状态和状态空间模型
自动控制原理状态空间知识点总结
自动控制原理状态空间知识点总结自动控制原理是研究控制系统的基本原理、分析方法和综合设计理论的一门学科。
状态空间方法是自动控制原理中的重要内容之一，它是一种模型描述和分析控制系统动态特性的数学工具。
在本文中，将对自动控制原理状态空间的知识点进行总结和概述。
一、状态空间模型的基本概念在自动控制系统中，状态是指系统在某一时刻的内部信息或特性。
状态空间模型是一种用状态来描述系统动态特性的数学模型。
它由状态方程和输出方程组成。
其中，状态方程描述了系统状态随时间的演化规律，而输出方程则说明了系统状态与外部输入之间的关系。
二、状态空间模型的表示方法状态空间模型可以用矩阵表示，常用的表示方法有传递函数表示法和状态方程表示法。
传递函数表示法是通过系统的输入和输出之间的关系来描述系统的动态特性，而状态方程表示法则是通过系统的状态方程来描述系统的动态特性。
三、状态空间模型的性质1. 可观测性：指系统的状态是否能够通过系统的输出来唯一确定，即是否存在唯一解。
2. 可控性：指系统的状态是否能够通过控制输入来控制，即是否存在能够使系统达到任意状态的控制输入。
3. 稳定性：指系统在受到一定干扰或扰动后，是否能够以某种方式恢复到稳定状态。
四、状态空间模型的分析与设计方法状态空间模型的分析与设计方法包括系统的稳定性分析、传递函数与状态空间模型之间的转换、状态空间模型的求解方法等。
1. 稳定性分析：通过对状态空间模型的特征值进行分析，可以得到系统的稳定性信息。
2. 传递函数与状态空间模型之间的转换：传递函数和状态空间模型是描述系统动态特性的两种不同数学表达方式，它们之间可以相互转换。
3. 状态空间模型的求解方法：通过对状态空间模型的求解可以得到系统的时域响应和频域响应等信息。
五、状态观测器与状态反馈控制器状态观测器是一种用于估计系统状态的装置，通过对系统的输出进行测量，并结合系统的数学模型，可以对系统的状态进行估计。
状态反馈控制器是一种利用系统的状态信息对系统进行控制的装置，通过对系统状态进行测量，并将测量值带入控制器中进行计算，从而实现对系统的控制。
现代控制理论控制系统的状态空间模型
方程 x：小车的水平位移
x l sin : 摆心瞬时位置
m
x l
在水平方向，利用牛顿第二定律，得到
2024/6/22
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
2024/6/22
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2024/6/22
7
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
x1 x2
ub
x
x
a
18
1.1 状态空间模型
1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常多变量系统
状态变量图：
输入向量
r×1 维
u
+ B
Bu
输入矩阵 +
n ×r维
传递矩阵 m×r维
x Ax Bu
y
Cx
Du
D
状态向量
+
x
∫
nx×1
维
状态空间模型
状态空间模型状态空间模型是一种用于描述动态系统行为的数学模型。
在状态空间模型中，系统的行为由状态方程和观测方程确定。
状态方程描述系统状态如何随时间演变，而观测方程则描述系统状态如何被观测。
通过利用状态空间模型，我们可以对系统进行建模、预测和控制。
状态空间模型的基本概念状态空间模型通常由以下几个要素构成：1.状态变量（State Variables）：描述系统状态的变量，通常用向量表示。
状态变量是系统内部的表示，不可直接观测。
2.观测变量（Observation Variables）：直接观测到的系统状态的变量，通常用向量表示。
3.状态方程（State Equation）：描述状态变量如何随时间演变的数学方程。
通常表示为状态向量的一阶微分方程。
4.观测方程（Observation Equation）：描述观测变量与状态变量之间的关系的数学方程。
状态空间模型的应用状态空间模型在许多领域都有着广泛的应用，包括控制系统、信号处理、经济学和生态学等。
其中，最常见的应用之一是在控制系统中使用状态空间模型进行系统建模和控制设计。
在控制系统中，状态空间模型可以用于描述系统的动态行为，并设计控制器来实现系统性能的优化。
通过对状态方程和观测方程进行数学分析，可以确定系统的稳定性、可控性和可观测性，并设计出满足特定要求的控制器。
状态空间模型的特点状态空间模型具有以下几个特点：1.灵活性：可以灵活地描述各种复杂系统的动态行为，适用于各种不同的应用领域。
