数理统计期末练习题

数理统计期末练习题
1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于0.95,则n 至少为多少
2．设n x x ,,1 是来自)25,(μN 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(|≥<-μx P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求
)2.0|(|>-y x P .
5.设161,,x x 是来自),(2
δμN 的样本,经计算32.5,92
==s x ,试求)6.0|(|<-μx P .
6.设n x x ,,1 是来自)1,(μN 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0≥μ,有α≤<P )|(|c x .
7. 设随机变量 X~F(n,n),证明 =<P )1(X
9．设21,x x 是来自),0(2
σN 的样本,试求2
21
21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x x Y 服从 分布.
10.设总体为N(0,1),21,x x 为样本,试求常数k ,使得.05.0)()()(2212212
21=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛>++-+P k x x x x x x
11．设n x x ,,1 是来自
),(2
1σ
μN 的样本,m y y ,,1 是来自),(22σμN 的样本,c,d 是任意两个
不为0的常数,证明),2(~)()(2
221-+-+-=+m n t s y d x c t m
d n c ωμμ其中2
2222,2)1()1(y
x y x s s m n s m s n s 与-+-+-=ω分别是两个样本方差.
12．设121,,,+n n x x x x 是来自),(2
σμN 的样本,11,n n i i x x n ==∑_
2
21
1(),1n n i n i s x x n ==--∑试求常数 c 使得1n n
c n
x x t c
s +-=服从t 分布,并指出分布的自由度 。

13．设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为,,2
22
1s s 试求
).2(22
2
1>S S p
14. 某厂生产的灯泡使用寿命)250,2250(~2
N X ,现进行质量检查,方法如下：随机抽取若干个灯泡,如果这些灯泡的平均寿命超过2200h,就认为该厂生产的灯泡质量合格,若要使检查能通过的概率不低于0.997,问至少应检查多少只灯泡？
15．设 )(171x x 是来自正态分布),(2
σμN 的一个样本,_
x 与 2s 分别是样本均值与样本方差。

求k,使得95.0)(_
=+>ks x p μ , 21．设1,
,n x x 是来自正态分布总体()
2
,σ
μN 的一个样本。

()21
11n
n
i i s x x n ==--∑是样本方差,试求满足
95.05.122≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤σn s P 的最小n 值 。

1. 设(X 1, X 2, …,X n )为来自正态总体 N(?, ?2)的样本, ?2未知, 现要检验假设H 0: ? = ?0, 则应选取的统计量是______; 当H 0成立时, 该统计量服从______分布.
2. 在显着性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小, 则只有增加______.
1. 设总体X ～ N(?, ?2) , ?2已知, x 1, x 2, …, x n 为取自X 的样本观察值, 现在显着水平? = 0.05下接受了H 0: ? = ?0. 若将? 改为0.01时, 下面结论中正确的是
(A) 必拒绝H 0 (B) 必接受H 0 (C) 犯第一类错误概率变大 (D) 犯第一类错误概率变小 2. 在假设检验中, H 0表示原假设, H 1为备选假设, 则称为犯第二类错误的是 (A) H 1不真, 接受H 1 (B) H 0不真, 接受H 1 (C) H 0不真, 接受H 0 (D) H 0为真, 接受H 1
3. 设(X 1, X 2, …,X n )为来自正态总体 N(?, ?2)的样本, ?, ?2未知参数, 且
∑==n i i X n X 11, ∑=-=n
i i X X Q 1
22
)(
则检验假设H 0: ? = 0时, 应选取统计量为 (A) Q X n n )
1(- (B) Q X n (C) Q X n 1- (D) 2Q
X
n 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有T e A S S S =+
1、设来自总体X 的样本值为(3,2,1,2,0)-，则总体X 的经验分布函数5()F x 在0.8x =处的值
为_____________。

2、设来自总体(1,)B θ的一个样本为12,,,n X X X ，X 为样本均值。

则()Var X =___________。

3、设112,
,,,...,m m m X X X X +是来自总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计
量
m
i
X
T =
∑服从的分布为__________。

4、设1,
,n X X 为来自总体(0,)U θ的样本，θ为未知参数，则θ的矩法估计量为
____________________。

5、设12,,
,n X X X 为来指数分布()Exp λ的简单随机样本，λ为未知参数，则12n
i i X λ=∑服从
自由度为_________的卡方分布。

6、12,,
,n X X X 设为来自正态分布2(,)N μσ的简单随机样本，2
,μσ均未知，2,X S 分别为
样本均值和样本无偏方差，则检验假设0010::H VS H μμμμ=≠的检验统计量
为
t =
，在显着性水平α下的拒绝域为_______________________。

