201x春九年级数学下册1.5三角函数的应用第1课时方位角问题新版北师大版
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第1.5节《三角函数的应用》主要介绍了正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，使学生了解三角函数在实际生活中的重要性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但学生在应用三角函数解决实际问题方面还比较薄弱，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.使学生掌握正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对三角函数的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数在实际问题中的应用。
2.利用案例分析法，分析实际问题中三角函数的运用。
3.采用小组合作讨论法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备三角函数的图像和公式。
3.准备投影仪和教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示一些实际问题，如测量高度、角度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）呈现三角函数的图像和公式，让学生了解三角函数的基本性质。
同时，结合实际问题案例，讲解如何运用三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用三角函数进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立解决。
教师及时给予反馈，巩固学生对三角函数应用的掌握。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将三角函数应用于其他领域，如工程、物理等。
让学生举例说明，培养学生的创新意识。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调三角函数在实际问题中的应用。
北师版九年级数学下册_1.5三角函数的应用
知1－练
感悟新知
知1－练
解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问 题求解.
感悟新知
知1－练
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)； 解：∵在教学楼B 处观测旗杆底端D 的俯角是30°，
∴∠ ADB=30°.
在Rt △ ABD 中，∵∠ BAD=90°，∠ ADB=30°，
AB=4
m，
一般步骤 一般应用问题
三角函数 的应用
仰角和俯角问题 方向角问题 坡角和坡度问题
感悟新知
知1－练
解：由题易知 CH＝DH＝12 米． ∵α＝45°，∴∠PCH＝∠PCD＋α＝26°＋45°＝71°. 在 Rt△PCH 中，∵tan ∠PCH＝CPHH＝PD1＋2 12≈2.90， ∴PD≈22.8 米． ∵22.8＞18，∴此次改造符合电力部门的安全要求．
课堂小结
三角函数的应用
感悟新知
知1－练
解题秘方：建立数学模型后，用“化斜为直法”将 斜三角形问题转化为解直角三角形问题求解.
感悟新知
知1－练
(1)分别求出A 与C 及B 与C 的距离AC，BC(结果保留根号). 解：如图1-5-1，过点C 作CE ⊥ AB 于点E，可得 ∠ ACE=30°，∠ BCE=45°.
感悟新知
问题；
(3)结合特殊角，选用适当的锐角三角函数解直角三角形；
(4)按照题目中的要求取值.
感悟新知
知1－练
例 1 为了维护海洋权益，我国加大了在某海域的巡逻力度. 一天，两艘海警船刚好在某岛东西海岸线上的A，B 两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C 处海 域. 如图1-5-1，AB=60( 6 + 2 )海里，在B 处测得C 在北偏东45°的方向上，在A 处测得C 在北偏西30°的方向上，在海岸线AB 上有一灯塔D，测得AD=120( 6 － 2 )海里.
九年级数学下册 1.5 三角函数的应用教案1 (新版)北师大版
1.5 三角函数的应用1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点)2．能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．(难点)一、情境导入为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm.点A 、C 、E 在同一条直线上，且∠CAB ＝75°.你能求出车架档AD 的长吗？ 二、合作探究探究点：三角函数的应用【类型一】利用方向角解决问题某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B 是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．解析：(1)求点B 是否在暗礁区域内，其实就是求CB 的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB 的长，作CD ⊥AB 于D 点，CD 是Rt △ACD 和Rt △CBD 的公共直角边，可先求出CD 的长，再求出CB 的长；(2)本题实际上是问C 到AB 的距离即CD 是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可．解：(1)作CD ⊥AB 于D 点，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝60°，∴BD ＝12x ，CD ＝32x .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，tan ∠CAD ＝CD AD ＝33，∴32x 18＋12x＝33.∴x ＝18.∵18>16，∴点B 是在暗礁区域外；(2)∵CD ＝32x ＝93，93＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型二】利用仰角和俯角解决问题某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB 的高度(如图)，站在②号楼的C 处，测得①号楼顶部A 处的仰角α＝30°，底部B 处的俯角β＝45°.已知两幢楼的水平距离BD 为18米，求①号楼AB 的高度(结果保留根号)．解析：根据在Rt △BCE 中，tan ∠BCE ＝BECE，求出BE 的值，再根据在Rt △ACE 中，tan ∠ACE ＝AE CE，求出AE 的值，最后根据AB ＝AE ＋BE ，即可求出答案．解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，CE ⊥AB ，∴四边形CDBE 是矩形，∴CE ＝BD ＝18米．在Rt △BEC 中，∵∠ECB ＝45°，∴EB ＝CE ＝18米．在Rt △AEC 中，∵tan ∠ACE ＝AE CE，∴AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝18×tan30°＝63(米)，∴AB ＝AE ＋EB ＝18＋63(米)．所以，①号楼AB 的高为(18＋63)米． 方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第1题【类型三】 求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．