高等数学2课程教学大纲

高等数学A2 课程教学大纲
课程编号：10009B6
学时：90 学分：5
适用对象：理学类、工科类本科专业
先修课程：高等数学A1
考核要求：闭卷考试，总成绩=平时成绩20%+期末成绩80% 使用教材及主要参考书：
同济大学数学系主编，《高等数学》（下册），高等教育出版社，2002 年, 第五版
黄立宏主编，《高等数学》（上下册），复旦大学出版社，2006 年陈兰祥主编，《高等数学典型题精解》，学苑出版社，2001 年陈文灯主编，《考研数学复习指南（理工类）》，世界图书版公司2006年李远东、刘庆珍编，《高等数学的基本理论与方法》，重庆大学出版社，1995年
钱吉林主编，《高等数学辞典》，华中师范大学出版社，1999 年一、课程的性质和任务
高等数学课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，为学习后继课程（如大学物理等）奠定必要的基础，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。

二、教学目的与要求
通过本课程的学习，使学生获得向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数（包括傅立叶级数）等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问
题的能力。

三、学时分配
第八章多元函数微分法及其应用18
第九章重积分16
第十章曲线积分与曲面积分16
第十一章无穷级数18
总复习
6
四、教学中应注意的问题
1. 考虑学生的差异性，注意因材施教；
2. 考虑数学学科的抽象性，注意数形结合；
3. 考虑数学与现实生活的关系，注意在教学中多讲身边的数学, 使学生树立“学数学是为了用数学”的观点，培养学生“用数学”的好习惯。

五、教学内容
第七章：空间解析几何与向量代数
1 •基本内容：
向量及其线性运算，数量积，向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。

2 •教学基本要求：
(1)理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示；
(2)掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法、)了解两个向量垂直、平行的条件；
(3)掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；
(4)平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题
(5)理解曲面的方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
(6)了解空间曲线的参数方程和一般方程；
(7)了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

3 •教学重点与难点:
教学重点：向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），两个向量垂直、平行的条件，向量方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算，平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程的
概念，常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

教学难点：平面的方程和直线的方程及其求法，常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

4．教学建议：
采用对比较教学，与平面几何多作对比，加强多媒体教学。

第八章：多元函数微分法及其应用
1．基本内容：
多元函数的基本概念，偏导数，全微分，多元复合函数的求导法则，隐函数的求导公式，多元函数微分学的几何应用，方向导数与梯度，多元函数的极值及其求法。

2．教学目的：
（1）理解多元函数的概念；
（2）了解二元函数的极限与连续性的概念，以及在界域上连续函数的性质；
（3）理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充要条件；
（4）理解方向导数与梯度的概念及其计算方法；
（5）掌握复合函数一阶偏导数与二阶偏导数的求法；
（6）会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数；
（7）理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程；
（8）理解多元函数极限值和条件极值的概念，掌握求二元函数的极值，掌握求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

3．教学重点与难点：
教学重点：偏导数和全微分的概念，复合函数一阶偏导数的求法，复合函数的二阶偏导数的求法，求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数，曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，二元函数的极值求法。

教学难点：求复合函数的二阶偏导数，求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数。

4．教学建议：
加强一元微分学与多元微分学的对比，注重较简单的最大值和最小值的应用问题的教
学。

第九章：重积分
1．基本内容：
二重积分的概念与性质，二重积分的计算法，三重积分，重积分的应用。

2．教学基本要求：
（1）理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质；（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解三重积分的计算方法（直角
坐标、柱面坐标、球面坐标）；（3）会用重积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量等）。

3．教学重点与难点：教学重点：二重积分的概念，二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

教学难点：三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

4．教学建议：讲授二重积分时充分利用实物模型，重视交换积分次序的教学，适当增加习题课，加强多媒体应用。

第十章：曲线积分与曲面积分
1．基本内容：
对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，格林公式，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分，高斯公式，通量与散度，斯托克斯公式，环流量与旋度。

2．教学基本要求：
（1）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；
（2）会计算两类曲线积分；
（3）掌握格林（Green）公式，会使用曲线积分与路径无关的条件；
（4）理解两类曲面积分的概念及斯托克斯（Stokes）公式，高斯（gauss）公式，并会计算两类曲面积分；
（5）了解散度、旋度的概念及其计算方法。

3．教学重点与难点：
教学重点：两类曲线积分的概念，计算两类曲线积分，格林（Green）公式，高斯（gauss）公式，曲线积分与路径无关的条件，计算两类曲面积分。

教学难点：曲面积分，高斯（gauss）斯托克斯（Stokes）公式，散度，旋度。

4．教学建议：
课堂讲授、讨论、习题课辅之多媒体教学。

第十一章：无穷级数
1 •基本内容：
常数项级数的概念和性质，常数项级数的审敛法，幕级数，函数展开成幕级数，函数的
幕级数展开式的应用，傅里叶级数，一般周期函数的傅里叶级数。

2 •教学基本要求：
(I)理解无穷级数收敛、发散以及无穷级数的和等概念，了解无穷级数基本性质及收
敛的必要条件；
(2)掌握几何级数和p -级数的收敛性；
(3)掌握正项级数的比较审敛法、正项级数的比值审敛法；
(4)掌握交错级数的菜布尼兹定理、了解交错级数的截断误差；
(5)理解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系；
(6)理解函数项级数的收敛及和函数的概念；
(7)掌握比
较简单的幕级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求) ；
(8)了解幕级数在收敛区间内的一些基本性质；
(9)了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；
(10)会利用e x、sinx、cosx、Inx和(1 - x)n的麦克劳林(Maciaurin)展开式将一些简单函数间接展开成幕级数；
(II)了解幕级数在近似计算上的简单应用；
(12) 了解函数展开为傅立叶(Fourier)级数的狄里克雷(Dirichlet)条件，会将定义在(-二, 二)和(-l ,l )上的函数展开为傅立叶级数，会将定义在(0 , l)上的函数展开为正弦或余弦级
数。

3 •教学重点与难点：
教学重点：无穷级数收敛、发散以及无穷级数的和的概念，无穷级数基本性质及收敛的
必要条件，几何级数和p-级数的收敛性，正项级数的比较审敛法，正项级数的比值审敛法，
交错级数的菜布尼兹定理，无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，函数项级数的收敛及和函数的概念，比较简单的幕级数收敛区间的求法，幕级数在收敛
区间内的一些基本性质，将一些简单函数间接展开成幕级数。

教学难点：无穷级数收敛、发散以及和的概念；幕级数在收敛区间内的一些基本性质；函展开为泰勒级数的充分必要条件；利用e x、si nx、cosx、lnx和(V x)n的麦克劳林(Maciaurin)展开式将一些简单函数间接展开成幕级数；函数展开为傅立叶(Fourier)级数的狄里克雷(Dirichlet)条件；定义在(-二，二)和(-1 ,l )上的函数展开为傅立叶级数，定义在(0 , I)
上的函数展开为正弦或余弦级数。

4 •教学建议：
加强幕级数教学，适当选用历年考研试题作为例题，注重级数与微分方程内容相结合，
适当加强练习。

课程负责人：理学院，邹锐标
二OO八年一月。