《直线与平面垂直的性质》教学设计
高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》教学设计 (1)
《直线与平面垂直的判定》教学设计一．教材分析直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况．它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备．因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容．本节课主要研究了直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们初步应用，在此过程中蕴含着丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想．判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务．二．学情分析从学生已有的认知基础来看，学生已经学习了空间中的平行关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.从学生能力来看，学生学习的困难主要有以下两个：1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的．所以在设计教学时，首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性．2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件的确认．所以，在教学过程中，通过折纸试验，精心设置问题，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．并且引导学生通过操作、摆出反例模型，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．三．目标分析教学目标：1．通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能对它们进行简单的应用.2．通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用.3．让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观点.教学重难点：教学重点是直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用．教学难点是对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．四．教学策略本课在设计上采用了由感性到理性、从具体到抽象的教学策略.同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点.教法:问题引导、启发探究和归纳总结相结合学法:教学手段:教学流程：五．教学过程Ⅰ．创设情境生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？①如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等.②将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系.活动设计：学生举例,教师通过PPT，展示生活中一些线面垂直的例子，引导学生观察直线与平面垂直的情况.【设计意图】从实例到图片，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备.数学源于现实，从日常生活中碰到的的问题，引导学生对实际问题进行数学抽象，激发学生学习兴趣和求知欲，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.Ⅱ．观察归纳自主探究Array（1）直线与平面垂直的定义请同学们回忆一下圆锥的形成过程.我们经常说“立竿见影”．在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子．如果某一时刻，你发现竿与影所成的角不是直角，是否可以断定竿发生了倾斜？问题1：①竿所在直线和地面影子所在直线是什么位置关系?②竿所在直线和地面内任意一条直线是什么位置关系?问题2：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义.定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直,记作：lα⊥,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线l与平面α垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.活动设计：多媒体演示：①圆锥的形成过程；②旗杆与它在地面上影子的位置变化.【设计意图】结合几何直观感知，学生就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义并让学生体会到线面垂直的本质是直线与平面内任意一条直线垂直.问题3：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？②如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线是否与这个平面内的任何直线都不垂直? ③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ 【设计意图】在问题3中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：通过对概念的辨析,深化理解,同时得到线面垂直的一个性质. （2）直线与平面垂直的判定定理探究:准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）问题4：①如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面α垂直？②由折痕AD BC ⊥，翻折之后垂直关系，即AD CD ⊥，AD BD ⊥发生变化吗？由此你能得到什么结论？定理：与此平面垂直.用符号语言表示为：【设计意图】引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的判定定理．让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性.由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理.因而在探索直线与平面垂直判定定理过程中，安排学生动手实验，讨论交流、为便于b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα图1D CA B图2DBAααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,Cab\αmnAB C D αAA 'BB 'C 'DD '学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，并通过问题让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力.思考：如图，有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂有两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把 它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上),C D .如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 练一练:1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边； ②梯形的两条边； ③圆的两条直径； ④正六边形的两条边．试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由. 2.判断正误:如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ( )Ⅲ．数学运用 深化认识例题: 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．证明：在平面α内作两条相交直线m ，n ． 因为直线a α⊥，根据直线与平面垂直的定义知,a m a n ⊥⊥．又因为b ∥a 所以m b ⊥，n b ⊥．又因为α⊂m ，α⊂n ，m ，n 是两条相交直线， 所以α⊥b ．如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直．练一练：1.如图，空间中直线l 和三角形的两边AC ,BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（ ）A .平行B .垂直C .相交D .不确定2.探究：如图，直四棱柱////ABCD A B C D -（侧棱与底 面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么 条件时,///A CB D ⊥？AVBC K【设计意图】通过对例题和习题的探究，培养学生的正、逆向思维能力，强化学生灵活运用线面垂直的定义和判定定理进行线线垂直和线面垂直之间转化的能力. 同时，例题为我们提供了判定线面垂直的又一种方法. Ⅳ．回顾反思 拓展延伸课堂小结:线面垂直的定义线 线面垂直的判定定理作业布置：1.判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）正方体''''ABCD A B C D -中，棱'BB 和底面ABCD 垂直．（2）正三棱锥P ABC -中，M 为棱BC 的中点，则棱BC 和平面PAM 垂直．2.如图，圆O 所在一平面为α，AB 是圆O 的直径，C 是 圆周上一点,且PA AC ⊥, PA AB ⊥,求证： （1）PA BC ⊥； （2）BC ⊥平面PAC ；（3）图中哪些三角形是直角三角形.3.如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =．求证：VB AC ⊥．D'B'DBAM PABA C EF K V 线线垂直线面垂直如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．变式引申 如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，K 是AC 的中点．若E 、F 分别是AB 、BC 的中点，试判断直线EF 与平面VKB 的位置关系．【设计意图】小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一 方面，更是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训.六．板书设计。
