高等数学电子教案(大专版)

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高职高等数学教案

高职高等数学教案

高职高等数学教案一、教学目标1. 知识与技能:使学生掌握高职高等数学的基本概念、原理和方法,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2. 过程与方法:通过教师的引导和学生的自主学习,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生的数学思维水平。

3. 情感态度与价值观:激发学生学习高等数学的兴趣,培养学生的耐心和毅力,使学生认识到高等数学在实际生活中的重要性。

二、教学内容1. 第一章:函数与极限教学重点:函数的概念、性质,极限的定义及性质,无穷小比较,函数的极限,无穷小求极限。

教学难点:极限的运算,无穷小比较,函数的极限。

2. 第二章:导数与微分教学重点:导数的定义,基本导数公式,导数的应用,微分的概念及计算。

教学难点:导数的运算,高阶导数,隐函数求导,参数方程求导。

3. 第三章:微分中值定理与导数的应用教学重点:微分中值定理,洛必达法则,导数在函数性质分析中的应用。

教学难点:微分中值定理的证明,洛必达法则的运用,函数的单调性、凹凸性及拐点。

4. 第四章:不定积分教学重点:不定积分的概念,基本积分公式,换元积分,分部积分。

教学难点:换元积分的计算,分部积分的运用,有理函数的积分。

5. 第五章:定积分教学重点:定积分的定义,基本定积分公式,定积分的计算,定积分在实际问题中的应用。

教学难点:定积分的运算,反常积分的计算,定积分在实际问题中的应用。

三、教学方法与手段1. 教学方法:采用启发式教学,引导学生主动思考、积极参与,通过实例分析、讨论、练习等方式,巩固所学知识。

2. 教学手段:利用多媒体课件、黑板、教材等教学资源,辅助教学,提高教学效果。

四、教学评价1. 过程评价:关注学生在学习过程中的表现,如参与度、思考能力、合作精神等。

2. 结果评价:通过课后作业、课堂练习、单元测试等方式,检验学生对知识的掌握程度。

五、教学课时安排1. 第一章:10课时2. 第二章:12课时3. 第三章:10课时4. 第四章:12课时5. 第五章:10课时六、第六章:向量代数与空间解析几何教学重点:向量的概念、运算,空间直角坐标系,向量投影,空间向量的运算,线性方程组,空间解析几何的基本概念及应用。

高等数学教案word版

高等数学教案word版

高等数学教案word版篇一:高等数学上册教案篇二:《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观,掌握基本初等函数的图像及性质;熟练复合函数的分解。

函数概念、性质(分段函数)—基本初等函数—初等函数—例子(定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像)授课提要:前言:本讲首先是《高等数学》的学习介绍,其次是对中学学过的函数进行复习总结(函数本质上是指变量间相依关系的数学模型,是事物普遍联系的定量反映。

高等数学主要以函数作为研究对象,因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解)。

一、新教程序言1、为什么要重视数学学习(1)文化基础——数学是一种文化,它的准确性、严格性、应用广泛性,是现代社会文明的重要思维特征,是促进社会物质文明和精神文明的重要力量;(2)开发大脑——数学是思维训练的体操,对于训练和开发我们的大脑(左脑)有全面的作用;(3)知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础,是我们生活和工作的一种能力和技术;(4)智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力,这种能力为人的一生提供持续发展的动力。

2、对数学的新认识(1)新数学观——数学是一门特殊的科学,它为自然科学和社会科学提供思想和方法,是推动人类进步的重要力量;(2)新数学教育观——数学教育(学习)的目的:数学精神和数学思想方法,培养人的科学文化素质,包括发展人的思维能力和创新能力。

(3)新数学素质教育观——数学教育(学习)的意义:通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。

[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义:变量间的一种对应关系(单值对应)。

(用变化的观点定义函数),记:y?f(x)(说明表达式的含义)(1)定义域:自变量的取值集合(D)。

(2)值域:函数值的集合,即{yy?f(x),x?D}。

例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域?2、函数的图像:设函数y?f(x)的定义域为D,则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。

