高等数学电子教案
高等数学教案word版
高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
《高等数学电子教案》课件
《高等数学电子教案》PPT课件第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：理解函数的概念，掌握函数的性质，了解函数的图像。
教学内容：函数的定义，函数的性质，函数的图像。
1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质，学会求极限。
教学内容：极限的定义，极限的性质，极限的求法。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质教学目标：理解导数的概念，掌握导数的性质，学会求导数。
教学内容：导数的定义，导数的性质，求导数的方法。
2.2 微分的概念与性质教学目标：理解微分的概念，掌握微分的性质，学会求微分。
教学内容：微分的定义，微分的性质，求微分的方法。
第三章：积分与微分方程3.1 不定积分的概念与性质教学目标：理解不定积分的概念，掌握不定积分的性质，学会求不定积分。
教学内容：不定积分的定义，不定积分的性质，求不定积分的方法。
3.2 定积分的概念与性质教学目标：理解定积分的概念，掌握定积分的性质，学会求定积分。
教学内容：定积分的定义，定积分的性质，求定积分的方法。
第四章：向量与线性方程组4.1 向量的概念与性质教学目标：理解向量的概念，掌握向量的性质，学会求向量的运算。
教学内容：向量的定义，向量的性质，向量的运算。
4.2 线性方程组的概念与性质教学目标：理解线性方程组的概念，掌握线性方程组的性质，学会解线性方程组。
教学内容：线性方程组的定义，线性方程组的性质，解线性方程组的方法。
第五章：矩阵与行列式5.1 矩阵的概念与性质教学目标：理解矩阵的概念，掌握矩阵的性质，学会求矩阵的运算。
教学内容：矩阵的定义，矩阵的性质，矩阵的运算。
5.2 行列式的概念与性质教学目标：理解行列式的概念，掌握行列式的性质，学会求行列式的值。
教学内容：行列式的定义，行列式的性质，求行列式的方法。
第六章：级数与泰勒公式6.1 级数的概念与性质教学目标：理解级数的概念，掌握级数的性质，学会求级数的收敛性。
教学内容：级数的定义，级数的性质，求级数的收敛性。
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种规则，将一个非空数集（定义域）中的每一个元素对应到另一个非空数集（值域）中的唯一元素。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个确定的值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、传递性、夹逼性等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代数法、几何法、泰勒公式等。
极限的运算法则：加减法、乘除法、复合函数的极限等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于0，称f(x)为无穷小。
无穷大的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷，称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx，表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在某点处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。
导数的运算法则：和差法、乘法法、链式法则等。
2.3 微分的概念与计算微分的定义：函数f(x)在点x处的微小变化量，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式df(x)=f'(x)dx，以及微分的运算法则。
2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。
微分方程的解法：分离变量法、积分因子法等。
第三章：积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义：函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，表示f(x)与x轴之间区域的面积。
基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。
3.2 定积分的概念与计算定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx，表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。
《高等数学电子教案》课件2
