4.1.1圆的标准方程123
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.1 圆的标准方程
解析答案
(2)求y－x的最大值和最小值；
解 设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
|2－0＋b| 此时 2 ＝ 3.
即 b＝－2± 6.
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
解析答案
(3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解 x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3， (x2＋y2)min＝(2－ 3)2＝7－4 3.
第四章 § 4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标 准方程.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 圆的标准方程
新知探究 点点落实
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？ 答案 圆心和半径. 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径 的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？ 答案 能. 1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标 准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
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圆的标准方程式
圆的标准方程式圆是平面几何中的重要图形之一，其标准方程式是描述圆的一种数学表达方式。
通过圆的标准方程式，我们可以清晰地了解圆的性质和特点，进而在数学问题中灵活运用。
本文将详细介绍圆的标准方程式及其相关知识点。
首先，我们来看圆的定义，圆是平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。
在平面直角坐标系中，圆可以由一个定点为圆心、一个正数为半径来描述。
根据这一定义，我们可以得出圆的标准方程式。
圆的标准方程式为，(x a)² + (y b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
这个方程式的推导可以通过圆的定义和距离公式得出，具体推导过程略。
通过圆的标准方程式，我们可以得出一些重要结论：1. 圆的半径为正数，表示圆的大小；2. 圆心坐标(a, b)表示圆的位置；3. 圆心到圆上任意一点的距离都等于半径r。
在实际问题中，我们可以利用圆的标准方程式来解决一些几何和代数问题。
例如，给定圆心和半径，我们可以方便地求出圆上任意一点的坐标；或者给定圆上的某点，可以判断该点是否在圆内或者在圆上。
除了标准方程式外，圆还有其他几种常见的方程式，如一般方程式和参数方程式。
这些方程式在不同的问题中有着各自的优势和适用范围，需要根据具体情况进行选择和运用。
总之，圆的标准方程式是描述圆的重要数学工具，通过它我们可以清晰地了解圆的性质和特点，解决各种数学问题。
在学习和应用过程中，我们需要深入理解圆的定义和相关知识，灵活运用圆的标准方程式，不断提高数学素养和解决问题的能力。
希望本文对圆的标准方程式有所帮助，让我们共同努力，探索数学的奥秘，提高数学应用能力。
高中数学学案 圆的标准方程
4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标核心素养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过对圆的标准方程的学习,提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径,如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时,方程为x2＋y2＝r2,表示以圆点O为圆心、半径为r的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？[提示]圆心坐标和半径．2. 点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d,半径为r.d与r的大小点与圆的位置d<r 点P在圆内d＝r 点P在圆上d>r 点P在圆外1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )A．(－2,3),1 B．(2,－3),3C．(－2,3), 2 D．(2,－3), 2D [由圆的标准方程可得圆心为(2,－3),半径为 2.] 2．以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4 C ．(x －2)2＋(y －2)2＝8D ．x 2＋y 2＝ 2B [以原点为圆心,2为半径的圆,其标准方程为x 2＋y 2＝4.] 3．点P(m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上D ．不确定A [∵m 2＋25＞24,∴点P 在圆外．]4．点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上,则圆的方程是________．(x ＋2)2＋y 2＝10 [因为点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上,故(1＋2)2＋12＝m,∴m ＝10.即圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.]求圆的标准方程【例1】 求过点A(1,－1),B(－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程．思路探究：法一：利用待定系数法,设出圆的方程,根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上,设出圆心坐标,根据条件建立方程组求圆心坐标和半径,从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质,确定圆心坐标和半径,从而求方程．[解] 法一：设所求圆的标准方程为 (x －a)2＋(y －b)2＝r 2,由已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二：设点C 为圆心,∵点C 在直线x ＋y －2＝0上, ∴可设点C 的坐标为(a,2－a)． 又∵该圆经过A,B 两点, ∴|CA|＝|CB|.∴（a －1）2＋（2－a ＋1）2＝（a ＋1）2＋（2－a －1）2, 解得a ＝1.∴圆心坐标为C(1,1),半径长r ＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0), k AB ＝1－（－1）－1－1＝－1,所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1,所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x－0), 即y ＝x.则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即圆心为(1,1),圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2, 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及半径r,其求解的方法：一是待定系数法,如法一,建立关于a,b,r 的方程组,进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径,如法二、法三．一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4,0),且过点(2,2)；(2)圆心在y 轴上,半径为5,且过点(3,－4)；(3)过点P(2,－1)和直线x －y ＝1相切,并且圆心在直线y ＝－2x 上． [解] (1)r 2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8, ∴圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝8.(2)设圆心为C(0,b),则(3－0)2＋(－4－b)2＝52, ∴b ＝0或b ＝－8,∴圆心为(0,0)或(0,－8),又r ＝5, ∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. (3)∵圆心在y ＝－2x 上,设圆心为(a,－2a), 设圆心到直线x －y －1＝0的距离为r. ∴r ＝|a ＋2a －1|2,① 又圆过点P(2,－1),∴r 2＝(2－a)2＋(－1＋2a)2,②由①②得⎩⎨⎧a ＝1，r ＝2或⎩⎨⎧a ＝9，r ＝132，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338.点与圆的位置关系【例2】 已知圆心为点C(－3,－4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点P 1(－1,0),P 2(1,－1),P 3(3,－4)和圆的位置关系．[解] 因为圆心是C(－3,－4),且经过原点, 所以圆的半径r ＝（－3－0）2＋（－4－0）2＝5, 所以圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.因为|P 1C|＝（－1＋3）2＋（0＋4）2＝4＋16＝25<5, 所以P 1(－1,0)在圆内；因为|P 2C|＝（1＋3）2＋（－1＋4）2＝5, 所以P 2(1,－1)在圆上；因为|P 3C|＝（3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5, 所以P 3(3,－4)在圆外．1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离,与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的符号,并作出判断． 2．灵活运用若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围．2．已知点A(1,2)不在圆C ：(x －a)2＋(y ＋a)2＝2a 2的内部,求实数a 的取值范围． [解] 由题意,点A 在圆C 上或圆C 的外部, ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a 2, ∴2a ＋5≥0,∴a ≥－52.