高职高等数学教案

高职高等数学教案

高职高等数学教案一、教学目标1. 知识与技能:使学生掌握高职阶段必要的高等数学基础知识,包括函数、极限、导数、积分等概念和方法,提高学生解决实际问题的能力。

2. 过程与方法:通过实例分析、问题解决、小组讨论等方式,培养学生运用高等数学知识分析和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观:激发学生学习高等数学的兴趣,培养学生的创新意识和团队合作精神,提高学生综合素质。

二、教学内容1. 第四章:导数导数的定义基本导数公式导数的应用单调性极值曲线的凹凸性和拐点2. 第六章:积分不定积分基本积分公式换元积分法分部积分法定积分定积分的定义定积分的性质牛顿-莱布尼茨公式积分的应用面积计算体积计算质心、质矩计算三、教学方法1. 实例分析法:通过实际问题引入数学概念,引导学生运用数学知识解决问题。

2. 问题解决法:设计具有挑战性的问题,激发学生思考,培养学生的解决问题的能力。

3. 小组讨论法:组织学生进行小组讨论,培养学生的团队合作精神和沟通能力。

4. 现代化教学手段:利用多媒体课件、网络资源等,提高教学效果。

四、教学评价1. 平时成绩:考察学生的出勤、作业、小测验等情况,占总评的40%。

2. 期中考试:考察学生对高职高等数学基础知识的理解和运用能力,占总评的30%。

3. 期末考试:全面测试学生的学习成绩,占总评的30%。

五、教学资源1. 教材:选用适合高职学生的权威高等数学教材。

2. 多媒体课件:制作精美、清晰的多媒体课件,便于学生理解和记忆。

3. 网络资源:提供相关的高等数学学习网站、在线课程等,方便学生自主学习。

4. 习题集:提供丰富的习题,帮助学生巩固所学知识。

六、教学资源1. 辅导资料:提供详细的辅导资料,包括学习指南、解题技巧等,帮助学生提高学习效果。

2. 视频讲座:录制高水平教师的高等数学讲座,供学生在线学习和参考。

3. 数学软件:介绍和使用数学软件,如MATLAB、Mathematica等,使学生能够将理论应用于实际问题的解决。

教案高职高专高等数学

教案高职高专高等数学

教案-高职高专高等数学一、教学目标1. 知识点:本章主要介绍高职高专高等数学的基本概念、性质和运算规则。

2. 能力点:培养学生掌握高等数学的基本运算方法,提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。

3. 情感态度:激发学生对高等数学的兴趣,培养学生的自信心和自主学习能力。

二、教学内容1. 基本概念:实数、整数、有理数、无理数、实数域等。

2. 性质:实数的四则运算、相反数、平方根、立方根等。

3. 运算规则:实数的加法、减法、乘法、除法、乘方等运算规则。

三、教学重点与难点1. 教学重点:实数的基本概念、性质和运算规则。

2. 教学难点:实数的运算规则,特别是乘方和除法的运算规则。

四、教学方法1. 讲授法:讲解实数的基本概念、性质和运算规则。

2. 案例分析法:通过具体的例子,让学生理解和掌握实数的运算方法。

3. 练习法:布置适量的练习题,让学生巩固所学知识。

五、教学过程1. 导入新课:通过引入实际问题,激发学生对高等数学的兴趣,引出实数的概念。

2. 讲解实数的基本概念:介绍实数的概念,解释实数的分类,如整数、有理数、无理数等。

3. 讲解实数的性质:讲解实数的相反数、平方根、立方根等性质。

4. 讲解实数的运算规则:讲解实数的加法、减法、乘法、除法、乘方等运算规则。

5. 案例分析:通过具体的例子,让学生理解和掌握实数的运算方法。

6. 练习巩固:布置适量的练习题,让学生巩固所学知识。

7. 总结与反馈:对本节课的内容进行总结,回答学生的疑问,收集学生的反馈意见。

8. 布置作业:布置课后作业,巩固本节课所学知识。

教案-高职高专高等数学六、教学评价1. 形成性评价:通过课堂提问、练习和小测验,及时了解学生对实数概念、性质和运算规则的理解和掌握情况。

2. 总结性评价:通过课后作业和期中期末考试,评估学生对实数知识的掌握程度和应用能力。

七、教学资源1. 教材:选择适合高职高专学生的高等数学教材,提供系统的知识框架和实例分析。

2. 多媒体课件:制作多媒体课件,通过图形、动画等形式,生动展示实数的性质和运算规则。

高职高专高等数学教案

高职高专高等数学教案

高职高专高等数学教案一、教案内容:1. 教学目标:(1) 掌握函数、极限、导数、积分等基本概念和运算方法。

(2) 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

(3) 提高学生运用数学知识分析和解决专业问题的能力。

2. 教学内容:(1) 函数的定义与性质(2) 极限的定义与计算(3) 导数的定义与计算(4) 积分的定义与计算(5) 应用举例3. 教学方法:(1) 采用讲授法,系统地讲解基本概念和运算方法。

