《高等数学》教案 第一章 函数

第一章函数

函数是积分的主要研究对象，后边关于微积分性质的研究都是对函数性质的研究。本章首先引入集合，然后研究两个实数集合之间的一种对应关系——函数关系，并介绍函数的基本性质和常见的初等函数。

§1.1 集合

一、概念

集合是具有某种属性的事物的全体，或者说是一些确定对象的汇总。构成集合的事物或对象，称为集合的元素。

举例：

有限集合：由有限个元素构成的集合。

无限集合：由无限个元素构成的集合。

集合通常用大写字母A、B、C、X、Y等表示。元素由小写字母a、b、c、x、y等表示。如果a是集合A的元素，记作a∈A；否则记作a∉A。

二、表示方法

1、列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号“｛ ｝”括起来。如：A =｛a，b，c，d｝

即列出集合中所有元素，不计较顺序，但不能遗漏和重复。

2、描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a 构成的集合，记为A =｛a∣P(a)｝。如：A =｛x∣x2－5x＋6＝0｝ 即把集合中元素所具有的某个共同属性描述出来，用｛a∣a具有的共同属性｝。

3、文氏图：可以表示集合以及集合间的关系。

三、全集与空集

由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为U。全集是相对的。

不包含任何元素的集合称为空集，记为Φ。

四、子集

1、定义：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，即“如果a∈A，则

a∈B”，则称A为B的子集。记为A⊆B或B⊇A。

如果A⊆B成立，且B中确有元素不属于A，则称A为B的真子集。记作A⊂B或B⊃A。

2、定义：设有集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，则称A与B相等。

结论：（1）A⊆A，即“集合A是其自己的子集”；

（2）Φ⊆A，即“空集是任意集合的子集”；

（3）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即“集合的包含关系具有传递性”。

五、集合的运算

1、定义：设有集合A和B，由A和B的所有元素构成的集合，称为A和B 的并，记为A∪B。即A∪B =｛x∣x∈A或x∈B｝。

性质：（1）A⊂A∪B，B⊂A∪B；

（2）A∪Φ = A，A∪U = U，A∪A = A。

2、定义：设有集合A和B，由A和B的所有公共元素构成的集合，称为A 与B的交，记为A∩B。即A∩B =｛x∣x∈A且x∈B｝。

性质：（1）A∩B⊂A，A∩B⊂B；

（2）A∩Φ =Φ，A∩U = A，A∩A = A。

3、定义：设有集合A和B，属于A而不属于B的所有元素构成的集合，称为A与B的差，记为A－B。即A－B =｛x∣x∈A且x ∉ B｝。

4、定义：全集中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记为A。即A=｛x∣x∈U且x ∉ A｝。

性质：A∪A =U，A∩A=Φ。

习题7、8：

六、集合运算律

（1）交换律：（Ⅰ）A∪B = B∪A （Ⅱ）A∩B = B∩A

（2）结合律：（Ⅰ）(A∪B)∪C = A∪(B∪C)

（Ⅱ）(A∩B)∩C = A∩(B∩C)

（3）分配率：（Ⅰ）(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)

（Ⅱ）(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)

∩=

A∪

∪= （Ⅱ）B

（4）摩根律：（Ⅰ）B

A∩

求不等式所构成集合的并、交运算，最好借助于数轴表示，显得一目了然；进行并、交的混合运算应注意并、交无先后，但括号优先，先里后外；抽象集合的并、交运算特点是：并集取全部，交集取公共。

习题11：

七、集合的笛卡尔乘积

将两元素x和y按前后顺序排列成一个元素组（x，y），称为有序元素组。（x，y）与（y，x）是两个不同的有序元素组。有二元、三元、……n元有序元素组。

定义：设有集合A和B，对任意的x∈A，y∈B，所有二元有序元素组（x，y）构成的集合，称为A与B的笛卡尔乘积，记为A×B。

集合的笛卡尔乘积与集合的次序有关，一般地，A×B和B×A是不同的两个集合。

习题15：

习题1--15

§1.2 实数集

一、实数与数轴

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧虚数

无理数分数负整数正整数整数有理数实数复数0 有理数：整数、有限小数或无限循环小数。无理数：无限不循环小数。 具有原点、正方向和单位长度的直线称为数轴。

二、绝对值

定义：一个实数x 的绝对值，记为x ，定义为：

⎪⎩⎪⎨⎧−=，，x x x 0

0<≥x x 性质：

（1）2x x = （2）0≥x

（3）x x =− （4）x x x ≤≤−

（5）若a ﹥0，则｛x ∣a x <｝=｛x ∣﹣a < x < a ｝

（6）若b ﹥0，则｛x ∣b x >｝=｛x ∣x <﹣b 或x > b ｝

=｛x ∣x <﹣b ｝∪｛x ∣x > b ｝

（7）y x y x +≤+ （8）y x y x −≥−

（9）y x xy ⋅= （10）

y

x y x = 三、区间 设a 、b 为实数，且a < b ，

1、满足不等式a < x < b 的所有实数x 的集合，称为以a 、b 为端点的开区间，记作（a ，b ），即（a ，b ）=｛x ∣a < x < b ｝。

2、满足不等式a ≤ x ≤ b 的所有实数x 的集合，称为以a 、b 为端点的闭区间，记作[a ，b ]，即[a ，b ] =｛x ∣a ≤ x ≤ b ｝。

3、满足不等式a < x ≤ b （或a ≤ x < b ）的所有实数x 的集合，称为以a 、b 为端点的半开区间，记作(a ，b ]（或[a ，b )），即(a ，b ] =｛x ∣a < x ≤ b ｝,

[a ，b ) =｛x ∣a ≤ x < b ｝。

以上为有限区间，以下为无限区间。

4、（a ，﹢∞）=｛x ∣x ﹥a ｝，[a ，﹢∞）=｛x ∣x ≥a ｝

5、（﹣∞，b ）=｛x ∣x ﹤b ｝，（﹣∞，b ]=｛x ∣x ≤b ｝

6、（﹣∞，﹢∞）=｛x ∣﹣∞< x <﹢∞ ｝

求解含绝对值的不等式关键是要正确的去掉绝对值符号。

四、邻域

实数集合｛x ∣δ<−0x x ，δ﹥0｝在数轴上是以点x 0为中心，长度为2δ的

开区间（x 0﹣δ，x 0﹢δ）

，称为点x 0的δ邻域。x 0为邻域的中心，δ为邻域的半径。 微积分中常常用到集合｛x ∣δ<−<00x x ，δ﹥0｝，这是在点x 0的δ邻域

内去掉点x 0后其余的点所组成的集合，即集合（x 0﹣δ，x 0）∪（x 0，x 0﹢δ）

，称为以点x 0为中心、以δ为半径的空心邻域（或去心邻域）。

习题18（3）用区间表示实数集合：