =【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等式的性质得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．22．如图，AD CB =，AB CD =．求证：ABC CDA ∠=∠．解析：见解析【分析】根据SSS 可证明△ABD ≌△CDB ，即可得∠ABD ＝∠CDB ，∠ADB ＝∠CBD ，进而可证明结论．【详解】在ABD ∆和CDB ∆中AB CD AD CB BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ABD CDB SSS ∴∆≅∆ABD CDB ∴∠=∠ADB CBD ∠=∠ABC ABD CBD ∠=∠-∠CDA CDB ADB ∠=∠-∠ABC CDA ∴∠=∠【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，利用SSS 证明△ABD ≌△CDB 是解题的关键． 23．已知：如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．（1）求证：ABC ADE △≌△．（2）若42,86B C ∠=︒∠=︒，求DAE ∠的度数．解析：（1）详见解析；（2）52︒【分析】（1）先证明∠BAC=∠DAE ，即可根据SAS 证得结论；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据全等三角形的性质得到答案．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ．即∠BAC=∠DAE ．在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴ABC ADE △≌△；（2）∵42,86B C ∠=︒∠=︒，∴18052BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．∵ABC ADE △≌△，∴52DAE BAC ∠=∠=︒．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．24．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠．小聪的探究方法是对B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当B 是直角时，如图1，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据“HL ”定理，可以知道Rt Rt ABC DEF ≌△△．第二种情况：当B 是锐角时，如图2，90B E ∠=∠<︒，BC EF =．（1）在射线EM 上是否存在点D ，使DF AC =？若存在，请在图中作出这个点，并连接DF ；若不存在，请说明理由；（2）这种情形下，ABC 和DEF 的关系是（选填“全等”“不全等”或“不一定全等”）；第三种情况：当B 是钝角时，如图3，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠>︒．（3）请判断这种情形下，ABC 和DEF 是否全等，并说明理由．解析：（1）存在，见解析；（2）不一定全等；（3）全等，见解析【分析】（1）根据尺规作图的方法画出图形即可．（2）根据题（1）所得两种情况及全等三角形的判定即可求解；（3）第三种情况：如图所示，过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ，过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N,先证明△CMA ≌△FND ，推出AM =DN ，推出AB =DE ，再证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】解：（1）存在，如图所示．射线EM 上有两个点满足要求．（2）不一定全等．如题（1）所示：由于满足条件的D 有两个，故△ABC 和△DEF 不一定全等，故答案为：不一定全等；（3）△ABC 和△DEF 全等．理由如下：如图所示，过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ，过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N ．∵ABC DEF ∠=∠，∴CBM FEN ∠=∠．∵CM AB ⊥，FN DE ⊥，∴90CMB FNE ∠=∠=︒．在△CBM 和△FEN 中，∵,,,CMB FNE CBM FEN BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBM ≌△FEN （AAS ）．∴BM EN =，∴CM FN =．在Rt △ACM 和Rt △DFN 中，∵,,AC DF CM FN =⎧⎨=⎩∴Rt △ACM ≌Rt △DFN （HL ）．∴AM DN =，∴AM BM DN EN -=-，即AB DE =．又∵BC EF =，∴△ABC 和△DEF （SSS ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，学会作辅助线，难度适中．25．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______；（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______，根据图2证明你的猜想；（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）解析：（1）AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°，理由见解析；（3）AD BE =，β【分析】（1）设AF 交BD 于G ，证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，得到60AFB AOB ∠=∠=︒；（2）证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，根据OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=︒；（3）根据（1）与（2）直接得到结论．【详解】（1）证明：设AF 交BO 于G ，∵60AOB DOE ∠=∠=︒，∴AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠，即AOD BOE ∠=∠，∵OA OB =，OD OE =，∴AOD BOE ≌△△，∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，∵OGA FGB ∠=∠，∴180180OGA OAD FGB OBE ∠-∠=∠--∠︒-︒，∴60AFB AOB ∠=∠=︒，故答案为：AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°证明：设AF 交BO 于G ，∵90AOB DOE ︒∠=∠=，∴AOB BOD DOE BOD ∠+∠=∠+∠，即AOD BOE ∠=∠，∵OA OB =，OD OE =，∴AOD BOE ≌△△，∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，∵OGA DGB ∠=∠，∴90AFB AOB ∠=∠=︒；故答案为：AD BE =，90°；（3）证明：由（1）与（2）可得AD BE =，AFB AOB β∠=∠=故答案为：AD BE =，β．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．26．已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 绕点C 旋转，过点A 作AD l ⊥于D ，过点B 作BE l ⊥于E ，若6AD =，3BE =，画图并直接写出DE 的长．解析：图见解析，9DE =或3DE =【分析】分直线l 不经过线段AB 和直线l 经过线段AB 两种情况画图，证明△ACD ≌△CBE 即可求出DE 的长．【详解】解：如图1∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=DC+CE=9；如图2，∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=CE-CD=3；∴9DE =或3DE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意分类画图证明全等三角形是解题关键． 27．如图，BC ⊥AD 于C ，EF ⊥AD 于F ，AB ∥DE ，分别交BC 于B ，交EF 于E ，且BC =EF ．求证：AF =CD ．解析：证明见解析．【分析】由BC ⊥AD ，EF ⊥AD 得∠EFD =∠BCA =90°，由AB ∥DE ，得∠D =∠A ，又BC =EF ，从而△ABC ≌△DEF ，则AC =FD ， AF =CD ．【详解】证明：∵BC ⊥AD ，EF ⊥AD ，∴∠EFD =∠BCA =90°∵AB ∥DE ，∴∠D =∠A∵BC =EF ，∴△ABC ≌△DEF ，∴AC =FD ，∴AF =CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 28．已知：如图，AC ＝BD ，BD ⊥AD 于点D ，AC ⊥BC 于点C ．求证：∠ABC ＝∠BAD ．解析：详见解析【分析】利用HL 证明Rt △ABD ≌Rt △BAC ，即可得到结论．【详解】∵BD ⊥AD ，AC ⊥BC ，∴∠D=∠C=90︒，在Rt △ABD 和Rt △BAC 中，AB BA BD AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABD ≌Rt △BAC （HL ），∴∠ABC ＝∠BAD ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，根据题中的已知条件确定两个三角形的对应相等的条件，根据全等的判定定理证得这两个三角形全等是解题的关键．。

12.1 全等三角形课件初中数学人教版八年级上册(2021年)

E
∴AB=EB，BD=BC（全等三角形对应边相等），
∠D=∠C（全等三角形对应角相等）.
AB
C
∵AB=3cm，BC=5cm，∠D=30°，
∴BE=3cm，BD=5cm，∠C=30°.
新课讲解
合作探究
观察下列3组全等三角形的对应边和对应角，你能得出什么结论？
A
A
C
E
D
A
B
D
B
D
△ABC≌△DCB
B
C
AC=AE，BC=DE.
对应角：
∠A=∠A，
∠C=∠E，
∠ABC=∠ADE.
新课讲解
知识点3 全等三角形的性质
结论
1、全等三角形中，公共边一定是对应边. 2、全等三角形中，公共角一定是对应角. 3、全等三角形中，对顶角一定是对应角. 4、全等三角形中，最长的边与最长的边是对应边，最短的边与最短的边是对应边，最大的角与最大的角是对应角，最小的角与最小的角是对形状大小相同的图形均能
①只有两个三角形才能完全重合；完全重合
②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同；对
③两个正方形一定是全等形；错，形状相同，大小不一定相同
④边数相同的图形一定能够重合. 错，形状大小都不一定相同
其中错误说法的个数为（ B ）
A.4
B.3
A
D
B
C
E
F
如图，△ABC≌△DEF，
AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）.
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）.
新课讲解
典例分析
例 2 如图，△ABD≌△EBC，如果AB=3cm，BC=5cm，∠D=30°，求BE

八年级数学上册 12.1《全等三角形》知识讲解全等三角形的概念和性质(提高)素材 (新版)新人教版

全等三角形的概念和性质〔提高〕【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确识别全等三角形的对应元素.2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如以下列图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法〔1〕全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；〔2〕全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；〔3〕有公共边的，公共边是对应边；〔4〕有公共角的，公共角是对应角；〔5〕有对顶角的，对顶角一定是对应角；〔6〕两个全等三角形中一对最长的边〔或最大的角〕是对应边〔或角〕，一对最短的边〔或最小的角〕是对应边〔或角〕，等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、请观察以下列图中的6组图案，其中是全等形的是__________.【答案】〔1〕〔4〕〔5〕〔6〕；【解析】〔1〕〔5〕是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，〔4〕是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，〔6〕是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，〔2〕〔3〕形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B 与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，假设运动方向相同，那么称它们是真正合同三角形(如图1)，假设运动方向相反，那么称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，那么必须将其中一个翻转180°，以下各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )【答案】B；提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，那么必须将其中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，应选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABD≌△CDB，假设AB∥CD，那么AB的对应边是〔〕A．DB B. BC C. CD D. AD【答案】C【解析】因为AB∥CD，所以∠CDB＝∠ABD，这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，所以，BC和DA为对应边，所以AB的对应边为CD.【总结升华】公共边是对应边，对应角所对的边是对应边.类型三、全等三角形性质3、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于〔〕．A.60°B.45°C.30°D.15°【思路点拨】△AFE是由△ADE折叠形成的，由全等三角形的性质，∠FAE＝∠DAE，再由∠BAD＝90°，∠BAF＝60°可以计算出结果.【答案】D；【解析】因为△AFE是由△ADE折叠形成的，所以△AFE≌△ADE，所以∠FAE＝∠DAE，又因为∠BAF＝60°，所以∠FAE＝∠DAE＝90602︒-︒＝15°.【总结升华】折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系，抓住全等三角形对应角相等来解题.举一反三：【变式】如图，在长方形ABCD中，将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，假设∠1＝35°，那么∠2＝________.【答案】35°；提示：将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，所以∠2＝∠CBD，又因为AD∥BC，所以∠1＝∠CBD，所以∠2＝35°.4、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，假设∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.【思路点拨】〔1〕由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；〔2〕由全等三角形的性质求∠EBC，∠BCD的度数；〔3〕运用外角求∠α的度数.【答案】∠α＝80°【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，∴28x＋5x＋3x＝36x＝180°，x＝5°即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，∴△ABE≌△ADC≌△ABC∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°【总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例〞设未知数x是比较常用的解题思路.举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，那么∠BCM：∠BCN等于〔〕A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4【答案】D；提示：设∠A＝3x，∠ABC＝5x，∠BCA＝10x，那么3x＋5x＋10x＝18x＝180°，x＝10°. 又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠B＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.。

人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.2全等三角形的判定(含解析)

人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.2 全等三角形的判定一：考点归纳考点一、三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。