2.结构化：将系统分解为状态方程和观测方程的结构使得系统的分析更加清晰和系统化。
3.预测性：通过状态空间模型，可以进行系统状态的预测和仿真，帮助决策者做出正确的决策。
4.优化性：可以通过状态空间模型设计出有效的控制器，优化系统的性能指标。
在实际应用中，状态空间模型可以通过参数估计和参数辨识等方法进行模型的训练和调整，以适应实际系统的特性。
结语状态空间模型是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和分析动态系统的行为。
现代控制工程-第2章状态空间数学模型
现代控制工程-第2章状态空间数学模型ModernControlEngineering教材：王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2022状态空间方法是基于状态空间模型分析与设计自动控制系统。
状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。
本章首先介绍状态的概念以及状态空间模型的建立方法，然后介绍系统的状态空间模型的实现，为系统分析与设计奠定基础。
22.1状态与状态空间的概念2.2系统的状态空间模型2.3线性系统的状态空间模型与线性变换2.4控制系统的实现2.5多变量系统的传递矩阵2.6控制系统的离散状态空间模型32.1状态与状态空间的概念例：图2.1所示弹簧-阻尼器系统在外作用力F(t)已知的情况下，如果知道了物体在某一时刻的位移及速度,就能确定系统未来的动态响应。
如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来的动态响应。
物体的位移、速度及加速度这三个量显然是不独立的，可以根据其中两个量确定另外一个量，因此这个量对于描述系统状态是多余的。
可选择物体在某一时刻的位移及速度为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状42.1状态与状态空间的概念状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。
系统在各个时刻的状态是变化的，能够确定系统各个时刻状态的具有最少个数变量的一组变量称为状态变量。
以n个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状态空间。
状态轨迹：以某(t)某(t0)为起点，随着时间的推移，某(t)在状态空间绘出的一条轨迹。
52.2系统的状态空间模型2.2.1建立状态空间模型的方法描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。
描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。
系统的状态方程和输出方程组成系统的状态空间模型，或称为动态方程。
状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以又称为内部描述模型。
状态和状态空间表达式
补偿器解耦(7/7)
基于所求解的补偿器Gc(s),可实现如图4-3示的解耦控制系统。 例4-8求得的解耦补偿器Gc(s)的传递函数阵的某个元素 出现分子多项式阶次高于分母多项式阶次,这会带来该解 耦控制器工程上物理实现的困难,一般工程上只能做到近 似实现。
状态反馈解耦(1/16)
4.4.2 状态反馈解耦
状态反馈解耦(14/16)
由于E是非奇异阵,所以系统可以解耦。 因此,状态反馈解耦矩阵为
0 0 1 K E F 1 2 3 1 0 1 H E 0 1
1
状态反馈解耦(15/16)
此时闭环系统状态方程和输出方程为：
0 x (t ) 0 0 1 y (t ) 0
为实现系统解耦,要求为W(s)对角线矩阵，因此, I-W(s)也为 对角线矩阵。 故，得出Gp(s)Gc(s)也需为对角线矩阵。 即为实现如图6-3所示结构的系统的解耦,应取合适补偿 器Gc(s)使Gp(s)Gc(s)是非奇异对角线矩阵。
补偿器解耦(4/7)—例6-8
例4-8 已知系统如图4-4所示,
1 s l2 1
状态反馈解耦(9/16)
可以看出W(s)是对角线矩阵,所以其闭环系统是一个完全解 耦系统。 另外,传递函数对角元素均是积分环节,故称这样的系统 为具有积分型的解耦系统。 下面通过例子来说明如何借助状态反馈实现解耦。
状态反馈解耦(10/14)
例4-9 设系统的状态空间模型为：
s 2 3s 1 s ( s 1)( s 2) 1 G ( s) C ( sI A) B 1 ( s 1)( s 2)
因此,系统存在耦合现象。 系统的状态图如图4-6所示。
