计算方法-41数值微分资料

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数值分析-第4章数值积分和数值微分

A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念求积节点数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即

b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1

(完整word版)《数值计算方法》复习资料全

《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。

第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

3. 知道四则运算中的误差传播公式。

三例题例1设x*= =3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即解因为x1m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a=2，相对误差限1x 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，n=3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr ==0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, n=4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，n=6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x 1,x 2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。

微积分的数值计算方法

第七章微积分的数值计算方法7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念 1. 微分计算问题求函数的导数(微分)，原则上没有问题。

当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。

但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。

2．定积分计算问题计算函数f 在],[b a 上的定积分 dx x f I ba⎰=)(当被积函数f 的原函数能用有限形式)(x F 给出时，可用积分基本公式来计算：)()()(a F b F dx x f I ba -==⎰然而，问题在于：① f 的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②f 可能给出一个函数表；③仅仅知道f 是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。

这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。

3．数值积分的基本形式数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式∑⎰=≈nk kkbax f A dx x f 0)()( (7.1.1)或记成∑⎰=+=nk nkkbaf R x f A dx x f 0][)()( (7.1.2)∑==nk k k x f A I 0*)( 和 ][f R n 分别成为],[b a 上的f 的数值求积公式及其余项(截断误差)，k x 和k A ),,1,0(n k =分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。

这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。

构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点k x 及系数k A ),,1,0(n k =，估计余项][f R n 以及讨论*I 的算法设计及其数值稳定性。

4．插值型求积公式如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f 的Lagrange 插值多项式)(x L n 近似代替f ，也即对],[b a 上指定的1+n 个节点bx n ≤<⋯⋯<<≤10x x a 及相应的函数值)(,),(),(10n x f x f x f ，作)()()!1(1)()()()()()1()1(0x fn x f x l x R x L x f n n k nk k n n ++=++=+=∑ωξ代入(7.1.2)式等号左边有⎰⎰⎰+=banb anb adx x R dx x L dx x f )()()(⎰∑⎰++=++=ba n n k nk ba k dx x x fn x f dx x l )())(()!1(1)(])([)1()1(0ωξ或写成形如(7.1.2)式的一般形式： ∑⎰=+=nk nkkbaf R x f A dx x f 0][)()( (7.1.4)其中 ⎰=bakk dx x l A )( ),,1,0(n k = (7.1.5)⎰+++=ba n n n dx x x fn f R )())(()!1(1][)1()1(ωξ (7.1.6)称(7.1.4)为插值型求积公式。

计算方法课件数值微分

– 截断误差 – 舍入误差
1.截断误差 1.截断误差( 截断误差(方法误差/ 方法误差/模型误差) 模型误差)---数学模型的准确解与利用 ---数学模型的准确解与利用数值计算方法得到的准确解之差, 数值计算方法得到的准确解之差,如插值余项。如插值余项。用有误的过程代替无误的过程，替无误的过程，和用简单的计算问题代替复杂的计算问题所产 ∞ 生的误差。生的误差。 1 无穷过程用有穷项代替 k = 0 k ! 例如: 例如:无穷级数 n − 1 1 f ∑ k= 0 k ! 取前n 取前n项代替截断误差
对 f ( x i + h )在点 x i 作 Taylor 展开有 h h2 h3 f ( x i + h ) = f ( x i ) + f '( x i ) + f ''( x i ) + f ''( x i ) 1! 2 ! 3! n h + ... + f ( n ) ( x i ) + ... n!
1 2
)
二、运用插值函数求数值微分
设φn(x)是f(x)的过点{x0 ，x1 ，x2 ，…xn }⊂ [a，b]的 n 次插值多项式，值多项式，由Lagrange插值,有对任意给定的x∈[a，b]，总存在如下关系式存在如下关系式: ωn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn )
f '( x i ) ≈ ∆ f i = f i+1
f ( xi + h) − f ( xi ) ∆fi = h h − f i 称为 f 在 x i点的一阶向前差分 .
一阶向后差商公式 : f ( xi ) − f ( xi − h) ∇ fi f '( x i ) ≈ = h h ∇ f i = f i − f i − 1 称为 f 在 x i点的一阶向后差分 .