直线与平面垂直的判定教学设计
“直线与平面垂直的判定〃教学设计一、内容和内容解析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的根底，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。
直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直。
定义中的“任意一条直线〃就是“所有直线〃。
定义本身也说明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线。
直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性。
对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括〃的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究那么遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用〃的认知过程展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，开展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力。
同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题〃，“无限问题转化为有限问题〃，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化〃。
教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
二、目标和目标解析目标：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。
目标解析：1、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。
2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理。
3、能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直。
《空间中的垂直关系：直线与平面垂直》参考教案
βαm la αaα 1.2.3 直线与平面垂直教学目的：1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定、性质定理解决问题 .教学重点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用. 教学难点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ⊂α，a ⋂α=A ，a//α.2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.二、研探新知1.观察实例,发现新知现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。
2.实例研探,定义新知探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案要求：1. 学生年级：高中数学或几何学课程2. 课时：1课时3. 主题：直线与平面垂直的性质教学目标：1. 了解什么是直线与平面垂直的几何关系；2. 掌握直线与平面垂直的判定条件；3. 能够解答直线与平面垂直相关的数学问题。
教学准备：1. 平面几何教材；2. 黑板、白板或投影设备；3. 教学PPT或展示素材。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入问题：什么是直线与平面垂直的几何关系？- 引导学生回顾直线与平面的定义，根据直观经验，直线与平面垂直表示什么意思？2. 探究（10分钟）- 提示学生思考：如何判定一条直线与一个平面垂直？- 引导学生尝试给出判定准则，并解释其原理。
- 让学生讨论并交流，引导他们总结判定直线与平面垂直的条件。
3. 讲解（15分钟）- 结合学生的讨论结果，给出判定直线与平面垂直的条件，并用几何公式或示意图进行解释。
- 强调判定条件的重要性并给出几个典型的示例。
4. 示例分析（10分钟）- 提供一些例题或实际问题，让学生运用所学的知识判定直线与平面之间的垂直关系。
- 引导学生分析和解答问题，让他们积极思考并应用所学知识。
5. 拓展应用（10分钟）- 提供一些更复杂或具有挑战性的问题，让学生应用所学知识解决。
- 引导学生思考解决问题的方法和步骤，并鼓励他们进行讨论和合作。
6. 小结（5分钟）- 总结本节课所学的内容和思考问题，并强调直线与平面垂直的判定条件。
- 提醒学生复习和巩固所学的知识，并鼓励他们提出对直线与平面垂直性质的理解和感悟。
教学延伸：如果时间允许，可以让学生进行实践活动或小组讨论，进一步探究直线与平面垂直性质的应用。
可以使用动画或虚拟现实技术来展示直线与平面垂直的几何关系，以增加学生的兴趣和参与度。
直线与平面垂直的判定 说课稿 教案 教学设计
直线与平面垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义．(2)通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．(3)理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题．2．过程与方法(1)通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力．(2)在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．(3)尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．3．情感、态度与价值观经历线面垂直的定义和定理的探索过程，培养严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．●重点难点重点：直线与平面垂直的定义和判定定理．难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．重难点突破：以日常生活中见到的线面垂直的实例为切入点，通过“展示物体的支架图片直观感知”和“折纸的操作探究”两条途径让学生经历由特殊到一般，由具体到抽象，让学生增加线面垂直的感性认识的同时突出重点、突破难点．(教师用书独具)●教学建议直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展．也是连接线线垂直和面面垂直的纽带，在教材中起到了承上启下的作用．鉴于本节知识的特点，建议采用“启发—探究”的教学方法，先利用投影仪展示多幅图片，使学生直观感知线面垂直的定义；紧接着让学生动手参与折纸试验，并对试验现象进行观察分析和归纳概括；通过一系列的双边活动，帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过渡，从而完成定义的建构和定理的发现．最后通过典例及变式训练突出线面垂直判定定理的应用．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何定义直线与平面垂直？⇒引导学生通过观察图片及身边的事物，直观感知线面垂直并归纳出线面垂直定义.⇒通过引导学生动手实验理解线面垂直的判定定理.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握线面垂直的判定定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与平面所成角的求法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.了解直线与平面垂直的定义．(重点) 2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点、难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(重点、易错点)直线与平面垂直的定义在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线什么关系？【提示】垂直．