第二章 状态空间模型
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【武汉大学】控制系统的状态空间模型【现代控制理论】
的结构图如图2-5所示。
D(t)
+
u
+ B(t)
x& ∫
x C(t)
y
+
+
A(t)
图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.3线性系统状态空间模型的结构图
若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变 量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各 变量间的结构图。
或观测的量； – 可以是物理的,也可以是非物理的、没有实际物理量与之
直接相对应的抽象数学变量。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.1.1系统的状态和状态变量
状态变量与输出变量的关系: – 状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变
量。
– 而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化 与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非 系统的全部动态特性。
RiL
L
diL dt
uC
ui
iL
C
duC dt
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.2系统的状态空间模型
2. 选择状态变量。 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容) 的个数。 对本例
x1(t) iL , x2 (t) uC
3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式 的一阶矩阵微分方程组--状态方程。
武汉大学 自动化系 丁李
目录
2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形 2.5 传递函数阵 2.6 用MATLAB进行系统模型转换
现代控制工程第2章状态空间数学模型
1 1.5 0.5 6 11 6 1 4 9
3 2.5 0.51 2 3 1 0 0
3 4 1 1 4
9
0
2
0
1 1.5 0.51 8 27 0 0 3
3 2.5 0.50 0.5
B P 1B 3
4
1
0
1
1 1.5 0.51 0.5
1 0 0 0.5
P? 第5章介绍
A PAP 1 , B PB , C C P 1
17
2.3.3 状态方程的线性变换
考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。
| I A || I P1 AP || P1P P1AP |
| P1IP P1AP || P1(I A)P |
| P1 || I A || P || P1 || P || I A | | P1P || I A || I A |
21
2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现
不含有输入导数项的微分方程的一般描述为
y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bu
若将状态变量选为
x1 y x2 y
xn y (n1)
x1 x2 x2 x3
xn1 xn
xn y (n)
y (n) a0 y a1 y an1 y (n1) bu
x
0
2
0
x
1u
0 0 3 0.5
20
2.4 控制系统的实现
2.4.1 系统的实现问题 由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变 量，得到输出与输入的关系式就行了。 由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等 价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。
系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构， 要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的 内部结构确定下来。 根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的， 有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。
3 2.5 0.51 2 3 1 0 0
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B P 1B 3
4
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1 1.5 0.51 0.5
1 0 0 0.5
P? 第5章介绍
A PAP 1 , B PB , C C P 1
17
2.3.3 状态方程的线性变换
考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。
| I A || I P1 AP || P1P P1AP |
| P1IP P1AP || P1(I A)P |
| P1 || I A || P || P1 || P || I A | | P1P || I A || I A |
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2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现
不含有输入导数项的微分方程的一般描述为
y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bu