考点二、直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.考点三、证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.二：【题型归纳】题型一：直角三角形全等的判定1．如图，已知,,AE BD AC BC DF EF =⊥⊥，垂足分别为点,C F ，且BC EF =．求证：ABC DEF ∆≅∆题型二：SAS的判定2．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝48°，求∠BDE的度数．题型三：全等三角形判定与性质的综合3．如图，∆ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，D为AC延长线上的一点，E在BC边上，连接AE，DE，BD，AE=BD，∆≅∆（1）求证：ACE BCD（2）若∠CAE=15°，求∠EDB的度数．4．如图，AD为ABC的高，AD＝BD，E为AC上一点，BE交AD于F，且FD＝CD．（1）求证：BFD≌ACD；（2）判断BE与AC的位置关系，并说明理由．三：基础巩固和培优一、单选题1．如图，∠ABD ＝∠EBC ，BC ＝BD ，再添加一个条件，使得△ABC ≌△EBD ，所添加的条件不正确的是（）A ．∠A ＝∠EB ．BA ＝BEC ．∠C ＝∠D D ．AC ＝DE2．如图，下列条件中，不能证明ABD ≌ACD 的是（）A ．BD DC =，AB AC =B ．ADB ADC ∠∠=，BD DC =C ．B C ∠=∠，BAD CAD ∠=∠D ．B C ∠=∠，BD DC =3．如图，下列条件不能证明ABC DCB △≌△的是（）A ．AB ＝DC ，AC ＝DB B ．AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCBC ．BO ＝CO ，∠A ＝∠D D ．AB ＝DC ，∠ACB ＝∠DBC4．如图，BE=CF ，AB=DE ，添加下列哪一个条件可以推证△ABC ≌△DEF （）A ．BC=EFB ．∠A=∠DC ．AC//DFD ．∠B=∠DEF5．如图，∆ABC 的面积为102cm ，BP 平分∠ABC ，AP 垂直于BP 于P ．连接CP ，若∆ACP 的面积为22cm ，则∆ABP 的面积为（）A ．12cmB ．22cmC ．32cmD ．42cm6．如图，已知AD 是ABC 的角平分线，增加以下条件：①AB ＝AC ；②∠B ＝∠C ；③AD ⊥BC ；④ABD ACD S S ，其中能使BD ＝CD 的条件有（）A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④7．如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE 的是（）A ．∠B=∠DB ．BE=DFC ．AD=CBD ．AD ∥BC8．如图，在△ABC 和△DEC 中，已知CB CE =，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（）．A ．AB DE =，B E ∠=∠ B ．AB DE =，AC DC =C ．AB DE =，AD ∠=∠ D ．A D ∠=∠，BE ∠=∠9．如图，90ACB ∠=︒，AC=BC ．AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别是点D 、E ．若AD=6，BE=2，则DE 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，△ABC 的面积为1cm 2， AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（）A ．0.4 cm 2B ．0.5 cm 2C ．13 cm 2D ．0.6 cm 2二、填空题 11．如图所示，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且BE ＝BD ，连接AE 、DE 、DC ．若∠CAE ＝25°，则∠BDC ＝_____．12．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，若∠A ＝∠A ′，AB ＝A ′B ′，请你补充一个条件_____，使得△ABC ≌△A ′B ′C ′．13．如图，在ABC中，点D、E、F分别是BC，AB，AC上的点，若∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠EDF ＝56°，则∠A＝_____°．14．如图，已知在ABC中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；≌；④BP=CP中，正确的是________．③BPR CPS15．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝12，BC＝8，D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以每秒2 个单位的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上以每秒x 个单位的速度由C 点向A 点运动．当△BPD 与以C、Q、P 为顶点的三角形全等时，x 的值为_____．三、解答题16．如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC的平分线与∠BC D的平分线相交于点F，BF与CD的延长线交于点E，连接CE．求证：（1）△BCE是等腰三角形．（2）BC=AB+CD17．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC ＝DF，BE＝CF．求证：△ABC ≌△DEF；18．如图，D为△ABC外一点，∠DAB＝∠B，CD⊥AD，∠1＝∠2，若AC＝7，BC＝4，求AD的长．19．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F,DG⊥AM于点G,连接CD．（1）求证：BG=CF；（2）若AB=10cm，AC=14cm，求AG的长．20．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．10 / 26参考答案题型归纳1.证明：,AC BC DF EF ⊥⊥ 90C F ︒∴∠=∠=AE BD =AB DE ∴=在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中AB DEBC EF =⎧⎨=⎩()Rt ABC Rt DEF HL ∴∆≅∆ 2．解：（1）证明：∵AE 和BD 相交于点O ， ∴∠AOD ＝∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A ＝∠B ，∴∠BEO ＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO ，∴∠AEC ＝∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A BAE BE AEC BED∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEC ≌△BED （ASA ）．（2）∵△AEC ≌△BED ，∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE ．在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝48°，∴∠C ＝∠EDC ＝66°，∴∠BDE ＝∠C ＝66°．3．（1）证明：在Rt △ACE 和Rt △BCD 中，AC BCAE BD =⎧⎨=⎩，∴△ACE ≌△BCD （HL ）；（2）∵△ACE ≌△BCD ，∠CAE=15°，∴CE=CD，∠CBD=∠CAE=15°∴∠CDE=∠CED ，∵∠ACB=90°，∴∠CED=45°，∵∠CED 为△BDE 的外角，∴∠EDB=∠CED-∠CBD=45°-15°=30°．4．证明：（1）在△BDF 和△ADC 中，90ADBD ADCBDF CD DF ， ∴△BDF≌△ADC（SAS ）；（2）BE⊥AC，理由如下：∵△BDF≌△ADC，∴∠DAC＝∠DBF，∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠DBF+∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC．三：基础巩固和培优1．D解：∵∠ABD ＝∠EBC ，BC=BD ，∴∠ABC=∠EBD ，A.当添加∠A=∠E 时，可根据“AAS”判断△ABC ≌△EBD ，故正确；B.当添加BA=BE 时，可根据“SAS”判断△ABC ≌△EBD ，故正确；C.当添加∠C=∠D 时，可根据“ASA”判断△ABC ≌△EBD ，故正确；D.当添加AC ＝DE 时，无法判断△ABC ≌△EBD ，故错误；故选：D ．2．D解：A 、因为BD DC =，AB AC =，又因为AD=AD ，所以ABD ≌ACD （SSS ），故本选项不符合题意； B 、因为ADB ADC ∠∠=，BD DC =，又因为AD=AD ，所以ABD ≌ACD （SAS ），故本选项不符合题意；C 、因为B C ∠=∠，BAD CAD ∠=∠，又因为AD=AD ，所以ABD ≌ACD （AAS ），故本选项不符合题意；D 、因为B C ∠=∠，BD DC =，AD=AD ，这是边边角，不能证明ABD ≌ACD ，故本选项符合题意．故选：D ．3．D解：AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝BC ，符合全等三角形的判定定理“SSS”，能推出ABC DCB △≌△ ，故A 选项错误；AB ＝DC ，ABC DCB ∠=∠，BC ＝CB符合全等三角形的判定定理“SAS”，能推出ABC DCB △≌△ ，故B 选项错误；在△AOB 和△DOC 中，AOB DOCA D OB OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB DOC △≌△ （AAS ），∴AB ＝DC ，∠ABO ＝∠DCO ，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠ABC ＝∠DCB ，在△ABC 和△DCB 中，AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC DCB △≌△（SAS ），能推出ABC DCB △≌△，故C 选项错误；BC ＝CB ，AB ＝DC ，∠ACB ＝∠DBC ，SSA 不符合全等三角形的判定定理，即不能推出ABC DCB △≌△，故D 选项正确．故选D ．4．D解：∵BE ＝CF ，∴BC ＝EF ，又∵AB=DE ，A 、添加BC ＝EF 不能证明△ABC ≌△DEF ，故此选项错误；B 、添加∠A ＝∠D 不能证明△ABC ≌△DEF ，故此选项错误；C 、添加AC ∥DF 可得∠ACB ＝∠F ，不能证明△ABC ≌△DEF ，故此选项错误；D 、添加∠B=∠DEF 可利用SAS 判定△ABC ≌△DEF ，故此选项正确；故选：D ．5．C解：延长AP 交BC 于D ，∵BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP ，∴∠ABP=∠DBP ，∠APB=∠DPB=90°，在△ABP 与△DBP 中，ABP DBPPB PB APB DPB∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABP ≌△DBP （ASA ），∴AP=PD ，S △PBD =S △ABP∴2ACP PCD S S ∆∆==2cm∴S △ABD =10-4=62cm ，∴△ABP 的面积=3cm 2，故选：C ．6．D解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ，∵AB=AC ，AD=AD ，∴△BAD ≌△CAD （SAS ），∴BD=CD ，故①符合题意；∵∠B=∠C ，AD=AD ，∴△BAD ≌△CAD （AAS ），∴BD=CD ，故②符合题意；∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AD=AD ，∴△BAD ≌△CAD （ASA ），∴BD=DC ，故③符合题意；∵ABD ACD S S ，∴BD=DC ，故④符合题意；∴①②③④都可以得到BD=CD ；故选D ．7．C解：∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF ，∴AF=CE ，A 、∠B=∠D ，∠AFD=∠CEB ，AF=CE ，满足AAS ，能判定△ADF ≌△CBE ；B 、BE=DF ，∠AFD=∠CEB ，AF=CE ，满足SAS ，能判定△ADF ≌△CBE ；C 、AD=CB ，AF=CE ，∠AFD=∠CEB ，满足SSA ，不能判定△ADF ≌△CBE ；D 、AD ∥BC ，则∠A=∠C ，又AF=CE ，∠AFD=∠CEB ，满足ASA ，能判定△ADF ≌△CBE ；故选：C ．8．C解：∵CB=CE.∴当AB DE =，B E ∠=∠时，满足SAS ，可证△ABC ≌△DEC ，故A 不符合题意；当AB DE =，AC DC =时，满足SSS ，可证△ABC ≌△DEC ，故B 不符合题意；当AB DE =，A D ∠=∠时，满足是ASS ，不能证明△ABC ≌△DEC ，故C 符合题意；当A D ∠=∠，B E ∠=∠时，满足AAS ，可证△ABC ≌△DEC ，故D 不符合题意．故选C ．9．C解：∵90ACB ∠=︒，∴∠ACD+∠ECB=90º，∵AD CE ⊥，BE CE ⊥，∴∠ADC=∠CEB=90º，∴∠ECB+∠CBE=90º，∴∠ACD=∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，∵∠ADC=∠CEB=90º，∠ACD=∠CBE ，AC=BC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴AD=CE=6，CD=BE=2，∴ED=EC-CD=6-2=4．故选择：C ．10．B解：如图，延长AP 交BC 于T ．∵BP ⊥AT ，∴∠BPA ＝∠BPT ＝90°，∵BP ＝BP ，∠PBA ＝∠PBT ，∴△BPA ≌△BPT （ASA ），∴PA ＝PT ，∴S △BPA ＝S △BPT ，S △CAP ＝S △CPT ，∴S △PBC ＝12S △ABC ＝12=0.5，故选：B ．11．70°解： ∵∠ABC=90°，∴∠CBD=∠ABC =90°，在Rt △ABE 与Rt △CBD 中，BE BDCBD ABC AB BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB=∠BDC ，∵AB=BC ，∴∠BAC=∠ACB=45°，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∠CAE=25°，∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+25°=70°，∴∠BDC=70°．故答案为：70°．12．∠B ＝∠B ′或∠C ＝∠C ′或AC ＝A ′C ′．解：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝A ′B ′，∠A ＝∠A ′，当添加∠B ＝∠B ′可利用“ASA ”判断△ABC ≌△A ′B ′C ′；当添加∠C ＝∠C ′可利用“AAS ”判断△ABC ≌△A ′B ′C ′；当添加AC ＝∠A ′C ′可利用“SAS ”判断△ABC ≌△A ′B ′C ′．故答案为：∠B ＝∠B ′或∠C ＝∠C ′或AC ＝A ′C ′． 13．68°．解：在△BDF和△CED中∵BF=CD ，∠B=∠C ，BD ＝CE ，∴△BDF ≌△CED （SAS ），∴∠BFD=∠CDE ，∠BDF=∠CED ，∴∠BDF+∠CDE=180º-∠EDF=180º-56º=124º，∴∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠CDE=124º，∴∠C=∠B=180º-∠BFD-∠BDF=56º，∴∠A=180º-∠B-∠C=180º-56º-56º=68º．故答案为：68º．14．①② 解：在Rt APR ∆和Rt APS ∆中，PS PR AP AP =⎧⎨=⎩， Rt APR Rt APS ∴∆≅∆，()HLAR AS ∴=，①正确，∴1BAP ∠=∠，12∠=∠，2BAP ∴∠=∠，//QP AB ∴，②正确，BRP ∆和QSP ∆中，只有一个条件PR PS =，再没有其余条件可以证明 BRP QSP ∆≅∆，故③④错误；故答案是：①②．15．2 或 3解：设经过 t 秒后，使△BPD 与△CQP 全等． ∵AB ＝AC ＝12，点 D 为 AB 的中点．∴BD ＝6．∵∠ABC ＝∠ACB ．∴要使△BPD 与△CQP 全等，必须 BD ＝CP 或 BP ＝CP ．即 6＝8﹣2t 或 2t ＝8﹣2t ．1t ＝1，2t ＝2．当t ＝1 时，BP ＝CQ ＝2，2÷1＝2．当t ＝2 时，BD ＝CQ ＝6，6÷2＝3．即点 Q 的运动速度是 2 或 3，故答案为：2 或 3．16．解：（1）∵BF 平分∠ABC ， ∴12ABF CBF ABC ∠=∠=∠，∵CD ∥AB ，∴ABF E ∠=∠，∴E CBF ∠=∠，∴BC=CE ，∴△BCE 是等腰三角形．（2）∵CF 平分∠BCE ， ∴12BCF BCE ∠=，∵CD ∥AB ，∴180ABC BCE ∠+∠=︒，∴90CBF BCF ∠+∠=︒，∴90BFC ∠=︒，即 CF ⊥BE ，又BC=CE ，∴BF=EF ，在△ABF 和△DEF 中，∵ABF EAFB DFE BF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DEF ；∴AB=DE ，∴BC=CE=DE+CD=AB+CD ，因此 BC=AB+CD ．17．解：证明：∵BE ＝CF ，∴BE +EC ＝CF +EC ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∵AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．18．解：证明：延长AD ，BC 交于点E ．∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝∠EDC ＝90°．在△ADC 和△EDC 中12ADC EDCCD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC≌△EDC（ASA）．∴∠DAC＝∠DEC，AC＝EC，AD＝ED．∵AC＝7，∴EC＝7．∵BC＝4∴BE＝11∵∠DAB＝∠B，∴AE＝BE＝11．∴AD＝5.5．答：AD的长为5.5．19．解：（1）证明：如图所示，连接DB．∵AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA，∴DF=DG ．∵DE 垂直平分BC ，∴DC=DB ，在Rt △CDF 与Rt △BDG 中DF DG DC DB=⎧⎨=⎩ ∴Rt △CDF ≌Rt △BDG （HL ），∴BG=CF ．（2）解：∵∠GAD=∠FAD ，∠AGD=∠AFD ，AD=AD ， ∴在△ADG 与△ADF 中GAD FAD AGD AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADF （AAS ），∴AG=AF ，∵BG=CF∴AG=()()111410222AC AB -=-=(cm)． 20．解：（1）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠DAC+∠ACD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△ADC 和△CEB ，ADC CEBDAC ECB AC CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）， ∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ∴∠DAC+∠ACD ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，∵AC=BC ，∴△ADC ≌△CEB ，∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ∴∠DAC+∠ACD ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∴DE＝BE﹣AD．。

