浙江工业大学自动控制原理笔记

四、动态指标 (1)二阶系统传递函数的标准形： (2)，θ越大，ξ越小 (3)，，（Δ=5%或2%） 例7：如图，要求，试确定参数K，T。
解：， 则， 。由， ，可得ξ=？，T=？ 例8： 求：① 选择，，使得σ%≤20%，ts=1.8秒() ② 求、、，并求出时的稳态误差
解：① 由σ%≤20%，则，求得ξ≥… 由，求得≤。。。，从而得、。 ② 由传递函数：得， ，， 当时， 频率法 一、基本概念： ，输入是正弦信号，稳态输出。如：，
二、① 开环脉冲传递函数 闭环，特征方程 。 ②判断稳定性：用双线性变换，将其代入特征方程中，再用劳斯判据。 如果K给定，则直接解特征方程，若|z|<1则稳定，若|z|>1则不稳定。 ③，对参考输入有： ④求时，可以用两种方法： a）部分分式法；b）长除方法
G(s)
⑤z变换公式： 如： 非线性系统分析方法
G(s)
则 二、① 惯性环节 ，，
jw 0+ +∞ u
， ②，，
0+ +∞
， 则：， ， 注意： 因为
0+ +∞
③ ，（如图3）则
0+ +∞
④ ，（如图4） 求w1。因，故 两边取正切： ⑤ ，其中，（如图5）
0+
+∞
⑥ 增益裕量：，相位裕量：，如图6
注意：用求K；用求w1。 例1：，T1>T2，K=10，作出波德图 例2：[2002年题1] 求：(1)写出开环传递函数 (2)计算系统的相位裕量和增益裕量 (3)做出的Nyquist曲线，并分析闭环系统的稳定性 解：① 可见图中，因为幅频特性曲线在w1=0.5和w2=10时发生转折，显然w=2 时，曲线只在w1=0.5发生转折，而未到w2=10。故w2=10不发生作用，所 以，故 ② 相位裕量： 因为，则 ③：则Z=0，N=0，P=0。符合Z=P+N，故稳定 三、Nyquist判据 Z为闭环右半平面根数，P为开环右半平面根数，N为包围-1圈数，顺时 针为正，逆时针为负。当符合Z=P+N是系统稳定。其中Z=0 例3： 解：奈氏曲线如下图。N=2，P=0，Z=N+P=2≠0，故不稳定。 例4：，如图：N=2，P=0，Z=N+P=2≠0，故不稳定。 例5：，判断系统是否稳定。 分析：判断稳定性，用劳斯判据： ① 相邻系数必须为正，不能缺项 如： 。显然缺s项，故不稳定。 ② 劳斯阵列第一列全为正，则系统稳定。如果有一个负数，则变号２ 次，即系统有２个有根，不稳定。 ③ 系统如果与虚轴有交点，则劳斯阵有一行全为０，此行的上一行为 辅助多项式，由辅助多项式可求出与虚轴的交点坐标。如 ，劳斯阵为： ，则由于一行全为零。则系统与虚轴相交。辅助多项式为： ，则与虚轴的交点为。
继续化简，有：
当时，求得=。。。；当时，有 求得=… 例4： 令，求，令，求 为了完全抵消干扰对输出的影响，则 解：求，用用梅逊公式： 则：，同理求得=… 若完全抵消干扰对输出的影响，则干扰引起的输出应该为零。 即=0,故=0，所以
例5：[2002年题4] 其中 ，，r(t)和n(t)分别是参考输入和扰动输入。 (1)求误差传递函数 和； (2)是否存在n1≥0和n2≥0,使得误差为零？ (3)设r(t)和n(t)皆为阶跃输入，若误差为零，求此时的n1和n2 解： ①， ，[N(s)为负] ② r(t)=t,要求=0.则系统应为Ⅱ型系统,那么n1+n2=2. ③ r(t)=1(t),n(t)= 1(t),要求=0,则n1+n2=1 因为如,则 而事实上： 可见积分环节在部分中，而不在中。 故n1=1，n2=0。就可以实现要求 例6：如图，当时，求稳态输出 解：应用频率法： ，则
解：方法一：结构图化简
继续化简：
于是有：
结果为 其中=… 方法二：用梅逊公式 通路：
于是：
三、稳态误差
（1）参考输入引起的误差传递函数：； 扰动引起的误差传递函数： （2）求参考输入引起的稳态误差时。可以用 、、叠加，也可以用终值 定理： （3）求扰动引起的稳态误差 时，必须用终值定理： （4）对阶跃输入： ， 如，则， （5）对斜坡输入：， 如，则， （6）对抛物线输入：， 如，则， 例3：求：，令，求，令 解：结构图化简：
G(s)
注：1为sinwt；2为基波和高次谐波经过G（s）后剩下的基波。 一、分析方法： 二、描述函数法： ①闭环特征方程：，则 判断是否包围，包围则系统不稳定，不包围则稳定。 如同，判断是否包围-1，包围则不稳定，不包围则稳定。 ②负倒特性： A点不稳定,自激振荡 B点为稳定自激振荡，因有干扰时系统发散，则系统正好进入稳定区， 而系统稳定时要衰减，则系统又回到B点右边，又再次进入到不稳定 区，又要发散，然后又进入稳定区，如此反复，则系统始终稳定再B点 附近。 例1：如图。其中： ， 判断是否存在稳定的自激振荡？为消除自激振荡如何调整？ 解： 例2：
