自动控制原理简明教程5 (1)

j
( ) -arctg T 0 G j 10

0 1
! 低通 滤波特性
1 T 10 T 100 T
G j 0

2
L
0
L( ) 20lg 1 2T 2
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT =-20(lgω-lg1/T)
例：RC电路的幅相频率特性。
ui R C uo
Uo ( j ) 1 1 G( j ) Ui ( j ) 1 RCj 1 Tj
G(jω)=R(ω)+jI(ω)
代数式
A( )
1
=|G(jω)|∠G(jω)
=A(ω)ejφ(ω)
极坐标式
指数式
2T 2 1
∠G(jω)=－arctanTω
t AT eT 2 2 1 T
s2 2
A 1 T
2 2
sin( T - arctan T)
暂态分量
稳态分量
uos (t )
A 1 T
2 2
sin(t -arctanT)
A A()sin t ()
A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性。 二者统称为频率特性。 系统对正弦输入信号的稳态响应称频率响应。

0
P
Re
频率特性、传递函数、微分方程的关系
s j
传递函数
d s dt
频率特性
G( j ) G( s)
s j
系统
d j dt
微分方程
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传 递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映 了系统的固有特性。 s j 10 10 例： G ( s ) G ( j ) j ( j 3) s( s 3)
j 0

L(ω)=-20lgω φ(ω)=-90o
L
20
0
1
两重积分 G ( j )
1 ( j ) 2
0 0.1 -20
10 20 dB dec
40 dB dec

L 20lg 1 G j 180

2
40lg
L
20 0
！高频放大 ！抑制噪声能力下降
20dB dec
1 T
( ) arctgT
T
1 T
L T 20lg 2 3dB
10 T
100 T
T 45

90 45 0

振荡环节
1 G s 2 2 T s 2 Ts 1 1 G j 2 2 T j 2 T j 1 1 G j 2 2 2 2 1 T 2 T
1 T
幅频特性 相频特性
R s
r t Asin t
Gs
C s
c t A sin t
一个稳定的线性定常系统，输入正弦信号时，输 出稳定后也是同频正弦信号，并且输出信号的振幅和
相位均为输入信号频率的函数。
0
A
A

ui t sin t U i s
建模 ui R i uo C0 C1s C2 1T A U o ( s) 2 2 2 i Cuo s 1 T s s 1 T s 2 t AT A ui CR uo uo T uo (t ) e sin T cos cos T sin 2 2 1 T 1 2T2 Ui [CR s 1] Uo
1 n T

n n n

1 T
0
0

1


0 G j 10 G j 0 1 n 90
T
1 2 T tan 1 T 2 2 G j 1 2 T tan 2 2 T 1
第五章 线性系统的频域分析法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 频率特性 典型环节和开环系统频率特性 频率域稳定判据 稳定裕度 开环频率特性与时域指标的关系
§5.6
闭环系统的频域性能指标
自动控制原理课程的任务与体系结构
频域分析是在正弦输入信号作用下，考察系统稳态输 出与输入量之间的振幅比和相位差的变化规律，其基本思想是 把控制系统中的各个变量看成一些由不同频率正弦信号组合而 成的信号，系统响应为对不同频率信号的响应的总和。
特点
⑴ 控制系统及其元部件的频率特性可运用分析法和实验 方法获得，并可用多种形式的曲线表示，故系统分析和控制 器设计可应用图解法进行，在工程上获得了广泛应用。 ⑵ 频率特性物理意义明确。对于一阶和二阶系统，频域 性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统， 可建立近似的对应关系。 ⑶ 控制系统的频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方 面的要求。 ⑷ 频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用 于某些非线性控制系统。
振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ξ s/ωn+1]；式中ωn>0，0 < ξ <1 二阶微分环节：(s/ωn)2+2 ξ s/ωn+1；式中ωn>0，0 < ξ <1
K (1 2 s ) 1 1 K (1 2 s ) s(1 0.1s ) s 1 0.1s
例 : G ( s)
比例环节：K 惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0 一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0 积分环节：1/s 微分环节：s
b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm G( S ) H ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
以上两式表明，当绘制由多个环节串联而成的系统的对数
坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加减即可， 从而简化了画图的过程。
(3) 在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统 的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有一 定的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性 曲线。 (4) 若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数
§5.1.2 频率特性的图示方法
频率特性的图形表示是描述系统的输入频率ω从0到∞
变化时频率响应的幅值、 相位与频率之间关系的一组曲线。 常用频率特性曲线及其坐标系
序号 1 名称 幅相频率特性曲线 图形常用名 极坐标图 奈奎斯特图 坐标系 极坐标
2
3
对数频率特性曲线
伯德图
半对数坐标
对数幅相频率特性曲线
称为“十倍频程”， 用“dec”表示。
L 20lg G j
40 20 单位：dB
十倍频程 十倍频程 十倍频程
0 0.1
1
10
100