∵a≠0,∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52， 0∪(0,＋∞)．与圆有关的最值问题[探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？[提示] 可采用几何法,先求出该点到圆心的距离,再加上或减去圆的半径,即可得距离的最大值和最小值．2．若点P(x, y)是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上的任一点,如何求点P 到直线x －y ＝0的距离的最大值和最小值？[提示] 可先求出圆心(2,－2)到直线x －y ＝0的距离,再将该距离加上或减去圆的半径1,即可得距离的最大值和最小值．【例3】 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14,试求x 2＋y 2的最值．思路探究：首先观察x 、y 满足的条件,其次观察所求式子的几何意义,求出其最值．[解] 由题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d ＝1,故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32,最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14.1．本例条件不变,试求yx的取值范围．[解] 设k ＝y x ,变形为k ＝y －0x －0,此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率,由k ＝y x ,可得y ＝kx,此直线与圆有公共点,圆心到直线的距离d≤r ,即|－k|k 2＋1≤12,解得－33≤k≤33.即y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 2．本例条件不变,试求x ＋y 的最值．[解] 令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b,问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值,此时有|－1－b|2＝12,解得b ＝±22－1,即最大值为22－1,最小值为－22－1.与圆有关的最值问题的常见类型及解法：(1)形如u ＝y －bx －a 形式的最值问题,可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题,可转化为动直线y ＝－a b x ＋lb截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题,可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．1．确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组求a,b,r或直接求出圆心(a,b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简,提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、简捷．3．与圆有关的最值问题,常借助于所求式的几何意义,利用数形结合的思想解题,渗透着直观形象的数学素养．1．圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的方程为( )A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25A[由题意,圆的半径r＝（0－3）2＋（4－0）2＝5,则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25.]2．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点,Q是直线x＝－3上的动点,则|PQ|的最小值为( ) A．6 B．4 C．3 D．2B[由题意,知 |PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长,即|PQ|的最小值为6－2＝4,故选B.]3．经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径为2的圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝4 [由题意知,圆心是(－2,0),半径是2,所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]4．点(5a＋1,a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部,则a的取值范围是________．[0,1)[由于点在圆的内部,所以(5a＋1－1)2＋(a)2＜26,即26a＜26,又a≥0,解得0≤a＜1.] 5．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(3,0),C(3,4),求△ABC的外接圆方程．[解]易知△ABC是直角三角形,∠B＝90°,所以圆心是斜边AC的中点(2,2),半径是斜边长的一半,即r＝5,所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.。
高中数学 必修2：4.1 圆的方程
4.1 圆的方程一、圆的标准方程1．圆的标准方程2．圆的标准方程的推导如图，设圆的圆心坐标为(,)C a b ，半径长为r (其中a ,b ,r 都是常数，r >0).设()，M x y 为该圆上任意一点，那么圆心为C 的圆就是集合{}|P M MC r ==.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M 的坐标(x ,y )r = ①，①式两边平方，得222()()=x a y b r -+-.3．点与圆的位置关系圆C ：222()(0())x a y b r r -+-=>，其圆心为,()C a b ，半径为r ，点00(,)P x y ，设||d PC ==.二、圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F +++=+表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径r =.2．圆的一般方程的推导把以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开，并整理得22222220x y ax by a b r +--++-=.取2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得：220x y Dx Ey F +++=+ ①.把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224D E D E F x y +-+++=. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-，所以它表示一个点； 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系点00)(,P x y 与圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++=+->++的位置关系是： P 在圆内⇔，P 在圆上⇔， P 在圆外⇔.三、待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a b r 、、或D E F 、、的方程组；③解出a b r 、、或D E F 、、，代入标准方程或一般方程．四、轨迹和轨迹方程1．轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点M ，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.2．求轨迹方程的五个步骤①建系：建立适当的坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标；②设点：写出适合条件P 的点M 的集合){}(|P M p M =；③列式 ：用坐标(,)x y 表示条件()p M ，列出方程(,)0F x y =；④化简：化方程(,)0F x y =为最简形式；⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．1．求圆的标准方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．【例1】写出下列各圆的标准方程．（1）圆心在原点，半径长为2；（2）圆心是直线10x y +-=与230x y -+=的交点，半径长为14． 【解析】（1）∵圆心在原点，半径长为2，即0,0,2a b r ===，∴圆的标准方程为224x y +=．【例2】过点111,(1())A B --,,且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ C ）A ．22()(31)4x y -++=B ．22()(31)4x y ++-=C ．22()(11)4x y -+-=D ．22()(11)4x y +++= 【解析】解法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由已知条件，知222222(1)(1)(1)(1)20a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩，解此方程组，得2114a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故所求圆的标准方程为22()(11)4x y -+-=．解法2：设点C 为圆心，因为点C 在直线20x y +-=上，所以可设点C 的坐标为(),2a a -． 又因为该圆经过,A B 两点，所以||||.CA CB == 解得1a =．所以2211a -=-=．所以圆心坐标为()1,1C ，半径|2|r CA ==．故所求圆的标准方程为22()(11)4x y --+=．2．会判断点与圆的位置关系点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：①22200()()x a y b r -+->，点在圆外；②22200()()x a y b r -+-=，点在圆上；③22200()()x a y b r -+-<，点在圆内．