随机模拟技术

达 隔 在 钟 均 分 1-10 等 能 值 到 间 ： 1-10分 间 匀 布⇔在 中 可 取 标 1-10 牌 任 取 ⇔在 有 的 中 抽 务 间 在 钟 均 分 1-6 等 能 值 服 时 ： 1-6分 间 匀 布⇔在 中 可 取 ⇔掷 匀 骰 均 的 子
可用人工方法模拟系统当时的真实情况从而求解。 （用标有1 10的扑克牌及骰子分别得出用于模拟20名顾客 （用标有1-10的扑克牌及骰子分别得出用于模拟20名顾客 到达间隔与服务时间的一串数称为随机数，从而推知相关 结果。具体怎样做? 结果。具体怎样做?） 经考察开门后的20名顾客的被服务情况可知，20名顾 经考察开门后的20名顾客的被服务情况可知，20名顾 客在系统中的全部时间是68分钟，售货员空闲时间是55分 客在系统中的全部时间是68分钟，售货员空闲时间是55分 钟，而售货员从8点至9 57分在班上共117分钟。于是可 钟，而售货员从8点至9点57分在班上共117分钟。于是可 得：W =68/20=3.4(分钟） 得：WS=68/20=3.4(分钟） P0=55/117=0.47 （空闲率过大，可加以调整）
第三节 系统的模拟
一、排队系统的模拟
例4：有一单服务台的排队系统，根据经验资料知道到达的 间隔时间和服务时间的概率分布如下表，其他条件符合 标准情形。 到达 间隔 概 累积 对应随 率 概率 机数(a) 机数(a) 服务 时间 概 率 累积 对应随 概率 机数(b) 机数(b)
2 6 10 14
0.4 0.3 0.2 0.1
a
b
x
三、系统模拟法（是用数字对含有随机变量的系统进行 模拟，可看作是蒙特卡洛法的应用。一般说来，蒙特卡 洛法用于静态计算，而系统模拟法用于动态模型计算。 我们主要讨论此法。） 我们在排队论中讨论了M/M/C、M/G/1等系统，并 我们在排队论中讨论了M/M/C、M/G/1等系统，并 用解析方法得出了精确解。但对于到达与服务均为任意 分布的排队系统的求解就不可能用那一套公式和方法。
0.4 0.7 0.9 1.0
0.0-0.4 0.4-0.7 0Fra Baidu bibliotek7-0.9 0.9-1.0
1 3 5
0.4 0.4 0.2
0.4 0.0-0.4 0.8 0.4-0.8 1.0 0.8-1.0
(1)今由随机数表任选两组随机数 (1)今由随机数表任选两组随机数 RNa： RNa：902,321,211,021,198,383,107,799,439 RNb： RNb：612,484,048,605,583,773,054,853,313,200 试根据这两组随机数分别产生表示开始十位顾客的到达 间隔时间的随机数AT和表示服务时间的随机数ST。 间隔时间的随机数AT和表示服务时间的随机数ST。 (2)模拟这个排队系统的运行情况，这一阶段共运行多少 (2)模拟这个排队系统的运行情况，这一阶段共运行多少 分钟？ (3)求系统空闲的概率P (3)求系统空闲的概率P0。
3 3 1 3 3 3 1 5 1 1
0 14 17 18 21 24 27 28 36 42
3 17 18 21 24 27 28 33 37 43
11
3 5
解：先求出到达间隔与服务时间的累积概率。 解：先求出到达间隔与服务时间的累积概率。 （见上表）。然后求出AT，ST及求解(2)，(3)所 （见上表）。然后求出AT，ST及求解(2)，(3)所 需的有关数据。 求解结果： (1)AT与ST见表 (1)AT与ST见表 (2)系统此阶段（10位顾客）共运行43分钟 (2)系统此阶段（10位顾客）共运行43分钟 (3)空闲率P0=（11+3+5）/43=19/43=0.44 (3)空闲率P 11+3+5）
a b
f (x)
均 选 机 ， 算 于 线 阴 部 匀 随 点 计 落 曲 下 影 分 点 n， 矩 内 点 N。 见 近 的 数 及 形 总 数 易 ，
b n ∫ f(x)dx n a 似 有 = 的 ,∴∫ f(x)dx = c(b − a) a N c(b − a) N b
c
此 主 用 f(x) 很 杂 多 量 分 法 要 于 复 及 变 积 ， 当 也 用 解 随 型 题 ） 然 可 于 决 机 问 。