解析：设A D ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝ABAC，∴AB ＝AC ·tan∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝ABAD，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×4103≈546.7m.所以，AB 的长约为546.7m. 方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型四】 仰角、俯角和坡度的综合应用如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE 的长度．她先在山脚下点E 处测得山顶A 的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i ＝1∶1(即tan ∠CED ＝1)的斜坡步行15分钟抵达C 处，此时，测得A 点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A 、B 、E 、D 、C 在同一平面内，且点D 、E 、B 在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE 的长度(参考数据：2≈1.41，结果精确到0.1米)．解析：作辅助线EF ⊥AC 于点F ，根据速度乘以时间得出CE 的长度，通过坡度得到∠ECF ＝30°，通过平角减去其他角从而得到∠AEF ＝45°，即可求出AE 的长度．解：作EF ⊥AC 于点F ，根据题意，得CE ＝18×15＝270(米)．∵tan ∠CED ＝1，∴∠CED ＝∠DCE ＝45°.∵∠ECF ＝90°－45°－15°＝30°，∴EF ＝12CE ＝135米．∵∠CEF ＝60°，∠AEB＝30°，∴∠AEF ＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE ＝2EF ＝1352≈190.4(米)．所以，娱乐场地所在山坡AE 的长度约为190.4米．方法总结：解决本题的关键是能借助仰角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．三、板书设计三角函数的应用1．方向角的概念2．三角函数的实际应用本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩．让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.。
九年级数学下册 1.5 方向角问题(第1课时)课件 (新版)北师大版
外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的( D )
A．南偏东50° B．南偏东40°
C．北偏东50° D．北偏东40°
2．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得
有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°的500 m处，那么水塔所在的位
置到公路的距离AB是( A )
A．250 m B．250 3 m
4．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北 偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏 东30°方向走，恰能达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地 相距_2_0_0___m.
5．如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南，北两端A和 B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD＝6 km，则 AB＝__3__ km.
13．(2015·攀枝花)如图所示，港口B位于港口O正西方向120 km 处，小岛C位于港口O北偏西60°方向，一艘游船从港口O出发， 沿OA方向(北偏西30°)以νkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇 从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C， 在小岛C用1 h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送 去．
(2)在 Rt△PCA 中，PA＝sin3P6C.5°＝100 海里，在 Rt△PCB 中， PB＝sinP4C5°＝60 2海里，t 甲＝2.5(小时)，t 乙＝2 2(小时)，故救助船 A 先到达 P 处
12．如图所示，MN 表示引水工程一段设计路线，从 M 到 N 的 走向为南偏东 30°，在 M 的南偏东 60°方向上，有一点 A，以 A 为 圆心，500 m 为半径的圆形区域为居民区，取 MN 上另一点 B，测得 BA 的方向为南偏东 75°，已知 MB＝400 m，通过计算，回答如果不 改变方向，输水路线是否穿过居民区？(参考数据： 3≈1.73)
北师大版九年级数学下册：第一章 1.5《三角函数的应用》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1.5《三角函数的应用》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《三角函数的应用》是学生在学习了三角函数基础知识后，对三角函数在实际问题中的应用进行探讨。
本节课的内容包括正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用，如测量角度、计算物体的高度等。
通过本节课的学习，学生能够了解三角函数在实际生活中的重要性，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角函数的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但学生在实际应用三角函数解决生活中的问题时，可能会遇到一些困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用，能够运用三角函数解决测量角度、计算物体高度等问题。
2.过程与方法：通过实际问题，培养学生将理论知识与实际相结合的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：使学生认识三角函数在实际生活中的重要性，培养学生的学习兴趣，激发学生探索数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为三角函数问题，以及如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题，引导学生主动探究，将理论知识与实际相结合。
2.案例教学法：分析生活中的实际案例，使学生了解三角函数在实际中的应用。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：准备相关的实际问题案例，制作PPT，准备讲解稿。
2.学生准备：复习三角函数的基本知识，准备笔记本，记录学习内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的内容，如：“在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，求∠A的正弦、余弦值。
北师大版九年级下册数学 1.5 三角函数的应用(共21张PPT)
九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
§1.5 三角函数的应用 船有触礁的危险吗?