《高等数学电子教案》PPT课件第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）1.2 极限的概念与性质极限的定义（无穷小、无穷大）极限的性质（保号性、保不等式性）1.3 极限的运算法则极限的四则运算法则极限的复合运算法则1.4 极限存在的条件单调有界定理夹逼定理单调有界原理第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质导数的定义导数的性质（单调性、连续性）2.2 导数的运算法则导数的四则运算法则导数的复合运算法则2.3 高阶导数求一阶导数求二阶导数及高阶导数2.4 微分的方法与应用微分的定义与性质微分在近似计算中的应用第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理罗尔定理的定义与证明罗尔定理的应用3.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的定义与证明拉格朗日中值定理的应用3.3 柯西中值定理柯西中值定理的定义与证明柯西中值定理的应用3.4 导数在函数性质分析中的应用单调性的判断极值的判断凹凸性的判断第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的基本概念与性质不定积分的定义不定积分的性质（线性性、保号性）4.2 基本积分公式幂函数的积分指数函数的积分对数函数的积分4.3 定积分的基本概念与性质定积分的定义定积分的性质（单调性、保号性）4.4 定积分的运算法则定积分的四则运算法则定积分的复合运算法则第五章：定积分的应用5.1 定积分的几何意义面积的计算弧长的计算质心、转动惯量的计算5.2 定积分在物理中的应用牛顿-莱布尼茨公式变力做功的计算平均速度、平均加速度的计算5.3 定积分在经济学中的应用利润的最大化与最小化资源的分配与利用5.4 定积分在其他领域中的应用生物医学中的药物浓度计算环境科学中的污染控制《高等数学电子教案》PPT课件第六章：定积分的进一步应用与积分表6.1 积分的进一步应用变限积分的导数反常积分的定义与性质积分的应用案例分析6.2 积分表的使用常用积分表的结构与内容查表方法与技巧积分表在实际问题中的应用第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的基本概念多元函数的定义多元函数的图形表示多元函数的极限与连续性7.2 多元函数的偏导数偏导数的定义与性质偏导数的运算法则偏导数在几何中的应用7.3 全微分与高阶偏导数全微分的定义与性质高阶偏导数的定义与计算高阶偏导数在实际问题中的应用第八章：多元函数的极值与最值问题8.1 多元函数的极值极值的概念与判断条件极值的求解方法极值的应用案例分析8.2 多元函数的最值最值的概念与判断条件最值的求解方法最值的应用案例分析8.3 多元函数的优化问题优化问题的定义与分类优化问题的求解方法优化问题在实际中的应用第九章：重积分9.1 一重积分一重积分的定义与性质一重积分的计算方法一重积分在几何与物理中的应用9.2 二重积分二重积分的定义与性质二重积分的计算方法二重积分在几何与物理中的应用9.3 三重积分三重积分的定义与性质三重积分的计算方法三重积分在几何与物理中的应用第十章：曲线积分与曲面积分10.1 曲线积分曲线积分的定义与性质曲线积分的计算方法曲线积分在几何与物理中的应用10.2 曲面积分曲面积分的定义与性质曲面积分的计算方法曲面积分在几何与物理中的应用10.3 向量分析简介向量场的基本概念向量的运算规则向量分析在实际问题中的应用《高等数学电子教案》PPT课件第十一章：级数11.1 数列极限的概念与性质数列极限的定义数列极限的性质（保号性、保不等式性）数列极限的运算法则11.2 收敛级数的概念与性质收敛级数的定义收敛级数的性质收敛级数的判别法（比较判别法、比值判别法、根值判别法）11.3 发散级数的概念与性质发散级数的定义发散级数的性质发散级数的例子11.4 幂级数的概念与性质幂级数的定义幂级数的性质幂级数的收敛半径第十二章：泰勒公式与插值法12.1 泰勒公式的概念与性质泰勒公式的定义泰勒公式的性质泰勒公式的应用12.2 泰勒公式的扩展与应用泰勒公式的进一步形式泰勒公式的计算方法泰勒公式在实际问题中的应用12.3 插值法的基本概念与方法插值法的定义插值法的性质插值法的方法（线性插值、多项式插值、样条插值）第十三章：常微分方程13.1 微分方程的基本概念微分方程的定义微分方程的解的概念微分方程的分类13.2 微分方程的解法微分方程的分离变量法微分方程的积分因子法微分方程的变量替换法13.3 常微分方程的应用微分方程在物理中的应用微分方程在生物学中的应用微分方程在其他领域中的应用第十四章：线性代数基本概念14.1 向量的概念与运算向量的定义与表示向量的运算规则（加法、减法、数乘、点乘、叉乘）向量的性质（长度、方向、单位向量）14.2 矩阵的概念与运算矩阵的定义与表示矩阵的运算规则（加法、减法、数乘、转置、乘法）矩阵的性质（行列式、逆矩阵）14.3 线性方程组的概念与解法线性方程组的定义线性方程组的解的概念线性方程组的解法（高斯消元法、矩阵求逆法）第十五章：线性代数的应用15.1 线性空间与线性变换线性空间的概念线性变换的概念与性质线性变换的应用案例分析15.2 特征值与特征向量特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的应用15.3 二次型与正定矩阵二次型的定义与性质正定矩阵的概念与判定二次型与正定矩阵的应用重点和难点解析第一章：函数与极限重点：理解函数的概念与性质，掌握极限的定义和性质。
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。
导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。
积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。
第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。
第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。
