2015年湖南省中学数学教师解题比赛高中组初赛试卷(解析)
2015年中学教师解题能力测评普通高中数学试卷
2015年中学教师解题能力测评普通高中数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合}{[]}{12,2,0,2x A x x B y y x =-<==∈，则A B = A ．[]0,2 B ．()1,3 C ．[)1,3 D ．()1,42．设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+。
当0x π≤<时，()0f x =，则23()6f π= A ．12 B．2C ．0D ．12- 3．平面向量(1,2),(4,2),()a b c ma b m R ===+∈ ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知}{2log sin 2θθθϕ∈=-，则tan log ()y x θ=-的单调性为A ．减区间为(,0)-∞B ．增区间为(,0)-∞C ．无单调性D ．以上都不对5．若{}n a 为无穷等比数列，其公比1q ≠，则下列数列中，一定不是等差数列的是A ．{}1n n a a ++B ．{}1n n a a +-C ．{}1n n a a +D ．1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭6．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2）,（2,2,0），（1,2,1）, （2,2,2）,给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②7．如右图，已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则下列关系式正确的为A ．23a b =B 3b =C ．2a b =D ．2a =8．已知函数()()f x x R ∈是以4为周期的奇函数，当(0,2)x ∈时，2()ln()f x x x b =-+。
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t P Q t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2s in s in =+b a ωω知，1s in s in ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
件等价于：存在整数 k, l (k l) ，使得
2k 2l 2 ．
①
2
2
当 4 时，区间[, 2]的长度不小于 4 ，故必存在 k, l 满足①式．
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
．
答案：24．
解：设 K1 (x, y) x 3y 6 0 ．先考虑 K1
在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ，故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2015年全国高中数学联赛试题及答案解析
5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O xyz 内一定点，过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点，则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为 ． x y z 解：设此平面的方程为 1 ， a, b, c 0 分别是该平面在 x, y, z 轴上的截距，又点 P 在平面 ABC 内， a b c 3 1 2 5 1 10 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 ，即 ，得 VOABC abc 45 ．当 ， 故 1 ，由于 1 3 a b c a b c 27 abc a b c 3 a b c 6 即 (a, b, c) (3, 6,15) 时， VOABC 的最小值为 45．
2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ，则 A B = 解：由于 1 + x ¹ x ，故 1 + x = y ．由 log 3 ( x + 2) ¹ 1 知 x ¹ 1 ，又因为 1 + x > 0 ，所以 3
2
，
1 tan tan
tan tan
tan .
2 tan 1 3tan 2
2 1 3tan tan
3 ， u 的最大值为 . 6 3
4.在单调递增数列 an 中，已知 a1 2 ， a2 4 ，且 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成 解：因为 an 单调递增， a1 0 ，所以 an 0 .因为 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成等 比数列，所以 所以 a2 n 所以 a2 n 等比数列， n 1, 2,3, .那么， a100 _________.
2015数学高中联赛试题及答案
2015数学高中联赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(2) \)的值。
A. -1B. -15C. 7D. 15答案：B2. 若\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的两个根，求\( a^2 + b^2 \)的值。
A. 1B. 4C. 9D. 16答案：C3. 已知圆的方程为\( x^2 + y^2 = 9 \)，点P(1,2)在圆上，求过点P的切线方程。
A. \( y = x + 1 \)B. \( y = -x + 3 \)C. \( x + y - 3 = 0 \)D. \( x - y + 1 = 0 \)答案：C4. 若\( \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \)，求\( \sin2\alpha \)的值。