驶向胜利 的彼岸
知识回顾
直角三角形的边角关系
1、直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
2、直角三角形两锐角的关系: 两锐角互余 ∠A+∠B=90°.
3、直角三角形边与角之间的关系: 锐角三角函数
2、审图，确定已知和未知。 3、解直角三角形，列方程（组）。 4、解方程（组），结论。
A
55º
x
tan550 BD x
A
x
DA
B
D C 20
B
x 25º
tan250 CD x
解：根据题意可知，∠BAD=550，
DC
∠CAD=250，BC= 20海里. 设AD=x，则
20 xta5n05ta2n05
DB=6m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED
的长度为多少?
E
怎么做?
我先将它 数学化!
2m
C
450
D 6m B
结
解题思路导图
实际问题
解 答 问 题
图形分析
数学问题
生活问题数学化 （构造直角三角形）
设 未 知 量
求解方程
（代入数据求解）
建立方程
（构建三角函数模型）
谈 收获
1.知识收获 2.情感升华
评
驶向胜利 的彼岸
解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.D
设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,
taA nD AC C ,taB nD BC ,C
?这样
九年级数学下册1.5三角函数的应用课时教案新版北师大版
1.5 三角函数的应用一、教学目标1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 二、课时安排 1课时 三、教学重点三角函数在解决问题过程中的作用 四、教学难点发展学生数学应用意识和解决问题的能力 五、教学过程 （一）导入新课如图,海中有一个小岛A,该岛四周10nmile 内暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A 岛南偏西550的B 处,往东行驶20nmile 后到达该岛的南偏西250的C 处.之后,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎样想的？与同伴进行交流。
（二）讲授新课要解决上面这个问题,我们可以将其数学化,如图:解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D,如果AD>10nmile,则无触礁的危险 根据题意,可知,ABC北东∠BAD=550,∠CAD=250,BC=20nmile. 设AD=xnmile,00tan 55,tan 25,BD CDx x=== 00tan55,tan 25.BD x CD x ∴== 00tan55tan 2520.x x ∴-=()002020.79.tan 55tan 25x nmile ∴=≈- ∵20.79nmile ＞10nmile∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险. （三）重难点精讲例题1：如图,小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m 至B 处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).解:如图,根据题意可知∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,0tan ,.tan tan 60CDRt BCD DBC BCCD CDBC DBC ∆∠=∴==∠在中，0tan ,.tan tan 30CD CD CDRt ACD A AC AC A ∆=∴==在中， ∵AC-BC=AB0050,tan 30tan 60CD CD∴-=解得 CD ≈43（m ） ∴该塔约有43m 高.例题2：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).【分析】如图,根据题意可知，∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD 的长,(2)AD 的长.01sin 40,BCRt BCD BD∆=解：（）在中， 0sin 40.BC BD ∴=0sin 35,BCRt ABC AB∆=在中， ()000sin 4040.64284.48.sin 35sin 350.5736BC BD AB m ⨯∴==≈≈()4.4840.48.AB BD m ∴-≈-=答:调整后的楼梯会加长约0.48m.02tan 40,BCRt BCD DC∆=（）在中， 0.tan 40BCDC ∴=0tan 35,BCRt ABC AC∆=在中， 0.tan 35BCAC ∴=AD AC DC ∴=- 0011tan 35tan 40BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 00011sin 40tan 35tan 40BD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0.61.m ≈答:楼梯多占约0.61m 一段地面.（四）归纳小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；AB CD┌ 4m350400（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．（五）随堂检测1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航行，在B点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？【答案】1.解：由点A作BD的垂线，交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF= x , AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理()222223AF AD DF x x x=--=在Rt△ABF中，tanAFABFBF∠=，3tan3012x=+解得x=666310.4 AF x==10.4 > 8没有触礁危险2.解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91 =72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°sinPCBPB=72.872.8130.23 sin sin340.559PCPBB∴==≈≈当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里六．板书设计1.5 三角函数的应用（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．例题1：例题2：七、作业布置课本P20练习1、2练习册相关练习八、教学反思中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（）A．B．C． D．【答案】A【解析】解：图B、C、D中，线段MN不与直线l垂直，故线段MN的长度不能表示点M到直线l的距离；图A中，线段MN与直线l垂直，垂足为点N，故线段MN的长度能表示点M到直线l的距离．故选A．2．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN 交AB 于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（）A．90°B．95°C．105°D．110°【答案】C【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题.【详解】∵CD=AC，∠A=50°∴∠CDA=∠A=50°∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°∴∠DCA=80°根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC∴BD=CD∴∠B=∠BCD∵∠B+∠BCD=∠CDA∴2∠BCD=50°∴∠BCD=25°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键.3．如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．4．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（）A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1【答案】A【解析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．由此即可解答. 【详解】∵当a＝﹣2，b＝1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，∴a＝﹣2，b＝1是假命题的反例．