(2) 利用数学软件或图形计算器,进行实时演示和验证。

(3) 开展小组讨论和问题解答,提高学生的参与度和合作意识。

(4) 结合实际案例,培养学生的应用能力。

4. 教学手段:(1) 教材:高职高专高等数学教材(2) 课件:采用PowerPoint或其他多媒体软件制作(3) 数学软件:如MATLAB、Mathematica等(4) 图形计算器:如图形计算器、平板电脑等5. 教学评价:(1) 平时成绩:包括课堂表现、作业完成情况、小组讨论等(2) 考试成绩:包括期末考试、期中考试等(3) 应用能力:结合实际案例,进行问题分析和解决二、教案内容:1. 教学目标:(1) 掌握微分方程的基本概念和解法。

(2) 培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力。

(3) 提高学生运用数学知识分析和解决专业问题的能力。

2. 教学内容:(1) 微分方程的定义与分类(2) 常微分方程的解法(3) 线性微分方程的解法(4) 非线性微分方程的解法(5) 应用举例3. 教学方法:(1) 采用讲授法,系统地讲解基本概念和解法。

(2) 利用数学软件或图形计算器,进行实时演示和验证。

(3) 开展小组讨论和问题解答,提高学生的参与度和合作意识。

(4) 结合实际案例,培养学生的应用能力。

4. 教学手段:(1) 教材:高职高专高等数学教材(2) 课件:采用PowerPoint或其他多媒体软件制作(3) 数学软件:如MATLAB、Mathematica等(4) 图形计算器:如图形计算器、平板电脑等5. 教学评价:(1) 平时成绩:包括课堂表现、作业完成情况、小组讨论等(2) 考试成绩:包括期末考试、期中考试等(3) 应用能力:结合实际案例,进行问题分析和解决三、教案内容:1. 教学目标:(1) 掌握线性代数的基本概念和运算方法。