人教版八年级数学全等三角形的性质讲义(含解析)(2020年最新)

第4讲全等三角形的性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，上节课学习了全等三角形的判定，那么本节课就来学习全等三角形的性质。

一般在几何大题中，性质和判定都是相辅相成的，一起作为考点，因此我们要掌握全等三角形的判定和性质，灵活做题。

知识梳理讲解用时：15分钟全等三角形的判定复习三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL)注意：AAA和SSA都不成立全等三角形的性质全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等因为△ABC≌△DEF所以∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠FAB=DE BC=EF AC=DF课堂精讲精练【例题1】如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去【答案】C【解析】根据三角形全等的判定方法ASA，即可求解．解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了全等三角形的应用，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定去解决生活中的实际问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（）A．①B．②C．③D．任意一块【答案】A【解析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．解：只有①中包含两角及夹边，符合ASA．故选A．讲解用时：2分钟解题思路：本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定即选哪块．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定去解决生活中的实际问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠DAC交CD于点F，点E为AB上一点，AE=AC，连接EF，若∠B=56°，则∠AEF=（）A．34°B．46°C．56°D．60°【答案】C【解析】先依据SAS判定△ACF≌△AEF，得出∠AEF=∠ACF，再根据∠B+∠BAC=90°=∠ACD+∠DAC，即可得到∠B=∠ACD，进而得出∠AEF=∠B=56°．解：∵AF平分∠DAC，∴∠CAF=∠EAF，又∵AC=AE，AF=AF，∴△ACF≌△AEF，∴∠AEF=∠ACF，又∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°=∠ACD+∠DAC，∴∠B=∠ACD，∴∠AEF=∠B=56°，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】如图，在△ABC中，已知AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED=度．【答案】100【解析】先利用SSS判定△ABD≌△EBD得出∠A=∠DEB=80°，从而得出∠CED=100°．解：∵AD=DE，AB=BE，BD=BD∴△ABD≌△EBD（SSS）∴∠A=∠DEB=80°∴∠CED=180°﹣80°=100°讲解用时：3分钟解题思路：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】已知：如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD，若∠D=25°，则∠B的度数为．【答案】25°【解析】由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE，再加AC=AE，AB=AD，即可得△ABC≌△ADE，从而∠B=∠D=30°．解：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE，又∵AC=AE，AB=AD，∴△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=25°．故答案为25°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查三角形全等的判定及性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，已知AB=DE，∠A=∠D，AC=DC，若∠ACD=15°，则∠BCE=°．【答案】15【解析】根据SAS证明△ACB与△CDE全等，再利用全等三角形的性质解答即可．解：在△ACB与△CDE中∴△ACB≌△CDE（SAS），∴∠ACB=∠DCE，即∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE=15°，故答案为：15讲解用时：3分钟解题思路：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ACB与△CDE全等．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2cm，BE=0.5cm，则DE= cm．【答案】1.5【解析】证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可证得CE=AD，从而求解．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠E=∠ADC=90°∴∠DAC+∠DCA=90°∵∠ACB=90°∴∠BCE+∠DCA=90°∴∠BAC=∠DAE在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE∴BE=CD=0.5（cm），EC=AD=2（cm）DE=CE﹣CD=1.5（cm），故答案为1.5讲解用时：3分钟解题思路：本题考查全等三角形的判定与性质，正确证明∠BAC=∠DAE是解决本题的关键．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，点B、C、D在同一直线上，且AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，则∠ACE为度．【答案】90【解析】根据垂直的定义求出∠B=∠D=90°，根据全等三角形的判定SAS证△ABC≌△CDE，推出∠ACB=∠E，根据三角形的内角和定理和平角求出∠ACE=90°即可．解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE，∴∠ACB=∠E，∵∠D=90°，∴∠E+∠ECD=90°，∴∠ACB+∠ECD=90°，∵∠BCD=180°（平角定义），∴∠ACE=180°﹣（∠ACB+∠ECD）=180°﹣90°=90°，故答案为：90°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对垂线，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能推出∠ACB+∠ECD=90°是解此题的关键．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC点上，连接BE、AD，AD 的延长线交BE于点F，则∠AFB= °．【答案】90【解析】由SAS可证明△BEC≌△ADC，得出∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得出∠FDB=∠CDA，求得∠EBC+∠FDB=90°，即可得出结果．解：∵△ECD和△BCA都是等腰直角三角形，∴EC=DC，BC=AC，∠ECD=∠ACB=90°，在△BEC和△ADC中，，∴△BEC≌△ADC（SAS），∴∠EBC=∠DAC，∵∠DAC+∠CDA=90°，∠FDB=∠CDA，∴∠EBC+∠FDB=90°，∴∠BFD=90°．故答案为90．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质；通过证明三角形全等将相等的角进行转换是解题的关键．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24°，∠2=36°，则∠3= ．【答案】60°【解析】易证△AEC≌△ADB，可得∠ABD=∠2，根据外角等于不相邻内角和即可求解．解：∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠CAE=∠1，∵在△AEC和△ADB中，，∴AEC≌△ADB，（SAS）∴∠ABD=∠2，∵∠3=∠ABD+∠1，∴∠3=∠2+∠1=60°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证AEC≌△ADB是解题的关键．教学建议：灵活掌握全等三角形的性质和判定.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，已知△ABC中，点D为BC上一点，E、F两点分别在边AB、AC上，若BE=CD，BD=CF，∠B=∠C，∠A=50°，则∠EDF= °．【答案】65【解析】易证△BDE≌△CFD，可得∠BDE=∠CFD，根据∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°即可求得∠EDF的值，即可解题．解：在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴∠BDE=∠CFD，∵∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°，∴∠CFD+∠CDF+∠EDF=180°，∵∠CFD+∠CDF+∠C=180°，∴∠EDF=∠C．∵∠B=∠C，∠A=50°，∴∠EDF=∠C=（180°﹣50°）=65°，故答案为65°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△BDE≌△CFD是解题的关键．教学建议：灵活掌握全等三角形的性质和判定.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】已知：如图，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC．①求证：△ADE为等腰三角形．②若∠B=60°，求证：△ADE为等边三角形．【答案】①△ADE为等腰三角形；②△ADE为等边三角形【解析】①先根据∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，判定△ABD≌DCE，得出AB=DC，进而得到△ADE为等腰三角形；②根据△ABD≌△DCE，得出∠BAD=∠CDE，再根据平角的定义，得到∠ADE=60°，最后判定等腰△ADE为等边三角形．证明：①在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴DA=DE，即△ADE为等腰三角形②∵△ABD≌△DCE，∴∠BAD=∠CDE，∵∠B=60°，∴∠BAD+∠ADB=120°，∴∠CDE+∠ADB=120°，∴∠ADE=60°，又△ADE为等腰三角形，∴△ADE为等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意第②问中三角形内角和定理及平角定义的综合运用．教学建议：灵活掌握等腰三角形和等边三角形的判定以及全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，点E在△ABC的外部，点D边BC上，DE交AC于点F，若∠1=∠2，AE=AC，BC=DE．（1）求证：AB=AD；（2）若∠1=60°，判断△ABD的形状，并说明理由．【答案】（1）AB=AD；（2）等边三角形【解析】（1）根据三角形内角和定理得到∠E=∠C，再根据AC=AE，∠C=∠E，BC=DE，判定△ABC≌△ADE，即可得到AB=AD．（2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得∠ADB=∠ADE，进而得出，可得△ABD是等边三角形．解：（1）∵∠1+∠AFE+∠E=180°，∴∠E=180°﹣∠1﹣∠AFE，∵∠2+∠CFD+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠2﹣∠CFD，∵∠1=∠2，∠AFE=∠CFD，∴∠E=∠C，∵AC=AE，∠C=∠E，BC=DE，∴△ABC≌△ADE，∴AB=AD．（2）△ABD是等边三角形．理由：∵∠1=∠2=60°，∴∠BDE=180°﹣∠2=120°，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE，∴∠ADB=∠ADE，∴，∴△ABD是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．【答案】（1）∠ABD=∠ACD；（2）50°【解析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可；（2）利用三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．证明：（1）∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE=∠CAD在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD∴∠ABD=∠ACD（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴∠BAC=∠BDC∵∠ACB=65°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=65°∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°∴∠BDC=∠BAC=50°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，求证：BD=CE．【答案】BD=CE【解析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE，讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC，分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC、FC．（1）∠B 与∠D相等吗？请说明理由；（2）求证：EC=FC．【答案】（1）∠B=∠D ；（2）EC=FC【解析】（1）结论∠B=∠D，只要证明△ABC≌△ADC即可．（2）欲证明EC=FC，只要证明△EBC≌△FDC，或△ACE≌△ACF即可．（1）解：结论∠B=∠D．理由：连接AC．在△ACB和△ACD中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠B=∠D（2）∵点E与F分别是AB、AD的重点∴BE=AB，DF=AD，∴BE=DF，在△EBC和△FDC中，，∴△EBC≌△FDC（SAS）∴EC=FC．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CD于E，BD⊥CD于D，AE=5cm，BD=2cm，（1）求证：△AEC≌△CDB；（2）求DE的长．【答案】（1）求证：△AEC≌△CDB；（2）3cm【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质和已知条件易证△AEC≌△CDB；（2）根据全等三角形的性质可得AE=CD，CE=BD，所以DE可求出．解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠DCB=90°，∵AE⊥CD于E，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠DCB，∵BD⊥CD于D，∴∠D=90°，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）∵∴△AEC≌△CDB，∴AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，∴DE=CD﹣CE=3cm．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，点A，D，E，C在同一条直线上，AB=DE，AB∥DF，AC=DF，求证：∠F=∠C．【答案】∠F=∠C【解析】运用SAS证明△ABC与△DEF全等，即可得到∠F=∠C．证明：∵AB∥DF，∴∠A=∠EDF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠F=∠C．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，AB=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=∠E，求证：AE=AC．【答案】AE=AC【解析】先证出∠BAC=∠DAE，再由AAS证明△ABC≌△ADE，得出对应边相等即可．证明：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS），∴AE=AC．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》(含答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5D解析：D【分析】过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值．【详解】解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ，'''MF F E ∴=，'''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值．三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102CM ⨯⋅=，21054CM ⨯∴==．即CF EF +的最小值为5，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．2．下列命题的逆命题是真命题的是（）．A 3 3B 5C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等C解析：C【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．【详解】A 、3的平方根是3的逆命题是：3是3的平方根，是假命题；B 、5是无理数的逆命题是：无理数是5，是假命题；C 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；故选：C ．【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．3．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，BD CE =，BF CD =，则EDF ∠等于（）A ．90A ︒-∠B ．1802A ︒-∠C ．1902A ︒-∠D ．11802A ︒-∠ C 解析：C【分析】根据∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，可证出△BFD ≌△CDE ，继而得出∠BFD=∠EDC ，再根据三角形内角和定理及平角等于180︒，即可得出∠B=∠EDF ，进而得到答案．【详解】解：∵∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，∴△BFD ≌△CDE ，∴∠BFD=∠EDC ，∴∠B+∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠EDF+∠EDC ，∴∠B=∠EDF ，又∵∠B=∠C=18019022A A ︒-∠=︒-∠， ∴∠EDF=1902A ︒-∠，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出∠BFD=∠EDC 是解题的关键．4．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（）A ．BD +ED ＝BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD B解析：B【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE ＝DC ，然后利用AAS 证明△ACD ≌△AED ，再对各选项分析判断后利用排除法．【详解】解：∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DC ，A 、BD +ED ＝BD +DC ＝BC ，故本选项正确；在△ACD 与△AED 中，90DAC DAE ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴∠ADC ＝∠ADE ，∴AD 平分∠EDC ，故C 选项正确；但∠ADE 与∠BDE 不一定相等，故B 选项错误；D 、∵△ACD ≌△AED ，∴AE ＝AC ，∴ED +AC ＝ED +AE ＞AD （三角形任意两边之和大于第三边），故本选项正确．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，证明ACD AED △≌△是解题的关键．5．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④D解析：D【分析】易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD ，∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 是等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，故③正确；作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在△BEG 和△BEF 中BE BE EF EG=⎧⎨=⎩ ∴ △BEG ≌△BEF ，∴BG=BF ，在△CEG 和△AFE 中EF EG AE CE =⎧⎨=⎩∴△CEG ≌△AFE ，∴ AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键； 6．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF C解析：C【分析】由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．【详解】∵AD FC =，∴AC=FD ，∵AB FE =，∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△，故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，故选：C ．【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．7．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，∠C＝40°B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4C．∠C＝90°，AB＝6 D．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°B解析：B【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：A、根据AB＝3，BC＝4，∠C＝40°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；B、∠A＝60°，AB＝4，∠B＝45°，能画出唯一△ABC，故此选项符合题意；C、∠C＝90°，AB＝6，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；D、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4B解析：B【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得1 2×2×AC+12×2×4=7，于是可求出AC的值．【详解】解：作DH⊥AC于H，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DE=2，∵S△ABC=S△ADC+S△ABD，∴12×2×AC+12×2×4=7，∴AC=3．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．9．下列命题，真命题是（）A．全等三角形的面积相等B．面积相等的两个三角形全等C．两个角对应相等的两个三角形全等D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键．10．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL C解析：C【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．【详解】解：尺规作图-作一个角的角平分线的作法如下：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，②再分别以F、E为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点M，③画射线OM，射线OM即为所求．由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS．故选：C．【点睛】本题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角的平分线的基本作图方法．二、填空题11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC 上，DE⊥AB于点E，DC=DE，∠A=32°，则∠BDC的度数为________．61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线再求出∠ABD的度数根据三角形外角的性质进而求得结论【详解】解：∵∠A=32°∠ACB=9解析：61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数，然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线，再求出∠ABD的度数，根据三角形外角的性质进而求得结论．【详解】解：∵∠A=32°，∠ACB=90°，∴∠CBA=58°，∵DE⊥AB，DC⊥BC，DC=DE，∴BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠EBD，∴∠CBD=12∠CBA=12×58°=29°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+29°=61°．