Matlab在复变函数中应用解读
利用MATLAB进行复变函数的主要运算
利用MATLAB进行复变函数的主要运算摘要复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学.本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助.关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换1.复数的生成：Z= a + b*I;z = r*exp(i*theta);2.复数的运算：Real（z）imag（z）；3．共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式conj(x) 返回复数x 的共轭复数4．复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。
调用形式abs(x)复数x 的模angle(x)复数x的辐角5．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。
6．复数的平方根复数的平方根运算由函数sqrt实现。
调用形式sqrt(x)返回复数x的平方根值。
7．复数的幂运算复数的幂运算的形式为x^ n结果返回复数x的n次幂。
8.复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式exp(x)返回复数x的以e为底的指数值log( x) 返回复数x的以e为底的对数值。
9．复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。
10.留数在MATLAB中可用如下方法：假设以知奇点a和m重数，则用下面的MATLAB 语句可求出相应的留数Limit(f*(x-a),x,a) %返回x=a的一级极点的留数Limit(diff(f*(x-a)^m,x,m-1)/prod(1:m-1),z,a %返回x=a的m级极点的留数11. taylor 泰勒级数展开taylor( f )返回f 函数的五次幂多项式近似。
用MATLAB计算复数的实部、虚部、模、辐角,共轭复数、简单复数方程根及复数的极限
1
-3.4641 + 2.0000i >> angle(z) ans = -2.6180 例 2 imag([5-8j,3+4j]) ans = -8 4
>> conj([z1,z2,z3,z4]) ans = 0.2308 + 0.1538i 例 4 >> z=log(-i) z = 0 - 1.5708i >> z=log(5+7i)
2
1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i
1.0000 + 3.0000i 1.2.4
2
3
求极限 lim f ( z ) .
z z0
3
三、用 MATLAB 计算复数方程的根及极限
例 6 求方程 z 8 0 的根. >> solve('z^3+8=0') ans = -2 1+i*3^(1/2) 1-i*3^(1/2) 例 8 对复变函数 f ( z ) z , 取 z 0 1 2i syms z z0 >> f=z^2; >> z0=1+2i z0 = 1.0000 + 2.0000i >> limit(f,z,z0) ans = -3+4*i
matlab 复变函数
matlab 复变函数一、介绍MATLAB是一个非常强大的数学软件，可以处理各种复杂的数学问题，包括复变函数。
复变函数是一种在复平面上定义的函数，它可以用来描述许多物理和工程现象。
因此，MATLAB提供了许多功能强大的工具来处理和分析复变函数。
二、基本概念1. 复平面复平面是由实部和虚部组成的平面。
在MATLAB中，可以使用complex(x,y)函数创建一个复数。
其中x表示实部，y表示虚部。
2. 复变函数复变函数是一个将一个或多个复数映射到另一个复数的函数。
在MATLAB中，可以使用z = f(w)来表示一个复变函数。
3. 解析性解析性是指一个函数在其定义域内存在导数。
如果一个函数在某个点处存在导数，则称该点为解析点。
4. 共轭共轭是指将一个复数的虚部取负后得到的结果。
在MATLAB中，可以使用conj(z)来计算一个复数的共轭。
5. 模长模长是指一个复数到原点距离。
在MATLAB中，可以使用abs(z)来计算一个复数的模长。
三、常用操作1. 绘制图形绘制图形是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。
在MATLAB 中，可以使用plot函数来绘制复变函数的图形。
2. 计算导数计算导数是分析复变函数的重要操作之一。
在MATLAB中，可以使用diff函数来计算复变函数的导数。
3. 计算积分计算积分也是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。
在MATLAB中，可以使用integral函数来计算复变函数的积分。
4. 计算共轭计算共轭是处理和分析复变函数时经常需要进行的操作之一。
在MATLAB中，可以使用conj(z)来计算一个复数的共轭。
5. 计算模长计算模长也是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。
在MATLAB中，可以使用abs(z)来计算一个复数的模长。
四、常用工具箱1. Symbolic Math ToolboxSymbolic Math Toolbox是一个用于求解符号数学问题的工具箱。
它提供了许多功能强大的工具来处理和分析符号表达式。
实验一MATLAB计算复积分和留数
实验一MATLAB计算复积分和留数复积分是对于二重积分或多重积分的进一步延伸，通过引入复数域，可以将积分的范围从实数域扩展到复数域。
留数理论是对于复变函数的一种重要工具，它用于计算闭合曲线内的奇点的积分值。
在MATLAB中，可以使用复积分和留数函数来计算复积分和留数。
首先，我们介绍复积分的计算方法。
在MATLAB中，可以使用int函数来计算复积分。
int函数的一般形式为：z = int(fun, a, b)其中，fun是对应的被积函数，a和b分别是积分的下限和上限。
下面我们以计算复数域内的复积分为例进行说明。
假设我们要计算下面的复积分：∫(1/z)dz其中，积分路径为从复平面上的点1到点-1、在MATLAB中，可以使用int函数完成计算：syms zfun = 1/z;a=1;b=-1;res = int(fun, a, b)上述代码中，我们首先定义了被积函数fun，并指定了积分的下限a和上限b。
然后使用int函数进行计算，并将结果保存在res变量中。
代码运行后，可以得到res的值，即复积分的结果。
接下来，我们介绍留数的计算方法。
在MATLAB中，可以使用residue函数来计算留数。
residue函数的一般形式为：[r, p, k] = residue(b, a)其中，b和a分别是分子和分母的多项式系数。
下面我们以计算函数(1/z^2)的留数为例进行说明。
假设我们要计算函数(1/z^2)在z=0处的留数。
在MATLAB中，可以使用residue函数完成计算：b=[01];a=[100];[r, p, k] = residue(b, a)上述代码中，我们首先定义了多项式分子b和分母a的系数。
然后使用residue函数进行计算，并将结果保存在r、p和k变量中。
r对应留数的向量，p对应极点的向量，k对应常数项。
代码运行后，可以得到r、p和k的值，即留数的结果。
综上所述，我们介绍了在MATLAB中计算复积分和留数的方法和函数。