若将状态变量选为
x1 y x2 y
xn y (n1)
x1 x2 x2 x3
xn1 xn
xn y (n)
y (n) a0 y a1 y an1 y (n1) bu
x
0
2
0
x
1u
0 0 3 0.5
20
2.4 控制系统的实现
2.4.1 系统的实现问题 由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变 量，得到输出与输入的关系式就行了。 由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等 价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。
系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构， 要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的 内部结构确定下来。 根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的， 有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。
控制系统的状态空间模型
第2章控制系统的状态空间模型本章讨论动态系统的状态空间描述。
主要介绍在状态空间分析中所应用的数学模型----状态空间模型(也称状态空间表达式)的建立、状态空间模型的线性变换、MIMO 的传递函数阵、组合系统的状态空间模型,以及离散时间动态系统的状态空间模型。
本章最后介绍基于Matlab 的控制模型的建立与变换问题的程序设计与计算。
本章将力图让读者建立起状态、状态空间与状态空间变换的概念，掌握状态空间模型的建立方法，打下进行状态空间分析的基础。
2.1 状态和状态空间模型2.1.1状态空间的基本概念1. 系统的状态和状态变量2. 系统的状态空间2.1.2系统的状态空间模型状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。
状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间变换关系的输出方程组成。
下面以一个由电容、电感等储能元件组成的电网络系统为例,说明状态空间模型的建立和形式,然后再进行一般的讨论。
1. 非线性时变系统状态空间模型由状态方程和输出方程组成。
其中,状态方程描述了系统内部各状态变量之间及其与各输入变量间的动态关系,输出方程则描述了系统输出是如何由状态变量和输入变量决定的。
因此,非线性时变系统的状态空间模型的形式为 ⎩⎨⎧==),,(),,(t t u x g y u x f x (2-6) 式中,x 为n 维状态向量;u 为r 维输入向量;y 为m 维输出向量;f (x ,u ,t )和g (x ,u ,t )分别为如下n 维和m 维关于状态向量x 、输入向量u 和时间t 的非线性向量函数2. 非线性定常系统若非线性时变系统的状态空间模型中不显含时间变量t ,则成为非线性定常系统的状态空间模型⎩⎨⎧==),(),(u x g y u x f x 式中,f (x ,u )和g (x ,u )分别为n 维和m 维关于状态向量x 和输入向量u 的非线性向量函数。
状态空间模型
状态空间模型状态空间模型是一种用于描述动态系统行为的数学模型。
在状态空间模型中，系统的行为由状态方程和观测方程确定。
状态方程描述系统状态如何随时间演变，而观测方程则描述系统状态如何被观测。
通过利用状态空间模型，我们可以对系统进行建模、预测和控制。
状态空间模型的基本概念状态空间模型通常由以下几个要素构成：1.状态变量（State Variables）：描述系统状态的变量，通常用向量表示。
状态变量是系统内部的表示，不可直接观测。
2.观测变量（Observation Variables）：直接观测到的系统状态的变量，通常用向量表示。
3.状态方程（State Equation）：描述状态变量如何随时间演变的数学方程。
通常表示为状态向量的一阶微分方程。
4.观测方程（Observation Equation）：描述观测变量与状态变量之间的关系的数学方程。
状态空间模型的应用状态空间模型在许多领域都有着广泛的应用，包括控制系统、信号处理、经济学和生态学等。
其中，最常见的应用之一是在控制系统中使用状态空间模型进行系统建模和控制设计。
在控制系统中，状态空间模型可以用于描述系统的动态行为，并设计控制器来实现系统性能的优化。
通过对状态方程和观测方程进行数学分析，可以确定系统的稳定性、可控性和可观测性，并设计出满足特定要求的控制器。
状态空间模型的特点状态空间模型具有以下几个特点：1.灵活性：可以灵活地描述各种复杂系统的动态行为，适用于各种不同的应用领域。
2.结构化：将系统分解为状态方程和观测方程的结构使得系统的分析更加清晰和系统化。
3.预测性：通过状态空间模型，可以进行系统状态的预测和仿真，帮助决策者做出正确的决策。
4.优化性：可以通过状态空间模型设计出有效的控制器，优化系统的性能指标。
在实际应用中，状态空间模型可以通过参数估计和参数辨识等方法进行模型的训练和调整，以适应实际系统的特性。
结语状态空间模型是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和分析动态系统的行为。
2019-§2控制系统的状态空间模型-文档资料
弹簧平移运动是一个二阶线性系统。
（3）定义状态向量、控制向量和输出向量
x1 y
d2y dy m d2tfd tk yF i
x2 y x1
uFi ,
yy,
整理（2-2-2）式
mdd dxd2t 2yt2 f dxd2 ytkxy1 F u i （2-2-2）
（4）可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分
（2）状态变量可以测量或不可测量。
2.2 状态空间方程的建立
