高等数学电子教案(下).doc

高等数学下电子教案

高等数学下电子教案一、引言1.1 课程介绍本课程是高等数学下的电子教案，主要面向大学本科生和研究生，涵盖高等数学的基本概念、理论和方法。

1.2 教学目标通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本知识，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、极限与连续2.1 极限的定义与性质2.1.1 极限的定义2.1.2 极限的性质2.1.3 极限的存在性定理2.2 无穷小与无穷大2.2.1 无穷小的概念2.2.2 无穷小的比较2.2.3 无穷大2.3 极限的运算法则2.3.1 极限的四则运算法则2.3.2 复合函数的极限2.4 极限的求解方法2.4.1 直接代入法2.4.2 因式分解法2.4.3 洛必达法则2.5 连续函数的性质2.5.1 连续函数的定义2.5.2 连续函数的性质2.5.3 连续函数的例子三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.1.1 导数的定义3.1.2 导数的性质3.1.3 导数的计算法则3.2 高阶导数3.2.1 二阶导数3.2.2 三阶导数及更高阶导数3.3 隐函数求导3.3.1 隐函数求导的基本方法3.3.2 隐函数求导的例子3.4 微分3.4.1 微分的定义3.4.2 微分的性质3.4.3 微分的计算四、微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.1.1 罗尔定理4.1.2 拉格朗日中值定理4.1.3 柯西中值定理4.2 导数的应用4.2.1 函数的单调性4.2.2 函数的极值4.2.3 函数的凹凸性五、不定积分与定积分5.1 不定积分5.1.1 不定积分的概念5.1.2 不定积分的性质5.1.3 不定积分的计算方法5.2 定积分5.2.1 定积分的概念5.2.2 定积分的性质5.2.3 定积分的计算方法5.3 定积分的应用5.3.1 面积的计算5.3.2 弧长的计算5.3.3 质心、转动惯量的计算六、定积分的进一步应用6.1 定积分在几何中的应用6.1.1 计算平面区域的面积6.1.2 计算曲线围成的面积6.1.3 计算旋转体的体积6.2 定积分在物理中的应用6.2.1 计算物体的质量6.2.2 计算物体受到的力6.2.3 计算物体的动能和势能6.3 定积分在概率论中的应用6.3.1 概率密度函数的定义6.3.2 计算概率6.3.3 计算期望和方差七、微分方程7.1 微分方程的基本概念7.1.1 微分方程的定义7.1.2 微分方程的阶数7.1.3 微分方程的解7.2 一阶微分方程7.2.1 分离变量法7.2.2 积分因子法7.2.3 变量替换法7.3 高阶微分方程7.3.1 线性高阶微分方程7.3.2 非线性高阶微分方程7.3.3 常系数线性微分方程八、线性代数8.1 矩阵8.1.1 矩阵的定义8.1.2 矩阵的运算8.1.3 矩阵的性质8.2 线性方程组8.2.1 高斯消元法8.2.2 克莱姆法则8.2.3 矩阵的逆8.3 向量空间与线性变换8.3.1 向量空间的概念8.3.2 线性变换的概念8.3.3 特征值与特征向量九、概率论与数理统计9.1 概率论基本概念9.1.1 随机试验与样本空间9.1.2 事件与概率9.1.3 条件概率与独立性9.2 离散型随机变量9.2.1 离散型随机变量的定义9.2.2 离散型随机变量的分布律9.2.3 离散型随机变量的期望与方差9.3 连续型随机变量9.3.1 连续型随机变量的定义9.3.2 连续型随机变量的分布函数9.3.3 连续型随机变量的期望与方差9.4 数理统计的基本概念9.4.1 统计量与抽样分布9.4.2 估计理论9.4.3 假设检验十、复变函数10.1 复数的基本概念10.1.1 复数的定义10.1.2 复数的运算10.1.3 复数的性质10.2 复变函数的基本概念10.2.1 复变函数的定义10.2.2 复变函数的运算10.2.3 复变函数的性质10.3 复变函数的积分10.3.1 复变函数的积分公式10.3.2 复变函数的积分计算10.3.3 复变函数的line integral10.4 复变函数的应用10.4.1 复变函数在几何中的应用10.4.2 复变函数在物理中的应用10.4.3 复变函数在工程中的应用重点和难点解析一、极限与连续1.1 极限的定义与性质：理解极限的概念，特别是无穷小和无穷大的比较，以及极限的存在性定理。