复变函数的matlab解法探究
科教论坛科技风2020年12月DOC10.19392/kl1671-7341.202034015复变函数的matlab解法探究张春玲魏永亮3冯贵平上海海洋大学海洋科学学院上海201306摘要：结合海洋数学物理理论知识基础，运用matlab编程软件，在学生掌握了理论解法的基础上，利用计算机来实现理论问题的快速自动解法，使学生更好地理解所学的知识，并采用师生互动和同学之间相互讨论的形式，有效地将理论与实际相结合。
关键词：复变函数;matlab;仿真技术;快速求解中图分类号：013海洋数理基础是海洋科学专业的必修课,也是学生们普遍感觉题目难度大，求解繁琐，不易理解的一门专业课⑴。
其中复变函数又是数学理论的一个重要分支,在实际教学过程中，手工解题过程耗时耗力，计算效率低，学生即使能够通过繁琐的计算，得出理论解，也很难直观地理解解的分布及物理意义。
MatGb编程软件具有强大的数值计算能力和卓越的可视化能力，随着信息技术的发展，越来越多地被应用到各个行业⑵&而且，该软件是海洋数据处理的主要工具之一，对于海洋科学专业的学生，学会利用Malb求解海洋数理方程是一个必要的技能"3E#&因此,本文以复变函数论几个典型的例子为例，探究MaGb编程软件在求解海洋数理方程的便利。
1复变函数的Matlab解法1.1求复数的实部、虚部、模、辐角主值、共轭复数女口，利用Matlab求解复数(辔),(槡3+2-的实部、虚部、模、辐角主值、共轭复数。
实验代码如下：a=((3+43i)/(1-23i))S；b=(sqrt(3)+i)S-3)；ars=real(a)；brs=re a1(b)；aim二imaa(a)；bini二imaa(b)；am二abs(a)；bm=abs(b)；aang=angla(a)；bang=angla(b)；ag=co n j(a);b g=conj(b);1.2求解复数方程利用Matlab求解复数方程34+54=0。
用MATLAB复变实践函数展开及留数
1
当分母出现 s b s c s a1 s
m p n
n 1
an 的情况时，只需先对 s b m 和
s c p 分别展开，之后利用 conv 进行多项式乘积，再与 s n a1 s n1 an 的系数求和
即可。 当 f z 是有理分式的情形时，可以使用 Matlab 中的函数 residue，巧妙的运用该函数，可 以求出有理分式的留数。当 f z 的形式不是有理分式时，求函数在极点 z 0 处的留数方法只 能是先判断极点的重数，然后利用 Matlab 的符号运算功能进行计算。 2. 利用留数计算公式求留数 例3：求出函数 f z
1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^5 下面的程序画出了指数函数 e z 及其泰勒展式的图形： subplot(1,2,1); z=5*cplxgrid(30); cplxmap(z,exp(z)) title('复变函数 e^z 的图形') subplot(1,2,2); w=1;u=1; for k=1:15 u=u.*z./k; w=w+u; end cplxmap(z,w) title('e^z 泰勒展式的图形')
Matlab在复变函数中应用
Matlab在复变函数中应⽤MATLAB在复变函数中的应⽤复变函数的运算是实变函数运算的⼀种延伸，但由于其⾃⾝的⼀些特殊的性质⽽显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引⼊了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后⽽使其显得更为重要了。
使⽤MATLAB来进⾏复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应⽤的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。
1 复数和复矩阵的⽣成在MATLAB中，复数单位为)1ji，其值在⼯作空间中都显⽰为=sq rt=(-0+。
.1i00001.1 复数的⽣成复数可由iz+=。
a=语句⽣成，也可简写成biaz*+b另⼀种⽣成复数的语句是)exp(ithetar=，也可简写成)=，*irz*其中theta为复数辐⾓的弧度值，r为复数的模。
1.2 创建复矩阵创建复矩阵的⽅法有两种。
（1）如同⼀般的矩阵⼀样以前⾯介绍的⼏种⽅式输⼊矩阵例如：)]iA**ii=+3[i*-+*,),235336exp(23,exp(9im=；)2,3(rand]5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i i i ii ++++++注意实、虚矩阵应⼤⼩相同。
2 复数的运算1．复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。
调⽤形式 )(x real返回复数x 的实部)(x imag返回复数x 的虚部2．共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调⽤形式)(x conj返回复数x 的共轭复数3．复数的模和辐⾓复数的模和辐⾓的求解由功能函数abs 和angle 实现。
调⽤形式 )(x abs 复数x 的模)(x angle复数x 的辐⾓例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐⾓（1）i231+ （2）i i i --131 （3）ii i 2)52)(43(-+（4）i i i +-2184由MATLAB 输⼊如下：]21^48^,2/)52()43(),1/(3/1),23/(1[i i i i i i i i i i a +*--*=--+=.0--i ---50002308.30000i0000i.3.1i500013.0000real%实部)(aans=0.2308 1.5000 –3.5000 1.0000 imag%虚部(a)ans=–0.1538 –2.5000 –13.0000 –3.00000.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i–3.5000+13.0000i 1.0000+3.0000i abs%模(a)ans=0.2774 2.9155 13.4629 3.1623angle%辐⾓)(aans=–0.5880 –1.0304 –1.8228 -1.24904．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。
matlab的laplace函数
matlab的laplace函数Matlab的Laplace函数是一个非常强大的工具，它用于计算Laplace变换及其逆变换。
Laplace变换是一种数学变换，它将一个时间域函数转换为复频域函数。
这种变换在各种领域的应用非常广泛，比如电路分析、自动控制、信号处理，以及工程数学中的很多问题。
Laplace函数的使用方式非常简单，只需要输入要转换的函数即可。
例如：f = @(t) t.^2;syms sF = laplace(f)F =2/s^3这里使用了一个匿名函数，将变量t的平方定义为f。
然后利用laplace函数将f转换为F。
这里的结果是2/s^3。
虽然这个结果看起来比较简单，但是它代表了非常复杂的数学运算。
Laplace函数使用了一些高级数学和计算技术来计算这个结果，这也是我们为什么要使用它的原因之一。
Laplace函数还可以用于求解微分方程，这是它在电路分析和自动控制方面广泛应用的原因。