教案高职高专高等数学

教案高职高专高等数学

教案高职高专高等数学第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质理解函数的定义掌握函数的性质,如单调性、奇偶性、周期性等学会运用函数的性质解决问题1.2 极限的概念与性质理解极限的定义掌握极限的性质,如保号性、传递性等学会运用极限的性质解决问题1.3 函数的极限理解函数的极限定义掌握函数极限的性质,如保号性、存在性等学会运用函数极限的性质解决问题第二章:导数与微分2.1 导数的概念与性质理解导数的定义掌握导数的性质,如保号性、单调性等学会运用导数的性质解决问题2.2 微分的概念与性质理解微分的定义掌握微分的性质,如微分与导数的关系等学会运用微分解决问题2.3 求导法则掌握常见函数的求导法则,如幂函数、指数函数等学会运用求导法则求解函数的导数第三章:积分与微分方程3.1 不定积分与定积分的概念与性质理解不定积分与定积分的定义掌握不定积分与定积分的性质,如保号性、可加性等学会运用不定积分与定积分的性质解决问题3.2 常见积分公式掌握常见积分公式,如幂函数、指数函数等学会运用积分公式求解不定积分与定积分3.3 微分方程的概念与解法理解微分方程的定义掌握微分方程的解法,如常系数线性微分方程等学会运用微分方程的解法解决问题第四章:级数4.1 数列的概念与性质理解数列的定义掌握数列的性质,如收敛性、发散性等学会运用数列的性质解决问题4.2 级数的概念与性质理解级数的定义掌握级数的性质,如收敛性、发散性等学会运用级数的性质判断级数的收敛性4.3 常见级数求和法掌握常见级数求和法,如等比级数、等差级数等学会运用求和法求解级数的和第五章:向量与线性方程组5.1 向量的概念与运算理解向量的定义掌握向量的运算,如加法、减法、数乘等学会运用向量的运算解决问题5.2 线性方程组的概念与解法理解线性方程组的定义掌握线性方程组的解法,如高斯消元法等学会运用线性方程组的解法解决问题5.3 矩阵的概念与运算理解矩阵的定义掌握矩阵的运算,如加法、减法、数乘等学会运用矩阵的运算解决问题第六章:概率论与数理统计6.1 随机事件与概率理解随机事件的概念掌握概率的计算方法,如古典概率、条件概率等学会运用概率论解决问题6.2 随机变量及其分布理解随机变量的概念掌握随机变量的分布,如均匀分布、正态分布等学会运用随机变量的分布解决问题6.3 数理统计的基本概念理解数理统计的基本概念,如样本、总体等掌握数理统计的基本方法,如描述性统计、推断性统计等学会运用数理统计的方法解决问题第七章:线性代数7.1 线性空间与线性变换理解线性空间的概念掌握线性变换的定义与性质学会运用线性变换解决问题7.2 特征值与特征向量理解特征值与特征向量的概念掌握特征值与特征向量的计算方法学会运用特征值与特征向量解决问题7.3 矩阵的特殊类型理解对称矩阵、正交矩阵等特殊矩阵的概念掌握特殊矩阵的性质与运算学会运用特殊矩阵解决问题第八章:微分几何8.1 微分几何的基本概念理解微分几何的基本概念,如曲线、曲面等掌握微分几何的基本方法,如切线、法线等学会运用微分几何的方法解决问题8.2 微分几何的方程理解微分几何方程的概念掌握微分几何方程的求解方法学会运用微分几何方程解决问题8.3 微分几何的应用理解微分几何在现实生活中的应用,如曲面拟合等学会运用微分几何解决实际问题第九章:常微分方程9.1 常微分方程的基本概念理解常微分方程的定义掌握常微分方程的解法,如分离变量法、积分因子法等学会运用常微分方程的解法解决问题9.2 常微分方程的应用理解常微分方程在现实生活中的应用,如人口增长模型等学会运用常微分方程解决实际问题9.3 常微分方程组的解法理解常微分方程组的概念掌握常微分方程组的解法,如消元法、矩阵法等学会运用常微分方程组的解法解决问题第十章:复变函数与积分变换10.1 复变函数的基本概念理解复变函数的定义掌握复变函数的性质,如解析性、奇偶性等学会运用复变函数的性质解决问题10.2 积分变换的概念与方法理解积分变换的定义掌握常见积分变换的方法,如傅里叶变换、拉普拉斯变换等学会运用积分变换解决问题10.3 复变函数的应用理解复变函数在现实生活中的应用,如信号处理等学会运用复变函数解决实际问题重点和难点解析重点环节1:函数的极限性质需要重点关注函数极限的保号性和传递性。

高等数学电子教案(大专版)

高等数学电子教案(大专版)

高等数学电子教案(大专版)《高等数学》教案第一讲函数与极限1.函数的定义设有两个变量x ,y 。

对任意的x ∈D ,存在一定规律f ,使得y 有唯一确定的值与之对应,则y 叫x 的函数。

记作y=f(x),x ∈D 。

其中x 叫自变量,y 叫因变量。

函数两要素:对应法则、定义域,而函数的值域一般称为派生要素。

例1:设f(x+1)=2x 2+3x-1,求f(x).解:设x+1=t 得x=t-1,则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2∴f(x)=2x 2 – x – 2定义域:使函数有意义的自变量的集合。

