高中数学《函数对称性》重要结论—优享文档

高中数学《函数对称性》重要结论

二、函数对称性的几个重要结论

（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）

若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称

2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数

3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称

4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称

推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称

推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称

推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

（三）抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性

性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a ＋x)＝f(a －x) （2）f(2a －x)＝f(x) （3）f(2a ＋x)＝f(－x)

性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a ＋x)＝－f(a －x)（2）f(2a －x)＝－f(x)（3）f(2a ＋x)＝－f(－x)

易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。

（四）函数对称性的应用

例1

（1）、若k y y h x x k h x f y 2,2),)(/

/=+=+=对称，则关于点（,即 k x h f x f x f x f 2)2()()()(/=-+=+

nk x h f x h f x h f x f x f x f n n n 2)2()2()2()()()(1121=-++-+-++++-

（2）、1)1()(2121)(=-++=x f x f a a a x f x x

）对称：，关于点（; （3）、 2)()(10122

14)(1=-++--=+x f x f x x f x x ）对称：，关于（ （4）、1)1()2121)0,(1

1)(=+≠∈+=

x f x f x R x x f （）对称：，关于（αα 例2

（1）、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(=-+x f x f 。

（2）、若)(),()()2()(x f y x a f x a f x a f x f =+=--=则或的图像关于直线a x =对称。设个不同的实数根，则有n x f 0)(= na x a x x a x x a x x x x n n n =-+++-++-+=+++)2()2()2(2

2221121 .

),212(111a x x a x k n =⇒-=+=时，必有当