状态空间模型

可得 x1 y h0u
y x1 h0u
x2 x1 h1u
x3 x2 h2u
x1 x2 h1u x2 x3 h2u
y x1 h0u
y y y
xx12 x3
hh01uu
h2u
hhx012uuhh1x0u3u
h0u h2u
h1u
h0u
x3 ?
y x1 h0u
y y
x f (x,u,t) y g(x,u,t)
2.5.2 由微分方程建立状态变量表达式
（1）线性微分方程中不含有输入函数导数项的系统
的状态空间表达式
y(n) (t) a y (t) (n1) a y(t) a y(t) b u(t)
n1
1
0
0
选取n个状态变量为，
x y, x y,x y(n1)
R L
duc (t) dt
1 LC
uC
(t)
1 LC
ur
(t)
选择 x1 uc (t), x2 uc (t),
x1 i(t), x2 uc (t),
x1 x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1
LC
ur
(t
)
y x1 1
0
x1 x2
x1 x2
1RL
xx12
hh01uu
hx02uh1xu3
h0u h2u
h1u
h0u
代入原始微分方程
y x3 h2u h1u h0u
y(t) a2y(t) a1y(t) a0 y(t) b3u b2u b1u b0u(t)
左边＝ y(t) a2y(t) a1y(t) a0 y(t)
＝x3 h2u h1u h0u a2 x3 a2h2u a2h1u a2h0u a1x2 a1h1u a1h0u a0 x1 a0h0u x3 a2 x3 a1x2 a0 x1 h0u (h1 a2h0 )u (h2 a2h1 a1h0 )u (a2h2 a1h1 a0h0 )u(t) b3u b2u b1u b0u(t) 令 x3 a2 x3 a1x2 a0x1 h3u x3 a0x1 a1x2 a2 x3 h3u 左边＝h0u (h1 a2h0 )u (h2 a2h1 a1h0 )u
通常用{A(t)、B(t)、C(t)、D(t)}表示系统。 当A(t)、B(t)、C(t)和D(t)均为常数矩阵时,系统为 线性定常系统
x Ax Bu y Cx Du
状态空间表达式的结构示意图
对于单输入单输出线性定常系统
x Ax bu y cx du
其中u、y、d均为标量，b和c均为向量。 非线性系统状态方程为
xn (t)
0
0
b0
u
x1 (t)
y 1
0
0
x2 (t
)
可以写为
xn
(t
)
x Ax bu y cx
友矩阵
其中
x(t)
x1 (t)
x
2
(t
)
xn
(t
)
x
x1 (t)
x 2
(t
)
x n
(t
)
0 1 0 0
0
0
1
0
A
0
0
0
1
a0 a1 a2 an1
C duC (t) i(t) dt
令 x1 i(t), x2(t) uc(t), 上式化为
x1(t)
R L
x1 (t )
1 L
x2 (t)
1 L
ur
(t)
x2
1 C
x1
x1 x2
1RL
C
1 L 0
x1 x2
1
L 0
ur
(t
)
5、状态方程 将n阶微分方程化为n个状态代表的一阶微分方程组， 并用矩阵和向量的形式表示，所得方程为状态方程。
i(t) 和uc(t)或i(t) 和uL(t)或 uL(t)和uc(t)
1、状态 是指系统过去、现在和将来的状况。 2、状态变量 能完全确定系统运动状态的最少数目的一组变量。 对于用n阶微分方程描述的系统，应有n个状态变量。
这n个状态变量用x1(t)，x2(t)，…，xn(t)表示。
3、状态向量 将n个状态变量用x1(t)，x2(t)，…，xn(t)作为向量x(t)的 分量所构成的向量)称为状态向量，记作
uL(t) ur (t) uC (t) Ri(t) uR (t) Ri(t)
两个储能元件,只有两个独立变量。当选i(t) 、uc(t)
为独立变量时，
根据下面两式可求解i(t) 、uc(t) ，
C duC (t) i(t) dt
L
di(t) dt
ur
(t)
uC
(t
)
Ri(t
)
如果已知初始条件i(0))、uc(0)以及ur(t),那么在t>0后的 任一时刻的解就完全被确定了。 得到以下几点： ➢系统中不是所有的物理量都相互独立； ➢独立变量的个数与系统微分方程的阶次一样； ➢独立变量确定后，其它变量可以用独立变量代数表示。 ➢独立变量组不是唯一的。
bnu (n)
b u (n1) n1
b1u
b0u(t)
按照下列公式选择状态变量
x1 y h0u
xi xi1 hi1u;i 2,3,, n
式中h0 , h1 hn1 是n个待定常数。由上式第一个方程可得
输出方程，其余可得（n-1）个状态方程。
y x1 h0u
x1 x2 h1u x2 x3 h2u
b u(n2) n2
a1 y
b1u
y(n)
a y(n1) n1
a y(n2) n2
a1 y
b u (n1) n1
b u(n2) n2
b1u
原始微分方程
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t)
b u(n1) n1
b1u
b0u(t)
x1 a0 xn b0u
这样得到n个状态方程
1
2
n
x1 x2
x2 x3
xn1 xn
xn y (n) a0 x1 a1x2 an1xn b0u
y x1
x1 (t) x2 (t)
xn (t)
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0
0 1 an1
x1 (t) x2 (t)
对于具有q个输出, p个输入的n阶系统,,线性系统状态 空间表达式为:
x A(t)x B(t)u
y C(t)x D(t)u
x—n×1维状态向量；y--q×1维输出向量； u--p×1维输入向量
