高等数学电子教案
高等数学教案word版
高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
《高等数学电子教案》课件
《高等数学电子教案》PPT课件第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：理解函数的概念，掌握函数的性质，了解函数的图像。
教学内容：函数的定义，函数的性质，函数的图像。
1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质，学会求极限。
教学内容：极限的定义，极限的性质，极限的求法。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质教学目标：理解导数的概念，掌握导数的性质，学会求导数。
教学内容：导数的定义，导数的性质，求导数的方法。
2.2 微分的概念与性质教学目标：理解微分的概念，掌握微分的性质，学会求微分。
教学内容：微分的定义，微分的性质，求微分的方法。
第三章：积分与微分方程3.1 不定积分的概念与性质教学目标：理解不定积分的概念，掌握不定积分的性质，学会求不定积分。
教学内容：不定积分的定义，不定积分的性质，求不定积分的方法。
3.2 定积分的概念与性质教学目标：理解定积分的概念，掌握定积分的性质，学会求定积分。
教学内容：定积分的定义，定积分的性质，求定积分的方法。
第四章：向量与线性方程组4.1 向量的概念与性质教学目标：理解向量的概念，掌握向量的性质，学会求向量的运算。
教学内容：向量的定义，向量的性质，向量的运算。
4.2 线性方程组的概念与性质教学目标：理解线性方程组的概念，掌握线性方程组的性质，学会解线性方程组。
教学内容：线性方程组的定义，线性方程组的性质，解线性方程组的方法。
第五章：矩阵与行列式5.1 矩阵的概念与性质教学目标：理解矩阵的概念，掌握矩阵的性质，学会求矩阵的运算。
教学内容：矩阵的定义，矩阵的性质，矩阵的运算。
5.2 行列式的概念与性质教学目标：理解行列式的概念，掌握行列式的性质，学会求行列式的值。
教学内容：行列式的定义，行列式的性质，求行列式的方法。
第六章：级数与泰勒公式6.1 级数的概念与性质教学目标：理解级数的概念，掌握级数的性质，学会求级数的收敛性。
教学内容：级数的定义，级数的性质，求级数的收敛性。
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种规则，将一个非空数集（定义域）中的每一个元素对应到另一个非空数集（值域）中的唯一元素。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个确定的值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、传递性、夹逼性等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代数法、几何法、泰勒公式等。
极限的运算法则：加减法、乘除法、复合函数的极限等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于0，称f(x)为无穷小。
无穷大的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷，称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx，表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在某点处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。
导数的运算法则：和差法、乘法法、链式法则等。
2.3 微分的概念与计算微分的定义：函数f(x)在点x处的微小变化量，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式df(x)=f'(x)dx，以及微分的运算法则。
2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。
微分方程的解法：分离变量法、积分因子法等。
第三章：积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义：函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，表示f(x)与x轴之间区域的面积。
基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。
3.2 定积分的概念与计算定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx，表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。
高中数学教案电子版(通用19篇)
高中数学教案电子版(通用19篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。
导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。
积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。
第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。
第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。
高等数学电子教案（大专版）
高等数学电子教案（大专版）《高等数学》教案第一讲函数与极限1.函数的定义设有两个变量x ，y 。
对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。