直线与平面垂直的定义文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，ll⊥α叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足直线和平面垂直的判定定理【问题导思】将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．1．折痕AD与桌面一定垂直吗？【提示】不一定．2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？【提示】当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba⊂αb⊂αa∩b＝P⇒l⊥α直线与平面所成的角图2－3－11．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．2．范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.3．画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是∠P AO.直线和平面垂直的定义下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路探究】 与线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行对照，区分异同，分析条件变换的影响，辨析正误．【自主解答】 ①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；②由定义知正确；③中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定义知也与两底边所在直线垂直，所以正确；④中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确．故选B.【答案】 B1．直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．2．由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .有下列说法：①如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任意直线都不垂直． ②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ③过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 且垂直于a 的平面内． 其中错误的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解析】 ①直线与平面平行，过该直线任作平面与已知平面相交，则直线与交线平行，可知平面内与交线垂直的所有直线都与已知直线垂直，①错误；②如果平面内的无数条直线是平行的，那么就不能得到直线和平面垂直的结论，②错误；③因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以过点A 与直线a 垂直的直线都在过点A 且与a 垂直的平面内，③正确．【答案】 A线面垂直的判定在平面α内有直角∠BCD ，AB ⊥平面α，求证CD ⊥平面ABC . 【思路探究】AB ⊥平面α――→定义AB ⊥CD ――→判定CD ⊥平面ABC BC ⊥CD ――→垂直关系∠BCD ＝90°【自主解答】如图所示．⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AB⊥αCD⊂α⇒AB⊥CD∠BCD＝90°⇒BC⊥CDAB∩BC＝B⇒CD⊥平面ABC1．使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．2．线面垂直的定义具有双重作用：判定和性质，证题时常用它作为性质使用，即“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线”．如图2－3－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O 是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.图2－3－2【证明】∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.求直线与平面所成的角1111图2－3－3(1)求A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角； (2)求A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角．【思路探究】 (1)找A 1B 在平面AA 1D 1D 内的射影，即为A 1A . (2)找A 1B 在平面BB 1D 1D内的射影←证A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ←正方体的性质【自主解答】 (1)∵AB ⊥平面AA 1D 1D ， ∴∠AA 1B 就是A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角，在Rt △AA 1B 中，∠BAA 1＝90°，AB ＝AA 1， ∴∠AA 1B ＝45°，∴A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角是45°. (2)连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO ， ∵A 1O ⊥B 1D 1，BB 1⊥A 1O ， ∴A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠A 1BO 就是A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角， 设正方体的棱长为1，∴A 1B ＝2，A 1O ＝22. 又∵∠A 1OB ＝90°，∴sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝12，∴∠A 1BO ＝30°.∴A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角是30°.1．求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．2．在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．如图2－3－4所示，Rt △BMC 中，斜边BM ＝5，它在平面ABC 上的射影AB 长为4，∠MBC ＝60°，求MC 与平面CAB 所成角的正弦值．图2－3－4【解】 由题意知，A 是M 在平面ABC 内的射影， ∴MA ⊥平面ABC ，∴MC 在平面CAB 内的射影为AC .∴∠MCA 即为直线MC 与平面CAB 所成的角． 又∵在Rt △MBC 中，BM ＝5，∠MBC ＝60°， ∴MC ＝BM sin ∠MBC ＝5sin 60°＝5×32＝532. 在Rt △MAB 中，MA ＝MB 2－AB 2＝52－42＝3.在Rt △MAC 中，sin ∠MCA ＝MA MC ＝3532＝235.即MC 与平面CAB 所成角的正弦值为235.因考虑不周全致误已知平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，A 、B 两点在平面α内的射影之间的距离为3，求直线AB 和平面α所成的角．【错解】 如图，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.由点A 向BB 1作垂线，垂足为H ，则AB 与平面α所成的角即为AB 与AH 所成的角，即∠BAH 为AB 与平面α所成的角．在Rt △BHA 中，AH ＝A 1B 1＝3， BH ＝BB 1－AA 1＝1，∴tan ∠BAH ＝BH AH ＝13＝33，∴∠BAH ＝30°，∴AB 与平面α所成的角为30°.【错因分析】 上述错解的原因是思维不周密，没有考虑问题可能出现的其他情况． 【防范措施】 平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，首先应想到A 、B 两点与平面α的位置关系，可分点A 、B 位于平面α的同侧和点A 、B 位于平面α的异侧两种情况分别求解．【正解】 ①当点A 、B 在平面α的同侧时，由以上知直线AB 与平面α所成的角为30°. ②当点A 、B 位于平面α的异侧时，如图，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，AB 与平面α相交于点C ，A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∴∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成的角． 在Rt △BCB 1中，BB 1＝2， 在Rt △AA 1C 中，AA 1＝1.∵△BCB 1∽△ACA 1，∴BB 1AA 1＝B 1CCA 1＝2，∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233，∵tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°，∴AB 与平面α所成的角为60°.综合①、②可知：直线AB 与平面α所成的角为30°或60°.小结1．线面垂直的定义具有双重性，既可以由线面垂直得出线线垂直，也可以由线线垂直得出线面垂直．2．求线面角的关键是找直线在相应平面内的射影，并借助直角三角形的边角关系求线面角．3．线线垂直和线面垂直体现了知识间的互化，在学习中体会等价转化思想．。