【例3】 已知点（2，0）和（x -2）2 + （y +1）2 = 3，则点与圆的位置关系是( A ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．不确定【解析】由于（2-2）2+（0+1）2<3，故点在圆内．【例4】已知点A （1，2）和圆C ：（x-a ）2+（y+a ）2=2a 2，试求满足下列条件的实数a 的取值范围．（1）点A 在圆C 的内部；（2）点A 在圆C 上 （3）点A 在圆C 的外部．3．圆的方程的判断判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法：（1）利用圆的一般方程的定义，求出224D E F +-利用其符号判断．（2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式，根据m 的符号判断．【例5】判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．（1）x 2+y 2+2x+1=0；（2）x 2+y 2+2ay-1=0；（3）x 2+y 2+20x+121=0；（4）x 2+y 2+2ax =0．【解析】（1）原方程可化为（x+1）2+y 2=0，它表示点（-1，0），不表示圆．（2）原方程可化为x 2+（y+a ）2=a 2+1，它表示圆心为（0，-a ），半径为的圆，标准方程为x 2+（y+a ）2=（）2 ． （3）原方程可化为（x+10）2+y 2=-21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．（4）原方程可化为（x+a ）2+y 2=a 2．①当a =0时，方程表示点（0，0），不表示圆；②当a ≠0时，方程表示以（-a ，0）为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为（x+a ）2+y 2=a 2．【例6】 方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示圆的条件是( B )A ．14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >14．用待定系数法求圆的一般方程应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：【例7】已知圆经过点（4，2）和（-2，-6），且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2，求圆的方程．【解析】设圆的一般方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->． 由圆经过点（4，2）和（-2，-6），得4220026400 ① ②D E F D E F +++=⎧⎨+--=⎩， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1，x 2是方程x 2+Dx+F =0的两个根，得x 1+x 2=-D ．设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1，y 2是方程y 2+Ey+F =0的两个根，得y 1+y 2=-E ．由已知，得-D+（-E ）=-2，即D+E-2=0． ③联立①②③，解得D =-2，E =4，F =-20，故所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0．【例8】试判断(1,2)A ，(0,1)B ，(76)C -，，(4,3)D 四点是否在同一个圆上．5．与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．（3）相关点法：若动点,()P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动，且11,x y 可用,x y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．【例9】已知点P （x ，y ），A （1，0），B （-1，1），且|PA|=|PB|． （1）求点P 的轨迹方程；（2）判断点P 的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由．【例10】已知直角ABC △的斜边为AB ，且1,0,()(,0)3A B -，求：（1）直角顶点C 的轨迹方程；（2）直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】（1）解法一：设顶点,()C x y ，因为AC BC ⊥，且,,A B C 三点不共线，所以3x ≠且1x ≠-． 又1AC k y x =+， 3BC y k x =-，且·1AC BC k k =-，所以113y y x x ⋅=-+-，化简得22230x y x +--=． 因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法二：同解法一得3x ≠且1x ≠-．由勾股定理得222||||||AC BC AB +=，即2222131))6((x y x y +++-+=，化简得22230x y x +--=．因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法三：设AB 中点为D ，由中点坐标公式得()1,0D ，由直角三角形的性质知， 122||||CD AB ==， 由圆的定义知，动点C 的轨迹是以()1,0D 为圆心，以2为半径的圆（由于,,A B C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点）．设,()C x y ，则直角顶点C 的轨迹方程为2214))1((3x y x x -+=≠≠-且．6．忽视圆标准方程的结构致错【例11】求圆()222230()()x y b b ++-≠=的圆心及半径．【错解】由圆的标准方程知圆心为(2,)3-，半径为b ．【错因分析】在圆的标准方程2220()()()x a y b r r -=>-+中，此圆的圆心为(),a b ，半径长为r ．错解中没有准确把握圆的标准方程的结构形式．【正解】由圆的标准方程知圆心为()2,3-，半径为||b ．7．忽视圆的一般方程应满足的条件致错【例12】已知点()0,0O 在圆2222210x y kx ky k k +++-+=+外，求k 的取值范围．【错解】∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得1 1.2k k ><-或 ∴k 的取值范围是(),1-∞-1(,)2+∞． 【错因分析】本题忽视了圆的一般方程220x y Dx Ey F +++=+表示圆的条件为2240D E F +->，【正解】∵方程表示圆，∴222()(2420)1k k k k +-+>-，即23440k k -<+，解得22.3k -<<又∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得12k >或1k <-．综上所述，k 的取值范围是1()(22,3)12--，．基础训练1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为（ A ）A ．x 2+（y –3）2=1B ．x 2+（y +3）2=1C ．（x –3）2+y 2=1D ．（x +3）2+y 2=12．已知圆C ：（x –6）2+（y –8）2=4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（ C ）A ．（x –3）2+（y +4）2=100B ．（x +3）2+（y –4）2=100C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y–4）2=253．（x+1）2+（y–1）2=1的圆心在（B ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（C ）A．x2+y2=25 B．x2+y2=5 C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y+4）2=255．以两点A（–3，–1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（A ）A．（x–1）2+（y–2）2=25 B（x+1）2+（y+2）2=25 C．（x+1）2+（y+2）2=100 D．（x–1）2+（y–2）2=1006．已知圆心在点P（–2，3），并且与y轴相切，则该圆的方程是（B ）A．（x–2）2+（y+3）2=4 B．（x+2）2+（y–3）2=4 C．（x–2）2+（y+3）2=9 D．（x+2）2+（y–3）2=9 7．圆x2+y2–2x+4y=0的圆心坐标为（B ）A．（1，2）B．（1，–2）C．（–1，2）D．（–1，–2）8．已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为（5，0），则它的半径为（D ）A．3 B C．5 D．49．圆x2+y2–4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（C ）A．r=1；（–2，1）B．r=2；（–2，1）C．r=1；（2，–1）D．r=2；（2，–1）10．圆x2+y2–2x+2y=0的周长是（A ）A．B．2πC D．4π11．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（x–1）2+（y–1）2=2_．12．圆（x+1）2+（y–3）2=36的圆心C坐标（–1，3），半径r=___6_____．13．求圆心在直线y=–2x上，并且经过点A（0，1），与直线x+y=1相切的圆的标准方程．14．已知圆经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x–y–2=0上．求圆C的方程．∵圆C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，∴点C在线段AB的垂直平分线y=–x+7，又∵圆心C在直线2x–y–2=0上，∴联立7220y xx y=-+⎧⎨--=⎩，得C（3，4）．圆C的半径r=|AC|==1，∴圆C的方程是（x–3）2+（y–4）2=1．15．求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得D=–4，E=3，F=0，∴圆的方程为x2+y2–8x+6y=0，化为（x–4）2+（y+3）2=25，可得：圆心是（4，–3）、半径r=5．16．求过三点A（–1，0），B（1，–2），C（1，0）的圆的方程．17．已知方程x2+y2–2x+t2=0表示一个圆．（1）求t的取值范围；（2）求该圆的半径r最大时圆的方程．(1）由圆的一般方程，得4–4t2>0，∴–1<t<1；（2）r=t=0时，r最大为1．∴圆的方程：（x–1）2+y2=1．