高等数学教案一
高中数学教案【优秀10篇】
高中数学教案【优秀10篇】高中数学课教案篇一一、教学目标【知识与技能】在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的条件。
【过程与方法】通过对方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的的条件的探究，学生探索发现及分析解决问题的实际能力得到提高。
【情感态度与价值观】渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
二、教学重难点【重点】掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。
【难点】二元二次方程与圆的一般方程及标准圆方程的`关系。
三、教学过程(一)复习旧知，引出课题1、复习圆的标准方程，圆心、半径。
2、提问已知圆心为(1，—2)、半径为2的圆的方程是什么？高中数学教案篇二教材分析：前面已学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积。
教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。
在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量夹角对数量积符号的影响；然后由投影的概念得出了数量积的几何意义；并由数量积的定义推导出一些数量积的重要性质；最后“探究”研究了运算律。
教学目标：(一)知识与技能1.掌握数量积的定义、重要性质及运算律；2.能应用数量积的重要性质及运算律解决问题；3.了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题，为下节课灵活运用平面向量数量积解决问题打好基础。
(二)过程与方法以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过例题分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。
(三)情感、态度与价值观创设适当的问题情境，从物理学中“功”这个概念引入课题，开始就激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，加强数学与其它学科及生活实践的联系。
最新版-高中数学必修一教案【优秀4篇】
高中数学必修一教案【优秀4篇】高中数学必修一教案篇一重点难点教学：1.正确理解映射的概念；2.函数相等的两个条件；3.求函数的定义域和值域。
一。
教学过程：1. 使学生熟练掌握函数的概念和映射的定义；2. 使学生能够根据已知条件求出函数的定义域和值域；3. 使学生掌握函数的三种表示方法。
二。
教学内容：1.函数的定义设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么称：fAB为从集合A到集合B 的一个函数(function)，记作：(),yfxxA其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域(domain)，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{()|}fxxA叫值域(range)。
显然，值域是集合B的子集。
注意：① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”;②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.2.构成函数的三要素定义域、对应关系和值域。
3.映射的定义设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。
4. 区间及写法：设a、b是两个实数，且a(1) 满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b];(2) 满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b);5.函数的三种表示方法①解析法②列表法③图像法高中数学必修一教案篇二一、教学目标1、知识与技能（1）理解对数的概念，了解对数与指数的关系；（2）能够进行指数式与对数式的互化；（3）理解对数的性质，掌握以上知识并培养类比、分析、归纳能力；2、过程与方法3、情感态度与价值观（1）通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神；（2）感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程；（3）体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质、二、教学重点、难点教学重点（1）对数的定义；（2）指数式与对数式的互化；教学难点（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解；三、教学过程：四、归纳总结：1、对数的概念一般地，如果函数ax=n（a0且a≠1）那么数x叫做以a为底n的对数，记作x=logan，其中a叫做对数的底数，n叫做真数。
《高等数学》第一章课程教案
《高等数学》第一章课程教案《高等数学》第一章课程教案《高等数学》第一章课程教案一．课程名称：高等数学 \Calculus 二．学时与学分：72学时4学分三．适用专业：教育技术，计算机，人体，康复四．课程教材：《高等数学》，第四版. 同济大学数学教研室编，高等教育出版社五．上课教师：刘蓉老师六．课程的性质、目的和任务：高等数学是工科大学生最重要的基础理论课之一，它作为工程教育中的一个重要内容，目的在于培养工程技术人员必备的基本数学素质。
任务：通过本课程的学习，使学生理解微积分中极限、导数、积分等基本概念；掌握基本的运算技巧；使学生能用所学的知识去解决各种领域中的一些实际问题；训练学生数学推理的严密性，使学生具有一定的数学修养和对实际问题具有抽象、归纳、推广的能力，能用数学的语言描述各种概念和现象，能理解其它学科中所用的数学理论和方法；培养学生学习数学的兴趣，帮助学生养成自学数学教材和其它数学知识的能力，为以后学习其它学科打下良好的基础。
七、教学方式（手段）：主要采用讲授新课的方式第一章函数极限与连续一、教学目标与基本要求 1、理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像，掌握函数的表示方法。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、会建立简单应用问题中的函数关系式。
6、理解极限的概念，理解函数在极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
7、掌握极限的性质及四则运算法则。
8、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
10、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
11、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。
高职高专高等数学教案
高职高专高等数学教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：理解函数的概念，掌握函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
教学内容：介绍函数的定义，讨论函数的性质，举例说明。
教学方法：通过讲解和示例，让学生掌握函数的基本概念和性质。
1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质，如保号性、夹逼性等。
教学内容：介绍极限的定义，讨论极限的性质，举例说明。
教学方法：通过讲解和示例，让学生理解极限的概念和性质。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义与计算教学目标：理解导数的定义，掌握基本函数的导数计算。
教学内容：介绍导数的定义，讲解基本函数的导数计算法则。
教学方法：通过讲解和练习，让学生掌握导数的定义和计算方法。
2.2 微分的概念与计算教学目标：理解微分的概念，掌握微分的计算方法。
教学内容：介绍微分的定义，讲解微分的计算法则。
教学方法：通过讲解和练习，让学生理解微分的概念和计算方法。
第三章：积分与微分方程3.1 定积分的定义与计算教学目标：理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。
教学内容：介绍定积分的定义，讲解定积分的计算法则。
教学方法：通过讲解和练习，让学生掌握定积分的概念和计算方法。
3.2 微分方程的基本概念与解法教学目标：理解微分方程的概念，掌握基本的微分方程解法。
教学内容：介绍微分方程的定义，讲解常见的微分方程解法。
教学方法：通过讲解和练习，让学生理解微分方程的概念和解法。
第四章：级数与常微分方程4.1 数项级数的概念与收敛性教学目标：理解数项级数的概念，掌握级数的收敛性判断。
教学内容：介绍数项级数的定义，讲解级数的收敛性判断方法。
教学方法：通过讲解和练习，让学生掌握数项级数的概念和收敛性判断。
4.2 常微分方程的解法与应用教学目标：理解常微分方程的概念，掌握常见的解法及其应用。
教学内容：介绍常微分方程的定义，讲解常见的解法及其应用。
教学方法：通过讲解和练习，让学生理解常微分方程的概念和解法及其应用。
高数教学设计(共8篇)
高数教学设计〔共8篇〕第1篇：高数教案设计教案设计教材：《高等数学》〔第三版〕上册，第一章函数与极限，第三节函数的极限。
一、方案学时本小节分为两个局部，对于初学者来说有一定的难度，所以也就分为两个学时进展教学。
第一学时：自变量趋于有限值时函数的极限。
第二学时：自变量趋于无穷大时函数的极限。
〔本次教案主要说明第一学时的内容。
〕二、教材处理通过第一节关于函数根本知识的学习，以及高中时已经对函数极限有过一定的学习理解与铺垫，所以就要通过一些根本的例如，来一步步引导学生接触本节的内容，并进一步学习与研究。
来扩展同学们的知识面，并易于承受新内容。
三、教学目的知识和才能目的：1、通过教学过程培养学生的思维才能、运算才能、以及数学创新意识。
让你给同学们积极考虑、敢于提出自己的想法。
2、让同学们掌握一些本节教学中所涉及的技能技巧。
3、通过数学知识为载体，增强学生们的逻辑思维才能，进步学习的兴趣和才能。
传达出数学的人文价值。
四、教学难点和重点1、如何让学生较快的承受新的理念与知识，而改掉以前类似的学习中的定势与习惯性思维。
2、让学生们纯熟的运用书中所涉及的公式与理解一些重要的定理，从而更好的做题。
五、教学设计1、总体思路先通过在黑板上写一些以前学过的相关知识的例题，让同学们到黑板上去做。
然后，对题目做一些变形，就成了本小节所学的知识，此时，就要通过一步步的引导，让同学们呢理解步骤的方法技巧。
最后，就是先要学生们自己总结本节的内容与规律技巧，之后，再告诉同学们本节所需要重点掌握的知识。
2、教学过程〔1〕先让同学们大致看一下本小节内容，对本节内容有一定的理解。
〔4分钟〕设计说明：通过让同学们进展自主学习，对本小节内容有大志的理解，以便于学生更易于承受新知识。
〔2〕通过小例子让大家熟悉并初步认识一下极限的概念。
如：问题：当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值。
解析：问题可转化成|f(x)-1|最小取值，因为|f(x)-1|可以无限变小，也就是无限趋近于0，所以当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值就是0.〔5分钟〕设计说明：通过引导学生们的思维，带到新的内容，培养学生们的逻辑思维才能以及发撒思维才能。
高等数学教案第一章
第一章函数与极限一、教学内容1．函数：常量与变量、函数的定义；2．函数的表示方法：解析法、图示法、表格法；函数的性质：单调性、奇偶性、有界性和周期性；3．初等函数：基本初等函数、反函数、复合函数、初等函数、分段表示的函数，并会建立函数关系；4．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算法则、两个重要极限、无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质；5．连续：连续、间断、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
二、教学目的1．理解函数的概念及其性质，熟练掌握求函数定义域和函数值的方法；2．掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形；3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象之间的关系；理解复合函数、分段函数的概念；了解初等函数的概念；会建立函数关系；4．了解数列极限与函数极限的概念(描述性定义)；会求左右极限；5．掌握极限四则运算法则；掌握用两个重要极限求极限的方法；能熟练进行极限运算；6．理解无穷小量、无穷大量的概念及相互关系；7．理解函数连续概念；掌握由初等函数的连续性求极限的方法；了解闭区间上连续函数的性质。
三、教学重点1．函数的概念及其性质、基本初等函数、复合函数；2．极限的运算。
3．无穷小量、无穷大量的概念及相互关系；4．函数连续概念、闭区间上连续函数的性质。
四、教学难点1．极限的概念；2．无穷小量、无穷大量的概念及相互关系； 3．函数连续概念。
第一节 函数一、集合 1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。
表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系：A a ∉ A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。
《高等数学》-授课教案
《高等数学》-授课教案第一讲 高等数学学习介绍、函数一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”] 二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。
(2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。
例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。
例如：熟悉基本初等函数的图像。
3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。
例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。
分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。
例2、作函数⎩⎨⎧≥<=0,20,)(2x x x x x f 的图像？例3、求函数⎩⎨⎧-<≥=?)1(),0(),1(010)(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，，四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。
《高等数学》课程教案
《高等数学》课程教案一、课程简介《高等数学》是工科、理科以及部分经济管理科学专业的一门基础课程。
通过本课程的学习，使学生掌握数学分析、线性代数、概率论等基本理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 理解并掌握高等数学的基本概念、原理和方法。
2. 能够熟练运用高等数学知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
三、教学内容第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质2. 函数的连续性3. 极限的运算法则4. 无穷小与无穷大5. 极限存在的条件第二章：导数与微分1. 导数的概念2. 基本导数公式3. 导数的运算法则4. 高阶导数5. 微分第三章：积分与不定积分1. 积分概念2. 基本积分公式3. 积分的运算法则4. 不定积分5. 定积分第四章：级数1. 数项级数概念2. 收敛性与发散性3. 级数的运算法则4. 幂级数5. 傅里叶级数第五章：常微分方程1. 微分方程的概念2. 一阶微分方程的解法3. 高阶微分方程4. 线性微分方程5. 微分方程的应用四、教学方法采用讲授、讨论、实践相结合的方法，引导学生主动探索、积极参与，培养学生的动手能力和创新能力。
五、教学评价1. 平时成绩：包括作业、小测、课堂表现等，占总评的40%。
2. 期中考试：测试学生对高等数学知识的掌握程度，占总评的30%。
3. 期末考试：全面测试学生的综合素质，占总评的30%。
六、多元函数微分学1. 多元函数的概念2. 多元函数的求导法则3. 偏导数4. 全微分5. 多元函数微分学在实际问题中的应用七、重积分1. 二重积分概念及性质2. 二重积分的计算3. 三重积分概念及性质4. 三重积分的计算5. 重积分的应用八、向量分析1. 空间解析几何基础2. 向量的概念及运算3. 空间向量的线性运算4. 空间向量的数量积与角积5. 空间向量的坐标运算及其应用九、常微分方程初步1. 微分方程的概念与分类2. 常微分方程的解法3. 常微分方程的数值解法4. 常微分方程的应用5. 常微分方程在工程与科学计算中的重要性十、线性代数的应用1. 线性方程组及其解法2. 矩阵的概念与运算3. 特征值与特征向量4. 二次型及其判定5. 线性代数在实际问题中的应用十一、概率论与数理统计1. 随机事件及其概率2. 随机变量及其分布3. 数学期望与方差4. 大数定律与中心极限定理5. 数理统计的基本方法十二、数学软件与应用1. MATLAB软件简介2. MATLAB在高等数学中的应用3. Mathematica软件简介4. Mathematica在高等数学中的应用5. 数学软件在实际问题中的应用教学方法：1. 通过案例分析、实际应用问题引导学生理解和掌握理论知识。
《高等数学教案》
《高等数学教案》word版第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）1.2 极限的概念与性质引入极限的概念探讨极限的性质与运算1.3 无穷小与无穷大定义无穷小与无穷大的概念比较无穷小与无穷大的大小关系1.4 极限的运算法则极限的加减乘除法则极限的复合函数法则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质引入导数的概念探讨导数的性质（单调性、极值等）2.2 导数的计算法则基本导数公式和、差、积、商的导数法则2.3 微分的方法与应用微分的概念与方法微分在近似计算与优化问题中的应用第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与性质引入泰勒公式的概念探讨泰勒公式的性质与应用3.2 微分中值定理的概念与证明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理微分中值定理的应用（导数与函数的极值关系等）第四章：积分与微分方程4.1 积分的基本概念与方法引入积分的概念探讨积分的方法（牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分等）4.2 微分方程的基本概念与方法引入微分方程的概念探讨微分方程的解法（常微分方程、线性微分方程等）第五章：线性代数基础5.1 向量的概念与运算定义向量的概念探讨向量的运算（加减、数乘、点积、叉积等）5.2 矩阵的概念与运算定义矩阵的概念探讨矩阵的运算（加减、数乘、转置、逆矩阵等）5.3 线性方程组的概念与解法引入线性方程组的概念探讨线性方程组的解法（高斯消元法、矩阵求逆法等）5.4 行列式的概念与性质定义行列式的概念探讨行列式的性质与计算方法第六章：概率论基础6.1 随机事件与概率定义随机事件与概率的概念探讨概率的计算（古典概率、条件概率、独立事件等）6.2 随机变量及其分布引入随机变量的概念探讨离散型随机变量与连续型随机变量的分布律6.3 期望与方差定义期望与方差的概念探讨期望与方差的计算及其性质第七章：线性代数进阶7.1 特征值与特征向量定义特征值与特征向量的概念探讨特征值与特征向量的计算及其应用7.2 二次型定义二次型的概念探讨二次型的标准型与判定定理7.3 线性空间与线性变换引入线性空间与线性变换的概念探讨线性变换的性质与计算第八章：常微分方程与应用8.1 常微分方程的基本概念定义常微分方程的概念探讨常微分方程的解法（分离变量法、积分因子法等）8.2 常微分方程的应用探讨常微分方程在物理、生物学等领域的应用8.3 线性微分方程组引入线性微分方程组的概念探讨线性微分方程组的解法与应用第九章：复变函数基础9.1 复数的基本概念与运算定义复数的概念探讨复数的运算（加减、乘除、共轭等）9.2 复变函数的概念与性质引入复变函数的概念探讨复变函数的性质（解析性、奇偶性等）9.3 复变函数的积分与级数探讨复变函数的积分（柯西积分定理、柯西积分公式等）探讨复变函数的级数（泰勒级数、洛朗级数等）第十章：实变函数与泛函分析初步10.1 实函数的基本概念与性质定义实函数的概念探讨实函数的性质（单调性、有界性等）10.2 泛函分析的基本概念引入泛函分析的概念探讨赋范线性空间与希尔伯特空间的基本概念10.3 赋范线性空间的基本定理探讨赋范线性空间中的基本定理（闭区间上的有界线性算子等）重点解析第一章：函数与极限重点：函数的概念与性质、极限的概念与性质、无穷小与无穷大、极限的运算法则。
《高等数学》课程教案
《高等数学》课程教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对高等数学的兴趣，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，引导学生认识高等数学在自然科学和社会科学中的重要地位。
二、教学内容1. 第一章：极限与连续教学重点：极限的定义、性质，函数的连续性，无穷小比较，洛必达法则。
2. 第二章：导数与微分教学重点：导数的定义，求导法则，高阶导数，隐函数求导，微分方程。
3. 第三章：积分与面积教学重点：不定积分，定积分，积分计算方法，面积计算，弧长与曲线长度。
4. 第四章：级数教学重点：数项级数的概念，收敛性判断，功率级数，泰勒级数，傅里叶级数。
5. 第五章：常微分方程教学重点：微分方程的基本概念，一阶线性微分方程，可分离变量的微分方程，齐次方程，线性微分方程组。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解高等数学的基本概念、理论和方法。
2. 运用示例法，通过典型例题展示解题思路和技巧。
3. 组织练习法，让学生在课堂上和课后进行数学练习，巩固所学知识。
四、教学评价1. 过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思维品质和问题解决能力。
2. 终结性评价：通过课后作业、单元测试、期中考试等方式，检验学生掌握高等数学知识的情况。
五、教学资源1. 教材：《高等数学》及相关辅助教材。
2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助课堂教学。
3. 习题库：提供丰富的习题，供学生课后练习。
4. 网络资源：利用网络平台，提供相关的高等数学学习资料和在线答疑。
5. 辅导资料：为学生提供补充讲解和拓展知识点的辅导资料。
六、第六章：多元函数微分学教学重点：多元函数的极限与连续，偏导数，全微分，高阶偏导数，方向导数，雅可比矩阵与行列式。
七、第七章：重积分教学重点：二重积分，三重积分，线积分，面积分，体积积分，重积分的计算方法，对称性原理。
八、第八章：常微分方程的应用教学重点：常微分方程在物理、生物学、经济学等领域的应用，求解方法，数值解法，稳定性分析。
《高等数学》标准教案
《高等数学》标准教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：了解函数的定义，掌握函数的性质及常见函数类型。
教学内容：函数的定义，函数的单调性、奇偶性、周期性。
教学方法：通过实例讲解，引导学生理解函数的概念，运用性质进行分析。
1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质及求解方法。
教学内容：极限的定义，极限的性质，无穷小与无穷大，极限的求解方法。
教学方法：通过具体例子，引导学生理解极限的概念，运用性质及方法求解极限。
第二章：微积分基本概念2.1 导数与微分教学目标：理解导数的定义，掌握基本导数公式及微分方法。
教学内容：导数的定义，基本导数公式，微分的方法及应用。
教学方法：通过实际例子，引导学生理解导数的概念，运用公式及方法进行微分。
2.2 积分与微分方程教学目标：理解积分的概念，掌握基本积分公式及解微分方程的方法。
教学内容：积分的定义，基本积分公式，微分方程的解法。
教学方法：通过具体例子，引导学生理解积分的概念，运用公式及方法解微分方程。
第三章：多元函数微分学3.1 多元函数的概念与性质教学目标：了解多元函数的定义，掌握多元函数的性质及常见类型。
教学内容：多元函数的定义，多元函数的性质，常见多元函数类型。
教学方法：通过实例讲解，引导学生理解多元函数的概念，运用性质进行分析。
3.2 多元函数的求导法则教学目标：理解多元函数求导法则，掌握多元函数的求导方法。
教学内容：多元函数的求导法则，多元函数的求导方法。
教学方法：通过具体例子，引导学生理解多元函数求导法则，运用方法进行求导。
第四章：重积分与曲线积分4.1 二重积分及其应用教学目标：理解二重积分的定义，掌握二重积分的计算方法及应用。
教学内容：二重积分的定义，二重积分的计算方法，二重积分在几何及物理中的应用。
教学方法：通过具体例子，引导学生理解二重积分的概念，运用计算方法进行计算。
4.2 曲线积分的概念与应用教学目标：理解曲线积分的定义，掌握曲线积分的计算方法及应用。
大学高数第一章教案
一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握函数、极限与连续的基本概念；（2）熟悉一元函数微分学的相关概念和计算方法；（3）了解一元函数积分学的基本概念和计算方法。
2. 能力目标：（1）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力；（2）提高学生的逻辑思维和抽象思维能力；（3）培养学生严谨的数学素养。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学学习的兴趣和热情；（2）培养学生的团队合作精神；（3）树立学生克服困难的信心。
二、教学内容1. 函数、极限与连续（1）函数的定义、性质和图像；（2）极限的概念和运算法则；（3）连续函数的定义和性质。
2. 一元函数微分学（1）导数的定义、性质和运算法则；（2）求导法则的应用；（3）微分的应用。
3. 一元函数积分学（1）定积分的定义、性质和计算方法；（2）不定积分的定义、性质和计算方法；（3）积分的应用。
三、教学过程1. 导入新课（1）通过实际例子，引导学生回顾函数、极限与连续的相关知识；（2）介绍本章学习的重要性和必要性。
2. 讲授新课（1）函数、极限与连续- 讲解函数的定义、性质和图像，结合实例进行说明；- 介绍极限的概念和运算法则，通过实例让学生理解极限的求法；- 讲解连续函数的定义和性质，让学生了解连续函数的特点。
（2）一元函数微分学- 讲解导数的定义、性质和运算法则，通过实例让学生掌握求导方法；- 介绍求导法则的应用，让学生能够灵活运用求导法则；- 讲解微分的应用，让学生了解微分在实际问题中的应用。
（3）一元函数积分学- 讲解定积分的定义、性质和计算方法，通过实例让学生掌握定积分的计算；- 介绍不定积分的定义、性质和计算方法，让学生能够求出不定积分；- 讲解积分的应用，让学生了解积分在实际问题中的应用。
3. 课堂练习（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）指导学生解题，及时解答学生提出的问题。
4. 课堂小结（1）总结本章所学内容，让学生回顾重点知识；（2）强调学习方法，提高学生的自学能力。
高一数学必修一教案(5篇)
高一数学必修一教案(5篇)高一数学必修一优秀教案1一、教学目标1.学问与技能：把握画三视图的根本技能，丰富学生的空间想象力。
2.过程与方法：通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
3.情感态度与价值观：提高学生空间想象力，体会三视图的作用。
二、教学重点：画出简洁几何体、简洁组合体的三视图;难点：识别三视图所表示的.空间几何体。
三、学法指导：观看、动手实践、争论、类比。
四、教学过程(一)创设情景，揭开课题展现庐山的风景图——“横看成岭侧看成峰，远近凹凸各不同”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比拟真实反映出物体，我们可从多角度观看物体。
(二)讲授新课1、中心投影与平行投影：中心投影：光由一点向外散射形成的投影;平行投影：在一束平行光线照耀下形成的投影。
正投影：在平行投影中，投影线正对着投影面。
2、三视图：正视图：光线从几何体的前面对后面正投影，得到的投影图;侧视图：光线从几何体的左面对右面正投影，得到的投影图;俯视图：光线从几何体的上面对下面正投影，得到的投影图。
三视图：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
三视图的画法规章：长对正，高平齐，宽相等。
长对正：正视图与俯视图的长相等，且相互对正;高平齐：正视图与侧视图的高度相等，且相互对齐;宽相等：俯视图与侧视图的宽度相等。
3、画长方体的三视图：正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观看到有几何体的正投影图，它们都是平面图形。
长方体的三视图都是长方形，正视图和侧视图、侧视图和俯视图、俯视图和正视图都各有一条边长相等。
4、画圆柱、圆锥的三视图：5、探究：画出底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥的三视图。
高一数学必修一优秀教案2【考点阐述】两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.【考试要求】(3)把握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;把握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式，进展简洁三角函数式的`化简、求值和恒等式证明.【考题分类】(一)选择题(共5题)1.(海南宁夏卷理7) =( )A. B. C. 2 D.解：，选C。
(完整word版)高等数学教案
高等数学教案教 学 过 程§3 函数的极限一、函数的极限1．自变量趋于有限值时函数的极限定义:如果当x 无限接近于xo , 函数f(x)的值无限接近于常数A , 则称当x 趋于x0 时, f(x)以A 为极限. 记作 0lim x x →f(x)A 或f(x)→A(当x →0x ).定义的简单表述:A x f x x =→)(lim 0⇔∀ε>0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ时, |f(x)-A|<ε .2. 单侧极限:若当x →x0- 时, f(x)无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f(x)当x →x0时的左极限, 记为A x f x x =-→)(lim 0或f(0x -)=A ;若当x →x0+ 时, f(x)无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f(x)当x →x0时的右极限, 记为A x f x x =+→)(lim 0或f(0x +)=A .3．自变量趋于无穷大时函数的极限设f(x)当|x|大于某一正数时有定义. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε, 总存在着正数X , 使得当x 满足不等式|x|>X 时, 对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε,则常数A 叫做函数f(x)当x →∞时的极限, 记为A x f x =∞→)(lim 或f(x)→A(x →∞). A x f x =∞→)(lim ⇔∀ε >0, ∃X >0, 当|x|>X 时, 有|f(x)-A|<ε .类似地可定义A x f x =-∞→)(lim 和A x f x =+∞→)(lim .结论:A x f x =∞→)(lim ⇔A x f x =-∞→)(lim 且A x f x =+∞→)(lim .y y =x -1 -1 1 y =x +1 xO教 学 过 程§4 无穷大与无穷小.无穷大与无穷小1. 无穷小定义：如果函数f(x)当x →x0(或x →∞)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x →x0(或x →∞)时的无穷小.特别地, 以零为极限的数列{xn}称为n →∞时的无穷小.例如,因为01lim =∞→x x , 所以函数x 1为当x →∞时的无穷小.因为0)1(lim 1=-→x x , 所以函数为x -1当x →1时的无穷小.因为011lim =+∞→n n , 所以数列{11+n }为当n →∞时的无穷小.讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示: 无穷小是这样的函数, 在x →x0(或x →∞)的过程中, 极限为零. 很小很小的数只要它不是零, 作为常数函数在自变量的任何变化过程中, 其极限就是这个常数本身, 不会为零.无穷小与函数极限的关系:定理1 在自变量的同一变化过程x →x0(或x →∞)中, 函数f(x)具有极限A 的充分必要条件是f(x)=A +α, 其中α是无穷小.证明: 设Ax f x x =→)(lim 0, ∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ时, 有|f(x)-A|< .令α=f(x)-A , 则α是x →x0时的无穷小, 且f(x)=A +α .这就证明了f(x)等于它的极限A 与一个无穷小α之和.反之, 设f(x)=A +α , 其中A 是常数, α是x →x0时的无穷小, 于是|f(x)-A|=|α|.因α是x →x0时的无穷小, ∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有|α|< 或|f(x)-A|这就证明了A 是f(x) 当 x →x0时的极限.简要证明: 令α=f(x)-A , 则|f(x)-A|=|α|.如果∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有f(x)-A|,就有|α|< ; 反之如果∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有|α|<,就有f(x)-A| .这就证明了如果A 是f(x) 当 x →x0时的极限, 则α是x →x0时的无穷小; 如果α是x →x0时的无穷小, 则A 是f(x) 当 x →x0时的极限.类似地可证明x →∞时的情形. 例如, 因为333212121x x x +=+, 而021lim 3=∞→x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . 定理2 有限个无穷小的和也是无穷小定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 2. 无穷大定义：如果当x →x0(或x →∞)时, 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大, 就称函数 f(x)为当x →x0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x(或∞=∞→)(lim x f x ).应注意的问题: 当x →x0(或x →∞)时为无穷大的函数f(x), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)：在自变量的同一变化过程中, 如果f(x)为无穷大, 则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f(x)为无穷小, 且f(x)≠0, 则)(1x f 为无穷大.简要证明: 如果0)(lim 0=→x f x x , 且f(x)≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时,有M x f 1|)(|=<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f(x)≠0, 从而M x f >|)(1|, 所以)(1x f 为x →x0时的无穷大.如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε1=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时,有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小.简要证明:如果f(x)→0(x →x0)且f(x)≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,当0<|x - x0|<δ时, 有|f(x)|<ε , 即, 所以f(x)→∞(x →x0). 如果f(x)→∞(x →x0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x0|<δ时, 有|f(x)|>M , 即, 所以f(x)→0(x →x0).教 学 过 程§5 极限运算法则一、极限运算法则定理1 如果lim f (x)=A , lim g (x)=B , 那么(1) lim [f (x)±g(x)] = lim f (x) ±lim g (x) =A ± B ; (2) lim f (x)⋅g(x) = lim f (x) ⋅ lim g (x) =A ⋅B ;(3)B Ax g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim(B ≠0).证明(1): 因为lim f (x)=A , lim g (x)=B , 根据极限与无穷小的关系, 有f (x)=A +α,g (x)=B +β,其中α及β 为无穷小. 于是f (x) ±g (x)=(A +α) ± (B +β) =(A ± B) +(α± β),即f (x) ± g (x)可表示为常数(A ± B)与无穷小(α± β)之和. 因此lim [f (x) ± g (x)] =lim f (x) ± lim g (x) = A ± B .定理2 如果(x)≥(x), 而lim (x)=a , lim ψ(x)=b , 那么a ≥b . 推论1 如果lim f (x)存在, 而c 为常数, 则lim [c f (x)]=c lim f (x).推论2 如果lim f (x)存在, 而n 是正整数, 则lim [f (x)]n =[lim f (x)]n .例3. 求93lim 2 3--→x x x .教 学 过 程§6 极限存在准则·两个重要极限极限存在准则·两个重要极限 1. 夹逼准则准则I 如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件:(1)yn ≤xn ≤zn(n 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)ay n n =∞→lim ,az n n =∞→lim ,那么数列{xn }的极限存在, 且ax n n =∞→lim .证明:因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时,有|y n -a |<ε ; 又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有|y n -a |<ε , |z n -a |<ε同时成立, 即a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε ,同时成立. 又因yn ≤xn ≤zn , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε ,即 |x n -a |<ε . 这就证明了ax n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时，有 |y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I '如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件:(1) g(x)≤f(x)≤h(x);(2) lim g(x)=A , lim h(x)=A ; 那么lim f(x)存在, 且lim f(x)=A .第一重要极限：1sin lim 0=→xx x证明 首先注意到, 函数x xsin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,BC ⊥OA , DA ⊥OA . 圆心角∠AOB x (0<x <2 π). 显然 sin x CB , x ⋂AB , tan x AD .因为S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD ,所以21sin x <21x <21tan x ,即 sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或 1sin cos <<x x x .注意此不等式当2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOBx (2 0π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x < tan x ,从而 1sin cos <<x x x (此不等式当x <0时也成立).因为1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .应注意的问题: 在极限)()(sin limx x αα中, 只要(x)是无穷小, 就有1)()(sin lim =x x αα.这是因为, 令u(x), 则u →0, 于是)()(sin limx x αα1sin lim 0==→u u u .1sin lim 0=→xx x1)()(sin lim=x x αα((x)→0)2. 单调有界收敛准则准则II 单调有界数列必有极限.如果数列{x n}满足条件x 1≤x 2≤x 3≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤x n ≤x n 1≤ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n}是单调增加的; 如果数列{x n}满足条件x 1≥x 2≥x 3≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥x n ≥x n 1≥ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n}是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 如果数列{x n}满足条件x n ≤x n 1, n ∈N +,在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II 表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛.O CADB 1 x准则II 的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生.根据准则II , 可以证明极限nn n )11(lim +∞→存在.设nn n x )11(+= 现证明数列{xn}是单调有界的.按牛顿二项公式, 有nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x 1!)1( )1( 1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+= )11( )21)(11(!1 )21)(11(!31)11(!2111n n n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++=,)111( )121)(111(!1 )121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n )11( )121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n n n n n .比较x n , x n +1的展开式, 可以看出除前两项外, x n 的每一项都小于x n +1的对应项, 并且x n +1还多了最后一项, 其值大于0, 因此 x n < x n +1 ,这就是说数列{xn}是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为xn 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121 212111!1 !31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x第二重要极限：根据准则II , 数列{xn}必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即en n n =+∞→)11(lim .我们还可以证明ex x x =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e 2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数y e x 以及对数函数y ln x 中的底e 就是这个常数. 在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要(x)是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim[αα.这是因为, 令)(1x u α=, 则u →∞, 于是)(1)](1lim[x x αα+e u u u =+=∞→)11(lim .e x x x =+∞→)11(lim , ex x =+)(1)](1lim[αα((x)→0).例3. 求xx x )11(lim -∞→.解: 令t x , 则x →∞时, t →∞. 于是x x x)11(lim -∞→tt t -∞→+=)11(lim e t t t 1)11(1lim=+=∞→.教 学 过 程§8 函数的连续性函数的连续性 1. 变量的增量:设变量u 从它的一个初值u1变到终值u2, 终值与初值的差u2u1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u2u1.设函数y f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x0变到x0x 时, 函数y 相应地从f(x0)变到f(x0x), 因此函数y 的对应增量为y f(x0x) f(x0).2. 函数连续的定义设函数y f(x)在点x0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量x x x0趋于零时, 对应的函数的增量y f(x0x) f(x0 )也趋于零, 即 0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数y f(x)在点x0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设xx0+x , 则当x →0时, x →x0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y f(x)在点x0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式|x x0|< 的一切x , 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)f(x0)|< ,那么就称函数y f(x)在点x0处连续.3. 左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y f(x)在点0x 处左连续.如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y f(x)在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:函数y f(x)在点x0处连续⇔函数y f(x)在点x0处左连续且右连续. 函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.4. 连续函数举例:1. 如果f(x)是多项式函数, 则函数f(x)在区间(∞, ∞)内是连续的. 这是因为, f(x)在(∞, ∞)内任意一点x0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→2. 函数x x f =)(在区间[0, ∞)内是连续的.3. 函数y sin x 在区间(∞, ∞)内是连续的. 证明: 设x 为区间(∞, ∞)内任意一点. 则有y =sin(x +x)-sin x)2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y sin x 在区间(∞, ∞)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y cos x 在区间(∞, ∞)内是连续的.函数的间断点 1. 间断定义:设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f(x)有下列三种情形之一:(1)在x0没有定义; (2)虽然在x0有定义, 但limx x →f(x)不存在;(3)虽然在x0有定义且0lim x x →f(x)存在, 但0limx x →f(x)≠f(x0);则函数f(x)在点x0为不连续, 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.例1. 正切函数ytan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2 π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2 π=x 为函数tan x 的无穷间断点. 例2.函数x y 1sin =在点x 0没有定义, 所以点x 0是函数x 1sin 的间断点. 当x →0时, 函数值在1与1之间变动无限多次, 所以点x0称为函数x 1sin 的振荡间断点. 例3. 函数112--=x x y 在x1没有定义, 所以点x 1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x1时y 2, 则所给函数在x1成为连续. 所以x 1称为该函数的可去间断点.例4.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211)(x x x x f y .因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x1是函数f(x)的间断点.如果改变函数f(x)在x 1处的定义:令f(1)1, 则函数f(x)在x 1 成为连续, 所以x 1也称为该函数的可去间断点.例5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0 1000 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f(x)的间断点. 因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象, 我们称x 0为函数f(x)的跳跃间断点.2. 间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.初等函数的连续性1. 连续函数的和、积及商的连续性 定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续, 则函数f(x)±g(x), f(x)⋅g(x),)()(x g x f (当0)(0≠x g 时)在点x0也连续.f(x)±g(x)连续性的证明:因为f(x)和g(x)在点x0连续, 所以它们在点x0有定义, 从而f(x)±g(x)在点x0也有定义, 再由连续性和极限运算法则, 有)()()(lim )(lim )]()([lim 000x g x f x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→.根据连续性的定义, f(x)±g(x)在点x0连续.例1. sin x 和cos x 都在区间(-∞, +∞)内连续,故由定理3知tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的.三角函数sin x , cos x , sec x , csc x , tan x , cot x 在其有定义的区间内都是连续的. 二、反函数与复合函数的连续性定理2 如果函数f(x)在区间Ix 上单调增加(或单调减少)且连续, 那么它的反函数x =f -1(y)也在对应的区间Iy ={y|y =f(x),x ∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续. 证明（略）.例2. 由于y =sin x 在区间]2 ,2[ππ-上单调增加且连续, 所以它的反函数y =arcsin x在区间[-1, 1]上也是单调增加且连续的.同样,y =arccos x 在区间[-1, 1]上也是单调减少且连续; y =arctan x 在区间(-∞, +∞)内单调增加且连续;y =arccot x 在区间(-∞, +∞)内单调减少且连续.总之, 反三角函数arcsin x 、arccos x 、arctan x 、arccot x 在它们的定义域内都是连续的. 定理3 设函数y =f[g(x)]由函数y =f(u)与函数u =g(x)复合而成,gf D x U⊂)(0. 若)lim 0u x g x x =(→, 而函数y =f(u)在0u 连续, 则)()(lim )][lim 00u f u f x g f u u x x ==(→→.简要证明 要证∀ε >0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ 时, 有|f[g(x)]-f(u0)|<ε .因为f(u)在0u 连续, 所以∀ε >0, ∃η>0, 当|u -u0|<η 时, 有|f(u)-f(u0)|<ε .又g(x)→u0(x →x0), 所以对上述η>0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ 时, 有|g(x)-u0|<η. 从而 |f[g(x)]-f(u0)|<ε . (2)定理的结论也可写成)](lim [)]([lim 0x g f x g f x x x x →→=. 求复合函数f[g(x)]的极限时, 函数符号f 与极限号可以交换次序.)(lim )]([lim 0u f x u f u u x x →→=表明,在定理3的条件下, 如果作代换u =g(x),那么求)]([lim 0x g f x x →就转化为求)(lim 0u f u u →, 这里)(lim 00x g u x x →=.把定理5 中的x →x0换成x →∞, 可得类似的定理.例3. 求93lim23--→x x x .解93lim23--→x x x 93lim 23--=→x x x 61=.提示:932--=x x y 是由u y =与932--=x x u 复合而成的. 93lim 23--→x x x 61=, 函数u y =在点61=u 连续 =g(x0)定理4 设函数y =f[g(x)]由函数y =f(u)与函数u =g(x)复合而成, U(x0)⊂Df og . 若函数u =g(x)在点x0连续, 函数y =f(u)在点u0=g(x0)连续, 则复合函数y =f[(x)]在点x0也连续. 证明: 因为(x)在点x0连续, 所以limx x →(x)=(x0)=u0.又y =f(u)在点u =u0连续, 所以 0limx x →f[(x)]=f(u0)=f[(x0)].这就证明了复合函数f[(x)]在点x0连续.例4. 讨论函数x y 1sin =的连续性. 解: 函数x y 1sin =是由y =sin u 及x u 1=复合而成的. sin u 当-∞<u<+∞时是连续的,x 1当-∞<x<0和0<x<+∞时是连续的,根据定理4, 函数x 1sin 在无限区间(-∞, 0)和(0, +∞)内是连续的.2、初等函数的连续性在基本初等函数中, 我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的.我们指出, 指数函数ax (a>0, a ≠1)对于一切实数x 都有定义,且在区间(-∞, +∞)内是单调的和连续的, 它的值域为(0, +∞).由定理4, 对数函数log ax (a>0, a ≠1)作为指数函数ax 的反函数在区间(0, +∞)内单调且连续.幂函数y =x 的定义域随的值而异, 但无论为何值, 在区间(0, +∞)内幂函数总是有定义的.可以证明, 在区间(0, +∞)内幂函数是连续的. 事实上, 设x>0, 则y =x =xa a log μ, 因此, 幂函数x 可看作是由y =au , u =logax 复合而成的, 由此, 根据定理6, 它在(0, +∞)内是连续的.如果对于取各种不同值加以分别讨论, 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的.结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 所谓定义区间, 就是包含在定义域内的区间.初等函数的连续性在求函数极限中的应用:如果f(x)是初等函数, 且x0是f(x)的定义区间内的点, 则limx x →f(x)=f(x0).例5求21lim x x -→解 初等函数f(x)=21x -在点00=x 是有定义的,所以 111lim 20==-→x x .例6求xx sin ln lim 2π→解 初等函数f(x)=ln sin x 在点2 0π=x 是有定义的, 所以 02 sin ln sin ln lim 2==→ππx x .例7. 求x x x 11lim 20-+→.解: x x x 11lim 20-+→)11()11)(11(lim 2220++++-+=→x x x x x02011lim 20==++=→x x x .例8. 求x x a x )1(log lim0+→.教 学 过 程§1 导数概念一、 导数概念 1. 引例直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: S =f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--,这个比值可认为是动点在时间间隔t =t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样:令t =t 0→0, 取比值0)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 00)()(lim 0t t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度.2．切线问题设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C 就是函数y f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即 00)()(limx x x f x f k x x --=→存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k tan ,其中是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.二、导数的定义1. 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令△x =x -x 0, 则△y =f (x 0+△x )-f (x 0)=f (x )-f (x 0), x →x 0相当于△x →0, 于是0)()(limx x x f x f x x --→成为xyx ∆∆→∆0lim 或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量△x (点x 0+△x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量△y =f (x 0+△x )-f (x 0); 如果△y 与△x 之比当△x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即xx f x x f xyx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(0000,也可记为0|x x y =',0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在.导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→, 000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于∞=∆-∆+→∆xx f x x f x )()(lim000, 也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大.如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导, 这时, 对于任一x ∈I , 都对应着f (x )的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ',dx dy , 或dxx df )(. 2. 导函数的定义式:xx f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(limhx f h x f h )()(lim-+→. f '(x 0)与f '(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义f (x )在0x 的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='-→-;f (x )在0x 的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='+→+.如果极限hx f h x f h )()(lim 000-+-→存在,则称此极限值为函数在x 0的左导数.如果极限hx f h x f h )()(lim 000-++→存在,则称此极限值为函数在x 0的右导数.导数与左右导数的关系:A x f =')(0⇔A x f x f ='='+-)()(00.三、求导数举例例1．求函数f (x )C （C 为常数）的导数.解: hx f h x f x f h )()(lim)(0-+='→0lim 0=-=→hC C h . 即(C ) '=0.例2 求xx f 1)(=的导数解 hxh x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(limx x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→例3求x x f =)(的导数解 hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim)( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim 00=++=++=→→ 例4．求函数f (x )x n (n 为正整数)在x a 处的导数.解: f '(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n1ax n2⋅ ⋅ ⋅a n 1)=na n 1.把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n 1, 即 (x n )'=nx n 1. (C )'=0, 21)1(xx-=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .例5．求函数f (x )sin x 的导数.解: f '(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim 0h h x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )'=cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x . 例6．求函数f (x )a x (a >0, a ≠1) 的导数.解: f '(x )h x f h x f h )()(lim0-+=→h a a x h x h -=+→0limh a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim 0t t a a t x +→ a a ea x a x ln log 1==.特别地有(e x )′=e x .例7．求函数f (x )log a x (a >0, a ≠1) 的导数.解: hx h x hx f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim )(0-+=-+='→→h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==.解:h xh x x f a ah log )(log lim )(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→ h xa h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 ax x a ln 1)(log ='. :特殊地 xx 1)(ln ='.ax x a ln 1)(log ='xx 1)(ln ='.1．单侧导数:极限h x f h x f h )()(lim0-+→存在的充分必要条件是hx f h x f h )()(lim 0-+-→及h x f h x f h )()(lim 0-++→都存在且相等.f (x )在0x 处的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(00-+='-→-, f (x )在0x 处的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(00-+='+→+.2．导数与左右导数的关系:函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f '(x 0) 和右导数f '(x 0)都存在且相等.如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '(a ) 和左导数f '(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导. 例8．求函数f (x )x |在x 0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h hf h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h ,因为f '(0)≠ f '(0), 所以函数f (x )|x |在x 0处不可导.四、导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即f '(x 0)=tan , 其中是切线的倾角.如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y -y 0=f '(x 0)(x -x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y =f (x )在点M 处的法线如果f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为)()(1000x x x f y y -'-=-.例9. 求等边双曲线x y 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解: 21xy -=', 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121-=-==x xk , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4xy 40. 所求法线方程为)21(412-=-x y , 即2x8y150.例10. 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程.解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为 0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为 )(230000x x x x x y -=-.根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--,解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y , 即3x -y -4=0.五、函数的可导性与连续性的关系设函数yf (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f xy x '=∆∆→∆存在. 则00)(lim lim lim lim 00000=⋅'=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x yx xy y x x x x .这就是说, 函数y f (x )在点x 0 处是连续的. 所以, 如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7． 函数3)(x x f =在区间(∞, ∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大hf h f h )0()0(lim0-+→+∞=-=→h h h 0lim 30.x(u +v -w )'=u '+v '-w '.(uvw )'=[(uv )w]'=(uv )'w +(uv )w '=(u 'v +uv ')w +uvw '=u 'vw +uv 'w +uvw '.即 (uvw )'=u 'vw +uv 'w +uvw '.在法则(2)中, 如果v =C (C 为常数), 则有 (Cu )'=Cu '.例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-5x 2)'+3x )'-7)'= 2(x 3)'- 5x 2)'+ 3x )' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2.2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2(πf '.解: x x x x x f sin 43)2(sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2 (2-='ππf .例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.解: xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.即 (tan x )'=sec 2x . 例5．y =sec x , 求y '.解: xx x xx y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='xx2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x .例8设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且 (a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有 ax aa a x y ya ln 1ln 1)(1)(log =='='.到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？复合函数的求导法则定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy'⋅'=或dx du du dy dx dy ⋅=.证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [(x )]也是常数, 此时导数为零,结论自然成立.当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, u ≠0, 此时有 xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f xy ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([xx g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(,xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim )()(lim lim 000= f '(u )⋅g '(x ).简要证明x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(lim lim 00x g u f xu u yx u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆. 例9 3x e y =, 求dxdy.解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10 212sin xx y +=, 求dx dy.解 函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212xx u +=复合而成的,因此 2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos xx x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x , 求dxdy .解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x x x dx dyx x xcot cos sin 1=⋅=. 例12．3221x y -=, 求dxdy.解: )21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=.复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ),v =ψ(x ), 则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dxdy.解: ])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy)tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=.例14．x e y 1sin =, 求dxdy.解: )1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=x x e x e e dx dy x x xxe x x 1cos 11sin2⋅⋅-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.基本求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数:(1)(C )'=0,(2)(x )'= x -1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x ,(7)(sec x )'=sec x ⋅tan x , (8)(csc x )'=-csc x ⋅cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) ax x a ln 1)(log =',(12) xx 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', (14) 211)(arccos xx --='.(15) 211)(arctan xx +=',(16) 211)cot arc (xx +-='.2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则 (1)(u ±v )'=u '±v ',(2)(C u )'=C u ', (3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ',(4)2)(vv u v u vu '-'='. 反函数的求导法则设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dxdy1=.复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为 dxdudu dy dx dy ⋅=或y '(x )=f '(u )⋅g '(x ). 例16. 求双曲正弦sh x 的导数.解因为)(21sh x x e e x --=, 所以x e e e e x x x x x ch )(21)(21)sh (=+='-='--,即 (sh x )'=ch x . 类似地, 有(ch x )'=sh x . 例17. 求双曲正切th x 的导数解因为x x x ch sh th =, 所以xx x x 222ch sh ch )(th -='x 2ch 1=.例18. 求反双曲正弦arsh x 的导数解 因为)1ln(arsh 2x x x ++=, 所以 22211)11(11)arsh (x x x x x x +=++⋅++='. 由)1ln(arch 2-+=x x x , 可得11)arch (2-='x x .由x x x -+=11ln 21arth , 可得211)arth (xx -='.类似地可得11)arch (2-='x x 211)arth (x x -='例19．y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '.解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .教 学 过 程§4 高阶导数一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或22dxyd ,即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]'，)(22dxdydx d dx y d =.相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , nn dxyd . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.y '称为一阶导数 y '' y ''' y (4) ⋅ ⋅ ⋅ y (n )都称为高阶导数例1．y ax +b , 求y ''. 解: y '=a , y ''=0.例2．s =sin t , 求s ''.解: s '=cos t , s ''=-sin t . 例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y3y ''+1=0.证明: 因为22212222x x xxx x y --=--=',22222222)1(2x x x x xx x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1yx x -=--=所以y 3y ''+1=0.例4．求函数y =e x 的n 阶导数. 解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x , 一般地, 可得y ( n )=e x , 即 (e x )(n )=e x .例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数. 解: y =sin x ,)2sin(cos π+=='x x y ,)22sin()2 2sin()2cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ,)23sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y ,)24sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,一般地, 可得)2sin()(π⋅+=n x y n , 即)2sin()(sin )(π⋅+=n x x n .用类似方法, 可得)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n .例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )1, y ''=-(1+x )2,y '''(-1)(-)(1-x )3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )4, 一般地, 可得y (n )=(-1)(-2)⋅ ⋅ ⋅(n -1)(1-x )n nn x n )1()!1()1(1+--=-, 即 nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-. 例7．求幂函数y =x (是任意常数)的n 阶导数公式.解: : y '=μx μ-1,y ''=μ(μ-1)x μ-2,y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4, 一般地, 可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n , 即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n . 当μ=n 时, 得到(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! . 而 (x n )( n +1)=0 .如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) .教 学 过 程§5 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y sin x , y =ln x ++e x .隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数. 例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=. 如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ⋅ y '+y +xy '=0,从而 y e x yy +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0.解: 把方程两边分别对x 求导数得 5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y .例3.求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程.解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x .从而 yx y 169-='.当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率43|2-='==x y k .所求的切线方程为)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得。
高数第一课教案模板范文
课时安排：1课时教学目标：1. 让学生了解高等数学的基本概念和重要性。
2. 培养学生对高等数学的兴趣和学习的自信心。
3. 引导学生掌握高等数学的基本学习方法。
教学内容：1. 高等数学概述2. 高等数学的重要性3. 高等数学的基本学习方法教学过程：一、导入新课1. 教师简要介绍自己的教育背景和教学经验，拉近与学生的距离。
2. 引导学生回顾中学数学知识，激发学生对高等数学的兴趣。
二、讲授新课1. 高等数学概述- 解释高等数学的定义和特点- 简述高等数学的起源和发展历程- 强调高等数学在各个领域的应用2. 高等数学的重要性- 举例说明高等数学在自然科学、工程技术、经济管理等方面的应用 - 强调高等数学对培养创新能力和解决实际问题的能力的重要性3. 高等数学的基本学习方法- 鼓励学生多阅读教材，理解基本概念和定理- 引导学生多做题，巩固所学知识- 培养学生自主思考和解决问题的能力三、课堂互动1. 教师提问，引导学生思考高等数学的基本概念和重要性2. 学生分组讨论，分享各自对高等数学的理解和学习方法3. 教师总结学生的讨论成果，强调重点和难点四、布置作业1. 让学生阅读教材相关章节，了解高等数学的基本概念2. 布置一定数量的练习题，巩固所学知识五、课堂小结1. 教师总结本节课的主要内容，强调高等数学的重要性2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高自己的学习兴趣教学反思：本节课以激发学生对高等数学的兴趣和培养学习自信心为目标，通过介绍高等数学的基本概念、重要性以及学习方法，引导学生步入高等数学的学习之旅。
在教学过程中，教师应注意以下几点：1. 营造轻松、愉快的课堂氛围，拉近与学生的距离。
2. 注重启发式教学，引导学生主动思考，培养解决问题的能力。
3. 结合实际案例，让学生了解高等数学的应用价值。
4. 关注学生的学习需求，及时调整教学策略。
教学评价：1. 学生对本节课的兴趣和参与度2. 学生对高等数学基本概念的理解程度3. 学生对高等数学学习方法的掌握情况4. 学生对课堂教学的满意度备注：1. 教师可根据学生的实际情况调整教学内容和进度。
高等数学电子教案
高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个非空数集A中的每一个元素在非空数集B中都有唯一确定的元素和它对应。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，函数f(x)趋向于某一数值L，我们称f(x)当x趋向于a时的极限为L，记作：lim(f(x),a)=L。
1.3 极限的运算极限的四则运算法则：1）lim(f(x)+g(x),a)=lim(f(x),a)+lim(g(x),a)2）lim(f(x)g(x),a)=lim(f(x),a)lim(g(x),a)3）lim(f(x)/g(x),a)=lim(f(x),a)/lim(g(x),a) （g(x)≠0）4）lim(cu(x),a)=lim(c,a)lim(u(x),a) （c为常数，u(x)可导）1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|<M，则称f(x)为无穷小。
无穷大的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|>M，则称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x),Δx)=lim(Δx,0)f'(x+Δx)。
2.2 导数的运算导数的四则运算法则：1）(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2）(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)3）(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4）(cu(x))'=c'u(x)+cu'(x) （c为常数，u(x)可导）2.3 微分微分的定义：函数f(x)在x处的微分定义为df(x)=f'(x)Δx。
高等数学教学设计一等奖5篇
第5篇教学设计学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义;2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;3. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.学习过程一、课前准备问题3：因为三角形的内角和是，四边形的内角和是，五边形的内角和是所以n边形的内角和是新知1：从以上事例可一发现：叫做合情推理。
归纳推理和类比推理是数学中常用的.合情推理。
新知2：类比推理就是根据两类不同事物之间具有推测其中一类事物具有与另一类事物的性质的推理.简言之，类比推理是由的推理.新知3归纳推理就是根据一些事物的,推出该类事物的的推理. 归纳是的过程例子:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7,16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ,50=13+37, , 100=3+97，猜想：归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)。
※典型例题例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,72n-1，的前n项和Sn的归纳过程。
变式1 观察下列等式：1+3=4= ，1+3+5=9= ，1+3+5+7=16= ，1+3+5+7+9=25= ，你能猜想到一个怎样的结论?变式2观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，你能猜想到一个怎样的结论?例2设计算的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
变式：(1)已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式例3：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，※动手试试1. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律?2 如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交。
高等数学第一章函数极限和连续教案
高等数学第一章函数极限和连续教案教案：高等数学第一章-函数、极限和连续一、教学目标：1.理解函数的基本定义和性质，能够用函数的图像描绘函数的性质。
2.掌握函数的四种表示方式：显式表达式、参数方程、隐式方程和级数展开。
3.了解函数的运算和复合函数的性质，并能够应用到问题解决中。
二、教学重难点：1.函数的概念和性质的理解和应用。
2.函数的四种表示方式的转换和应用。
3.复合函数的运算和性质的理解和应用。
三、教学过程：1.导入新课：老师可以提问学生，什么是函数？函数有哪些性质？函数在哪些实际问题中有应用？引导学生讨论和思考。
2.函数的基本概念：a.对于给定的自变量，能够确定唯一的值。
b.函数的定义域和值域。
c.函数的奇偶性、周期性和有界性。
d.函数的图像和性质。
3.函数的四种表示方式：a.显式表达式：y=f(x)。
b.参数方程：x=φ(t)，y=ψ(t)。
c.隐式方程：F(x,y)=0。
d.级数展开：f(x)=a0+a1x+a2x^2+...4.函数的运算：a.四则运算：加法、减法、乘法和除法。
b.复合函数：g(f(x))。
5.复合函数的性质：a.复合函数的定义域和值域。
b.复合函数的奇偶性。
c.复合函数的周期性。
d.复合函数的有界性。
6.函数的极限：a.极限的定义和性质。
b.极限的计算方法：代入法、夹逼法、夹分法等。
c.无穷小量和无穷大量的概念。
d.极限存在和不存在的判别方法。
7.函数的连续：a.连续的定义和性质。
b.连续函数的四个基本定理。
c.连续函数图像的特点。
8.综合练习：a.解答一些典型例题，让学生掌握函数、极限和连续的基本概念和性质。
b.组织学生进行小组讨论和合作解题，培养学生的应用和分析问题的能力。
四、课后作业：1.完成课后习题，巩固所学知识。
2.预习下节课的内容。
五、教学反思：通过本节课的教学，学生对于函数、极限和连续的概念和性质有了更清晰的认识。
在教学过程中，结合实际问题的应用，引导学生思考和讨论，加强学生的实际运用能力。
高等数学》标准教案
《高等数学》标准教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：通过实例分析、问题探讨、数学建模等方式，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对高等数学的兴趣，培养学生勇于挑战、追求真理的精神，提高学生的综合素质。
二、教学内容1. 第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.2 极限的运算1.3 无穷小与无穷大1.4 函数的连续性2. 第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 导数的运算2.3 高阶导数2.4 微分法则3. 第三章：积分与不定积分3.1 积分的基本概念3.2 积分的运算3.3 不定积分的基本性质与方法3.4 定积分的应用4. 第四章：定积分与微分方程4.1 定积分的基本性质4.2 定积分的计算4.3 微分方程的基本概念4.4 常微分方程的求解方法5. 第五章：级数5.1 数项级数的概念与性质5.2 级数的收敛性判定5.3 幂级数的概念与性质5.4 函数的幂级数展开三、教学方法1. 采用案例教学法，通过典型实例分析，使学生掌握高等数学的基本概念和理论。
2. 运用问题驱动法，引导学生主动探究、解决问题，培养学生的数学思维能力。
3. 利用数学建模方法，让学生参与实际问题的探讨，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4. 采用小组讨论与合作交流的方式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
四、教学评价1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况、小组讨论等，占总评的40%。
2. 期中考试：考察学生对高等数学基本概念、理论和方法的掌握程度，占总评的30%。
3. 期末考试：全面测试学生的综合素质，包括知识运用、数学思维、解决问题等能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：《高等数学》及相关辅导书籍。
2. 课件：教师自制的PPT课件。
3. 网络资源：数学论坛、在线教程、相关学术文章等。
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湖南机电职业技术学院学期授课计划学期授课计划备注：严格按此计划组织教学，授课内容误差不得超过2个课时；各班级按教学进度表组织教学，如有实习周或放假周，按计划内容顺延。
湖南机电职业技术学院教案(一)备课组长签名：教师签名：湖南机电职业技术学院教案（二）备课组长签名：教师签名：湖南机电职业技术学院教案（三）备课组长签名：教师签名：湖南机电职业技术学院教案（四）备课组长签名：教师签名：教学目的(知识、技能、态度)：了解极限存在准则，掌握两个重要极限; 利用法则与重要极限会求某些函数的极限.提高观察分析能力。
教学重点：利用法则与重要极限求极限。
教学难点：重要极限的认识与应用 课 型：新授课主要教学方法：引导式教学法；讲授法. 教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法Ⅰ.组织教学： 考勤，复习回顾:无穷大与无穷小，极限的四则运算法则。
Ⅱ、新课教学1. 极限存在准则Ⅰ与重要极限0sin lim1x xx→=准则Ⅰ如果对于x 0的某邻域内的一切x （可以不包含x 0），或者对于绝对值充分大的一切x ，有)()()(x h x f x g ≤≤；并且有A x h x g ==)(lim )(lim ，则当0x x →或∞→x 时，f(x)的极限存在，且limf(x)=A 。
0sin lim1x xx→=证明：,,(0)2O AOB x x π∠=<<设单位圆圆心角， .ACO ∆，得作单位圆的切线,x OAB 的圆心角为扇形,BD OAB 的高为∆,tan ,,sin AC x AB x BD x ===弧于是有sin tan ,x x x ∴<<即sin cos 1,xx x <<.02也成立上式对于<<-x π,20时当π<<xx x cos 11cos 0-=-<2sin 22x =2)2(2x <,22x = ,02lim 20=→x x ,0)cos 1(lim 0=-∴→x x5’10’ACxBDosin1=01sin 21lim 22222x x cos x x cos x →==22sin x 2sin1x1lim(1)e →∞+=；1lim(1)e →+=型幂指函数的极限。
1311x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭3lim 1x x →∞⎛+ -⎝湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（五）备课组长签名： 教师签名：课题：§1.14函数的连续性教学目的(知识、技能、态度)：理解函数连续性的两个定义，了解间断点的类别,掌握初等函数在定义区间上的连续性，了解闭区间上连续函数的性质及应用；提高观察分析能力。
教学重点：初等函数在定义区间上的连续性。
教学难点：连续性与间断点的判别，闭区间上连续函数的性质的理解和应用。
课型：新授课主要教学方法：数形结合法，分析法 教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法Ⅰ.组织教学：上节回顾：两个重要极限公式．无穷小的比较；作业讲析 Ⅱ、新课教学 一、 函数的增量在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性 在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量定义1 如果函数()y f x = 在0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 从0x 变到0x x +∆，函数()y f x =相应地从0()f x 变到0()f x x +∆，因此函数相应的增量为： 00()()y f x x f x ∆=+∆-强调：增量可正可负，其实是变量的改变量。
例1 设2()31y f x x ==-，求适合下列条件的自变量的增量x ∆和函数的增量y ∆：（1）x 由1变化到0.5 （2）x 由1变到1x +∆ （3）x 由0x 变到0x x +∆2’5’10’解略。
二、函数连续性的概念 1. 一点处连续的定义。
定义2 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域有定义,如果当△x 趋向于零时，函数y 对应的增量△y 也趋向于零，即：那末就称函数在点x 0处连续。
例2 证明函数2()22y f x x x ==-+在点0x x =处连续。
定义3设函数在点x 0的某个邻域内有定义，如果有称函数在点x 0处连续，且称x 0为函数的的连续点.由定义，函数在()y f x =点0x 连续需同时满足三个条件：（1） 函数在点0x 的一个邻域内有定义，即0()f x 存在（2） 0lim ()x x f x →存在，即左右极限相等0lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→= （3） 上述两个值相等，即极限值等于函数值0lim ()x x f x →=0()f x例3讨论函数21()1x f x x -=-在1x =处的连续性。
例4 讨论函数1,1()0,11,1x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩在1x =处的连续性。
例5讨论函数1,1()0,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩在1x =处的连续性。
2. 区间连续 设函数在区间(a,b]内有定义，如果左极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点b 左连续.设函数在区间[a,b)内有定义，如果右极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点a 右连续. 一个函数在由图形分析加强学生对定义的理解10’10’15’5’开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a 点右连续，b 点左连续，则在闭区间[a ，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。
连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。
三、函数的间断点 分类 原因 包含情况 类型 第一类间断点lim ()x x f x -→,0lim ()x x f x +→ 都存在lim ()x x f x -→≠0lim ()x x f x +→ 跳跃间断点0lim ()x x f x -→=0lim ()x x f x +→=00lim ()()x x f x f x →≠ 可去间断点第二类间断点不属于第一类间断点的lim ()x x f x →=∞无穷间断点结合前面的例子分别介绍.例3为无穷间断点,例4为可去间断点,例5为跳跃间断点 四、 初等函数的连续性1.连续函数的和、差、积、商的连续性由函数在一点处连续的定义和极限的四则运算法则可知：00(),(),()(),()()f x g x x f x g x f x g x x ±⋅若函数在点处连续则在点处连续, 2. 复合函数的连续性 设函数当x →x 0时的极限存在且等于a ，即：.而函数在点u=a 连续，那末复合函数当x →x 0时的极限也存在且5’5’湖南机电职业技术学院教案（六）备课组长签名：教师签名：与连续的关系. 培养学生联系的、辩证统一的思想；培养学生解决实际问题的能力。
教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解和可导与连续之间的关系。
课型：新授课主要教学方法：讲授法、讨论法、案例教学法 教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法Ⅰ.组织教学：考勤，检查预习情况。
Ⅱ、新课教学 一、两个引例。
引例1 求变速直线运动的瞬时速度。
瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度。
确定物体在某一时刻0t 处的瞬时速度0()v t 的方法：从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度000000()()()lim limlim t t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ 引例2 曲线的切线。
如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线y=f(x)β∆x∆yQ MPxOy确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既2’ 10’10’00limlimx x x →→=∆这个极限为函数y 00lim limx x x →→=∆处可导有时也说成x f )(0不存在，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导三、求函数导数的一般方法：（1）求函数的改变量()()y f x x f x ∆=+∆-（2）求平均变化率()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim注意：(Δx )2括号别忘了写.例2已知2y x =,求y ′.解：略分析：例1中的一点处的导数与这里的任意点处的导数的关系。
例3 求函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的导数。
解：（1）log ()log log (1)a a a xy x x x x∆∆=+∆-=+；（2）11log (1)log (1)xxa a y x x x x x x x∆∆∆∆=+=+∆∆； （3)00011limlim log (1)lim log (1)x x x xa a x x x y x x x x x x x ∆∆∆→∆→∆→∆∆∆=+=+=∆ 0111log lim(1)log ln xxa a x x e x xx x a∆∆→∆+== 1(log )ln a x x a '=特别地：当a e =时，有1(ln )x x'= 点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉.四、 导数的几何意义由导数的定义可知:函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即,其中是切线的倾角.如下图：20’5’如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-例2 求曲线3y x =在点（2，8）处的切线方程和法线方程。
解略。
五、 可导与连续的关系定理2.1 如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.设函数()y f x =在点x 可导,即有: 0lim ()x yf x x∆→∆'=∆由极限与无穷小的关系得:()yf x xα∆'=+∆ 其中α为当0x ∆→时的无穷小,上式两端同乘以x ∆,得()y f x x x α'∆=∆+∆当0x ∆→时0y ∆→,由连续性的定义可知:f (x )在x 0处连续.连续未必可导可通过反例说明，如y =|x |=⎩⎨⎧<-≥0x x x x 在x 0=0处∵-→0lim x y =-→0lim x (－x )=0，+→0lim x y =+→0lim x x =0，∴0lim →x y =0∴y =|x |在x =0处连续.lim→∆x x y∆∆==∆∆=∆-∆→∆→∆x x x x x x ||lim |0|||lim 00⎩⎨⎧<∆->∆010 1x x∴y =|x |在x 0=0处不可导.5’10’湖南机电职业技术学院教案（七）备课组长签名：教师签名：dudx即两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数注：复合函数的求导法则也称为链式法则，它可以推广到多个变量的情形。