人教版高一数学教案-直线与平面垂直性质及应用
教案（2）如图，已知直线a ，b 和平面α. 如果a ⊥α， b ⊥α，那么直线a 与b 一定平行吗？直观观察，这两个问题中的直线都是相互平行.不失一般性，我们以问题（2）为例加以证明. 由于无法把两条直线a ，b 归入到一个平面内，所以无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4（即平行于同一条直线的两条直线平行），在这种情况下我们采用一种特殊的证明方法，叫做“反证法”. 证明：如图，假设b 与a 不平行，且b ∩α于点O .显然点O 不在直线a 上，所以点O 与直线a 可以确定一个平面， 在该平面内过点O 做直线//b a '，则直线b 与b ' 是相交于点O 的两条不同直线， 所以直线 b 与 b ' 可以确定一个平面β. 设αβ=c ，则点O 在直线c 上. 因为a ⊥α，b ⊥α， 所以a ⊥c ，b ⊥c.又因为//b a '，所以 b c '⊥.这样在平面 β 内，经过直线c 上同一点O 就有两条直线b ，b '与c 垂直，这显然不可能.所以假设不成立，因此b // a . 证明完毕.上述证明过程就是反证法，它的基本证明流程是：首先假设命题不成立，然后推导出矛盾，说明假设不成立，进而得出命题成立.反证法是间接论证的方法之一，也称为“逆证”. 它是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难时，用反证法会收到更好的效果.同学们，你们还有不同的证明方法吗？让我们看一看，从另一个角度如何证明：方法2 如图，假设b 与a 不平行，且b ∩α于点O ，显然点O 不在直线a 上， 所以点O 与直线a 可以确定一个平面β， 在β内过点O 做直线//b a '，则b α'⊥，因为b ⊥α，且直线b '与b 相交于点O ， 这与过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条矛盾. 所以假设不成立，因此b // a. 证明完毕. 通过问题（2）的证明，同学们，你能否总结一下，垂直于同一个平面的两条直线，具有怎样的位置关系呢？ 直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行. 同学们，你能用图形语言和符号语言，表示定理的内容吗？ 图形表示和符号表示： //.a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ 直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条 直线与一个平面垂直，判定这两条直线互相平行. 它揭 示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.巩固练习（一）：1、直线l1，l2互相平行的一个充分条件是（）（A）l1，l2都平行于同一个平面；（B）l1，l2与同一个平面所成的角相等；（C）l1，l2都垂直于同一个平面；（D）l1平行于l2所在的平面.2、两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（）（A）两个角均为锐角（B）一个角为0°，一个角为90°（C）两个角均为0°（D）两个角均为90°3、如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，且EF=12PD，G，H分别为PC，DC中点. 求证：FG//平面ABCD.请同学们回忆一下，空间中直线与平面的位置关系有哪些呢？三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.思考：在aα⊥的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论呢？证明：因为直线b在平面α外，所以假设b与α相交.若b⊥α ，因a⊥α，由线面垂直性质定理，则有a // b，这与已知a ⊥b 矛盾；若b 与α不垂直，设b A α= 取直线b 上一点P ，作PO ⊥α ，垂足为O ．连接AO ，则有PO //a ，且PO ⊥AO ．又因为a ⊥b ，所以PO 垂直b ，显然不成立. 综上，假设不成立，所以b // α.我们可以把结论这样描述：已知a ⊥α ，若b ⊄α ，且b ⊥a ，则b //α. 这样我们又得到一个判断直线与平面平行的方法.如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论呢？证明：在平面α内任取两条相交直线m ，n .⊥α//β，⊥m //β，n //β. 由线面平行性质，⊥在平面β内存在两条相交直线m n ''，，分别与m ，n 平行.⊥a ⊥α，⊥a ⊥m 且a ⊥n .⊥a m a n ''⊥⊥，.又 m n ''，是平面β内两条相交直线， ⊥a ⊥β.我们可以把结论这样描述：已知a ⊥α ，若β//α ，则a ⊥β.这样我们又得到一个判断直线与平面垂直的方法.上述两个问题，不仅呈现出线面垂直的性质，而且还体现了，“平行”与“垂直”之间可以进行相互转化，同学们要认真思考，可以尝试着提出更多的问题，发现更多的结论.例题： 如图，直线 l 平行于平面α，求证：直线l 上各点到平面α的距离相等.分析：要证明直线l 上各点到平面α的距离都相等，只需证明直线l 上任意两个点，到平面α的距离相等，具体证明如下：证明：过直线l 上任意两点A ，B 分别作平面α的垂线AA 1，BB 1，垂足分别为A 1，B 1.11,AA BB αα⊥⊥，11//AA BB ∴，于是直线AA 1，BB 1确定一个平面. 设直线AA 1，BB 1确定的平面为11,A B ββα=11//,//l l A B α∴ ，所以四边形AA 1B 1B 是矩形. 11AA BB ∴= 由A ，B 是直线l 上任取的两点，可知直线l 上各点到平面α的距离相等.当一条直线与一个平面平行时，直线上所有点到平面的距离都相等，此时，我们把这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.当两个平面平行时，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.随堂检测：如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC=CC 1=1.（1）直线A 1B 1到平面ABCD 的距离为多少？ （2）直线A 1A 到平面BCC 1B 1的距离为多少？ （3）直线CC 1到平面BDD 1B 1的距离为多少？（4）若E 为A 1B 1中点，判断直线A 1C 与平面BEC 1是否平行，若平行，求出直线A 1C 到平面BEC 1的距离；若不平行，请说明理由. 通过这几个题目，我们不难看出，在研究直线到平面的距离时，一般都转化成求点到平面的距离. 同学们在解题时要有这种转化意识. 同学们请想一想，前面我们学习过棱柱、棱台，在它们的体积公式中，哪个量代表着上、下底面间的距离呢？ 棱柱、棱台的高是它们上、下底面间的距离. 例题 推导棱台的体积公式: 1().3V h S S S S ''=++棱台其中S '，S 分别是棱台的上、下底面面积，h 是高. 棱台可看作由某个棱锥截得，所以我们先计算“截得棱台的棱锥的体积”，再减“去掉的棱锥的体积”，进而得到棱台的体积. 具体过程如下： 如图，延长棱台各侧棱交于点P ，得到截得棱台的棱锥.过点P 作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、4、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C中点，MN⊥平面A1DC. 求证：MN//AD1.证明直线与直线平行，常用的几种方法：（1）平行公理；（2）线面平行性质定理；（3）线面垂直性质定理；（4）面面平行性质定理；5、如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α ，垂足为A，EB⊥ β ，直线a β ，a⊥AB. 求证：a//l.小结：作业1如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点，求证：DF//平面ABC.作业2我们已经研究了空间直线与直线、直线与平面的垂直问题，接下来你还想研究什么问题？怎样去研究呢？【课后作业参考答案】证明：取AB中点G，连接FG，CG.∵F是EB的中点，∴FG//AE，且FG=12 EA.∵EA和DC都垂直于平面ABC，由线面垂直性质定理∴EA//DC，且EA=2DC.∴FG//DC，且FG=DC.∴四边形CDFG为平行四边形.∴DF//CG.又∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，∴DF//平面ABC.。
直线与平面垂直的性质教案、反思.docx
直线与平面垂直的性质学习目标：探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力; 掌握性质定理的应用，提高逻辑推理能力。
重点、难点：直线与平面垂直的性质定理及其应用知识储备（判断正误）（1）已知平面a,点A 和直线m 在a 内，过点A 作直线m 的垂线只能作一条。
（）⑵已知直线a 在平面a 内，直线m 不在a 内，若m 丄a,贝!j m 丄a 。
（）二. 猜想、论证 1 •注意观察下图，在长方体ABCD —AECD 中，棱AA 】、BB 】、CC 】、DD 】与平面ABCD 是 .各侧棱之间是 。
4.思考：通过上题的证明你能得出什么结论?三、归纳直线与平面垂直的性质定理 定理：（文字语言）（图形）（符号语言）四、直线与平面垂直的性质的应用（一）判断下列命题的正误。