数值分析数值计算方法课程课件PPT之第四章数值积分与数值微分

4
( x a )( x b ) d x a
b
[ a , b ].
(2) f ( x) C [a, b], 则辛普森公式的截断差误为：
f ()b a b 2 R ( x a )( x ) ( x b ) d x S a 4 ! 2
b ab a 4 ( 4 ) ( ) f ( ), 180 2
n 1
I k 求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用作为所求积分 I的近 k 0 似值。
h I f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) f ( x ) k k 1 a x k 2 k 0 k 0 h f ( x ) 2 ( f ( x ) f ( x ) ... f ( x )) f ( x ) 0 1 2 n 1 n 2
记
1 S f ( a ) 4 f ( x ) 2 f ( x ) f ( b ) 1 n k k 2 6 k 0 k 1
n 1 n 1
称为复化辛普森公式。
18
类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛普森公式的求积余项为
R s h f 2880 ba
1

4.3 复化求积公式
问题1：由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项，分析随着求积节点数的增加，对应公式的精度是怎样变化？问题2：当n≥8时N—C求积公式还具有数值稳定性吗？可用增加求积节点数的方法来提高计算精度吗？在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。

计算方法之数值微分与积分资料

2
一、导数的定义及几何意义
关于y=f(x)在点x0处的导数有如下定义
f ( x0 )
lim
h0
f
( x0
h) h
f ( x0 )
或
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
y Q P
f(x)
x
o
x0 x0+h
当无法用常规办法求导数时，则可用割线斜率近似替代切线斜率，即用差商近似替代导数。
6
xi h ξ xi h
6
例6.1 函数f(x)由下表给出，用差商公式计算 x=0.00、0.20、0.40处的二阶导数值
x
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
f(x) 1.70
1.50
1.60
2.00
1.90
解为求二阶导数值，须先求出上表中各点的一阶导数值，结果如下表
x
0.00
0.10
f ( xi )
f ( xi ) f ( xi h) h
3、中心差商：即用f(x)在点 xi 处的中心平均变
化率作为导数近似值：
f ( xi )
f ( xi h) f ( xi h) 2h
5
将xi+h和xi-h分别代入f(x)在xi 处的泰勒展开式得
f ( xi
h)
f
(
xi
)
hf
3
二、三种差商替代
1、向前差商：即用f(x)在点 xi 处的向前平均变化率作为导数近似值：
f ( xi )
f ( xi h) h
f ( xi )

数值分析4数值积分与数值微分

第4 章4数与数微数值积分与数值微分本章内容411.1 光波的特性4.1 引言4.2 Newton-Cotes 公式1.2 光波在介质界面上的反射和折射4.3 Romverg 算法4.4Gauss 1.3 光波在金属表面上的反射和折射4.4 Gauss 公式4.5 数值微分2本章要求主要内容：机械求积、牛顿柯特斯公式、龙贝格算法、高斯公式、•—数值微分。

•基本要求–(1)了解数值微分公式的导出方法及常用的数值微分公式。

–(2) 掌握数值积分公式的导出方法，截断误差；理解代数精度的概念，会用待定系数法。

–(3) 掌握梯形求积公式，抛物线求积公式，牛顿－柯特斯公式的构造及使用，并会应用公式求积分。

(4)熟悉复化梯形公式复化辛普生公式–(4) 熟悉复化梯形公式，复化辛普生公式。

–(5) 会用龙贝格积分法。

–(6) 了解高斯型求积公式的概念及导出方法，能构造简单问题的高精度求积公式，会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算。

积公式会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算•重点、难点重点牛顿柯特斯公式–重点：牛顿－柯特斯公式；–难点：代数精度的概念。

3414114.1 引言4.1.1 数值求积的基本思想一、问题,d)(∫=b a xxfI数学分析中的处方法由微积分学基本定当如何求积分数学分析中的处理方法：由微积分学基本定理，当f(x)在[a, b]上连续时，存在原函数F(x)，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：).()(d)(aFbFxxf ba−=∫但有时用上面的方法计算定积分有困难但有时用上面的方法计算定积分有困难。

