状态空间模型
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现代控制工程第2章状态空间数学模型
1 1.5 0.5 6 11 6 1 4 9
3 2.5 0.51 2 3 1 0 0
3 4 1 1 4
9
0
2
0
1 1.5 0.51 8 27 0 0 3
3 2.5 0.50 0.5
B P 1B 3
4
1
0
1
1 1.5 0.51 0.5
1 0 0 0.5
P? 第5章介绍
A PAP 1 , B PB , C C P 1
17
2.3.3 状态方程的线性变换
考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。
| I A || I P1 AP || P1P P1AP |
| P1IP P1AP || P1(I A)P |
| P1 || I A || P || P1 || P || I A | | P1P || I A || I A |
21
2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现
不含有输入导数项的微分方程的一般描述为
y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bu
若将状态变量选为
x1 y x2 y
xn y (n1)
x1 x2 x2 x3
xn1 xn
xn y (n)
y (n) a0 y a1 y an1 y (n1) bu
x
0
2
0
x
1u
0 0 3 0.5
20
2.4 控制系统的实现
2.4.1 系统的实现问题 由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变 量，得到输出与输入的关系式就行了。 由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等 价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。
系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构， 要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的 内部结构确定下来。 根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的， 有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。
3 2.5 0.51 2 3 1 0 0
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1 1.5 0.51 8 27 0 0 3
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B P 1B 3
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1 1.5 0.51 0.5
1 0 0 0.5
P? 第5章介绍
A PAP 1 , B PB , C C P 1
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2.3.3 状态方程的线性变换
考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。
| I A || I P1 AP || P1P P1AP |
| P1IP P1AP || P1(I A)P |
| P1 || I A || P || P1 || P || I A | | P1P || I A || I A |
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2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现
不含有输入导数项的微分方程的一般描述为
y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bu
若将状态变量选为
x1 y x2 y
xn y (n1)
x1 x2 x2 x3
xn1 xn
xn y (n)
y (n) a0 y a1 y an1 y (n1) bu
x
0
2
0
x
1u
0 0 3 0.5
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2.4 控制系统的实现
2.4.1 系统的实现问题 由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变 量，得到输出与输入的关系式就行了。 由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等 价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。