A. 1B. \( \sqrt{2} \)C. -1D. -\( \sqrt{2} \)答案：A5. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项的值。
A. 37B. 38C. 39D. 40答案：A6. 已知三角形ABC的三边长分别为3，4，5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 若\( \log_{2}8 + \log_{4}16 = x \)，求\( x \)的值。
答案：38. 已知\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{100} \)的和为S，求S的值。
答案：小于5但大于4.59. 若\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \)且\( x + y = 12 \)，求\( x \)和\( y \)的值。
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）高中数学联赛篇一：2015年全国高中数学联赛试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分1.设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x) x2 ax b满足f(a) f(b)，则f(2)的值为2.若实数满足cos tan ，则1 cos4 的值为sin3.已知复数数列{zn}满足z1 1,zn 1 zn 1 ni(n 1,2,3, )，其中i为虚数单位，zn 表示zn的共轭复数，则z2015的值为4.在矩形ABCD中，AB 2,AD 1,边DC（包含点D,C）上的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足DP BQ,则向量PA与向量PQ的数量积PA PQ的最小值为5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy中，点集K (x,y)(x 3y 6)(3x y 6) 0所对应的平面区域的面积为7.设为正实数，若存在a,b( a b 2 )，使得sin a sin b 2，则的取值范围是8.对四位数abcd(1 a 9,0 b,c,d 9)，若a b,b c,c d，则称abcd为P类数，若a b,b c,c d，则称abcd为Q类数，用N(P),N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P) N(Q)的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a 4b 2c,4a 2b 4c，求c的最小值.10.（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得31 aa1 i j 4 24, 2, , ,1,3 ，求a1 a2 a3 a4的值. ij 28x211.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点，2设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B，焦点F2到直线l的距离为d，如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、（本题满分40分）设a1,a2, ,an(n 2)是实数，证明：可以选取1, 2, , n 1, 1 ，使n2 得ai iai (n 1) ai . i 1 i 1 i 1二、（本题满分40分）设S A1,A2, ,An ，其中A1,A2, ,An是n个互不相同的有限集合（n 2），满足对任意的Ai,Aj S，均有Ai Aj S，若k minAi 2.证明：存在x Ai，1 i ni 1nn2n2使得x属于A1,A2, ,An中的至少n个集合（这里X表示有限集合X 的元素个数）.k 上一点，点K在线段AP上，使得三、（本题满分50分）如图，ABC内接于圆O，P为BCBK平分ABC，过K,P,C三点的圆与边AC交于D，连接BD交圆于点E，连接PE并延长与边AB交于点F.证明：ABC 2 FCB.（解题时请将图画在答卷纸上）四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：(kn)!对任意正整数n，2(k 1)n 1不整除.n!高中数学联赛篇二：高中数学联赛基本知识集锦高中数学联赛基本知识集锦一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。
2015年全国高中数学联赛试卷解析
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++,于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34．解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l)（其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =u u u r u u u r 得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---u u u r u u u r,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥u u u r u u u r ．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=u u u r u u u r ．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤．有36x y +≤,故先考虑1K 在第一象限中的部分，此时这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ．答案：9513[,)[,)424w ∈+∞U ．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式．当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况： (i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞U ． 8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑． 因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