高等数学电子教案

高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种规则，将一个非空数集（定义域）中的每一个元素对应到另一个非空数集（值域）中的唯一元素。

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个确定的值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质：保号性、传递性、夹逼性等。

1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代数法、几何法、泰勒公式等。

极限的运算法则：加减法、乘除法、复合函数的极限等。

1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于0，称f(x)为无穷小。

无穷大的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷，称f(x)为无穷大。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx，表示函数在该点的瞬时变化率。

导数的几何意义：函数图像在某点处的切线斜率。

2.2 导数的计算基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。

导数的运算法则：和差法、乘法法、链式法则等。

2.3 微分的概念与计算微分的定义：函数f(x)在点x处的微小变化量，记作df(x)。

微分的计算：微分的基本公式df(x)=f'(x)dx，以及微分的运算法则。

2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。

微分方程的解法：分离变量法、积分因子法等。

第三章：积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义：函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，表示f(x)与x轴之间区域的面积。

基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。

3.2 定积分的概念与计算定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx，表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。

高等数学(下)教案曲面及其方程

高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。

2. 学习曲面的方程表示方法，掌握常见曲面的方程。

3. 能够利用曲面方程进行曲面的绘制和分析。

教学内容：一、曲面的概念与基本性质1. 曲面的定义2. 曲面的基本性质2.1 曲面的导数2.2 曲面的切线和法线2.3 曲面的曲率2.4 曲面的切平面和法平面二、曲面的方程表示方法1. 参数方程表示法2.1 参数方程的定义2.2 参数方程的求导和积分2. 普通方程表示法2.1 普通方程的定义2.2 普通方程的求导和积分3. 柱面和二次曲面的方程3.1 柱面的方程3.2 二次曲面的方程三、常见曲面的方程1. 圆锥面的方程2. 椭圆面的方程3. 双曲面的方程4. 抛物面的方程5. 直纹面的方程四、曲面的绘制和分析1. 利用参数方程绘制曲面2. 利用普通方程绘制曲面3. 曲面的切线和法线分析4. 曲面的曲率分析5. 曲面的切平面和法平面分析教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形状和性质。

2. 通过例题讲解和练习，使学生掌握曲面方程的求解和分析方法。

3. 引导学生运用曲面方程解决实际问题，提高学生的应用能力。

教学评价：1. 课堂讲解和练习的参与度。

2. 学生对曲面方程的掌握程度。

3. 学生能够运用曲面方程进行曲面的绘制和分析。

教学资源：1. 教学PPT和动画演示。

2. 曲面方程的相关教材和参考书。

3. 计算机软件进行曲面的绘制和分析。

六、曲面的切平面和法线1. 切平面的定义与性质6.1 切平面的定义6.2 切平面的性质2. 法线的定义与性质6.3 法线的定义6.4 法线的性质3. 切平面和法线的求法6.5 切平面和法线的求法七、曲面的曲率1. 曲率的定义与性质7.1 曲率的定义7.2 曲率的性质2. 曲率的计算7.3 曲率的计算方法3. 曲面的弯曲程度分析7.4 曲面的弯曲程度分析八、曲面的绘制与分析实例1. 实例一：圆锥面的绘制与分析8.1 圆锥面的参数方程8.2 圆锥面的普通方程8.3 圆锥面的切平面和法线分析2. 实例二：椭圆面的绘制与分析8.4 椭圆面的参数方程8.5 椭圆面的普通方程8.6 椭圆面的切平面和法线分析3. 实例三：双曲面的绘制与分析8.7 双曲面的参数方程8.8 双曲面的普通方程8.9 双曲面的切平面和法线分析九、曲面在实际问题中的应用1. 曲面在工程中的应用9.1 曲面在机械设计中的应用9.2 曲面在建筑设计中的应用2. 曲面在自然科学中的应用9.3 曲面在光学中的应用9.4 曲面在声学中的应用十、复习与练习1. 复习本章内容10.1 复习曲面的概念与基本性质10.2 复习曲面的方程表示方法10.3 复习常见曲面的方程2. 课堂练习10.4 完成课堂练习题3. 课后作业10.5 布置课后作业教学方法：1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解曲面的绘制与分析方法。