1、设1,
,n X X 是来自总体2
(,)N μσ的简单随机样本， 统计量1
211
()n i i i T c X X -+==-∑为2
σ的无偏估计。

则常数c 为
1
2(1)
n -
3、设1234,,,X X X X 是来自总体(1,)B p 样本容量为4的样本，若对假设检验问题0H :0.5p =，
1H :0.75p =的拒绝域为413i i W x =⎧⎫
=≥⎨⎬⎩⎭∑，该检验犯第一类错误的概率为（ ）。

（A ）1/2 （B ）3/4 （C ）5/16 （D ）11/16 4、设12,,
,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本,总体X 的方差2σ未知，2,X S 分别为样本
均值和样本无偏方差，则下述结论正确的是（ ）。

（A ）S 是σ的无偏估计量 （B ）S 是σ的最大似然估计量 （C ）S 是σ的相合估计量 （D ）S 与X 相互独立
1、某种产品以往的废品率为5%，采取某种技术革新措施后，对产品的样本进行检验，这种产品的废品率是否有所降低，取显着水平%5=α，则此，设题的原假设0H ：______备择假设1H ：______.犯第一类错误的概率为_______。

2、设总体),(~2σμN x ，方差2σ未知，对假设0H ：0μμ=，1H ：0μμ≠，进行假设检验，通常采取的统计量是________，服从_______分布，自由度是________。

3、设总体),(~2σμN x ，μ和2σ均未知。

统计假设取为0H ：0μμ= 1H ：0μμ≠ 若用t 检验法进行假设检验，则在显着水平α之下，拒绝域是（B ）
A 、)1(||2
1-<-
n t
t α
B 、)1(||2
1-≥-
n t
t α
C 、)1(||1-≥-n t t α
D 、)1(||1--<-n t t α
4、在假设检验中，原假设0H ，备择选择1H ，则称（ B ）为犯第二类错误
A 、0H 为真，接受0H
B 、0H 不真，接受0H
C 、0H 为真，拒绝0H
D 、0H 不真，拒绝0H
2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，21
2
)(1X X n S i n
i n -=∑=，则
服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为
3、若总体X ～),(2σμN ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间 .
4、在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是（ ）.
（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 6、设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是
分别来自X 和Y
的样本，则U =
服从的分布是_______ .
7、设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ ______________.
8、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________.
9、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显着性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ
2
≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；
一、填空题
1. 若X 是离散型随机变量，分布律是{}(;)P X x P x θ==，（θ是待估计参数），则似然函数 ，X 是连续型随机变量，概率密度是(;)f x θ，则似然函数是 。

2. 若未知参数θ的估计量是θ，若 称θ是θ的无偏估计量。

设12,θθ是未知参数θ的两个无偏估计量，若 则称1θ较2θ有效。

3. 对任意分布的总体，样本均值X 是 的无偏估计量。

样本方差2
S 是 的无偏估计量。

4. 设总体~()X P λ，其中
0λ>是未知参数，1,,n X X 是X 的一个样本，则λ的矩估计量
为 ，极大似然估计为 。

一、选择题
1．设随机变量X 服从n 个自由度的t 分布，定义t α满足P(X ≤t α)=1-α，0<α<1。

若已知 P(|X|>x)=b ，b>0，则x 等于
（A ）t 1-b （B ） t 1-b/2 （C ）t b （D ）t b/2
2．设n X X X ,...,,21是来自标准正态总体的简单随机样本，X 和S 2为样本均值和样本方差，则 （A ）X 服从标准正态分布 （B ）
∑=n
i i
X
1
2
服从自由度为n-1的χ2分布
（C ）X n 服从标准正态分布 （D ）2
)1(S n -服从自由度为n-1的χ2分布 3．设n X X X ,...,,21是来自正态总体N(μ,σ2) 的简单随机样本，X 为其均值，记
∑=-=n i i X n S 1221
)(1μ，∑=-=n i i X X n S 1222)(1，∑=--=n i i X n S 1
22
3)(11μ， ∑=--=n
i i X X n S 1
224
)(11，服从自由度为n-1的t 分布的随机变量是 （A ）1/1--=
n S X T μ （B ）1/2--=
n S X T μ
（C ）1
/3--=n S X T μ （D ）1
/4--=
n S X T μ
4．设21,X X 是来自正态总体N(μ,σ2) 的简单随机样本，则21X X +与21X X -必 （A ）不相关 （B ）线性相关 （C ）相关但非线性相关 （D ）不独立 5．设n X X X ,...,,21是来自正态总体N(μ,σ2) 的简单随机样本，统计量
2
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=S X n Y μ，则 （A ）Y~χ2
(n-1) （B ）Y~t(n-1) （C ）Y~F(n-1,1) （D ）Y~F(1,n-1) 6．设随机变量X~N(0,1)，Y~N(0,2)，且X 与Y 相互独立，则
（A ）
223231Y X +服从χ2分布 （B ）2)(31
Y X +服从χ2分布 （C ）222121Y X +服从χ2分布 （D ）2)(2
1
Y X +服从χ2分布
7．设X , 1021,...,,X X X 是来自正态总体N(0,σ2
) 的简单随机样本，∑==n
i i X Y 1
22
101，则 （A ）X 2~χ2(1) （B ）Y 2~χ2(10) （C ）X/Y~t(10) （D ）X 2/Y 2 ~F(10,1)
8．设总体X 与Y 相互独立且都服从正态分布N(μ,σ2) ，X ，Y 分别为来自总体X,Y 的容量为n 的样本均值，则当n 固定时，概率)|(|σ>-Y X P 的值随σ的增大而 （A ）单调增大 （B ）单调减小 （C ）保持不变 （D ）增减不定 9设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则
（A ）X+Y 服从正态分布 （B ）22Y X +服从χ2分布 （C ）X 2和Y 2都服从χ2分布 （D ）22/Y X 服从F 分布 填空题
1．已知随机变量 X ，Y 的联合概率密度为
)}4849(72
1
exp{121),(22+-+-=
y y x y x f π， 则2
2
)
1(49-Y X 服从参数为 的 分布。