状态空间模型及标准形——自动控制原理
•
状态方程： x(t) Ax t Bu t , x t0 x0
输出方程（观测方程）：
yt Cxt Bt
x1 t
x
t
x2
t
M
xn
t
状态矢量
u1 t
u
t
u2
t
M
ur
t
输入或控制矢量
y1 t
y
t
y2 t
M
ym
t
输出矢量
a11 L a1n
y
a n 1
➢对角标准型和约当标准型 以上两种标准形的传递函数G(s)有相同阶数的分 子和分母。G(s)可以看成由一个比例环节和一个分 母阶数n总是大于分子阶数m的有理传递函数G′(S)。
N(s)为特征多项式或极点多项式；Z(s)为零 点多项式。N(s)=0的根不同，则有不同的对 角标准型和约当标准型。
•
x t Ax t , x t0 x0
它表达了系统的固有特性称为自制系统。系统矩阵A反映系统固有特性的全 部信息，控制矩阵B反映系统受外部激励。
状态方程和输出方程构成了系统的空间状态 表达式，它是一个n节线性时不变的动态系统。 是一个具有r个输入和m个输出的多变量系统。
状态空间表达的系统方框图
A
M
M
an1 L ann
b11 L b1r
B
M
M
bn1 L bnr
为n× n系统矩阵
为n× r输入或控制矩阵
c11 L c1n
C
M
M
cm1 L cmn
为m× n输出或观测矩阵
d11 L
D
M
dm1 L
状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结
状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结以状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结为标题状态空间模型是一种描述动态系统行为的数学模型，通过将系统的状态、输入和输出量化为向量形式，以状态方程和输出方程的形式表示系统的动态行为。
在实际应用中，状态空间模型常用于控制系统的设计和分析。
在状态空间模型中，系统的状态由一组变量表示，这些变量描述了系统在不同时间点的状态。
状态方程描述了状态随时间的演化规律，是系统动态行为的核心部分。
状态方程通常采用微分方程的形式表示，其中包含系统的状态变量、输入和系统参数。
解状态方程可以得到系统状态随时间的变化情况，从而可以对系统的动态行为进行分析和预测。
在实验中，我们可以通过实际测量或仿真来获取系统的输入和输出数据，并根据这些数据来估计系统的状态方程和参数。
然后，利用已知的状态方程和输入数据，可以通过数值求解方法来解状态方程，得到系统的状态随时间的变化情况。
解状态方程的结果可以与实际测量或仿真数据进行比较，以验证状态方程的准确性和模型的有效性。
在进行状态空间模型实验时，需要注意以下几点：1. 系统建模：首先需要对系统进行建模，确定系统的状态变量、输入和输出，并推导出系统的状态方程和输出方程。
建模的过程中需要考虑系统的特性和约束条件，以及系统的稳定性和可控性等因素。
2. 实验设计：根据系统的特点和实验目的，设计合适的实验方案。
选择合适的输入信号，以及采样频率和采样时长等参数，以确保实验数据的准确性和可靠性。
3. 数据采集：在实验中需要采集系统的输入和输出数据。
输入信号可以通过外部激励或系统自身的反馈信号来产生，输出信号可以通过传感器或测量设备进行采集。
采集到的数据需要进行预处理和滤波，以去除噪声和干扰，提高数据的质量和可靠性。
4. 系统辨识：通过实验数据和已知的输入信号，利用数值辨识方法来估计系统的状态方程和参数。
常用的辨识方法包括最小二乘法、卡尔曼滤波器和系统辨识工具箱等。
状态空间模型
引言状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进展分析和综合的根底。
状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间变换关系的输出方程组成。
在经典控制理论中，采用n阶微分方程作为对控制系统输入量u〔t〕和输出量y〔t〕之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n阶微分方程进展Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数〞建立了系统输入量U(s)=L[u(t)]和输出量Y(s)=L[y(t)]之间的关系。
传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间〞根底上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量〞来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组〞来描述系统的动态特性。