441N-L4.1 引言N L公式失效的情形：这时，N-L公式也不能直接运用。

因此有必要研究问题即用数值方法计算定积分因此，有必要研究数值积分问题，即用数值方法计算定积分的近似值.541二、构造数值积分公式的基本思想4.1 引言、构造数值积分公式的基本思想问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出的值，怎么办？f(ξ)641采用不同的近似计算方法从而得到各种不同的4.1 引言)对f(ξ)采用不同的近似计算方法，从而得到各种不同的数值求积公式。

微分方程数值计算方法

dx
x
O(x) O(x)
（3）中心差分
df f (x x) f (x x)
dx
2x
O(x2 )
x x
同理，对于二阶差商有：
d 2 f f (x x) 2 f (x) f (x x)
dx2
(x)2
对于偏微分方程也是同样处理。
差分格式差分问题是将包括所研究对象的所占空间的全部内部区域和
e

n2
F0
如何用计算机来计算这一关系（温度场）？常用的方法是有限差分法和有限单元法。
有限差分方法是将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，以级数展开等方法，把目标方程中的导数用网格节点上的函数值的差商（差分）代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组，是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单。
Temperature(oC)
Temperature(oC)
for i=2:M-1 100
for j=2:M-1

fTi，n j1
举个例子：
热源B: Tw2=50 oC
热源A: Tw1=100oC
热源A: Tw1=100oC
热源B: Tw2=50 oC
TTii，,0njj1T0fT（in1i，j
fTi，n j 1，2...;
1 （1 4 f）Ti，n j j 1, 2,...）
TT0mnn

Tw1 Tw2
（n 0，1，2，nmax）
可得完整的差商格式
TTTii00nn1TT0wf1（（ Tiinn1
（1 2 f） Tin f 1，2，3，，m 1） 0，12，3，nmax）

数值微分与积分算法

数值微分与积分算法数值微分和积分算法是计算数学中常用的数值计算方法，它们通过离散化数学函数来估计导数和定积分的值。

本文将介绍数值微分和积分的基本概念，并介绍几种常用的数值方法。

1. 数值微分数值微分是计算函数导数的数值方法。

导数表示了函数在某一点的斜率或变化率。

常见的数值微分方法有：向前差分、向后差分和中心差分。

1.1 向前差分向前差分计算导数的方法是通过近似函数在某一点的切线斜率。

假设有函数f(x)，可选取小的增量h，并使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h1.2 向后差分向后差分与向前差分类似，也是通过近似函数在某一点的切线斜率。

使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h1.3 中心差分中心差分是向前差分和向后差分的结合，计算导数时使用函数在点前后进行采样。

使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / (2h)2. 数值积分数值积分是计算函数定积分的数值方法。

定积分表示函数在某一区间上的面积。

常见的数值积分方法有：矩形法、梯形法和辛普森法则。

2.1 矩形法矩形法是通过将函数曲线分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积之和来近似定积分。

常见的矩形法有：左矩形法、右矩形法和中矩形法。

2.2 梯形法梯形法是通过将函数曲线分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积之和来近似定积分。

使用如下公式计算：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/2) * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(xn)]2.3 辛普森法则辛普森法则是通过将函数曲线分割成若干个抛物线来近似定积分。

使用如下公式计算：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/3) * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 4f(x(n-1))+ f(xn)]3. 总结数值微分和积分是实际计算中常用的数值方法，它们通过将连续的数学问题离散化来进行数值计算。

数值微分计算方法

数值微分计算方法数值微分是微积分中的一个重要概念，用于近似计算函数的导数。

它在实际问题中具有广泛的应用，特别是在数值求解微分方程、优化问题以及实时数据处理等领域。

数值微分最基本的思想是通过两个离得很近的点，利用函数值的变化情况来估计导数的变化情况。

常见的数值微分方法包括有限差分法和插值法。

有限差分法是一种简单且直接的数值微分方法，常用的有前向差分法、后向差分法和中心差分法。

前向差分法用于近似计算函数的导数，通过函数在特定点上和该点之后的一点的差值来估计导数的值。

设函数在点x处的导数为f'(x)，则前向差分法的计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h其中，h为一个小常数，表示两个点之间的距离。