系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构， 要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的 内部结构确定下来。 根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的， 有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。
现代控制理论控制系统的状态空间模型
方程 x：小车的水平位移
x l sin : 摆心瞬时位置
m
x l
在水平方向，利用牛顿第二定律，得到
2024/6/22
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
2024/6/22
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2024/6/22
7
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
x1 x2
ub
x
x
a
18
1.1 状态空间模型
1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常多变量系统
状态变量图：
输入向量
r×1 维
u
+ B
Bu
输入矩阵 +
n ×r维
传递矩阵 m×r维
x Ax Bu
y
Cx
Du
D
状态向量
+
x
∫
nx×1
维
隐马尔可夫模型 状态空间模型
隐马尔可夫模型状态空间模型
隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）和状态空间模型都是用于描述时间序列数据的统计模型。
隐马尔可夫模型是一种基于概率的图模型，用于描述一个序列的状态随时间变化的过程。
其中，观测序列代表着我们观察到的数据序列，而状态序列则是指导着这些数据生成的隐藏状态序列。
HMM的核心是建立起一个概率转移矩阵，描述了当前状态之间的转移概率；以及一个观测概率矩阵，描述了当前状态下生成观测序列的概率。
HMM常用于语音识别、自然语言处理、音乐分析、生物信息学等领域。
状态空间模型（State Space Model，SSM）也是一种描述时间序列数据的统计模型。
状态空间模型通常由两个部分组成：状态方程和观测方程。
状态方程描述了系统的状态如何随着时间推移而变化，而观测方程则描述了如何从这个状态产生观测值。
SSM也可以看作是一个概率图模型，其中状态变量是在时间上链接的随机变量，不可被直接观测到；观测变量是其生成的可观测结果。
SSM常用于时间序列分析、金融预测、天气预报等领域。
状态空间模型
状态空间模型状态空间模型是一种用于描述动态系统行为的数学模型。
在状态空间模型中，系统的行为由状态方程和观测方程确定。
状态方程描述系统状态如何随时间演变，而观测方程则描述系统状态如何被观测。
通过利用状态空间模型，我们可以对系统进行建模、预测和控制。
状态空间模型的基本概念状态空间模型通常由以下几个要素构成：1.状态变量（State Variables）：描述系统状态的变量，通常用向量表示。
状态变量是系统内部的表示，不可直接观测。
2.观测变量（Observation Variables）：直接观测到的系统状态的变量，通常用向量表示。
3.状态方程（State Equation）：描述状态变量如何随时间演变的数学方程。
通常表示为状态向量的一阶微分方程。
4.观测方程（Observation Equation）：描述观测变量与状态变量之间的关系的数学方程。
状态空间模型的应用状态空间模型在许多领域都有着广泛的应用，包括控制系统、信号处理、经济学和生态学等。
其中，最常见的应用之一是在控制系统中使用状态空间模型进行系统建模和控制设计。
在控制系统中，状态空间模型可以用于描述系统的动态行为，并设计控制器来实现系统性能的优化。
通过对状态方程和观测方程进行数学分析，可以确定系统的稳定性、可控性和可观测性，并设计出满足特定要求的控制器。
状态空间模型的特点状态空间模型具有以下几个特点：1.灵活性：可以灵活地描述各种复杂系统的动态行为，适用于各种不同的应用领域。
2.结构化：将系统分解为状态方程和观测方程的结构使得系统的分析更加清晰和系统化。
3.预测性：通过状态空间模型，可以进行系统状态的预测和仿真，帮助决策者做出正确的决策。
4.优化性：可以通过状态空间模型设计出有效的控制器，优化系统的性能指标。
在实际应用中，状态空间模型可以通过参数估计和参数辨识等方法进行模型的训练和调整，以适应实际系统的特性。
结语状态空间模型是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和分析动态系统的行为。
Eviews13章状态空间模型
本章小结：
• 了解状态空间模型的基本理论 • 掌握状态空间模型的建立方法 • 了解卡尔滤波方法
• 掌握状态空间模型的估计方法
EViews统计分析基础教程
四、状态空间模型的估计