因为在这些领域，我们经常需要解决时间上的变化问题，而微分方程是描述这些变化的最常见工具之一。
下面我们来看一个例子。
假设我们有一个二阶微分方程：y'' + 2y' + 2y = sin(t)我们可以用Laplace函数来求解这个方程。
首先我们定义这个方程的符号表达式：syms t Y(s)eqn = diff(Y,t,2) + 2*diff(Y,t) + 2*Y == sin(t);然后我们使用laplace函数将这个方程转换为复频域：eqnL = laplace(eqn)这里的结果是：eqnL =s^2*laplace(Y(t), t, s) - s*subs(Y(t), t, 0) -subs(diff(Y(t), t), t, 0) + 2*(s*laplace(Y(t), t, s) -subs(Y(t), t, 0)) + 2*laplace(Y(t), t, s) == 1/(s^2 + 1) 这个结果看起来非常复杂，但是它已经是一个在复频域中的方程了。
用matlab计算复变函数的积分
33
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4
例3
解析推导
Matlab计算
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5
例4
解析推导
matlab计算 n为0时 结果为2πi
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n为其它整数时，结果为零
6
例5
解析推导
Matlab计算
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7
例6
解析推导 Matlab计算（参数积分）
Matlab计算（留数定理）
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8
例6
也可用matlab的 residue函数 求留数
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例10
解析推导结合Matlab求留数(用limit和diff函数，或用residue函数)
Matlab计算(参数积分)
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例11
方法一：用matlab求留数和极点，再通过留数求和计算积分
方法二：用matlab直接积分
在复平面上选取实轴和上半圆弧作为
闭合围道，包围的极点为 i 和 3i， 由于在上半圆弧上的积分为零，因此
当t= -3时做积分
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例13
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例14
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用matlab协助 求留数：
若把它当作更高阶极点对待求留数，结果一样
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用matlab验证这个级数求和，结果一致
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例15
先来计算 这部分积分
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用matlab计算复变函数的积分
张宏浩
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1
例1
matlab中如何处理复数,matlab中复数的处理函数
matlab中如何处理复数,matlab中复数的处理函数matlab中复数的处理函数MATLAB 中复数的处理函数要说明复数的运算，先从解以下的⼆次⽅程式的复数根谈起上式的根有实部 (-2) 及虚部 (±3)，我们就这个复数的表⽰法来说明 MATLAB的复数功能。
MATLAB 是以 i或 j字元来代表虚部，其它的复数相关函数有real, imag, conj, abs, angle等等，详见线上说明 lookfor complex。
如果复数表⽰为 x=a+bi共轭复数 = , 复数⼤⼩ r = , 复数向量的夹⾓ θ= tan -1 (b/a)复数实部 a = r cosθ, 复数虚部 b = r sinθ, 复数指数表⽰法 x=r ei上述各函数对应 MATLAB的复数指令为a=real(x), b=imag(x), =conj(x),r=abs(x), =angle(x), x=r*exp(i*angle(x))以下是⼏个复数表⽰式的例⼦：>> x=1-2*i; % 注意是 2*i 不是 2i>> real(x) % 列出实部ans=1>> imag(x) % 列出虚部ans =-2>> conj(x) % 计算共轭复数ans =1.0000 + 2.0000i>> abs(x) % 计算复数的⼤⼩ans =2.2361>> angle(x) % 计算复数向量的夹⾓(以径度表⽰)ans =-1.1071>> a=1; b=4; c=13;>> x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) % 以解⼆次⽅程式根的公式计算复数根x1 =-2.0000 + 3.0000i>> x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)x2 =-2.0000 - 3.0000i>> y=exp(i) % 以复数指数⽅式表⽰⼀个复数y =0.5403 + 0.8415i>> y=exp(i*pi*0.75)y =-0.7071 + 0.7071i和复数有关的图以极座标来表⽰会⽐⼀般的卡⽒座标要合适，polar 指令可以将数据以极座标⽅式加以绘图， 其语法为 polar(theta,r)，(theta,r)分别代表极座标上的⾓度及半径值。
谈Matlab在《复变函数》教学中的应用
Ｍａ ａ 令 可 求 出这 两 个 奇 点 的 留 数 ： ｔ ｂ命 ｌ
ｆ（ ２ ｉ（ ５４ ｚ ） ＿ｚ ）ｚ ＋ ＾ ： ＋ ／＾ ３
（ 下转第 ２ ） ０页
１ 一 ８
科技信息
促 进 了教 学 效果 的提 高 。
Ｏ
［ 关键词 ］ ｔｂ 复变函数 Ｍａｌ ａ
１ 引言 、
绘图
一竹
／
／
