高等数学电子教案：3-9

在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
D 曲率中心, 曲率半径.
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学.
基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述——曲率; 曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
思考题
椭圆 x 2cos t, y 3sin t上哪
些点处曲率最大？
思考题解答
k | y | 3
6
3
[1 ( y)2 ]2 (4sin2 t 9cos2 t )2
一、弧微分
y
设函数f ( x)在区间(a,b)
内具有连续导数.
基点 : A( x0 , y0 ),
M ( x, y)为任意一点,
o
AM
x0
x
N T R
x x x
规定：(1) 曲线的正向与x增大的方向一致;
(2) AM s, 当AM的方向与曲线正向 一致时, s取正号,相反时, s取负号.
y
单调增函数 s s( x). 设N ( x x, y y), 如图，
2Rl
Rl
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率 k0 0.
实际要求 l x0 ,
有
y
x x0
1 2Rl
x02
1 2Rl
l2
l, 2R
y
y
x x0
1 Rl
x0
1l Rl
1, R
故在终端A的曲率为
1
kA
y
3
(1 y2 )2
)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
例1 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
s s( x)为单调增函数, 故 ds 1 y2dx.
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
设曲线C是光滑的，
C
M0 是基点. MM s ,
M.
2.曲率的计算公式
设y f ( x)二阶可导, tan y,
有 arctan y,
d
y 1 y2
dx,
ds 1 y2dx. k
y 3.
(1 y2 )2
设
x y
(t ), (t ),
二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t 3(t)
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例3 飞机沿抛物线 y x2
y
4000
(单位为米)俯冲飞行,在原
Q
点O处速度为v 400米 / 秒,
飞行员体重70千克.求俯冲
o
x
到原点时,飞行员对座椅的
P
压力.
解 如图,受力分析 F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F
抛物线在顶点处的曲率最大.
例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处
的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和
弯道之间接入一段
缓冲段(如图),使曲 率连续地由零过渡
到 1 (R为圆弧轨道 R
的半径).
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通常用三次抛物线
y
1 6Rl
x 3，x
[0,
x0 ]．作为
S
M M 切线转角为 .
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下, K d .
s0 s ds
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大.
o
MN MN MT NT 当x 0时,
AM x0 x
N T R
x x x
MN (x)2 (y)2 1 ( y )2 x 1 y2 dx , x
MN s ds ,
MT (dx)2 (dy)2 1 y2 dx ,
NT y dy 0, 故 ds 1 y2 dx . 弧微分公式
mv 2
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
________；曲率半径为_________.
3、曲 线 y ln( x 1 x 2 ) 在 (0,0) 处 的 曲 率 为
___________.
二、求曲线 y ln(sec x) 在点( x, y) 处的曲率及曲率半
6
3
(4 5cos2 t )2
3
要使k 最大， 必有 (4 5cos2 t)2 最小，
t , 3 此时k 最大，
22
练习题
一、填空题：
1、曲率处处为零的曲线为________；曲率处处相等
ห้องสมุดไป่ตู้
的曲线为__________.
2、抛 物 线 y x 2 4x 3 在 (2,-1) 处 的 曲 率 为
x x0
(1
R l2
4R2
3
)2
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
l 1, R
略去二次项 l2 4R2
,
得
kA
1. R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x) 在点 y
M( x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点 M 处的曲线的法线上,
D 1
k
y f (x)
缓冲段 OA，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段
OA 在始端 O 的曲率
为零,并且当 l 很小 R
( l 1) 时，在终端 R A的曲率近似为 1 .
R
y
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
证 如图
y
x的负半轴表示直道，
OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
在缓冲段上,
y 1 x2 , y 1 x.