当状态空间模型被定义好后，就可以对其进行模型的估计。 在 EViews 软 件 操 作 中 ， 选 择 状 态 空 间 对 象 工 具 栏 中 的 “Proc”|“Estimate…”选项，得到对话框。 在“Sample”中输入要估计的样本区间，系统默认下为整个 样本区间；在“Optimization algorithm”（最优化算法）中选 择 估 计 算 法 ， 包 括 “ Marquardt” （ 马 夸 特 测 定 法 ） 和 “BHHH”估计方法；在“Iteration Control”（循环控制）中 可以设定最大循环次数和收敛值；在“Derivatives”（导数方 法）中，有两种计算导数的方法，分别是“Accuracy”和 “Speed”。如果选择“Accuracy”计算的精度会更高，如果 选择“Speed”计算的速度会更快。
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三、状态空间模型的建立
（2）在下图所示的状态空间对象的文本编辑栏中也可以对 状态空间模型进行定义。在该编辑栏中通过关键词和文本可 以描述量测方程、状态方程、初始条件、误差结构和待估参 数的初始值。
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三、状态空间模型的建立
量测方程： 量测方程的关键词是“@signal”，如果该关键词缺失，系统 默认下会将该方程设定为量测方程。量测方程的因变量可以 包含表达式，例如 log(kg)=ss1 + c(1) + c(3)×x + ss2×y 其中，ss1和ss2是状态变量。 量测方程的右侧不能包含量测变量的当期值和未来值，即不 能包含因变量表达式中的变量。
第一章状态空间模型
2.一般形式： 对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输 入，m个输出）
u1 u2 对象 ur
x1 x2 xn 多输入多输出系统
输出
y1 y2 ym
元件
X ( t ) A X ( t ) B u( t ) n n n1 n r r 1 n1 C D Y ( t ) mn X ( t ) mr u( t ) n1 r 1 m1
3.列写系统的状态方程和输出方程，即得状态 空间表达式。
2.一般形式： 对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输 入，m个输出）
u1 u2 对象 ur
x1 x2 xn 多输入多输出系统
输出
y1 y2 ym
元件
X ( t ) A X ( t ) B u( t ) n n n1 n r r 1 n1 C D Y ( t ) mn X ( t ) mr u( t ) n1 r 1 m1
三 .线性系统的结构图 根据线性系统的状态空间表达式的一般形式 ：
X AX Bu Y CX Du
按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性 系统可用这种图形象的表达出来。
结构图： D(t)
u(t)
B(t)
+ +
X ∫dt
X
C(t)
+ Y(t) +
A(t)
在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实 际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图 例：单输入－单输出系统
a11 b1
+ x1 + +
∫dt a12
x1
c1 + + y
a21
b2
x2
∫dt a22
第四章状态空间模型
t)
=
f(
X(t),u
(t),
t)
状态方程
Y(t) =g(X(t), u(t),t) 输出方程
三、差分方程与离散变量的状态空间表达式
三、差分方程与离散变量的状态空间表达式
三、差分方程与离散变量的状态空间表达式
离散系统方程
离散系统系统方程 X(k+1) = F X(k)+ GU(k) 状态方程 Y(k) = CX(k) + DU(k) 输出方程 ห้องสมุดไป่ตู้统的阶数
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
(4)利用模型可研究以下问题： 1）死亡率变化的影响 2）人口扰动的影响 3）计划生育的影响
八、状态方程应用之三——预测产品销售量
第四章 状态空间模型（数学模型）
（数学）模型建模概论
机理法建模 （人口预测模型） 拟合法建模 两类系统及其相应状态空间系统方程 离散系统 连续系统
状态空间方程实例
连续系统：宏观经济模型 离散系统：1 人才系统；2 宏观经济模型； 3 人口迁移模型
第一节 数学模型建模方法概述
1数学模型定义
第二节 状态空间系统方程
两类系统
连续系统 ：工程系统。（微分方程描述） 离散系统 ：如银行存款本利和（差分方程描
述）。社会经济系统大多为离散系统。
例 1 宏观经济系统模型 例2 银行储蓄
m
图3-13 一般机
例3-4
例3-4
例3-5
例3-5
例3-5
连续系统方程
第四章 状态空间模型
(4.1.8)
t 1, 2 , , T
8