底 即是 ｌ ｎ Ｏ的位置 ， 虽然 图形 上有数值显 示 ， 但实 际并 无意义 ， 这与计 复变函数理论是数学 的一个重要分支 ， 是很多专业必修的基础课。 算机 的数据处理过程有关 。还可以利用纵轴表示 函数 一ｌ 一 的虚部 ， ｎ ｏ ｚ 用颜 但 由于课程 本身的特点 ， 在实 际教 学中 ， 很多学生认为 该门课 程抽 象、 色表示实部 ， 如图 ３所示 。 Ｉ ｎｚ 枯燥 、 难以理解 。Ｍ ｔｂ是美 国 Ｍ ｔ ｒ 公 司 ２ 世纪 ８ 年代 中期推 ａａ ｌ ａ Ｗｏ ｓ ｈ ｋ ０ ０ 出的数学软件 ， 其优秀 的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其 很快在数学软件中脱颖而 出。利用 Ｍ ｔ ｂ ａａ 可以实现复变 函数的数据计 ｌ 算并可以方便地将 函数及表达式 以图形化 的形式显示 出来 ，使数据关 系更加清晰明了。本文 以几个实例 来讨论 Ｍａ ａ ｌ ｆ ｂ在《 复变函数》 教学中 的应 用 。 ２ Ｍａｌｂ在 复变函数论教学中的应 用实例 、 ｔ ａ （） １ 复变 函数的图形化表示 Ｍａ ａ 以将复变函数 以图形化的形式显示出来 ，便于学 生加深 ｔ ｂ可 ｌ 对复变 函数内容的理解 。图 １ 为复变 函数 ｓ （ 的图像 ， 轴和 Ｙ ｉｚ ｎ） Ｘ 轴分别 表示变量 的实部和虚部 ， 纵轴 表示 宗量的实部 ， 颜色表示宗量 的虚部 ， 虚部数值大小 由右侧 的颜色条表示 。从图 中可 以清楚的看出 ， 函数 ｓ ｉ ｎ ｛ ； ； ∞ 幅 佃 ５ Ｏ ， ｆ 的实部和虚部在一定的区域 中都可 以大于 １ 因而其模的数值也可以 ｚ ） ， ｙ － － １ １ ｘ 大于 １ 。相 对 于 函数 的 数 学 公 式 表 示 方 法 ， 形 化 的 表 示更 直 观 ， 易 图 更 ｌ 。 ｉ 图 ３复变 函数 Ｉ（ 的图形二 ｎｚ ） 于理 解 和 记 忆 。 ｓｎｚ ｉ（） （） ２幂级数展开式讨论 利用 Ｍａ ａ ｔ ｂ也可 以讨论幂级数展开问题。图 ４是函数 ｆ ）ｅ以及 ｌ （＝ ｚ 其 以 ｚ０为中心 的泰勒展开式 ｆ（＝Ｚ（／！ ＝ ’） ｚｋ） ｚ ｋ 的图形 。从 图中可以看出 ， ２ 、 ∞ 当 ｋ取 ５时 ，ｚ ｆ（有较大差别 ； ｋ取 ８时， “） ’ ） 和 ｚ 当 两者 已很相近 ； ｋ取 当 ， ∞ １ ， 者近乎 完全一样 。从 图示变换 可以清楚 的看出函数的泰勒展 ５时 两 开式是 如何随着项数的增加逐渐趋 于原来 函数的。通过这种方式可以 。 清楚的理解泰勒展开式所表示 的数学意义。 于罗朗展开式 ， 对 也可 以利 ， Ｄ； ｏ 用同样方法实现 。
Matlab在复变函数与积分变换课堂教学中的应用
Matlab在复变函数与积分变换课堂教学中的应用徐彬【摘要】在复变函数与积分变换的课堂教学中,为了让教学内容更容易被学生接受,提出将Matlab软件引入到课堂教学中.利用Matlab软件在绘图和计算方面的优势,将该课程中抽象且复杂的学习内容用可视化、动态化的形式直观地表现出来,同时简化了计算过程,促进学生对知识的深入理解,提高了学生的学习兴趣,取得了良好的教学效果.【期刊名称】《湖北理工学院学报》【年(卷),期】2016(032)003【总页数】5页(P68-72)【关键词】Matlab软件;复变函数与积分变换;课堂教学【作者】徐彬【作者单位】武昌首义学院基础科学部,湖北武汉430064【正文语种】中文【中图分类】G642.0Matlab软件是数值计算型的数学类科技应用软件，由美国Mathworks公司于20世纪中期推出， Matlab软件有诸多优点：高效的数值计算功能可以使繁杂的数学运算问题得以快速解决；完备的图形处理功能可以实现计算结果或编程的可视化；丰富的应用工具箱提供了大量方便、实用的处理工具；用户界面清晰且操作简单。
若将此软件运用于课堂教学中，势必可以优化教学效果[1]。
笔者长期从事复变函数与积分变换课程的教学工作，在近几年的课堂教学中，将Matlab软件引入到课堂教学中，通过Matlab辅助教学，使学生加深了对知识难点的理解，提高了学生的学习兴趣，开拓了学生的视野。
本文将结合笔者的教学经历，探讨Matlab软件在复变函数与积分变换课堂教学中的应用效果。
复变量的初等函数是实变量初等函数的推广，它们在性质上有许多相似之处，但在教学中应重点强调它们之间的区别，如：指数函数的周期性、对数函数的多值性、正弦余弦函数的无界性。
通过Matlab软件的绘图功能，绘出这些函数的图形，便可直观地观察出函数的变换趋势[2]，从而加深学生对该知识点的理解。
复变量的指数函数ez是以2kπi(k=0,±1,±2,…)为周期的周期函数[3]，为了让学生更直观地看到复变量的指数函数具有周期性，可以利用Matlab里的“surf”函数，以XOY平面表示自变量所在的平面，以Z轴表示复变函数的实部，以颜色表示复变函数的虚部，画出复变量指数函数的四维表现图[4]。
MATLAB在复变函数与积分变换课程教学中的应用
输人 Ｍ ， ． 语句如下 ： Ａ１ Ｂ ＩＡ
ｌ
互
ｓｒ ｒ ｌｚ ， ａ（） ｒ （ ） ｉａ（ ） ； ｕ （ｅ （） ｉ ｇ ｚ ， ａ ｗ ， ｇ ｗ ） ｆ ａ ｍ ｅ ｌ ｍ ｔ ｅ 钙 ’； ｉ （ ｌ ｔ 绘 制 图像 如 图 １ 。
４ 傅 里叶变换及其逆变换
１１ １
河南机电高等专科学 校学 报
２１年 ５ ０１ 期
ｆ ｌ ｌ ｅ（ ）按 默认 变量进行 Ｌ ｐ ｃ 逆 变换 ； ＝ｉｐａ Ｆ ａ ｃ ａｌ ｅ ａ ＞＞ｆ ｉｕ ｅ（ ， ， ％求 Ｆｕ ｅ 逆变换 ＝ ｆ ｒ ｒＦ Ｗ ｔ ｏｉ ） ｏｒｒ ｉ ｆ ｉｐ ｃ （ ， ，）将 ｕ ＝ｌ ｌ ｅＦｕｖ ａａ 的函数变换成 ｖ 的函数。 运行结果 ｆ＝ｅｐ 一 ）’ ｉ（ ｌ ） Ｈ ａｉｄ ｘ （ ｔ ｌ ｎ ２， ｅｖ ｉ ｃ ｓ ‘ ｔ ｓｅ 例 ７： 函数 ｆ ｔ ｔ ｓ （ ＋ ｒ ， 设 （）＝ｅ ｉ ｔ ７） 求其 Ｌ ． ．ｎ ａ （） 回原函数。 ｔ返 ｐ ｃ 变换 ， ｌｅ ａ 并对结果进行 Ｌｐ ｃ 逆变换 。 ａ ｌｅ ａ 例 ６： 求钟形脉冲函数， ｔ ＝ ｅ２的频谱 函数并 （） ４ 一２ ｔ 输入 Ｍ Ｔ Ａ Ａ Ｌ Ｂ语句如下 ： 绘 制频谱 图。
Ｗ ＝ｚ ＾ ． ３；
图 ２ Ｉ Ｉ： 在映射∞： ＋ 下的像 ： ３ ｊ上
在 ＭＡ Ｌ Ｂ语 言 中使 用 ｆ ｒ ｒ ＴＡ ｏｉ 函数 来 实 现 Ｆｕ ｕｅ ｏ． ｔｒ ｉ 变换 。首先定义符号变量 ｔ ｅ ， 描述时域表达式 ｆ直 ， 接调用 ｆ ｒｒ ｏｉ 函数就可求出所需 的时域函数 的 Ｆｕ ｕｅ ｏ． 例 ４： 出圆周 Ｉ Ｉ＝ 作 ３在映射 ∞＝ ４ 下的 ＝－ ｔｒ ｉ 变换式。该函数的调用格式为 ｅ 像。 Ｆ ｆ ｒ ｒｆ 采用默认的 ｔ ＝ ｏｉ （） ｕｅ 为时域变量 编写相应的 ｎ 文件 ｙ ｇ ｅｎ为 ： ｌ ｉ ｓ ．ｌ ｎｈ Ｆ＝ｆｕｉ （， ， ）用 户 指 定 时 域 变量 Ｕ和 频 域 ｏｒｒ ｆＵ ｖ ｅ ｓ ｍｓ ｘ Ｙ Ｚｔ ｙ 变量 ｖ ｔ 一ｐ： ． １ ｐ ； ＝ ｉ Ｏ ：ｉ ０ 使用 ｉｕ ｅ 函数来实现 Ｆｕ ｅ 逆变换 。它 的使 ｆ ｒｒ ｏｉ ｏｒ ｒ ｉ Ｘ＝ ｃｓｔ ； ３ ｏ（） 用 格 式 如下 ： Ｙ＝ ｓ （） ３ ｉ ｔ； ｎ ｆ ｉｕ ｅ（ ） ＝ ｆ ｒ ｒＦ 按默认变量进行 Ｆｕ ｅ 逆变换 ｏｉ ｏｒ ｒ ｉ ｚ＝ｘ＋ｉ Ｙ； ｆ ｉｕ ｅ Ｆ Ｕ ｖ 将 Ｕ的函数变换成 ｖ ＝ｆ ｒ ｒ ， ，） ｏ ｉ（ 的函数 Ｗ ＝ Ｚ＋ １ ／ｚ： ． 例 ５： 已知 ｔ ＝ ｓ ２ｕ ｔ ， （） Ｆｕ ｅ ） ｅ ｉ ｔ（） 求， ￡ 的 ｏｒ ｒ ｎ ｉ ｓｂ ｌ （ ， ，） ｕ ｐｏ ２ １ １ ； ｔ 变换 ， 并对结果进行 Ｆｕ ｅ 逆变换。 ｏｒ ｒ ｉ ｐｏ（） ｌ ｚ； ｔ 输入 Ｍ Ｔ Ａ 语句如下 ： ＡＬ Ｂ ｔｌ（ ＝ ｃｓ ｔ ｉ ３ ｓ （） ｉｅ ， ３ ｏ（）＋ ｉ ｔ’； ｔ ｚ ｎ ＞ ＞ ｓ ｍ ｓ ｔＷ ｙ
关于MATLAB在复数方面的应用–MATLAB中文论坛
关于MATLAB在复数方面的应用–MATLAB中文论坛最近,看到有不少朋友问MATLAB在复数方面的应用问题,特此发个帖子,给大家分享点资料.matlab在复数中的应用1.复数的生成复数生成语句(其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模)z=a+b*i,z=a+bi。
z=r*exp(i*theta)，z=r*exp(thetai)。
2.创建复矩阵创建复矩阵的方法有两种。