1 •平行于同一直线的两条直线互相平行（）2•垂直于同一直线的两条直线互相平行（）3 •平行于同一平面的两条直线互相平行（）2•如果有两条、三条或更多直线 垂直于一个平面，则这些直线 之间会有怎样的位置关系?3.如图，已知直线a, b 和平面a A B站色如果a 丄a ,4•垂直于同一平面的两条直线互相平行()A1个B2个 C3个 D4个(三) 证明 1.如图,m,斤是两条相交直线，1、,厶是与加，〃都垂直的两条直线, 且直线/与厶，厶都相交.求证：Z1=Z2求证：a I II五、通过本节学习，你有什么收获？1直线与平面垂直的性质定理：2反证法的证明思路：反设一归谬一结论3数学思想方法：转化法空间问题平面化(二) 如果直线/丄平面66 ⑴若直线加丄则加/仏 ⑶若直线加Ila,则加丄/. 其中正确的有几个(2)若直线zn u a,贝I"丄m.(4)若直线加丄/,则加Ila.C B 丄0, A, B 是垂足0,且 a Cl /3 = I, C A 丄 a, a cz a . a 丄 A Br直线与平面垂直的性质教学反思教师是学生学习的组织者、促进者、合作者；在本节的备课和教学过程中，为学生的动手实践、自主探索与合作交流提供机会，搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题，尊重学生的个人感受和独特见解。
直线与平面垂直的判定的教学设计
直线与平面垂直的判定的教学设计一、教材分析本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用．直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线（无一例外）都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行．直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的．本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想．直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础．重点: 直线与平面垂直的定义和判定定理难点：直线与平面垂直的判定定理二、学情分析本节课安排在立体几何的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义，进而通过辨析讨论，深化对定义的理解．进一步，在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理，并在教师的指导下，通过动手操作、观察分析、自主探索等活动，切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法．继而，通过课本例1的学习概括直线与平面垂直的几种常用判定方法．再通过练习与课后小结，使学生进一步加深对直线与平面垂直的判定定理的理解．三、教学目标1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.四、教学活动1. 从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”．问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义．2.提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念．（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则)设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法．通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法．3.探究直线与平面垂直的判定定理创设情境猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理．师生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（组织学生动手操作、探究、确认）设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直．问题6：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内．问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线．问题7：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法．（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）问题8：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通过提出“为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解．4.直线与平面垂直判定定理的应用如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．（分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面）设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．练习：如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？设计意图：例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用．变式（1）在例2的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；变式（2）是对例1判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理．3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通．5.小结回授（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述．（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？设计意图：以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括．6、作业1．课本P73探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．2．如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形．五、板书设计六、教学评价本节主要从实际背景出发，让学生了解、感受直线和平面垂直的概念，体会探究判定直线和平面垂直的方法。
线面垂直的判定定理-教学设计
《线面垂直的判定定理》教学设计一、内容解析：《直线与平面垂直的判定》是高中新教材人教A版必修2第2章的内容，本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。
直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条垂直转化为只要与两条相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。
本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。
线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。
教学重点和难点《课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；又考虑到学生的认知水平所以我将本节课的教学重点确立为：操作确认并概括直线与平面垂直的定义及判定定理。
教学难点确立为：概括出直线与平面垂直的定义及判定定理，定理的初步应用。
二、教学目标根据以上分析，结合学生的认知水平和课容量，将教材中线面成角问题安排在下节课进行。
故而确立本节课的教学目标为：（1）知识与技能掌握直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及性质定理，并能应用．（2）过程与方法'通过“观察”“认识”“画出”空间图形及垂直关系相关定理的学习过程，进一步培养学生的空间想象力及合情推理能力．（3）情感、态度与价值观垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用．三、教学问题诊断分析学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。
《直线,平面垂直的判定及其性质》教案(新人教必修)
§2.3.1直线与平面垂直的判定一、教案目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法（1）通过教案活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教案重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教案设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。
然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
新人教A版 必修第二本 8.6.2《直线与平面垂直》第一节课 教案
8.6.2《直线与平面垂直》教案一、教学目标1.理解直线与平面垂直的定义。
2.理解直线与平面垂直的判定定理。
3.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明。
