2016《高等代数(一)》期中考试试题
中科院2016年高等代数试题参考解答
| A| =
i =2 n i =1
·
∏ ( ai + b1 )
1 0 ··· 0
1 a1 +b2 a1 − a2 ( a1 +b2 )( a2 +b2 ) a1 − a n ( a1 +b2 )( an +b2 )
···
··· ··· ··· ···
1 a 1 + bn a1 − a2 ( a1 +bn )( a2 +bn ) a1 − a n ( a1 +bn )( an +bn )
由已知条件 dim (V1 + V2 ) = dim (V1 ∩ V2 ) + 1. 代入得 1 = dim V1 + dim V2 − 2 dim (V1 ∩ V2 ) dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ).
= (dim V1 − dim (V1 ∩ V2 )) + (dim V2 − dim (V1 ∩ V2 )) .
Ax = 0 的一组解, 并求方程 .
解: 设 Mi , i = 1, 2, · · · , n 是在矩阵 A 中划去第 i 列所得到的 n − 1 阶子式. 构造一个行列式
ai1 a11 a21 ··· an−1,1 显然 Di = 0, i = 1, 2, · · · , n − 1. 将 Di 按第一行展开得 Di = ai1 M1 − ai2 M2 + · · · + (−1)n−1 ain Mn , i = 1, 2, · · · , n − 1, ( ) 从而 M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 是方程组的一个解. 又矩阵 A 的 n − 1 阶子式不全为零且 rank ( A) < n, 故 rank ( A) = n − 1, 这时 Ax = 0 的解空 间的维数为 n − rank ( A) = 1. ( ) 由于 M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 是方程组的一个解, 那么显然方程组 Ax = 0 的解全是 ( ) M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 的倍数. □ ai2 a12 a22 ··· an−1,2
16级高等数学1(2)期中试卷
du
.
2.对于二元函数 f ( x, y) ，在定义域 D 上总有 f x f y 0, 且 f (1,1) 3, 则
f (x, y)
.
3.
求二元函数的极限
lim
( x, y)(1,0)
x sin y x2 1
4.I=Biblioteka edxln x f (x, y)dy ,交换积分次序得 I=
1
0
5. 设 f(x+y, y )=x2—y2,则 f(x,y)= x
2. T 表示圆柱螺线 x 2cos t, y 2sin t, z 4t 在 t 所对应点处的单位
切向量，a (1,1,1) ，则T a 为
（
）
A -2
B -1
C1
D2
5
3. 下列哪个微分方程不是关于 y 的二阶齐次线性微分方程
（
）
A 2 y 4xy y 0
C
d 2 y dy x dx2 dx y 0
总分 总分人
得分 评分人
一、选择题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 1. 若 函 数 z ln(x 1 y) 1 ， 则 该 函 数 定 义 域 为
3 xy
A y x1
（
）
B y x 1 或 xy 0
C y x 1 且 xy 0
D y x 1 e 且 xy 0
B 4 x2( y 1)dxdy
D4
C 4 x2dxdy
D1
D x2dxdy D
5. 关于函数 f(x,y)在同一点，下列说法正确的是
（
）
A 可微必连续
B 连续必有偏导存在
C 偏导存在必连续
D 偏导存在则沿所有方向的方向导数都存在
2016《高等代数(一)》期中考试试题
2016-2017学年第一学期数学信统专业2016年级
《高等代数(一)》课程期中考试试题
课程代码：07031004考核方式：闭卷考试时量：120分钟试卷类型：D
题号一二三四 Nhomakorabea五
六
总分
合分人
复查人
应得分
20
20
30
30
100
实得分
得分
评卷人
复查人
一、理解题（每小题20分，共20分）
1.陈述一般数域P上的多项式因式分解及唯一性定理，并重点解释你对唯一性的理解。而后在实数域上再次叙述该定理，并解释此时的不可约多项式有哪些？
得分
评卷人
复查人
二、简答题（下面两题：要求先回答‘对’或‘错’；如果回答‘错’，请给出反举例，如果回答‘对’则简单给出理由。每小题10分，共20分）
1.有人说：对于有理数域上的两个多项式 和 ，它们在有理数域上的最大公因式与它们在实数域上的最大公因式是相等的。这种说法对吗？为什么？
解：
2.有人说：3级行列式
为零的充分必要条件是 这3个数中至少有两个相等。这种说法对吗？为什么？
解：
得分
评卷人
复查人
三、计算题（每小题15分，共30分）
1.在有理数域上将多项式
分解为不可约多项式的乘积。
解：
2.设 ，计算下面 级行列式
解：
得分
评卷人
复查人
四、证明题（每小题15分，共30分）
1.设整数 两两不同，以及整系数多项式 ，证明：
； 如果 ， ，一定有 。
证：
2.设两个 级行列式
，
证明：当 时，有 。
证：
中科院2016年高等代数试题参考解答
··· ··· ··· ···
−bn ( a1 +b1 )( a1 +bn ) b1 −bn ( a2 +b1 )( a2 +bn ) b1 −bn ( an +b1 )( an +bn )
···
.