高等数学电子教案

高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。

函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。

1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。

无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。

1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。

导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。

第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。

导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。

2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。

微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。

2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。

积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。

2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。

第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。

微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。

3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。

3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。

第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。

《高等数学(下册)》教案---第15课--多元复合函数及其求导法则

z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w ． y u y v y w y
，（10-4）
链式法则式（10-3）、式（10-4）与前面的式（10-1）、式（10-2）相比，因为现在有两个自变量，所以前面的全导数 dz 就变成
dt 了现在的偏导数 z ，z ．
并说明求导过程中出现的 z 与 f ，z 与 f 有何区别？ x x y y
深学生对知识点的理解
【学生】讨论、发言
6
15 多元复合函数及其求导法则第
课
课堂测验（15 min）
【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧
通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象
课堂小结（5 min）
【教师】简要总结本节课的要点
本节课介绍了多元复合函数的概念，中间变量为各种情形时偏导数的求导法则（链式法则）。课后要多加练习，巩固认知。
【学生】总结回顾知识点
总结知识点，巩固印象
教学反思
【教师】布置课后作业：习题 10.5
x y
例 2 设 z eu sin v ，而 u xy ，v x y ，求 z 和 z ． x y
解本例中的变量有函数 z ，中间变量 u ，v ，自变量 x ，y ，根据链式法则式（10-3），有
z z u z v eu sin v y eu cosv 1 x u x v x eu ( y sin v cos v) exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z z u z v eu sin v x eu cos v 1 y u y v y

高等数学下电子教案

高等数学下电子教案一、引言1.1 课程简介本课程是高等数学下的电子教案，主要面向大学本科阶段的学生。

通过本课程的学习，学生将掌握高等数学的基本概念、方法和技巧，为后续专业课程的学习和科研工作打下坚实的基础。

1.2 教学目标（1）理解并掌握高等数学的基本概念和原理；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力；（3）提高学生的数学素养和科学研究的初步能力。

二、极限与连续2.1 极限的概念（1）极限的定义；（2）极限的性质；（3）极限的存在条件。

2.2 极限的计算（1）基础极限公式；（2）无穷小和无穷大的比较；（3）极限的运算法则。

2.3 连续性（1）连续性的定义；（2）连续函数的性质；（3）连续函数的判定定理。

三、导数与微分3.1 导数的概念（1）导数的定义；（2）导数的几何意义；（3）导数的物理意义。

3.2 导数的计算（1）基本导数公式；（2）导数的运算法则；（3）高阶导数。

3.3 微分（1）微分的定义；（2）微分的运算法则；（3）微分在近似计算中的应用。

四、积分与面积4.1 不定积分（1）不定积分的概念；（2）基本积分公式；（3）积分的换元法和分部法。

4.2 定积分（1）定积分的概念；（2）定积分的性质；4.3 面积计算（1）平面区域的面积计算；（2）曲线的面积计算；（3）旋转体的体积计算。

五、微分方程5.1 微分方程的基本概念（1）微分方程的定义；（2）微分方程的解法；（3）微分方程的应用。

5.2 线性微分方程（1）线性微分方程的定义；（2）线性微分方程的解法；（3）线性微分方程的解的存在性定理。

5.3 非线性微分方程（1）非线性微分方程的定义；（2）非线性微分方程的解法；（3）非线性微分方程的应用。

六、级数6.1 级数的基本概念（1）级数的定义；（2）级数的收敛性；6.2 幂级数（1）幂级数的概念；（2）幂级数的收敛半径；（3）幂级数的运算。

6.3 泰勒级数和麦克劳林级数（1）泰勒级数的概念；（2）泰勒级数的展开；（3）麦克劳林级数。

《高等数学》课程电子教案

《高等数学》课程电子教案本课程为我校第二批精品课程建设立项项目，学院为此专门抽调各教研室骨干教师组成课程组，充分发挥和强化其建设与改革职能，前期建设所取得的成果要紧表达在以下几个方面：一、师资队伍建设本课程组共12名成员，其中正副教授5人，讲师3人，助教5人，其中具有博士学位3人，具有硕士学位6人，已初步建立一支数量充足、结构合理、素养优良、充满生气与活力的专任教师队伍。