例2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统如图示。 列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的 状态方程。
k
M
y Fi
Ff Fk
M
y Fi
图 2-5 弹簧-质量-阻尼器系统
（1）确定输入变量：
系统入: Fi， 出：y
（2）基本定理：
§2 控制系统的状态空间模型
微分方程 → 单输入、单输出线性定常系统 状态空间方程 → 多变量系统，现代控制理 论的数学描述方法
两种表示方法可以互相转换。
2.1 状态空间的基本概念
被控对象的变量可以分为三类：
n 输入变量（控制变量和干扰变量）
u[u1,u2 ur]T
n 输出变量（被控变量）
y[y1,y2,ym]T
0
1
m
u
和
y1
0
x1 x2
得到
0 xm k
1m f xx1 2m 1 0u
y 1
0
x1 x2
状态方程 xAxBu 输出方程
y Cx
系数矩阵
0 1
A
（3）定义状态向量、控制向量和输出向量
x1 y
d2y dy m d2tfd tk yF i
x2 y x1
uFi ,
yy,
整理（2-2-2）式
mdd dxd2t 2yt2 f dxd2 ytkxy1 F u i （2-2-2）
（4）可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分
（2）状态变量可以测量或不可测量。
2.2 状态空间方程的建立
例2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统如图示。 列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的 状态方程。
k
M
y Fi
Ff Fk
M
y Fi
图 2-5 弹簧-质量-阻尼器系统
（1）确定输入变量：
系统入: Fi， 出：y
（2）基本定理：
§2 控制系统的状态空间模型
微分方程 → 单输入、单输出线性定常系统 状态空间方程 → 多变量系统，现代控制理 论的数学描述方法
两种表示方法可以互相转换。
2.1 状态空间的基本概念
被控对象的变量可以分为三类：
n 输入变量（控制变量和干扰变量）
u[u1,u2 ur]T
n 输出变量（被控变量）
y[y1,y2,ym]T
0
1
m
u
和
y1
0
x1 x2
得到
0 xm k
1m f xx1 2m 1 0u
y 1
0
x1 x2
状态方程 xAxBu 输出方程
y Cx
系数矩阵
0 1
A
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
状态空间模型和卡尔曼滤波课件
（11.23）
一步向前预测误差可以通过下面的公式得到：
vt yt ~yt t1 Zt(αt at t1) ut , t 1, 2 , , T（11.24）
预测误差的方差被定义为；
Ft var(vt ) Zt Pt t1Zt Ht ， t 1, 2 , , T （11.25）
15
Kalman滤波的初值可以按 a0 和 P0 或 a10 和 P10 指 定。这样，每当得到一个观测值时，Kalman滤波提供了 状态向量的最优估计。当所有的 T 个观测值都已处理， Kalman滤波基于信息集合 YT ，产生当前状态向量和下 一时间期间状态向量的最优估计。这个估计包含了产生 未来状态向量和未来观测值的最优预测所需的所有信息。
状态空间形式( k=1, m=2 )是
yt (1, 0)αt
(11.1.15)
αt
2
yt yt
1
12
换一种形式
yt (1, 0)αt
01αt
1
10
ut
αt
yt yt
1
11
2
0
αt1
1
0
ut
(11.1.16)
(11.1.17)
5
系统矩阵 Zt ，Ht ，Tt ，Rt ，Qt 可以依赖于一个未知参数 的集合。状态空间模型的一个主要的任务就是估计这些参数，
(11.2.2)
在扰动项和初始状态向量服从正态分布的假设下，t 的 条件分布的均值 att-1 是 t 在最小均方误差意义下的一个最
优估计量。估计误差的协方差矩阵是
Pt t1 Tt Pt1Tt Rt Qt Rt
(11.2.3)
式(11.2.2)和式(11.2.3)称为预测方程（pediction equations）。
第2章 控制系统的状态空间模型
一.输入项中不含有导数项：
假设单输入单输出线性系统的微分方程为：
D-E
y ( n ) a1 y ( n1) a n1 y a n y bu
x Ax bu S-E：状态空间表达式为： Y Cx Du
n阶系统要设n个状态变量，并且已知y (0), y (0), y n 1 (0). 以及输入u,就能惟一确定状态，故按状态变量的定义， 可直接按已知初始条件选状态变量--称为相变量
x1 x2 x y x x 1 3 2 x2 y 令 n 2 xn 1 xn xn 1 y x y n a y n 1 a y a y bu n n 1 n 1 n 1 x y n =-an x1 an 1 x2 a1 xn bu
引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了 系统在某时刻的状态。 4.状态轨线： 定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所 移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态 随时间变化的规律。 例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状 态是x10,x20,x30 。在u(t)作用下 ，系统的状态开 始变化，运动规律如下：
﹡完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初 始状态）又已知t≥t0 时系统的输入u(t)，则系 统在 t≥t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一 被确定。 ﹡最小变量组：即这组变量应是线性独立的。