系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，提醒了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
由于此算法精度高，采取措施对误差进展抑制，所以其实现原理也较复杂。
该算法是构建在数学支持的根底之上的。
标准四阶龙格——库塔法的根本思想龙格和库塔提出了一种间接地运用Taylor公式的方法，即利用y(x)在假设干个待定点上的函数值和导数值做出线性组合式，选取适当系数使这个组合式进Taylor展开后与y(xi+1)的Taylor展开式有较多的项到达一致，从而得出较高阶的数值公式，这就是龙格—库塔法的根本思想。
一、实验原理龙格——库塔法龙格—库塔法是仿真中应用最广泛的方法。
它以泰勒展开公式为根底，用函数f的线性组合代替f的高阶导数项，防止了高阶导数的运算，又提高了精度。
泰勒公式的阶次取得越高，龙格—库塔法所得的误差等级越低，精度越高。
最常用的是四阶龙格—库塔法，它虽然有一定的时间损耗，但比梯形法要快，而且与其它方法比拟，其误差比欧拉法高三个数量级，比预估—校正法高两个数量级，是自启动的。
状态空间模型表达式
状态空间模型表达式以状态空间模型为标题的文章状态空间模型是一种用于描述系统行为的数学模型。
它将系统的行为抽象为一系列状态和状态之间的转换关系。
在这个模型中，系统的行为可以被分解为一系列离散的状态，每个状态都代表着系统在某个时刻的特定情况。
通过定义状态之间的转换规则，我们可以描述系统在不同状态下的行为。
在状态空间模型中，系统的状态可以用变量来表示。
每个状态变量都有一组可能的取值，这些取值被称为状态空间。
系统的初始状态被称为初始状态，而系统的所有可能状态的集合被称为状态空间。
状态空间模型可以被用于描述各种不同的系统，包括物理系统、生物系统、信息系统等。
状态空间模型的核心是状态转换规则。
状态转换规则定义了系统在不同状态下的行为。
它描述了系统从一个状态转换到另一个状态的条件和方式。
状态转换规则可以用逻辑表达式、状态转移图等形式来表示。
通过定义状态转换规则，我们可以预测系统在不同状态下的行为，以及系统从一个状态转换到另一个状态的路径。
状态空间模型可以用于解决各种实际问题。
例如，在控制系统中，我们可以使用状态空间模型来描述系统的动态行为，设计控制器来实现系统的稳定性和性能要求。
在计算机科学中，我们可以使用状态空间模型来描述算法的执行过程，分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
在人工智能领域，我们可以使用状态空间模型来描述智能代理的知识和行为，实现自动决策和自主学习。
状态空间模型的优点是可以提供对系统行为的精确描述。
通过定义状态和状态转换规则，我们可以准确地描述系统在不同状态下的行为，从而可以预测系统的行为和优化系统的性能。
此外，状态空间模型还可以提供对系统的可达性和可控性的分析，以及对系统的稳定性和鲁棒性的评估。
然而，状态空间模型也存在一些限制和挑战。
首先，状态空间模型假设系统的行为是离散的，而实际系统的行为往往是连续的。
因此，在描述连续系统时，需要对状态空间模型进行离散化处理。
其次，状态空间模型的规模随着系统状态的增加而指数级增长，这会导致模型的复杂性和计算复杂性的增加。
状态和状态空间表达式-Read
其中i(i=0,1,…,n)为待定系数。
用an an-1 an-2 ..... a1分别乘于上式两边，移项后可得：
an y an x1 an0u
aann12yy
an1x2 an2 x3
an10u an11u an20u an21u
和输出方程
x1 x2 ......
xn
1
xn
xn a1xn ... an x1 bu
y=x1
微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)
将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有
0 1
0
0 0
0
0
1
0
0
x
x u
微分方程中包含输入量的导数项(7/11)
则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的 状态空间模型
0 1
0
0
0
1
0 1
0
2
x
x u
0
0
0
0
1
n
1
an an1` an2
a1 n
x1 xn
x2 a1xn
... ...
xn1 xn an x1 b0u(n)
...
