随机行为的模拟

随机行为的模拟：随机抛掷硬币和骰子出现特定面的概率

——蒙特卡罗方法的计算机模拟

1摘要

对蒙特卡罗（Monte Carlo）方法的简介并概述了蒙特卡罗方法的概念、应用领域、求解步骤。以抛掷硬币和骰子为例，论述了蒙特卡罗方法模拟随机行为的基本思想和基本原理。给出了实现计算机模拟的MATLAB程序，并且通过最高达千万次级别的计算机模拟试验，准确地模拟了随机抛掷硬币和骰子出现特定面的概率。

2关键词

蒙特卡罗（Monte Carlo）方法方法；计算机模拟；随机行为；模拟；概率；MATLAB 程序

3引言

3.1蒙特卡罗方法的概述：

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。

3.2蒙特卡洛模拟法简介：

蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。

3.3 蒙特卡洛模拟法提出：

蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo —来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国Buffon 提出用投针实验的方法求圆周率。

3.4 蒙特卡洛模拟法的应用领域：

(1)、直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。

(2)、蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。 (3)、MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广，该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。

(4)、蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。 3.5 蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：

(1)、构造或描述概率过程；

(2)、实现从已知概率分布抽样； (3)、建立各种估计量。

4 问题重述

蒙特卡罗模拟的真正威力在于对随机行为建模。 从长期来看，一个事件的概率可以视为比值：事件的总数

有效的事件数概率 )(A P

下面3个随机模型：

(1)、抛掷一枚正规的硬币 (2)、抛掷一个正规的骰子 (3)、抛掷一个不正规的骰子

以剖析如何用蒙特卡罗方法模拟这些随机行为，以及基于MATLAB 软件的计算机实现。

5 抛掷一枚正规的硬币

5.1 过程分析

抛掷一枚硬币得到正面或反面的概率是1/2，我们可以把这种随机事件和[0,1]内的随机数建立联系。概率是长期平均值，于是抛很多次时出现次数的比例接近0.5。正面→[0,0.5]，反面→(0.5,1]。 设x 为[0,1]内的随机数，f(x)定义如下：

⎩⎨⎧≤<≤≤=15.05.00)(x x x f 反面，

正面，

f(x)将结果是正面或反面赋值到[0,1]内的一个数，随机赋值时我们可利用这个函

随机数区间 出现的累积值 出现的百分比 x<0 0 0.00 0

n ：抛掷硬币的次数

COUNTER ：记录得到正面的次数的计数器

COUNTER/n ：随机抛掷一枚正规的硬币得到正面向上的概率，n 的取值越大，得到的概率越接近理论值 i ：第i 次抛掷硬币

5.3 抛掷正规硬币的蒙特卡罗算法

输入 模拟中生成的随机抛掷硬币的总次数n.. 输出 抛掷硬币时得到正面的概率. 第1步 初始化：COUNTER=0.

第2步 对于i=1,2,…,n ，执行3，4步. 第3步 得到[0,1]内的随机数

第4步 若5.00≤≤i x ，则COUNTER=COUNTER+1.否则，COUNTER 不变. 第5步 计算P （正面）=COUNTER/n. 第6步 输出正面的概率P （正面） 停止

5.4MATLAB执行代码见附码

(注意：重复执行代码，若不更改初始值，则每次执行，正面出现的次数会改变，正面出现的概率也随次数改变而改变)

5.5结果分析

下表给出了对于不同的n由随机数

i

x得到的结果：

随着抛掷硬币次数n的增大，正面出现的概率也逐渐的接近0.5，即次数的一半。当实验次数达到百万级以上时，模拟的概率值与理论值的误差仅为±0.0001。

6抛掷一个正规的骰子

6.1过程分析

一个骰子由点数{1,2,3,4,5,6}组成，抛掷一个正规的骰子，必须设计一种定义6个事件的方法。而每个数值出现的可能性相等，所以每个数值出现的概率是1/6。

一个指定的数值出现的概率定义为：

试验的总数数

中指定的数值出现的次

,6}

{1,2,3,4,5

将区间[0,1]等分为6个子区间，随机生成一个[0,1]上的随机数，它等可能的属于在6个子区间的某个区间上，这样就可将随机抛掷骰子出现的某个点数用随机生成[0,1]上的随机数属于某个子区间来模拟。例如，随机生成的一个随机数属于[0,1/6]，则认为随机抛掷一个正规的骰子出现的点数为1。

6.2符号说明

n ：抛掷骰子的次数

COUNTER ：记录次数的计数器

COUNTER(j)/n ：随机抛掷一个正规骰子的概率，n的取值越大，得到的概率越接近理论值

i ：第i次抛掷骰子