二、教材建设考虑到师范院校属性及相关学科的教学特点，构建融会贯穿的课程体系，我们差不多编写出下述《高等数学》系列教材：1. 孙国正主编，高等数学，安徽大学出版社20032. 刘树德编，高等数学，校科类基础课，教材，已申请出版3. 刘树德编，高等数学续论，选修课教材，校内胶印使用三、教学改革1. 加强教学内容的整合力度，以社会进展的新科技、新成果充实教学内容，提高教学起点。

2. 深入进行教学方法改革，多用启发式、讨论式、研究式教学方法，从改变教师的教学方式之入手，达到转变学生的学习方式之目的。

3. 运用现代教育手段提升教学水平。

为教师制作CAI课件，使用多媒体授课，加快运算机辅助教学软件的开发积极制造条件。

四、教学研究项目1. 省高校教学研究项目, 高等数学课程的优化设计，1999-2002；2. 校教材建设基金资助项目，出版校科类基础课教材《高等数学》, 20063. 校第二批精品课程建设立项项目, 《高等数学》，2005-2008课程建设是一项长期困难的工作，今后我们要连续努力，加快建设的步伐。

2005.12《高等数学》课程电子教案(节选)授课人：刘树德教学内容：1、微积分学的差不多定理与差不多公式；2、定积分的换元积分法与分部积分法。

教学目的：1、明白得微积分学的差不多定理与差不多公式的涵义和重要性；2、熟练把握和运用定积分的换元积分公式与分部积分公式。

教学重点：定积分的换元积分法与分部积分法教学难点：微积分学的差不多定理与差不多公式教学手段：讲授§6.2 微积分学的差不多定理与差不多公式若已知f(x)在[a,b]上的定积分存在，如何样运算那个积分值呢？假如利用定积分的定义，由于需要运算一个和式的极限，能够想象，即使是专门简单的被积函数，那也是十分困难的。

高等数学(下)课程教案

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
本次课的基本内容：
(1)方向导数的定义及与其相关的概念；
(2)方向导数的计算方法；
(3)梯度的定义及与其相关的概念；
(4)梯度的计算方法；
(5)方向导数与梯度的关系。
通过本讲的学习,使得同学们理解方向导数和梯度的定义；熟练掌握方向导数和梯度的计算方法。
重点：方向导数和梯度的计算方法。
高等数学（下）课程教案
授课题目（教学章节或主题）：
8.1多元函数的基本概念（续）
8.2偏导数
授课类型
讲授
授课时间
教学目标或要求：
掌握多元函数的连续性的定义和连续的有关性质；理解偏导数的定义。
教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
本次课的基本内容：
(1) 多元函数连续性的定义；
(2)多元连续函数在有界闭区域的重要性质及其几何意义；
(3) 偏导数的定义。
通过本讲的学习,使得同学们熟练掌握多元函数的极限、连续性等有关计算；理解偏导数的定义。
重点:多元函数的连续性、偏导数概念的理解及有关计算。
难点：多元函数的极限、连续性、偏导数等的计算。
教学手段与方法：讲授、练习
思考题、讨论题、作业：
讨论和思考：多元函数的连续性、偏导数等概念与一元函数相应概念的比较
(2) 多元函数的极限的定义；
(3)多元函数的极限的计算方法；
(4) 预备知识:一元函数的极限、连续性及有关性质；一元函数的导数、高阶导数等的定义及计算，连续与可导之间的关系等。
通过本讲的学习,使得同学们了解多元函数的基本情况；熟练掌握多元函数的极限计算。
重点:多元函数的极限概念的理解及有关计算。
难点：多元函数的极限的计算。