教师解题析题比赛试卷
教师解题析题比赛试卷 LELE was finally revised on the morning of December 16, 20202015年教师技能比武之解题析题初中科学试题卷考试须知：1．全卷分试题卷和答题卷，答题卷分解题卷和析题卷两部分，全卷满分为100分，考试时间120分钟。
2．请用钢笔或圆珠笔将学校、姓名、考号填写在答题卷密封线内规定的位置上。
解、析题的答案分别做在解题卷和析题卷的规定位置上。
考后将试题卷与答题卷全部收回。
3．本卷可能用到的相对原子质量：H —1 O —16 Cu —64 Fe —56 Ca —40 Na —23解题部分（共60分）一、填空题（每空1分，共25分）1．学校的作息时间一般随着一年四季的变化，而进行相应的调控，以适应昼夜长短的变化。
今天我们所处季节的白昼时间比冬季要 ▲ （填“长”或“短”），造成一年中白昼时间长短现象的主要原因是地球的 ▲ （填“自转”或“公转”）。
2．人体在新陈代谢过程中每时每刻会产生代谢废物，这些废物主要是通过泌尿系统以尿液的形式排出体外。
如图所示是肾脏的结构和功能单位——肾单位，箭头表示形成尿液的两个主要过程，请据图回答。
(填序号)（1）右表中的三种液体取自肾单位的不同部 位，分析三种液体的部分成分含量，其中X 液体取自于图中所示的▲ 。
(填序号)（2）某人在一次尿检中，检测到有少量红细胞，这是尿液形成中的 ▲ 过程发生了异常。
(填序号)3．某药品部分说明书如图，阅读后回答：（1）根据营养素在消化道内被消化的先后顺序，药品“内层包衣”里的酶是 ▲ ；（2）胰酶中的胰脂肪酶能帮助脂肪最终消化为▲ ； （3）该药品嚼碎后服用会影响药效，原因是 ▲ 。
【成 份】每片含胰酶300毫克，胃蛋白酶13毫克。
【性 状】本品为肠溶衣与糖衣的双层包衣片。
【适应症状】消化不良，食欲缺乏。
【注意事项】服用时切勿嚼碎……4．如图为探究通电直导线周围磁场分布的实验。
2015年湖南省中学数学教师解题比赛
2015年湖南省中学数学教师解题比赛高中组决赛试卷（考试时间：2015年11月21日9：00-11：30）说明：1．请用蓝色、黑色或蓝黑色钢笔或签字笔作答；2一、填空题（请把唯一正确的答案写在题中的横线上，每小题6分，共60分）1．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市.乙说：我没去过C 城市.丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 ． 2．有一列向量{}n a ：111(,)a x y = ，222(,)a x y = ， ，(,)n n n a x y = ，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列.已知2(1,4)a =- ，10(7,12)a =- .那么，1121a = ．3．方程22(32)(712)24x x x x ++++=的实数根为 ．4．三棱锥P ABC -中，D ，E 分别是PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = ． 5．已知定义在R 上的函数()f x 为偶函数，若对任意实数x ，y ，均满足方程()()()f x y f x f y xy +=++，则(1)(2)(100)f f f +++= ．6．已知10a =，n a 是函数322211()(3)332n n n f x x a n x n a x =-++的极小值，则数列{}n a 的前4项的和1234a a a a +++= ． 7．已知圆的方程是22(1)144x y -+=，点(3,0)A -，点P 是圆上一点，是否存在定点B ，使12PA PB =？若不存在，在横线上填“不存在”；若存在，在横线上填点B 的坐标，则本题的答案是 ．8．下列的图案称之为“五角数”，设从左至右图案中点的个数为1a ，2a ， ，n a ，则第n 个“五角数”的个数n a 的值为 ．1 5 12 229．设0a >使得对所有0x >，不等式x a a x ≥均成立，则a 的取值集合为 ．10.如图，将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表，从上往下数，第2015行中1的个数是 ．第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1……二、解答题（请将详细解答步骤写在题后空白处，每小题15分，共90分．）11．如图，ABC ∆的内切圆I 切BC ，AC 边分别于点D ，E ，直线BI 与DE 交于点F ，过F 作FM //BC 交于AB 于点M ，求证：M 为AB 的中点．12．李先生居住在城镇的A 处，每天开车到单位B 处上班，若该地各段堵车事件是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只发生一次，发生堵车事件的概率如下图．（例如：A -C -D 算作两个路段；路段AE 发生堵车事件的概率为14等）． （1）选择一条由A 到B 的路线，使得中途发生15101114堵车事件的概率最小；（2）设路线A -C -F -B 中途遇到堵车次数为随机变量x ，求x 的数学期望．13．在ABC ∆中，若11(,)CA x y = ，22(,)CB x y = ，求证：122112ABC S x y x y ∆=-．14．对于任意的正实数x ，y ，z ，则均值不等式，得：2()3()x y z xy yz zx ++≥++ ①其中等号当且仅当x y z ==取得,请你用式①证明如下不等式：设a ，b ，c 为正实数，则3333a b c abc ++≥.15．已知椭圆1C ：2241x y +=，双曲线2C ：2221y x -=，若A 、B 分别是椭圆1C 与双曲线2C 上的动点，O 是坐标原点，且0OA OB ⋅= .（1）求OBC ∆面积的最小值；（2）过点O ，作AB 的垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹方程.16．（1）对于任意实数b ，c ，d ，其中0b >，证明：存在M ，当x M ≥时，bx e cx d ≥+ 恒成立；（2）设1a >，证明：对于任意n 次多项式，()n P x ，都存在实数N ，当x N ≥ 时，式子()x n a P x ≥恒成立.（注：不能使用罗必塔法则）．。