1 an +b1
进行 2n − 1 次倍法变换可得 ∏ (b1 − bi )
n
| A| =
i =2 n i =1
·
∏ ( ai + b1 )
1 0 ··· 0
1 a1 +b2 a1 − a2 ( a1 +b2 )( a2 +b2 ) a1 − a n ( a1 +b2 )( an +b2 )
···
··· ··· ··· ···
1 a 1 + bn a1 − a2 ( a1 +bn )( a2 +bn ) a1 − a n ( a1 +bn )( an +bn )
由 A 的秩为 2 可知 β = 3. (2) 对于该二次型的矩阵
5 A = −1 3 而 λ−5 1 −3 1 λ−5 3
−1 3 5 −3 . −3 3
|λ E − A| =
故其特征值为 0, 4, 9.
−3 3 λ−3
= λ ( λ − 4) ( λ − 9) ,
对应于特征值 0 的特征向量为 对应于特征值 4 的特征向量为 对应于特征值 9 的特征向量为 分别将其单位化得到正交矩阵
由已知条件 dim (V1 + V2 ) = dim (V1 ∩ V2 ) + 1. 代入得 1 = dim V1 + dim V2 − 2 dim (V1 ∩ V2 ) dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ).
2016年高一第一学期期中考试数学试题1(含答案)
张家口一中西校区、万全中学2016年第一学期期中考试高一数学试题（288—293班）命题人：王仲彪一、选择题：本大题共12题，每题4分，共48分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，则Q C P U ( ) A.{}1,2 B.{}3,4,5 C.{}1,2,6,7 D.{}1,2,3,4,52．下列各组函数中，表示同一个函数的是 ( )A. 211x y x -=-与1y x =+B. y x =与log x a y a =()0,1a a >≠C. 1y 与1y x =-D. lg y x =与21lg 2y x =3.若集合{{|,|A x y B y y ==== 则 ( )A.A B =B.A B =∅C.A B A =D.A B A =4．设A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)5．函数(21)log x y -= ( )A. 2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 1,1(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 2,1(1,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．已知()()()1,13,1x x f x x x +≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是 ( )A.25B.23C.29D. 21-7．下列函数中，函数值域为()0,+∞的是 ( )A.()2(1),0,y x x =+∈+∞B.()12log ,1,y x x =∈+∞C.12x y -=D.y =8．函数()x f x e =（e 为自然对数的底数）对任意实数x 、y ，都有 ( ) A. ()()()f x y f x f y += B.()()()f x y f x f y +=+ C. ()()()f xy f x f y = D. ()()()f xy f x f y =+9.下列函数中，奇函数的个数是 ( ) ①1()ln1x f x x -=+，②1()()2xxg x e e -=+，③())h x x =， ④11()212xm x =+- A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个10. 若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0,x >时 ()lg(1),f x x =+ 则0x <时()f x =( )A.lg(1)x -B.lg(1)x -+C.lg(1)x --D.以上都不对11. 函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是 ( )A. 1个B.2个C. 3个D. 4个12.某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a 倍，那么该工厂这一年的月平均增长率是 ( ) A.a 11 B ．a 12C.12a －1 D ．11a －1 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡上．13．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ，则集合A 用列举法表示为________．14. 已知log (2)a y ax =-在(0,1)上为x 的减函数, 则a 的取值范围为15.求值，22log 3321272log 8-⨯+=16. 函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m = 三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知集合{}73≤≤=x x A ,{}102<<=x x B ,{}a x x C <=,全集为实数集R.（1）求()B A C R ；（2）如果φ≠C A ，求a 的取值范围。
2016年11月高数1(期中)试题答案
x
2
密 封 线
cos x e x0 x4
x2 2
= lim
1 4 12 x o( x 4 ) 1 = x0 x4 12
1 2 , x0 x x sin 九、 （本题满分 8 分） 设 f ( x) 在 x 0 处可导， 试确定 a x , x0 ax b 和 b 的值，并讨论 f ( x ) 在 x 0 处的连续性.