2. 状态空间： 定义：由系统的n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t) 为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空间。 引入状态空间，即可把n个状态变量用矢量形式表 示出来，称为状态矢量 x1 ( t ) x (t ) x( t ) 2 xn ( t ) n1 又表示为：x(t) ∈Rn [x(t) 属于n维状态空间 ]
State-Space-Model-状态空间模型 共119页
式称为输出方程 . （3）状态方程与输出方程的组合构成对系统动力学行
为的完整描述，称为系统的状态空间表达式。
x Ax Bu
y
Cx
Du
状态空间表达式的结构图为:
26
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
D
u
x
B+
∫
x
+ +
y
C
重点：
+
A
定常线性系统！
x Ax Bu
10
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
11
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
回顾：线性方程组的矩阵表示：
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 ，
9
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
用一阶微分方程组表示系统模型！
x1m2l2g1(Iml2)u 1(Mm)mgl1mlu
引入新的变量
小车状态：y, y
x1 x x2 x x3 x4
摆的状态： ,
x1 x2 x2 {1m2l2g}x3 {1(I ml2)}u x3 x4 x4 {1(M m)mgl}x3 {1ml}u
因此，本章内容为现代控制理论的基础知识。
一、状态空间模型
小车-倒立摆例子
V
u
H
7
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
小车-倒立摆例子 V
小 车 的 水 平 运 动 ： Md dt22 xuH
为的完整描述，称为系统的状态空间表达式。
x Ax Bu
y
Cx
Du
状态空间表达式的结构图为:
26
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
D
u
x
B+
∫
x
+ +
y
C
重点：
+
A
定常线性系统！
x Ax Bu
10
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
11
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
回顾：线性方程组的矩阵表示：
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 ，
9
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
用一阶微分方程组表示系统模型！
x1m2l2g1(Iml2)u 1(Mm)mgl1mlu
引入新的变量
小车状态：y, y
x1 x x2 x x3 x4
摆的状态： ,
x1 x2 x2 {1m2l2g}x3 {1(I ml2)}u x3 x4 x4 {1(M m)mgl}x3 {1ml}u
因此，本章内容为现代控制理论的基础知识。
一、状态空间模型
小车-倒立摆例子
V
u
H
7
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
小车-倒立摆例子 V
小 车 的 水 平 运 动 ： Md dt22 xuH
状态空间模型
这时，状态方程不变（同上），而输出方程变为：
y (t ) = [b0 bn a0 , b1 bn a1, L, bn 1 bn an 1 ]X (t ) + bnu (t )
Example
分别求传递函数
和 2）
4 s 2 + 3s 3 G(s) = 2 s + 7s + 5
s 3 G(s) = 2 1） s + 3s + 2
Example
设一线性系统的状态表示为
dx1 dt = x1 + x2 + u dx 2 = x2 u dt y = x1 x2 + 2u
{A, B, C , D}
试求其输入-输出微分方程.
解:
1 2 1 , , [1 1],2, = 0 1 1
1
代入公式(3)得
的状态模型表示。 解：1） m=1,n=2且 a0 = 2, a1 = 3, b0 = 3, b1 = 1.
0 A= a0 1 0 1 0 B = , = , a1 2 3 1 C = [b0 b1 ] = [ 3 1], D = 0
状态模型为：
1 x1 (t ) 0 d x1 (t ) 0 = + u (t ) dt x2 (t ) 2 3 x2 (t ) 1 x1 (t ) y (t ) = [ 3 1] x2 (t )
其中 H i 为待定向量,维数与 X 相同. 显然,由初始条件X (0) = X 0 可得 H 0 = X 0 , 并将(3)式代入(2)式得:
H1 + 2 H 2t + L + nH nt n 1 + L = AH 0 + AH1t + L + AH nt n + L
y (t ) = [b0 bn a0 , b1 bn a1, L, bn 1 bn an 1 ]X (t ) + bnu (t )
Example
分别求传递函数
和 2）
4 s 2 + 3s 3 G(s) = 2 s + 7s + 5
s 3 G(s) = 2 1） s + 3s + 2
Example
设一线性系统的状态表示为
dx1 dt = x1 + x2 + u dx 2 = x2 u dt y = x1 x2 + 2u
{A, B, C , D}
试求其输入-输出微分方程.
解:
1 2 1 , , [1 1],2, = 0 1 1
1
代入公式(3)得
的状态模型表示。 解：1） m=1,n=2且 a0 = 2, a1 = 3, b0 = 3, b1 = 1.