后向差分法与前向差分法的思想类似，只是对应的计算公式稍有不同。

后向差分法通过函数在特定点上和该点之前的一点的差值来估计导数的值。

计算公式为：f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h中心差分法是一种更加精确的数值微分方法，通过函数在特定点的前后两点的差值来估计导数的值。

计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法来说，误差更小，计算结果更稳定。

除了有限差分法，插值法也是一种常用的数值微分方法。

它通过利用已知点的函数值来估计未知点上的函数值，从而近似计算函数的导数。

常见的插值法包括拉格朗日插值法和牛顿插值法。

拉格朗日插值法通过构造一个次数为n的多项式来逼近给定的函数，然后求该多项式的导数。

牛顿插值法则是通过利用已知点的函数值来构造一个插值多项式，然后求该多项式的导数。

插值法在实践中广泛应用，能够提供更精确的数值微分结果。

总的来说，数值微分是一种基于离散点求导数的近似计算方法，可以通过有限差分法和插值法来进行计算。

不同的方法在精度和稳定性上有所差异，具体的选择需根据实际情况进行考虑。

数值微分在科学计算和工程应用中具有重要的地位和作用，是了解和掌握的必备技巧之一。

数值微分与数值积分的计算方法

数值微分与数值积分的计算方法数值微分和数值积分是数学中一种非常重要的方法。

在实际生活和科学研究中，很多情况下，需要对函数进行微分或积分的计算。

然而，由于很多函数的解析式很难或者根本不能求出，因此需要采用一些数值方法来近似计算。

本文将讨论数值微分和数值积分的计算方法。

一、数值微分在数值计算中，常常会遇到需要求函数在某个点处的导数的问题。

这时候，我们就需要用到数值微分。

数值微分主要有三种方法：前向差分、后向差分和中心差分。

（一）前向差分前向差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。

其基本思想是求函数在当前点和向前一点的斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}$$其中，$h$表示步长。

（二）后向差分后向差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。

其基本思想是求函数在当前点和向后一点的斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}$$（三）中心差分中心差分是一种用来计算函数在某个点处导数的方法。

其基本思想是求函数在当前点左右两个点的平均斜率，即：$$f'(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h}$$对于三种方法，其截断误差的阶分别为 $\mathcal{O}(h)$、$\mathcal{O}(h)$ 和 $\mathcal{O}(h^2)$。

二、数值积分数值积分是指用数值方法对某个函数在某一区间上的定积分进行近似计算的过程。

常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法和龙贝格法。

下面将分别介绍这三种方法。

（一）梯形法梯形法是一种比较简单的数值积分方法。

其基本思想是将积分区间分成若干个小梯形，然后求出这些小梯形面积的和。

具体地，假设我们要对函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上进行积分，将该区间分成 $n$ 个小区间，步长为 $h=(b-a)/n$，则梯形法的计算公式为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right]$$梯形法的截断误差的阶为 $\mathcal{O}(h^2)$。

41欧拉方法和拉格朗日方法

41欧拉方法和拉格朗日方法欧拉方法和拉格朗日方法是微积分中常用的数值计算方法。

它们都是用于近似计算函数在一定范围内的积分值的方法。

下面分别介绍这两种方法的原理和应用。

1.欧拉方法：欧拉方法是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）提出的一种数值解微分方程的方法。

它基于泰勒级数展开，通过对函数在特定点的近似计算来逼近函数的积分值。

欧拉方法的基本思想是将一个区间等分成若干小区间，然后在每个小区间上用线性函数来逼近原函数。

这样，在每个小区间上，我们可以根据欧拉公式得到该区间上的积分值。

最后将所有小区间上的积分值相加，即可得到整个区间上的积分值。

欧拉方法的步骤如下：1）将积分区间[a,b]等分成n个小区间，其中每个小区间的长度为h=(b-a)/n。

2）设定一个起始点x0=a，并计算对应的函数值y0=f(x0)。

3）对于每个小区间，根据欧拉公式，通过线性逼近来计算该区间上的积分值，即y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i))。