(3)由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数。 (3)由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数。 由于第i+1个随机数是由第i 由于第i+1个随机数是由第i个按一定公式推算出来的，故 并非真正的随机数。但满足： a）有较好的随机、均匀性。 b）周期长、重复性差。 c）算法过程不退化（即不能反复出现某一常数。） d）算法可再现，速度快。 故这是目前最常用的方法。
fR
1
0 1
F R
x
1
0 1
x
2.产生方法 2.产生方法 (1)物理方法：一是放射性物质随机蜕变；二是电子管回路的 (1)物理方法：一是放射性物质随机蜕变；二是电子管回路的 热噪声。（如可将热噪声源装于计算机外部，按其噪声电 压的大小表示不同的随机数。此法产生的随机性最好，但 产生过程复杂。） (2)查随机数表----”Rand Table”（1955年由美国兰德公司编 (2)查随机数表----”Rand Table”（1955年由美国兰德公司编 制，有随机数100万个。）随机数表中的数字具有均匀的 制，有随机数100万个。）随机数表中的数字具有均匀的 随机性，没有周期性。使用时，可根据需要任取一段（横 或竖）。如需20个，便可从中取（顺次）20个，需要几位 或竖）。如需20个，便可从中取（顺次）20个，需要几位 取几位，随机数表无所谓位数，不能四舍五入。
1定 ： R为 ， 均 分 的 机 量 . 义 设 [0 1]上 匀 布 随 变 ， 1 x ∈[0,1] 即 的 度 fR (x) = R 密 为 ， 他 0 其 0 x ≤ 0 R 分 函 为 R (x) = x 0 < x ≤1 的 布 数 F 1 x >1 则 的 本 ， 以 概 取 [0， R 样 值 即 等 率 自 1] 的 一 数 为 ， 均 分 的 机 。 串 称 [0 1]上 匀 布 随 数
模拟法分类 一、运筹对策法（主要用于军事对策和企业管理对策。如现 代化战争的军事演习、新式武器的试验等。最早于40年代末 代化战争的军事演习、新式武器的试验等。最早于40年代末 美国纽曼等人首先用运筹模拟法解决了核屏蔽实验问题。）
二 蒙 卡 法 这 一 特 的 值 、 特 洛 （ 是 种 殊 数 计 方 。 如 ∫ f(x)dx， 在 形 算 法 例 求 可 矩 内
例1：设某商店顾客到达的时间间隔均匀分布在1到10分钟之 设某商店顾客到达的时间间隔均匀分布在1 10分钟之 间，而每一顾客所需要的服务时间均匀分布在1 间，而每一顾客所需要的服务时间均匀分布在1到6分钟之 间。求顾客在商店所花费的平均时间和售货员空闲时间占全 部工作时间的百分比。 分析：到达与服务皆为均匀分布，不能利用M/M/C或 分析：到达与服务皆为均匀分布，不能利用M/M/C或M/G/1 的公式。但由于问题的特性：
随机模拟技术 随机模拟技术
第一节 引言
一、模拟的定义 模拟是一种数量技术，它利用计算机化的数学模型来 表现在某些不确定的条件下所做出的实际决策，来评价一 些根据事实及假设所建立的可供选择的行动方案。 二、模拟的意义 1.复杂的实际问题难于用解析理论处理，需要模拟方法提供 1.复杂的实际问题难于用解析理论处理，需要模拟方法提供 数值解。 2.理论研究中的某些假设或结论需要经实际系统来检验，计 2.理论研究中的某些假设或结论需要经实际系统来检验，计 算机模拟可代替费用昂贵的试验。
由此例我们初步了解了系统模拟的方法。其中 的重要步骤是得到一串关于系统中随机规律的随 机数，用以模拟系统的真实情况（故模拟也称仿 真），从而求解。而此例中均匀分布的随机数是 采用人工方法得到的，即麻烦又不可靠，且局限 性很大。所以我们还要寻求产生任意分布随机数 的一般方法。
第二节 随机数的产生
一 [0 1区 上 匀 布 机 的 生 、， 间 均 分 随 数 产 ]
顾 客 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
RNa AT 进入系 统时刻
RNb ST
服务时间 开始 结束
系统空 闲时间
— 902 321 211 021 198 383 107 799 439
— 14 2 2 2 2 2 2 10 6
0 14 16 18 20 22 24 26 36 42
612 484 048 605 583 773 054 853 313 200