（1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵例如：A=[3+5*i,-2+3i,9*exp(i*6),23*exp(33i)]（2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式例如：re=rand(3,2)im=rand(3,2)com=re+i*im注意实、虚矩阵应大小相同。
3.复数的运算real(x)返回复数x的实部imag(x)返回复数x的虚部conj(x)返回复数x的共轭复数angle(x)返回复数x的辐角abs(x)返回复数x的模复数的乘除法运算由“*”和“/”实现。
ex.x=4*exp(pi/3i)y=4*exp(pi/(3i))z=4*exp(pi/3*i)>>x =2.0000 - 3.4641iy =2.0000 - 3.4641iz =2.0000 + 3.4641isprt(x)返回复数x的平方根值x^n返回复数x的n次幂exp(x)返回复数x的以e为底的指数值log(x)返回复数x的以e为底的对数值4.复数三角函数运算sin(x)返回复数x的正弦函数值,asin(x)返回复数x的反正弦值cos(x)返回复数x的余弦函数值,acos(x)返回复数x的反余弦值tan(x)返回复数x的正切函数值,atan(x)回复数x的反正切值cot(x)返回复数x的余切函数值,acot(x)返回复数x的反余切值sec(x)返回复数x的正割函数值,asec(x)返回复数x的反正割值csc(x)返回复数x的余割函数值,acsc(x)返回复数x的反余割值sinh(x)返回复数x的双曲正弦值,coth(x)返回复数x的双曲余切值cosh(x)返回复数x的双曲余弦值,sech(x)返回复数x的双曲正割值tanh(x)返回复数x的双曲正切值,sech(x)返回复数x的双曲余割值5.复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解由函数solve实现ex.solve('x^3+1=0')或solve('x^3=-1')>>ans =[ -1][ 1/2-1/2*i*3^(1/2)][ 1/2+1/2*i*3^(1/2)]6.留数及其应用[R,P,K]=residue(B,A)s=2*pi*i*sum(R)----找出满足条件的R,求积分值ex1.求f(z)=(z+1)/(z^2-2z)的奇点处的留数[R,P,K]=residue([1,1],[1,-2,0])>>R =1.5000-0.5000P =2K =[]ex2.求积分，f(z)=z/(z^4-1),C为正向圆周abs(z)=2 [R,P,K]=residue([1,0],[1,0,0,0,-1])s=2*pi*i*sum(R)%此处均符合>>R =0.25000.2500-0.2500 + 0.0000i-0.2500 - 0.0000iP =-1.00001.00000.0000 + 1.0000i0.0000 - 1.0000iK =[]s =7.Taylor级数展开taylor(f) 返回函数的五次幂多项式近似taylor(f,n)返回n-1次幂多项式taylor(f,a)返回a点附近的幂多项式近似taylor(r,x)使用独立变量代替函数findsym(f)place变换及其逆变换(1)Laplace变换L=laplace(F)返回以默认独立变量T对符号函数F的Laplace变换。
matlab傅里叶变换后 a+bi 形式的复数
Matlab中的傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以用来分析信号的频谱特性和频率成分。
在进行傅里叶变换时，得到的结果通常是一系列的复数，其中包括a+bi形式的复数。
本文将介绍matlab中傅里叶变换后得到a+bi形式的复数的相关知识和应用。
一、傅里叶变换简介傅里叶变换是经典的数学工具，它可以将一个时域信号转换为频域信号，揭示出信号的频率成分和特性。
在matlab中，傅里叶变换可以通过使用fft函数来实现。
傅里叶变换得到的结果通常是一组复数，其中实部代表信号的余弦分量，虚部代表信号的正弦分量。
二、matlab中傅里叶变换的复数表示在matlab中，傅里叶变换后得到的复数通常以a+bi的形式表示，其中a和b分别为实部和虚部。
这种表示方法可以帮助我们直观地理解信号的频谱特性，并且方便进行进一步的频域分析和处理。
三、复数在傅里叶变换中的意义复数在傅里叶变换中扮演着重要的角色，它包含了信号的幅度和相位信息，可以完整地描述信号的频域特性。
在实际应用中，我们常常关注信号的幅度谱和相位谱，而这些信息正是通过傅里叶变换得到的复数来表示和分析的。
四、如何在matlab中处理傅里叶变换后的复数在matlab中，我们可以通过real和imag函数分别获取复数的实部和虚部，从而得到信号的余弦和正弦成分。
我们也可以通过abs和angle函数分别获取复数的幅度和相位信息，进一步分析和处理信号的频谱特性。
五、复数表示的实际应用复数表示在傅里叶变换中有着广泛的实际应用。
在通信领域中，我们可以利用复数表示来分析调制信号的频谱特性；在图像处理领域中，我们可以通过傅里叶变换得到图像的频谱信息，进而进行滤波和增强处理。
六、结语matlab中傅里叶变换后得到的a+bi形式的复数包含了信号的频谱信息，对于分析和处理信号具有重要意义。
我们可以通过实部和虚部、幅度和相位等不同方面来理解复数表示的傅里叶变换结果，并将其应用于各种工程和科学领域中。
matlab复变函数画图形
matlab复变函数画图形第四篇计算机仿真第二十一章计算机仿真在复变函数中的应用基于MATLAB语言的广泛应用,我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MATLAB 语言的仿真介绍,而其它的数学工具软件,MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE,的仿真方法是类似的,本章将重点介绍使用MATLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的验证,并介绍仿真计算留数、积分的方法,以及复变函数中Taylor级数展开,Laplace 变换和Fourier变换,21.1 复数运算和复变函数的图形21.1.1 复数的基本运算1复数的生成复数可由语句z=a+b*i 生成，也可简写成z=a+bi;另一种生成复数的语句是z=r*exp(i*theta)，其中theta是复数辐角的弧度值， r 是复数的模( 2复矩阵的生成创建复矩阵有两种方法((1)一般方法例 21.1.1创建复矩阵的一般方法(【解】仿真程序为A=[3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)]%运行后答案为A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i5.0000-1.0000i 8.6415-2.5147i -0.3054+22.9980i,说明: %后为注释语句,不需输入)(2)可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式例 21.1.2 将实、虚部合并构成复矩阵【解】仿真程序为re=rand(3,2);im=rand(3,2);com=re+i*im%运行后答案为 com = 0.9501+0.4565i 0.4860+0.4447i0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i 21.1.2 复数的运算1 复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和 imag 实现(调用形式如下:real(z) 返回复数 z 的实部;imag(z) 返回复数 z 的虚部.2 共轭复数复数的共轭可由函数conj实现(调用形式为:conj(z) 返回复数 z 的共轭复数.3 复数的模与辐角复数的模与辐角的求取由函数 abs 和angle实现(调用形式为:abs(z) 返回复数 z 的模;angle(z) 返回复数 z 的辐角.