4）重复第3步，直到x(n)=b，即计算完成。

欧拉方法的优点是简单易于实现，但由于其是线性逼近，所以逼近精度较低，当小区间数过多时，容易产生误差累积。

2.拉格朗日方法：拉格朗日方法是以法国数学家拉格朗日命名的一种数值积分方法。

它基于基本积分公式来进行近似计算，通过构建拉格朗日多项式来逼近原函数。

拉格朗日方法的基本思想是在每个小区间上构建一个拉格朗日多项式，然后通过对多项式进行积分来逼近原函数的积分值。

因为拉格朗日多项式是对原函数的拟合函数，所以它的积分值可以作为原函数积分值的近似。

拉格朗日方法的步骤如下：1）将积分区间[a,b]等分成n个小区间，其中每个小区间的长度为h=(b-a)/n。

2）对于每个小区间，构建一个插值多项式，即通过给定的n+1个点的函数值来确定一个n次多项式。

3）对每个小区间的插值多项式进行积分，即可得到该小区间上的积分值。

4）将所有小区间的积分值相加，即可得到整个区间上的积分值。

数值微分计算方法讲解

（1）称为x0点的向前差商公式， (2) 称为x1点的向后差商公式。
i 0,1
(1) (2)
数值分析
数值分析
例1 设f(x)=lnx，x0=1.8，用2点公式计算f’(x0)。
解：计算f '( x0 )的误差为
hf "( ) h 2 2 2 ,
这里 1.8 1.8 h 或 1.8 h 1.8
k0
lk
(x)
(x x0 ) ( xk x0 )
( x xk1 )( x xk1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 )
(x xn ) (xk xn )
称为n+1点求导公式。
数值分析
数值分析
常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式.
当n=1时,有
f R1 ( xi ) f ( xi ) L'1( xi )
f (n1)
注意到在插值节点处
n1
(
xi
)
d dx
( x ) 0,此时的余项为
(n 1)!
(n1)
(n1)
f f Rn( xi ) f ( xi ) L'n( xi )
(
n
(i
1)!
)
n 1
(
xi
)
(n
(i
1)!
)
n k0
( xi
xk
)
ki
因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值
n
f ( xi ) L'n( xi ) f ( xk )l 'k ( xi ) i 0,1, ..., n
f
'( xi )h
1 2
f

数值微分的计算方法

数值微分的计算方法内容摘要求解数值微分问题,就是通过测量函数在一些离散点上的值,求得函数的近似导数。

本文就所学知识，归纳性地介绍了几种常用的数值微分计算方法。

并举例说明计算，实验结果表明了方法的有效性。

关键词数值微分 Taylor 展开式 Lagrange 插值三对角矩阵引言：数值微分即根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。

常见的可以用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值，由此也可导出多点数值微分计算公式。

当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。

1.Taylor 展开式方法理论基础：Taylor 展开式()()()()()()()()()000000022!!nnx x x x f x f x x x f x f x f x n --'''=+-++++我们借助Taylor 展开式，可以构造函数f x 在点0x x 的一阶导数和二阶导数的数值微分公式。

取步长0h则),()(2)()()(0011''20'00h x x f h x hf x f h x f +∈++=+ξξ （1）所以),()(2)()()(0011''000'h x x f h h x f h x f x f +∈--+=ξξ （2）同理),()(2)()()(0022''20'00x h x f h x hf x f h x f -∈+-=-ξξ （3） ),()(2)()()(0022''000'x h x f h h h x f x f x f -∈+--=ξξ （4）式(2)和式(4)是计算'0f x 的数值微分公式，其截断误差为O h ，为提高精度，将Taylor 展开式多写几项),()(24)(6)(2)()()(0011)4(40'''30''20'00h x x f h x f h x f h x hf x f h x f +∈++++=+ξξ ),()(24)(6)(2)()()(0022)4(40'''30''20'00x h x f h x f h x f h x hf x f h x f -∈+-+-=-ξξ两式相减得)()(62)()()(40'''2000'h O x f h h h x f h x f x f +---+= （5）上式为计算)(0'x f 的微分公式，其截断误差为O(h 2),比式（2）和(4)精度高。