4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。
5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、教学重难点1.教学重点直观感知、操作确认,概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理。
2.教学难点直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。
黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！三、教学准备1.《直线与平面垂直》PPT2.每人发一张三角形纸片四、教学过程黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！【提问】有同学认识它吗?（手指着日晷）（学生：认识）（学生：不认识）可能有同学不认识，它叫日晷。
【PPT演示】日晷日晷是中国古代用来测定时间的仪器，日晷通常由晷针指到和晷盘组成（手指着部位）。
如果我们把晷针看成一条直线，晷面看成一个平面,这里就体现了直线与平面的一种非常特殊的位置关系。
同学们知道是什么位置关吗?（学生：垂直）对，直线与平面重直,这就是我们今天所要学习的内容——《直线与平面垂直》【PPT演示图片】课题《8.6.2直线与平面垂直》【板书】8.6.2直线与平面垂直在我们的实际生活中,有许多场景都能给我们以直线与平面重直的直观形象。
同学们你能举出几个例子吗?(让学生多举几个）如：①把老师我看成一条直线,把讲台看成一个平面；②教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系【PPT演示图片】③旗杆所在直线与地面的位置关系④港珠澳大桥雄伟壮观，桥墩所在直线与海面所在平面的位置关系⑤美丽的上海东方明珠塔，如果把塔身看成一条直线，海面看成一个平面。
这些都能给我们以直线与平面重直的形象。
⑥意大利萨斜塔,它能体现直线与平面垂直的形象吗?（学生：不能）对，不能，塔身所在直线与地面所在平面是不重直的。
直线与平面垂直的性质
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五、过程设计 (三) 线面垂直性质定理的应用
２、已知m、n是两条相交直线，L1、L2 是与 m、n都垂直的两条直线，且直线L与L1、L2都 相交．求证 ：12
证 直 ： m 线 m 、 nno确定一个平l面 1 1
l2
2
又 l m ,l n , l
三、教法分析
遵循新课程标准的教学理念，采用以“学生为 主体，教师为主导”的启发引导式的教学方法， 并且采用多媒体课件等教学手段，增大教学的容 量和直观性，有效提高教学效率和教学质量。
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2.3.3 直线与平面垂直的性质
1、通过创设问题情境，联系生活实例，猜想定理， 体现数学知识来源于实践的道理。
如果两条直线与平面所成的角相等，则两直线平行吗？
a a b' b b
a a bb
1
2
o o 1
A1
1
o11o1
2 oo22 A2
2
结论：平行、相交、异面可编辑ppt
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五、过程设计 (二) 线面垂直性质定理的探究
问题④：设直线a,b分别在正方体ABCD-A1B1C1D1中两个不
同的平面内，欲使a∥b,a,b应满足什么条件？
D1 A1
D1
C1
AB1 1
a C1
B1 A1
D1
a
ab
D
C1 B1
D
CD
C
C
A
A
B
(1)
B
A
B
(2)
结论：令它们同时垂直于同一可编个辑平ppt面！
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五、过程设计 (三) 线面垂直性质定理的应用
直线与平面垂直 教学设计
直线与平面垂直一、新知导学：1、两直线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后,并且交角为，则称这两条直线O2、线面垂直：如果一条直线（AB）和一个平面α相交于点0,并且和这个平面内过交点（0）的任何直线都,我们就说.若直线I与平面α垂直记作o画直线和平面垂直时，通常要__________________________________________ 3、线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条____ 直线都垂直，则该直线与这个平面_________ . ______ 1用符号语言表示为：∕⅛⅜推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也_________ .推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么4、线面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线O用符号语言表示为：___________________________二、典例分析例1、有一根旗杆高8阳，它的顶端A挂一条长IOm的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）GO ,如果这两点都和旗杆脚8的距离是6小，那么旗杆就和地面垂直，为什么？变式：如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，。
是对角线AC与BD的交点，且PA=PC, PB=PD. 求证：PO_L平面ABCD例2过一点和已知平面垂直的直线只有一条已知：平面α和一点P求证：过点P与α垂直的直线只有一条例3、已知：空间四边形ABCO, AB = AC f求证：BC-LAD0变式：已知：点。
是ΔABC的垂心，PO_L平面ABC,垂足为。
, 求证：PAYBC.三、课堂小结：证明线面垂直的方法:。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质【教学目标】（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.【教学重难点】重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
【教学过程】（一） 复习引入师：判断直线和平面垂直的方法有几种？师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？ 判断下列命题是否正确：1.在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
2.在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
3.垂直于同一平面的两直线互相平行。
4.垂直于同一直线的两平面互相平行。
师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？（二） 创设情景如图，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？（三）讲解新课例1 已知：a α⊥，b α⊥。
求证：b ∥a师：此问题是在a α⊥，b α⊥的条件下，研究a 和b 是否平行，若从正面去证明b ∥a ，则较困难。
而利用反证法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b’的作出,这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知道下,学生尝试证明,稍后教师指正.生:证明:假定b 不平行于a,设O b =⋂α, b’是经过点O 的两直线a 平行的直线.a ∥b’, a α⊥,∴ b’ α⊥即经过同一点O 的两直线b ,b’都与α垂直,这是不可能的,因此b ∥a.有了上述证明,师生可共同得到结论.:直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.利用三种形式去描述它//.=== // ////= //l l a l A lB A a b B l B c l l a l cl a l ca c a c ab a b A αββαβαγββγβγαγββββαβ⊥⊥∈⊂∈∴⊥∴⊥⊥⊥⊥∴⊄⊂∴∴例2.已知，，求证证明：设，在内过点取两条直线和且与相交，设，同理在平面中：，又，，同理又 下列命题中错误的是（C ） A.若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案：直线与平面垂直的性质一、教学目标1.知识目标：了解直线与平面的垂直关系，并掌握直线与平面垂直的性质。
2.能力目标：能够判断直线与平面是否垂直，并能够运用垂直的性质解决问题。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学习的主动性。
二、教学重点三、教学难点如何判断直线与平面是否垂直。
四、教学准备教师准备：教学课件、黑板、白板、绘图工具等。
学生准备：课本、笔记本等。
五、教学过程Step1：导入新知1.通过引入两个概念：“直线”和“平面”，并介绍其定义、性质和符号表示。
2.通过实际示例，引导学生思考并提出问题：“直线与平面之间是否存在一种特殊的关系？”“你认为直线与平面有什么样的垂直关系？”3.引导学生观察周围环境中直线与平面的垂直关系，并与学生一起讨论。
Step2：理论讲解1.引入直线与平面垂直的定义：“如果直线与平面上的任意一条直线都垂直相交，那么称这条直线与这个平面垂直。
”2.讲解直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直的定理：在同一个平面内，如果一条直线与另一条直线垂直相交，则它们与该平面垂直。