故选A．【点睛】本题考查了命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．5．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3【答案】B【解析】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可.详解：（x+1）（x-3）=x2-3x+x-3=x2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B．点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键. 6．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D【解析】根据多边形的内角和=（n﹣2）•180°，列方程可求解.【详解】设所求多边形边数为n，∴（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8.故选D.【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.7．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6【答案】D【解析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【详解】根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16，在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为23≈0.67>0.16，故A选项不符合题意，从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为1327≈0.48>0.16，故B选项不符合题意，掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是12=0.5>0.16，故C选项不符合题意，掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是16≈0.16，故D选项符合题意，故选D.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF BC=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】B【解析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵DF BC=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.9．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间【答案】A【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝1（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝1+5m＞1，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞1．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线2b x a=-＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，反比例函数c y x=图象在第一三象限，只有C 选项图象符合．故选C ．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．二、填空题（本题包括8个小题） 11．关于x 的不等式组3515-12x x a ->⎧⎨≤⎩有2个整数解，则a 的取值范围是____________. 【答案】8⩽a<13；【解析】首先确定不等式组的解集，先利用含a 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【详解】解不等式3x−5>1，得：x>2，解不等式5x−a ⩽12,得：x ⩽125a + ， ∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4⩽125a +<5， 解得：8⩽a<13，故答案为：8⩽a<13【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键12．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点OAC 的中点，点D 在A 射线BO 上，连接OE ，EC ，若AB ＝4，则OE 的最小值为_____．【答案】1【解析】根据等边三角形的性质可得OC ＝12AC ，∠ABD ＝30°，根据“SAS”可证△ABD ≌△ACE ，可得∠ACE ＝30°＝∠ABD ，当OE ⊥EC 时，OE 的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值．【详解】解：∵△ABC 的等边三角形，点O 是AC 的中点，∴OC ＝12AC ，∠ABD ＝30° ∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴∠ACE ＝30°＝∠ABD当OE ⊥EC 时，OE 的长度最小，∵∠OEC ＝90°，∠ACE ＝30°∴OE 最小值＝12OC ＝14AB ＝1， 故答案为1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 13．如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线21y x k 2=+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 .【答案】－2＜k ＜12。
北师大版九年级数学下册 1.5 三角函数的应用-方向角问题(含答案)
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°= PQ（海里），
所以PQ﹣90= PQ，
所以PQ=45（3+ ）（海里），
20．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
在Rt△AEF中，CE=AE•tan74°≈20.9km．
故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km．
点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.
6．A处与灯塔B相距109海里．
【解析】
【分析】直接过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长，再利用锐角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．
北师大版九年级下册三角函数的应用-方向角问题（含答案）
一、单选题
1．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是（ ）
A.6千米B.8千米C.10千米D.14千米
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=2km，
在Rt△CBD中，CD=BC•sin60°=2× = （km）．
1.5 三角函数的应用 第1课时 方位角问题 仰角与俯角问题 课件 初中数学北师大版九年级下册
∴∠B=∠APC-∠PAB=40°-20°=20°.∴AP=PB.∴AH=BH.
∵AP=40 n mile,∴AH=AP·cos 20°≈40×0.94=37.6(n mile).
∴AB=2AH=75.2(n mile).∴轮船的航行速度为
5
三角函数的应用
第1课时
方位角问题
与方位角有关的两地间距离的计算
[例1] (2022安徽)如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,某
数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°
方向上,沿正东方向行走90 m至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D
的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离(参考数据:sin 37°≈
角分别是60°和30°.则该电线杆PQ的高度是 (6+2 ) m(结果可
保留根号).
3.如图所示,小石同学在A,B两点分别测得某建筑物上条幅两端C,D两
点的仰角均为60°,若点O,A,B在同一条直线上,A,B两点间的距离为
3 m,则条幅的高CD为 3 m.