故答案为：61°．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是根据已知条件得到BD为∠ABC的平分线，难度不大．12．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是____．【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E 利用角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝8再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD 可求出四边形ABCD 的面积【详解】解：过点D 作DE ⊥B 解析：120【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，利用角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝8，再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，可求出四边形ABCD 的面积．【详解】解：过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，如图所示．又∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°，∴DE ＝DC ＝8，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，＝12AB•DE ＋12BC•CD ，＝12×12×8＋12×18×8，＝120．故答案为：120．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE ＝8是解题的关键．13．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE ，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．6【分析】根据CF ∥AB 得到∠DAE=∠FCE 结合AE=CE ∠AED=∠FEC 可得△AED ≌△CEF 根据即可得出结果【详解】解：∵CF ∥AB ∴∠DAE=∠FCE 又∵AE=CE ∠AED=∠FEC ∴△A解析：6【分析】根据CF ∥AB ，得到∠DAE=∠FCE ，结合AE=CE ，∠AED=∠FEC ，可得△AED ≌△CEF ，AED CEF S S =，根据 ABC AED CEF DBCE DBCE DBCF S S S S S S =+=+=四边形四边形四边形，即可得出结果．【详解】解：∵CF ∥AB ，∴∠DAE=∠FCE ，又∵AE=CE ，∠AED=∠FEC ，∴△AED ≌△CEF ，∴AED CEF SS =， ∴26ABC AED CEF DBCE DBCE DBCF S S S S S S cm =+=+==四边形四边形四边形，故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是证得△AED ≌△CEF ． 14．如图，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，BD ＝CF ，BE ＝CD ．若∠AFD ＝145°，则∠EDF ＝_____．55°【分析】由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD 根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°进而可求出∠EDF 的值【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°∠解析：55°【分析】由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°，证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD ，根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°，进而可求出∠EDF 的值．【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°．又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt △BDE 与△Rt △CFD 中，BE CD BD CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌△Rt △CFD （HL ），∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．故答案是：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若3CD =，10AB =，则ABD △的面积是______．15【分析】如图过点D 作DE ⊥AB 于E 首先证明DE=CD=3再利用三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图过点D 作DE ⊥AB 于E 由作图可知AD 平分∠CAB ∵CD ⊥ACDE ⊥AB ∴DE=CD=3∴S △ 解析：15【分析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．首先证明DE=CD=3，再利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．由作图可知，AD 平分∠CAB ，∵CD ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE=CD=3，∴S △ABD =12•AB•DE=12×10×3=15，故答案为15．【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．16．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，若12AB =，4CD =，则ABD △ 的面积为__________．24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理可得DE=CD=4然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵AD 平分交BC 边于点D ∴DE=CD=4∴的面积为AB解析：24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=4,然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，∴DE=CD=4，∴ABD △ 的面积为12AB·DE=12×12×4=24．故答案为：24．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，正确作出辅助线、构造角平分线定理所需条件成为解答本题的关键．17．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．15【分析】过点E 作EM ⊥AC 于MEN ⊥AD 于NEF ⊥BC 于H 如图先计算出∠EAM=75°则AE 平分∠EAD 根据角平分线的性质得EM=EN 再由CE 平分∠ACB 得到EM=EH 则EN=EH 于是根据角平分解析：15【分析】过点E 作EM ⊥AC 于M ，EN ⊥AD 于N ，EF ⊥BC 于H ，如图，先计算出∠EAM=75°，则AE 平分∠EAD ，根据角平分线的性质得EM=EN ，再由CE 平分∠ACB 得到EM=EH ，则EN=EH ，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE 平分∠ADB ，则∠1=12∠ADB ，根据三角形外角性质得∠1=∠DEC+∠2，即∠1=∠DEC+12∠ACB ，∠ADB=∠DAC+∠ACB ，所以∠DEC==12∠DAC=15°．【详解】解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图．∵ 30DAC ∠=，75DAB ∠=，∴ 75EAM ∠=，∴ AE 平分MAD ∠，∴ EM EN =．∵ CE 平分ACB ∠，∴ EM EH =，∴ EN EH =，∴ DE 平分ADB ∠，∴112ADB ∠=∠． ∵ 12DEC ∠=∠+∠，而122ACB ∠=∠，∴ 112DEC ACB ∠=∠+∠，而ADB DAC ACB ∠=∠+∠，∴ 11301522DEC DAC ∠=∠=⨯= ．故答案为：15．【点睛】本题考查了平分线的性质和三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．18．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE ＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为______cm2．6【分析】过点P作PH⊥AMPQ⊥AN连接AP根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ再根据三角形的面积求出BC然后求出AC+AB再根据S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC解析：6【分析】过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.【详解】解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S△BPC=12×BC×PE=7.5∴BC=5∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC=12×AC×PQ+12×AB×PH-7.5=12×3（AC+AB）-7.5∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S △ABC=12×3×9-7.5=6 cm 2 【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S △ABC 的面积的表示．19．如图所示，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，∠A=∠F ，AC=FE ，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是___________________ ．（只需填一个即可）∠C ∠E 或ABFD(ADFB)或∠ABC ∠FDE 或DE ∥BC 【分析】要判定△ABC ≌△FDE 已知∠A=∠FAC=FE 具备了一组角和一组边对应相等故可以添加∠C ∠E 利用ASA 可证全等（也可添加其它条件解析：∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC【分析】要判定△ABC ≌△FDE ，已知∠A=∠F ，AC=FE ，具备了一组角和一组边对应相等，故可以添加∠C =∠E ，利用ASA 可证全等．（也可添加其它条件）．【详解】增加一个条件：∠C =∠E ，在△ABC 和△FDE 中，C E AC FE A F ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△FDE(ASA)；或添加AB =FD(AD =FB) 利用SAS 证明全等；或添加∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC 利用AAS 证明全等．故答案为：∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC （答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA 、AAS 、SAS 、SSS 等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．20．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 的平分线交BC 于D ，若20ABD S ∆=cm 2，AB =10cm ，则CD 为__________cm ．4【分析】由角平分线的性质可知D 到AB 的距离等于DC 可得出答案【详解】解：作DE ⊥AB 于E ∵AD 平分∠CAB 且DC⊥ACDE⊥AB∴DE=DC∵S△ABD=20cm2AB=10cm∴•AB•DE=2解析：4【分析】由角平分线的性质可知D到AB的距离等于DC，可得出答案．【详解】解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，∵S△ABD=20cm2，AB=10cm，∴1•AB•DE=20，2∴DE=4cm，∴DC=DE=4cm故答案为：4．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．三、解答题21．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：CD=2BE．解析：见解析【分析】根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF，再利用“角边角”证明△AFB≌△ADC可得CD=BF，利用“角边角”证明△BCE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等BE=EF，整理即可得证．【详解】证明：∵BE⊥CD，∠BAC=90°，∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，∠ABF+∠F=180°-90°=90°，∴∠ACD=∠ABF ，在△AFB 和△ADC 中，90ACD ABF AB ACCAD BAF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△AFB ≌△ADC （ASA ）；∴CD=BF ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCE=∠FCE ，在△BCE 和△FCE 中，90BCE FCE CE CEBEC FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△BCE ≌△FCE （ASA ），∴BE=EF ，∴BF=2BE∴CD=2BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法并准确识图是解题的关键．22．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．解析：（1）AC CE ⊥，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE ∠=∠，进而判断出90DCE ACB ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE=⎧⎨=⎩ ∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌， ∴A DCE ∠=∠∵90B ∠=︒，∴90A ACB ∠+∠=︒，∴()18090ACE DCE ACB ∠=︒-∠+∠=︒，∴AC CE ⊥；（2）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE=⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D ∠=∠，∵90B ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，∴2190DC E AC B ∠+∠=︒，在12C FC 中，()122118090C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠=︒，∴12AC C E ⊥；（3）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴190ABC D ∠=∠=︒在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D ∠=∠，∵190ABC ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，在12C FC 中，()2112180=90C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠︒，∴12AC C E ⊥．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．23．如图，点,,,B F C E 在一条直线上，,//,//AB DE AB ED AC FD =．求证：（1） AC DF =（2）FB CE =解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，根据AAS 证出△BAC ≌△EDF ，可得AC=DF ；．（2）由△BAC ≌△EDF ，可证BC=EF ，进而可得FB=CE ．【详解】证明：（1）∵AB//ED ，AC//FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，在△BAC 和△EDF 中ACB DFE B EAB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△EDF （AAS ），∴AC=DF ；（2）∵△BAC ≌△EDF ，∴BC=EF ，∴BC-FC=EF-FC ，∴FB=CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：①全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．24．如图①，∠BAD=90°，AB=AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥CA 的延长线点E ，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D ，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD ，得△ABC ≌△DAE 进而得到AC=DE ，BC=AE ，我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AC=AE ，连接BC 、DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ，求证：点G 是DE 的中点．（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A 为平面内任意一点，点B 的坐标为（4，1），若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标．解析：（1）见解析；（2）A(32，52)或(52，-32)．【分析】（1）过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ．根据“K 字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN ，即EN=DM ，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG ，即点G 是DE 的中点．（2）分情况讨论①当A 点在OB 的上方时，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．根据“K 字模型”即可证明AC BD OC AD DE ===，，再利用B 点坐标即可求出A 点坐标．②当A 点在OB 的下方时，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．同理即能求出A 点坐标．【详解】（1）如图，过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．∵∠BHA=90 ，∴∠2+∠B=90°．∵∠BAD=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠B=∠1 ．在△ABH 和△DAM 中1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≅△DAM （AAS ），∴AH=DM ．同理 △ACH ≅△EAN （AAS ），∴ AH=EN ．∴EN=DM ．在△DMG 和△ENG 中MGD NGE DMG ENG DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DMG ≅△ENG （AAS ）．∴DG=EG ．∴点G 是DE 的中点．（2）根据题意可知有两种情况，A 点分别在OB 的上方和下方．①当A 点在OB 的上方时，如图，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．利用“K 字模型”可知ACO BDA ≅，∴AC BD OC AD DE ===，，设AC x =，则BD x =，∵1DE BD BE x =+=+，∴1OC AD DE x ===+，又∵4CD AD AC =+=，即14x x ++=，解得32x =， ∴32AC =，35122DE =+=．即点A 坐标为(32，52)．②当A 点在OB 的下方时，如图，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．根据①同理可得：52AP =，32MQ =．即点A 坐标为(52，32-)．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．熟练利用三角形的判定方法是解答本题的关键．25．已知4,BC BA BC =⊥，射线CM BC ⊥，动点P 在BC 上，PD PA ⊥交CM 于D ．（1）如图1，当3,1BP AB ==时，求DC 的长；（2）如图2，连接AD ，当DP 平分ADC ∠时，求BP 的长．解析：（1）3；（2）2【分析】（1）根据同角的余角相等证得∠1=∠3，再利用AAS 证明()ABP PCD AAS ∆≅∆，然后根据全等三角形的性质解答即可；（2）过P 作PH AD ⊥于H ，利用角平分线的性质进行解答即可．【详解】解：（1）如图，∵AP PD ⊥，∴1290∠+∠=︒，∵PC CD ⊥，∴2390∠+∠=︒∴13∠=∠，∵3,4BP BC ==，∴1PC BC BP =-=，又∵1AB =，∴AB PC =，又∵AB BP ⊥，∴90B C ∠=∠=︒，∴()ABP PCD AAS ∆≅∆，∴3CD BP ==；（2）作PH AD ⊥于H ，如图2，∵DP 平分ADC ∠，∴∠1=∠2，∵90C ∠=︒，PH AD ⊥∴∠HDP=∠CDP ，∴PH PC =，又∵1390∠+∠=︒，2490∠+∠=︒，∴34∠=∠，又∵90B ∠=︒，PH AD ⊥∴∠HAP=∠BAP ，∴PH BP =， ∴122BP PC BC ===．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线灵活运用角平分线的性质是解答的关键．26．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且()2320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．（1）求证：AO AB =；（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，作AE ⊥OB 于点E ，由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据∠CAD=∠OAB ，得出∠OAC=∠BAD ，再由SAS 定理即可得出结论；（3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP 的长度不变，故可得出结论．【详解】（1）证明：∵()2320a b a b +-+-=，∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴()1,3A ，()2,0B ．作AE OB ⊥于点E ，∵()1,3A ，()2,0B ，∴1OE =，211BE =-=，在AEO ∆与AEB ∆中，∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴AEO AEB ∆∆≌，∴OA AB =．（2）证明：∵CAD OAB ∠=∠，∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠，即OAC BAD ∠=∠．在AOC ∆与ABD ∆中，∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC ABD ∆∆≌．（3）解：点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设AOB α∠=．∵OA AB =，∴AOB ABO α∠=∠=．由（2）知，AOC ABD ∆∆≌，∴ABD AOB α∠=∠=．∵2OB =，1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值，90POB ∠=︒，易知POB ∆形状、大小确定，∴OP 长度不变，∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 27．命题：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等，写出它的逆命题，并判断逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举反例．解析：逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；证明见解析．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题，再得出命题的正确性．【详解】解：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等的逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；在Rt BCE 与Rt CBD △中，BD CE BC CB =⎧⎨=⎩∴()Rt BCE Rt CBD HL ≌，∴DCB EBC ∠=∠．【点睛】此题主要考查了命题与定理的证明，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，进而利用全等三角形的证明方法求出即可．28．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．解析：（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下：在ABE 和ADG 中， DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF 12=∠AOB ，又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．。