能力18．如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形，若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是( B )A．x2+y2–x+2y+1=0 B．x2+y2+2x–2y+1=0 C．x2+y2–2x+y–1=0 D．x2+y2–2x+2y–1=019．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为( C )A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1 C．a=–1 D．a=220．若方程x2+y2–4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是( A )A．（–∞，1）B．（–∞，1] C．[1，+∞）D．R21．圆（x–1）2+（y–2）2=1关于直线x–y–2=0对称的圆的方程为( A )A．（x–4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x–2）2+（y+1）2=122．由方程x2+y2+x+（m–1）y+12m2=0所确定的圆中，最大面积是( B )A B．34πC．3πD．不存在23．若圆x2+y2–4x+2y+m+6=0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是( C ) A．m<–1 B．m>–6 C．–6<m<–5 D．m<–524．已知圆的方程为x2+y2–2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是( C )A．2x–y–1=0 B．2x–y+1=0 C．2x+y+1=0 D．2x+y–1=025．已知三点A（1，3），B（4，2），C（1，–7），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( D )A．10 B．C．5 D26．由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是( D )A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线27．已知点A（–3，0），B（–1，–2），若圆（x–2）2+y2=r2（r>0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为4，则r的取值范围是）．28．已知圆C：（x–3）2+（y–4）2=1和两点A（–m，0），B（m，0）（m>0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为_____6_____．29．已知函数f（x）=13x2–43x+1的图象与坐标轴的交点均在圆M上，则圆M的标准方程为（x–2）2+（y+1）2=5．30．已知动点A在圆P：x2+y2=1上运动，点Q为定点B（–3，4）与点A距离的中点，则点Q的轨迹方程为x2+y2+3x–4y+6=0_．31．已知点A，B的坐标分别为（–1，0），（1，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为x2–xy–1=0（x≠±1）．32．如图，直角△OAB中，OA═4，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为y2=8x，（x≠0）_．33．已知直线l1：mx–y=0，l2：x+my–m–2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是_（x–1）2+（y–12）2=54_．34．已知函数y=x2–4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x–y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．（1）由题意与坐标轴交点为M （3，0），N （1，0），P （0，3），设圆的方程为：（x –a ）2+（y –b ）2=r 2代入点，得222222222(3)(0)(1)(0)(0)(3)a b r a b ra b r ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩，解得a =2，b =2，r（x –2）2+（y –2）2=5． （2）由题意|AB |=4：设圆心到直线距离为d ，则222()2ABr d =+，即：1d ==，解得n =35．已知线段AB 的端点B 的坐标为（1，3），端点A 在圆C ：（x +1）2+y 2=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹．36．已知圆C 过A （1，4）、B （3，2）两点，且圆心在直线y =0上．（1）求圆C 的方程；（2）判断点P （2，4）与圆C 的位置关系．（1）∵圆心在直线y =0上，∴设圆心坐标为C （a ，0），则|AC |=|BC |=，即（a –1）2+16=（a –3）2+4，解得a =–1，即圆心为（–1，0），半径r =|AC== 则圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20；（2）∵|PC5===>r ，∴点P （2，4）在圆C 外． 37．已知曲线C 的方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0（1）当m 为何值时，此方程表示圆？（2）若m =0，是否存在过点P （0，2）的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |=|AB |，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．1）方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0可化为（x –2）2+（y +1）2=5–5m ∵方程表示圆，∴5–5m >0，即m <1；（2）设A （a ，b ），则B （2a ，2b –2），代入圆的方程，可得a 2+b 2–4a +2b =0，且4a 2+（2b –2）2–8a +2（2b –2）=0，∴a =0，或a =2413，∵直线l 过点P （0，2），∴直线l 的方程为x =0或5x +12y –24=0． 38．求圆x 2+y 2–2x –6y +9=0关于直线2x +y +5=0对称的圆的方程．39．已知圆过点A （–2，4），半径为5，并且以M （–1，3）为中点的弦长为设所求的圆的方程是（x –a ）2+（y –b ）2=25，根据题设知（a +2）2+（b –4）2=25，再由弦长公式得：（a +1）2+（b –3）2+12=25，联立解得21a b =⎧⎨=⎩或10a b =⎧⎨=⎩所以圆的方程为：（x –2）2+（y –1）2=25或（x –1）2+y 2=25． 40．圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( C )A ．1B ．2CD ．41．圆x 2+y 2–2x –8y +13=0的圆心到直线ax +y –1=0的距离为1，则a =( A )A ．–43B ．–34CD ．242．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x –1）2+y 2=1（或x 2+y 2–2x =0）_________．43．已知a ∈R ，方程a 2x 2+（a +2）y 2+4x +8y +5a =0表示圆，则圆心坐标是（–2，–4），半径是_5_．。
必修二4.1.1圆的标准方程
复习与作业： 复习与作业：
1.复习初中有关点与圆的位置关系 直线与圆的位置 复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置 复习初中有关点与圆的位置关系 关系,圆与圆的位置关系有关内容 圆与圆的位置关系有关内容. 关系 圆与圆的位置关系有关内容 2.课本习题 课本习题4.1 A组第 、3题. 组第2、 题 课本习题 组第
得： 整理得： 整理得：
( x − 0) + ( y − 0) = r
2 2
2
x +y =r
2 2
2
典型例题
半径长等于5的圆的 例1 写出圆心为 A(2,−3) ，半径长等于 的圆的 方程， 方程，并判断点 M 1 (5,−7) ， M 2 ( − 5 ,−1) 是否在这 个圆上． 个圆上． 解：圆心是 A(2,−3) ，半径长等于5的圆的标准 半径长等于 的圆的标准 方程是： 方程是： 2 2
特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点，半径长为 的圆的方程是什么？ 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 因为圆心是原点 ， ＝ ， ＝ 和半径 带入圆的标准方程： 带入圆的标准方程：
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心 (a,b)之间的距离能 与圆心A 圆上任意点 与圆心 之间的距离能 用什么公式表示？ 用什么公式表示？ 根据两点间距离公式： 根据两点间距离公式： 则点M、 间的距离为 MA = 间的距离为： 则点 、A间的距离为： 即：
(x − a )2 + ( y − b )2 .
p ={M | M |= r} A
( x − a ) + ( y − b) = r
4.1.1 圆的标准方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三
(2)(方法一)由题意,得线段 AB 的垂直平分线的方程为
3x+2y-15=0.
由
3������ + 2������-15 = 0, 解得 3������ + 10������ + 9 = 0,
������ = 7, ������ = -3.
所以圆心 C 的坐标为(7,-3).
求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆 心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.
②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,
有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中 垂线的交点为圆心”等.
(2)待定系数法,步骤是:
①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); ②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程.
������
������
<
-
5 2
.