因此,求函数定义域需注意以下几点:①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0例2 求函数y=6—2x -x +arcsin712x -的定义域. 解:要使函数有定义,即有:1|712|062≤-≥--x x x ? 4323≤≤--≤≥x x x 或?4323≤≤-≤≤-x x 或于是,所求函数的定义域是:[-3,-2]Y [3,4].例3 判断以下函数是否是同一函数,为什么?(1)y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x解(1)中两函数的定义域不同,因此不是相同的函数. (2)中两函数的对应法则和定义域均相同,因此是同一函数. 2. 初等函数(1)基本初等函数常数函数:y=c(c 为常数) 幂函数:y=μx (μ为常数)指数函数:y=xa (a>0,a ≠1,a 为常数) 对数函数:y=x a log (a>0,a ≠1,a 为常数)三角函数:y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数:y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx(2)复合函数设),(u f y =其)(x u ?=中,且)(x ?的值全部或部分落在)(u f 的定义域内,则称)]([x f y ?=为x 的复合函数,而u 称为中间变量.例4:若y=u ,u = sinx ,则其复合而成的函数为y=x sin ,要求u 必须≥0,∴sinx ≥0,x ∈[2k π,π+2k π]例5:分析下列复合函数的结构(1)y=2cotx (2)y=1sin 2+x e解:(1)y=u ,u=cosv ,v=2x(2)y=ue ,u=sinv ,v=t ,t=x 2+1例6:设f(x)=2x g(x)=x 2 求f[g(x)] g[f(x)]解:f[g(x)]=f(x 2)=(x 2)2=4x g[f(x)]=g(2x )=22x3. 极限(1)定义函数y=f(x),当自变量x 无限接近于某个目标时(一个数x 0,或+∞或—∞),因变量y 无限接近于一个确定的常数A ,则称函数f(x)以A 为极限。

高职高专高等数学教案

高职高专高等数学教案

高职高专高等数学教案第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标:理解函数的概念,掌握函数的性质,如单调性、奇偶性、周期性等。

教学内容:介绍函数的定义,讨论函数的性质,举例说明。

教学方法:通过讲解和示例,让学生掌握函数的基本概念和性质。

1.2 极限的概念与性质教学目标:理解极限的概念,掌握极限的性质,如保号性、夹逼性等。

教学内容:介绍极限的定义,讨论极限的性质,举例说明。

教学方法:通过讲解和示例,让学生理解极限的概念和性质。

第二章:导数与微分2.1 导数的定义与计算教学目标:理解导数的定义,掌握基本函数的导数计算。

教学内容:介绍导数的定义,讲解基本函数的导数计算法则。

教学方法:通过讲解和练习,让学生掌握导数的定义和计算方法。

2.2 微分的概念与计算教学目标:理解微分的概念,掌握微分的计算方法。

教学内容:介绍微分的定义,讲解微分的计算法则。

教学方法:通过讲解和练习,让学生理解微分的概念和计算方法。

第三章:积分与微分方程3.1 定积分的定义与计算教学目标:理解定积分的概念,掌握定积分的计算方法。

教学内容:介绍定积分的定义,讲解定积分的计算法则。

教学方法:通过讲解和练习,让学生掌握定积分的概念和计算方法。

3.2 微分方程的基本概念与解法教学目标:理解微分方程的概念,掌握基本的微分方程解法。

教学内容:介绍微分方程的定义,讲解常见的微分方程解法。

教学方法:通过讲解和练习,让学生理解微分方程的概念和解法。

第四章:级数与常微分方程4.1 数项级数的概念与收敛性教学目标:理解数项级数的概念,掌握级数的收敛性判断。

教学内容:介绍数项级数的定义,讲解级数的收敛性判断方法。

教学方法:通过讲解和练习,让学生掌握数项级数的概念和收敛性判断。

4.2 常微分方程的解法与应用教学目标:理解常微分方程的概念,掌握常见的解法及其应用。

教学内容:介绍常微分方程的定义,讲解常见的解法及其应用。

教学方法:通过讲解和练习,让学生理解常微分方程的概念和解法及其应用。

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《高等数学》教案第一讲 函数与极限1.函数的定义 设有两个变量x ,y 。

对任意的x ∈D ,存在一定规律f ,使得y 有唯一确定的值与之对应,则y 叫x 的函数。

记作y=f(x),x ∈D 。

其中x 叫自变量,y 叫因变量。

函数两要素:对应法则、定义域,而函数的值域一般称为派生要素。

例1:设f(x+1)=2x 2+3x-1,求f(x).解:设x+1=t 得x=t-1,则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2∴f(x)=2x 2 – x – 2定义域:使函数有意义的自变量的集合。