2015年湖南省高中数学竞赛试卷A(含答案)
2015年湖南省高中数学竞赛（A 卷）（2015-06-27）一、选择题（每个5分，共6题）1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为 A.1169B.367C. 36D.6772.半径为R 的球的内部装有4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是 A. 323R +B.636R +C.113R +D.525R +3.已知数列{a n }和{b n }对任意*n N ∈，都有n n a b >，当n →+∞时，数列{a n }和{b n }的极限分别是A 和B ，则A. A B >B. A B ≥C. A B ≠D. A 和B 的大小关系不确定4.对所有满足15n m ≤≥≤的m,n,极坐标方程11cos n mC ρ=-θ表示的不同双曲线条数为A. 6B. 9C. 12D. 155.使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是 A. 63-B.3 C. 63+D.66.设22{|,,}M x y x y Z =αα=-∈，则对任意的整数n ，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M 中的元素的数为 A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3二、填空题（每个8分，共6题）7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为： 8.对任一实数序列123(,,,...)A =ααα，定义△A 为序列213243(,,,...)α-αα-αα-α，它的第n 项是1n n +α-α，假定序列△（△A ）的所有项都是1，且19920α=α=，则1α的值为：9.满足使11[]223n I i =+为纯虚数的最小正整数n= 10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为： 11.记集合1234234{0,1,2,3,4,5,6},{|,1,2,3,4}7777i a a a a T M a T i ==+++∈=，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2015年数是：12.设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θ+-θ=≤θ≤π，对于下列四个命题：①M 中所有直线均经过一个定点②存在定点P 不在M 中的任一条直线上③对于任意整数(3)n n ≥存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上 ④M 中的直线所能围成的三角形面积都相等其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）三、解答题（共4题，满分72分）13.（本小题满分16分）如图所示，AB 为Rt △ABC 的斜边，I 为其内心，若△IAB 的外接圆的半径为R ，Rt △ABC 的内切圆半径为r ，求证：(22)R r ≥+.如图，A ，B 为椭圆22221x y a b +=（a>b>0)和双曲线22221x y a b-=的公共顶点，P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满足()(,||1)AP BP AQ BQ R +=λ+λ∈λ> 求证：（Ⅰ）三点O 、P 、Q 在同一直线上；（Ⅱ）若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别是k 1、k 2、k 3、k 4，则k 1+k 2+k 3+k 4是定值。
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高中组初赛试卷(含答案)
(考试时间：2015 年 10 月 24 日 9∶00~11∶00)
说明： 1.请用蓝色、黑色或蓝黑色钢笔或签字笔作答； 2.答案请写在本试卷相应位置，试卷范围以外作答无效；
一、选择题(本大题共 8 小题，每题 5 分，满分 40 分)
1. 如果将整数集 Z 中所有被 3 除所得余数为 k(k＝0，1，2)的整数构成的集合称为一个“类”， 并记为[k]，则下列结论中错误的是( ) A. 2015∈[2] B. Z＝[0]∪[1]∪[2] C.“整数 a，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a＋b∈[0]” D.“整数 a，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]” 解析：选 C 提示：对于 A 选项，由于 2015 被 3 除余 2，所以 2015∈[2]；对于 B 选项，任何一个正整数被 3 除的余数只可能是 0，1，2，所以 Z＝[0]∪[1]∪[2]；对于 C 选项，因为 a，b 属于同一‘类’，不妨 设 a＝2，b＝5，则 a＋b＝7，而 7∈[1]，7[0]，所以 C 错；对于 D 选项，因为 a，b 属于同一‘类’， 可设 a＝3k1＋r，b＝3k2＋r(其中 r＝0，1，2)，则 a－b＝3(k1－k2)∈[0]。
D. 封闭性质
解析：选 B 提示：正是因为封闭性不成立(i2＝－1 时，iR)，所以才要对数集进行扩充。
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分)
9. 已知实数 x，y，z 满足 1 1 1 0 ，则 x y z2 值为＿＿＿＿＿＿＿＿。
xyz
x2 y2 z2
解析：填 1
1 Cmn cos
当 m≠n 时，令 e Cmn 1 ，注意到 C51 C54 , C31 C32 , C41 C43 , C52 C53 ，
所以离心率 e＞1 的取值共有 10－4＝6 个不同的值。
6.