人教版数学八上第6讲全等三角形判定一(SSS,SAS)(基础)知识讲解(1)

全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”； 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等. 【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知）， ∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定. 举一反三：【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE 在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD 证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB ＝BC ，BD ＝BE 在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等） ∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90° ∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证：QC ＝QB【答案】证明：∵ AP 平分∠BAC ∴∠BAP ＝∠CAP 在△ABQ 与△ACQ 中∵∴△ABQ ≌△ACQ(SAS) ∴ QC ＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH ≌△DFH(SSS) ∴∠DEH ＝∠DFH ．【总结升华】证明△DEH ≌△DFH ，就可以得到∠DEH ＝∠DFH ，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS ”定理就能解决问题. 举一反三：【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，边OB 上分别取OD ＝OE ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D 、E 重合，这时过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线，你能先说明△OPE 与△OPD 全等，再说明OP 平分∠AOB 吗？【答案】证明：在△OPE 与△OPD 中∵OE OD OP OP PE PD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ △OPE ≌△OPD （SSS ）∴ ∠EOP ＝∠DOP(全等三角形对应角相等) ∴ OP 平分∠AOB.【巩固练习】一、选择题1. △ABC 和△'''A B C 中，若AB ＝''A B ，BC ＝''B C ，AC ＝''A C .则（） A.△ABC ≌△'''A C B B. △ABC ≌△'''A B C C. △ABC ≌△'''C A B D. △ABC ≌△'''C B A2. 如图，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，则下列结论中错误的是（） A.AB ∥DC B.∠B ＝∠D C.∠A ＝∠C D.AB ＝BC3. 下列判断正确的是（） A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等4. 如图，AB 、CD 、EF 相交于O ，且被O 点平分，DF ＝CE ，BF ＝AE ，则图中全等三角形的对数共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5. 如图，将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，使'AA ，'BB 可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△''OA B 的理由是( )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边6. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的是（） A.EC ⊥AC B.EC ＝AC C.ED ＋AB ＝DB D.DC ＝CB二、填空题7. 如图，AB ＝CD ，AC ＝DB ，∠ABD ＝25°，∠AOB ＝82°，则∠DCB ＝_________.8. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相平分，则图中全等三角形共有_____对.9. 如图，在△ABC 和△EFD 中，AD ＝FC ，AB ＝FE ，当添加条件_______时，就可得△ABC ≌△EFD （SSS ）10. 如图，AC ＝AD ，CB ＝DB ，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE ＝_______.11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝_______．12. 已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌ .三、解答题13. 已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：CO＝DO．14. 已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB∥CD （），∴∠______＝∠______ （），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （）． ∴ ∠______＝∠______ （）． ∴ ______∥______（）．15. 如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE 求证：AE ＝DE.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】注意对应顶点写在相应的位置. 2. 【答案】D ；【解析】连接AC 或BD 证全等. 3. 【答案】D ； 4. 【答案】C ；【解析】△DOF ≌△COE ，△BOF ≌△AOE ，△DOB ≌△COA. 5. 【答案】A ；【解析】将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，说明OA ＝'OA ，OB ＝'OB ，再由对顶角相等可证.6. 【答案】D ；【解析】△ABC ≌△EDC ，∠ECD ＋∠ACB ＝∠CAB ＋∠ACB ＝90°，所以EC ⊥AC ，ED ＋AB ＝BC ＋CD ＝DB.二.填空题7. 【答案】66°；【解析】可由SSS 证明△ABC ≌△DCB ，∠OBC ＝∠OCB ＝82412︒=︒，所以∠DCB ＝ ∠ABC ＝25°＋41°＝66°8. 【答案】4；【解析】△AOD ≌△COB ，△AOB ≌△COD ，△ABD ≌△CDB ，△ABC ≌△CDA. 9. 【答案】BC ＝ED ； 10.【答案】56°；【解析】∠CBE ＝26°＋30°＝56°. 11.【答案】20°；【解析】△ABE ≌△ACD （SAS ） 12.【答案】△DCB ，△DAB ；【解析】注意对应顶点写在相应的位置上. 三.解答题13.【解析】证明：在△ADC 与△BCD 中，,,,DC CD ADC BCD AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()...ADC BCD SAS ACD BDC OC OD ∠=∠=∴△≌△∴∴ 14. 【解析】3，4； ABD ，CDB ；已知；1，2；两直线平行，内错角相等； ABD ，CDB ； AB ，CD ，已知； ∠1＝∠2，已证； BD ＝DB ，公共边； ABD ，CDB ，SAS ；3，4，全等三角形对应角相等； AD ，BC ，内错角相等，两直线平行.15.【解析】证明：在△ABC 和△DCB 中AB DC AC DB BC =CB ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝∴△ABC ≌△DCB （SSS ） ∴∠ABC ＝∠DCB ，在△ABE 和△DCE 中ABC DCB AB DC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCE （SAS ） ∴AE ＝DE.DBA。

人教版八年级数学讲义全等三角形的判定和性质 (含解析)

第2讲全等三角形的判定和性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习三角形的判定和性质，这是一节非常重要的内容，是中考大题考查的重点，所占分值也是非常高的，因此通过本节课的学习我们要掌握全等三角形的几种判定方法和性质，学会处理这一类的几何题目。

知识梳理讲解用时：20分钟全等三角形1、全等形：在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形，或者可以表述为直线对称的两个图形是全等形2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形形状大小两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。

A DB C E F3、对应顶点：A与D B与E C与F对应边：AB对应DE BC对应EF AC对应DF对应角：∠A对应∠D ∠B对应∠E ∠C对应∠F4、符号：△ABC≌△DEF “≌”读作“全等于”（注意：对应的顶点的字母写在对应的位置上）三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL)（1） AB=DE （2）∠A=∠D∠B=∠E AB=DEBC=EF ∠B=∠E 则△ABC≌△DEF（SAS）则△ABC≌△DEF（ASA）（3） AB=DE （4）∠A=∠DBC=EF ∠B=∠EAC=DF BC=EF则△ABC≌△DEF（SSS）则△ABC≌△DEF（AAS）A DB C E F（5）AC=DFAB=DE则Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）注意：AAA和SSA都不成立全等三角形的性质全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等因为△ABC≌△DEF所以∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠FAB=DE BC=EF AC=DF课堂精讲精练【例题1】选择题下列条件，不能使两个三角形全等的是（）A．两边一角对应相等B．两角一边对应相等C．直角边和一个锐角对应相等 D．三边对应相等【答案】A【解析】全等三角形的判定定理有“边角边”，“角边角”，“边边边”“角角边”，“HL”，根据此可判断正误找出答案．解：A、“边边角”不能证明两个三角形全等，故本选项错误．B、两角一边对应相等能证明三角形全等．故本选项正确．C、直角边和一个锐角对应相等能证明三角形全等．故本选项正确．D、三边对应相等能证明三角形全等．故本选项正确．故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查全等三角形的判定定理，关键是熟记这些“边角边”，“角边角”，“边边边”“角角边”，“HL”，判定定理．教学建议：熟练掌握全等三角形的几种判定，有效区分.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE【答案】A【解析】由EB=CF，可得出EF=BC，又有∠A=∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．解：A、添加DE=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故A选项正确．B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项错误．C、添加∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项错误．D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项错误．故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．教学建议：注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，点A在DE上，AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于（）A．DC B．BC C．AB D．AE+AC【答案】C【解析】欲证DE=AB，需根据题中所给角之间的关系证明出∠ACB=∠DCE和∠BAC=∠CAE，又AC=CE，即可证明出△ABC≌△EDC，由全等三角形的性质可得出DE=AB．解：∵∠2=∠3，∴∠DCE=∠3+∠ACD=∠2+∠ACD=∠ACB，即：∠ACB=∠DCE，又∵AC=CE，∴∠E=∠CAE，∠1+∠BAC=∠DAC=∠3+∠CEA，∵∠1=∠3，∴∠BAC=∠CEA在△ABC和△EDC中，∠ACB=∠DCE，AC=CE，∠BAC=∠E，∴△ABC≌△EDC，∴DE=AB．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质；巧妙地利用∠1是解决本题的关键．教学建议：熟练掌握全等三角形的几种判定，有效区分.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=7，则CD的长为（）A．5.5 B．4 C．4.5 D．3【答案】B【解析】先证明△ABC≌△EFD，得出AC=ED=7，再求出AD=AE﹣ED=3，即可得出CD=AC﹣AD=4解：∵AB∥EF，∴∠A=∠E，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（ASA），∴AC=ED=7，∴AD=AE﹣ED=10﹣7=3，∴CD=AC﹣AD=7﹣3=4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．教学建议：学会判定全等三角形，再利用全等三角形的性质证明边相等.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，AC⊥BC，AD⊥DB，下列条件中，能使△ABC≌△BAD的有（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠ABD=∠BAC；②∠DAB=∠CBA；③AD=BC；④∠DAC=∠CBD．【答案】①②③【解析】先得到∠C=∠D=90°，若添加∠ABD=∠BAC，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BAD；若添加∠DAB=∠CBA，则可先利用“AAS”证明△ABC≌△BAD；若添加AD=BC，则可利用“HL”判断ABC≌△BAD；若添加∠DAC=∠CBD，则不能判断ABC≌△BAD．解：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°，①在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD（AAS），所以①正确；②在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（AAS），所以②正确；③在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴△ABC≌△BAD（HL），所以③正确；④∠C=∠D和∠DAC=∠CBD两个条件不能判定△ABC≌△DCB，所以④错误．所以正确结论的序号为①②③，故答案为①②③．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”．教学建议：熟练掌握全等三角形的几种判定，有效区分.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=．【答案】55°【解析】求出∠BAD=∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2=∠ABD=30°，根据三角形的外角性质求出即可．解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠1=∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2=∠ABD=30°，∵∠1=25°，∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°，故答案为：55°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE．教学建议：掌握全等三角形的判定和性质，综合利用做题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图，已知AB=AC，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于O，求证：△ABE≌△ACD．【答案】△ABE≌△ACD【解析】由条件AB=AC，∠ABE=∠ACD，再加上公共角∠A=∠A，直接利用ASA 定理判定△ABE≌△ACD即可．证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA）．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．教学建议：通过等腰三角形判定角相等，利用“ASA”判定方法来证明.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF=DC，BC=EF．求证：△ABC≌△DEF．【答案】△ABC≌△DEF【解析】首先利用等式的性质可得AC=DF，根据平行线的性质可得∠ACB=∠DFE，然后再利用SAS判定△ABC≌△DEF即可．证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF，∵BC∥EF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．教学建议：注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC≌△DEC．【答案】△ABC≌△DEC【解析】由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，可求得∠DCE=∠ACB，且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°，可求得∠DEC=∠ABC，再结合条件可证明△ABC≌△DEC．证明：∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，∴∠DCE+∠ECA=∠ECA+∠ACB，∴∠DCE=∠ACB，且∠B+∠CEA=180°，又∠DEC+∠CEA=180°，∴∠B=∠DEC，在△ABC和△DEC中∴△ABC≌△DEC（ASA）．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．教学建议：本题关键是通过∠BAE=∠BCE=90°，判断∠B=∠DEC，从而判定两个三角形全等.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD，求证：AE=FB．【答案】AE=FB【解析】根据CE∥DF，可得∠ECA=∠FDB，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．证明：∵CE∥DF∴∠ECA=∠FDB，在△ECA和△FDB中，∴△ECA≌△FDB，∴AE=FB．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图所示，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，连接AC、DF，且AC=DF，BF=CE，求证：AB=DE．【答案】AB=DE【解析】欲证明AB=DE，只要证明Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）即可；证明：∵BF=EC∴BC=EF∵AB⊥BE，DE⊥BE∴∠B=∠E=90°在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴AB=DE讲解用时：3分钟解题思路：本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握直角三角形全等的判定.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．【答案】（1）全等；（2）是【解析】（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE是直角三角形．解：（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC；（2）是直角三角形，理由是：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3=∠4，∵∠3+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE是直角三角形．讲解用时：3分钟解题思路：考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件．教学建议：熟练掌握直角三角形全等的判定.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．【答案】AF⊥AQ【解析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ．证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABQ和△ACF中，∴△ABQ≌△ACF（SAS），∴∠F=∠BAQ，∵∠F+∠FAE=90°，∴∠BAQ+∠FAE═90°，∴AF⊥AQ．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理．教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和性质.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．4 B．5 C．1 D．2【答案】C【解析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC﹣EH，即AE﹣EH即可求出HC的长．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEH=90°，∵∠AHE=∠CHD，∴∠BAD=∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE=EC=4，则CH=EC﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）【答案】（1）90°；（2）α+β=180°；α=β【解析】（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题；（2）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°﹣α即可解题；（3）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题；【解答】解：（1）∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；故答案为 90．（2）∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=180°﹣α，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°﹣α=β，∴α+β=180°；（3）作出图形，∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC=∠ADB，∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，∠CED=∠AEC+∠AED，∴α=β．讲解用时：8分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和性质.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．求证：AE=BD．【答案】AE=BD【解析】要证AE=BD，经过观察分析我们可以将这两条线段放在三角形ACE和三角形BCD中，证其全等即可．首先我们根据△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，得出两对对应边的相等，然后又根据∠ACB=∠ECD，都减去中间的公共角ACD 再得一对对应角的相等，根据SAS证三角形ACE和三角形BCD的全等，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证．证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，∴EC=CD，AC=CB，∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD．讲解用时：3分钟解题思路：解此题时要充分利用等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的证明以及对全等三角形的性质的理解掌握．教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，AB=DE，∠B=∠E，使得△ABC≌△DEC，请你添加一个适当的条件（填一个即可）．【答案】BC=EC【解析】解：添加条件是：BC=EC，在△ABC与△DEC中，，∴△ABC≌△DEC．故答案为：BC=EC．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，点E，H，G，N在一条直线上，∠F=∠M，EH=GN，MH∥FG．求证：△EFG ≌△NMH．【答案】△EFG≌△NMH【解析】根据等式的性质得出EG=NH，再利用全等三角形的判定证明即可．证明：∵EH=GN，∴EG=NH，∵MH∥FG，∴∠EGF=∠NHM，∴在△EFG和△NMH中∴△EFG≌△NMH．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，已知在△ABC和△ABD中，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：∠C=∠D．【答案】∠C=∠D【解析】根据“SAS”可证明△ADB≌△BAC，由全等三角形的性质即可证明∠C=∠D．证明：在△ADB和△BAC中，，∴△ADB≌△BAC（SAS），∴∠C=∠D讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．【答案】AC=ED【解析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．解：AC=ED，理由如下：∵AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，∴∠B=∠EFC=∠DCE=90°．∴∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°．∴∠A=∠CEF．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（ASA）．∴AC=ED（全等三角形的对应边相等）．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】已知：如图，AB∥ED，点F、C在AD上，AB=DE，AF=DC，求证：BC=EF．【答案】EF=BC【解析】由已知AB∥ED，AF=DC可以得出∠A=∠D，AC=DF，又因为AB=DE，则我们可以运用SAS来判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF=BC．证明：∵AB∥ED，∴∠A=∠D，又∵AF=DC，∴AC=DF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF．∴EF=BC讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