2．假设1621,...,,X X X 是来自正态总体N(μ,σ2) 的简单随机样本，X 为其均值，S 为其标准差，如果
95.0)(=+>aS X P μ，则参数a ＝ 。

（t 0.05(15)=1.7531）
3．在天平上重复称重一重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布N(a,0.22)。

若以n X 表示n 次称重结果的算术平均值，则为使95.0)1.0|(|≥<-a X P n ，n 的最小值应不小于自然数 。

4．假设n X X X ,...,,21是来自正态总体N(μ,σ2) 的简单随机样本，S 为其标准差，则ES 4 ＝ 。

5．设随机变量X~F(n,n)，则概率P(X<1) = 。

6．已知X~t(n)，则1/X 2 ~ 。

7．设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布N(0,32)，而X 1,…,X 9和Y 1,…,Y 9分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量29
21
91Y
Y X X U ++++=
服从 分布，参数为 。

8．设X 1, X 2, X 3，X 4是来自正态总体N(0,22) 的简单随机样本，2
43221)43()2(X X b X X a X -+-=，
则当a= ，b= 时，统计量X 服从χ2分布，其自由度为 。

9．设总体X 服从正态分布N(0,22)，而X 1,….,X 15是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量
215
2112
10
21X
X X X Y ++++=
服从 分布，参数为 。

解答题
1．设,...,21X X ,X 10是来自正态分布X~N(0,4) 的简单随机样本，求常数a,b,c,d ，使
210987265423221)()()(X X X X d X X X c X X b aX Q +++++++++=服从χ
2
分布，并求自由度n 。

2．设,...,21X X ,X 9是来自正态分布X 的简单随机样本，)(61611X X Y ++=
，)(3
19872X X X Y ++=，∑=-=9
7
222
)(21i i Y X S ，S
Y Y Z )
(221-=
，证明统计量Z 服从自由度为2的t 分布。

3．已知总体X 的数学期望EX=μ,DX=σ2，,...,21X X ,X 2n 是来自总体X 容量为2n 的简单随机样本，样本均值为X ，统计量21
)2(X X X
Y i n n
i i
-+=
+=∑，求EY 。

4．已知,...,21X X ,X n 是来自正态总体N(0,σ2)容量为n(n>1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为X ，
S 2。

记22
1
)
1(S n
X n Y +
-=，试求Y 的期望EY 与方差DY 。

5．已知总体X 的数学期望EX=μ，方差DX=σ2，,...,21X X ,X n 是来自总体X 的简单随机样本，样本均值为X ，求X X i -与X X j -(i ≠j )的相关系数ρ。

6．从正态分布总体N(3.4, 36) 中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间 (1.4, 5.4) 的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 选择题
1．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X 的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则 （A ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同 (B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同
（C ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同 (D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的
2．设n X X X ,..,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ，DX=σ2，其中μ，σ2均为未知参数，
X =1ˆμ
，12ˆX =μ，下面结论哪个是错误的。