（2）直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面垂直的充分必要条件是这条直线上有一点在这个平面上，且在这个平面上有一般的直线与这条直线垂直。
3.讲解直线飞平面垂直的表示方法：以垂直符号“⊥”表示。
Step3：示例演练1.给出一些具体问题，引导学生分析并判断直线与平面是否垂直，并用判定定理进行解答。
例如：过一个点作平面外的一条直线，该直线与这个平面有什么样的关系？2.引导学生根据给定的条件使用垂直的性质进行证明，以锻炼思维能力。
Step4：归纳总结1.让学生复习并总结判定直线与平面垂直的方法和性质。
2.强化学生对垂直符号“⊥”的理解和应用。
Step5：拓展应用将所学的直线与平面垂直的知识应用到实际问题中，例如建筑工程、地理测量等领域，培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
人教版高中数学《直线与平面垂直的判定》教学设计(全国一等奖)
高中数学《直线与平面垂直的判定》教学设计(全国一等奖)《普通高中课程标准实验教科书—数学必修（二）》人教A版直线与平面垂直的判定姓名：单位：《直线与平面垂直的判定（第一课时）》教学设计一、内容和内容解析：本节内容选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书——数学必修（二）》第二章第三节：2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时），属于新授概念课.本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务.线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，后续内容如空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.通过本节课的学习与研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象及推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法.因此学习这部分知识有着非常重要的意义.二、目标和目标解析：《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：① 在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面垂直位置关系的定义；② 通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定定理；③ 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.本节课的课程标准分解如下：（1）从认知角度进行分解：（2）从能力角度进行分解：根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的学习目标为：（1）在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出直线与平面垂直的定义；（2）通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；（3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务：评价任务一：能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象，并将其抽象出直线与平面垂直的概念；评价任务二：学生积极参与，通过影子实验，在动手操作、思考、归纳等一系列活动中完成探索.评价任务三：能够从正反例中，通过对比归纳出直线与平面垂直的定义，并用自己的语言描述定义内容.评价任务四：能够根据定义得到直线与平面垂直时，直线与平面内任意一条直线垂直的结论，并写出符号语言，了解定义的双向叙述功能.评价任务五：能够利用将无限转化为有限的思想，寻找判定直线与平面垂直的可能性假设. 评价任务六：能在实验操作中，确认直线与平面垂直的判定定理，能用自己的语言叙述出定理内容并写出相应的符号语言.评价任务七：能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题.三、教学问题诊断分析：1、学生已有基础：学生已经学习了两条直线互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识.2、学生面临的问题：高一学生仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维.认识到这点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程.因此我确定本节课的难点为：直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定理.因此，在教学过程中我抓住学生好奇心强，学习积极性较高的特点，我让学生以小组为单位进行合作，通过动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系；再通过操作，反向验证，当直线与平面内的直线具有上述位置关系时，能否得到直线与平面垂直，让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义.在探究直线与平面垂直的判定定理时，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理.由于学生对这种用“有限”代替“无限”的过程，在形成理解上的可能会有思维障碍，所以强调关于定理的证明，会在后续学习中获得.四、教学策略分析：新课程标准明确指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.因此本节课在“目标导引教学”这一理念的指引下，主要采用的是引导发现教学法.教学中，我利用学生感兴趣的图片引出直线与平面垂直的形象，抽象出直线与平面垂直的概念.让学生在分析操作过程发现规律特点，从而自发地生成定义；接着让学生在实际应用中自觉提出判定直线与平面垂直是否有更简洁方便的方法，通过折纸活动，让学生在游戏中学习，在活动中获得知识.我设计了分组探究等实践活动，通过活动引导学生进行观察、思考、操作、归纳、应用，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，深刻体会到了“做数学、学数学”的乐趣，最终达成了本节课的学习目标.五、课前准备：多媒体课件、三角形纸片（多种形状）、三角板、手电筒、彩色手环、笔（表直线）、纸（表平面）等.六、教学过程：验证跨栏的支架与地面是否垂直，七、教学设计说明：兴趣是最好的老师，它是学生主动学习、积极思考、勇于探索的强大内驱力.因此，本节课我在“目标导引教学”理念及“数学源于生活、又应用于生活”的理念的指引下，以激发学生的学习兴趣为出发点，设置了一系列的动手操作、自主探索的活动，引导学生通过感受、思考、交流、总结，真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有.课堂上加入了多种探究实验与动手操作活动，增加了学生学习的兴趣；加入了影子实验、折纸环节，使学生体会到了学数学的乐趣，达到了让教学生活化、让教学活动化、让教学趣味化的目的.符合新课标中“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”的要求.此外，在整个教学过程中，“学生是学习的主体”这一理念，“让不同的人在数学上得到不同的发展”的理念都得到了充分的体现.总之，本节课的设计使学生的情感和能力都得到了一定的发展，成长过程和长期发展也得到了一定的关注，体现了新课程的要求.八、教学反思：本节课的设计从理解数学、理解学生、理解教学三个维度出发，对高中数学课程结构体系及本节课教学重点的知识进行了较为系统的分析；对学生学习本节课的难点进行了深入思考，并精心设计了重点、难点知识的教学解释；评估了学生的知识理解水平等方面，以达到教学设计的科学、完整和精细，具有一定的可操作性和调控性.本节课树立理解数学、理解学生、理解教学的观念来设计课堂教学，本质与核心是“以学生的发展为本”，这是时代发展的要求.这就要求教师在教学设计中，不仅要看到所教的学科知识，而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用；不仅要研究学生的发展规律，思考学习与发展的关系，而且要研究学生是如何学习的；不仅要以适合学生认知特点的方式传《直线与平面垂直（第一课时）》教学设计授数学知识，而且要在教学过程中时刻体现思想性，从而在提高学生在知识水平的同时，提高他们的素质，丰富他们的精神世界.点评这堂课给人的感觉是充满青春的朝气，一气呵成，如沐春风。
直线与平面垂直的性质最新
学生探究展示：平面具有无限延展性， 学生探究展示：平面具有无限延展性，所以 没有最大值，最小值为点与垂足之间的距离， 没有最大值，最小值为点与垂足之间的距离， 这段距离存在且惟一。 这段距离存在且惟一。
点到平面的距离： 点到平面的距离： 从平面外一点引这个平面的垂线， 从平面外一点引这个平面的垂线，这 个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平 个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平 面的距离. 面的距离
直线与平面垂直的性质定理: 直线与平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那么 如果两条直线同垂直于一个平面 那么 这两条直线平行. 这两条直线平行 图形语言： 图形语言：
符号语言： 符号语言：
线面垂直
线线平行
(二)点面、线面距离的定义 二 点面、 点面