高等数学电子教案（大专版）
高等数学电子教案（大专版）《高等数学》教案第一讲函数与极限1.函数的定义设有两个变量x ，y 。
对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。
记作y=f(x)，x ∈D 。
其中x 叫自变量，y 叫因变量。
函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。
例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2∴f(x)=2x 2 – x – 2定义域：使函数有意义的自变量的集合。
因此，求函数定义域需注意以下几点：①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0例2 求函数y=6—2x －x +arcsin712x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有：1|712|062≤-≥--x x x ? 4323≤≤--≤≥x x x 或?4323≤≤-≤≤-x x 或于是，所求函数的定义域是：[-3，-2]Y [3，4].例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x解（1）中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数（1）基本初等函数常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数：y=μx （μ为常数）指数函数：y=xa (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数)三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx（2）复合函数设),(u f y =其)(x u ?=中，且)(x ?的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ?=为x 的复合函数，而u 称为中间变量.例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0，∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π]例5：分析下列复合函数的结构（1）y=2cotx （2）y=1sin 2+x e解：（1）y=u ，u=cosv ，v=2x（2）y=ue ，u=sinv ，v=t ，t=x 2+1例6：设f(x)=2x g(x)=x 2 求f[g(x)] g[f(x)]解：f[g(x)]=f(x 2)=(x 2)2=4x g[f(x)]=g(2x )=22x3. 极限（1）定义函数y=f(x)，当自变量x 无限接近于某个目标时（一个数x 0，或+∞或—∞），因变量y 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数f(x)以A 为极限。
《高等数学电子教案》课件
《高等数学电子教案》课件一、第1章函数与极限1.1 函数的概念与性质定义域、值域、对应关系奇函数、偶函数、周期函数单调性、连续性、可导性1.2 极限的概念与性质极限的定义（洛必达法则）无穷小、无穷大、极限的存在性极限的运算法则、夹逼定理、单调有界定理二、第2章导数与微分2.1 导数的定义与计算导数的定义（极限比值法）基本导数公式、导数的运算法则高阶导数、隐函数求导、参数方程求导2.2 微分的作用与应用微分的定义、微分的运算法则微分在近似计算、物理应用等方面的作用微分方程的解法与应用三、第3章泰勒公式与不定积分3.1 泰勒公式的概念与计算泰勒公式的定义、泰勒级数常见函数的泰勒展开式泰勒公式在近似计算中的应用3.2 不定积分的概念与计算不定积分的定义、基本积分公式换元积分、分部积分积分在几何、物理等方面的应用四、第4章定积分与反常积分4.1 定积分的概念与计算定积分的定义、定积分的性质牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法定积分在几何、物理等方面的应用4.2 反常积分的概念与计算反常积分的定义、无穷区间上的积分瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数反常积分在实际应用中的意义五、第5章微分方程与线性微分方程组5.1 微分方程的概念与解法微分方程的定义、微分方程的解常微分方程、线性微分方程、非线性微分方程分离变量法、积分因子法、变量替换法5.2 线性微分方程组的概念与解法线性微分方程组的定义、解的结构高阶线性微分方程、齐次线性微分方程特解法、待定系数法、常数变易法六、第6章级数6.1 数项级数的概念与判别法数项级数的定义、收敛性与发散性收敛级数的性质、级数的收敛准则（比较检验、比值检验、根值检验）绝对收敛与条件收敛6.2 幂级数的概念与性质幂级数的定义、收敛半径、收敛区间幂级数的运算、泰勒级数与麦克劳林级数幂级数在函数逼近与数值计算中的应用七、第7章多元函数的极限与连续7.1 多元函数的概念与性质多元函数的定义、偏导数、全微分多元函数的单调性、连续性、可微性方向导数与梯度7.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限定义、极限的存在性多元函数的连续性、无穷远点多元函数极限与单变量函数极限的对比八、第8章多元函数的导数与微分8.1 多元函数的导数与微分多元函数的偏导数、全导数高阶偏导数、隐函数求导、参数方程求导微分的概念与性质、微分在多元函数中的应用8.2 多元函数的泰勒公式与不定积分多元函数的泰勒公式、泰勒级数不定积分的概念、多元函数的不定积分积分在多元函数中的应用九、第9章多元函数的定积分与反常积分9.1 多元函数的定积分多元函数定积分的定义、性质多元函数定积分的计算、换元法、分部积分法多元函数定积分在几何、物理等方面的应用9.2 多元函数的反常积分多元函数反常积分的定义、无穷区间上的积分多元函数瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数多元函数反常积分在实际应用中的意义十、第10章向量分析与线性代数10.1 向量分析的概念与方法向量的定义、向量的运算空间解析几何、向量场的概念梯度、散度、旋度、格林公式10.2 线性代数的基本理论向量空间、线性变换、特征值与特征向量矩阵的运算、行列式、特征方程线性方程组、最小二乘法、正交投影重点和难点解析一、第1章函数与极限1.1 函数的概念与性质重点关注函数的奇偶性、周期性及单调性难点解析：奇偶性的判断、周期性的求解、单调性的证明1.2 极限的概念与性质重点关注极限的定义、性质及运算法则难点解析：极限的判断（洛必达法则）、无穷小与无穷大的比较、极限的夹逼定理与单调有界定理二、第2章导数与微分2.1 导数的定义与计算重点关注导数的定义、基本导数公式及导数的运算法则难点解析：导数的计算（隐函数求导、参数方程求导）、高阶导数的应用、导数在实际问题中的应用2.2 微分的作用与应用重点关注微分的定义及微分的运算法则难点解析：微分的应用（近似计算、物理应用）、微分方程的解法及应用三、第3章泰勒公式与不定积分3.1 泰勒公式的概念与计算重点关注泰勒公式的定义、常见函数的泰勒展开式难点解析：泰勒公式的应用（近似计算）、泰勒级数的收敛性判断3.2 不定积分的概念与计算重点关注不定积分的定义、基本积分公式及积分方法难点解析：不定积分的计算（换元积分、分部积分）、积分在几何、物理等方面的应用四、第4章定积分与反常积分4.1 定积分的概念与计算重点关注定积分的定义、性质及计算方法难点解析：定积分的计算（牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法）、定积分在几何、物理等方面的应用4.2 反常积分的概念与计算重点关注反常积分的定义、性质及计算方法难点解析：反常积分的计算（瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数）、反常积分在实际应用中的意义五、第5章微分方程与线性微分方程组5.1 微分方程的概念与解法重点关注微分方程的定义、解的结构及解法难点解析：微分方程的解法（分离变量法、积分因子法、变量替换法）、高阶线性微分方程的解法5.2 线性微分方程组的概念与解法重点关注线性微分方程组的定义、解的结构及解法难点解析：线性微分方程组的解法（特解法、待定系数法、常数变易法）、线性微分方程组的应用全文总结与概括：本文针对《高等数学电子教案》课件的十个章节进行了重点和难点的解析。
高等数学电子教案(大专版)(2024)
02
函数与极限
2024/1/28
8
函数概念及性质
2024/1/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中 的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应， 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
向量的坐标表示法
详细讲解向量的坐标表示法，包括向量在空间直角 坐标系中的表示方法、向量的模和方向余弦的坐标 计算公式等。
向量的运算与坐标计算
介绍向量的加法、减法、数乘和点积、叉积 等运算在坐标计算中的实现方法，以及这些 运算的几何意义和性质。
2024/1/28
30
平面与直线方程
2024/1/28
平面的方程
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，反映了函数值随自变量变化的快 慢程度。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的 切线斜率，即函数图像在该点的倾斜 程度。
13
导数的计算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数等的基本导数公式。
导数的四则运算法则
2024/1/28
全微分的定义
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全 增量$Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$可以表示为$Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho)$，其 中$A$和$B$不依赖于$Delta x$和 $Delta y$而仅与$x$和$y$有关， $rho=(Delta x^2+Delta y^2)^{frac{1}{2}}$，则称函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而 $ADelta x+BDelta y$称为函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。
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其中常数a0,a1,a2,....an...叫做幂级数的系数.
学 数
例如
1 + x + x 2 + ... + x n + ...
1+ x + 1 2 1 x + ... + x n + ... 2! n!
都是幂级数
高 等 数 学 电 子 教 案
幂级数之所以简单而重要,首先在于它的部分和Sn(x)是 关于x的多项式,尽管它的和函数S(x)可能是很复杂的函数, 当它总是可以用多项式来近似地表达,而且只要n充分大 时,这种近似表达可以达到任意指定的精确程度,其次幂级 数的收敛域有比较简单的形式. 幂级数收敛域的研究由Aber得到
(2)
以把常数项级数的有关理论和审敛法的知识应用到函数项 级数中来.
高 等 数 学 电 子 教 案
级数(2)可能收敛也可能发散.如果(2)收敛,我们称点x0是函 数项级数(1)的收敛点;如果(2)发散,我们称点x0是函数项级 数(1)的发散点 函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所 有发散点的全体称为它的发散域.
当
学 数
x2 2
> 1即 | x |> 2幂级数发散.收敛半径为 2
当x = ± 2时, 原级数为∑ 1, 显然发散,
高 等 数 学 电 子 教 案
解法二
tn 令x2=t,原级数化为t的幂级数 ∑ n n =0 2
n
∝
=+∝
学 数
所以收敛半径R=0,级数仅在x=0处收敛
高 等 数 学 电 子 教 案
x n 例5 求级数的收敛半径和收敛区间 ∑ n! ( ) n n =1
∝
an +1 (n + 1)! n n ρ = lim = lim[ ⋅ ] n +1 n →∝ a n →∝ ( n + 1) n! n
( n + 1) ⋅ n n 1 = lim = n +1 n →∝ ( n + 1) e
1 = lim =0 n →∝ n +1
学 数
所以收敛半径R=+∞,收敛区间是(-∞,+∞)
高 等 数 学 电 子 教 案
n! x n 例4 求级数的收敛区间 ∑
n =1 ∝
解:
an +1 ρ = lim n →∝ a n
(n + 1)! = lim = lim n + 1 n →∝ n →∝ n!
n=1 ∝
a0 + a1 x0 + a2 x0 + ... + an x0 + ...
2 n
n 收敛.根据级数收敛的必要条件,这时有 lim an x0 = 0. n →∝
n 于是存在一个常数M,使得 an x0 ≤ M (n = 1,2,...)
学 数
这样级数(3)的一般项的绝对值
an x
n
= an x ⋅
通项不趋于0,级数发散
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n！ e n 当 x = − e ，原幂级数为 ∑ ( − 1) n , n n n =1
∝
同样原级数通项不趋于
0 , 发散
所以原幂级数的收敛半径为e,收敛区域为(-e,e)
学 数
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x2n 例6 求级数的收敛半径和收敛区间 ∑ 2n n=0
1
ρ
, 幂级数绝对收敛.
1 .
ρ ρ (2)若ρ = 0, 则对任何x都有ρ x = 0 < 1,因而幂级数在
, 级数发散.故收敛半径为R =
学 数
整个数轴上都收敛, 故R = + ∝ . (3)若ρ = + ∝, 则除了x = 0
以外的其它一切x值, 都有ρ x > 1, 于是
R = 0.
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学 数
收敛情况. 关于幂级数的收敛半径求法,有下面的定理:
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定理2
an x n 设有幂级数 ∑
n =0 ∝
,如果它的系数满足
an+1 lim =ρ n→ a ∝ n
(1)若0 < ρ < + ∝, 则收敛半径R = 1
ρ
.
