《高等数学》教案 第一章 函数

第一章函数函数是积分的主要研究对象，后边关于微积分性质的研究都是对函数性质的研究。

本章首先引入集合，然后研究两个实数集合之间的一种对应关系——函数关系，并介绍函数的基本性质和常见的初等函数。

§1.1 集合一、概念集合是具有某种属性的事物的全体，或者说是一些确定对象的汇总。

构成集合的事物或对象，称为集合的元素。

举例：有限集合：由有限个元素构成的集合。

无限集合：由无限个元素构成的集合。

集合通常用大写字母A、B、C、X、Y等表示。

元素由小写字母a、b、c、x、y等表示。

如果a是集合A的元素，记作a∈A；否则记作a∉A。

二、表示方法1、列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号“｛ ｝”括起来。

如：A =｛a，b，c，d｝即列出集合中所有元素，不计较顺序，但不能遗漏和重复。

2、描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a 构成的集合，记为A =｛a∣P(a)｝。

如：A =｛x∣x2－5x＋6＝0｝ 即把集合中元素所具有的某个共同属性描述出来，用｛a∣a具有的共同属性｝。

3、文氏图：可以表示集合以及集合间的关系。

三、全集与空集由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为U。

全集是相对的。

不包含任何元素的集合称为空集，记为Φ。

四、子集1、定义：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，即“如果a∈A，则a∈B”，则称A为B的子集。

记为A⊆B或B⊇A。

如果A⊆B成立，且B中确有元素不属于A，则称A为B的真子集。

记作A⊂B或B⊃A。

2、定义：设有集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，则称A与B相等。

结论：（1）A⊆A，即“集合A是其自己的子集”；（2）Φ⊆A，即“空集是任意集合的子集”；（3）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即“集合的包含关系具有传递性”。

五、集合的运算1、定义：设有集合A和B，由A和B的所有元素构成的集合，称为A和B 的并，记为A∪B。

即A∪B =｛x∣x∈A或x∈B｝。

性质：（1）A⊂A∪B，B⊂A∪B；（2）A∪Φ = A，A∪U = U，A∪A = A。

2、定义：设有集合A和B，由A和B的所有公共元素构成的集合，称为A 与B的交，记为A∩B。

即A∩B =｛x∣x∈A且x∈B｝。

性质：（1）A∩B⊂A，A∩B⊂B；（2）A∩Φ =Φ，A∩U = A，A∩A = A。

3、定义：设有集合A和B，属于A而不属于B的所有元素构成的集合，称为A与B的差，记为A－B。

即A－B =｛x∣x∈A且x ∉ B｝。

4、定义：全集中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记为A。

即A=｛x∣x∈U且x ∉ A｝。

性质：A∪A =U，A∩A=Φ。

习题7、8：六、集合运算律（1）交换律：（Ⅰ）A∪B = B∪A （Ⅱ）A∩B = B∩A（2）结合律：（Ⅰ）(A∪B)∪C = A∪(B∪C)（Ⅱ）(A∩B)∩C = A∩(B∩C)（3）分配率：（Ⅰ）(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)（Ⅱ）(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)∩=A∪∪= （Ⅱ）B（4）摩根律：（Ⅰ）BA∩求不等式所构成集合的并、交运算，最好借助于数轴表示，显得一目了然；进行并、交的混合运算应注意并、交无先后，但括号优先，先里后外；抽象集合的并、交运算特点是：并集取全部，交集取公共。

习题11：七、集合的笛卡尔乘积将两元素x和y按前后顺序排列成一个元素组（x，y），称为有序元素组。

（x，y）与（y，x）是两个不同的有序元素组。

有二元、三元、……n元有序元素组。

定义：设有集合A和B，对任意的x∈A，y∈B，所有二元有序元素组（x，y）构成的集合，称为A与B的笛卡尔乘积，记为A×B。

集合的笛卡尔乘积与集合的次序有关，一般地，A×B和B×A是不同的两个集合。

习题15：习题1--15§1.2 实数集一、实数与数轴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧虚数无理数分数负整数正整数整数有理数实数复数0 有理数：整数、有限小数或无限循环小数。

无理数：无限不循环小数。

具有原点、正方向和单位长度的直线称为数轴。

二、绝对值定义：一个实数x 的绝对值，记为x ，定义为：⎪⎩⎪⎨⎧−=，，x x x 00<≥x x 性质：（1）2x x = （2）0≥x（3）x x =− （4）x x x ≤≤−（5）若a ﹥0，则｛x ∣a x <｝=｛x ∣﹣a < x < a ｝（6）若b ﹥0，则｛x ∣b x >｝=｛x ∣x <﹣b 或x > b ｝=｛x ∣x <﹣b ｝∪｛x ∣x > b ｝（7）y x y x +≤+ （8）y x y x −≥−（9）y x xy ⋅= （10）yx y x = 三、区间 设a 、b 为实数，且a < b ，1、满足不等式a < x < b 的所有实数x 的集合，称为以a 、b 为端点的开区间，记作（a ，b ），即（a ，b ）=｛x ∣a < x < b ｝。

2、满足不等式a ≤ x ≤ b 的所有实数x 的集合，称为以a 、b 为端点的闭区间，记作[a ，b ]，即[a ，b ] =｛x ∣a ≤ x ≤ b ｝。

3、满足不等式a < x ≤ b （或a ≤ x < b ）的所有实数x 的集合，称为以a 、b 为端点的半开区间，记作(a ，b ]（或[a ，b )），即(a ，b ] =｛x ∣a < x ≤ b ｝,[a ，b ) =｛x ∣a ≤ x < b ｝。