-12-
4.1.1 圆的标准方程
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三
题型二 求圆的标准方程
【例2】 求下列圆的标准方程: (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (2)经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上. 解:(1)(方法一)由题意知圆的
-11-
4.1.1 圆的标准方程
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【变式训练1】 已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求
高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计
4.1.1圆的标准方程教学设计1．内容和内容解析：内容：圆的标准方程。
内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。
其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。
圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。
学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。
也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。
从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。
2．教学目标：知识与技能（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；过程与方法（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；情感态度与价值观通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；3．教学重难点：重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程；（2）圆的标准方程的灵活应用；落实的途径：（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
4.1.1圆的标准方程
2 2 2
( x a) ( y b) m
2 2
2.下列方程表示的曲线分别是什么？ 2 2 y 4 ( x 1)
y 4 ( x 1)
2
21
方程 ( x a)2 ( y b)2 r 2 , 叫做以点 (a , b) 为圆心， r为半径 的圆的标准方程。 作用：
O
y
A
r
x M
需要几个量？
a,b,r.需三个条件
(1)已知圆心坐标和半径可写出圆的方程； (2)可由标准方程直接看出圆心和半径。
6
知识应用
（1） ( x 2) ( y 1) 2,
10
探究新知
对于点 M(x0 , y0) 和圆A: ( x a)2 ( y b)2 r 2 , (1)点在圆上 ( x 0 a ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2 ; (2)点在圆内 ( x 0 a ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2 ; 2 2 2 (3)点在圆外 ( x 0 a ) ( y 0 b ) r ;
8
知识应用
( x a) ( y b) r
2 2
2
练习3：写出满足下列条件的圆的标准方程. （1）圆心为(2 , -3)，半径是 5的圆 ； （2）圆心为(-1 , 2)，且过原点的圆 ； （3）以(0 , 0)， (6 , -8)为直径端点的圆 ； （4）圆心为原点，且与直线x=1相切的圆. 解：（1） ( x 2) ( y r
2 2
2
练习1：说出下列方程表示的圆的圆心和半径. （2） x ( y 2) ( 2) ,
教学设计5：4.1.1 圆的标准方程
4.1.1 圆的标准方程整体设计教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，它与其他图形的位置关系及其应用.同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题.三维目标1.使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线，从圆外一点引切线，已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则，培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点，欣赏和体验圆的对称性，感受数学美.重点难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术，名称是《日出》，所以还缺少一个太阳，请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳，每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆，进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的直线方程的求解，应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.思路2.同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题①已知两点A(2，－5)，B(6，9)，如何求它们之间的距离?若已知C(3，－8)，D(x，y)，又如何求它们之间的距离?②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？④我们知道，在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角，那么，决定圆的条件是什么?⑤如果已知圆心坐标为C(a，b)，圆的半径为r，我们如何写出圆的方程?⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？讨论结果：①根据两点之间的距离公式221221)()(y y x x -+-，得|AB |=212)59()62(22=++-，|CD |=22)8()3(++-y x .②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径(教师在黑板上画一个圆).③圆心C 是定点，圆周上的点M 是动点，它们到圆心距离等于定长|MC |=r ，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.④确定圆的条件是圆心和半径，只要圆心和半径确定了，那么圆的位置和大小就确定了. ⑤确定圆的基本条件是圆心和半径，设圆的圆心坐标为C (a ，b )，半径为r (其中a 、b 、r 都是常数，r ＞0).设M (x ，y )为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是(引导学生自己列 出)P ={M ||MA |=r }，由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r .①将上式两边平方得(x －a )2+(y －b )2=r 2.化简可得(x －a )2+(y －b )2=r 2.②若点M (x ，y )在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标满足方程②，反之若点M 的坐标满足方程②，这就说明点M 与圆心C 的距离为r ，即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就是圆心为C (a ，b )，半径长为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.⑥这是二元二次方程，展开后没有xy 项，括号内变数x ，y 的系数都是1.点(a ，b )、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C (0，0)时，方程为x 2+y 2=r 2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?②确定圆的方程的方法和步骤是什么?③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：①圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2=r 2中，有三个参数a 、b 、r ，只要求出a 、b 、r 且r ＞0，这时圆的方程就被确定，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r ，一般步骤为：1°根据题意，设所求的圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2=r 2；2°根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；3°解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. ③点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2+(y －b )2=r 2的关系的判断方法：当点M (x 0，y 0)在圆(x －a )2+(y －b )2=r 2上时，点M 的坐标满足方程(x －a )2+(y －b )2=r 2. 当点M (x 0，y 0)不在圆(x －a )2+(y －b )2=r 2上时，点M 的坐标不满足方程(x －a )2+(y －b )2=r 2. 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1°点到圆心的距离大于半径，点在圆外⇔(x 0－a )2+(y 0－b )2＞r 2，点在圆外;2°点到圆心的距离等于半径，点在圆上⇔(x 0－a )2+(y 0－b )2=r 2，点在圆上;3°点到圆心的距离小于半径，点在圆内⇔(x 0－a )2+(y 0－b )2＜r 2，点在圆内.[合 作 探 究·攻 重 难] 类型1求圆的标准方程例1 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程.[解] 法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝r 2，(a －1)2＋(b －1)2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.法二：(几何法)由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径r ＝42＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.[规律方法] 求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.[跟踪训练]1．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．[解] 法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为A (0,5)，B (1,－2)，C (－3,－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有⎩⎨⎧ (0－a )2＋(5－b )2＝r 2，(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－3－a )2＋(－4－b )2＝r 2.解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝1，r ＝5.故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.