解： (1)显然有+3特征根，则系统不稳定 (2)由B阵知不完全能控，x1,x3能控，x2不能控；由C阵知不完全能观， x2,x3能观，x1不能观。 (3)能，因为x3时能控的，设，由 ， 因此有 (4)输出可控性矩阵，秩为1，可控。 例4 ：<2002年题2> ， 要求： (1)判断系统的稳定性 (2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并说明理由。 (3)能否通过状态反馈使闭环系统稳定？ (4)能否应用状态观测器？ 解：（1）显然ɑ>0，系统不稳定；ɑ=0边界状态；ɑ<0时系统稳定。 （2）因为-1时重根，由不是约当型，则用较稳妥的方法，即用可控性 矩阵。 ， 则秩为2 ，为不完全能观 （3）状态反馈要通过x3进行，则要能观测x3才行。当C3不为0时，可以 通过状态反馈使闭环系统稳定。 （4）系统完全能观，才可应用状态观测器。 例5：<2000年题5> 要求： (1)判断系统的稳定性 (2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并说明理由。 (3)能否通过状态反馈使闭环系统稳定？ (4)能否应用状态观测器？ 解：（1）显然有+1根，则系统不稳定 （2）不完全能控，x1可，x2不可 不完全能观，x1不可，x2可 （3）因为x1能控，则可以改成-1， 设 故 （4）不能，因为系统不完全能观 例6：<99年题五>
分离点与会合点：， 故：，则，得，可见根轨迹是圆弧。 证明：取圆弧上一点。 （应用辐角条件） 两边取正切： 可见是圆。 例3：
解：结构图化简,有: 闭环特征方程为 ,由此画根轨迹图。 也可以由，画根轨迹。 例4： 解：，， 则： ① α=1，α=9时，有一个分离点 ② 当α<1时，显然不稳定。 当α>9时，如取α=10，则， ，根轨迹如上图。 离散系统分析方法 一、采样定理 镜像作用,采样频率
解：，，则合成为：
则，变换成： 再画图分析…… 例3：[2002年题5]
其中：。 ①讨论参数T为系统自激振荡的影响 ②设T=0.25sec，求输出自激振荡的振幅和频率。 解：， 两者相切时，即频率特性G(jw)的虚部等于-1/N(X)，B点稳定，A点不稳 定。 此时， 李雅普诺夫稳定性理论 一、①李氏第一方法：线性化方法 ， 线性系统平衡状态只有一个；非线性系统平衡状态有多个。雅可比矩 阵： ，判断其稳定性用特征多项式，然后用劳斯判据。如果线性系统稳定， 则非线性系统稳定；反之，如果线性系统不稳定，则非线性系统不稳 定。 如果处于稳定边界（有纯虚根），则不能判定非线性系统的稳定性。 ②李氏直接方法：〈1〉克拉索夫斯基方法；〈2〉变量梯度法（不考） 二、对非线性系统在平衡状态处的稳定性问题的解题步骤： ①先用线性化方法： ，由得， 若：（1），则系统在平衡状态处是不稳定的； （2），则系统在平衡状态处是渐进稳定的。 （3），中至少有一个实部为0，则此方法失效。 ②否则，用克拉索夫斯基方法： ，，当Q(x)正定时，即当主子式均大于零时，且当时，有： ，则系统在平衡状态处大范围渐进稳定。 ③最后想到用李雅普诺夫第二方法：构造标量函数V(x)，例如： ，要求V(0)=0，x≠0,V(x)>0。 步骤：1、构造； 2、，将，代入，若为负定，半负定，，有。则系统在处大范围渐进稳 定。 例1：<2000年题6>使用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡 状态的稳定性。 解：线性化方法失效，则只好用克拉索夫斯基方法： ，则
2 2 2 -1 5 3
二、对型题的解答步骤： ①判断系统稳定性：，得，若则系统稳定，否则系统不稳定。 ②能控性判别矩阵：ห้องสมุดไป่ตู้， 若r(M)=n，即满秩，为完全能控，否则不完全能控。 能观性判别矩阵：，若为满秩，为完全能观，否则不完全能观。 注意：如果A是对角阵且没有重根时，则用直接观察的方法判别能控、 能观便可。若b中对应的值不为0，则此状态分量能控，若b中全不为0， 则为完全能控。若c中对应的值不为0，则此状态分量能观，若c中全不 为0，则完全能观。 如果A是对角阵且有重根，或是一般矩阵时，则必须用能控性判别矩阵M 和能观性判别矩阵N。 ③状态反馈：条件——所调整的极点对应的状态分量必须能控。 