4.(2023凉山)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内
)
2.如图所示,一架飞机在点 A 处测得水平地面上一个标志物 P 的俯角
为α,tan α= ,水平飞行 900 m 后,到达点 B 处,又测得标志物 P 的
俯角为β,tan β= ,飞机离地面的高度为 1 200 m.
与仰角、俯角有关的宽度计算
[例2] (2022广元)如图所示,计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开
∴隧道 EF 的长度为(80 +70)m.
北师大版九年级下册1.5三角函数的应用-方向角问题(包含答案)
6.如图，一艘游轮在A处测得北偏东45。的方向上有一灯塔 方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东
海里？（结果精确到1海里，参考数据：J2X1.41 J3 Q 1.73
7.如图所示，在某海域，一般指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚
的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC=60海里；指挥船搜索发现， 在C处的南偏 西60°方向上有一艘海监船A,恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考
数据：很L41，＜3 1.73，462.45结果精确到0.1小时）
北师大版九年级下册三角函数的应用-方向角问题（含答案）
一、Байду номын сангаас选题
1.如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48 °, A , B两地 同时开工，若干大后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走 向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是（）
不计，参考数据：72 * 1.41 J3 * 1.73
9.知识改变世界，科技改变生活 .导航装备的不断更新极大方便了人们的出行如图，某校组织学生
乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动， 车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向,
3 / 27
且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37。方向行驶一段
的速度继续航行 小时即可到达.（结果保留根号）
三、解答题
5.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B,点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处.现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自 东向西航行至观测点A的正南方向E处•求这艘轮船的航行路程CE的长度.（结果精确到0.1km）
北师大版九年级数学下册1.5.1 三角函数的应用课件
知2－讲
总结
知2－讲
解直角三角形的应用问题，需要把实际问题转化为 数学模型来解决．解决直角三角形有关的应用题最常用 的方法是画图(包括作辅助线，构造直角三角形或特殊平 行四边形)，根据所给数据，选用恰当的锐角三角函数求 出有关的量或用含有未知数的式子表示有关的量进行求 解．警示点：(1)注意方程思想的运用；(2)注意结果必须 根据题目要求进行保留．
解：如图，由题意知在△ABC中，∠BCA＝90°， ∠BAC＝90°－∠BAD＝90°－30°＝60°， AC＝15×2＝30(n mile)， ∴BC＝AC·tan 60°＝30× 3 ＝30 3 (n mile)． 即此时它与灯塔的距离是30 3 n mile.
知1－讲
知1－练
1 某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达 到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东 沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上， 继续向东航行100 m，到达B处后测得航标C在北偏 东45°方向上，如图所示．现已知以航标C为圆心， 以120 m为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船
图形
知2－讲
关系式
BC＝BD＋DC＝AD·
1
tan
1 tan
AB＝DE＝AE·tan β CE＝AE·tan α CD＝CE＋DE＝
AE·(tan α＋tan β)
BC＝BE＋EF＋FC＝BE＋AD＋FC
＝AD＋h·
1
tan
1 tan
知2－讲
例2为了改善市区交通 状况，计划在路的北端修建通往北岸的新 大桥． 如图，新大桥的两端位于A，B两点，小张为了测量A，之 间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线形道路l上测得如下
九年级数学下册第一章 第1课时三角函数在方向角问题中的应用作业课件新版北师大版
9．(15 分)(南京中考)如图，在港口 A 处的正东方向有两个相距 6 km 的 观测点 B，C.一艘轮船从 A 处出发，沿北偏东 26°方向航行至 D 处，在 B， C 处分别测得∠ABD＝45°，∠C＝37°.求轮船航行的距离 AD.(参考数据： sin 26°≈0.44，cos 26°≈0.90，tan 26°≈0.49，sin 37°≈0.60，cos 37°≈ 0.80，tan 37°≈0.75)
＝CD＝30 m．在 Rt△BFH 中，∵∠BFH＝∠α＝30°，∴BH＝FH·tan
∠ BFH ＝ 30×
3 3
＝ 10
3 (m)，∴FC＝(30－10
3 )m≈12.68(m).又
∵12.68÷3≈4.23，∴此刻 B 楼的影子落在 A 楼的第 5 层
(2)连接BC，∵BD＝3×10＝30(m)＝CD，∴∠BCD＝45°，∴当太阳 光线与水平面的夹角为45°时，B楼的影子刚好落在A楼的底部
解答题(共60分) 8．(14分)两栋居民楼之间的距离CD＝30 m，楼AC和BD均为10层，每 层楼高3 m. (1)上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子 落在A楼的第几层？ (2)当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的 底部？
解：(1)延长 GB 交 AC 于点 F，过点 F 作 FH⊥BD 于点 H，则 FH
解：过点 D 作 DH⊥AC 于点 H，在 Rt△DCH 中，∠C＝37°，∴CH ＝tanD3H7° ，在 Rt△DBH 中，∠DBH＝45°，∴BH＝tanD4H5° ，∴BC ＝CH－BH＝tanD3H7° －tanD4H5° ＝6，解得 DH≈18 km.∵在 Rt△DAH 中，∠ADH＝26°，∴AD＝cosD2H6° ≈20 km，∴轮船航行的距离 AD 所 示 的 是 某 款 篮 球 架 的 示 意 图 ， 已 知 底 座 BC 的 长 为 0.60 m，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A，H，F在同一条 直线上，支架AH段的长为1 m，HF段的长为1.50 m，篮板底部支架HE 的长为0.75 m.