bnu
根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为 分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连 续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。
因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接 将输出y的各阶导数项取作状态变量。
第八章状态空间数学模型
第八章 状态空间数学模型§8-1状态空间表达式一、状态、状态变量和状态空间1、状态变量：系统的状态变量就是确定系统状态的最小一组变量。
如果已知这些变量在任意初始时刻0t 的值以及0t t ≥的系统输入，便能完整地确定系统在时刻t 的状态，这样一组最小的变量称为系统的状态变量。
2、状态：任意时刻下系统的状态变量的值。
3、状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，称为状态空间。
例：R-L-C 电路)()(1)()()()(00t u dt t i Ct u t u t Ri dt t di L i ==++⎰二、状态空间表达式Du Cx y bu Ax x+=+=其中：A ：n×n 系数矩阵，B ：n×r 输入矩阵，C ：m×n 输出矩阵，D ：m×r 直接传输矩阵。
例1：R-L-C 电路[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+--=0000001001011111u i u u L u i CL L Rdt du dt di i cdt du u L u L i L R dt di ii例：直流电动机[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎩⎪⎨⎧--=+--===++==++ωωωωωωωωωωi T u J L i J c Jk L k L R dt d dt di T J J c i J k dtd u L L k i L R dt diik T T T c dt d J k e u e Ri dt di L l i te lt i e t l e i10100111§8-2由微分方程求状态空间表达式一、输入不含有导数项[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---========+++32132121032110213233221101200100100010x x x y u b x x x a a a x x x bu x a x a x a y x y x x y x xyx bu y a y a ya y二、输入含有导数项)()()()(:,:10213242211000312011202213001230011223011220210102132432104210310201333210422210311102010123012=+++---=--=-==+++=+++++++++++++++++=+++=++=+=-=----=-=---=-=--=-=+++=+++x a x a x a x a a a b a a b a b b u b u b u b u b u a a a ua a u a ux a x a x a x u u u ux y u u u x yu u x y u x y u x u u u u y x u x u u u yx u x u u yx uy x u b u b u b u b y a y a y a y βββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββ对应项系数相等整理得代入原方程得到[]u x x x u x y u x x x a a a x x x u x a x a x a xu x xu x x0321013213212132133221103232121001100010ββββββββ+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=+=+=§8-3传递函数矩阵一、传递函数矩阵Du Cx y Bu Ax x+=+=BA sI s G x x s Bu s x A sI s Bu s Ax x s sx xu 1][)(0)0()0()()(][)()()0()(--==+=-+=-Guy =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+-=+-=+=--mrm m r r yuyu g g g g g g g g g G DB A sIC G s Du s Bu A sI C s Du s Cx s y21222211121111][)()(][)()()( 二、闭环系统传递函数矩阵)()]()([)()()()]()([)]()()()[()]()()[()()()()()()()()()()(1s G s H s G I G s u s G s y s H s G I s y s H s u s G s B s u s G s y s E s G s H s y s H s B s B s u s E close -+==+-=-===-=§8-4线性变换一、等价系统方程（状态变量的非唯一性）DD CP C u D x C Du x CP y PB B PAPA uB x A PBu x PAP PBu PAx Bu Ax P x P x x P x Pxx n n P Du Cx y Bu Ax x==+=+===+=+=+=+====⨯+=+=-----11111)(: 非奇异矩阵[]01101100101100110,11100222112110000====⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----D D CP C LC PB B L R LCPAP A C PCP u i Cu i P P P P u u u u C L R 为状态变量和若选电路为例以二、化系数矩阵为标准形的特征向量。
State-Space-Model-状态空间模型 共119页
为的完整描述，称为系统的状态空间表达式。
x Ax Bu
y
Cx
Du
状态空间表达式的结构图为:
26
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
D
u
x
B+
∫
x
+ +
y
C
重点：
+
A
定常线性系统！
x Ax Bu
10
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