量测方程中的矩阵 Zt , dt , Ht 与状态方程中的矩阵 Tt , ct , Rt , Qt 统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都 被假定为非随机的。因此，尽管它们随时间改变，但 都是可以预先确定的。对于任一时刻 t，yt 能够被表示
成当前和过去的 ut 和 t 及初始向量 0 的线性组合，所
4
§4.1 状态空间模型的定义
设 yt 是包含 k 个经济变量的 k1 维可观测向量。这些
变量与 m1 维向量 t 有关，t 被称为状态向量(其中可以
包含不可观察因素)。定义“量测方程” 或“信号方程” 为:
yt Ztαt dt ut , t 1, 2，,T (4.1.1)
其中：Zt 是 km 矩阵，称为量测矩阵；
Ω
var
ut εt
Ht 0
0 Qt
6
当 k 1 时，变为单变量模型，量测方程可以写为
yt Ztαt dt ut
(4.1.5)
var(ut ) 2 t 1, 2 , , T
其中：Zt 表示 1m矩阵，t 表示 m1状态向量， ut 是方 差为 2 的扰动项。
7
若使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定：
D.W.=2.34
(11.33)
其中 t 、 t、 t分别为各个时点上钢压延加工业销售收入对基本建设投资、
房地产开发投资和出口商品总值的敏感程度，也称为弹性。下面分别分析近
年来基本建设投资、房地产开发投资和出口商品总值对钢材需求的动态影响。
19
1. 基本建设投资对钢材需求的拉动作用
从图11.3中我们可以看出钢材需求的基本建设投资弹性 t 具有较大的 波动性。2000年1月～ 2000年12月间弹性 t 由0.5下降到0.01左右， 2001年
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bnu (n)
b u (n1) n1
b1u
b0u(t)
按照下列公式选择状态变量
x1 y h0u
xi xi1 hi1u;i 2,3,, n
式中h0 , h1 hn1 是n个待定常数。由上式第一个方程可得
输出方程，其余可得（n-1）个状态方程。
y x1 h0u
x1 x2 h1u x2 x3 h2u
h0u
y x1 h0u
x3
推广到n阶系统有
x1 x2 h1u x2 x3 h2u
xn2 xn1 hn2u xn1 xn hn1u xn a0 x1 a1x2 an2 xn1 an1xn hnu
其中
h0 bn h1 bn1 an1h0 h2 bn2 an1h1 an2h0
i(t) 和uc(t)或i(t) 和uL(t)或 uL(t)和uc(t)
1、状态 是指系统过去、现在和将来的状况。 2、状态变量 能完全确定系统运动状态的最少数目的一组变量。 对于用n阶微分方程描述的系统，应有n个状态变量。
这n个状态变量用x1(t)，x2(t)，…，xn(t)表示。
3、状态向量 将n个状态变量用x1(t)，x2(t)，…，xn(t)作为向量x(t)的 分量所构成的向量)称为状态向量，记作
R L
duc (t) dt
1 LC
uC
(t)
1 LC
ur
(t)
选择 x1 uc (t), x2 uc (t),
x1 i(t), x2 uc (t),
x1 x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1
LC
ur
(t
)
y x1 1
0
x1 x2
x1 x2
1RL
h3 b0 a2h2 a1h1 a0h0
所得的状态方程为
xx12
x2 x3
h1u h2u
x1 0 1 0 x1 h1
x2
0
0
1
x2
h2
u
x3 a0 a1 a2 x3 h3
x3 a0x1 a1x2 a2 x3 h3u
x1
输出方程
y 1
0
0
x2
(h3 a2h2 a1h1 a0h0 )u(t)
左边＝ h0u (h1 a2h0 )u (h2 a2h1 a1h0 )u (h3 a2h2 a1h1 a0h0 )u(t)
b3u b2u b1u b0u(t) 待定系数有
h0 b3
h1 b2 a2h0
h2 b1 a2h1 a1h0
x1 x2
1RL
C
1 L 0
x1 x2
1
L 0
ur
(t
)
系统输出为uc(t),用y表示系统输出，则有
y x2 0
1xx12
6、输出方程
系统输出可以写成状态的线性组合，即用状态的代数方 程表示，用矩阵向量形式表示称为输出方程。
7、状态空间表达式（状态空间模型） 状态方程和输出方程合称状态空间表达式。完全描述
xn xn1 an1xn bn1u xn1 xn2 an2 xn bn2u
输出方程为
y xn
x2 x1 a1xn b1u x1 a0 xn b0u
状态空间表达式
x1 (t ) x2 (t)
xn (t)
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0 0 0 1
a0 a1 a2
xn (t)
h1 h2 hn
u
x1 (t)
y 1
0
0
x2 (t
)
h0
u
xn
(t
)
注意： h0 bn bn输入项最高阶导数的系数; 当bn ＝0时，直接传递矩阵为零。
