《直线与平面垂直的性质》教学设计

《直线与平面垂直的性质》教学设计

教学内容

人教版新教材数学第二册第二章第三节第3课

教材分析

直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

学情分析

1.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。

2.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。

教学目标

1.知识与技能

（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.

（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.

2.情感态度与价值观

（1）发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.

（2）让学生亲从问题解决过程中认识事物发展、变化的规律.

教学重、难点

1.重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。

2.难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

教学理念

学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者.

设计思路

直线与平面垂直的性质定理是判定线线平行的有效方法，学生学习的重点是直线与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理的应用，强调直线与平面垂直的性质定理证明中反证法的学习，应让学生清楚，对于一些条件简单而结论复杂的问题或正面较难证明的

问题，可考虑用反证法；教学中要引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决，线面垂直问题转化为线线垂直问题来解决，这种转化的数学思想方法在立体几何的证明和解题中体现的尤为明显。

教学过程

（一）复习引入

师：判断直线和平面垂直的方法有几种？

生：定义、例题2结论、判定定理。

师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？

生：若能确定直线与平面内任意一直线垂直，则运用定义说明。

若能说明所证直线和平面内的一条直线平行，则可运用例题结论说明。

若能说明直线和平面内两相交直线垂直，则可运用判定定理去完成判定。

师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？

判断下列命题是否正确：

1、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

2、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

3、垂直于同一平面的两直线互相平行。

4、垂直于同一直线的两平面互相平行。

师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？

（二）创设情景

如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、

C C′、

D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什

么位置关系？

（三）讲解新课

例1 已知：aα

⊥。求证：b∥a

⊥，bα

师：此问题是在aα

⊥的条件下，研究a和b

⊥，bα

是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难。而利用反证

法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b’的作出,

这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知

道下,学生尝试证明,稍后教师指正.

生:证明:假定b 不平行于a,设O b =⋂α, b ’是经过点O 的两直线a 平行的直线. a ∥b ’, a α⊥,∴ b ’ α⊥

即经过同一点O 的两直线b ,b ’都与α垂直,这是不可能的,因此b ∥a.

有了上述证明,师生可共同得到结论.:

直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.

//.

=== // ////= //l l a l A l

B A a b B l B c l l a l c

l a l c

a c a c a

b a b A αββαβαγβ

βγβγαγββ

ββ

αβ

⊥⊥∈⊂∈∴⊥∴⊥⊥⊥⊥∴⊄⊂∴∴例2.已知，，求证证明：设，在内过点取两条直线和且与相交，设，同理在平面中：，又，，同理又 （四）课堂练习

课本７９页：1、2. 拓展练习：设直线a,b 分别在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中两个不同的平面内, 欲使b ∥a,a 、b 应满足什么条件？

分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a 、b 满足的条件。

解：a 、b 满足下面条件中的任何一个，都能使b ∥a

（１）a 、b 同垂直于正方体的一个面

（２）a 、b 分别在正方体两个相对的面内且共面。

（３）a 、b 平行于同一条棱。

（４）Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为B ′C ′、ＣC ′、ＡA ′、ＡＤ的中点，

ＥＦ所在直线为a ，ＧＨ所在直线为b ，等等。

（五）课堂小结

本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法。直接证法长依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法。关于直线与平面垂直的性质定理的证明，教材采用反证法，学生理解上会有一定的困难，教学时应注意引导学生理解反证法的反设、归谬，进而得到要证的结论。 γ a b l A α B c

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