创设情境： 创设情境：通过多媒体演示点和面相对位置 关系的变化 设置问题1： 设置问题 ：在演示过程中大家发现点和平面的 位置关系发生了一定的变化， 位置关系发生了一定的变化，我们能否选择一个 几何量来刻画点和平面的这种相对位置关系呢？ 几何量来刻画点和平面的这种相对位置关系呢？
反思与评价： 反思与评价： （1）通过设置问题情境激发学生探究 ） 知识的欲望； 知识的欲望； （2）点明本节课的研究主题 ）点明本节课的研究主题——垂直 垂直 于同一平面的两条直线平行. 于同一平面的两条直线平行
设置问题3： 设置问题 ： 请同学们把刚才的结论用数学符号和 图形语言来表示，并加以证明. 图形语言来表示，并加以证明 学生探究展示： 学生探究展示： 数学符号：已知： ⊥ α , b ⊥ α 数学符号：已知： a 求证： 求证：a // b
设计意图： 设计意图： （1）概念教学强调的是概念的形成过程，通 ）概念教学强调的是概念的形成过程， 过动手操作让学生认识到概念的形成过程， 过动手操作让学生认识到概念的形成过程，同 时让学生在观察的过程中积极的思考， 时让学生在观察的过程中积极的思考，培养学 生的思维能力； 生的思维能力； （2）有了点面距离的多媒体演示，学生已经 ）有了点面距离的多媒体演示， 有了距离的意识， 有了距离的意识，演示过程中学生对直线和平 面相对位置关系的刻画能够从定性分析上升到 定量分析
直线与直线垂直的性质说课稿
说课稿——《直线与平面垂直的性质》尊敬的各位领导、老师：大家好，我是今天的说课人王新越，我说课的题目是《直线与平面垂直的性质》，接下来，我将围绕着“教什么”、“怎么教”以及“为什么这样教”这三个问题，从“教材分析、学情分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程、板书设计、时间分配”这七个方面来阐述我对《直线与平面垂直的性质》的理解以及我的教学设计。
一、说教材（地位与作用）地位：本节课《直线与平面垂直的性质》是人民教育出版社A版必修二第二章第三节《直线、平面垂直的判定与性质》中第三课时的内容，该课时的主要学习内容就是直线与平面垂直的性质定理。
作用：从整体上看，直线和平面垂直的的概念是立体几何的重要概念之一，直线与平面垂直的定义的引入完善了直线和平面的位置关系，是学生在学习了平面和直线的定义及相关定理之后，对直线和平面的位置关系做的更近一步的研究。
同时，直线和平面垂直也是空间中线线垂直、面面垂直关系的一个交汇点，搞好直线和平面垂直的学习，对学生全面掌握线线关系、线面关系乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义。
而空间中直线与平面垂直的性质定理在直线与平面垂直这一节课中，不仅将线面关系转化为线线关系，也将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用。
二、说教学目标：1.知识与技能目标：（1）学生能够掌握直线与平面垂直的性质定理；（2）学生能运用性质定理解决一些简单问题；（3）学生了解直线与平面判定定理和性质定理间的相互联系，能够掌握线面垂直与线线平行之间的相互转化。
2.过程与方法目标：（1）学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）学生在学习过程中能够锻炼自己的类比、直觉、发散等创造性思维。
3.情感与价值观目标：（1）学生通过“直观感知、操作确认、推理证明”的过程，培养滋生对空间概念的空间想象能力以及逻辑推理能力；（2）通过学生之间、师生之间的合作交流，学生能够培养自己的合作意识与团队精神。
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《直线与平面垂直的性质》教学设计
教学内容
人教版新教材数学第二册第二章第三节第3课
教材分析
直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
学情分析
1.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。
2.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。
教学目标
1.知识与技能
（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.
（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
2.情感态度与价值观
（1）发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.
（2）让学生亲从问题解决过程中认识事物发展、变化的规律.
教学重、难点
1.重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
2.难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
教学理念
学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者.
设计思路
直线与平面垂直的性质定理是判定线线平行的有效方法，学生学习的重点是直线与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理的应用，强调直线与平面垂直的性质定理证明中反证法的学习，应让学生清楚，对于一些条件简单而结论复杂的问题或正面较难证明的
问题，可考虑用反证法；教学中要引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决，线面垂直问题转化为线线垂直问题来解决，这种转化的数学思想方法在立体几何的证明和解题中体现的尤为明显。
教学过程
（一）复习引入
师：判断直线和平面垂直的方法有几种？
生：定义、例题2结论、判定定理。
师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？
生：若能确定直线与平面内任意一直线垂直，则运用定义说明。
若能说明所证直线和平面内的一条直线平行，则可运用例题结论说明。
若能说明直线和平面内两相交直线垂直，则可运用判定定理去完成判定。
师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？
判断下列命题是否正确：
1、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
2、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
3、垂直于同一平面的两直线互相平行。
4、垂直于同一直线的两平面互相平行。
师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？
（二）创设情景
如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、
C C′、
D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什
么位置关系？
（三）讲解新课
例1 已知：aα
⊥。
求证：b∥a
⊥，bα
师：此问题是在aα
⊥的条件下，研究a和b
⊥，bα
是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难。
而利用反证
法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b’的作出,
这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知
道下,学生尝试证明,稍后教师指正.
生:证明:假定b 不平行于a,设O b =⋂α, b ’是经过点O 的两直线a 平行的直线. a ∥b ’, a α⊥,∴ b ’ α⊥
即经过同一点O 的两直线b ,b ’都与α垂直,这是不可能的,因此b ∥a.
有了上述证明,师生可共同得到结论.:
直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.
//.
=== // ////= //l l a l A l
B A a b B l B c l l a l c
l a l c
a c a c a
b a b A αββαβαγβ
βγβγαγββ
ββ
αβ
⊥⊥∈⊂∈∴⊥∴⊥⊥⊥⊥∴⊄⊂∴∴例2.已知，，求证证明：设，在内过点取两条直线和且与相交，设，同理在平面中：，又，，同理又 （四）课堂练习
课本７９页：1、2. 拓展练习：设直线a,b 分别在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中两个不同的平面内, 欲使b ∥a,a 、b 应满足什么条件？
分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a 、b 满足的条件。
解：a 、b 满足下面条件中的任何一个，都能使b ∥a
（１）a 、b 同垂直于正方体的一个面
（２）a 、b 分别在正方体两个相对的面内且共面。
（３）a 、b 平行于同一条棱。
（４）Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为B ′C ′、ＣC ′、ＡA ′、ＡＤ的中点，
ＥＦ所在直线为a ，ＧＨ所在直线为b ，等等。
（五）课堂小结
本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法。
直接证法长依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法。
关于直线与平面垂直的性质定理的证明，教材采用反证法，学生理解上会有一定的困难，教学时应注意引导学生理解反证法的反设、归谬，进而得到要证的结论。
γ a b l A α B c
β
（六）布置作业
P82 A组第8、9题P82 B组第1题。