当bn=0时，原始微分方程变为 y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t)
x f (x,u,t) y g(x,u,t)
2.5.2 由微分方程建立状态变量表达式
（1）线性微分方程中不含有输入函数导数项的系统
的状态空间表达式
y(n) (t) a y (t) (n1) a y(t) a y(t) b u(t)
n1
1
0
0
选取n个状态变量为，
x y, x y,x y(n1)
an1
x1 (t ) x2 (t)
xn (t)
b0
b1
bn1
u
x1(t)
y 0
0
1
x2 (t
)
xn
(t
)
A阵为友矩阵的转置，c向量只有最后一列为1， 其余全为零。可观测标准型
例：设系统微分方程为
y(t) 4y(t) 2y(t) y(t) u u 3u(t)
b u(n1) n1
b1u
b0u(t)
状态空间表达式形为
x Ax bu
y cx
还可以按如下规则选择另一组状态变量
xn y xi xi1 ai y biu,i 1,2,3,, n 1
xn1 xn an1 y bn1u y an1 y bn1u
xn2 xn1 an2 y bn2u y an1 y bn1u an2 y bn2u
状态空间模型
❖状态变量表达式相关概念 ❖由微分方程建立状态变量表达式 ❖状态变量表达式和传递函数的关系
2.5.1状态空间模型的相关概念
例：分析如图所示RLC电路，其输入电压为ur(t)， uc(t)为输出； 该电路中的四个物理量
i(t) 、uR(t) uL(t)、 uc(t)
四个物理量满足下列代数关系
1
2
n
x1 x2
x2 x3
xn1 xn
xn y (n) a0 x1 a1x2 an1xn b0u
y x1
x1 (t) x2 (t)
xn (t)
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0
0 1 an1
x1 (t) x2 (t)
* x1
x2
a1 y
b1u
y ( n 1)
a y(n2) n1
bn1u (n2)
a y(n3) n2
b u(n3) n2
a1
y
b1u
* x1
x2
a1 y
b1u
y ( n 1)
a y(n2) n1
bn1u (n2)
a y(n3) n2
b u(n3) n2
a1
y
b1u
对*求导数
x1 y(n) an1 y(n1) bn1u(n1) an2 y(n2)
uL(t) ur (t) uC (t) Ri(t) uR (t) Ri(t)
两个储能元件,只有两个独立变量。当选i(t) 、uc(t)
为独立变量时，
根据下面两式可求解i(t) 、uc(t) ，
C duC (t) i(t) dt
L
di(t) dt
(t)
uC
(t
)
Ri(t
)
如果已知初始条件i(0))、uc(0)以及ur(t),那么在t>0后的 任一时刻的解就完全被确定了。 得到以下几点： ➢系统中不是所有的物理量都相互独立； ➢独立变量的个数与系统微分方程的阶次一样； ➢独立变量确定后，其它变量可以用独立变量代数表示。 ➢独立变量组不是唯一的。
xx12
hh01uu
hx02uh1xu3
h0u h2u
h1u
h0u
代入原始微分方程
y x3 h2u h1u h0u
y(t) a2y(t) a1y(t) a0 y(t) b3u b2u b1u b0u(t)
左边＝ y(t) a2y(t) a1y(t) a0 y(t)
＝x3 h2u h1u h0u a2 x3 a2h2u a2h1u a2h0u a1x2 a1h1u a1h0u a0 x1 a0h0u x3 a2 x3 a1x2 a0 x1 h0u (h1 a2h0 )u (h2 a2h1 a1h0 )u (a2h2 a1h1 a0h0 )u(t) b3u b2u b1u b0u(t) 令 x3 a2 x3 a1x2 a0x1 h3u x3 a0x1 a1x2 a2 x3 h3u 左边＝h0u (h1 a2h0 )u (h2 a2h1 a1h0 )u
对于具有q个输出, p个输入的n阶系统,,线性系统状态 空间表达式为:
x A(t)x B(t)u
y C(t)x D(t)u
x—n×1维状态向量；y--q×1维输出向量； u--p×1维输入向量
其中A(t)、B(t)、C(t)和D(t) 分别是维数为n×n、 n×p、q×n和q×p的矩阵； A(t)称为系统矩阵，或状态矩阵，B(t)称为输入矩阵， C(t)称为输出矩阵，D(t)称为直接传递矩阵
hn1 b1 an1hn2 an2hn3 a1h0 hn b0 an1hn1 an2hn2 a1h1 a0h0
写成矩阵向量的形式为
x1 (t) x2 (t)
xn (t)
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0
0 1 an1
x1 (t) x2 (t)
C duC (t) i(t) dt
令 x1 i(t), x2(t) uc(t), 上式化为
x1(t)
R L
x1 (t )
1 L
x2 (t)
1 L
ur
(t)
x2
1 C
x1
x1 x2
1RL
C
1 L 0
x1 x2
1
L 0
ur