0 A= a0 1 0 1 0 B = , = , a1 2 3 1 C = [b0 b1 ] = [ 3 1], D = 0
状态模型为：
1 x1 (t ) 0 d x1 (t ) 0 = + u (t ) dt x2 (t ) 2 3 x2 (t ) 1 x1 (t ) y (t ) = [ 3 1] x2 (t )
其中 H i 为待定向量,维数与 X 相同. 显然,由初始条件X (0) = X 0 可得 H 0 = X 0 , 并将(3)式代入(2)式得:
H1 + 2 H 2t + L + nH nt n 1 + L = AH 0 + AH1t + L + AH nt n + L
系统工程状态空间模型课件
入，使系统达到期望的性能指标。
04
状态空间模型的应用实 例
航天器轨道姿态动力学系统
总结词
航天器轨道姿态动力学系统是状态空间模型的重要应用之一，通过建立状态方程和观测 方程，实现对航天器轨道和姿态的精确描述和预测。
详细描述
在航天器轨道姿态动力学系统中，状态空间模型能够描述航天器的位置、速度、姿态等 状态变量，以及航天器所受到的力矩、气动阻力等作用力。通过建立状态方程和观测方 程，可以实现对航天器轨道和姿态的精确描述和预测，为航天器的控制和导航提供重要
05
状态空间模型的发展趋 势与展望
模型复杂性的提高
引入更多因素
随着系统工程领域的不断发展， 状态空间模型需要引入更多的因 素，如环境变化、人为因素等， 以更准确地描述系统行为。
考虑非线性关系
传统的状态空间模型往往只考虑 线性关系，但实际系统中非线性 关系广泛存在，因此需要加强对 非线性状态空间模型的研究和应 用。
系统辨识和预测
通过实际系统的输入/输出数据，可以辨识出系 统的状态空间模型，进而对系统的未来行为进行 预测和评估。
状态空间模型的应用领域
航空航天领域
在航空航天领域中，状态空间模 型广泛应用于飞行控制系统设计 、卫星轨道分析和姿态控制等方
面。
电力能源领域
在电力能源领域中，状态空间模型 用于描述电力系统的动态行为，如 电压稳定分析、暂态稳定评估等。
确定系统输入与
总结词
系统输入与输出的确定是建立状态空 间模型的必要步骤，需要明确系统输 入和输出的形式和作用。
详细描述
在确定系统输入与输出时，需要考虑 系统外部对内部状态的影响以及系统 内部状态对外部的输出，明确输入和 输出的形式和作用，以便后续建立输 出方程。
04
状态空间模型的应用实 例
航天器轨道姿态动力学系统
总结词
航天器轨道姿态动力学系统是状态空间模型的重要应用之一，通过建立状态方程和观测 方程，实现对航天器轨道和姿态的精确描述和预测。
详细描述
在航天器轨道姿态动力学系统中，状态空间模型能够描述航天器的位置、速度、姿态等 状态变量，以及航天器所受到的力矩、气动阻力等作用力。通过建立状态方程和观测方 程，可以实现对航天器轨道和姿态的精确描述和预测，为航天器的控制和导航提供重要
05
状态空间模型的发展趋 势与展望
模型复杂性的提高
引入更多因素
随着系统工程领域的不断发展， 状态空间模型需要引入更多的因 素，如环境变化、人为因素等， 以更准确地描述系统行为。
考虑非线性关系
传统的状态空间模型往往只考虑 线性关系，但实际系统中非线性 关系广泛存在，因此需要加强对 非线性状态空间模型的研究和应 用。
系统辨识和预测
通过实际系统的输入/输出数据，可以辨识出系 统的状态空间模型，进而对系统的未来行为进行 预测和评估。
状态空间模型的应用领域
航空航天领域
在航空航天领域中，状态空间模 型广泛应用于飞行控制系统设计 、卫星轨道分析和姿态控制等方
面。
电力能源领域
在电力能源领域中，状态空间模型 用于描述电力系统的动态行为，如 电压稳定分析、暂态稳定评估等。
确定系统输入与
总结词
系统输入与输出的确定是建立状态空 间模型的必要步骤，需要明确系统输 入和输出的形式和作用。
详细描述
在确定系统输入与输出时，需要考虑 系统外部对内部状态的影响以及系统 内部状态对外部的输出，明确输入和 输出的形式和作用，以便后续建立输 出方程。
状态空间模型
所以 D 4
a0 5,a1 1,b0 23,b1 3.
所以
0 A a0
1 a1
0 5
11,
B 10,
C b0 b1 23 3,
状态模型为：
d dt
x1(t ) x2 (t )
0 5
1 1
x1(t ) x2 (t )
10u(t
)
y(t) 23
3
x1(t ) x2 (t )
dt 3. e At1 e At2 e A(t1t2 );
4. eAt 1 eAt ;
5. AB BA e At eBt e( AB)t ;
6. M 1e At M eM 1AMt;
1
7.
