概率论与数理统计期末考试题及答案

模拟试题

填空题(每空3分，共45 分)

1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)=

P( A U B)=

1

2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B

9

发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：_______________________ ;

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率:

;没有任何人的生日在同一个月份的概率

I Ae x, X c 0

4、已知随机变量X的密度函数为：W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2，则常数A=

0, x>2

分布函数F(x)= ，概率P{—0.5

5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若P{X>1} =5/ 9，贝U p =

若X与丫独立，则Z=max(X,Y)的分布律:

6、设X ~ B(200,0.01), Y - P(4),且X 与丫相互独立，则D(2X-3Y)=

COV(2X-3Y , X)=

7、设X1,X2,III,X5是总体X ~ N(0,1)的简单随机样本，则当k = 时,

丫"⑶；

8、设总体X~U(0,巧日：>0为未知参数，X i,X2,lil,X n为其样本, -1n

X =—S X i为

n i 二

样本均值，则日的矩估计量为:

9、设样本X i,X2，川，X9来自正态总体N(a,1.44)，计算得样本观察值X = 10，求参

数a的置信度为95%的置信区间:

计算题(35分)

1、(12分)设连续型随机变量X的密度函数为:

「1

求：1) P{|2X —1|<2} ; 2) Y =X 2

的密度函数 S(y) ； 3) E(2X-1);

2、（12分）设随机变量（X,Y ）的密度函数为

3、（ 11分）设总体X 的概率密度函数为:

X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1 ）求参数日的极大似然估计量a ；

叭X)=

L

x,

0

«2

其它

1) 2) 3) 「1/4,

®(x,y) t o

求边缘密度函数（X ）,

（y ）；

冋X 与丫是否独立？是否相关? 计算Z = X + Y 的密度函数笃⑵

|y |cx,0 vxc2,

其他

I 1

x

l ie 飞

〔0

x>0 0 >0

X c0

2）验证估计量e?是否是参数9的无偏估计量。

应用题（20分）

1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别

是3/10,1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大?

2. （10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过质含

0.5 %,假定有害物量X服从正态分布。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据:

0.530 %, 0.542 %, 0.510 %, 0.495 %, 0.515 %

能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定（G =0.05）?

附表:

U0.975 =1.96,U0.95 =1.65,t0.975（4）=2.776,t0.95（4）=2.132,t0.975（5）=2.571,t0.95（4）

=2.015

四

、

1

、

2

、

3

、

4

、

5

、

五

、

答案（模拟试题一）填空题（每空3分，共45 分）

0.8286，0.988

2/3

126126

6、D(2X-3Y)=

I X -

e , 2

2 4

1,

X <0

0 e x <2 ,

x》2

Z=max(X,Y) 的分布

律:

43.92

7、当k =-£

2—时，丫

9、日的矩估计量

为:

[9.216，10.784]

2X。

计算题（35

分）

P{—0.5 c X <1}=

8/27 16/27

COV(2X-3Y, X)= 3.96

CT x^X；"⑶；

1、解1) P{|2X -1|c2} = P{—0.5CX <1.5}

2）①(、心(玖(77)+役(-7?)), ®Y(y)詔2®

10，

i1

={4，

10,

0

其它

y <0

y >0

3)E(2X-1)=2EX 一1 =2咒4-1

3 3

3*5；

4 2

3/27;

又因为 EY=0 , EXY=0，所以，COV(X,Y)=0

n

3、解

1

) L(为'X 2」|| ' X n '日)=PI

i A

nx In L(X 1,X 2，川，X n ,8) =— nInQ

y

令

dlnL —n +n

x=0

d 9

9 92

解出：e=X

2)

；E^=E X =EX =8

/.现日的无偏估计量。

1、（ 10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、

是3/10,1/5 , 1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的 概率分别是1/4, 1/3, 1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大? 解：设事件A1 , A2 , A3 , A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机” ，其概率分别

等于3/10, 1/5 , 1/10和2/5，事件B 表示“迟到”，

2、解: "x

1 f-dy, 1) W x(x) = J W(x,y)dy =｛」4 0,

-be _oC

-be

®Y(y)= J®(x, y)dx =

-oC

‘2

1

* |y|

4

0,

2) 显然，®（x,y ） H®x（x ）W Y （y ），

所以

x

其它 10,

0 e x <2

其它

I 1

|y|<

2

匕(2-|y|), 詔4

其它1°,

X 与丫不独立。

|y|<2

其它

八

、

应用题（20分） ，因此X 与丫不相关。

3)

-be

码(Z)= J ®(x,z -x)dx

*■ -CC 『21 J/z-dx,

〔0,

其它

0 < z <4 i 1

才2

10,

z

8'

0

其它

n

i±

轮船、汽车或飞机来的概率分别