因此,求函数定义域需注意以下几点:①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0例2 求函数y=6—2x -x +arcsin712x -的定义域. 解:要使函数有定义,即有:1|712|062≤-≥--x x x ⇔ 4323≤≤--≤≥x x x 或⇔4323≤≤-≤≤-x x 或 于是,所求函数的定义域是:[-3,-2] [3,4].例3 判断以下函数是否是同一函数,为什么? (1)y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x解 (1)中两函数的 定义域不同,因此不是相同的函数. (2)中两函数的 对应法则和定义域均相同,因此是同一函数. 2. 初等函数(1)基本初等函数常数函数:y=c(c 为常数) 幂函数: y=μx (μ为常数) 指数函数:y=xa (a>0,a ≠1,a 为常数) 对数函数:y=x a log (a>0,a ≠1,a 为常数)三角函数:y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数:y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx(2)复合函数 设),(u f y =其)(x u ϕ=中,且)(x ϕ的值全部或部分落在)(u f 的定义域内,则称)]([x f y ϕ=为x 的复合函数,而u 称为中间变量.例4:若y=u ,u = sinx ,则其复合而成的函数为y=x sin ,要求u 必须≥0,∴sinx ≥0,x ∈[2k π,π+2k π]例5:分析下列复合函数的结构(1)y=2cotx (2)y=1sin 2+x e解:(1)y=u ,u=cosv ,v=2x(2)y=ue ,u=sinv ,v=t ,t=x 2+1例6:设f(x)=2x g(x)=x 2 求f[g(x)] g[f(x)]解:f[g(x)]=f(x 2)=(x 2)2=4x g[f(x)]=g(2x )=22x3. 极限(1)定义 函数y=f(x),当自变量x 无限接近于某个目标时(一个数x 0,或+∞或—∞),因变量y 无限接近于一个确定的常数A ,则称函数f(x)以A 为极限。

定理1 函数 )(x f 当0x x →时的极限存在的充分必要条件是,)(x f 当0x x →时的左右极限都存在并且相等.即 ⇔=→A x f x x )(lim 0=-→)(lim 0x f x x A x f x x =+→)(lim 0例7:判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴ ⎩⎨⎧<>+=2,2,1x x x x y (当2→x 时) ⑵ ⎪⎩⎪⎨⎧><=0,310,sin x x x x y (当0→x 时)解:⑴ ∵3lim ,2lim 22==+-→→y y x x ,yy x x +-→→≠22lim lim∴ 函数在指定点的极限不存在。

⑵ ∵0031lim ,00sin lim 00=⨯===+-→→y y x x ,y y x x +-→→=00lim lim∴ 函数在指定点的极限y x 0lim →=04.无穷小量与无穷大量极限为0的量称为无穷小量,简称无穷小;若∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ),则称)(x f 为当0x x →(或)时的无穷大量,简称无穷大。

例如:0sin lim 0=→x x ,所以,当x →0时,sin x 是无穷小量。

同样,当x →0时αx (α>0),1-cosx ,arcsinx 等都是无穷小量。

当x →+∞时,01lim =+∞→n n ,所以{n1}是无穷小量.无穷小量的性质:(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量。