已知非零向量
AB,
AC
满足
AB
AC
BC
0
且
AB
AC
1 ，则△ABC 为(
)
AB AC
解析：选 D
提示：不妨设 AB＝BC＝CD＝BD＝AC＝1，设 AD＝x，取 BC，AD 的中点分别为 E，F，可知
BC⊥平面
AED；由于
SAED
1 2
AD
EF ,
EF
3 2
2
x 2
2
1 2
3 x2 ，
所以三棱锥体积V
x
1 3
SAED
BC
1 12
x
3 x2 ，
又因为V x 1 x
3 x2
围为( )
A.
4 3
，2
B.
1，4 3
C. 1，2
D.
53 40
，4 3
解析：选 C
∵ab c d
a
b
c
d
1
abc bcd cd a d ab abcd abcd abcd abcd
a b c d a b c d 2 abc bcd cd a d ab ac bd ac bd
()
A.128
B.256
解析：选 B
提示：由棣莫佛定理可得：
C.512
D.1024
sin
i cos n
cos(
2
)
i sin(
2
) n
cos( n 2
n)
i sin( n 2
n) ……①
又 sin n i cos n cos( n) i sin( n) ……②
2
2பைடு நூலகம்
由①②得 n n 2k ( n)(k Z ) ，解得 n＝4k＋1。
1
x2
3 x2
1，
12
12
2
8
所以函数 y＝f(x)在其定义域不是增函数但有最大值 1 ，故选 D。 8
5. 对所有满足 1≤n≤m≤5 的 m，n，极坐标方程 Cmn cos 1 表示的不同双曲线条数为
()
A. 6
B. 9
解析：选 A
C. 12
D. 15
提示：当 m＝n 时，
1
表示的是抛物线；
所以∠B＝60。
由正弦定理得 a c b 2 ，则 a＝2sinA，c＝2sinC＝2sin(120－A) sin A sin C sin B
所以 a＋b＋c＝2sinA＋ 3 ＋2sin(120－A)＝ 3 ＋2 3 sin(A＋30)≤3 3 。
3. 若已知(sin＋icos)n＝sinn＋icosn，则由棣莫佛定理可知满足 1≤n≤1024 的 n 的个数为
2. 在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且 cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝ 3 ，
那么，△ABC 周长的最大值是( )
A. 3
B. 2 3
C. 3 3
D. 4 3
解析：选 C
提示：由已知 cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，得 2cos2B－3cosB＋1＝0，所以 cosB＝ 1 或 cosB＝1(舍)， 2
2
2
又因为 1≤n≤1024，n∈N，所以 0≤k≤ 255 3 ，故满足条件的 n 共有 256 个。 4
4. 已知四面体有两个面为正三角形，因而有 5 条棱长相等，设第 6 条棱的长为 x，则体积 V(x)( )
A. 是增函数但无最大值
B. 是增函数且有最大值
C. 不是增函数且无最大值
D. 不是增函数但有最大值
AB AC 2
A. 三边均不相等的三角形 C. 等腰非等边三角形 解析：选 D
B. 直角三角形 D. 等边三角形
提示：由于
AB
AC
所在直线穿过△ABC
的内心，再由
AB
AC
BC
0
知
AB
AC
AB AC
AB AC
又由 AB AC 1 知∠A＝60，故△ABC 为等边三角形。 AB AC 2
7. 已知 a，b，c，d 均为正数，且 M a b c d ，则 M 的取值范 abc bcd cd a d ab
提示：由 1 1 1 0 ，知 xy＝xz＋yz xyz
从而
x
x2
y z2
y2 z2
x2
y2
z2 2(xy x2 y2 z2
yz zx)
1
10. 已知三角形三边所在的直线方程分别是：l1：y＝0；l2：x－2y＋1＝0；l3：x－y－1＝0。则经 过三角形三顶点、对称轴为坐标轴的抛物线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿。
∴1＜M＜2。
8. 华夏文化认为宇宙万事万物皆由阴阳或五行和合而成.和，指和谐、和平、祥和；合，指结合、
融合、合作。中华“和合”文化源远流长。作为文化重要组成部分的数学最讲“和合”。在数集
的扩充的过程中，每一次扩充后同样适用于原来的数集，表现为高度“和合”的是( )
A. 大小关系
B. 运算法则
C. 几何意义