原理： ，引入，则有 解题方法：特征多项式=期望多项式，即 。 ④状态观测器<不考计算，因为太复杂> 条件：系统完全能观，才可用状态观测器 ⑤输出可控性矩阵：，若满秩，则输出完全可控，否则输出不完全可 控。 例3 、<2001年题5> 要求： (1)判断系统的稳定性 (2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并指出各状态分量的能控， 能观性 (3)能否用线性状态反馈将原有的极点-1，-2，3调整为-1，-2，-3？若 能请计算出K1,K2,K3的值；若不能，请说明原因。 (4)判断系统的输出可控性
解：劳斯阵： ，可见系统不稳定，有两个右根。 例６：， 解：劳斯阵： ，因为此处０不能往下计算，换成ε。 ，，故系统不稳定。 例７：〈2002年备考题〉单位反馈系统，开环传递函数， 要求：① 画出对数幅频特性，求，判断系统稳定性。 ② 加入矫正装置，使扩大一倍，求矫正后系统传递函数和相位裕量。 解：① 开环传递函数应由所给的零极点形式化成时间常数形式： ，由作图可得，由劳斯判据可知， ，缺项，则系统不稳定。 也可由， ，判定系统不稳定。 也可由零极点判断〈画图〉，不稳定。 ② 加入矫正装置是，即 （w1可由图中按比例读出），则。 例8：〈2001年备考题〉
自动控制原理笔记
一、 自动控制理论的分析方法： （1）时域分析法； （2）频率法； （3）根轨迹法； （4）状态空间方法； （5）离散系统分析方法； （6）非线性分析方法 二、系统的数学模型 (1)解析表达：微分方程；差分方程；传递函数；脉冲传递函数；频率 特性；脉冲响应函数；阶跃响应函数 (2)图形表达：动态方框图（结构图）；信号流图；零极点分布；频率 响应曲线；单位阶跃响应曲线 时域响应分析 一、对系统的三点要求： (1)必须稳定，且有相位裕量γ和增益裕量 (2)动态品质指标好。、、、σ% (3)稳态误差小，精度高 二、结构图简化——梅逊公式 例1、 解：方法一：利用结构图分析： 方法二：利用梅逊公式 其中特征式 式中： 为所有单独回路增益之和 为所有两个互不接触的单独回路增益乘积之和 为所有三个互不接触的单独回路增益乘积之和 其中， 为第K条前向通路之总增益； 为从Δ中剔除与第K条前向通路有接触的项； n 为从输入节点到输出节点的前向通路数目 对应此例，则有： 通路： ， 特征式： 则： 例2：[2002年备考题]
求：① 系统阻尼比ξ=0.5时, ②=0时，求σ%，、（） 解：①，则 ②=0时，，则， 于是，=…σ%=…
例9〈设计型题，较易，主要考概念〉 求：，①使时，；②使时， 解：① ，〈利用基本概念，不用计算〉 ② ，则 故：。 根轨迹法 一、定义： 〈①〉。
其中为根轨迹增益。开环放大倍数 闭环特征方程的根随参数而变化的轨迹，称为根轨迹。 其符合两个条件： 〈②〉几条规则：①实轴上的根轨迹 〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时，有根轨迹 〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时，有根轨迹 ②根轨迹条数=Max（n,m）， 起点为开环极点（），终点为开环零点（） ③渐进线条数：（n-m）条，与实轴交点坐标： 与实轴夹角：。 ④分离点与会合点：使，并使>0的点 ⑤复数极点出射角： 对非最小相位系统 复数零点的入射角： 对非最小相位系统 ⑥与虚轴交点： （a）用劳斯判据确定，用辅助方程求得 （b）代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0求得 例1： 解：渐进线（3条）：， 由，则， ，得 与虚轴的交点：方法一 ，劳斯阵： 要与虚轴有交点，则有一行全零，即 辅助方程： 方法二 将代入特征方程： ， 则与虚部的交点 根轨迹如下图 例2： 解：渐进线一条。出射角
且时，有 ，故此系统在原点处大范围渐进稳定。 例2：<2001年题6>试用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡 状态的稳定性。 解：用线性化方法： ， 状态空间分析方法 一、模型的建立 则， ，即： 令，则， 如对，令 则， 或 例1：由传递函数来求 ，则 ，
则 ，即 例2：， 有：即： 可见-2为重根，则此为约当标准型。约当块对应B阵中的行中有一列不 为零，则能控；约当块对应C阵中的列中有一列不为零，则能观。