以上为有限区间，以下为无限区间。

4、（a ，﹢∞）=｛x ∣x ﹥a ｝，[a ，﹢∞）=｛x ∣x ≥a ｝5、（﹣∞，b ）=｛x ∣x ﹤b ｝，（﹣∞，b ]=｛x ∣x ≤b ｝6、（﹣∞，﹢∞）=｛x ∣﹣∞< x <﹢∞ ｝求解含绝对值的不等式关键是要正确的去掉绝对值符号。

四、邻域实数集合｛x ∣δ<−0x x ，δ﹥0｝在数轴上是以点x 0为中心，长度为2δ的开区间（x 0﹣δ，x 0﹢δ），称为点x 0的δ邻域。

x 0为邻域的中心，δ为邻域的半径。

微积分中常常用到集合｛x ∣δ<−<00x x ，δ﹥0｝，这是在点x 0的δ邻域内去掉点x 0后其余的点所组成的集合，即集合（x 0﹣δ，x 0）∪（x 0，x 0﹢δ），称为以点x 0为中心、以δ为半径的空心邻域（或去心邻域）。

习题18（3）用区间表示实数集合：习题16--18§1.3 函数关系一、关系数学是一门研究数量关系的科学，因此，“关系”是数学中一个非常重要的基本概念。

如y ﹤x ：对于每一个x ∈X ，有无穷多个y ∈Y 与之对应。

如y = 2x ：对于每一个x ∈X ，均只有一个确定的y ∈Y 与之对应。

这种关系称为函数关系。

微积分学的研究对象主要是函数关系。

二、函数关系函数关系是满足一定条件的一种关系。

1、定义：若D 是一个非空实数集合，设有一个对应规则f ，使每一个x ∈D 都有一个确定的实数y 与之对应，则称这个对应规则f 为定义在D 上的一个函数关系，或称变量y 是变量x 的函数，记作y = f （x ），x ∈D 。

x 称为自变量，y 称为因变量，集合D 称为函数的定义域，记作D （f ）。

x 0对应的y 值，记作y 0或f （x 0）或0x x y =，称为当x = x 0时，函数y = f （x ）的函数值。

全体函数值的集合｛y ∣y = f （x ），x ∈D ｝，称为函数y = f （x ）的值域，记作Z （f ）。

如果两个函数的定义域和对应规则都相同，就称这两个函数是相同的函数。

2、函数的三种表示方法（1）解析法：把一个函数关系用解析式表示的方法称为函数解析法，也叫公式法。

（2）表格法：把自变量所取得值和对应的函数值列成表，用以表示函数关系，如我们所用的各种数学用表——平方表、对数表、三角函数表等，函数的这种表示方法称为表格法。

（3）图形法：用某个坐标系中的一条曲线来表示两个变量之间的对应关系，称为图形法或图示法。

三、函数记号y 是x 的函数，记作y = f （x ），x ∈D ，f 表示y 与x 的对应规则。

有时也表示为y = φ（x ）、y = g （x ）、y = F （x ）等等。

把y = f （x ）中x 若换成一个常数值x 0，即可算出当x = x 0时的函数值f （x 0）；x 若换成一个x 的函数，即可产生一个新的函数，称为复合函数，如y = f [φ（x ）]。

四、函数定义域指与有唯一确定数值的因变量对应的自变量的全体实数值所构成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。

求函数定义域要注意：（1）偶次方根号下不能为负数（2）分式的分母不能为零（3）对数的真数必须大于零（4）三角函数与反三角函数考虑各自的变化范围 如：arcsin x 或arccos x 的定义域为∣x ∣≤1；tan x 的定义域为x ≠ k π + 2π（k ∈Z ）； cot x 的定义域为x ≠ k π（k ∈Z ）。

注意：区别两个函数是否相同，关键是研究确定函数关系的两个要素——定义域和对应法则，而与变量用什么字母表示无关。

习题22：习题27（6）（8）（9）求定义域：解：（A）和（B）中两个函数的定义域不同；（C）中两个函数定义域相同，但对应法则不同；（D）中两个函数只是变量的表示字母不同，但定义域和对应法则完全相同。

故选（D）。

五、多值函数前面定义的函数关系可称为单值函数，如不做声明，本书提到的函数均为单值函数。

如果对于每一个x ∈D ，都有两个或更多的y 值与之对应，这种关系称为多值函数。

六、隐函数如前说述的对应规则都是因变量用自变量的一个数学表达式表示出来，这些函数称为显函数。

如果对应规则用一个方程F （x ，y ）= 0来表示，在区间D 内，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则称在D 内y 是x 的一个隐函数关系。

习题19--22, 25--28§1.4 分段函数有些函数，对于其定义域内自变量不同的值，其对应规则不能用一个统一的数学表达式表示，而要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数。

如：符号函数⎪⎩⎪⎨⎧−==，，，101sgn x y 000>=<x x x 定义域为（﹣∞，﹢∞）如：取整函数y = [x ]，表示不超过x 的最大整数。

[﹣3.2] =﹣4注意：（1）分段函数的定义域就是将每段表达式的定义域并在一起。

（2）由于分段函数在各段上的对应法则是不同的，所以在求某点的函数值时，关键是要弄清该自变量所在区间段对应的函数表达式是哪一个，然后再代入求值。