2024_2025学年八年级数学上学期期中核心考点专题06全等三角形的判定含解析新人教版

专题06 全等三角形的判定重点突破学问点一全等三角形的判定（重点）一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等备注：1.判定两个三角形全等必需有一组边对应相等。

2.全等三角形周长、面积相等。

学问点二证题的思路（难点）考查题型一利用SAS推断两个三角形全等典例1（2024惠州市期末）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点，且DF＝BE. 求证：AF=CE.【答案】证明见解析【分析】由SAS证明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ，在△ADF 和△CBE 中，AD BCD B DF BE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CBE （SAS ），∴AF ＝CE ．变式1-1（2024·丹江口市期末）如图，点E,F 在AB 上，,,AD BC A B AE BF =∠=∠=.求证：ADF BCE ∆≅∆.【答案】详见解析【分析】先将转化为AF ＝BE ，再利用证明两个三角形全等.【详解】证明：因为AE ＝BF ，所以，AE ＋EF ＝BF ＋EF ，即AF ＝BE ，在△ADF 和△BCE 中，AD BCA B AF BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以，ADF BCE ∆≅∆变式1-2（2024·武汉市期中）已知：如图，点C 为AB 中点，CD=BE ，CD∥BE.求证:△ACD≌△CBE.【答案】证明见解析.【解析】证明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B..∵点C 为AB 中点，∴AC=CB.又∵CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS ）变式1-3（2024·兰州市期末）如图，△ABC 中，AB=AC ，点E ，F 在边BC 上，BE=CF ，点D 在AF 的延长线上，AD=AC ，（1）求证：△ABE ≌△ACF ；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．【答案】（1）证明见解析；（2）75．【分析】（1）依据等边对等角可得∠B=∠ACF ，然后利用SAS 证明△ABE ≌△ACF 即可；（2）依据△ABE ≌△ACF ，可得∠CAF=∠BAE=30°，再依据AD=AC ，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC 的度数.【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠ACF ，在△ABE 和△ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACF （SAS ）；（2）∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，∵AD=AC ，∴∠ADC=∠ACD ，∴∠ADC=280013︒-︒=75°，故答案为75．考查题型二利用ASA 推断两个三角形全等典例2（2024·玉林市期中）如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O ．求证：△AEC ≌△BED ；【答案】见解析【分析】依据全等三角形的判定即可推断△AEC≌△BED；【详解】∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△AEC≌△BED（ASA ）．变式2-1（2024·楚雄州期末）如图，完成下列推理过程：如图所示，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE ＝AC ，求证：△ABC≌△ADE.证明：∵∠E＝∠C（已知），∠AFE＝∠DFC（）,∴∠2=∠3（）,又∵∠1＝∠3（）,∴∠1=∠2（等量代换），∴__________+∠DAC=__________+∠DAC（）, 即∠BAC=∠DAE,在△ABC和△ADE中∵()()()E CAE ACBAC DAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知已知已证∴△ABC≌△ADE（）.【答案】对顶角相等；三角形内角和定理；已知；∠1；∠2；等式的性质；ASA 【详解】解：∵∠E=∠C（已知），∠AFE=∠DFC（对顶角相等），∴∠2=∠3（三角形内角和定理）．又∵∠1=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代换），∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式的性质），即∠BAC=∠DAE．在△ABC和△ADE中，∵E CAE ACBAC DAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已知）（已证），∴△ABC≌△ADE（ASA）．变式2-2（2024·德州市期末）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE. 求证：BD＝CE .【答案】见解析.【分析】先求出∠CAE＝∠BAD再利用ASA证明△ABD≌△ACE，即可解答【详解】∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD.又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD＝CE.考查题型三利用AAS推断两个三角形全等典例3（2024·黄石市期中）如图，在ABCD中，经过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）求证：四边形AFCE是平行四边形．【答案】（1）见解析;（2）见解析.【分析】（1）依据平行四边形的性质可得AD＝BC，∠CBF＝∠ADE，再依据垂线的性质可得∠CFB＝∠AED＝90°，再依据全等三角形的判定（角角边）来证明即可；（2）依据全等三角形的性质可得AE＝CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD可得AE∥CF，依据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠CFB＝∠AED＝90°，∴△AED≌△CFB（AAS）．（2）证明：∵△AED≌△CFB，∴AE＝CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．变式3-1（2024·兴义市期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC =CD ；（2）若AC =AE ，求∠DEC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．【分析】()1依据同角的余角相等可得到24∠=∠，结合条件BAC D ∠=∠，再加上BC CE =，可证得结论； ()2依据90ACD AC CD ∠=︒=，，得到145D ∠=∠=︒，依据等腰三角形的性质得到3567.5∠=∠=︒，由平角的定义得到1805112.5DEC ∠=︒-∠=︒．【详解】() 1证明：90BCE ACD ∠=∠=︒，2334，∴∠+∠=∠+∠ 24∴∠=∠，在△ABC 和△DEC 中，24BAC D BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AC CD ∴=；（2）∵∠ACD ＝90°，AC ＝CD ，∴∠1＝∠D ＝45°，∵AE ＝AC ，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC ＝180°－∠5＝112.5°．变式3-2（2024·温州市期中）如图，已知A ，F ，E ，C 在同始终线上，//AB CD ，ABE CDF ∠=∠，AF CE =.试说明：ABE CDF ∆≅∆.【答案】见解析；【分析】由AB ∥CD 可得∠BAC =∠DCA ，由AF =CE 可得AE =CF ，由AAS 可得△ABE ≌△CDF ．【详解】证明∵AB CD ∕∕，∴BAC ACD ∠=∠∵AF CE =，∴AF EF CE EF +=+，即AE FC =.在ABE ∆和CDF ∆中，BAC ACD ABE CDF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE CDF ∆∆≌（AAS ）考查题型四利用SSS 推断两个三角形全等典例4（2024·德州市期中）已知：如图，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ．求证：DE ＝DF ．【答案】见解析【分析】连接AD ，利用“边边边”证明△ABD 和△ACD 全等，再依据全等三角形对应边上的高相等证明．【详解】证明：如图，连接AD ，在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF （全等三角形对应边上的高相等）．变式4-1（2024·阳泉市期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上，求证：∠1＝∠2.【答案】证明见详解【分析】由AB=AC,AD=AD,BD=CD,可证得△ABD ≌△ACD,得到∠BAE=∠CAE,再证明△ABE≌△ACE,即可得到结论.【详解】证明:AB=AC,AD=AD,BD=CD,在△ABD 和△ACD 中,AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD, ∠BAE=∠CAE,在△ABE 和△ACE 中, ,AB AC BAE CAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ACE∴∠1=∠2.变式4-2（2024·鄂州市期中）如图，点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AD=CF ，AB=DE ，BC=EF.(1)求证：ΔABC≌△DEF；(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F 的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）37°【解析】（1）∵AC=AD+DC ， DF=DC+CF ，且AD=CF∴AC=DF在△ABC 和△DEF 中，AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SSS ）（2）由（1）可知，∠F=∠ACB∵∠A=55°，∠B=88°∴∠ACB=180°－（∠A+∠B ）=180°－（55°+88°）=37°∴∠F=∠ACB=37°变式4-3（2024·石家庄市期末）如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上（F ，C 之间不能干脆测量），点A ，D 在l 异侧，测得AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）指出图中全部平行的线段，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,理由见解析.【解析】（1）证明：∵BF=EC，∴BF+CF=CF +CE ，∴BC="EF"∵AB=DE，AC="DF"∴△ABC≌△DEF（SSS ）（2）AB∥DE,AC∥DF,理由如下，∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,∴AB∥DE,AC∥DF.考查题型五利用HL 推断两个直角三角形全等典例5（2024·云龙县期中）已知：如图，AC=BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD=BC【答案】见解析【分析】连接CD ，利用HL 定理得出Rt △ADC ≌Rt △BCD 进而得出答案．【详解】证明：如图，连接CD ，∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD ，∴∠A=∠B=90°，在Rt △ADC 和Rt △BCD 中CD CDAC BD =⎧⎨=⎩，∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ），∴AD=BC ．变式5-1（2024·开封市期中）已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF =．求证：（1）AF CE =；（2）AB CD ∥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）依据垂直的定义得到∠DEC=∠BFA=90°，推出Rt △DCE ≌Rt △BFA （HL ），由全等三角形的性质即可得到结论.（2）依据全等三角形的性质得到∠C=∠A ，依据平行线的判定即可得到AB ∥CD.【详解】证明： ∵ DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC∴ ∠DEC=∠BFA=90°在Rt △ DEC 和Rt △ BFA 中AB=CDDE=BF∴ Rt △ DCE ≌Rt △ BFA （HL ）∴ AF=CE∴ ∠C=∠A∴ AB ∥ CD变式5-2（2024·开封市期末）如图，D 、C 、F 、B 四点在一条直线上，AB DE =，AC BD ⊥，EF BD ⊥，垂足分别为点C 、点F ，CD BF =．求证：（1）ABC EDF ∆≅∆；（2）//AB DE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用HL 证得结论；（2）由（1）中结论可得到∠D ＝∠B ，则可证得结论．【详解】证明：（1）∵AC BD ⊥，EF BD ⊥，∴ABC ∆和EDF ∆为直角三角形，∵CD BF =，∴CF BF CF CD +=+，即BC DF =，在Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，AB DE BC DF =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ABC Rt EDF HL ∆≅∆；（2）由（1）可知ABC EDF ∆≅∆，∴B D ∠∠=，∴//AB DE ．考查题型六三角形全等判定的综合典例6（2024·保定市期末）下列各图中a 、b 、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．只有丙【答案】B【解析】乙和△ABC 全等；理由如下：在△ABC 和图乙的三角形中，满意三角形全等的判定方法：SAS ，所以乙和△ABC 全等；在△ABC 和图丙的三角形中，满意三角形全等的判定方法：AAS ，所以丙和△ABC 全等；不能判定甲与△ABC 全等；故选B ．变式6-1（2024·武汉市期中）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D【答案】C【解析】试题分析：依据全等三角形的判定方法分别进行判定：A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意．故选C．变式6-2（2024·杭州市期末）如图所示，在下列条件中，不能推断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC B．∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BACC．BD＝AC，∠BAD＝∠ABC D．AD＝BC，BD＝AC【答案】C【解析】解：A、符合AAS，能推断△ABD≌△BAC；B、符合ASA，能推断△ABD≌△BAC；C、符合SSA，不能推断△ABD≌△BAC；D、符合SSS，能推断△ABD≌△BAC．所以依据全等三角形的判定方C、满意SSA不能推断两个三角形全等．故选C．变式6-3（2024·虹桥区期中）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC【答案】D【分析】两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法推断全等三角形．解答：【详解】分析：∵AD=AD，A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．故选D．。