数值计算方法数值微分 - 数值微分

f (a) - f (a) f (a h) o(h) h
f a h f a h f '(a) 2 2 o(h2 )
h
从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确从舍入误差的角度来看，步长不宜太小
观察发现
事后估计法：
解决办法
（1）用h计算一次差商，记为 D(h) ，
D[f[x],x]/.x->Pi/3
程
Table[(f[x0+h]-f[x0])/h,{k,1,10}];
TableForm[%]//N 序
Table[(f[x0]-f[x0-h])/h,{k,1,10}];
设 TableForm[%]//N
计
Table[(f[x0+h/2]-f[x0-h/2])/h,{k,1,10}];
f ( ( n1) )
h
2!
3!
f (a h) f (a) h
h2
f '(a)
- f ''(a) f '''(a) ... o(h)
h
2!
3!
Taylor展开法
f a h / 2
f a h
1!2
f
'
a
h2 2!22
f
'' a
h3 3!23
f
'''a
h4 4!24
f 4a
f a h / 2
f a h
0.499992 0.499981 0.499967 0.499948 0.499925 0.499898
0.464844 0.46038
0.534089 0.53827

数学中的微积分与数值计算方法

数学中的微积分与数值计算方法引言数学是一门基础学科，微积分是数学中的重要分支之一。

它不仅在理论研究中有着广泛应用，而且在实际问题的解决中也发挥着重要的作用。

本教案将以微积分与数值计算方法为主题，介绍微积分的基本概念和数值计算方法的应用。

第一部分微积分的基本概念微积分是研究变化率和积分的数学分支，它包括两个主要的概念：导数和积分。

在这一部分，我们将介绍导数和积分的基本定义和性质，并探讨它们在实际问题中的应用。

1. 导数的定义与性质导数是描述函数变化率的概念，它可以通过极限的方法定义。

我们将详细介绍导数的定义和性质，并通过一些例题来说明导数的应用。

2. 积分的定义与性质积分是求函数面积的概念，它可以通过求和的方法定义。

我们将介绍积分的定义和性质，并通过一些实际问题来说明积分的应用。

第二部分数值计算方法的应用数值计算方法是一种通过数值逼近的方式来求解数学问题的方法。

在这一部分，我们将介绍数值计算方法的基本原理和常用的数值计算方法，并通过一些实例来说明它们的应用。

1. 数值逼近的原理数值逼近是数值计算方法的基础，它通过有限步骤的计算来逼近精确解。

我们将介绍数值逼近的原理，并通过一些实例来说明数值逼近的应用。

2. 常用的数值计算方法常用的数值计算方法包括二分法、牛顿法、梯度下降法等。

我们将介绍这些方法的原理和应用，并通过一些实例来说明它们的具体步骤和计算过程。

第三部分微积分与数值计算方法的综合应用微积分与数值计算方法在实际问题的解决中经常需要综合应用。

在这一部分，我们将通过一些综合性的问题来说明微积分与数值计算方法的综合应用。

1. 曲线拟合与函数逼近曲线拟合是利用已知数据点来逼近未知函数的过程，它可以通过微积分和数值计算方法来实现。

我们将介绍曲线拟合的基本原理和方法，并通过一些实例来说明它的应用。

2. 数值积分与微分方程求解数值积分和微分方程求解是微积分与数值计算方法的重要应用之一。

我们将介绍数值积分和微分方程求解的基本原理和方法，并通过一些实例来说明它们的应用。

计算方法-4.1数值微分

n 1 ( x) ( x x j )
j 0
n
7
对(1)式两边求导,有
[ f ( n 1) ( )] f ( n 1) ( ) ( x) 1 ( x) f ( x) Ln n 1 ( x) n (n 1)! (n 1)!
由于与x有关,[ f ( n 1) ( )]将很难确定
( x x1 ) ( x x2 ) ( x x0 ) ( x x2 ) ( x x0 ) ( x x1 ) f1 f2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