其中A(t)、B(t)、C(t)和D(t) 分别是维数为n×n、 n×p、q×n和q×p的矩阵； A(t)称为系统矩阵，或状态矩阵，B(t)称为输入矩阵， C(t)称为输出矩阵，D(t)称为直接传递矩阵
(h3 a2h2 a1h1 a0h0 )u(t)
左边＝ h0u (h1 a2h0 )u (h2 a2h1 a1h0 )u (h3 a2h2 a1h1 a0h0 )u(t)
b3u b2u b1u b0u(t) 待定系数有
h0 b3
h1 b2 a2h0
h2 b1 a2h1 a1h0
* x1
x2
a1 y
b1u
y ( n 1)
a y(n2) n1
bn1u (n2)
a y(n3) n2
b u(n3) n2
a1
y
b1u
* x1
x2
a1 y
b1u
y ( n 1)
a y(n2) n1
bn1u (n2)
a y(n3) n2
b u(n3) n2
a1
y
b1u
对*求导数
x1 y(n) an1 y(n1) bn1u(n1) an2 y(n2)
C
1 L 0
x1 x2
1
L 0
ur
(t
)
y x2 0
1
x1 x2
uc
(t)
1 C
i(t)
结论:状态变量不唯一；
两组状态变量可以互相表示。
（2）线性微分方程中含有输入函数导数项的系统的状 态空间表达式 设n阶单输入单输出系统由微分方程
y (n) (t) an1 y (n1) (t) a1 y(t) a0 y(t)
h0u
y x1 h0u
x3
推广到n阶系统有
x1 x2 h1u x2 x3 h2u
xn2 xn1 hn2u xn1 xn hn1u xn a0 x1 a1x2 an2 xn1 an1xn hnu
其中
h0 bn h1 bn1 an1h0 h2 bn2 an1h1 an2h0
xn (t)
h1 h2 hn
u
x1 (t)
y 1
0
0
x2 (t
)
h0
u
xn
(t
)
注意： h0 bn bn输入项最高阶导数的系数; 当bn ＝0时，直接传递矩阵为零。
当bn=0时，原始微分方程变为 y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t)
xn xn1 an1xn bn1u xn1 xn2 an2 xn bn2u
输出方程为
y xn
x2 x1 a1xn b1u x1 a0 xn b0u
状态空间表达式
x1 (t ) x2 (t)
xn (t)
0
1
0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
0 0 1 0
0
0 0 0 1
a0 a1 a2
h3 b0 a2h2 a1h1 a0h0
所得的状态方程为
xx12
x2 x3
h1u h2u
x1 0 1 0 x1 h1
x2
0
0
1
x2
h2
u
x3 a0 a1 a2 x3 h3
x3 a0x1 a1x2 a2 x3 h3u
x1
输出方程
y 1
0
0
x2
b u(n1) n1
b1u
b0u(t)
状态空间表达式形为
x Ax bu
y cx
还可以按如下规则选择另一组状态变量
xn y xi xi1 ai y biu,i 1,2,3,, n 1
xn1 xn an1 y bn1u y an1 y bn1u
xn2 xn1 an2 y bn2u y an1 y bn1u an2 y bn2u
x1 x2
1RL
C
1 L 0
x1 x2
1
L 0
ur
(t
)
系统输出为uc(t),用y表示系统输出，则有
y x2 0
1xx12
6、输出方程
系统输出可以写成状态的线性组合，即用状态的代数方 程表示，用矩阵向量形式表示称为输出方程。
7、状态空间表达式（状态空间模型） 状态方程和输出方程合称状态空间表达式。完全描述
xn ?
h0 , h1 hn1 ?
xn2 xn1 hn2u xn1 xn hn1u
hn ?
以一个三阶系统为例 设系统的微分方程为
y(t) a2y(t) a1y(t) a0 y(t) b3u b2u b1u b0u(t)
按照上面提到的选择状态变量的方法 x1 y h0u xi xi1 hi1u;i 2,3
0
b
0
b0
c 1 0 0
绘制出状态变量之间关系的结构图
例：RLC电路，uc(t)为系统输出。
原始方程为
L
di(t dt
)
ur
(t
)
uC
(t
)
Ri(t
)
C duC (t) i(t) dt
消去中间变量
LC
d
2uc (t dt 2
)
RC
duc (t) dt
uC
(t)
ur
(t
)
d
2uc (t) dt 2
hn1 b1 an1hn2 an2hn3 a1h0 hn b0 an1hn1 an2hn2 a1h1 a0h0
写成矩阵向量的形式为
x1 (t) x2 (t)
xn (t)
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0
0 1 an1
x1 (t) x2 (t)
x1(t)
x(t)
x2
(t
)
x1 (t )
x2 (t)
xn (t)T
xn
(t
)
4、状态空间 以n个状态变量用x1(t)，x2(t)，…，xn(t)为基底所构成的 n维向量空间叫做状态空间。
例：RLC电路选择i(t)和uc(t)
为状态变量， uc(t)为系统输 出。原始方程为
di(t) L dt ur (t) uC (t) Ri(t)
an1
x1 (t ) x2 (t)
xn (t)
b0
b1
bn1
u
x1(t)
y 0
0
1
x2 (t
)
xn
(t
)
A阵为友矩阵的转置，c向量只有最后一列为1， 其余全为零。可观测标准型
例：设系统微分方程为
y(t) 4y(t) 2y(t) y(t) u u 3u(t)
状态空间模型
❖状态变量表达式相关概念 ❖由微分方程建立状态变量表达式 ❖状态变量表达式和传递函数的关系
2.5.1状态空间模型的相关概念
例：分析如图所示RLC电路，其输入电压为ur(t)， uc(t)为输出； 该电路中的四个物理量
i(t) 、uR(t) uL(t)、 uc(t)
四个物理量满足下列代数关系