法二：因为A (0,5)，B (1,－2)，所以线段AB 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，直线AB 的斜率k AB ＝－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －7y ＋10＝0.同理可得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0. 由⎩⎨⎧x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0得圆心的坐标为(－3,1)， 又圆的半径长r ＝(－3－0)2＋(1－5)2＝5，故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.类型2点与圆的位置关系例2已知两点P1(3,8)和P2(5,4)．(1)求以线段P1P2为直径的圆的标准方程；(2)判断点M(5,3)，N(3,4)，P(3,5)是在圆上、圆内还是圆外.思路探究：(1)先确定圆心与半径再求方程．(2)比较三点到圆心的距离与半径大小．[解](1)设圆心C(a，b)，半径长为r.因为点C为线段P1P2的中点，所以a＝3＋52＝4，b＝8＋42＝6，即圆心坐标为C(4,6)．又由两点间的距离公式，得r＝|CP1|＝(4－3)2＋(6－8)2＝ 5.故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.(2)分别计算点M，N，P到圆心C的距离：|CM|＝(4－5)2＋(6－3)2＝10＞5，|CN|＝(4－3)2＋(6－4)2＝5，|CP|＝(4－3)2＋(6－5)2＝2＜5，所以点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内．[规律方法]判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.[跟踪训练]2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是() A．a＜－1或a＞1B．－1＜a＜1C．0＜a＜1 D．a＝±1【答案】B【解析】[∵点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部．∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4.解得－1＜a ＜1.] 类型3 与圆有关的最值问题[探究问题]1．若P (x ，y )为圆C (x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．[提示] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.2．若P (x ，y )是圆C (x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.例3 已知x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，求(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值与最小值.思路探究：x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，即点P (x ，y )是圆上的点．而(x ＋1)2＋(y ＋1)2表示点(x ，y )与点(－1，－1)的距离．故此题可以转化为求圆x 2＋(y ＋4)2＝4上的点与点(－1，－1)的距离的最值问题．[解] 因为点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上的任意一点，圆心C (0，－4)，半径r ＝2，因此(x ＋1)2＋(y ＋1)2表示点A (－1，－1)与该圆上点的距离．因为|AC |2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A (－1，－1)在圆外．如图所示．而|AC |＝(0＋1)2＋(－4＋1)2＝10，所以(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值为|AC |＋r ＝10＋2，最小值为|AC |－r ＝10－2. 母题探究：1.本例中条件不变，试求y ＋1x ＋1的取值范围． [解] 设k ＝y ＋1x ＋1，则此式可看作是圆上一点与点(－1，－1)连线的斜率． 所以由k ＝y ＋1x ＋1可得y ＋1＝k (x ＋1)，此直线与圆应相交． 圆心(0，－4)到直线的距离d ≤r .即|3＋k |k 2＋1≤2，解得k ≥3＋263或k ≤3－263. 2．本例条件不变，试求圆上一点到直线x ＋y ＝4的最大值与最小值．[解] 圆心(0，－4)到直线x ＋y ＝4的距离d ＝|－4－4|2＝82＝4 2. 所以圆上一点到直线x ＋y ＝4的最大值为d ＋r ＝2＋42，最小值为d －r ＝42－2.[规律方法] 与圆有关的最值问题的求解策略(1)本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： ①k ＝y －b x －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等．[当 堂 达 标·固 双 基]1．方程(x －1)x 2＋y 2－3＝0所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个点C ．一个点和一个圆D ．一条直线和一个圆【解析】D【答案】[(x －1)x 2＋y 2－3＝0可化为x －1＝0或x 2＋y 2＝3，因此该方程表示一条直线和一个圆．]2．以(2,－1)为圆心，2为半径的圆的标准方程为()A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4B．(x＋2)2＋(y－1)2＝2C．(x－2)2＋(y＋1)2＝2D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4【答案】D【解析】[由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，知圆心为(a，b)，半径为r，易知答案为D.]3．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围为()A．|a|＜1 B．a＜1 13C．|a|＜15D．|a|＜113【答案】D【解析】[∵点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部．∴(5a＋1－1)2＋(12a)2＜1，∴|a|＜1 13.选D.]4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．【答案】x2＋(y－1)2＝1【解析】[由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.]5．已知圆C的半径为17，圆心在直线x－y－2＝0上，且过点(－2,1)，求圆C 的标准方程.[解]∵圆心在直线x－y－2＝0上，r＝17，∴设圆心为(t，t－2)(t为参数)．∴圆C的标准方程为(x－t)2＋(y－t＋2)2＝17.∵圆C过点(－2,1)，∴(－2－t)2＋(1－t＋2)2＝17.解得t＝2或t＝－1.∴圆心C的坐标是(2,0)或(－1，－3)．∴所求圆C的标准方程是(x－2)2＋y2＝17或(x＋1)2＋(y＋3)2＝17.。
高中数学 4.1.1圆的标准方程教案 新人教A版必修2
4.1.1 圆的标准方程一、教学目标1、目标：（1）学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径；（2）会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力；（3）理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.2、解析：由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.二、预习导引1、圆的定义平面内到的距离等于（）的点的集合（轨迹）是圆，定点是（），定常是（）。
2、圆的标准方程圆心为C（a,b),半径为r 的圆的标准方程是（）三、问题引领，知识探究问题一：我们知道直线可以用方程表示,那么,圆可以用方程表示吗？如果能圆的方程怎样来求呢?.问题2：具有什么性质的点的轨迹称为圆？问题3：图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1问题4：我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?问题5：如果已知圆心坐标为C(a ,b ),圆的半径为r ,我们如何写出圆的方程?问题6：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？问题7：根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?问题8：确定圆的方程的方法和步骤是什么?问题9：坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?师生活动：学生思考，回答。
圆的标准方程
3.解:∵圆心在y轴上, 3.解:∵圆心在y轴上, 圆心在 可设圆心坐标为(0,b),则圆的方程为: (0,b),则圆的方程为 ∴可设圆心坐标为(0,b),则圆的方程为: +(yx2+(y-b)2=r2. 圆经过A 两点, ∵圆经过A､B两点,
∴圆的方程是x2+(y-1)2=10. 圆的方程是x +(y-
所以，所求圆的方程为
练习： 、写出下列各圆的方程： 练习：1、写出下列各圆的方程：
( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 16 (1)圆心在点 圆心在点C(3, 4 )，半径是 圆心在点 ，半径是4
(2) 经过点 经过点P(5,1),圆心在点 圆心在点C(8,-3) 圆心在点
( x − 8) + ( y + 3) = 25
再( x − 2) + ( y + 3) = 25
2 2
左右两边不等,则M2 不在圆上
思考:M2 的位 置在哪里?
探究 点与圆的位置关系
点 M ( x0 , y0 ) 在圆 ( x − a ) + ( y − b) = r 内的条件是什么?圆外呢?
2 2 2
结论: 结论 若 ( x0 − a ) + ( y0 − b) < r ,则M在圆内 则 在圆内 在圆内.
2
x
两边同时平方， 两边同时平方，得
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 － －
( x − a ) + ( y − b) = r
2 2
2
(1)
在圆上， 若M(x,y)在圆上，由以上讨论 点M的坐标满 在圆上 由以上讨论,点 的坐标满 ）；反之 的坐标满（ ）， ），即 足（1）；反之，若M(x,y)的坐标满（1），即 ）；反之， 的坐标满 M到A点的距离为 M点在圆上。 点的距离为r, 点在圆上 点在圆上。 到 点的距离为 我们把（ ）称为以 为圆心， 我们把（1）称为以A(a，b)为圆心，r为半 ， 为圆心 为半 径的圆的标准方程 特别地， 表示以原点为圆心， 为 特别地，x2＋y2＝r2 表示以原点为圆心，r为 半径的圆. 半径的圆
4.1.1_圆的标准方程
解：设点C（a，b）为直径 P P 1 2 的中点，则
教材121页 练习 3
P 2 (6,3)
圆心坐标为（5，6）
93 46 6 a 5 b 2 2
P 1 (4,9)
C
r CP 1 （4 5） （9 6） 10
2 2
CM 10
圆方程为
（x 5） （y 6） 10
能力提升 1。 方程 ( x a) ( y b) r
2 2 2
( x a) ( y b) r
2 2
2
( x a ) ( y b) m 都一定是圆的方程吗？
2 2
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M1 (5,7) ， M 2 ( 5 ,1)是否在这个圆上。
2 2 2
a 2, b 3, r 5.
