知识点-立体几何知识点常见结论总结

立体几何高考知识点和解题思想汇总

补充：三角形内心、外心、重心、垂心知识

四心的概念介绍：

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

若P为ABC

∆所在平面外一点, O是点P在ABC

∆内的射影，则：

①若PA PB PC

==或PA、PB、PC与所成角均相等, 则O为ABC

∆的外心；

②若P到ABC

∆的三边的距离相等, 则O为△ABC的内心；

③若PA、PB、PC两两互相垂直, 或,

PA BC PB AC

⊥⊥则O为ABC

∆的垂心．

常见空间几何体定义：

1 ．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，这两个面为底面，其他面为侧面。

棱柱具有下列性质：

1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；

2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。

3）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。

棱柱的分类：

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。

直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各个侧面都是矩形；

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。

平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。

直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。

长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体

2 ．棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．(1) 如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面，这样的棱锥称为正棱锥．正棱锥具有性质：①正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线；②正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做这个正棱锥的斜高．

(2)

底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体．

A

B C

O

I

K

H

E

F

A

B C

M

A

B

C

D

E

F

G

(3) 依次连结不共面的四点构成的四边形叫做空间四边形． 常见几何题表面积、体积公式 1．旋转体的表面积

(1) 圆柱的表面积S ＝22r π＋2rl π ( 其中r 为底面半径，l 为母线长) ． (2) 圆锥的表面积S ＝2r π＋rl π（其中r 为底面半径，l 为母线长) ． (4) 球的表面积公式S ＝24R π ( 其中R 为球半径) ． 2．几何体的体积公式

(1)柱体的体积公式V ＝Sh(其中S 为底面面积，h 为高)． (2)锥体的体积公式V ＝1

3Sh(其中S 为底面面积，h 为高)．

(3)球的体积公式V ＝43

π3

R (其中R 为球半径)．

三棱锥外接球问题：

一、正四面体：如图1，正四面体ABCD 的边长为a ，高为h ，其外接球与内切球球心重合，且有关系：6r R h a +==

，有外接圆球半径为：6a ，内切圆的球半径为：6a ，比例为3:1。

答案：C

二、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体

的外接球直径R 2为体对角线长l 即2

222c b a R ++=

【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解：

因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长，所以：四面体外接球的直径为AE 的长

A D

E

即：22224AD AC AB R ++= ，1663142

222=++=R 所以2=R ，球的表面积为π

π1642==R S

二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10

=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22

210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，

在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==

所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心

52

1

==

AC R 所以该外接球的体积为3

500343π

π==R V

A

B

C

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

立体几何总结：

1、多边形内角和：(n-2)*180

2、30°直角三角形，边比例1:2：根3

3、30°30°120°三角形边比例1:1：根3

4、45°直角三角形边比例1:1：根2

5、多面体的体积为V ，表面积为S ，则有内切球的半径为3V r S

=

第一节 平面、空间直线

（3）、求异面直线所成角的方法：遵循“先作角，再求角”的原则，用平移转化法放到三角形中去求，法．

第二节 空间直线与平面

核心知识点

2、线面平行的判定和性质

（2）线面平行的判定（用来证明直线与平面平行的方法）： ①（判定定理）如果平面α外一直线a 与平面内一直线b 平行，则直线a 与平面α平行， 下面的这些定理或推论也是证明线面平行的常用方法：

②如果平面外的两条平行直线,a b 中有一条和平面α平行，则另一条也和平面α平行 ③如果两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都平行于另外一个平面 ④如果直线a 垂直于平面α，平面α外的直线b 与直线a 垂直，则直线b 平行于平面α ⑤若平面α和α外的一直线a 都垂直于同一个平面β，则直线a 平行于平面α

（3）线面平行的性质定理：(如图9-2-2)如果直线l 与平面α平行，过直线l 的平面β与面α相交，则交

a

α

a

A

α

a

α

图9-2-1