11
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
回顾：线性方程组的矩阵表示：
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 ，
9
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
用一阶微分方程组表示系统模型！
x1m2l2g1(Iml2)u 1(Mm)mgl1mlu
引入新的变量
小车状态：y, y
x1 x x2 x x3 x4
摆的状态： ,
x1 x2 x2 {1m2l2g}x3 {1(I ml2)}u x3 x4 x4 {1(M m)mgl}x3 {1ml}u
因此，本章内容为现代控制理论的基础知识。
一、状态空间模型
小车-倒立摆例子
V
u
H
7
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
小车-倒立摆例子 V
小 车 的 水 平 运 动 ： Md dt22 xuH
现代控制理论控制系统的状态空间模型
线性时变系统的特点
线性时变系统的动态行为由线性时变微 分方程描述，其特点是系统参数随时间 变化。
线性时变系统的稳定性分析较为复杂，需要 考虑参数变化对系统稳定性的影响。
线性时变系统在航空航天、机器人、 化工等领域有广泛应用，其控制策 略需要根据具体应用场景进行设计。
05
非线性系统的状态空间 模型
状态空间模型的近似线性化
线性化方法
由于非线性系统的分析和设计通常比较复杂，因此常常采 用近似线性化的方法将非线性系统转化为线性系统进行分 析。
泰勒级数展开
一种常用的近似线性化方法是使用泰勒级数展开，将非线 性函数展开成多项式形式，并保留低阶项以获得近似的线 性模型。
局部线性化
另一种常用的近似线性化方法是局部线性化，即将非线性 系统在某个平衡点附近进行线性化处理，以获得该点附近 的线性模型。
线性微分方程具有叠加性和时不变性，即对于任意常数c，若x(t) 是方程的解，则cx(t)也是方程的解；同时，若在时间t=t0时， x(t0)=x0，则对于任意时间t>t0，x(t)都等于x0。
状态空间模型的建立
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的方法，它由状态方程和输出方程组成。状态方程描述了系统内部状态的变化规 律，输出方程描述了系统输出与内部状态和输入的关系。
状态空间模型的建立需要确定系统的状态变量、输入变量和输出变量，然后根据系统的物理特性和实际需求来选择合适的系 统矩阵A、B和C。
线性时不变系统的特点
01
线性时不变系统具有叠加性、 均匀性和时不变性，这些性质 使得线性时不变系统在分析和 设计上相对简单。
02
线性时不变系统的动态行为可 以通过系统的极点和零点来描 述，这些极点和零点决定了系 统的动态响应特性和稳定性。
东南大学自动控制原理控制系统的状态空间模型
对偶实现
g(s)
n1sn1
sn an1sn1
1s 0
a1s a0
d
则状态空间表达式可为
d=0时为严格真系统
0 0 0 a0
1
0
a1
A 0 0 ,
1
0
an2
0 0 1 an1
实现过程：
第一步：分解传递函数
g(s)
bn
(bn1
bnan1)sn1 (b1 sn an1sn1
bna1)s a1s a0
(b0
bna0
)
第二步：定义虚拟输出
~y (s)
sn
an1s n1
1
a1s a0
u(s)
则 y(s) ((bn1 bnan1)sn1 (b1 bna1)s (b0 bna0 )) ~y (s) bnu(s)
bnu(t)
第三步：取n个状态变量 x1 ~y, x2 ~y (1) , , xn ~y (n1)
x1 ~y (1) x2 ,
xn1
~y (n1)
xn ,
xn ~y (n) an1xn a0 x1 u
y(t) (b0 bna0 )x1(t) (b1 bna1)x2 (t) (bn1 bnan1)xn (t) bnu(t)
假设零初始条件（即x(0)=0)，进行拉普拉斯变换后得到系统的 传递函数矩阵为
G(s) C(sI A)1 B D
状态空间模型
所以 D 4
a0 5,a1 1,b0 23,b1 3.
所以
0 A a0
1 a1
0 5
11,
B 10,
C b0 b1 23 3,
状态模型为：
d dt
x1(t ) x2 (t )
0 5
1 1
x1(t ) x2 (t )
10u(t
)
y(t) 23
3
x1(t ) x2 (t )
dt 3. e At1 e At2 e A(t1t2 );
4. eAt 1 eAt ;
5. AB BA e At eBt e( AB)t ;
6. M 1e At M eM 1AMt;
1
7.
A
e1t
e At
;
n
ent
状态方程的解
对方程
d dt
X
(t)
AX
(t)
BU
C
c21
c22
c2n
cq1
cq 2
cqn
（输出矩阵）
d11 d12 d1p
D
d21
d22
d
2
p
dq1
dq2
dqp
（输出-输入矩阵）
状态模型的矩阵表示为：
d dt
X
(t)
AX
(t)
BU
(t),
X
(0)
X
0
Y (t) CX (t) DU (t).
显然，该系统完全由矩阵 A, B,C, D 所确定。以后我们以{ A, B,C, D }形 式来简记该系统。
得状态方 程：
dx1 dt
y'
x2
dx2
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量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态
向 x量1 ,并可表示如下: u1
y1
x
x
2
...
[ x1
x2
... xn ]
u2 系统内部状态 y2
…
x1,x2,…,xn
…
x
n
ur
ym
图2-1 多输入多输出系统示意图
a
6
• 状态变量是描述系统内部动态特性行为的 变量。
– 它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能 直接测量或观测的量；
– 最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分 量是相互独立的。
• 减少变量,描述不全。
• 增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必 要。
a
5
• 若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须
由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n
个状态变量为x1(t),x2(t), …,xn(t).