记作y=f(x)，x ∈D 。
其中x 叫自变量，y 叫因变量。
函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。
例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2∴f(x)=2x 2 – x – 2定义域：使函数有意义的自变量的集合。
因此，求函数定义域需注意以下几点：①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0例2 求函数y=6—2x －x +arcsin712x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有：1|712|062≤-≥--x x x ? 4323≤≤--≤≥x x x 或?4323≤≤-≤≤-x x 或于是，所求函数的定义域是：[-3，-2]Y [3，4].例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x解（1）中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数（1）基本初等函数常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数：y=μx （μ为常数）指数函数：y=xa (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数)三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx（2）复合函数设),(u f y =其)(x u ?=中，且)(x ?的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ?=为x 的复合函数，而u 称为中间变量.例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0，∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π]例5：分析下列复合函数的结构（1）y=2cotx （2）y=1sin 2+x e解：（1）y=u ，u=cosv ，v=2x（2）y=ue ，u=sinv ，v=t ，t=x 2+1例6：设f(x)=2x g(x)=x 2 求f[g(x)] g[f(x)]解：f[g(x)]=f(x 2)=(x 2)2=4x g[f(x)]=g(2x )=22x3. 极限（1）定义函数y=f(x)，当自变量x 无限接近于某个目标时（一个数x 0，或+∞或—∞），因变量y 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数f(x)以A 为极限。
《高等数学电子教案》课件
《高等数学电子教案》课件一、第1章函数与极限1.1 函数的概念与性质定义域、值域、对应关系奇函数、偶函数、周期函数单调性、连续性、可导性1.2 极限的概念与性质极限的定义（洛必达法则）无穷小、无穷大、极限的存在性极限的运算法则、夹逼定理、单调有界定理二、第2章导数与微分2.1 导数的定义与计算导数的定义（极限比值法）基本导数公式、导数的运算法则高阶导数、隐函数求导、参数方程求导2.2 微分的作用与应用微分的定义、微分的运算法则微分在近似计算、物理应用等方面的作用微分方程的解法与应用三、第3章泰勒公式与不定积分3.1 泰勒公式的概念与计算泰勒公式的定义、泰勒级数常见函数的泰勒展开式泰勒公式在近似计算中的应用3.2 不定积分的概念与计算不定积分的定义、基本积分公式换元积分、分部积分积分在几何、物理等方面的应用四、第4章定积分与反常积分4.1 定积分的概念与计算定积分的定义、定积分的性质牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法定积分在几何、物理等方面的应用4.2 反常积分的概念与计算反常积分的定义、无穷区间上的积分瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数反常积分在实际应用中的意义五、第5章微分方程与线性微分方程组5.1 微分方程的概念与解法微分方程的定义、微分方程的解常微分方程、线性微分方程、非线性微分方程分离变量法、积分因子法、变量替换法5.2 线性微分方程组的概念与解法线性微分方程组的定义、解的结构高阶线性微分方程、齐次线性微分方程特解法、待定系数法、常数变易法六、第6章级数6.1 数项级数的概念与判别法数项级数的定义、收敛性与发散性收敛级数的性质、级数的收敛准则（比较检验、比值检验、根值检验）绝对收敛与条件收敛6.2 幂级数的概念与性质幂级数的定义、收敛半径、收敛区间幂级数的运算、泰勒级数与麦克劳林级数幂级数在函数逼近与数值计算中的应用七、第7章多元函数的极限与连续7.1 多元函数的概念与性质多元函数的定义、偏导数、全微分多元函数的单调性、连续性、可微性方向导数与梯度7.