f ( 3 ) ( ) 2 E2 ( xk ) ( xk x j ) 3! j 0
§ 4.1 数值微分
微积分中，函数的导数是通过差商的极限定义，表示函数在某点的瞬时变化率，即平均变化率的极限。其几何意义为曲线的斜率。
y
P
f ( x h) f ( x ) lim h 0 h f ( x ) f ( x h) f ( x) lim h h 0 f ( x h) f ( x h) lim h 0 2h
--------(4)
( x1 ) E1 ( x1 ) f ( x1 ) L1
1 h (2) ( f 1 f 0 ) f ( ) h 2
(4)(5)式称为带余项的两点求导公式即 --------(5)
由于E o(h)
精度1阶
11
f ( x0 ) f ( x1 )
1 ( f1 f0 ) h
2016/8/14
2.三点公式
n 2时

数值微分法

主要问题
如何将微分方程离散化，如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的递推公式；数值解的递推公式；递推公式的局部截断误差，递推公式的局部截断误差，数值解与精确解的误差估计；精确解的误差估计；递推公式的稳定性分析。递推公式的稳定性分析。
6.1 Euler 方法
6.1.1 Euler 方法及其有关的方法
dN = αN ( t ) β N 2 ( t ) dt N ( t 0 ) = N 0。
是电容器上的带电量，为电容为电容，为电阻为电阻，为电源的设Q是电容器上的带电量，C为电容，R为电阻，E为电源的是电容器上的带电量电动势，电动势，描述该电容器充电过程的数学模型是
dQ Q (t ) = E ， RC dt Q ( t 0 ) = Q 0。
n +1 n +1 n +1
由函数y 由函数y(xn+1)在xn处的Taylor展开式：处的Taylor展开式展开式：
( xn +1 xn )2 y( xn +1 ) = y( xn ) + ( xn +1 xn ) y′( xn ) + y′(ξ ) n +1 < ξ < xn ) (x 2
在例6.1中由于（，）是线性的，在例中，由于f（x，y）对y是线性的，所以对隐式公式也可以方便地计是线性的但是，（，）的非线性函数时，算 y n + 1 。但是，当f（x，y）是y的非线性函数时，如 y ′ = 5 x + 3 y ，其隐式的非线性函数时 Euler公式为yn+1 = yn + h(5 xn +1 + 3 yn +1 )。显然，它就不是很方便用隐式公式为显然，它就不是很方便用隐式Euler方法方法解出进行递推计算，此时，可用预测-校正的方法计算解出进行递推计算，此时，可用预测校正的方法计算 y n + 1 。

41单步法

y(xn )
f
(xn , y(xn ))
h 2
y''(n )
y(xn1) y(xn ) hf (xn , y(xn )) 所以，可以构造差分方程
h2 2
y''(n )
yn1 yn hf (xn , yn )
定义在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 ( local truncation error )。
y'(x) f (x, y) y''(x) fx (x, y) f y (x, y) y'
记为 hTn 1
y'''(x)
所以，可以构造格式
yn1
yn
hf
(xn ,
yn )
h2 2!
fx (xn , yn ) f y (xn , yn ) f (xn , yn )
这种格式使用到了各阶偏导数，使用不便。
0
T L
T O(h)
e(n1)hL T L
n1 O(h)
是1阶方法
3、稳定性－误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。我们考虑简单情况：仅初值有误差，而其他计算步骤无误差。
设{zi} 是初值有误差后的计算值，则
yn1 yn hf (xn , yn ) zn1 zn hf (xn , zn )
单步显式计算公式可写成 : yk+1 = yk + hΦf(xk,yk, h)
单步法隐式格式 yk+1 = yk +hΦf(xk,yk,yk+1,h) 它每步求解yk+1需要解一个隐式方程。