-20
180
90

十倍频程 十倍频程 十倍频程
0 0.1
1
10
100
90 180

P1
1
P4
2 4 6
P2
10
P5
20 40
0 -90 -180

微分环节
G ( s ) s, G ( j ) j

2
L(ω)=20lgω φ(ω)=90o
j
L
20 0 0.1

20 dB dec
1 10


0
0 90 0

惯性环节 G(s)=1/(Ts+1)
G( j ) 1 1 e jarctgT 1 jT 1 2T 2 1 G( j ) 0 2 2 1 T
§5.2.2 典型环节的频率特性
比例环节
频率特性 G(jω)=K
j
L
0
K>1 K=1
0
k
K<1

·

0
比例环节的 对数频率特性曲线
比例环节K的幅相曲线

对数幅频特性和对数相频特性分别是： L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和φ(ω)=0
积分环节
1 1 1 G( s ) , G( j ) s j 2
幅频特性 A( ) | G ( j ) | P 2 ( ) Q 2 ( )
Lm
Q A
G j
相频特性 ( ) G( j ) tg 1
实频特性
Q( ) P( ) P() A() cos ()
虚频特性 Q() A()sin ()
频率特性，则很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递
函数。
转折频率
精确曲线 渐近线
3. 对数幅相曲线（Nichols）
对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表
示对数幅频特性的幅值的分贝数，又称尼柯尔斯曲线。
§ 5.2 典型环节和开环频率特性
§5.2.1 典型环节
典型环节

T
1 T L T 20 lg 2 3dB
20


20dB dec
T 45
0 45
90

一阶微分环节 G(s)=Ts+1 G(s)=Ts+1
L( ) 20lg 1 2T 2
j
ω
0
1
பைடு நூலகம்
ω=0
ω<<1/T, L(ω)≈20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈20lgωT =20(lgω-lg1/T)
§ 5.1 频率特性
§5.1.1 频率特性的基本概念
例：RC 电路如图所示，ui(t)=Asinwt, 求uo(t)=?
ui t
i ui t
R
C
uo t
0
uo t
解：
U o ( s) 1 T CR 1 1T G( s) U i ( s) CRs 1 Ts 1 s 1 T
线性分度，单位是分贝（dB）；对数相频曲线的纵坐标按 φ (ω) 线性分度，单位是度（°）。由此构成的坐标系称为
半对数坐标系。
ω和lgω的关系表
① ω轴为对数分度， 即采 用相等的距离代表相等的 频率倍增，在伯德图中横 坐标按μ=lgω均匀分度。 ② ω=0在对数分度的坐标系中的负无穷远处，ω =0不可能 在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴 趣的频率范围确定。 ③ 从表中可以看出，ω的数值每变化10倍， 在对数坐标 上lgω相应变化一个单位。 频率变化10倍的一段对数刻度
尼柯尔斯图
对数幅相坐标
1. 幅相频率特性曲线 对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅
频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。
当频率ω从零变化到无穷时，当频率ω从零变化到无穷时，相应 向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲
线，简称幅相曲线，又称Nyquist图。
P3
100
十倍频程
十倍频程 十倍频程
半对数坐标纸
对数坐标图的特点
(1) 由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频段 频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意 义)，而将高频段相对压缩了。因此采用对数坐标既可以 拓宽视野，又便于研究低频段的特性。 (2) 当系统由多个环节串联而成时，系统的频率特性为各环 节频率特性的乘积，由于对数可将乘除运算变成加减运算。
t
用R(jω)和C(jω)分别表示输入信号A sinωt和输出信号 cs(t)=A sin(ωt+φ)， 则输出稳态分量与输入正弦信号的复数比 称为该系统的频率特性函数， 简称频率特性， 记作
C ( j ) G( j ) A( )e j ( ) R( j )
G ( j ) G ( j ) P ( ) jQ( )
j
＝∞
0 ＝ 100 ＝5
＝0 1 ＝1
＝3 ＝2
2. 对数频率特性曲线（Bode图） 又称为伯德曲线（伯德图），由对数幅频曲线和对数相
频曲线组成，是工程中广泛应用的一组曲线。
对数幅频曲线的横坐标采用对数分度（μ=lgω），单位为 弧度/秒（rad/s），纵坐标按
L() 20lg G( j) 20lg A()