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限定义、极限的存在性多元函数的连续性、无穷远点多元函数极限与单变量函数极限的对比八、第8章多元函数的导数与微分8.1 多元函数的导数与微分多元函数的偏导数、全导数高阶偏导数、隐函数求导、参数方程求导微分的概念与性质、微分在多元函数中的应用8.2 多元函数的泰勒公式与不定积分多元函数的泰勒公式、泰勒级数不定积分的概念、多元函数的不定积分积分在多元函数中的应用九、第9章多元函数的定积分与反常积分9.1 多元函数的定积分多元函数定积分的定义、性质多元函数定积分的计算、换元法、分部积分法多元函数定积分在几何、物理等方面的应用9.2 多元函数的反常积分多元函数反常积分的定义、无穷区间上的积分多元函数瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数多元函数反常积分在实际应用中的意义十、第10章向量分析与线性代数10.1 向量分析的概念与方法向量的定义、向量的运算空间解析几何、向量场的概念梯度、散度、旋度、格林公式10.2 线性代数的基本理论向量空间、线性变换、特征值与特征向量矩阵的运算、行列式、特征方程线性方程组、最小二乘法、正交投影重点和难点解析一、第1章函数与极限1.1 函数的概念与性质重点关注函数的奇偶性、周期性及单调性难点解析：奇偶性的判断、周期性的求解、单调性的证明1.2 极限的概念与性质重点关注极限的定义、性质及运算法则难点解析：极限的判断（洛必达法则）、无穷小与无穷大的比较、极限的夹逼定理与单调有界定理二、第2章导数与微分2.1 导数的定义与计算重点关注导数的定义、基本导数公式及导数的运算法则难点解析：导数的计算（隐函数求导、参数方程求导）、高阶导数的应用、导数在实际问题中的应用2.2 微分的作用与应用重点关注微分的定义及微分的运算法则难点解析：微分的应用（近似计算、物理应用）、微分方程的解法及应用三、第3章泰勒公式与不定积分3.1 泰勒公式的概念与计算重点关注泰勒公式的定义、常见函数的泰勒展开式难点解析：泰勒公式的应用（近似计算）、泰勒级数的收敛性判断3.2 不定积分的概念与计算重点关注不定积分的定义、基本积分公式及积分方法难点解析：不定积分的计算（换元积分、分部积分）、积分在几何、物理等方面的应用四、第4章定积分与反常积分4.1 定积分的概念与计算重点关注定积分的定义、性质及计算方法难点解析：定积分的计算（牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法）、定积分在几何、物理等方面的应用4.2 反常积分的概念与计算重点关注反常积分的定义、性质及计算方法难点解析：反常积分的计算（瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数）、反常积分在实际应用中的意义五、第5章微分方程与线性微分方程组5.1 微分方程的概念与解法重点关注微分方程的定义、解的结构及解法难点解析：微分方程的解法（分离变量法、积分因子法、变量替换法）、高阶线性微分方程的解法5.2 线性微分方程组的概念与解法重点关注线性微分方程组的定义、解的结构及解法难点解析：线性微分方程组的解法（特解法、待定系数法、常数变易法）、线性微分方程组的应用全文总结与概括：本文针对《高等数学电子教案》课件的十个章节进行了重点和难点的解析。
高等数学电子教案(大专版)(2024)
02
函数与极限
2024/1/28
8
函数概念及性质
2024/1/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中 的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应， 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
向量的坐标表示法
详细讲解向量的坐标表示法，包括向量在空间直角 坐标系中的表示方法、向量的模和方向余弦的坐标 计算公式等。
向量的运算与坐标计算
介绍向量的加法、减法、数乘和点积、叉积 等运算在坐标计算中的实现方法，以及这些 运算的几何意义和性质。
2024/1/28
30
平面与直线方程
2024/1/28
平面的方程
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，反映了函数值随自变量变化的快 慢程度。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的 切线斜率，即函数图像在该点的倾斜 程度。
13
导数的计算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数等的基本导数公式。
导数的四则运算法则
2024/1/28
全微分的定义
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全 增量$Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$可以表示为$Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho)$，其 中$A$和$B$不依赖于$Delta x$和 $Delta y$而仅与$x$和$y$有关， $rho=(Delta x^2+Delta y^2)^{frac{1}{2}}$，则称函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而 $ADelta x+BDelta y$称为函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。
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学 数
o
1
高 等 数 学 电 子 教 案
uuu uuu r r 例2 设M是平行四边形ABCD的对角线交点,且 AB=a, AD=b uuur uuur uuuuruuuu r 试用a和b表示向量 MA, MB, MC , MD
解: 由于平行四边形的对角线互相平分所以 b
A D M B C
a
学 数
学 数
向量a 上去
高 等 数 学 电 子 教 案
3,数乘向量 设λ是一个数,向量a与λ的乘积λa规定为模是| λ·a|= |λ||a|的向量.当λ>0时, λa的方向与a相同,反之则相反.当 λ=0时, λ·a是零向量. 数乘向量符合下列运算规则:
学 数
a -b a-b
(1)结合律 (2)分配律
λ(µa)=µ(λa)=(µλ)a (λ+µ)a=λa+µa λ(a+b)=λa+λb
学 数
,它的方向可以为任意.