（A ）X =1ˆμ
是μ的无偏估计 (B) 12ˆX =μ是μ的无偏估计 （C ）X =1ˆμ
比12ˆX =μ 有效 (D) ∑=-n
i i X n 1
2)(1μ是σ2的最大似然估计量 3．设n X X X ,..,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ
2
的最大似然估计量是
（A ） ∑=--n i i X X n 12)(11 (B) ∑=-n
i i X X n 1
2)(1 （C ） ∑=--n i i X n 12
)(11μ (D) ∑=-n i i X n 1
2)(1μ 4．已知总体X 在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设n X X X ,...,,21是来自X 的简单随机样本，
X 是样本均值，},...,max {1)(n n X X X = 是最大观测值，则下列选项错误的是
（A ）)(n X 是θ的最大似然估计量 (B) )(n X 是θ的无偏估计量 （C ）X 2是θ的矩估计量 (D) X 2是θ的无偏估计量
5． 设总体X~N(μ1,σ2)，总体Y~N(μ2,σ2)，m X X X ,...,,21和n Y Y Y ,...,,21分别是来自总体X 和Y 的简
单随机样本，样本方差分别为2X S 与2Y S ，则σ2 的无偏估计量是 （A ）22Y X S S + (B) 22)1()1(Y
X S n S m -+- （C ）2
2
2-++n m S S Y X (D) 2)1()1(22
-+-+-n m S n S m Y X
6． 设X 是从总体X 中取出的简单随机样本n X X X ,...,,21的样本均值，则X 是μ的矩估计，如果 （A ）X~N(μ,σ2) (B) X 服从参数为μ的指数分布 （C ）P （X=m ）=μ(1-μ)m-1，m=1,2,… (D) X 服从[0,μ]上的均匀分布 填空题
1．假设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X X ,...,,21是取自总体X 的简单随机样本，其均值、方差
分别为X ，S 2 ，如果2)32(ˆS a X a -+=λ
为λ的无偏估计，则a= 。

2．已知1ˆθ、2ˆθ为未知参数θ的两个无偏估计，且1ˆθ与2ˆθ不相关，21ˆ4ˆθθD D =，如果2
13ˆˆˆθθθb a +=也是θ的无偏估计，且是1ˆθ、2ˆθ所有同类型线性组合无偏估计中有最小方差的，则a= ，b= 。

3．设总体X 的概率密度为⎩
⎨⎧<<-=-其它，,0,
10,)1()(1x x x f θθ 则θ的矩估计量为 。

4．设n X X X ,...,,21是取自总体X 的简单随机样本，且EX=μ，DX=σ2，其均值、方差分别为
X ，S 2 ，则当c= 时，22)(cS X - 是μ2的无偏估计。

5．设n X X X ,...,,21是取自总体X 的简单随机样本，且EX=μ，DX=σ2
， 21
2
)(X b X
a n
i i
+∑= 的
数学期望等于σ2，则a= ，b= 。

解答题
1．设总体X 的概率密度为 ⎩
⎨⎧<<+=其它，,0,
10,)1()(x x x f θθ 其中θ>-1是未知参数，X 1,X 2,…,X n 是来自总
体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量。

2．设某种元件的使用寿命X 的概率密度为 ⎩
⎨⎧≥=--其它，,0,
,2)()(2θθx e x f x 其中θ>0是未知参数，x 1,x 2,…,x n
是来自总体X 的一组样本观测值，求θ的最大似然估计量。

3. 设总体X 的概率分布为
其中θ（0<θ<1/2）是未知参数，利用总体X 的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值。

4．设某种元件的寿命X （单位：小时）服从双参数的指数分布，其概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≥=--其它，,
0,,1),;(μθμθθμ
x e x f x 其中θ，μ(>0) 为未知参数。

自一批这种器件中随取n 件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为n X X X ,...,,21，求θ，μ的最大似然估计量。

5．设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--其它，,
0,
,);()(θθθx e x f x θ为未知参数，n X X X ,...,,21为取自X 的一个样
本，证明：1ˆ1-=X θ，n
X X n
1
},...,min{ˆ12-=θ 是θ的两个无偏估计量，并比较哪个更有效。

6．设总体X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其它，,0,
0),(6);(3θθθθx x x
x f θ为未知参数，n X X X ,...,,21为取自
X 的一个样本，
（1）求θ的矩估计量θˆ；（2）求θˆ的方差θˆD ；（3）讨论θ
ˆ 的无偏性。

7．某人作独立重复射击，每次击中目标的概率为p ，他在第X 次射击时，首次击中目标。

（1）试写出X 的分布律；
（2）以此X 为总体，从中抽取简单随机样本n X X X ,...,,21，试求未知参数p 的矩估计量和最大似然估计量。

8．设从均值为μ，方差为σ2的总体中分别抽取容量为n 1，n 2的两个独立样本，样本均值分别为X 和Y 。

试证：对于任意满足条件a+b=1的常数a 和b ，Y b X a T +=是μ的无偏估计量，并确定a ，b ，使得方差DT 达到最小。