函数的凹凸性

y log2 x 在 0 x 1内为凸函数。所以答案为 B。
点评:只要能作出这四个初等函数的草图,马上根据函数 的凹凸性可直接作结论.
典例 2.（05 北京理工科 13）．对于函数 f (x) 定义域中
任意的 x1 , x2 (x1 x2 ) ，有如下结论：
① f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
f
(
x 1
x 2
)
1
f (x ) f (x ) 则称函数 f (x) 是 R 上的凹函数，已知二次函
2
2
1
2
数 f (x) ax2 x(a R 且 a 0)，
（1） 求证：当 a 0 时函数 f (x) 是凹函数；
（2） 如果 x 0,1 时 f (x) 1，试求实数 a 的范围。
f
(x ) 故函数 2
f
(x) 是
凹函数。
（2）由 f (x) 1 1 f (x) 1 1 ax2 x 1 ①
ax2 x 1
当
x
0时， a R ，当
x (0,1]时①即 ax2
x
恒成立
1
a 即
a
1
x2 1
1
x 1
(1 1)2 x2
(1 1)2 1
1 4
恒成立，当
x (0,1]时
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
2、对数函数 y loga x (a 0,a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
3、幂函数
解析：（1）对任意的
x, 1
x 2
R,
a
0
，
f (x ) 1
f (x ) 2
2
f
(
x 1
x 2
)
＝
2
ax2 1
x 1
ax2 2
x 2
2a(
x 1
2
x 2
)2
x 1
2
x 2
ax2 1
ax2 2
1 2
a(x2 1
x2 2
1
＝
2
a(x 1
x )2 2
0 ，
f
x (1
2
x 2)
1f
2
(x ) 1
C
B
定义: 若曲线段向上（下）弯曲，
则称之为凹（凸）的。
A
o
x
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段（的中点）
位于所张弦的下方。
o x1
x2 x
图形上任意弧段（的中点）
位于所张弦的上方。
二、曲线的凹凸性与拐点
y
C
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
典例 1. （05 湖北卷）
在 y 2 x , y log2 x, y x2 , y cos 2x 这 四 个 函 数
中 ， 当 0 x1 x2 1 时 ， 使
f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 恒成立的函数的个数
2
2
是（ B ）
A．0 B． 1 C．2 D．3
B
y
y f (x) f ( x1) f ( x2 )
2
f ( x1 )
f ( x1 x2 ) 2
f (x2 )
o
x x1
x1 x2 2
x2
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
A
o
x
y
f ( x1 x2 ) 2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
f ( x1 )
f (x2 )
o
2
2
作
DC
x
轴交
f
(x)
于
D（
x1
2
x2
,
yD )
D
在
f (x)
上
有
：
yD
f
( x1
2
x2
)
yC
f (x1) f (x2 ) 故④不正确 2
点评:本题主要考查了 f (x) lg x 函数运算性质以及直
线斜率应用,题目较综合.判断④不正确也可直接利 用函数图象的上凸性作结论.
定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 ： 如 果 对 任 意 x , x R 都 有 12
② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
1 x
1，
x2 x x 2 4
当 1 1时， (1 1)2 1 取得最大值 2， (1 1)2 1 取得最小值0
x
x2 4
x2 4
2 a 0 结合 a 0，a [2,0)。
指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的凹凸性。
1、指数函数 y a x (a 0, a 1) y e x
函数的凹凸性
一、曲线的凹凸性与拐点
一、曲线的凹凸性与拐点
如图，观察抛物线 y x2 , y x ，它们
在区间[0，1]上都是单调增加的，但弯曲的方向
不一样。
y
这说明，在研究函数的图形时，
仅知道他们的单调性是不够的， 1
还需要考察曲线的弯曲方向及 扭转弯曲方向的点。
o1
x
二、凹凸与拐点的定义 y
直接验证即可②满足题意 对于③④如右图所示：
对于 f (x) lg x 图象上任意不同
两点 A(x1, f (x1))B(x2, f (x2 ))
k AB
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
显然成
立（可
以用
f '(x) 1 0(x 0) ）故③正确 x ln10
再有 AB 中点 C（ x1 x2 , f (x1) f (x2 ) ) 过 C
解析:答案为 B。要使 f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 恒成
2
2
立，由函数值的定义及函数图象即需要函数在 0 x 1
内为凸函数。而 y 2x , y x2 在 0 x 1内为凹函数，
y cos 2x 在 0 x 1 内 先 凸 后 凹 函 数 。 只 有
的研究函数的一个概念，是用来研究函数图象的变化趋 势的。
【高考联接】在高考中常借助函数的凹凸性来考查基
本初等函数的图象及性质，这一知识点常渗透在与函数 的图象与性质的选择填空题中。经常与高中所学的函数、 三角、不等式知识相结合。此类问题的常规处理思路有 数形结合法、导数分析法、增量分析法、估猜法等。
x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) wenku.baidu.com恒有
图形是凹的; (2) 若恒有
图形是凸的 .
yyy
连续曲线上有切线的凹凸分界点
称为拐点 .
ooo
则称 则称
xx11
xx11xx22 22
xx22
xxx
【知识背景】函数的凹凸性是高等数学的数学分析中