高 等 数 学 电 子 教 案
两个非零向量如果它们的方向相同或相反,称为平行向量, 记为a∥b.由于零向量的方向认为是任意的,因此零向量与 任何向量都平行. 当平行向量的起点放在同一点时,它们的 终点和公共起点在同一直线上,因此.两向量平行又称两向 量共线.
学 数
高 等 数 学 电 子 教 案 二 向 量 的 线 性 运 算
高 等 数 学 电 子 教 案
B D A 例3:试证明三角形两边中点的连线平行且等于第三边的一半.
uuur uuu uuu uuur uuu uuu uuu r r r r r Q DE = DA + AE, DE = DB + BC + CE E uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r C QDA =−DB, AE =−CE∴2DE = BC,
高 等 数 学 电 子 教 案
两个向量如果在同一条直线上,或在平行直线上,就称这两 个向量共线或平行. 根据数乘向量的规定,可以得到如下的结论: (1) 两个非零向量a和b平行的充分必要条件是a=λb,其中 λ是常数.反之如果两个非零向量a和b平行,则有为a=λb.
学 数
高 等 数 学 电 子 教 案
高 等 数 学 电 子 教 案 一.
第一节
向量的概念
向量及其线性运算
在数学上,我们用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示 向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.例如以M1 为 起点,M2为终点的向量,记作 M 1 M 2 M2
学 数
M1
高 等 数 学 电 子 教 案
自由向量,即只研究它的大小和方向, 而不考虑它的始点 位置的向量.在这里凡是大小相等方向相同的向量认为 是相等的,即向量a经过平移和b完全重合.向量a和向量b相等. 记作a=b 向量的大小叫做向量的模,向量a的模,记为|a|. 模等于1的向量叫做单位向量. 模为零的向量叫做零向量,记为0,零向量的起点和终点重合
学 数
四. 利用坐标作向量的线性运算
利用向量的坐标,可得向量的加法,减法以及向量与数的乘法
分配律,有
高 等 数 学 电 子 教 案
a + b = (ax + bx )i + (ay + by ) j + (az + bz )k,
a − b = (ax − bx )i + (ay − by ) j + (az − bz )k,
个单位向量就确定了一个数轴. 设点O及单位向量i确定了数轴 Ox, 对于轴上任一点P,对应一个向量OP, 由于OP∥i,根据结论 (1), 必有唯一的实数x,使OP=xi,并知道OP与实数x一一对应.
学 数
i 0 1
x p
高 等 数 学 电 子 教 案
于是点P
↔
向量OP=xi
↔
实数x
从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系,因此定义实数x 为轴上点P的坐标.由此可见,轴上点P的坐标为x的充分 必要条件是OP=xi i A o 1 x1
高 等 数 学 电 子 教 案
(bx,by,bz)=λ(ax,ay,az), 相当于向量b与a对应的坐标成比例 由此可见,对向量进行加,减及数乘,只需要对向量的各个坐 标分别进行相应的数量运算即可.当向量a≠0时,向量b∥a相 当于b=λa,坐标式为
学 数
bx by bz = = =λ ax a y az
x = 2(2,1, 2) − 3( − 1,1, − 2) = (7, − 1,10)
y = 3(2,1, 2) − 5(−1,1, −2) = (11, −2,16)
学 数
高 等 数 学 电 子 教 案
在直线AB上求点M,使 AM = λ MB 解: 例6 已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数λ≠-1,
c a 和结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 由图可知它们满足交换律a+b=b+a
2向量的减法 向量的减法
设a为一向量,与a的模相等而方向相反的向量叫做a的负向量 ,记作-a,由此,我们规定两个向量a与b的差: a-b=a+(-b). , -a, , a b : a-b=a+(-b).特别是 a-a=a+(-a)=0由三角形法则可知道,要从a减去b,只要把-b加到
λ a = (λ ax )i + (λ a y ) j + (λ az )k ,
→ a + b = ( a x + bx , a y + b y , a z + bz ),
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
a − b = ( a x − bx , a y − by , a z − bz ),
λ a = (λ a x , λ a y , λ a z )
b c c b b a 三角形法则是一致的,这从上面 可明白地看出.但多个向量相加 a+b+c+d c d
a a 向量加法的平行四边形法则与
时,用三角形法则明显要方便些. 因为相加的向量只要依次 首尾相连.第一个向量的起点为起点, 最后一个向量的终点
学 数
为终点的向量即是所求的和向量.