A
e1t
e At
;
n
ent
状态方程的解
对方程
d dt
X
(t)
AX
(t)
BU
C
c21
c22
c2n
cq1
cq 2
cqn
（输出矩阵）
d11 d12 d1p
D
d21
d22
d
2
p
dq1
dq2
dqp
（输出-输入矩阵）
状态模型的矩阵表示为：
d dt
X
(t)
AX
(t)
BU
(t),
X
(0)
X
0
Y (t) CX (t) DU (t).
显然，该系统完全由矩阵 A, B,C, D 所确定。以后我们以{ A, B,C, D }形 式来简记该系统。
得状态方 程：
dx1 dt
y'
x2
dx2
第2章 状态空间模型
状态变量
§1.1 状态空间的概念
3. 状态空间模型的一般（规范）形式
为了描述方便，在建立系统的状态空间模型时做 如下规定：
状态变量统一用x表示，多个状态变量就分别用 x1， x2,……表示； 输入信号统一用u表示，多个输入信号就分别用 u1，u2,……表示； 输出信号统一用y表示，多个输出信号就分别用 y1，y2,……表示；
X [u1 , u 2 ]T , y u 2 取
X y 0 R1 R2 R1 R2 C1 1 R2 C 2 1 1 R2 C1 X R1C1 U 1 0 R2 C 2
1X
取 X [u 2 , i2 ] , y u 2
s si
（1）选择状态变量
1 xi ( s) U ( s) s si
sxi (s) si xi (s) U (s)
xi si xi u
§1.3 传递函数状态空间模型式
x1 s1 x 2 x n y k1 s2 x1 1 x 2 1 u s n xn 1
x1 输出 x2 u y [ 1 0 0 ... 0] 0 方程 xn
§1.3 传递函数状态空间模型
1.传递函数的极点两两相异
kn k1 k2 Y ( s) W ( s) U ( s) s s1 s s2 s sn ki lim W ( s)(s si )
T
0 X 1 R1 R2 C1 y 1 0X
1 0 C2 X 1 U R1 R2 1 R R C 1 2 1 R1 R2 C1 R2 C 2
§1.1 状态空间的概念
3. 状态空间模型的一般（规范）形式
为了描述方便，在建立系统的状态空间模型时做 如下规定：
状态变量统一用x表示，多个状态变量就分别用 x1， x2,……表示； 输入信号统一用u表示，多个输入信号就分别用 u1，u2,……表示； 输出信号统一用y表示，多个输出信号就分别用 y1，y2,……表示；
X [u1 , u 2 ]T , y u 2 取
X y 0 R1 R2 R1 R2 C1 1 R2 C 2 1 1 R2 C1 X R1C1 U 1 0 R2 C 2
1X
取 X [u 2 , i2 ] , y u 2
s si
（1）选择状态变量
1 xi ( s) U ( s) s si
sxi (s) si xi (s) U (s)
xi si xi u
§1.3 传递函数状态空间模型式
x1 s1 x 2 x n y k1 s2 x1 1 x 2 1 u s n xn 1
x1 输出 x2 u y [ 1 0 0 ... 0] 0 方程 xn
§1.3 传递函数状态空间模型
1.传递函数的极点两两相异
kn k1 k2 Y ( s) W ( s) U ( s) s s1 s s2 s sn ki lim W ( s)(s si )
T
0 X 1 R1 R2 C1 y 1 0X
1 0 C2 X 1 U R1 R2 1 R R C 1 2 1 R1 R2 C1 R2 C 2
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机械工程控制基础
MATLAB的控制系统工具箱，主要处理：
以传递函数为主要特征的经典控制 以状态空间为主要特征的现代控制
主要功能：
系统建模——建立系统的状态空间模型、传递函数模型和传
递函数零极点增益模型，并可实现任意两者之间的转化。
系统分析——频率特性，Bode图、Nyquist图的计算与绘制；
Laplace变换
控制系统中以A、B、C、D形式表示的传递函数
机械工程控制基础
2.10 数学模型的MATLAB描述
MATLAB（Matrix laboratory），是美国的 MathWorks公司开发的一种进行科学和工程计算的 软件。 1984年推出第一个商业版本，到现在已经到 了7.0版本，功能日趋完善和强大。主要适用于矩阵 运算及控制和信息处理领域的分析设计。
在MATLAB中，直接用分子／分母系数表示:
