Matlab在复变函数中应用解读

Matlab在复变函数中应用

数学实验（一）

华中科技大学数学系

二○○一年十月

MATLAB在复变函数中的应用

复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。

使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。

1 复数和复矩阵的生成

在MATLAB中，复数单位为)1

j

i，其值在工作空间中都显示为

=sq rt

=

(-

0+。

.1

i

0000

1.1 复数的生成

复数可由i

z+

=。

a

=语句生成，也可简写成bi

a

z*

+

b

另一种生成复数的语句是)

exp(i

theta

r

=，也可简写成)

=，

z*

exp(theta

*

i

r

z*

其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。

1.2 创建复矩阵

创建复矩阵的方法有两种。

（1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵

例如：)]

i

A*

*

i

i

=

+

3[i

*

-

+

*

,

),

23

5

33

6

exp(

2

3

,

exp(

9

（2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式

例如：

)2,3(

re=；

rand

im=；

)2,3(

rand

im i re com *+=

]

5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i

i i i

i com ++++++=

注意 实、虚矩阵应大小相同。

2 复数的运算

1．复数的实部和虚部

复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。 调用形式 )(x real

返回复数x 的实部

)(x imag

返回复数x 的虚部

2．共轭复数

复数的共轭可由函数conj 实现。 调用形式

)(x conj

返回复数x 的共轭复数

3．复数的模和辐角

复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。 调用形式 )(x abs 复数x 的模

)(x angle

复数x 的辐角

例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 （1）

i

231

+ （2）i i i --131 （3）i

i i 2)52)(43(-+

（4）i i i +-2184

由MATLAB 输入如下：

]21^48^,2/)52()43(),1/(3/1),23/(1[i i i i i i i i i i a +*--*=--+=

=a

i i

i

i

0000.30000.10000.135000.35000.25000.11538.02308.0-----

)(a real %实部

=ans

0.2308

1.5000 –3.5000

1.0000

)(a imag

%虚部

=ans

–0.1538

–2.5000 –13.0000 –3.0000

)(a conj

%共轭复数

=ans

0.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i

–3.5000+13.0000i

1.0000+3.0000i

)(a abs

%模

=ans

0.2774

2.9155 1

3.4629 3.1623

)(a angle

%辐角

=ans

–0.5880

–1.0304

–1.8228

-1.2490

4．复数的乘除法

复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。 例 复数的乘除法演示。 )3/exp(4i pi x *=

=x

i 4641.30000.2-

)5/exp(3i pi y *= =y

i 7634.14271.2-

)5/exp(31i pi y **=

=1y

i 7634.14271.2+

y x /

=ans

i 5423.02181.1-

1/y x

=ans I 3260.11394.0-

由此例可见，i 5/)( 相当于)5/()(i * ，和i *5/)( 不相等。

5．复数的平方根

复灵敏的平方根运算由函数sprt 实现。 调用形式

)(x sprt

返回复数x 的平方根值

6．复数的幂运算

复数的幂运算的形式为n x ^，结果返回复数x 的n 次幂。 例 求下列各式的值 )6/1()^1(-

=ans

0.8660+0.5000 i