高 等 数 学 电 子 教 案ຫໍສະໝຸດ 高 等 数 学 电 子 教 案
=xi+yj+zk,称为向量r的坐标分解式, xi,yj,zk称为向量r沿三 个坐标轴的分向量,原点为o(0,0,0). R z
学 数
过空间的一点M分别作x轴y轴z轴的垂直平面,它们和三个 坐标轴的交点为x,y,z.则空间点M和有序数组x,y, z一一对应, x,y,z为点M的坐标,记作M(x,y,z),[op=xi,oQ=yj,oR=zk,r=OM
uuu r uuuu r uuu uuu r r a +b AC = a +b = 2AM →−(a +b) = 2MA∴MA=− 2 uuuu uuu a + b uuu r r r uuuu uuuu b − a uuur uuuu a −b r r r MC =−MA = , BD = −a + b = 2MD∴MD = , MB = −MD = 2 2 2
如果两个向量能表示为a=λb,则它们平行. 所以DE∥BC (1) 两个非零向量a和b平行的充分必要条件是a=λb,其中λ
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是常数.反之如果两个非零向量a和b平行,则必为a=λb.
高
等 上面的结论(1)是建立数轴的理论根据, 我们知道,给定一个点, 数 学 电 一个方向及单位长度,就确定了一条数轴.由于一个单位 子 教 向量既确定了方向,又确定了单位长度, 因此,给定一个点及一 案
又
r r r r r a r a λ = r ,Q λ b = λ b = r b = a b b
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且 a0 和a同向,故a0是a的单位向量,于是a=|a|a0
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证明:点A的坐标为u1,即OA的值OA=u1,∴OA=u1e,OB=u2e ∴AB=OB-OA= u2e- u1e=(u2-u1)e e A u1 B u2 u 例1 在u轴上取定一点o作为坐标原点,设A,B是u轴 上坐标依次为u1, u2的两个点,e是与u轴同方向的单位向量,
(3)
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解: 例5 求解以向量为未知元的线性方程组 x-3y=a 3x-2y=b 其中a=(2,1,2),b=(-1,1,-2)
5 x − 3 y = a → 15 x − 9 y = 3 a .
3x − 2y = b →15x −10y = 5b ⇒ y = 3a − 5b, x = 2a − 3b
向量的加,减法和数乘向量的运算叫做向量的线性运算. 1,向量的加法 向量的加法 规定:两个向量的加法运算, 以两向量为平行四边形的边, 对角线为它们的和.(称为平行四边形法). 把两向量的始点和终点相连接,它们的和是以一个向量 的始点为始点,另一个向量的终点为终点的向量.(三角形
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法则)
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右手法则排列,即右手握住z轴,四个手指从x轴的方向转到y 轴的方向时,拇指就指向z轴的正方向.
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下两部分,上面的四个卦限按逆时针分成两个可以确定一
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z y x
个平面,称为坐标面三个坐标面把空间分成八个部分,每一 个部分叫做一个卦限.xoy平面把它们分成上下两部分,上面 的四个卦限按逆时针分成1，2，3，4卦限；下面的四个卦限 按逆时针分成5，6，7，8卦限
AM = OM − OA, MB = OB − OM
B x2 x
如果轴上有两点A,B,它们的坐标分别为x1和x2,