(2)若ρ = 0, 则收敛半径R = + ∝
学 数
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对于任何幂级数∑ an x 如果都存在一个非负数R, 0<R<+∞,
n n =0 ∝
且当|x|<R时幂级数绝对收敛;而当|x|>R时幂级数发散. 特殊地,如果R=+∞,则幂级数在(-∞,+∞,)内收敛;如果R=0, 则幂级数仅在x=0处收敛. 这个数R称为幂级数的收敛半径.(-R,+R)叫做收敛域.由 幂级数在x=±R处的收敛性,就可决定它在区间(-R,+R)上的
∝
本幂级数x的奇次幂的系数a2n+1=0,故不能用公式法求收 敛半径.这里有二种解法
学 数
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lim
n →∝
解法一,利用正项级数的比值法考察
x 2n ∑ 2n n =0
∝
x 2n+ 2 2 n +1
2 ⋅ 2n = , 2 x
n
x2
当
x2 2
< 1,即 | x |< 2幂级数收敛
学 数
1 S ( x) = ; 1− x
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例2 讨论函数项级数 利用比值判别法
1 ∑ 1 + x n 的收敛域 n =1
∞
1 n +1 u n +1 ( x ) 1+ xn lim = lim 1 + x = lim n→∞ u ( x) n→∞ n → ∞ 1 + x n +1 1 n 1+ xn
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综上可知 , ∑ x n −1的收敛域为 ( − 1,1), 在此区间上其和
n =1 ∝
当 | x |> 1时 , lim S n ( x )不存在 , 级数 (*) 发散 ;
n →∝
当 | x |= 1时 , 常数项级数 1 + 1 + 1 + ...和1 − 1 + 1 − 1 ...都发散
学 数
数,记为 ∑ un ( x)
n =1
∝
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就成为 u1(x0 )+u2(x0 )+...+un(x0 )... 这个级数(2)就是常数项级数 对于I上的不同的点,就有不同的常数项级数,所以函数项 级数和常数项级数的关系是一般和特殊的关系.这样我们可
学 数
对于I上的任一定点x0,函数序列就成为数列,此时函数项 级数 u1(x)+u2(x)+...+ un(x)... (1)
学 数
注意:I上的点若不是收敛点就是发散点,收敛域可能是区间, 也可能是孤立点,还可能是空集.
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的常数项级数,因而有一确定的和S.这样在收敛域上,函数 项级数的和是x的函数S(x),通常称S(x)为函数项级数的和 函数,这函数的定义域就是级数的收敛域,写成 S(x)= u1(x)+u2(x)+...+un(x)... 把函数项级数(1)的前n项的部分和记作Sn(x),则在收敛 域上有 lim S n ( x) = S ( x). 我们仍把rn(x)=S(x)-Sn(x)叫做函数
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第三节 幂
级
数
前面我们已经研究了常数项级数，下面将继续研究函数 项级数.这是比常数项级数具有更加广泛意义的级数。
一.函数项级数的一般概念
设u1(x),u2(x),...un(x)...都是定义在某一区间I上的函数序列, 则表达式u1(x)+u2(x)+...+un(x)... (1) 称为在I上的函数项级
级数收敛,且绝对收敛
学 数
故收敛域为 (−∞,−1)U (1,+∞)
高 等 数 学 电 子 教 案 二 幂级数及其收敛性
函数项级数是比较复杂的,这是因为它的每一项都是比 较复杂的函数.但这些函数都是幂函数时,它在理论上和形 式上都很简单,却应用很广泛的一类级数,称为幂级数. 幂级数的一般形式是
a0 + a1x + a2 x2 +... + an xn +...(3)
学 数
n →∝
对应于收敛域内的任意一个数x,函数项级数成为一收敛
项级数的余项(当然,只有x在收敛域rn(x)才有意义),于是有
lim rn ( x ) = 0 .
n →∝
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判断函数项级数的收敛性仍然和常数项级数一样,有 (1)和函数极限的存在性. (2)比值判别法 (3)根值判别法
学 数
1+ xn =1 x ≤ 1, x ≠ − 1 lim n +1 n→∞ 1 + x
比值判别法失效,但由
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1, x ≤ 1, x ≠ −1 1 lim = n →∞ 1 + x n 不存在，x = −1
知级数发散
1+ xn 1 x > 1 lim =| | n +1 n→∞ 1 + x x
学 数
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an xn当x=x0(x0≠0)时收敛,则适合 定理(Aber) 如果级数 ∑
n=1
∝