高等数学电子教本教材教本教本山东农业大学科技学院资料

若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0 x0
x) ( x0 )
x

f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点 x0可导，
等数学》电子教案山东农业大学科技学院
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x)的尖点 (不可导点) .
y
y
y f (x)
o
x
y f (x)
o
x0
x
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例7
讨论函数
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2. 设函数 f ( x)在点 x0连续, 但
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) ,
x x0
x0
x
称函数 f ( x)在点 x0有无穷导数.(不可导)
例如,
y y 3 x 1
f ( x) 3 x 1,
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )

1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1)x 11
i(t) lim q dq . t0 t dt
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.

高等数学电子教案word

高等数学电子教案word一、教学内容二、教学目标1. 理解微分方程的基本概念，掌握微分方程的定义及常见类型。

2. 学会解可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程和伯努利方程。

3. 能够运用微分方程解决实际问题，提高数学素养。

三、教学难点与重点重点：微分方程的定义、常见类型的解法。

难点：一阶线性微分方程和伯努利方程的求解方法。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：教材、《高等数学》学习指导书、笔记本、文具。

五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景，如人口增长模型，引出微分方程的概念。

2. 知识讲解：（1）微分方程的基本概念及分类。

（2）可分离变量的微分方程的解法。

（3）齐次方程的解法。

（4）一阶线性微分方程的解法。

（5）伯努利方程的解法。

3. 例题讲解：（1）解可分离变量的微分方程：dy/dx = x/y。

（2）解齐次方程：dy/dx = (y/x)。

（3）解一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)。

（4）解伯努利方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n。

4. 随堂练习：（1）求解微分方程：dy/dx = sin(x)cos(y)。

（2）求解微分方程：dy/dx + 2y = x^2。

六、板书设计1. 微分方程的基本概念及分类。

2. 各类微分方程的解法。

3. 例题及解答。

4. 随堂练习。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求解微分方程：dy/dx = 1/y。

（2）求解微分方程：dy/dx 3y = 2x。

（3）求解微分方程：dy/dx + 4y = 3x^2y^2。

2. 答案：（1）y = ln|x| + C。

（2）y = (1/3)x^3 x + C。

（3）y = 1/(x^3 + C)。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入，让学生了解微分方程的实际应用，提高学习兴趣。

讲解过程中，注意引导学生掌握各类微分方程的解法，培养其解决问题的能力。

高等数学(下册)电子教案

第四章常微分方程§4．1 基本概念和一阶微分方程甲内容要点一．基本概念 1．常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。

2．微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。

4．微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。

5．积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。

6．线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。

不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。

二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 令u x y=，则()u f dx du x u dx dy =+=（2）()()0,0≠≠++=b a c by ax f dxdy令u c by ax =++，则()u bf a dxdu+= （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy①当02211≠=∆b a b a 情形，先求出⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解()βα, 令α-=x u ，β-=y v则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv 22112211属于齐次方程情形 ②当02211==∆b a b a 情形，令λ==1212b b a a 则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=211111c y b x a c y b x a f dx dyλ 令y b x a u 11+=，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+=211111c u c u f b a dx dyb a dx du λ 属于变量可分离方程情形。

高等数学下册教案

高等数学下册教案教案标题：高等数学下册教案教案目标：1. 理解高等数学下册的主要内容和学习要求。

2. 设计有效的教学活动，帮助学生掌握高等数学下册的核心概念和方法。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