例 21.1.1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角(113i(34i)(25i)，,,82132i，i4ii,，i1i,2i(1); (2); (3); (4)(【解】 a=[1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i^8-4*i^21+i]%a =0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 1.0000 -3.0000ireal(a)%ans = 0.2308 1.5000 -3.5000 1.0000(注明:凡ans 及其后面的内容均不需输入,它是前面语句的答案,本句ans 是real(a)的答案)imag(a)%ans = -0.1538 -2.5000 -13.0000 -3.0000conj(a)%ans =0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i 1.0000 + 3.0000iabs(a)%ans = 0.2774 2.9155 13.4629 3.1623angle(a)%ans =-0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.2490 4 复数的乘除法复数的乘除法运算由“*”和“/”实现(5 复数的平方根复数的平方根运算由函数 sqrt 实现(调用形式如下:sqrt(z) 返回复数 z 的平方根值6 复数的幂运算复数的幂运算的形式是 z^n，结果返回复数 z 的 n 次幂( 7 复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数 exp 和log实现(调用形式如下:exp(z) 返回复数 z 的以 e 为底的指数值;log(z) 返回复数 z 的以 e 为底的对数值. 例21.1.2 求下列式的值(πi2ln(,10)e(1); (2)(【解】log(-10)%ans= 2.3026 + 3.1416iexp(pi/2* i)%ans =0.0000+ 1.0000i 21.1.3 复变函数的图形1.整幂函数的图形2z 例 21.1.6 绘出幂函数的图形.【解】 z=cplxgrid(30);cplxmap(z,z.^2);colorbar('vert');title('z^2')%(如图21.1所示)2z图21.1 复变函数的图形2. 根式函数的图形12z 例 21.1.7 绘出幂函数的图形【解】 z=cplxgrid(30);cplxroot(2);colorbar('vert');title('z^{1/2}' ) %(如图21.2).12z 图21.2 复变函数的图形3. 复变函数中对数函数的图形Lnz例 21.1.3 绘出对数函数的图形.【解】z=cplxgrid(20);w=log(z);for k=0:3w=w+i*2*pi;surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));hold ontitle('Lnz')endLnz 图21.3 对数函数 view(-75,30) %(如图21.3)例 21.1.4 计算机仿真编程实践:nzkn (1,2,,),,,,n,2z,,10k若对应为的根，其中且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式n1,0,,nk,1()zz,,kmm,1mk(),成立.【解】仿真程序n=round(1000*random('beta',1,1))+1% n=input('please enter n=')su=1;sum=0;for s=1:nN(s)=exp(i*2*s*pi/n);endfor k=1:nfor s=1:nif s~=ksu=1/(N(k)-N(s))*su;endendsum=sum+su;su=1;endsum%仿真验证结果为:n =735 sum =2.2335e-016 -5.1707e-016i其中n的值为随机产生的整数，可见其和的实部和虚部均接近于零。
matlab复变函数求导
matlab复变函数求导Matlab是一种常用的科学计算软件，它提供了丰富的工具箱和函数来进行各种数学计算和数据分析。
在Matlab中，我们可以使用复变函数求导来解决一些复杂的数学问题。
本文将介绍如何使用Matlab 进行复变函数的求导。
复变函数是指输入和输出都是复数的函数。
它可以表示为f(z)，其中z是复数。
复变函数的导数也是一个复变函数，表示为f'(z)。
复变函数的求导可以通过求偏导数来实现，即对实部和虚部分别求导。
在Matlab中，我们可以使用syms函数来定义复变函数，并使用diff函数来求导。
首先，我们需要将变量定义为符号变量，以便Matlab能够识别它们是符号而不是数值。
例如，我们可以使用以下代码定义一个复变函数f(z)：syms zf = z^2 + 2*z + 1在这个例子中，我们定义了一个复变函数f(z)，表示为z的平方加上2乘以z再加上1。
接下来，我们可以使用diff函数来求导，如下所示：df = diff(f, z)这个代码将返回复变函数f(z)的导数df。
在这个例子中，导数df 等于2*z + 2。
我们可以通过将z替换为具体的数值来计算导数的数值结果。
例如，我们可以将z替换为3，然后计算导数的数值结果：df_value = subs(df, z, 3)这个代码将返回导数在z等于3时的数值结果。
除了使用diff函数，Matlab还提供了一些其他函数来处理复变函数的求导问题。
例如，我们可以使用gradient函数来计算复变函数的梯度。
梯度是一个向量，表示函数在每个点的导数。
我们可以使用以下代码来计算复变函数f(z)的梯度：[grad_x, grad_y] = gradient(f, real(z), imag(z))在这个例子中，grad_x和grad_y分别表示复变函数f(z)在实部和虚部方向上的导数。
我们可以将这两个导数合并成一个复变数导数，如下所示：grad = grad_x + 1i * grad_y这个代码将返回复变函数f(z)的导数grad。
matlab解含复数的方程
matlab解含复数的方程【原创版】目录1.MATLAB 简介2.复数方程的表示方法3.使用 MATLAB 解复数方程4.常见问题与解决方法5.总结正文一、MATLAB 简介MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数学软件，广泛应用于科学计算、数据分析、可视化等领域。
它基于矩阵计算，可以高效地处理各种数学问题，是科研和工程技术领域的重要工具。
二、复数方程的表示方法复数方程是指包含复数的等式，通常用 a+bi 的形式表示复数，其中a 和 b 是实数，i 是虚数单位（满足 i^2=-1）。
复数方程在科学研究和工程技术中有着广泛的应用，例如，电路分析、信号处理等领域。
三、使用 MATLAB 解复数方程MATLAB 提供了丰富的函数和命令用于解决复数方程。
以下是使用MATLAB 解复数方程的基本步骤：1.创建复数方程：在 MATLAB 中，可以使用符号运算直接创建复数方程。
