2012高考辽宁理科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学理工农医类(辽宁卷

)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1，3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(

U A )∩(

U B )＝(

)

A ．{5,8}

B ．{7,9}

C ．{0,1,3}

D ．{2,4,6}

2．复数

2i

2i -=+( ) A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5

+

3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 4．已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则p 是( ) A ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0

D ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0

5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3！ B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9！

6．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 7．已知sin α－cos α

2，α∈(0，π)，则tan α＝( )

A ．－1

B ．2

C 2

D ．1 8．设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪

≤+≤⎨⎪≤≤⎩

则2x ＋3y 的最大值为( )

A ．20

B ．35

C ．45

D ．55

9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )

A ．－1

B ．

23 C ．3

2

D ．4 10．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，

CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )

A ．

16 B ．13 C ．23 D ．45

11．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈［0,1］时，f (x )＝x 3．又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在［12-

，3

2

］上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

12．若x ∈［0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )

A ．e x ≤1＋x ＋x 2

B 211

1

24x x ≤-+

C ．cos x ≥1－12x 2

D ．ln(1＋x )≥x －1

8

x 2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．

14．已知等比数列{a n }为递增数列，且25

10a a ＝，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项

公式a n ＝__________．

15．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．

16．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；

(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 18．如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．

(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；

(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．

19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

(2)方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．

附：2

2

11221221121()n n n n n n n n n χ+++-=，

20．如图，椭圆C 0：2221x y a b

+=(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b ＜

t 1＜a ．点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C

1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．

(1)求直线AA 1

与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；

(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2．若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 12＋t 22为定值．

21．设f (x )＝ln(x ＋1)ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线32

y x =在(0,0)点相切．

(1)求a ，b 的值；

(2)证明：当0＜x ＜2时，9()6

x

f x x <

+．