所求圆的方程为
( x 2)2 ( y 3)2 25
例2 方法二:三角形的外接圆的圆心称为外心，是三边
垂直平分线的交点
y
A(5,1)
O M
x
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3
⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2. ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
特殊位置的圆的方程:
圆的标准方程
4. 1.1圆的标准方程【教学目标】１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．【教学重难点】教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．（二）检查预习、交流展示求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．（三）合作探究、精讲精练探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．例1 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．解：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；点评：圆的标准方程与圆心坐标、半径长密切相关，应熟练掌握．变式训练１：说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4答案：(1) 圆心是(3,2),半径是5；(2) 圆心是(－４,－３),半径是7；(3) 圆心是(－２,０),半径是２．例２ (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解析：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决；分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解：(1) 解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10 解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．点评：1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．变式训练２：求证：以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．证明：略．（四）反馈测试导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．【板书设计】探究一：圆的标准方程1．建系设点2．写点集3．列方程4．化简方程探究二：圆的方程形式特点例1变式训练１例２变式训练２课堂小结【作业布置】导学案课后练习与提高4.１.1圆的标准方程课前预习学案一．预习目标回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程．二．预习内容1：圆的定义是怎样的？2：圆的特点是什么？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．二．学习过程探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点2．写点集3．列方程4．化简方程探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板) (1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答) (1)(x-3)2 +(y-2)2=5； (2)(x+4)2+(y+3)2=7； (3)(x+2)2+ y 2=4例２ (1)已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？变式训练２：求证：以A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0．四．当堂检测１．圆(x ＋1)2+(y －2)2=4的圆心、半径是 （ ）A ．(1,－2),4B ．(1,－2),2C ．(－1,2),4D ．(－1,2),2２．过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 .3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．参考答案:１．Ｄ ２．22(3)2x y -+=课后练习与提高１．圆2)1()1(22=++-y x 的周长是（ ）Ａ．π2 Ｂ．π2 Ｃ．２π2 Ｄ．π4 ２．点Ｐ（5,2m ）与圆2422=+y x 的位置关系是( )Ａ．在圆外 Ｂ．在圆内 Ｃ．在圆上 Ｄ．不确定３．已知圆Ｃ与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆Ｃ的方程为（ ） Ａ．1)1(22=++y x Ｂ．122=+y x Ｃ．1)1(22=++y x Ｄ．1)1(22=-+y x４．已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。
《圆的标准方程》教学方案
《圆的标准方程》教学方案《《圆的标准方程》教学方案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！作业内容4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标1.会推导圆的标准方程.2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径.3.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程.4.体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力.能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、设计问题,创设情境前面我们已经学习过直线方程,初中也学习过圆的一些知识,请同学们思考:问题1:在平面直角坐标系中,两点能确定一条直线,一点和直线的倾斜角也能确定一条直线.那么在平面直角坐标系中确定一个圆的几何要素是什么呢?问题2:根据前面我们所学的直线方程的知识,应该怎样确立圆的方程呢?二、学生探索,尝试解决若设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r(其中a,b,r都是常数,r>0),试求圆的方程.三、信息交流,揭示规律1.在直角坐标系中,当与确定后,圆就唯一确定了,因此,确定圆的基本要素是.2.在平面直角坐标系中,若一个圆的圆心A(a,b),半径长为r,则圆的标准方程为.推导的步骤是.若点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则点M的坐标就适合方程,即;反之,若点M的坐标适合方程,这就说明与的距离为r,即点M在圆心为A的圆上.3.圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程为.4.若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则满足条件;若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外,则满足条件;同理,若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内,则满足条件;若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外,则满足条件.5.△ABC外接圆的圆心即为外心,即的交点.四、运用规律,解决问题6.写出下列各圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径为3.(2)圆心为(2,3),半径为.(3)经过点(5,1),圆心在(8,-3).7.根据圆的方程写出圆心和半径:(1)(x-2)2+(y-3)2=5;(2)(x+2)2+y2=(-2)2.8.写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)9.△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准方程,是用的什么方法?)10.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准方程,是用的什么方法?)五、变练演编,深化提高同学们仿照上述例题,自己试着编几道写、求圆的标准方程,或判断点与圆的位置关系的题目.六、信息交流,教学相长(请同学们把你编写的较为典型的题目选几个写在下面)七、反思小结,观点提炼1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r22.求圆的标准方程的方法:待定系数法.3.要求一个圆的标准方程,需要三个条件:圆心的横坐标、纵坐标和半径.4.点与圆的位置关系:点在圆上,点在圆外,点在圆内.《圆的标准方程》教学方案这篇文章共3331字。
圆的方程中的典型问题与方法：圆的方程中的典型问题与方法——4.1.1圆的标准方程
2 2 2
则圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)由已知可设圆的标准方程为 x2＋(y－b)2＝25，则 32＋(－4－b)2＝25， 解得 b＝0 或 b＝－8， 则圆的标准方程为 x2＋y2＝25 或 x2＋(y＋8)2＝25. (3)由已知设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，
)Байду номын сангаас
故圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 3．点 P(m2，5)与圆 x2＋y2＝24 的位置关系是( ) A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 4 2 2 2 解析：选 B．由 m ＋25>24 可知，点 P(m ，5)在圆 x ＋y ＝24 的外部． 4．(2014· 滨州调研)已知圆 C 经过 A(5，2)，B(－1，4)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的标准方程是( A．(x－2)2＋y2＝13 B．(x＋2)2＋y2＝17 C．(x＋1)2＋y2＝40 D．(x－1)2＋y2＝20 解析：选 D．∵圆心在 x 轴上，∴设圆心坐标为 C(a，0)． 又∵圆 C 经过 A(5，2)，B(－1，4)两点， ∴半径 r＝|AC|＝|BC|，可得 （a－5）2＋（－2）2＝ （a＋1）2＋（－4）2， 解之得 a＝1，可得半径 r＝ （a－5）2＋（－2）2＝ 20， ∴圆 C 的标准方程是(x－1)2＋y2＝20. 5．圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心到直线 y＝ 1 A． 2 B． 3 2 C．1 3 x 的距离为( 3 D． 3 ) )