例如，创建一个复数方程：2+3i=5-2i。
2.求解复数方程：MATLAB 提供了`solve`函数用于求解复数方程。
例如，对上述复数方程进行求解：`x = solve(2+3i=5-2i)`。
3.显示解：使用`disp`函数可以显示求解结果。
例如，`disp(x)`。
四、常见问题与解决方法在使用 MATLAB 解复数方程时，可能会遇到一些问题。
以下是一些常见问题及其解决方法：1.复数方程中包含复数函数：如果复数方程中包含复数函数，可以使用 MATLAB 的符号运算功能进行求解。
2.复数方程的系数为复数：MATLAB 可以处理复数系数的复数方程，但在求解过程中可能需要进行一些转换。
3.复数方程的解为复数：MATLAB 可以求解复数方程的复数解，但需要注意在显示解时使用正确的格式。
五、总结MATLAB 作为一款强大的数学软件，可以方便地解决复数方程问题。
通过创建复数方程、求解方程和显示解等步骤，可以有效地处理复数方程问题。
matlab 复变函数实轴交点 -回复
matlab 复变函数实轴交点-回复Matlab在处理复变函数的求实轴交点问题时，可以通过数值方法、解析方法以及综合方法来实现。
本文将逐步介绍这三种方法，并提供示例代码来说明如何在Matlab中求解复变函数与实轴的交点。
一、数值方法：数值方法是求解实轴交点的一种简单且常用的方法。
它的核心思想是通过迭代计算逼近实轴上的交点。
常用的数值方法包括二分法、牛顿法和割线法等。
首先，把复变函数表示为f(x) = u(x) + iv(x)，其中u(x)和v(x)分别是函数f(x)的实部和虚部。
对于实轴上的点x0，如果f(x0)的虚部等于零，那么x0就是f(x)与实轴的交点。
以下是使用二分法求解复变函数与实轴交点的示例代码：matlab定义复变函数f(x)f = @(x) x.^2 - 4;定义实轴区间[a, b]a = 0;b = 2;设置迭代终止条件tolerancetolerance = 1e-6;循环执行二分法求解while abs(b-a) > tolerancec = (a + b) / 2; 计算实轴中点if imag(f(c)) == 0 判断虚部是否为0break;endif sign(imag(f(a))) ~= sign(imag(f(c))) 判断实轴上的交点在左半区间还是右半区间b = c; 更新右半区间elsea = c; 更新左半区间endend输出交点disp(c);这段代码中，我们首先定义了复变函数f(x) = x^2 - 4，并指定了实轴上的区间[a, b]为[0, 2]。
然后通过二分法，不断更新实轴的左右区间来逼近交点的位置，直到实轴上找到一个虚部为0的点为止。
二、解析方法：解析方法是通过复变函数的解析表达式来求解实轴上的交点。
对于一些简单的复变函数，我们可以直接求解其在实轴的交点。
例如，对于f(x) = e^x - 1这个函数来说，在实轴上与f(x)交点的解为x = 0。
matlab中angle函数
matlab中angle函数
Matlab中的angle函数是一种十分实用的代数运算工具。
该函数可以对复数求取相应的角度，并能够指定输出的角度的单位，有助于简化相关任务的繁琐操作。
尤其在求解复变函数的过程中，angle函数的作用更加突出，可大大简化计算复杂度。
Angle函数符合Matlab文档定义的公式：angle(Z) = atan2(imag(Z),real(Z))，它可以根据给定复数Z对应的实部real（Z）与虚部imag(Z)，结合atan2函数求取角度，结果可以以角度或者弧度进行输出。
此外，本函数还可以接收矩阵型输入，便于批量处理数据。
由于angle函数的便捷性与全面性，它的应用非常广泛，比如常见的计算机视觉任务，以及解析模型结构和参数估计的优化算法，都可以使用该函数进行支持。
总的来说，angle函数是一款十分强大的计算工具，它可以批量处理复数，从而既可以大大提高计算效率，也能够准确获取所需数据。
因此，angle函数极具价值，值得我们探究学习。
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Matlab在复变函数中应用数学实验（一）华中科技大学数学系二○○一年十月MATLAB在复变函数中的应用复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。
1 复数和复矩阵的生成在MATLAB中，复数单位为)1ji，其值在工作空间中都显示为=sq rt=(-0+。
.1i00001.1 复数的生成复数可由iz+=。
a=语句生成，也可简写成biaz*+b另一种生成复数的语句是)exp(ithetar=，也可简写成)=，z*exp(theta*irz*其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。
1.2 创建复矩阵创建复矩阵的方法有两种。
（1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵例如：)]iA**ii=+3[i*-+*,),235336exp(23,exp(9（2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式例如：)2,3(re=；randim=；)2,3(randim i re com *+=]5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i ii i ii com ++++++=注意 实、虚矩阵应大小相同。
2 复数的运算1．复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。
调用形式 )(x real返回复数x 的实部)(x imag返回复数x 的虚部2．共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式)(x conj返回复数x 的共轭复数3．复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。
调用形式 )(x abs 复数x 的模)(x angle复数x 的辐角例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 （1）i231+ （2）i i i --131 （3）ii i 2)52)(43(-+（4）i i i +-2184由MATLAB 输入如下：]21^48^,2/)52()43(),1/(3/1),23/(1[i i i i i i i i i i a +*--*=--+==ai iii0000.30000.10000.135000.35000.25000.11538.02308.0-----)(a real %实部=ans0.23081.5000 –3.50001.0000)(a imag%虚部=ans–0.1538–2.5000 –13.0000 –3.0000)(a conj%共轭复数=ans0.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i–3.5000+13.0000i1.0000+3.0000i)(a abs%模=ans0.27742.9155 13.4629 3.1623)(a angle%辐角=ans–0.5880–1.0304–1.8228-1.24904．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。
例 复数的乘除法演示。