八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)

条件是：_______________，并给予证明.
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF，在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）

人教版八年级数学第12章全等三角形讲义

全等三角形知识点总结知识点总结一、全等图形、全等三角形：1. 全等图形：能够完全________ 的两个图形就是全等图形。

2. 全等图形的性质：全等多边形的_________ 、_______ 分别相等。

3. 全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。

同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。

这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。

二、全等三角形的判定：1. 一般三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（"边边边”或" _________ "）。

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“ ______ ”）。

（3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（“角边角”或“”）。

（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“”）。

2. 直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“ ______ ”）•注意：两边一对角（SSA）和三角（AAA）对应相等的两个三角形不一定全等。

3. 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

（以上可以简称：全等三角形的对应元素相等）三、角平分线的性质及判定：性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。

四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤：1. 确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2. 回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

八年级数学全等三角形新课讲义完整版(全8讲)

八年级数学全等三角形新课讲义全面完整版（全八讲）A B C 1 E DA B C D O 1 2（1）（2） A B D C （1）（2） AB C E D第一讲全等三角形概念及其性质（一）知识要点1、全等三角形的有关概念1）能够完全重合的两个图形叫做形。

2）能够完全重合的两个三角形叫做全等形。

把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

3）全等三角形表示方法：“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，如△ABC ≌△DEF 。

4）对应元素：①对应顶点：点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 是对应顶点 ②对应边：AB 与DE ，AC 与DF ，BC 与EF 是对应边 ③对应角：∠A 与∠D ，∠B 与∠E ，∠C 与∠F 是对应角当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，△ABC 和△DEF 全等，是，记作△ABC ≌△DEF 。

其中，。

2、常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。

（1）平移型：如下左图，若△ABC ≌△DEF ，则BC=EF 。

将△DEF 向左平移得到下右图，则仍有BC=EF ，在右图中，若知BC=EF ，则可推出BE=CF 。

（2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点A ，有公共部分∠1；图2的旋转中心为点O ，有一对对顶角∠1=∠2。

（3）翻折型：如右图，两个三角形的全等属于翻折型，其中图中有公共边AB 3、全等三角形的性质1）全等三角形的对应边相等； 2）全等三角形的对应角相等。

3）知识延伸：如果两个三角形全等，则三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。

AB C DE F AB C DE FA B C D E FB AC D EEAB C D OA B C DFE 4、规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。

全等三角形讲义

ADB C E FO A DEB C F 平移型对称型全等三角形讲义【知识要点】1、全等三角形的定义：（1）操作方式：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；（2）几何描述：大小、形状完全相同的两个三角形叫全等三角形；（几何中就是借助于边、角以及其它可度量的几何量来描述几何图形的大小和形状） 2、全等三角形的几何表示：如图，△ABC ≌△DEF ；（注意对应点、对应边、对应角） 3、全等的性质：（求证线段相等、求证角相等的常规思维方法）性质1：全等三角形对应边相等；性质2：全等三角形对应角相等；几何语言 ∵△ABC ≌△DEF∴AB=DE ；AC=DF ，BC=EF ；∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F. 性质3：全等三角形的对应边上的高、对应角平分线、对应边上的中线相等性质4：全等三角形的周长、面积相等 4、三角形全等的常见基本图形【新知讲授】例1、如图，△OAB ≌△OCD ，AB ∥EF ，求证：CD ∥EF.例2、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点 D ，BE ⊥AC 于点E ，AD 、BE 交于点F ，△ADC ≌△BDF （1）∠C=50°，求∠ABE 的度数.（2）若去掉原题条件“AD ⊥BC 于点 D ，BE ⊥AC 于点E ”，仅保持“△ADC ≌△BDF ”不变，试问：你能证明：“AD ⊥BC 于点 D ，BE ⊥AC ”吗？AD B CE 例3、如图，△ABC ≌△ADE ，延长边BC 交DA 于点F ，交DE 于点G.（1）求证：∠DGB=∠CAE ；（2）若∠ACB=105°，∠CAD=10°，∠ABC=25°，求∠DGB 的度数.例4、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，将Rt △ABC 沿DE 折叠，使A 点与B 点重合，折痕为DE. （1）图中有全等三角形吗？请写出来；（2）若∠A=35°，求∠CBD 的度数；（3）若AC=4，BC=3，AB=5，求△BCD 的周长.例5、如图，△ABF ≌△CDE.（1）求证：AB ∥CD ；AF ∥CE ；（2）若△AEF ≌△CFE ，求证：∠BAE=∠DCF ；（3）在（2）的条件下，若∠B=35°，∠CED=30°，∠DCF=20°，求∠EAF 的度数.AE F C【课后练习】一、选择题1、下面结论是错误的是（）. （A ）全等三角形对应角所对的边是对应边（B ）全等三角形两条对应边所夹的角是对应角（C ）全等三角形是一个特殊的三角形（D ）如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形全等 2、如图，△ABC ≌△AEF ，则下列结论中不一定成立的是( ).（A ）AC=AF （B ）∠EAB=∠FAC （C ）EF=BC （D ）EF 平分∠AFB3、如图，已知△ABC ≌△DEF ，AB=DE ，AC=DF ，则下列结论：①BC=EF ；②∠A=∠D ；③∠ACB=∠DEF ；④BE=CF ，其中正确结论的个数是（）.（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4、如图，△ABD ≌△EFC ，AB=EF ，∠A=∠E ，AD=EC ，若BD=5，DF=2.2则CD=（）. （A ）2.2 （B ）2.8 （C ）3.4 （D ）4（第2题图）（第3题图）（第4题图） 5、如图，已知△ABD≌△ACD，下列结论： ①△ABC 为等腰三角形；②AD 平分∠BAC ；③AD ⊥BC ；④AD=BC. 其中正确结论的个数是( ).(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二、填空题6、已知：如图，△ACD ≌△AEB ，其中CD=EB ，AB=AD ，则∠ADC 的对边是，AC 的对应边是，∠C 的对应角是 .7、如图，已知△ABD ≌△DCA ，AB 的对应边是DC ，AD 的对应边是，∠BAD 的对应角是，AB 与CD 的位置关系是 .8、如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠C=20°则∠OAD= ．AAFA D C E F（第6题图）（第7题图）（第8题图）三、解答题9、如图，直线l ⊥BC ，将△ABC 沿直线l 翻折得到△DEF ，AB 分别交DF 、DE 于M 、Q 两点，AC 交DF 于点Q.（1）图中共有多少对全等三角形？（不添加其它字母）（2）写出（1）中所有的全等的三角形. 10、如图，△ABC ≌△ADE ，点E 正好在线段BC 上.（1）求证：∠DEB=∠EAC ；（2）若∠1=50°，求∠DEB 的度数.【知识要点】全等三角形判定定理 1、“SAS ”定理：有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；①求证全等的格式：（“全等五行”）如：②利用全等进行几何证明的三大环节：预备证明、“全等五行”、全等应用； ③“边边角”不能证明两个三角形全等；DBDA1FB CDAA BC D EO在△ABC 和△DEF 中：AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ∽△DEF.（SAS ）【新知讲授】“SAS”公理的运用例1、如图，C为AB的中点，CD∥BE，CD=BE，求证：∠D=∠E.巩固练习1、如图，点E、A、C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD，求证：BC=DE.2、已知：如图，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点，求证：∠B=∠C.例2、已知：如图，AB=CD，∠ABC=∠DCB，求证：∠ABD=∠ACD.巩固练习：1、已知：如图，AB ∥CD ，AB=CD ，AE=DF ，求证：CE ∥BF.2、已知：如图，AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证：∠DEB=∠2.例3、如图，BD 、CE 为△ABC 的两条中线，延长BD 到G ，使BD=DG ，延长CE 到F ，使CE=EF.（1）求证：AF=AG ；（2）试问：F 、A 、G 三点是否在同一直线线？证明你的结论.巩固练习：1.已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，AB=CD ，BE=DF ，求证：∠EAF=∠ECF.A BC DEF A B C D EF2.已知：如图，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBE=∠DCE.例4、已知：如图，OA=OB，OC=OD，求证：∠ACD=∠BDC. （提示：不能用等腰三角形的性质）巩固练习：1、已知：如图，OD=OE，OA=OB，求证：∠A=∠B.2、已知：如图，AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求证：∠EAF=∠EDF.AD B C EF A D B C EA DC B 【课后作业】1、已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DE ，BE=CD ，试判断△ACE 的形状并说明理由.2、如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，AE=DF ，AB=DC ，求证：∠ACE=∠DBF.3、已知：如图，OD=OE ，OC 平分∠AOB ，求证：∠A=∠B.4、如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，AD ∥BC ，求证：AB=CD ，AB ∥CD.5、如图，已知，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE.（1）求证：BD=CE ；（2）若∠BAC=∠DAE=α，延长BD 交CE 于点P ，则∠BPC 的度数为 .（用含α的式子表示）ABED C ADBC EF6、如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD≌△BCE； (2)若∠D=50°，求∠B 的度数．2、“SSS ”定理：三边对应相等的两个三角形全等；如：3、①“ASA ”定理：两角及两角所夹的边对应相等的两个三角形全等；②“AAS ”定理：两角及其中一角所对的边对应相等的两个三角形全等；如：【定理运用】例1、如图，E 、F 两点在线段BC 上，AB=CD ，AF=DE ，BE=CF ，求证：∠AFB=∠DEC.巩固练习：1、如图，已知，AB=AC ，AD=AE ，BD=CE ，延长BD 交CE 于点P ，求证：∠BAC=∠DAE ；在△ABC 和△DEF 中：AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ∽△DEF.（SSS ）在△ABC 和△DEF 中： B E BC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴△ABC ∽△DEF.（ASA ）在△ABC 和△DEF 中：A DB E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ∽△DEF.（AAS ）C A E BD例2、已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2，求证：AF=AG.巩固练习：1、如图，已知，AB=CD ，BE=DF ，AF=CE ，求证：AD ∥BC.例3、如图，C 为线段AB 的中点，AD ∥CE ，∠D=∠E ，求证：CD=EB.巩固练习1、如图，AD 为△ABC 的高线，E 、F 为直线AD 上两点，DE=DF ，BE ∥CF ，求证：AB=AC.E AF DC B 2、如图，∠ABC=∠DCB，BD 、CA 分别是∠ABC、∠DCB 的平分线，求证：AB=DC.例4、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别在BC 、AC 的延长线上，∠1=∠2=∠3，求证：AD=AE.巩固练习：1、已知：如图，∠A=∠D ，OA=OD ，求证：∠1=∠2.2、已知：AD ∥BC ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，AE=CF ，求证：AB=CD.E A D C B 例5、已知：如图，AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠ABC=∠DCB.巩固练习：1、已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：∠DBC=∠ECB.2、已知：如图，△ABC 中，∠BAC=∠BCA ，延长BC 边的中线AD 到E 点，使AD=DE ，F 为BC 延长线上一点，且CE=CF ，求证：AF=2AD.例6、在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD ，AC 、BD 交于点P.（1）①如图1，∠AOB=∠COD=60°，则∠APD= ，AC 与BD 的数量关系是；②如图2，∠AOB=∠COD=90°，则∠APD= ，AC 与BD 的数量关系是；（2）如图3，∠AOB=∠COD=α°，则∠APD 的度数为（用含α的式子表示），AC 与BD 之间的等量关系是；填写你的结论，并给出你的证明；图1 图2 图3AB CE FDO P D C BA O P D CB AααO P D CB AEBCD CEABE A D B CF ADF图1图2图3F巩固练习：点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为腰在直线AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE ，且CA=CD ，CB=CE ，∠ACD=∠BCE ，直线AE 、BD 交于点F.（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；（2）如图2，若∠ACD=α°，则∠AFB= ；（用α的代数式表示）（3）如图3，将图2中的△ACD 绕点C 顺时针旋转一个角度，延长BD 交线段AE 于点F ，试探究∠AFB 与α之间的数量关系，并给出你的证明.例7、已知：AB=AC ，AD=AE ，AF ⊥CD ，AG ⊥BE ，求证：AF=AG.巩固练习：1、如图，已知，AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2.（1）求证：BC=DE ；（2）若AF 平分∠BAC ，求证：AF=AC.AB EDC2、已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：AO 平分∠BAC.3、如图，等腰Rt △ABC 中AB=AC ，过A 任作直线l ，BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E. (1) 若l 与BC 不相交，求证：BD+CE=DE ；(2) 当直线l 绕A 点旋转到与BC 相交时，其它条件不变，试猜想BD 、CE 和DE 的关系？画图并给出证明.课后作业：1、如图，等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=90°. （1）求证：BD=CE ；（2）求证：BD ⊥CE.A B C D EA B CA BDCOA DBC E AD C B 2、已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，BD=CE ，求证：∠BAE=∠CAD.3、如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CB ，AD=CD ，求证：∠A=∠C.5、已知：如图，AD=BC ，AC=BD ，求证:∠D=∠C.A DBCC M E A BD 6、如图1，等腰△ABC 中AB=AC ，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AD 、AE ，M 、N 分别BE 、CD 的中点.（1）CD BE ，AM AN ；（填“＞”、“=”、“＜”）（2）如图2，把图1中的△ADE 绕A 点逆时针旋转任意一个角度，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．7、如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：AB=CD ，AD=BC.8、已知：如图，AB//DE ，AE//BD ，AF=DC ，EF=BC 。