教案步骤：第一步：引入（5分钟）引入高等数学下册的学习主题和重点，激发学生对数学的兴趣和学习动力。

第二步：知识讲解（20分钟）1. 介绍高等数学下册的主要内容和学习要求。

2. 解释高等数学下册中的核心概念和方法，包括但不限于微积分、线性代数、概率论等。

3. 提供具体的实例，帮助学生理解和应用这些概念和方法。

第三步：示范演示（15分钟）通过示范演示，展示如何运用高等数学下册的知识解决实际问题。

鼓励学生积极参与讨论和提问。

第四步：小组合作（20分钟）将学生分成小组，让他们一起解决一些高等数学下册的练习题或问题。

鼓励学生互相合作、讨论和分享解题思路。

第五步：个人练习（15分钟）让学生独立完成一些高等数学下册的练习题，巩固所学知识并提高解题能力。

第六步：总结和反思（10分钟）总结本节课的学习内容，强调重点和难点。

鼓励学生提出问题和反思学习过程。

教案评估：1. 教师观察学生在小组合作和个人练习中的表现，评估他们对高等数学下册的理解和应用能力。

2. 收集学生的练习题答案，检查他们的解题过程和答案的准确性。

3. 鼓励学生提出问题和解释自己的思考过程，评估他们的数学思维能力和解决问题的能力。

教案扩展：1. 鼓励学生参加数学竞赛或挑战，提高他们的数学水平和竞争力。

2. 组织数学讲座或研讨会，让学生了解高等数学在实际应用中的价值和意义。

3. 引导学生进行数学研究或项目，培养他们的创新思维和问题解决能力。

以上是一份高等数学下册教案的基本框架，你可以根据具体的教学需求和学生特点进行适当的调整和补充。

希望这些建议和指导对你的教案撰写有所帮助！。

高等数学电子教案word

高等数学电子教案word【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01章函数与极限】第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。

教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。

1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如a={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成, 则m可表示为 a={a1, a2, ? ? ?, an},m={x | x具有性质p }.例如m={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:n表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.n={0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. n+={1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.r表示所有实数构成的集合, 称为实数集.z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.p q={|p∈z,q∈n+且p与q互质} q子集: 若x∈a, 则必有x∈b, 则称a是b的子集, 记为a?b(读作a包含于b)或b?a .如果集合a与集合b互为子集, a?b且b?a, 则称集合a与集合b相等, 记作a=b.若a?b且a≠b, 则称a是b的真子集, 记作a?≠b . 例如, n?≠z?≠q?≠r.不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设a、b是两个集合, 由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集(简称并), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a或x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集(简称交), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a且x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集(简称差), 记作a\b, 即a\b={x|x∈a且x?b}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行, 所研究的其他集合a都是i的子集. 此时, 我们称集合i为全集或基本集. 称i\a为a 的余集或补集, 记作ac.集合运算的法则:设a、b、c为任意三个集合, 则(1)交换律a?b=b?a, a?b=b?a;(2)结合律 (a?b)?c=a?(b?c), (a?b)?c=a?(b?c);(3)分配律 (a?b)?c=(a?c)?(b?c), (a?b)?c=(a?c)?(b?c);(4)对偶律 (a?b)c=ac ?bc, (a?b)c=ac ?bc.(a?b)c=ac ?bc的证明:x∈(a?b)c?x?a?b?x?a且x?b?x∈a c且x∈bc ?x∈ac ?bc, 所以(a?b)c=ac ?bc.直积(笛卡儿乘积):设a、b是任意两个集合, 在集合a中任意取一个元素x, 在集合b 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积, 记为a?b, 即 a?b={(x, y)|x∈a且y∈b}.例如, r?r={(x, y)| x∈r且y∈r }即为xoy面上全体点的集合, r?r常记作r2.3. 区间和邻域有限区间:设ab, 称数集{x|axb}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|axb}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤xb }、(a, b] = {x | ax≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x b } , (-∞, +∞)={x | | x | +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作u(a).二、映射1. 