)3/exp(4i pi x *==xi 4641.30000.2-)5/exp(3i pi y *= =yi 7634.14271.2-)5/exp(31i pi y **==1yi 7634.14271.2+y x /=ansi 5423.02181.1-1/y x=ans I 3260.11394.0-由此例可见，i 5/)( 相当于)5/()(i * ，和i *5/)( 不相等。
5．复数的平方根复灵敏的平方根运算由函数sprt 实现。
调用形式)(x sprt返回复数x 的平方根值6．复数的幂运算复数的幂运算的形式为n x ^，结果返回复数x 的n 次幂。
例 求下列各式的值 )6/1()^1(-=ans0.8660+0.5000 i7．复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式exp(x返回复数x的以e为底的指数值))log(x返回复数x的以e为底的对数值例求下列式的值（参见参考资料【4】P.68.2–15）。
log(i-)ans=0-.15708i+-log(i)34ans=6094.1+.2i21438．复数的三角函数运算复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数复数三角函数表9． 复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve 实现。
见下面的例子. 例 求方程083=+x 所有的根（参见参考资料【4】P.32.1–16）。
)083^('=+'x solve=ans [ –2])]2/1(^31[*-i)]2/1(^31[*+i3 留数留数定义：设a 是)(z f 的孤立奇点，C 是a 的充分小看邻域内一条把a 点包含在其内部的闭路，积分⎰C dz z f i)(21π称为)(z f 在a 点的留数或残数，记作]),([Re a z f s 。
在MATLAB 中，可由函数residue 实现。
residue 留数函数（部分分式展开）),(],,[A B residue K P R =函数返回留数，极点和2个多项式比值)(/)(s A s B 的部分分式展开的直接项。
)()()()2()2()1()1()()(s K n P s n R P s R P s R s A s B +-++-+-= 如果没有重根，则向量B 和A 为分子、分母以s 降幂排列的多项式系数，留数返回为向量R 、极点在向量P 的位置，直接项返回到向量K 。
极点的数目)()(1)(P len g th R len g th A len g th n ==-=。
如果)()(A length B length <，则直接项系数为空；否则1)()()(+-=A length B length K length 。
如果存在M 重极点即有)1()(-+==m j P j P 则展开项包括以下形式mj P s m j R j P s j R j P s j R ))(()1())(()1()()(2--+++-++- ),,(],[K P R residue A B = 有3个输入变量和2个输出变量，函数转换部分因式展开还为系数为B 和A 的多项式比的形式。
注意：数值上讲，分式多项式的部分因式展开实际上代表了一类病态问题。
如果分母多项式)(S A 是一个近似有重根的多项式，则在数值上的一点微小变化，包括舍入误差都可能造成极点和留数结果上的巨大变化。
因此使用状态空间和零点—极点表述的方法是可取的。
例 求如下函数的奇点处的留数。
zz z 212-+ 在MATLAB 实现如下])0,2,1[],1,1([],,[-=residue k p r=r 1.5000–0.5000=p2=k[ ]所以可得5.0]0),([Re;5.1]2),([Re-==zfszfs。
例计算下面的积分⎰-C dzzz1 4其中C为正向圆周2||=z。
（参见参考资料【4】P.158.例2）解：先求被积函数的留数])1,0,0,0,1[],0,1([],,[-=residuekpr=r0.25000.2500–0.2500–0.0000 i–0.250+0.0000 i=p–1.00001.00000.0000+1.0000 i0.0000–1.0000 i=k[ ]可见在圆周2||=z内有四个极点，所以积分值等于)25.025.025.025.0(2=--+**pi。
4 Taylor级数展开Taylor级数开展在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。
函数)(xf在0xx=点的Taylor级数开展为+-''+-'+-+=!3/)0)(0(!2/)0)(0()0)(0(0)(3^2^x x x f x x x f x x x f x x f在MATLAB 中可由函数taylor 来实现。
taylor 泰勒级数展开 )(f taylor 返回f 函数的五次幂多项式近似。
此功能函数可有3个附加参数。
),(n f taylor 返回1-n 次幂多项式。
),(a f taylor 返回a 点附近的幂多项式近似。
),(x r taylor使用独立变量代替函数)(f findsym 。
例 求下列函数在指定点的泰勒开展式（参见参考资料【4】P.143.12）。
（1）10,/12-=z z （2）4/0,pi z tgz =；MATLAB 实现为： )1,2^/1(-x taylor5)^1(64)^1(53)^1(42)^1(323+*++*++*++*+*+x x x x x)4/),(tan(pi x taylor=ans *+*-*+*-*+*-*+3/103)^4/1(3/82)^4/1(22/121pi x pi x pi x5)^4/1(15/644)^4/1(pi x pi x *-*+*-例 再看下面的展开式 )10,/)(sin(x x taylor=ans8^362880/16^5040/14^120/12^6/11x x x x *+*-*+*-展开式说明0=x 是此函数的伪奇点！这里的taylor 展开式运算实质上是符号运算，因此在MATLAB 中执行此命令前应先定义符号变量syms,，否则MATLAB将给出出错信息！xz5 Laplace变换及其逆变换1．Laplace变换L=返回以默认独立变量T对符号函数F的Laplace变换。
函数)laplace(F返回默认为s的函数。
如果)F=，则Laplace函数返回tF(s的函数)LL=。
其中定义L为对t的积分(tsFtL*=。
s*-(t,0i n f)exp(),)(int()(tFl a p l a c e等价于, L=以t代替s的Laplace变换。
),(t)FlaplaceFttx-=。
xL**,0))(infexp(),int(()laplaceL=以z代替s的Laplace变换（相对于w的积分）。
wF)(z,,wz)int((wL*(=。
*-zF(z,))w,exp(),,0Flaplace等价于inf)例如：syms a s t w x)5^laplace(xans=120s/6^paplace*a(exp(s))ans=t-1a/()wlaplace*x(sin(t),)ans=)2^2^/(w t w +),),((t w w x cons laplace *=ans)2^2^/(x t t + )),2/3(^(t sym x laplace=ans)2/5(^/)2/1(^4/3t pi *))))((((''x F sym diff laplace=ans)0(),),((F s s x x F laplace -*2．Laplace 逆变换)(L ilaplace F = 返回以默认独立变量s 的数量符号L 的Laplace 变换，默认返回t 的函数。