人教版八年级数学上册《全等三角形的性质》课件

思路 : x L x x L
2Hale Waihona Puke 4当三边均为 x时，3x L 2
x LL x L
66
4
思路 :全等已知两边分别为 3,5 第三边取值范围为大于 2小于8 m 5,2 n 8 p 3,2 q 8 n q 7
m n p q 5 3 7 7 22
第06课全等三角形的性质
例2.如图,在平面上将△ABC绕B点旋转到△A/BC/的位置时,AA/∥BC,∠ABC=650, 则∠ABC/为 15 度.
第06课全等三角形的性质
课堂同步练习
1.如图∠1=∠2=200，AD=AB,∠D=∠B,E 在线段BC 上,则∠AEC=（ D ）
A.200
B.700
C.500
D.800
2.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于F,交DE于G,∠ACB=∠AED=1050， ∠CAD=150,∠B=∠D=300,则∠1的度数为（ 600 ）
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午6时41分21.11.718:41November 7, 2021
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是思考和识记之母。”2021年11月7日星期日6时41分34秒18:41:347 November 2021
22 23 800
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.

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一般在几何大题中，性质和判定都是相辅相成的，一起作为考点，因此我们要掌握全等三角形的判定和性质，灵活做题。

知识梳理讲解用时：15分钟全等三角形的判定复习三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL)注意：AAA和SSA都不成立全等三角形的性质课堂精讲精练【例题1】如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去【答案】C【解析】根据三角形全等的判定方法ASA，即可求解．解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了全等三角形的应用，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定去解决生活中的实际问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等因为△ABC≌△DEF所以∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠FAB=DE BC=EF AC=DF【练习1.1】某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（）A．①B．②C．③D．任意一块【答案】A【解析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．解：只有①中包含两角及夹边，符合ASA．故选A．讲解用时：2分钟解题思路：本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定即选哪块．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定去解决生活中的实际问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠DAC交CD于点F，点E为AB上一点，AE=AC，连接EF，若∠B=56°，则∠AEF=（）A．34°B．46°C．56°D．60°【答案】C【解析】先依据SAS判定△ACF≌△AEF，得出∠AEF=∠ACF，再根据∠B+∠BAC=90°=∠ACD+∠DAC，即可得到∠B=∠ACD，进而得出∠AEF=∠B=56°．解：∵AF平分∠DAC，∴∠CAF=∠EAF，又∵AC=AE，AF=AF，∴△ACF≌△AEF，∴∠AEF=∠ACF，又∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°=∠ACD+∠DAC，∴∠B=∠ACD，∴∠AEF=∠B=56°，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】如图，在△ABC中，已知AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED=度．【答案】100【解析】先利用SSS判定△ABD≌△EBD得出∠A=∠DEB=80°，从而得出∠CED=100°．解：∵AD=DE，AB=BE，BD=BD∴△ABD≌△EBD（SSS）∴∠A=∠DEB=80°∴∠CED=180°﹣80°=100°讲解用时：3分钟解题思路：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】已知：如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD，若∠D=25°，则∠B的度数为．【答案】25°【解析】由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE，再加AC=AE，AB=AD，即可得△ABC≌△ADE，从而∠B=∠D=30°．解：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE，又∵AC=AE，AB=AD，∴△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=25°．故答案为25°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查三角形全等的判定及性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，已知AB=DE，∠A=∠D，AC=DC，若∠ACD=15°，则∠BCE=°．【答案】15【解析】根据SAS证明△ACB与△CDE全等，再利用全等三角形的性质解答即可．解：在△ACB与△CDE中∴△ACB≌△CDE（SAS），∴∠ACB=∠DCE，即∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE=15°，故答案为：15讲解用时：3分钟解题思路：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ACB与△CDE全等．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2cm，BE=0.5cm，则DE= cm．【答案】1.5【解析】证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可证得CE=AD，从而求解．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠E=∠ADC=90°∴∠DAC+∠DCA=90°∵∠ACB=90°∴∠BCE+∠DCA=90°∴∠BAC=∠DAE在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE∴BE=CD=0.5（cm），EC=AD=2（cm）DE=CE﹣CD=1.5（cm），故答案为1.5讲解用时：3分钟解题思路：本题考查全等三角形的判定与性质，正确证明∠BAC=∠DAE是解决本题的关键．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，点B、C、D在同一直线上，且AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，则∠ACE为度．【答案】90【解析】根据垂直的定义求出∠B=∠D=90°，根据全等三角形的判定SAS证△ABC≌△CDE，推出∠ACB=∠E，根据三角形的内角和定理和平角求出∠ACE=90°即可．解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE，∴∠ACB=∠E，∵∠D=90°，∴∠E+∠ECD=90°，∴∠ACB+∠ECD=90°，∵∠BCD=180°（平角定义），∴∠ACE=180°﹣（∠ACB+∠ECD）=180°﹣90°=90°，故答案为：90°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对垂线，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能推出∠ACB+∠ECD=90°是解此题的关键．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC点上，连接BE、AD，AD 的延长线交BE于点F，则∠AFB= °．【答案】90【解析】由SAS可证明△BEC≌△ADC，得出∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得出∠FDB=∠CDA，求得∠EBC+∠FDB=90°，即可得出结果．解：∵△ECD和△BCA都是等腰直角三角形，∴EC=DC，BC=AC，∠ECD=∠ACB=90°，在△BEC和△ADC中，，∴△BEC≌△ADC（SAS），∴∠EBC=∠DAC，∵∠DAC+∠CDA=90°，∠FDB=∠CDA，∴∠EBC+∠FDB=90°，∴∠BFD=90°．故答案为90．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质；通过证明三角形全等将相等的角进行转换是解题的关键．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24°，∠2=36°，则∠3= ．【答案】60°【解析】易证△AEC≌△ADB，可得∠ABD=∠2，根据外角等于不相邻内角和即可求解．解：∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠CAE=∠1，∵在△AEC和△ADB中，，∴AEC≌△ADB，（SAS）∴∠ABD=∠2，∵∠3=∠ABD+∠1，∴∠3=∠2+∠1=60°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证AEC≌△ADB是解题的关键．教学建议：灵活掌握全等三角形的性质和判定.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，已知△ABC中，点D为BC上一点，E、F两点分别在边AB、AC上，若BE=CD，BD=CF，∠B=∠C，∠A=50°，则∠EDF= °．【答案】65【解析】易证△BDE≌△CFD，可得∠BDE=∠CFD，根据∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°即可求得∠EDF的值，即可解题．解：在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴∠BDE=∠CFD，∵∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°，∴∠CFD+∠CDF+∠EDF=180°，∵∠CFD+∠CDF+∠C=180°，∴∠EDF=∠C．∵∠B=∠C，∠A=50°，∴∠EDF=∠C=（180°﹣50°）=65°，故答案为65°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△BDE≌△CFD是解题的关键．教学建议：灵活掌握全等三角形的性质和判定.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】已知：如图，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC．①求证：△ADE为等腰三角形．②若∠B=60°，求证：△ADE为等边三角形．【答案】①△ADE为等腰三角形；②△ADE为等边三角形【解析】①先根据∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，判定△ABD≌DCE，得出AB=DC，进而得到△ADE为等腰三角形；②根据△ABD≌△DCE，得出∠BAD=∠CDE，再根据平角的定义，得到∠ADE=60°，最后判定等腰△ADE为等边三角形．证明：①在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴DA=DE，即△ADE为等腰三角形②∵△ABD≌△DCE，∴∠BAD=∠CDE，∵∠B=60°，∴∠BAD+∠ADB=120°，∴∠CDE+∠ADB=120°，∴∠ADE=60°，又△ADE为等腰三角形，∴△ADE为等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意第②问中三角形内角和定理及平角定义的综合运用．教学建议：灵活掌握等腰三角形和等边三角形的判定以及全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，点E在△ABC的外部，点D边BC上，DE交AC于点F，若∠1=∠2，AE=AC，BC=DE．（1）求证：AB=AD；（2）若∠1=60°，判断△ABD的形状，并说明理由．【答案】（1）AB=AD；（2）等边三角形【解析】（1）根据三角形内角和定理得到∠E=∠C，再根据AC=AE，∠C=∠E，BC=DE，判定△ABC≌△ADE，即可得到AB=AD．（2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得∠ADB=∠ADE，进而得出，可得△ABD是等边三角形．解：（1）∵∠1+∠AFE+∠E=180°，∴∠E=180°﹣∠1﹣∠AFE，∵∠2+∠CFD+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠2﹣∠CFD，∵∠1=∠2，∠AFE=∠CFD，∴∠E=∠C，∵AC=AE，∠C=∠E，BC=DE，∴△ABC≌△ADE，∴AB=AD．（2）△ABD是等边三角形．理由：∵∠1=∠2=60°，∴∠BDE=180°﹣∠2=120°，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE，∴∠ADB=∠ADE，∴，∴△ABD是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．【答案】（1）∠ABD=∠ACD；（2）50°【解析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可；（2）利用三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．证明：（1）∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE=∠CAD在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD∴∠ABD=∠ACD（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴∠BAC=∠BDC∵∠ACB=65°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=65°∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°∴∠BDC=∠BAC=50°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．教学建议：灵活掌握全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，求证：BD=CE．【答案】BD=CE【解析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC，分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC、FC．（1）∠B 与∠D相等吗？请说明理由；（2）求证：EC=FC．【答案】（1）∠B=∠D ；（2）EC=FC【解析】（1）结论∠B=∠D，只要证明△ABC≌△ADC即可．（2）欲证明EC=FC，只要证明△EBC≌△FDC，或△ACE≌△ACF即可．（1）解：结论∠B=∠D．理由：连接AC．在△ACB和△ACD中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠B=∠D（2）∵点E与F分别是AB、AD的重点∴BE=AB，DF=AD，∵AB=AD∴BE=DF，在△EBC和△FDC中，，∴△EBC≌△FDC（SAS）∴EC=FC．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CD于E，BD⊥CD于D，AE=5cm，BD=2cm，（1）求证：△AEC≌△CDB；（2）求DE的长．【答案】（1）求证：△AEC≌△CDB；（2）3cm【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质和已知条件易证△AEC≌△CDB；（2）根据全等三角形的性质可得AE=CD，CE=BD，所以DE可求出．解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠DCB=90°，∵AE⊥CD于E，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠DCB，∵BD⊥CD于D，∴∠D=90°，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）∵∴△AEC≌△CDB，∴AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，∴DE=CD﹣CE=3cm．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，点A，D，E，C在同一条直线上，AB=DE，AB∥DF，AC=DF，求证：∠F=∠C．【答案】∠F=∠C【解析】运用SAS证明△ABC与△DEF全等，即可得到∠F=∠C．证明：∵AB∥DF，∴∠A=∠EDF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠F=∠C．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，AB=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=∠E，求证：AE=AC．【答案】AE=AC【解析】先证出∠BAC=∠DAE，再由AAS证明△ABC≌△ADE，得出对应边相等即可．证明：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS），∴AE=AC．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

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