映射的概念定义设x、y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对x中每个元素x, 按法则f, 在y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从x 到y的映射, 记作f : x→y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合x称为映射f的定义域, 记作d f, 即d f=x ;x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为r f, 或f(x), 即r f=f(x)={f(x)|x∈x}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合x, 即定义域d f=x; 集合y, 即值域的范围: r f ?y; 对应法则f, 使对每个x∈x, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈x, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈r f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域r f是y的一个子集, 即r f ?y, 不一定r f=y .例1设f : r→r, 对每个x∈r, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域d f=r, 值域r f ={y|y≥0}, 它是r的一个真子集. 对于r f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2设x={(x, y)|x2+y2=1}, y={(x, 0)||x|≤1}, f : x →y, 对每个(x, y)∈x, 有唯一确定的(x, 0)∈y与之对应.显然f是一个映射, f的定义域d f=x, 值域r f =y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1, 1]上.(3) f :[-, ]→[-1, 1], 对每个x∈[-, ], f(x)=sin x . 2222f是一个映射, 定义域d f =[-, ], 值域r f =[-1, 1]. 22满射、单射和双射:设f是从集合x到集合y的映射, 若r f =y, 即y中任一元素y都是x 中某元素的像, 则称f为x到y上的映射或满射; 若对x中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f为x到y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f是x到y的单射, 则由定义, 对每个y∈r f , 有唯一的x∈x, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从r f 到x的新映射g, 即g : r f →x,对每个y∈r f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域df-1=r f , 值域rf-1=x .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : x→y 1,f : y 2→z,其中y 1?y 2. 则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则, 它将每个x∈x映射成f[g(x)]∈z . 显然, 这个对应法则确定了一个从x 到z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: x →z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈x .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域r g必须包含在f的定义域内, r g?d f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f 的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g 与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : r→[-1, 1], 对每个x∈r, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], f(u)=-u2.则映射g和f构成复映射f o g: r→[0, 1], 对每个x∈r, 有(f g)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=-sin2x=|cosx|.三、函数1. 函数概念定义设数集d?r, 则称映射f : d →r为定义在d上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈d,其中x称为自变量, y称为因变量, d称为定义域, 记作d f, 即d f=d.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x), x∈d”或“y=f(x), x∈d”来表示定义在d上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“f”, “?”等. 此时函数就记作y=? (x), y=f(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在r内, 因此构成函数的要素是定义域d f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:1 求函数y=-x2-4的定义域. x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为d={x | | x |≥2}, 或d=(-∞, 2]?[2, +∞]).单值函数与多值函数:【篇二：同济第六版《高等数学》教案word版-第02章导数与微分】第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