Num=[b0,b1,b2…bm] den=[a0,a1,a2,….an]
G(s)=tf(num,den)
机械工程控制基础
2.传递函数零极点增益模型
K ( s z0 )( s z1 )( s zm ) G ( s) ( s p0 )( s p1 ) ( s pn )
y x2
x1 即 Y 0 1 x2 x1 X x2
令C 0 1
T
则输出方程
Y CT X
机械工程控制基础
二、线性系统的状态方程描述
写状态方程的一般步骤： 列写微分方程； 选择状态变量，微分方程→状态变量表示的一阶微分方程组； 用向量表示。
机械工程控制基础
二、模型之间的转换
[num,den]=ss2tf(a,b,c,d) [z,p,k]=ss2zp(a,b,c,d) [a,b,c,d]=tf2ss(num,den) [z,p,k]=tf2zp(num,den) [a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k) 状态空间到传函 状态空间到零极 传函到状态空间 传函到零极 零极到状态空间
对于n阶常系数线性微分方程：
an y y ( n ) a1 y ( n 1) an 1 y bmu b0u ( m ) b1u ( m 1) bm 1u u为输入 n m
若输入不含导数项，则 y
( n)
a1 y
( n1)
an y u an1 y
在MATLAB中，用[z,p,k]矢量组表示 z=[z0 , z1 , …, zm]
p=[p0 , p1 , …, pm] k=[K]
K为常数
G(s)=zpk(z,p,k)
机械工程控制基础
3.状态空间模型
状态空间表达式：
AX Bu X Y CX Du
在MATLAB中，用[A,B,C,D]矩阵组表示： ss(A,B,C,D)
R 1 1 1 x1 x2 u x L L L 1 2 x1 x 机械工程控制基础 C
R 1 1 1 x1 x2 u x L L L 1 2 x1 x C 1 R 1 L L x1 1 x L u x 2 1 0 0 x2 C
输入之间的函数关系式。
状态空间表达式——状态方程+输出方程
机械工程控制基础
例1 确定RLC网络的状态变量和状态方程
ｄi 1 L Ri iｄt u ｄt C 1 uC iｄt C
２ ｄ uC ｄuC LC RC uC u 2 ｄt ｄt
选状态变量
ｄuC x1 i C ｄt x2 u C
时域响应，对单位阶跃、单位脉冲、零输入及任意输入响应 的分析和仿真。
系统设计
机械工程控制基础
一、MATLAB中数学模型的表示
传递函数分子/分母多项式模型
传递函数零极点增益模型
状态空间模型
1. 传递函数分子/分母多项式模型
b0 s m b1s m1 bm1s bm 当 G( s) a0 s n a1s n1 an1s an
机械工程控制基础
4.MATLAB中复杂的传递函数的求取
5(s 2 s 1) 例 G( s) 2 (s 3s 1) 2 (s 3 6s 2 5s 3)(s 2)
解： num=5*[1,1,1] den=conv(conv(conv([1,3,1], [1,3,1]),[1,6,5,3]),[1,2] ) G=tf(num,den)
[num,den]=zp2tf(z,p,k)
机械工程控制基础
零极到传函
二、模型之间的转换
机械工程控制基础
三、系统建摸
——系统的串联、并联和反馈连接 1.串联
机械工程控制基础
2.并联
精品课件！
精品课件！
用cloop函数实现单位反馈系统:
机械工程控制基础
1 x 令X x 2 R L A 1 C 1 L 0 x1 X x2 1 B L 0
状态方程
AX Bu X 机械工程控制基础
若指定 x2 uC 作为输出量，则系统的 输出方程：
一、状态、状态变量与状态方程
状态——系统的动态状况 状态变量——能完全确定系统状态的最小数目的一组变量。 状态向量——用系统的n个状态变量作为分量所构成的向量。
状态空间——状态向量的所有可能值的集合所在的空间。
状态方程——描述系统的状态变量与系统输入之间的关系的一
阶微分方程组。
输出方程——在指定系统输出的情况下，输出量与状态变量、
机械工程控制基础
an y u y (n) a1 y (n1) an1 y
若初始条件和输入已知,取状态变量
机械工程控制基础
状态方程:
若x1为输出量,则输出方程:
机械工程控制基础
状态方程和输出方程用方框图表示
机械工程控制基础
三、传递函数与状态方程之间的关系
状态方程: