高等数学电子教案

高等数学教案word版

高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。

函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。

高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。

一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。

2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。

（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。

[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。

（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。

(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。

例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。

《高等数学电子教案》课件

《高等数学电子教案》PPT课件第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：理解函数的概念，掌握函数的性质，了解函数的图像。

教学内容：函数的定义，函数的性质，函数的图像。

1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质，学会求极限。

教学内容：极限的定义，极限的性质，极限的求法。

第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质教学目标：理解导数的概念，掌握导数的性质，学会求导数。

教学内容：导数的定义，导数的性质，求导数的方法。

2.2 微分的概念与性质教学目标：理解微分的概念，掌握微分的性质，学会求微分。

教学内容：微分的定义，微分的性质，求微分的方法。

第三章：积分与微分方程3.1 不定积分的概念与性质教学目标：理解不定积分的概念，掌握不定积分的性质，学会求不定积分。

教学内容：不定积分的定义，不定积分的性质，求不定积分的方法。

3.2 定积分的概念与性质教学目标：理解定积分的概念，掌握定积分的性质，学会求定积分。

教学内容：定积分的定义，定积分的性质，求定积分的方法。

第四章：向量与线性方程组4.1 向量的概念与性质教学目标：理解向量的概念，掌握向量的性质，学会求向量的运算。

教学内容：向量的定义，向量的性质，向量的运算。

4.2 线性方程组的概念与性质教学目标：理解线性方程组的概念，掌握线性方程组的性质，学会解线性方程组。

教学内容：线性方程组的定义，线性方程组的性质，解线性方程组的方法。

第五章：矩阵与行列式5.1 矩阵的概念与性质教学目标：理解矩阵的概念，掌握矩阵的性质，学会求矩阵的运算。

教学内容：矩阵的定义，矩阵的性质，矩阵的运算。

5.2 行列式的概念与性质教学目标：理解行列式的概念，掌握行列式的性质，学会求行列式的值。

教学内容：行列式的定义，行列式的性质，求行列式的方法。

第六章：级数与泰勒公式6.1 级数的概念与性质教学目标：理解级数的概念，掌握级数的性质，学会求级数的收敛性。

教学内容：级数的定义，级数的性质，求级数的收敛性。

高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种规则，将一个非空数集（定义域）中的每一个元素对应到另一个非空数集（值域）中的唯一元素。

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个确定的值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质：保号性、传递性、夹逼性等。

1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代数法、几何法、泰勒公式等。

极限的运算法则：加减法、乘除法、复合函数的极限等。

1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于0，称f(x)为无穷小。

无穷大的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷，称f(x)为无穷大。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx，表示函数在该点的瞬时变化率。

导数的几何意义：函数图像在某点处的切线斜率。

2.2 导数的计算基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。

导数的运算法则：和差法、乘法法、链式法则等。

2.3 微分的概念与计算微分的定义：函数f(x)在点x处的微小变化量，记作df(x)。

微分的计算：微分的基本公式df(x)=f'(x)dx，以及微分的运算法则。

2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。

微分方程的解法：分离变量法、积分因子法等。

第三章：积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义：函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，表示f(x)与x轴之间区域的面积。

基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。

3.2 定积分的概念与计算定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx，表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。

《高等数学电子教案》课件2

《高等数学电子教案》PPT课件第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）1.2 极限的概念与性质极限的定义（无穷小、无穷大）极限的性质（保号性、保不等式性）1.3 极限的运算法则极限的四则运算法则极限的复合运算法则1.4 极限存在的条件单调有界定理夹逼定理单调有界原理第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质导数的定义导数的性质（单调性、连续性）2.2 导数的运算法则导数的四则运算法则导数的复合运算法则2.3 高阶导数求一阶导数求二阶导数及高阶导数2.4 微分的方法与应用微分的定义与性质微分在近似计算中的应用第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理罗尔定理的定义与证明罗尔定理的应用3.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的定义与证明拉格朗日中值定理的应用3.3 柯西中值定理柯西中值定理的定义与证明柯西中值定理的应用3.4 导数在函数性质分析中的应用单调性的判断极值的判断凹凸性的判断第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的基本概念与性质不定积分的定义不定积分的性质（线性性、保号性）4.2 基本积分公式幂函数的积分指数函数的积分对数函数的积分4.3 定积分的基本概念与性质定积分的定义定积分的性质（单调性、保号性）4.4 定积分的运算法则定积分的四则运算法则定积分的复合运算法则第五章：定积分的应用5.1 定积分的几何意义面积的计算弧长的计算质心、转动惯量的计算5.2 定积分在物理中的应用牛顿-莱布尼茨公式变力做功的计算平均速度、平均加速度的计算5.3 定积分在经济学中的应用利润的最大化与最小化资源的分配与利用5.4 定积分在其他领域中的应用生物医学中的药物浓度计算环境科学中的污染控制《高等数学电子教案》PPT课件第六章：定积分的进一步应用与积分表6.1 积分的进一步应用变限积分的导数反常积分的定义与性质积分的应用案例分析6.2 积分表的使用常用积分表的结构与内容查表方法与技巧积分表在实际问题中的应用第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的基本概念多元函数的定义多元函数的图形表示多元函数的极限与连续性7.2 多元函数的偏导数偏导数的定义与性质偏导数的运算法则偏导数在几何中的应用7.3 全微分与高阶偏导数全微分的定义与性质高阶偏导数的定义与计算高阶偏导数在实际问题中的应用第八章：多元函数的极值与最值问题8.1 多元函数的极值极值的概念与判断条件极值的求解方法极值的应用案例分析8.2 多元函数的最值最值的概念与判断条件最值的求解方法最值的应用案例分析8.3 多元函数的优化问题优化问题的定义与分类优化问题的求解方法优化问题在实际中的应用第九章：重积分9.1 一重积分一重积分的定义与性质一重积分的计算方法一重积分在几何与物理中的应用9.2 二重积分二重积分的定义与性质二重积分的计算方法二重积分在几何与物理中的应用9.3 三重积分三重积分的定义与性质三重积分的计算方法三重积分在几何与物理中的应用第十章：曲线积分与曲面积分10.1 曲线积分曲线积分的定义与性质曲线积分的计算方法曲线积分在几何与物理中的应用10.2 曲面积分曲面积分的定义与性质曲面积分的计算方法曲面积分在几何与物理中的应用10.3 向量分析简介向量场的基本概念向量的运算规则向量分析在实际问题中的应用《高等数学电子教案》PPT课件第十一章：级数11.1 数列极限的概念与性质数列极限的定义数列极限的性质（保号性、保不等式性）数列极限的运算法则11.2 收敛级数的概念与性质收敛级数的定义收敛级数的性质收敛级数的判别法（比较判别法、比值判别法、根值判别法）11.3 发散级数的概念与性质发散级数的定义发散级数的性质发散级数的例子11.4 幂级数的概念与性质幂级数的定义幂级数的性质幂级数的收敛半径第十二章：泰勒公式与插值法12.1 泰勒公式的概念与性质泰勒公式的定义泰勒公式的性质泰勒公式的应用12.2 泰勒公式的扩展与应用泰勒公式的进一步形式泰勒公式的计算方法泰勒公式在实际问题中的应用12.3 插值法的基本概念与方法插值法的定义插值法的性质插值法的方法（线性插值、多项式插值、样条插值）第十三章：常微分方程13.1 微分方程的基本概念微分方程的定义微分方程的解的概念微分方程的分类13.2 微分方程的解法微分方程的分离变量法微分方程的积分因子法微分方程的变量替换法13.3 常微分方程的应用微分方程在物理中的应用微分方程在生物学中的应用微分方程在其他领域中的应用第十四章：线性代数基本概念14.1 向量的概念与运算向量的定义与表示向量的运算规则（加法、减法、数乘、点乘、叉乘）向量的性质（长度、方向、单位向量）14.2 矩阵的概念与运算矩阵的定义与表示矩阵的运算规则（加法、减法、数乘、转置、乘法）矩阵的性质（行列式、逆矩阵）14.3 线性方程组的概念与解法线性方程组的定义线性方程组的解的概念线性方程组的解法（高斯消元法、矩阵求逆法）第十五章：线性代数的应用15.1 线性空间与线性变换线性空间的概念线性变换的概念与性质线性变换的应用案例分析15.2 特征值与特征向量特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的应用15.3 二次型与正定矩阵二次型的定义与性质正定矩阵的概念与判定二次型与正定矩阵的应用重点和难点解析第一章：函数与极限重点：理解函数的概念与性质，掌握极限的定义和性质。

高等数学电子教案

高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。

函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。

1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。

无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。

1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。

导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。

第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。

导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。

2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。

微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。

2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。

积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。

2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。

第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。

微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。

3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。

3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。

第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。

高等数学电子教案（大专版）

高等数学电子教案（大专版）《高等数学》教案第一讲函数与极限1.函数的定义设有两个变量x ，y 。

对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。

记作y=f(x)，x ∈D 。

其中x 叫自变量，y 叫因变量。

函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。

例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2∴f(x)=2x 2 – x – 2定义域：使函数有意义的自变量的集合。

因此，求函数定义域需注意以下几点：①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0例2 求函数y=6—2x －x +arcsin712x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有：1|712|062≤-≥--x x x ? 4323≤≤--≤≥x x x 或?4323≤≤-≤≤-x x 或于是，所求函数的定义域是：[-3，-2]Y [3，4].例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x解（1）中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数（1）基本初等函数常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数：y=μx （μ为常数）指数函数：y=xa (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数)三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx（2）复合函数设),(u f y =其)(x u ?=中，且)(x ?的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ?=为x 的复合函数，而u 称为中间变量.例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0，∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π]例5：分析下列复合函数的结构（1）y=2cotx （2）y=1sin 2+x e解：（1）y=u ，u=cosv ，v=2x（2）y=ue ，u=sinv ，v=t ，t=x 2+1例6：设f(x)=2x g(x)=x 2 求f[g(x)] g[f(x)]解：f[g(x)]=f(x 2)=(x 2)2=4x g[f(x)]=g(2x )=22x3. 极限（1）定义函数y=f(x)，当自变量x 无限接近于某个目标时（一个数x 0，或+∞或—∞），因变量y 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数f(x)以A 为极限。

《高等数学电子教案》课件

《高等数学电子教案》课件一、第1章函数与极限1.1 函数的概念与性质定义域、值域、对应关系奇函数、偶函数、周期函数单调性、连续性、可导性1.2 极限的概念与性质极限的定义（洛必达法则）无穷小、无穷大、极限的存在性极限的运算法则、夹逼定理、单调有界定理二、第2章导数与微分2.1 导数的定义与计算导数的定义（极限比值法）基本导数公式、导数的运算法则高阶导数、隐函数求导、参数方程求导2.2 微分的作用与应用微分的定义、微分的运算法则微分在近似计算、物理应用等方面的作用微分方程的解法与应用三、第3章泰勒公式与不定积分3.1 泰勒公式的概念与计算泰勒公式的定义、泰勒级数常见函数的泰勒展开式泰勒公式在近似计算中的应用3.2 不定积分的概念与计算不定积分的定义、基本积分公式换元积分、分部积分积分在几何、物理等方面的应用四、第4章定积分与反常积分4.1 定积分的概念与计算定积分的定义、定积分的性质牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法定积分在几何、物理等方面的应用4.2 反常积分的概念与计算反常积分的定义、无穷区间上的积分瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数反常积分在实际应用中的意义五、第5章微分方程与线性微分方程组5.1 微分方程的概念与解法微分方程的定义、微分方程的解常微分方程、线性微分方程、非线性微分方程分离变量法、积分因子法、变量替换法5.2 线性微分方程组的概念与解法线性微分方程组的定义、解的结构高阶线性微分方程、齐次线性微分方程特解法、待定系数法、常数变易法六、第6章级数6.1 数项级数的概念与判别法数项级数的定义、收敛性与发散性收敛级数的性质、级数的收敛准则（比较检验、比值检验、根值检验）绝对收敛与条件收敛6.2 幂级数的概念与性质幂级数的定义、收敛半径、收敛区间幂级数的运算、泰勒级数与麦克劳林级数幂级数在函数逼近与数值计算中的应用七、第7章多元函数的极限与连续7.1 多元函数的概念与性质多元函数的定义、偏导数、全微分多元函数的单调性、连续性、可微性方向导数与梯度7.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限定义、极限的存在性多元函数的连续性、无穷远点多元函数极限与单变量函数极限的对比八、第8章多元函数的导数与微分8.1 多元函数的导数与微分多元函数的偏导数、全导数高阶偏导数、隐函数求导、参数方程求导微分的概念与性质、微分在多元函数中的应用8.2 多元函数的泰勒公式与不定积分多元函数的泰勒公式、泰勒级数不定积分的概念、多元函数的不定积分积分在多元函数中的应用九、第9章多元函数的定积分与反常积分9.1 多元函数的定积分多元函数定积分的定义、性质多元函数定积分的计算、换元法、分部积分法多元函数定积分在几何、物理等方面的应用9.2 多元函数的反常积分多元函数反常积分的定义、无穷区间上的积分多元函数瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数多元函数反常积分在实际应用中的意义十、第10章向量分析与线性代数10.1 向量分析的概念与方法向量的定义、向量的运算空间解析几何、向量场的概念梯度、散度、旋度、格林公式10.2 线性代数的基本理论向量空间、线性变换、特征值与特征向量矩阵的运算、行列式、特征方程线性方程组、最小二乘法、正交投影重点和难点解析一、第1章函数与极限1.1 函数的概念与性质重点关注函数的奇偶性、周期性及单调性难点解析：奇偶性的判断、周期性的求解、单调性的证明1.2 极限的概念与性质重点关注极限的定义、性质及运算法则难点解析：极限的判断（洛必达法则）、无穷小与无穷大的比较、极限的夹逼定理与单调有界定理二、第2章导数与微分2.1 导数的定义与计算重点关注导数的定义、基本导数公式及导数的运算法则难点解析：导数的计算（隐函数求导、参数方程求导）、高阶导数的应用、导数在实际问题中的应用2.2 微分的作用与应用重点关注微分的定义及微分的运算法则难点解析：微分的应用（近似计算、物理应用）、微分方程的解法及应用三、第3章泰勒公式与不定积分3.1 泰勒公式的概念与计算重点关注泰勒公式的定义、常见函数的泰勒展开式难点解析：泰勒公式的应用（近似计算）、泰勒级数的收敛性判断3.2 不定积分的概念与计算重点关注不定积分的定义、基本积分公式及积分方法难点解析：不定积分的计算（换元积分、分部积分）、积分在几何、物理等方面的应用四、第4章定积分与反常积分4.1 定积分的概念与计算重点关注定积分的定义、性质及计算方法难点解析：定积分的计算（牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法）、定积分在几何、物理等方面的应用4.2 反常积分的概念与计算重点关注反常积分的定义、性质及计算方法难点解析：反常积分的计算（瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数）、反常积分在实际应用中的意义五、第5章微分方程与线性微分方程组5.1 微分方程的概念与解法重点关注微分方程的定义、解的结构及解法难点解析：微分方程的解法（分离变量法、积分因子法、变量替换法）、高阶线性微分方程的解法5.2 线性微分方程组的概念与解法重点关注线性微分方程组的定义、解的结构及解法难点解析：线性微分方程组的解法（特解法、待定系数法、常数变易法）、线性微分方程组的应用全文总结与概括：本文针对《高等数学电子教案》课件的十个章节进行了重点和难点的解析。

高等数学电子教案(大专版)(2024)

02
函数与极限
2024/1/28
8
函数概念及性质
2024/1/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应，则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
向量的坐标表示法
详细讲解向量的坐标表示法，包括向量在空间直角坐标系中的表示方法、向量的模和方向余弦的坐标计算公式等。
向量的运算与坐标计算
介绍向量的加法、减法、数乘和点积、叉积等运算在坐标计算中的实现方法，以及这些运算的几何意义和性质。
2024/1/28
30
平面与直线方程
2024/1/28
平面的方程
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率，即函数图像在该点的倾斜程度。
13
导数的计算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本导数公式。
导数的四则运算法则
2024/1/28
全微分的定义
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全增量$Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$可以表示为$Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho)$，其中$A$和$B$不依赖于$Delta x$和 $Delta y$而仅与$x$和$y$有关， $rho=(Delta x^2+Delta y^2)^{frac{1}{2}}$，则称函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而 $ADelta x+BDelta y$称为函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。

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《高等数学教案》word版第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）1.2 极限的概念与性质引入极限的概念探讨极限的性质与运算1.3 无穷小与无穷大定义无穷小与无穷大的概念比较无穷小与无穷大的大小关系1.4 极限的运算法则极限的加减乘除法则极限的复合函数法则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质引入导数的概念探讨导数的性质（单调性、极值等）2.2 导数的计算法则基本导数公式和、差、积、商的导数法则2.3 微分的方法与应用微分的概念与方法微分在近似计算与优化问题中的应用第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与性质引入泰勒公式的概念探讨泰勒公式的性质与应用3.2 微分中值定理的概念与证明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理微分中值定理的应用（导数与函数的极值关系等）第四章：积分与微分方程4.1 积分的基本概念与方法引入积分的概念探讨积分的方法（牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分等）4.2 微分方程的基本概念与方法引入微分方程的概念探讨微分方程的解法（常微分方程、线性微分方程等）第五章：线性代数基础5.1 向量的概念与运算定义向量的概念探讨向量的运算（加减、数乘、点积、叉积等）5.2 矩阵的概念与运算定义矩阵的概念探讨矩阵的运算（加减、数乘、转置、逆矩阵等）5.3 线性方程组的概念与解法引入线性方程组的概念探讨线性方程组的解法（高斯消元法、矩阵求逆法等）5.4 行列式的概念与性质定义行列式的概念探讨行列式的性质与计算方法第六章：概率论基础6.1 随机事件与概率定义随机事件与概率的概念探讨概率的计算（古典概率、条件概率、独立事件等）6.2 随机变量及其分布引入随机变量的概念探讨离散型随机变量与连续型随机变量的分布律6.3 期望与方差定义期望与方差的概念探讨期望与方差的计算及其性质第七章：线性代数进阶7.1 特征值与特征向量定义特征值与特征向量的概念探讨特征值与特征向量的计算及其应用7.2 二次型定义二次型的概念探讨二次型的标准型与判定定理7.3 线性空间与线性变换引入线性空间与线性变换的概念探讨线性变换的性质与计算第八章：常微分方程与应用8.1 常微分方程的基本概念定义常微分方程的概念探讨常微分方程的解法（分离变量法、积分因子法等）8.2 常微分方程的应用探讨常微分方程在物理、生物学等领域的应用8.3 线性微分方程组引入线性微分方程组的概念探讨线性微分方程组的解法与应用第九章：复变函数基础9.1 复数的基本概念与运算定义复数的概念探讨复数的运算（加减、乘除、共轭等）9.2 复变函数的概念与性质引入复变函数的概念探讨复变函数的性质（解析性、奇偶性等）9.3 复变函数的积分与级数探讨复变函数的积分（柯西积分定理、柯西积分公式等）探讨复变函数的级数（泰勒级数、洛朗级数等）第十章：实变函数与泛函分析初步10.1 实函数的基本概念与性质定义实函数的概念探讨实函数的性质（单调性、有界性等）10.2 泛函分析的基本概念引入泛函分析的概念探讨赋范线性空间与希尔伯特空间的基本概念10.3 赋范线性空间的基本定理探讨赋范线性空间中的基本定理（闭区间上的有界线性算子等）重点解析第一章：函数与极限重点：函数的概念与性质、极限的概念与性质、无穷小与无穷大、极限的运算法则。

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《高等数学电子教案》PPT课件第一章：导数与微分1.1 导数的定义与性质引入导数的定义讲解导数的性质例题解析1.2 常见函数的导数基本初等函数的导数复合函数的导数例题解析1.3 微分及其应用微分的定义与性质微分的计算法则微分在实际问题中的应用例题解析第二章：积分与面积2.1 不定积分的概念与性质不定积分的定义不定积分的性质基本积分表2.2 定积分的定义与性质定积分的定义定积分的性质定积分的计算法则2.3 定积分的应用求解平面区域的面积求解物体的体积例题解析第三章：多元函数微分学3.1 多元函数的定义与性质多元函数的定义多元函数的性质多元函数的图形表示3.2 多元函数的偏导数偏导数的定义与性质偏导数的计算法则例题解析3.3 多元函数的极值及其判定多元函数的极值概念多元函数的极值判定方法例题解析第四章：重积分4.1 一元重积分的定义与性质一元重积分的定义一元重积分的性质一元重积分的计算法则4.2 二元重积分的定义与性质二元重积分的定义二元重积分的性质二元重积分的计算法则4.3 三元重积分的定义与性质三元重积分的定义三元重积分的性质三元重积分的计算法则第五章：向量代数与空间解析几何5.1 向量代数的基本概念向量的定义与表示向量的运算规则向量的图形表示5.2 空间解析几何的基本概念坐标系的定义与表示点、直线、平面的方程空间解析几何的图形表示5.3 向量代数与空间解析几何的应用向量的应用实例空间解析几何的应用实例例题解析第六章：常微分方程6.1 微分方程的基本概念微分方程的定义微分方程的分类微分方程的解法6.2 线性微分方程线性微分方程的定义线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法6.3 非线性微分方程非线性微分方程的定义非线性微分方程的解法例题解析第七章：概率论与数理统计7.1 随机事件与概率随机事件的定义与表示概率的基本性质条件概率与独立性7.2 离散型随机变量离散型随机变量的定义离散型随机变量的分布律离散型随机变量的期望与方差7.3 连续型随机变量连续型随机变量的定义连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的期望与方差第八章：线性代数8.1 矩阵的基本概念矩阵的定义与表示矩阵的运算规则矩阵的逆8.2 线性方程组高斯消元法克莱姆法则线性方程组的解的结构8.3 特征值与特征向量特征值与特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的应用第九章：级数9.1 数列的基本概念数列的定义与表示数列的极限数列的收敛性与发散性9.2 函数项级数函数项级数的定义函数项级数的收敛性判定函数项级数的应用9.3 幂级数幂级数的定义幂级数的收敛半径幂级数的展开与应用第十章：常微分方程数值解10.1 数值解的基本概念数值解的定义与意义数值解的方法与误差分析数值解的应用领域10.2 初值问题的数值解法欧拉法龙格-库塔法亚当斯法10.3 边界值问题的数值解法有限差分法有限元法谱方法重点和难点解析1. 第一章导数与微分中的导数定义与性质理解，特别是导数的极限概念。

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第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的根本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量〔平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为的立体体积〕。

教学重点：1、定积分的元素法、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为的立体体积。

2、旋转体的体积及侧面积，计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。

教学难点：1、截面面积为的立体体积。

2、引力。

§6 1 定积分的元素法一、问题的提出回忆：曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成。

面积表示为定积分的步骤如下〔1〕把区间],[b a 分成n 个长度为i x ∆的小区间，相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为i A ∆，那么∑=∆=ni i A A 1〔2〕计算i A ∆的近似值〔3〕求和，得A 的近似值〔4〕求极限，得A 的准确值假设用A ∆ 表示任一小区间],[x x x ∆+上的窄曲边梯形的面积，那么∑∆=A A ，并取ab xyo ii i x f A ∆≈∆)(ξii x ∆∈ξ.)(1i i n i x f A ∆≈∑=ξi i ni x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ⎰=badxx f )(dx x f A )(≈∆，于是∑≈dx x f A )(当所求量U 符合以下条件：〔1〕U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的量；〔2〕U 对于区间[]b a ,具有可加性，就是说，如果把区间[]b a ,分成许多局部区间，那么U 相应地分成许多局部量，而U 等于所有局部量之和；〔3〕局部量i U ∆的近似值可表示为i i x f ∆)(ξ；就可以考虑用定积分来表达这个量U元素法的一般步骤：1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a 2〕设想把区间],[b a 分成n 个小区间，取其中任一小区间并记为],[dx x x +，求出相应于这小区间的局部量U ∆的近似值.如果U ∆能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积，就把dx x f )(称为量U 的元素且记作dU ，即dx x f dU )(=；3〕以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式，在区间],[b a 上作定积分，得⎰=badx x f U )(，即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．∑=dx x f A )(lim .)(⎰=b a dx x f§6 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积 1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成那么面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为 dx x f x f S ba ⎰-=)]()([下上.类似地由左右两条曲线x =左(y )与x =右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为⎰-=dc dy y y S )]()([左右ϕϕ.例1计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积解 (1)画图(2)确定在x 轴上的投影区间: [0 1] (3)确定上下曲线2)( ,)(x x f x x f ==下上.(4)计算积分31]3132[)(10323102=-=-=⎰x x dx x x S例2计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积解 (1)画图(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2 4] (3)确定左右曲线4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ.(4)计算积分⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y例3求椭圆12222=+by a x 所围成的图形的面积解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限局部的四倍椭圆在第一象限局部在x 轴上的投影区间为[0a ] 因为面积元素为ydx 所以⎰=aydxS 04椭圆的参数方程为: x =a cos t y =b sin t于是⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b⎰-=022sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=222．极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素由曲线ρ=ϕ(θ)及射线θ=αθ=β围成的图形称为曲边扇形曲边扇形的面积元素为θθϕd dS 2)]([21=曲边扇形的面积为⎰=βαθθϕd S 2)]([21例4. 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积解: ⎰=πθθ202)(21d a S 32203234]31[21πθπa a ==例5. 计算心形线ρ=a (1+cos θ) (a >0) 所围成的图形的面积解: ⎰+=πθθ02]cos 1([212d a S ⎰++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d aπθθθπ20223]2sin 41sin 223[a a =++=二、体积1．旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台、球体旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体设过区间[a b ]点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ) 当平面左右平移dx 后体积的增量近似为V =π[f (x )]2dx 于是体积元素为 dV =π[f (x )]2dx旋转体的体积为 dxx f V ba 2)]([π⎰=例1 连接坐标原点O 及点P (h r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体计算这圆锥体的体积解: 直角三角形斜边的直线方程为xh r y =所求圆锥体的体积为dx x h r V h20)(π⎰=h x h r 0322]31[π=231hr π=例2计算由椭圆12222=+by a x 所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆22x a ab y -=及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体体积元素为 dV =πy 2dx于是所求旋转椭球体的体积为⎰--=aa dx x a ab V )(2222πa a x x a ab --=]31[3222π234ab π=例2 求星形线323232a y x =+)0(>a 绕x 轴旋转构成旋转体的体积. 解：323232x a y-=332322⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴x a y ],[a a x -∈旋转体的体积dx x a V aa 33232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-π.105323a π=例3 计算由摆线x =a (t -sin t )y =a (1-cos t )的一拱直线y =0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积解所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ⎰=ax dx y V ππ202⎰-⋅-=ππ2022)cos 1()cos 1(dt t a t a ⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(dt t t t a=5π2a 3所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ) 那么⎰⎰-=aay dy y x dy y x V 20212022)()(ππ⎰⎰⋅--⋅-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a ⎰--=ππ2023sin )sin (tdt t t a =6π3a 32．平行截面面积为的立体的体积设立体在x 轴的投影区间为[a b ] 过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截截面面积为A (x ) 那么体积元素为A (x )dx 立体的体积为 dxx A V ba )(⎰=例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心并与底面交成角α 计算这平面截圆柱所得立体的体积解取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴那么底圆的方程为x 2+y 2=R 2 立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R - 因而截面积为αtan )(21)(22x R x A -= 于是所求的立体体积为dx x R V R R αtan )(2122-=⎰-ααtan 32]31[tan 21332R x x R R R =-=-例5 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积解: 取底圆所在的平面为xOy 平面圆心为原点并使x 轴与正劈锥的顶平行底圆的方程为x 2+y 2=R 2 过x 轴上的点x (-R <x <R )作垂直于x 轴的平面截正劈锥体得等腰三角形这截面的面积为22)(x R h y h x A -=⋅=于是所求正劈锥体的体积为⎰--=RR dx x R h V 22h R d h R 2202221cos 2πθθπ==⎰三、平面曲线的弧长设A B 是曲线弧上的两个端点在弧AB 上任取分点A =M 0M 1M 2⋅⋅⋅M i -1M i ⋅⋅⋅M n -1M n =B 并依次连接相邻的分点得一接折线当分点的数目无限增加且每个小段M i -1M i 都缩向一点时如果此折线的长∑=-ni i i M M 11||的极限存在那么称此极限为曲线弧AB 的弧长并称此曲线弧AB 是可求长的定理光滑曲线弧是可求长的 1．直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y =f (x ) (a ≤x ≤b )-.给出其中f (x )在区间[a b ]上具有一阶连续导数现在来计算这曲线弧的长度取横坐标x 为积分变量它的变化区间为[a b ] 曲线y =f (x )上相应于[a b ]上任一小区间[x x +dx ]的一段弧的长度可以用该曲线在点(x f (x ))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替而切线上这相应的小段的长度为dxy dy dx 2221)()('+=+从而得弧长元素(即弧微分)dxy ds 21'+=以dx y 21'+为被积表达式在闭区间[a b ]上作定积分便得所求的弧长为⎰'+=ba dxy s 21在曲率一节中我们已经知道弧微分的表达式为dxy ds 21'+=这也就是弧长元素因此例1 计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度解21x y =' 从而弧长元素dxx dx y ds +='+=112因此所求弧长为b a bax dx x s ])1(32[123+=+=⎰])1()1[(322323a b +-+=2．参数方程情形设曲线弧由参数方程x =ϕ(t )、y =ψ(t ) (α≤t ≤β )给出其中ϕ(t )、ψ(t )在[αβ]上具有连续导数因为)()(t t dx dy ϕψ''=dx =ϕ'(t )dt 所以弧长元素为 dtt t dt t t t ds )()()()()(12222ψϕϕϕψ'+'='''+=所求弧长为⎰'+'=βαψϕdtt t s )()(22例2．计算摆线x =a (-sin )y =a (1-cos )的一拱(0 ≤θ≤2π )的长度解弧长元素为θθθd a a ds 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin2=所求弧长为⎰=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a =8a3．极坐标情形设曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ) (α≤θ≤β )给出其中r (θ)在[αβ]上具有连续导数由直角坐标与极坐标的关系可得x =ρ()cos y =ρ()sin (α≤θ≤β ) 于是得弧长元素为θθθd y x ds )()(22'+'=θθρθρd )()(22'+=从而所求弧长为⎰'+=βαθθρθρd s )()(22例14 求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ从0到2π一段的弧长解弧长元素为θθθθd a d a a ds 22221+=+=于是所求弧长为⎰+=πθθ2021d a s )]412ln(412[222ππππ++++=a§6 3 功水压力和引力一、变力沿直线所作的功由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s 时，力F 对物体所作的功为s F W ⋅=如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法〞思想.例1 把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点O 处它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O 为r 的地方那么电场对它的作用力的大小为2r qkF = (k 是常数)当这个单位正电荷在电场中从r =a 处沿r 轴移动到r =b (a <b )处时计算电场力F 对它所作的功例1¢电量为+q 的点电荷位于r 轴的坐标原点O 处它所产生的电场力使r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到r =b (a <b )处求电场力对单位正电荷所作的功提示: 由物理学知道在电量为+q 的点电荷所产生的电场中距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2r qkF = (k 是常数) 解: 在r 轴上当单位正电荷从r 移动到r +dr 时电场力对它所作的功近似为dr r q k 2即功元素为dr r q k dW 2=于是所求的功为dr rkq W b a2⎰=b a r kq ]1[-=)11(b a kq -=例2在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体在等温条件下由于气体的膨胀把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推移到点b 处计算在移动过程中气体压力所作的功解取坐标系如图活塞的位置可以用坐标x 来表示由物理学知道一定量的气体在等温条件下压强p 与体积V 的乘积是常数k 即pV =k 或Vkp =解: 在点x 处因为V =xS 所以作在活塞上的力为xkS xS k S p F =⋅=⋅= 当活塞从x 移动到x +dx 时变力所作的功近似为dxxk-.即功元素为dx x k dW = 于是所求的功为 dx x k W b a ⎰=b a x k ][ln =a b k ln = 例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶盛满了水试问要把桶的水全部吸出需作多少功？解作x 轴如图取深度x 为积分变量它的变化区间为[05] 相应于[05]上任小区间[x x +dx ]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m 3 因此如x 的单位为m 这薄层水的重力为98π×32dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW =882π×x ×dx此即功元素于是所求的功为⎰=502.88xdx W π502]2[2.88x π=2252.88⋅=π(kj)二、水压力从物理学知道在水深为h 处的压强为p =γh 这里 γ 是水的比重如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处那么平板一侧所受的水压力为P =p ×A如果这个平板铅直放置在水中那么由于水深不同的点处压强p 不相等所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算例4 一个横放着的圆柱形水桶桶盛有半桶水设桶的底半径为R 水的比重为 γ 计算桶的一个端面上所受的压力解桶的一个端面是圆片与水接触的是下半圆取坐标系如图在水深x 处于圆片上取一窄条其宽为dx 得压力元素为dx x R x dP 222-=γ所求压力为⎰-=R dx x R x P 022 2γ)()(2221220x R d x RR ---=⎰γ R x R 02322])(32[--=γ332R r =三、引力从物理学知道质量分别为m 1、m 2 相距为r 的两质点间的引力的大小为221r m m G F =其中G 为引力系数引力的方向沿着两质点连线方向如果要计算一根细棒对一个质点的引力那么由于细棒上各点与该质点的距离是变化的且各点对该质点的引力的方向也是变化的就不能用上述公式来计算- . 例5 设有一长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点M 试计算该棒对质点M 的引力例5' 求长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒对其中垂线上距棒a 单位处质量为m 的质点M 的引力解取坐标系如图使棒位于y 轴上质点M 位于x 轴上棒的中点为原点O 由对称性知引力在垂直方向上的分量为零所以只需求引力在水平方向的分量取y 为积分变量它的变化区间为]2 ,2[l l - 在]2,2[l l -上y 点取长为dy 的一小段其质量为ρdy 与M 相距22y a r += 于是在水平方向上引力元素为2222y a ay a dym G dF x +-⋅+=ρ2/322)(y a dy am G +-=ρ引力在水平方向的分量为⎰-+-=222/322)(ll x y a dy am G F ρ22412l a a lGm +⋅-=ρ。

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高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，对于每一个自变量值，都有唯一确定的因变量值与之对应。

函数的性质：奇偶性、单调性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义：当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的值，这个确定的值称为极限。

极限的性质：保号性、传递性等。

1.3 极限的计算基本极限：$\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$ 等。

极限的运算法则：加减乘除、乘方等。

1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于0。

无穷大的概念：当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于正无穷或负无穷。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。

导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。

2.2 导数的计算基本导数公式：$ (x^n)' = nx^{n-1} $, $ (sin x)' = cos x $, $ (cos x)' = -sin x $ 等。

导数的运算法则：和差、乘积、商、复合函数等。

2.3 微分微分的定义：微分是导数的一个线性近似。

微分的计算：对函数进行微分，即将自变量的增量转化为微分的形式。

2.4 应用求函数的极值：求导数，令导数为0，解出x值，再代入原函数求出极值。

求函数的单调区间：求导数，判断导数的正负，确定函数的单调性。

第三章：泰勒公式与导数的应用3.1 泰勒公式泰勒公式的定义：用函数在某一点的导数信息来近似表示函数本身。

泰勒公式的应用：求解函数在某一点的近似值。

3.2 洛必达法则洛必达法则的定义：当函数在某一点的导数为0时，可以用该点的其他导数信息来求解函数值。

洛必达法则的应用：求解函数在某一点的极限值。

3.3 泰勒展开泰勒展开的定义：将函数在某一点的泰勒公式展开，得到函数在该点的多项式近似。

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高等数学电子教案(最新版)第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义与性质：函数的定义，函数的域与值域，函数的单调性、奇偶性、周期性等。

实例解析：常见函数的性质分析，如线性函数、二次函数、三角函数等。

1.2 极限的概念与性质极限的定义：无穷小、无穷大的概念，极限的定义及其性质。

极限的计算：极限的基本性质，极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。

1.3 极限的应用函数的连续性：连续函数的定义及其性质，连续函数的图像与性质分析。

导数与微分：导数的定义与计算方法，微分的概念与计算方法，导数与微分的应用。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义与计算导数的定义：导数的定义及其几何意义，导数的计算规则。

常见函数的导数：基本函数的导数，如线性函数、二次函数、三角函数等。

2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分的概念与计算方法，微分与导数的关系。

微分的应用：微分在函数求导、函数近似计算等方面的应用。

2.3 导数的应用函数的单调性：利用导数判断函数的单调性，单调函数的图像与性质。

函数的极值与最值：利用导数研究函数的极值与最值问题，求解最大值与最小值。

第三章：积分与微分方程3.1 积分的概念与计算积分的定义：积分的定义及其几何意义，定积分的计算方法。

常见函数的积分：基本函数的积分，如线性函数、二次函数、三角函数等。

3.2 微分方程的概念与解法微分方程的定义：微分方程的概念及其解法，常微分方程与偏微分方程的区别。

常见微分方程的解法：分离变量法、常数变易法、积分因子法等。

3.3 积分与微分方程的应用定积分的应用：定积分在几何、物理、经济学等方面的应用。

微分方程的应用：微分方程在物理、工程、生物学等方面的应用。

第四章：级数与级数展开4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数的定义及其收敛性与发散性的判断。

常见级数的性质：级数的收敛性、发散性、绝对收敛性等。

4.2 级数展开的方法与性质泰勒级数展开：泰勒级数的概念与展开方法，泰勒级数的收敛性与应用。

高等数学电子教案

高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个非空数集A中的每一个元素在非空数集B中都有唯一确定的元素和它对应。

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，函数f(x)趋向于某一数值L，我们称f(x)当x趋向于a时的极限为L，记作：lim(f(x),a)=L。

1.3 极限的运算极限的四则运算法则：1）lim(f(x)+g(x),a)=lim(f(x),a)+lim(g(x),a)2）lim(f(x)g(x),a)=lim(f(x),a)lim(g(x),a)3）lim(f(x)/g(x),a)=lim(f(x),a)/lim(g(x),a) （g(x)≠0）4）lim(cu(x),a)=lim(c,a)lim(u(x),a) （c为常数，u(x)可导）1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|<M，则称f(x)为无穷小。

无穷大的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|>M，则称f(x)为无穷大。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x),Δx)=lim(Δx,0)f'(x+Δx)。

2.2 导数的运算导数的四则运算法则：1）(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2）(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)3）(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4）(cu(x))'=c'u(x)+cu'(x) （c为常数，u(x)可导）2.3 微分微分的定义：函数f(x)在x处的微分定义为df(x)=f'(x)Δx。

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高等数学电子教案word【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01章函数与极限】第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。

教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。

1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如a={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成, 则m可表示为 a={a1, a2, ? ? ?, an},m={x | x具有性质p }.例如m={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:n表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.n={0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. n+={1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.r表示所有实数构成的集合, 称为实数集.z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.p q={|p∈z,q∈n+且p与q互质} q子集: 若x∈a, 则必有x∈b, 则称a是b的子集, 记为a?b(读作a包含于b)或b?a .如果集合a与集合b互为子集, a?b且b?a, 则称集合a与集合b相等, 记作a=b.若a?b且a≠b, 则称a是b的真子集, 记作a?≠b . 例如, n?≠z?≠q?≠r.不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设a、b是两个集合, 由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集(简称并), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a或x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集(简称交), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a且x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集(简称差), 记作a\b, 即a\b={x|x∈a且x?b}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行, 所研究的其他集合a都是i的子集. 此时, 我们称集合i为全集或基本集. 称i\a为a 的余集或补集, 记作ac.集合运算的法则:设a、b、c为任意三个集合, 则(1)交换律a?b=b?a, a?b=b?a;(2)结合律 (a?b)?c=a?(b?c), (a?b)?c=a?(b?c);(3)分配律 (a?b)?c=(a?c)?(b?c), (a?b)?c=(a?c)?(b?c);(4)对偶律 (a?b)c=ac ?bc, (a?b)c=ac ?bc.(a?b)c=ac ?bc的证明:x∈(a?b)c?x?a?b?x?a且x?b?x∈a c且x∈bc ?x∈ac ?bc, 所以(a?b)c=ac ?bc.直积(笛卡儿乘积):设a、b是任意两个集合, 在集合a中任意取一个元素x, 在集合b 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积, 记为a?b, 即 a?b={(x, y)|x∈a且y∈b}.例如, r?r={(x, y)| x∈r且y∈r }即为xoy面上全体点的集合, r?r常记作r2.3. 区间和邻域有限区间:设ab, 称数集{x|axb}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|axb}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤xb }、(a, b] = {x | ax≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x b } , (-∞, +∞)={x | | x | +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作u(a).二、映射1. 映射的概念定义设x、y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对x中每个元素x, 按法则f, 在y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从x 到y的映射, 记作f : x→y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合x称为映射f的定义域, 记作d f, 即d f=x ;x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为r f, 或f(x), 即r f=f(x)={f(x)|x∈x}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合x, 即定义域d f=x; 集合y, 即值域的范围: r f ?y; 对应法则f, 使对每个x∈x, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈x, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈r f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域r f是y的一个子集, 即r f ?y, 不一定r f=y .例1设f : r→r, 对每个x∈r, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域d f=r, 值域r f ={y|y≥0}, 它是r的一个真子集. 对于r f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2设x={(x, y)|x2+y2=1}, y={(x, 0)||x|≤1}, f : x →y, 对每个(x, y)∈x, 有唯一确定的(x, 0)∈y与之对应.显然f是一个映射, f的定义域d f=x, 值域r f =y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1, 1]上.(3) f :[-, ]→[-1, 1], 对每个x∈[-, ], f(x)=sin x . 2222f是一个映射, 定义域d f =[-, ], 值域r f =[-1, 1]. 22满射、单射和双射:设f是从集合x到集合y的映射, 若r f =y, 即y中任一元素y都是x 中某元素的像, 则称f为x到y上的映射或满射; 若对x中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f为x到y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f是x到y的单射, 则由定义, 对每个y∈r f , 有唯一的x∈x, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从r f 到x的新映射g, 即g : r f →x,对每个y∈r f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域df-1=r f , 值域rf-1=x .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : x→y 1,f : y 2→z,其中y 1?y 2. 则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则, 它将每个x∈x映射成f[g(x)]∈z . 显然, 这个对应法则确定了一个从x 到z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: x →z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈x .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域r g必须包含在f的定义域内, r g?d f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f 的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g 与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : r→[-1, 1], 对每个x∈r, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], f(u)=-u2.则映射g和f构成复映射f o g: r→[0, 1], 对每个x∈r, 有(f g)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=-sin2x=|cosx|.三、函数1. 函数概念定义设数集d?r, 则称映射f : d →r为定义在d上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈d,其中x称为自变量, y称为因变量, d称为定义域, 记作d f, 即d f=d.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x), x∈d”或“y=f(x), x∈d”来表示定义在d上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“f”, “?”等. 此时函数就记作y=? (x), y=f(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在r内, 因此构成函数的要素是定义域d f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:1 求函数y=-x2-4的定义域. x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为d={x | | x |≥2}, 或d=(-∞, 2]?[2, +∞]).单值函数与多值函数:【篇二：同济第六版《高等数学》教案word版-第02章导数与微分】第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

高等数学电子教案(I V)

高等数学电子教案(I V)第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义与例子：函数的定义，常函数，线性函数，二次函数等。

函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，连续性等。

1.2 极限的概念与性质极限的定义：无穷小，无穷大，极限的直观含义。

极限的性质：保号性，传递性，夹逼定理等。

1.3 极限的计算极限的基本法则：代数法则，乘法法则，除法法则等。

极限的运算法则：和差极限，积极限，商极限等。

第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质导数的定义：导数的定义，导数的几何意义，导数的物理意义。

导数的性质：导数的单调性，连续性，奇偶性等。

2.2 导数的计算导数的运算法则：和差导数，积导数，商导数等。

高阶导数：二阶导数，三阶导数等。

2.3 微分的作用与应用微分的定义：微分的概念，微分的意义。

微分的应用：微分在函数图像上的作用，微分在物理上的应用等。

第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理罗尔定理：罗尔定理的定义，罗尔定理的证明。

拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理的定义，拉格朗日中值定理的证明。

柯西中值定理：柯西中值定理的定义，柯西中值定理的证明。

3.2 导数的应用函数的单调性：单调增函数，单调减函数。

函数的极值：极大值，极小值。

函数的图像：凹凸性，拐点等。

第四章：泰勒公式与导数在实际问题中的应用4.1 泰勒公式的概念与性质泰勒公式的定义：泰勒公式的定义，泰勒公式的意义。

泰勒公式的性质：泰勒公式的单调性，连续性等。

4.2 泰勒公式的计算泰勒公式的运算法则：泰勒公式的展开，泰勒公式的计算。

4.3 导数在实际问题中的应用优化问题：最值问题，最短路径问题等。

物理问题：速度，加速度，力等。

第五章：不定积分与定积分5.1 不定积分的概念与性质不定积分的定义：不定积分的概念，不定积分的意义。

不定积分的性质：不定积分的单调性，连续性等。

5.2 不定积分的计算不定积分的运算法则：基本积分公式，积分法则等。

5.3 定积分的概念与性质定积分的定义：定积分的概念，定积分的意义。

高等数学电子教案2

高等数学电子教案(最新版)第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义与性质：函数的定义，函数的域与值域，函数的单调性，奇偶性，周期性等。

例子与练习：常见函数的例子，练习题。

1.2 极限的概念与性质极限的定义：函数在一点附近的极限，数列的极限。

极限的性质与计算：极限的基本性质，极限的计算方法，无穷小与无穷大等。

例子与练习：极限的计算练习题。

第二章：导数与微分2.1 导数的概念与计算导数的定义：函数在某一点的导数，导数的几何意义。

导数的计算：基本导数公式，导数的计算法则，高阶导数等。

例子与练习：常见函数的导数计算练习题。

2.2 微分与微分方程微分的概念与计算：微分的定义，微分的计算方法，微分方程的解法等。

例子与练习：微分方程的解法练习题。

第三章：泰勒公式与不定积分3.1 泰勒公式的概念与计算泰勒公式的定义：泰勒公式的概念，泰勒公式的计算方法。

例子与练习：常见函数的泰勒公式计算练习题。

3.2 不定积分的概念与计算不定积分的定义：不定积分的基本概念，不定积分的计算方法。

例子与练习：常见函数的不定积分计算练习题。

第四章：定积分与积分的应用4.1 定积分的概念与计算定积分的定义：定积分的概念，定积分的计算方法。

例子与练习：常见函数的定积分计算练习题。

4.2 积分的应用：面积与体积的计算：利用定积分计算平面区域的面积，立体的体积等。

例子与练习：积分的应用练习题。

第五章：微分方程与级数5.1 微分方程的概念与解法微分方程的定义：微分方程的概念，微分方程的解法。

例子与练习：常见微分方程的解法练习题。

5.2 数列的收敛性与发散性数列的收敛性与发散性的概念：数列的收敛性，数列的发散性。

例子与练习：数列的收敛性与发散性判断练习题。

第六章：向量代数与空间解析几何6.1 向量的概念与运算向量的定义：向量的概念，向量的几何表示，向量的运算规则。

向量的运算：向量的加法、减法、数乘、点积、叉积等。

例子与练习：向量运算的例子，练习题。

高等数学电子教案(I V)

高等数学电子教案(I V)第一章：极限与连续1.1 极限的概念定义：函数在某一点的极限值是函数在该点的邻近区域内的值趋近于某一确定的值。

极限的性质：保号性、保序性、保无穷性。

1.2 极限的计算极限的四则运算法则：加减乘除。

极限的复合函数法则：链式法则。

极限的不定型：0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、1^∞、0^0、∞^0。

1.3 无穷小与无穷大无穷小的概念：函数值趋近于0。

无穷大的概念：函数值趋近于正无穷或负无穷。

1.4 连续性连续性的定义：函数在某一点的左极限等于右极限，且极限值等于函数值。

连续性的性质：保号性、保单调性、保周期性。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。

2.2 导数的计算基本导数公式：常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数。

高阶导数：函数的n阶导数。

隐函数求导：已知函数的图像求解函数表达式。

2.3 微分微分的定义：微分是导数的一阶近似。

微分的计算：对函数进行微分，保持变量不变。

第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理罗尔定理：若函数在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，并且在a点和b点取相同的函数值，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f'(c) = 0。

拉格朗日中值定理：若函数在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) f(a))/(b a)。

柯西中值定理：若函数在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且满足f'(x)和g'(x)在(a, b)内不为0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得(f(b) f(a))/(g(b) g(a)) = f'(c)/g'(c)。

3.2 导数的应用函数的单调性：导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减。

函数的极值：导数为0的点可能是极值点，需判断是极大值还是极小值。

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高等数学电子教案word【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01章函数与极限】第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。

教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。

1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如a={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成, 则m可表示为 a={a1, a2, ? ? ?, an},m={x | x具有性质p }.例如m={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:n表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.n={0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. n+={1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.r表示所有实数构成的集合, 称为实数集.z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.p q={|p∈z,q∈n+且p与q互质} q子集: 若x∈a, 则必有x∈b, 则称a是b的子集, 记为a?b(读作a包含于b)或b?a .如果集合a与集合b互为子集, a?b且b?a, 则称集合a与集合b相等, 记作a=b.若a?b且a≠b, 则称a是b的真子集, 记作a?≠b . 例如, n?≠z?≠q?≠r.不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设a、b是两个集合, 由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集(简称并), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a或x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集(简称交), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a且x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集(简称差), 记作a\b, 即a\b={x|x∈a且x?b}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行, 所研究的其他集合a都是i的子集. 此时, 我们称集合i为全集或基本集. 称i\a为a 的余集或补集, 记作ac.集合运算的法则:设a、b、c为任意三个集合, 则(1)交换律a?b=b?a, a?b=b?a;(2)结合律 (a?b)?c=a?(b?c), (a?b)?c=a?(b?c);(3)分配律 (a?b)?c=(a?c)?(b?c), (a?b)?c=(a?c)?(b?c);(4)对偶律 (a?b)c=ac ?bc, (a?b)c=ac ?bc.(a?b)c=ac ?bc的证明:x∈(a?b)c?x?a?b?x?a且x?b?x∈a c且x∈bc ?x∈ac ?bc, 所以(a?b)c=ac ?bc.直积(笛卡儿乘积):设a、b是任意两个集合, 在集合a中任意取一个元素x, 在集合b 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积, 记为a?b, 即 a?b={(x, y)|x∈a且y∈b}.例如, r?r={(x, y)| x∈r且y∈r }即为xoy面上全体点的集合, r?r常记作r2.3. 区间和邻域有限区间:设ab, 称数集{x|axb}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|axb}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤xb }、(a, b] = {x | ax≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x b } , (-∞, +∞)={x | | x | +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作u(a).二、映射1. 映射的概念定义设x、y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对x中每个元素x, 按法则f, 在y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从x 到y的映射, 记作f : x→y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合x称为映射f的定义域, 记作d f, 即d f=x ;x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为r f, 或f(x), 即r f=f(x)={f(x)|x∈x}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合x, 即定义域d f=x; 集合y, 即值域的范围: r f ?y; 对应法则f, 使对每个x∈x, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈x, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈r f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域r f是y的一个子集, 即r f ?y, 不一定r f=y .例1设f : r→r, 对每个x∈r, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域d f=r, 值域r f ={y|y≥0}, 它是r的一个真子集. 对于r f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2设x={(x, y)|x2+y2=1}, y={(x, 0)||x|≤1}, f : x →y, 对每个(x, y)∈x, 有唯一确定的(x, 0)∈y与之对应.显然f是一个映射, f的定义域d f=x, 值域r f =y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1, 1]上.(3) f :[-, ]→[-1, 1], 对每个x∈[-, ], f(x)=sin x . 2222f是一个映射, 定义域d f =[-, ], 值域r f =[-1, 1]. 22满射、单射和双射:设f是从集合x到集合y的映射, 若r f =y, 即y中任一元素y都是x 中某元素的像, 则称f为x到y上的映射或满射; 若对x中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f为x到y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f是x到y的单射, 则由定义, 对每个y∈r f , 有唯一的x∈x, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从r f 到x的新映射g, 即g : r f →x,对每个y∈r f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域df-1=r f , 值域rf-1=x .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : x→y 1,f : y 2→z,其中y 1?y 2. 则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则, 它将每个x∈x映射成f[g(x)]∈z . 显然, 这个对应法则确定了一个从x 到z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: x →z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈x .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域r g必须包含在f的定义域内, r g?d f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f 的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g 与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : r→[-1, 1], 对每个x∈r, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], f(u)=-u2.则映射g和f构成复映射f o g: r→[0, 1], 对每个x∈r, 有(f g)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=-sin2x=|cosx|.三、函数1. 函数概念定义设数集d?r, 则称映射f : d →r为定义在d上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈d,其中x称为自变量, y称为因变量, d称为定义域, 记作d f, 即d f=d.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x), x∈d”或“y=f(x), x∈d”来表示定义在d上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“f”, “?”等. 此时函数就记作y=? (x), y=f(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在r内, 因此构成函数的要素是定义域d f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:1 求函数y=-x2-4的定义域. x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为d={x | | x |≥2}, 或d=(-∞, 2]?[2, +∞]).单值函数与多值函数:【篇二：同济第六版《高等数学》教案word版-第02章导数与微分】第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。