如皋市2018-2019学年度第一学期第二次月考试卷

江苏省如皋市2018-2019学年度第一学期第二次月考试卷
高三数学（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 若复数()()213a i i -+ (i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 2． 函数 的最小正周期为
▲ ．
3． 已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ． 4． 为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所 得数据并画出样本的频率分布直方图．根据此图估计该校2000名男生中体重在
70～78(kg)的人数为 ▲ ．
(第4题) (第5题) 5. 运行如图所示的流程图，输出的结果是 ▲ ．
6． 将一个半径为1的小铁球与一个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大
铁球，则该大铁球的表面积为 ▲ ．
7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的 正方体）， 观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ． 8. 若实数,x y 满足4,
3,3412,x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
则22x y +的取值范围是 ▲ ．
9． 已知圆 C 与圆2210100x y x y +++=相切于原点，且过点 ()0,6A ，则圆C 的标准方
程为 ▲ ．
10．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线与圆
22650x y y +-+=没有交点，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．
()sin(4)6
f x x π
=+
11. 如图，在由5个边长为1，一个顶角为60的菱形组成的图形中， AB CD ⋅= ▲ ．
12． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 不是最大边，已知 a 2－b 2＝2bc sin A ，则2tan A －3tan B 的最小值为▲________ 13． 已知数列{}n a 满足：13a =，()()12312n
n n a a n -=--≥.若2
3
1,,k k
a a a 成等差数列，
23,k k N *
∈，23k k <，则32k k -= ▲ .
14． 已知()()()32
31ln ,2
x f x x e e x g x x x a =--=-+
+，若存在()10,x ∈+∞及唯一正 整数2x ，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
二、 解答题：本大题共6小题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点．
(1) 证明：B 1C 1∥平面A 1DE ；
(2) 若平面A 1DE ⊥平面ABB 1A 1，证明：AB ⊥DE.
16．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足()2cos cos a c B b C -=；
(1) 求角B 的大小；
(2) 设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值．
17．（本小题满分14分）
如图，某小区内有两条相互垂直的道路1l 和2l ，以1l 、2l 所在的直线为坐标轴建系，
平面直角坐标系xOy 的第一象限有一块空地OAB ，其边界OAB 是函数()y f x =的图像，前一段曲线OA
是函数y =，后一段AB 是一条线段.测得A 到1l 的距离为8米，到2l 的距离为16米， OB 长为20米. (1) 求函数()y f x =的解析式；
(2) 现要在此地建一个社区活动中心，平面
图形为梯形OPQB （其中为两 底边）.问：梯形的高为多少米时，该
社
区活动中心的占地面积最大，并求出最
大面积.
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12
，且过
点3
12
(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交
椭圆于,C D 两点.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若2AF FC =，求BF
FD
的值；
(3) 设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实
数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不
存
在，请说明理由.
OB PQ
,
19.(本小题满分16分) 在数列 {}n a 中，已知 12211,2,n n n a a a a a n N λ*++==+=+∈，λ为常数. (1) 证明: 14,5,a a a 成等差数列;
(2) 设 22n n a a n c +-=，求数列的前n 项和n S ；
(3) 当0λ≠时，数列 {}1n a -中是否存在三项 1111,1,1s t p a a a +++---成等比数 列， 且,,s t p 也成等比数列?若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由.
20. （本小题满分16分） 已知函数()(),,,R.x f x e g x ax b a b ==+∈
(1) 若()10g -=，且函数g (x )的图象是函数f (x )图象的一条切线，求实数a 的值：
(2) 若存在1,x e e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
使得不等式f (x )>x 2＋m 成立，求实数m 的取值范围；
(3) 若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在()0,+∞上总有零点，求实数b 的取值范围．。