北师大版初中数学九年级下册1.5 三角函数的应用
北师大初中数学九年级重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！1.5 三角函数的应用1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． A .450a 元 B .225a 元 C .150a 元 D .300a 元第1题图 第2题图2.某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D 是AB 的中点，中柱CD = 1米，∠A=27°，则跨度AB 的长为 (精确到0.01米).3.如图,从A 地到B 地的公路需经过C 地,图中AC=10km,∠CAB=250,∠CBA=370,因城市规划的需要,将在A 、B 两地之间修建一条笔直的公路． （1）求改直的公路AB 的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250≈0.42,cos250≈0.91,sin370≈0.60,tan370≈0.75）4.中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直,测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=300，∠CBD=600． （1）求AB 的长；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．5.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l 1和l 2间有一条“Z ”型道路连通,其中AB 段与高速公路l 1成300角,长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直,长为10km ，CD 段长为30km,求两高速公路间的距离．15020米30米6.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为120，支架AC长为0.8m，∠ACD为800，求跑步机手柄的一端A的高度h （精确到0.1m）．（参考数据：sin120=cos780≈0.21，sin680=cos220≈0.93，tan680≈2.48）相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
2020-2021年九年级下册北师大版数学课件 第一章 1.5第2课时 三角函数在视角问题中的应用
7．(14分)(河南中考改)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存
最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和
自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP
上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方
向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6 m．求观
4．(5分)如图，某景区的两个景点A，B处于同一水平地面上，一架无人机 在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当 无人机飞行至C处时，测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时 C到地面的距离CD为100 m，则两景点A，B间的距离为(_1_0_0_＋__1_0_0__3__)m(结果 保留根号)．
解：过点A作AH⊥CN于点H，则BH＝10.5－2.5＝8(m).在Rt△ABH中， ∵∠BAH＝45°，∴AH＝BH＝8(m).在Rt△AHC中，CH＝AH·tan ∠CAH ＝8×tan 65°≈17(m)，∴BC＝CH－BH＝17－8＝9(m)，∴云梯需要继续上 升的高度约为9 m
解答题(共60分)
9．(15分)(青海中考)某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山 顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上 的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60 m到达B点测得P点 的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信 号发射塔PQ的高度．
解：过点 A 作 AH⊥CD 于点 H，则四边形 ABDH 是矩形，∴HD
＝AB＝31.6
m，∴在
Rt△ADH
中，AH＝tan
HD ∠HAD
＝tan313.86°
三角函数的应用2021-2022学年九年级数学下册(北师版)
D 12米
4米 45°
A
C
30° B
讲授新课
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米）， CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中，
12米 D
4米
45°
A
E
C
30°
F
B
tan 45 DE 4 ， AE 4 4(米).
AE AE
tan 45
在Rt△BCF中，同理可得 BF 4 6.93(米)
B
P 45°°
3300°°
202000米
D
O
B
讲授新课
三 利用坡角解决实际问题
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由 原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后 的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精 确到0.01m).
如图，AC⊥BC，∠ADC＝40°
B
，∠BAD＝35°，BD＝4m.
当堂检测
解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小; 过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.
EC = DE = DC tan 450 = 4 2,
tan ABC AF 4 2 , BF 24 4 2
tan ABC AF 4 2 , BF 24 4 2
∴∠ABC≈17°8′21″. 答:坡角∠ABC约为17°8′21″.
B 图1 C
B 图2 C
当堂检测
7. 如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成 40°夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆 ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).
E
2m
C