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高等数学电子教案word【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01章函数与极限】第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。

教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。

1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如a={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成, 则m可表示为 a={a1, a2, ? ? ?, an},m={x | x具有性质p }.例如m={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:n表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.n={0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. n+={1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.r表示所有实数构成的集合, 称为实数集.z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.p q={|p∈z,q∈n+且p与q互质} q子集: 若x∈a, 则必有x∈b, 则称a是b的子集, 记为a?b(读作a包含于b)或b?a .如果集合a与集合b互为子集, a?b且b?a, 则称集合a与集合b相等, 记作a=b.若a?b且a≠b, 则称a是b的真子集, 记作a?≠b . 例如, n?≠z?≠q?≠r.不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设a、b是两个集合, 由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集(简称并), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a或x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集(简称交), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a且x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集(简称差), 记作a\b, 即a\b={x|x∈a且x?b}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行, 所研究的其他集合a都是i的子集. 此时, 我们称集合i为全集或基本集. 称i\a为a 的余集或补集, 记作ac.集合运算的法则:设a、b、c为任意三个集合, 则(1)交换律a?b=b?a, a?b=b?a;(2)结合律 (a?b)?c=a?(b?c), (a?b)?c=a?(b?c);(3)分配律 (a?b)?c=(a?c)?(b?c), (a?b)?c=(a?c)?(b?c);(4)对偶律 (a?b)c=ac ?bc, (a?b)c=ac ?bc.(a?b)c=ac ?bc的证明:x∈(a?b)c?x?a?b?x?a且x?b?x∈a c且x∈bc ?x∈ac ?bc, 所以(a?b)c=ac ?bc.直积(笛卡儿乘积):设a、b是任意两个集合, 在集合a中任意取一个元素x, 在集合b 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积, 记为a?b, 即 a?b={(x, y)|x∈a且y∈b}.例如, r?r={(x, y)| x∈r且y∈r }即为xoy面上全体点的集合, r?r常记作r2.3. 区间和邻域有限区间:设ab, 称数集{x|axb}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|axb}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤xb }、(a, b] = {x | ax≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x b } , (-∞, +∞)={x | | x | +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作u(a).二、映射1. 映射的概念定义设x、y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对x中每个元素x, 按法则f, 在y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从x 到y的映射, 记作f : x→y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合x称为映射f的定义域, 记作d f, 即d f=x ;x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为r f, 或f(x), 即r f=f(x)={f(x)|x∈x}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合x, 即定义域d f=x; 集合y, 即值域的范围: r f ?y; 对应法则f, 使对每个x∈x, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈x, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈r f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域r f是y的一个子集, 即r f ?y, 不一定r f=y .例1设f : r→r, 对每个x∈r, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域d f=r, 值域r f ={y|y≥0}, 它是r的一个真子集. 对于r f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2设x={(x, y)|x2+y2=1}, y={(x, 0)||x|≤1}, f : x →y, 对每个(x, y)∈x, 有唯一确定的(x, 0)∈y与之对应.显然f是一个映射, f的定义域d f=x, 值域r f =y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1, 1]上.(3) f :[-, ]→[-1, 1], 对每个x∈[-, ], f(x)=sin x . 2222f是一个映射, 定义域d f =[-, ], 值域r f =[-1, 1]. 22满射、单射和双射:设f是从集合x到集合y的映射, 若r f =y, 即y中任一元素y都是x 中某元素的像, 则称f为x到y上的映射或满射; 若对x中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f为x到y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f是x到y的单射, 则由定义, 对每个y∈r f , 有唯一的x∈x, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从r f 到x的新映射g, 即g : r f →x,对每个y∈r f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域df-1=r f , 值域rf-1=x .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : x→y 1,f : y 2→z,其中y 1?y 2. 则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则, 它将每个x∈x映射成f[g(x)]∈z . 显然, 这个对应法则确定了一个从x 到z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: x →z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈x .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域r g必须包含在f的定义域内, r g?d f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f 的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g 与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : r→[-1, 1], 对每个x∈r, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], f(u)=-u2.则映射g和f构成复映射f o g: r→[0, 1], 对每个x∈r, 有(f g)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=-sin2x=|cosx|.三、函数1. 函数概念定义设数集d?r, 则称映射f : d →r为定义在d上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈d,其中x称为自变量, y称为因变量, d称为定义域, 记作d f, 即d f=d.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x), x∈d”或“y=f(x), x∈d”来表示定义在d上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“f”, “?”等. 此时函数就记作y=? (x), y=f(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在r内, 因此构成函数的要素是定义域d f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:1 求函数y=-x2-4的定义域. x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为d={x | | x |≥2}, 或d=(-∞, 2]?[2, +∞]).单值函数与多值函数:【篇二：同济第六版《高等数学》教案word版-第02章导数与微分】第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2024版年度高等数学下册教案

2024/2/3
26
线性微分方程解结构
线性微分方程解的性质
叠加原理、解的独系数线性微分方程
形如$y''+py'+qy=0$的微分方程，其中$p,q$为常数，可通过特征方程求解通解。
二阶常系数非齐次线性微分方程
形如$y''+py'+qy=f(x)$的微分方程，其中$f(x)$为已知函数，可通过通解加特解的方式求解。
三重积分计算方法
三重积分的计算可以通过化为累次积分进行，即先对$z$积分，再对$y$积分，最后对$x$积分。也可以根据具体情况选择适当的坐标系（如柱面坐标、球面坐标等）进行简化计算。
11
重积分在物理中应用
重积分在几何上的应用
利用重积分可以计算平面图形的面积、空间立体的体积以及曲面的面积等。
重积分在物理上的应用
二重积分性质
二重积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等性质。
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二重积分计算方法
2024/2/3
利用直角坐标计算二重积分
01
将二重积分化为累次积分进行计算，即先对$y$积分，再对$x$
积分。
利用极坐标计算二重积分
02
当积分区域为圆域或环域时，利用极坐标变换可以简化计算。
利用换元法计算二重积分
理解对弧长曲线积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对弧长曲线积分的方法。
对坐标曲线积分的基本概念与性质
理解对坐标曲线积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对坐标曲线积分的方法。
2024/2/3
两类曲线积分之间的关系
理解两类曲线积分之间的联系和区别，能够相互转化并计算。