(2)无穷小量与有界量之积是无穷小量。

推论1:任一常数与无穷小量之积是无穷小量。

推论2:有限个无穷小量之积是无穷小量。

(注:两个无穷小之商未必是无穷小) 5.极限的运算设x 在同一变化过程中)(lim x f (此处省略了自变量x 的变化趋势,下同)及)(lim x g 都存在,则有下列运算法则:法则1、lim [f(x)±g(x)]= lim f(x)± lim g(x) 法则2、lim [f(x)• g(x)]= lim f(x) •lim g(x) 法则3、lim)()(x g x f =)(lim )(lim x g x f (lim g(x)≠0) (1)直接代入求值 例8 求2lim →x (3x 2-4x+1)解:2lim →x (3x 2-4x+1)=3•22-4•2+1=5例8 求1lim -→x 234222+-+x x x解:1lim -→x 234222+-+x x x =)23(lim )42(lim 2121+-+-→-→x x x x x = -53例10 求45127lim 224+-+-→x x x x x解:45127lim 224+-+-→x x x x x =4lim →x )4)(1()4)(3(----x x x x =4lim →x 13--x x =31(2)∞∞型 例11 求∞→x lim 233222+--+x x x x解:∞→x lim 233222+--+x x x x =∞→x lim 22213312xx x x +--+=32 小结:∞→x 时,∞∞型的极限,可用分子分母中x 的最高次幂除之(3)∞-∞型,0型,例12 求下列函数极限1、1lim →x (313x --x-11) 2、0lim →x x x 11-+ 3、+∞→x lim 31cos xx x +解:1、1lim →x (313x --x -11)=1lim →x )1)(1()1(322x x x x x ++-++- =1lim→x )1)(1()1)(2(2x x x x x ++--+=1lim →x 212xx x+++=1 2、0lim→x x x 11-+=0lim →x )11()11)(11(++-+-+x x x x =0lim→x )11(++x x x =0lim→x 111++x =213、+∞→x lim31cos xx x +=+∞→x limx xx cos 13•+=0(4)利用两个重要极限100lim→x xxsin =1特点:①它是“00”型 ②1sin lim 0=∆∆→∆ (三角形∆代表同一变量)例13 求∞→x lim x x 1sin •解: 0lim →x x x 2sin =0lim →x 222sin •x x=2注:∞→x limxxsin ≠1 ∞→x limxx sin =∞→x lim x x sin 1•=0 例14 求∞→x lim xx 1sin •解: ∞→x lim x x 1sin •=∞→x limxx 11sin=1 例15 求0lim →x x x4sin 3sin解: 0lim →x x x 4sin 3sin =0lim →x [x x x x x x 4sin 44333sin ••]=43例16 求20cos 1lim x xx -→解:原式=0lim→x 222sin 2x x=0lim →x [21)22sin (2•x x ]=210lim →x [22sin x x ]2=21 20 ∞→x lim (1+x1)x= e 特点:(1)∞→x lim (1+无穷小)无穷大案 ,即1∞型;(2)“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数,e =∆+∆∞→∆)11(lim 推广:①e x xx =+→1)1(lim ②e =∆+∆→∆10)1(lim例17 ∞→x lim (1+x21)x3 解:原式=∞→x lim [x x2)211(+]23=23e例18 ∞→x lim (1+x21)23+x 解:原式=∞→x lim [(1+x 21)23+x •(1+x 21)2]=∞→x lim (1+x 21)x 3•∞→x lim (1+x21)2=23e例19 ∞→x lim (1+x3)x解:原式=∞→x lim (1+31x)33•x=3e(5)利用常用的几个等价无穷小代换:当0→x 时,有x sin ~ x ;tanx ~x ;arcsinx ~x ;arctanx ~x ;-1cosx ~22x ;ln(1+x) ~x ;xe 1-~x ;11-+x ~x 21。

例20 求0lim→x x x4sin 3sin解:0lim →x x x 4sin 3sin =0lim →x x x 43=43例21 求0lim →x 2cos 1x x-解:0lim →x 2cos 1x x -=0lim →x 222x x =21例22 求0lim→x x x5sin 2tan解:0lim →x x x 5sin 2tan =0lim →x x x 52=52例23 0lim →x 3sin tan xxx - 解:0lim →x x x x x cos )cos 1(sin 3-=0lim →x xx xx cos 2132••=0lim →x x cos 21=21 注:10用等价代换时,必须对分子或分母的整体替换(或对分子、分母的因式进行替换)20分子或分母中若有“+”“-”号连接的各部分不能分别作替换。

(6)利用函数的连续性定义 1 设y=f(x)在点0x 的某邻域上有定义,如果自变量的增量0x x x -=∆趋于零时,对应的函数增量也趋于零,即0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x 则称f(x)在点0x 是连续的。

定义2 设函数y=f(x)在点0x 的某邻域内有定义,若)()(lim 00x f x f x x =→,则称函数f(x)在点0x 处连续。

定义3(间断点的分类):设0x 是)(x f 的一个间断点,如果:(1))(x f 的左右极限都存在,称0x 为)(x f 第一类间断点,当-→0lim x x )(x f +→≠0lim x x )(x f ,则称0x 为)(x f 的跳跃间断点(2))(x f 的左右极限都存在,称0x 为)(x f 第一类间断点,当)(lim 0x f x x →存在,但不等于)(0x f ,则称0x 为)(x f 的可去间断点(3)除(1)(2)以外的,称0x 为)(x f 的第二类间断点,当0lim x x →)(x f =∞,称0x 为)(x f 的无穷间断点。

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