2．用待定系数法求圆的标准方程 例 2 △ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的标准方程． (链接教材 P119 例 2) [解析] 设所求圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，① 因为 A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①， （5－a） ＋（1－b） ＝r a＝2 2 2 2 于是（7－a） ＋（－3－b） ＝r ，解此方程组，得b＝－3， （2－a）2＋（－8－b）2＝r2 r2＝25 所以△ABC 的外接圆的标准方程是：(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 【方法归纳】待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： (1)设：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)列：由已知条件，建立关于 a，b，r 的方程组； (3)解：解方程组，求出 a，b，r； (4)代：将 a，b，r 代入所设方程，得所求圆的标准方程． 【跟踪练习】 2．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)； (2)圆心在 y 轴上，半径长为 5，且过点(3，－4)； (3)求过两点 C(－1，1)和 D(1，3)，圆心在 x 轴上的圆的标准方程． 解：(1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面上所有到圆心距离都相等的点的集合，是几何中非常重要的图形之一。
在解决几何问题时，我们经常需要用到圆的标准式方程。
下面我们就来详细介绍一下圆的标准式方程及其相关知识。
圆的标准式方程可以表示为，$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，其中$(a, b)$为圆心的坐标，$r$为圆的半径。
这个方程是通过圆的定义所得到的，它告诉我们圆上任意一点$(x, y)$满足到圆心的距离等于半径$r$，即$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$。
接下来我们来看一个例子，通过一个具体的问题来理解圆的标准式方程。
假设有一个圆心坐标为$(2, 3)$，半径为$5$的圆，我们要求这个圆的标准式方程。
根据圆的标准式方程，我们可以直接写出方程为，$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 5^2$。
这样，我们就得到了这个圆的标准式方程。
除了通过给定圆心和半径来求圆的标准式方程外，我们还可以通过其他方式来得到圆的标准式方程。
比如，如果我们知道圆上的三个点的坐标，我们就可以通过这些点来求出圆的标准式方程。
具体的做法是先利用这三个点的坐标来列方程，然后解方程得到圆的标准式方程。
在实际问题中，我们经常需要用到圆的标准式方程来解决一些几何和物理问题。
比如，在求解圆的切线、切点、交点等问题时，圆的标准式方程可以帮助我们简化问题，更快更准确地得到答案。
除了圆的标准式方程外，我们还可以通过其他方式来表示圆。
比如，我们可以用圆的一般式方程或参数方程来描述圆。
这些不同的表示方式在不同的问题中可能会更加方便和有效，因此我们需要根据具体情况来选择合适的表示方式。
总之，圆的标准式方程是描述圆的重要工具之一，它可以帮助我们更好地理解和使用圆。
通过本文的介绍，相信大家对圆的标准式方程有了更深入的了解，希望能够在实际问题中灵活运用，取得更好的成绩。
4.1.1圆的标准方程
1.圆的标准方程： 设圆心坐标为A(a,b)，圆上任 意一点M(x,y)，则|MA|=r，即： y r A o x M
√(x-a)2+(y-b)2=r
பைடு நூலகம்
(x-a)2+(y-b)2=r2
特别地，当圆心为坐标原点时， 圆的方程为：
x2+y2=r2
2.点与圆的位置关系：
设平面内任意一点坐标为A(x0,y0)，则圆C的圆心 坐标为O(a,b)，圆半径为r，则： A
4.1.1 圆的标准方程
(1)在平面直角坐标系中，两点确定 一条直线，一点和倾斜角也确定一条 直线，那么在什么条件下可以确定一 个圆呢？ 圆心和半径
(2)直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来 表示，怎样建立圆的方程呢? 建立平面直角坐标系 (3)若圆心坐标用A(a,b)表示,圆上有任意一点M(x,y),圆 的半径为r，如何列出等式？ |MA|=r
A O |OA|<r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
点M在圆C内
A
O |OA|=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M在圆C上
O |OA|>r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M在圆C外
例1 写出圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的方 程，并判断点M（5， -7），N（ 5 ，-1）是否在这 个圆上？ 例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B （7，-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程. 三角形的外心是三边中垂线的交点 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，-2)， 且圆心C在直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程.
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点与圆的位置关系
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将
这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程
成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆
上．
怎样判断点 圆外呢？
M 0 (在x0圆, y0 )
(x a)内2 呢( y？还b)2是在r2
y
如果设点M到圆心的距离为d,则可
M2
以看到： 点在圆上
23 2
解方程组
x 3y 3 0 x y 1 0
得
x 3,
y
2.
所以圆心C的坐标是 (3,2)
圆心为C的圆的半径长 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
故所求圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25
1.圆的标准方程
y
圆心C(a,b),半径r
(x a)2 (y b)2 r2
C
2.圆心
①两条直线的交点 ②直径的中点 O
（弦的垂直平分线）
C
3.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
小结
A
B
x
4.1.1圆的标准方程
一、引入新课
1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
定点 圆心 定长 半径
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确 定了．
因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的标准方程
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标
(a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与
2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r分别为（D）
A C（2，0） r = 2 B C（ – 2，0） r = 2
C C（0，2） r = 2 D C（2，0） r = 2
3、已知 M (5,7) 和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ，则点M在
（B）
A 圆内 B 圆上 C 圆外 D 无法确定
d=r ；
oxAFra bibliotekM3点在圆外 d > r ；
点在圆内 d <r ．
例1 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (x a)2 ( y b)2 r2 (1)
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所 以它们的坐标都满足方程（1）．于是
(5 a)2 (1 b)2 r 2
a2
(7 a)2 (3 b)2 r 2 b 3
(2 a)2 (8 b)2 r 2 r 5
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
待定系数法
练习：求以C(1,3)为圆心,并且和直线
3x-4y-7=0相切的圆.
y
解：设所求圆的半径为r
则：
r
| 31- 43 - 7 | 32 42
=
16 5
C
M
O
x
∴所求圆的方程为：
(x 1)2 (y 3)2 196 25
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2,
－2)，且圆心C在直线上l：x －y +1=0，求圆
心为C的圆的标准方程． y A(1,1)
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l : x y 1 0
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
( 3 , 1 ), 直线AB的斜率: 22
k AB
21 2 1
3
l 因此线段AB的垂直平分线 '的方程是
y 1 1(x 3) 即 x 3y 3 0
特别的：若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
练习
1、圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程为（ B ）
A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=5
圆心C (a,b) 的距离． 则 |MC|= r
y
M(x,y)
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r }
OC x
(x a)2 (y b)2 r
(x a)2 (y b)2 r2
圆的标准方程
圆的标准方程
圆心C(a,b), 半径r
y
M(x,y)
(x a)2 ( y b)2 r2 O C x