– 若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向
R
iL
L
diL dt
uC
ui
i
L
C
duC d ta
11
2. 选择状态变量。
– 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感 和电容)的个数。
– 对本例
x1(t)=iL, x2(t)=uC
3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整 理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组--状 态方程。
– 每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的 系数为1,非导数项列写在方程的右边。
x Ax Bu y Cx
其中
xxx12 u[ui] y[uC]
-R/L -1/L 1/L
A1/C
0
B
0
C[0 1]
a
14
• 总结出状态空间模型的形式为
x Ax Bu
y
Cx
Du
其中x为n维的状态向量;
u为r维的输入向量; y为m维的输出向量; A为nn维的系统矩阵; B为nr维的输入矩阵;
描述线性系统 的主要状态空 间模型,切记!
C为mn维的输出矩阵;
D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。
a
15
• 状态空间模型的意义,有如下讨论:
– 状态方程描述的是系统动态特性,
• 其决定系统状态变量的动态变化。
– 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的 关系。
– 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间关联情况,
状态和状态 空间模型
a
1
状态和状态空间模型
• 系统的状态空间模型是建立在状态和状态 空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念 进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌 握和深入理解。
– 状态
– 状态变量 – 状态空间
– 状态空间模型
a
2
状态空间的基本概念
• 下面将给出动态系统的状态和状态空间的 概念,主要讲授内容为：
并称为n维状态空间,记为Rn.
x2 x(t0)
x (t1) x (t2)
• 状态向量的端点在状态空间
x (t)
中的位置,代表系统在某一时
x1
刻的运动状态。
图2-2 二维空间的状态轨线
➢ 随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状 态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。
➢ 状态轨线如图2-2所示。
– 该变量组的每个变量称为状态变量。
– 该最小变量组中状态变量个数称为系统的阶数。
a
4
• “状态”定义的三要素
– 完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时
刻(t=t0)的值和初始时刻后(tt0)的输入,则系统
在任何瞬时(tt0)的行为,即系统的状态要,就掌可握喔完
全且唯一的确定。
!
– 动态时域行为。
a
9
系统的状态空间模型
• 状态空间模型是应用状态空间分析法对动 态系统所建立的一种数学模型,它是应用现 代控制理论对系统进行分析和综合的基础。
– 状态空间模型由
• 描述系统的动态特性行为的状态方程和
• 描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出 方程
所组成。
– 下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二 阶RLC电网络系统为例,说明状态空间模型的建 立和形式,然后再进行一般的讨论。
– 可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际 物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。
Hale Waihona Puke a7• 状态变量与输出变量的关系
– 状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行 为的变量。
– 而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、 优化与控制等)时所关心的系统外在表现的动态 特性,并非系统的全部动态特性。
• 它主要决定系统的动态特性。
– 输入矩阵B又称为控制矩阵,
• 它表示输入对状态变量变化的影响。
– 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。 – 直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多
系统不存在这种直联关系,即直联矩阵D=0。
a
16
• 上述线性定常连续系统的状态空间模型可 推广至
– 非线性系统、 – 时变系统。
– 系统的状态和状态变量 – 系统的状态空间
a
3
1. 系统的状态和状态变量
• 动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的 字面意思就是指系统过去、现在将来的运 动状况。
– 正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空 间分析方法十分重要。
– “状态”的定义如下。
• 定义2-1 动态系统的状态,是指能够完全描 述系统时间域动态行为的一个最小变量组。
1. 非线性时变系统 x f (x, u,t)
– 因此,状态变量比输出变量更能全面反映系统的 内在变化规律。
• 可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态 变量的输出空间的投影,一个子集。
x
状态空间
空间映射
a
输出 y 空间
8
2. 系统的状态空间
• 若以n个状态变量
x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴, 就可构成一个n维欧氏空间,
a
12
– 对本例,经整理可得如下状态方程
dx1 ddxt2 dt
R L
x1
1 C
x1
1 L
x2
1 L
ui
写成向量与矩阵形式为：
xx1 2 -1R /C /L -10/Lxx1 21/0Lui
4. 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程。
➢ 对本例
uC
x2
a
[0
1]xx12
13
5. 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态 空间模型的状态空间模型
a
10
• 例 某电网络系统的模
型如图2-3所示。
R
L
+
– 试建立以电压ui为系统 输入,电容器两端的电压 ui
iL
+
C uC
-
uC为输出的状态空间模 -
型。
图2-3 例2-3的RLC电网络系统
解 1. 根据系统的内部机理列出各物理量所满足的关系式。
➢ 对本例,针对RLC网络的回路电压和节点电流关系,列出各 电压和电流所满足的方程