三、 （本题满分 7 分）求 y xsin x ( x 0) 的导数和微分. 解： 等式两边取对数，得
ln y sin x ln x
---- 2 分
上式两边对 x 求导，注意到 y y ( x) ，得 1 1 y cos x ln x sin x y x 于是
2016 年 11 月
题号 分数 签名
一 20
二 20
三 7
四 7
五 8
六 8Βιβλιοθήκη 七 8八 8九 8
十 6
总分 100
考试时间
参考答案与评分标准
一、单项选择题（每小题 4 分，满分 20 分） 1. 设当 x 0 时， 2( 1 cos x ) ln ( 1 x) 是与
燕 山 大 学 试 卷
解：由于 f ( x) 在 x 0 处可导，故 f ( x) 在 x 0 处连续，于是有 lim f ( x) lim f ( x) f ( 0)
x 0 x 0
共
3
则 lim (ax b) lim ( x x 2 sin
x 0 x 0
1 ) x
页 第
3
n
n
---- 8 分
七、 （本题满分 8 分）设如图两个正圆锥，顶在下的圆锥在另一个圆锥里面，两圆锥的 底面是平行的，大锥的高 H 1 、底面半径 R 3 ，小锥的顶点在大锥的底面中心， 问：小锥的底面半径 r 等于多少时，才能使得小锥的体积最大？ 解：设小锥的高为 h ，由相似性得 H h r r r ，则 h (1 ) H =1 H R R 3 1 H 2 r r (1 ) 小锥的体积 V (r ) r 2 h 3 3 R r r3 r 2 (1 )= (r 2 ) 3 3 3 3 其中 0 r 3 ---- 3 分 V (r ) r (2 r ) 则 3 当 r 2 时， V (r ) 0 ---- 6 分 又因为，
(完整word版)高等代数期中考试题答案
高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、___1___，__1/a__2、______3_．3、若4、 (n+1)类5、___n-r__二、1 D 2、 C 3、（ D ）4、( B )5、 A三、1、解：（1）由于A ),,(),,(321321αααβββ=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110111A于是 1321321),,(),,(-=A βββααα………………………… (2分) 故由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-1111010111A C ………………………… (3分)（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=241),,(321),,(321),,(321321321ββββββααααC即向量3α在基321,,βββ下的坐标为)2,4,1('．………………………… (5分) 2、故该向量组的一个极大线性无关组为124,,ααα。
3、所以解空间的维数是2， 它的一组基为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,0,37,922a 四、 证明题（本题共4个小题，每小题10分，共计40分） 1、证：因为复数域C 作为实数域R 上的向量空间，维数是2； 而2dim 2=R ，两者维数相同，所以同构。
另证：建立映射),(;:2b a bi a R C →+→σ，验证它为同构映射。
2、证明：向量β可以由r ααα,,,21 线性表示， 则不妨设r r r r a a a a ααααβ++++=--112211 ，其中0≠r a ， 若0=r a ，则112211--+++=r r a a a αααβ ， 这与β不能由121,,,-r ααα 表示矛盾。
于是11111-----=r rr r r r a a a a a ααβα 。
故向量r α可以由βααα,,,,121-r 线性表示， 即向量组),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 能够相互线性表示， 从而),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 等价。
高等代数期中考试试题
高等代数期中考试试题一．填空题（每小题4分，共40分）。
1. 设是上的线性变换，,则下的矩阵为2. 设的线性变换，其中R是实数域，，．3．已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5对应的特征向量分别为，，；，，.5. 已知矩阵可对角化，则k= .6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= .7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为， .8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为—————————9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。
10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。
二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基下的矩阵，试求含的最小不变子空间.三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：维维n即,的秩+的零度=n四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。
五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵，记L（V）为V上线性变换全体，. 1）证明：是L(V)的子空间；2）求的一组基和维数.六．(10分) 设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。
参考答案一．填空题（每小题4分，共40分）。
1. 设是上的线性变换，,则下的矩阵为2. 设的线性变换，其中R是实数域，，．3．已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5对应的特征向量分别为，，不同时为零且；，，.5. 已知矩阵可对角化，则k= 1 .6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= 100 .7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为， .8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为—————————9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。
高等代数试题库
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
15-16(1)高代期中答案(1)
------------------（8分）
。
5、令
对比两边系数可得
于是可得 所以 。
因此 从而 。----------------（8分）
三、解
（1）如果 ,则 。
如果 在有理数域上可约，则一定有一个有理根。----- ----- (2分)
由于 的有理根只可能是 ，但是经验证均不是 的根。- ---- (3分)
于是 ， 。从而 。---------- (8分)
因此 整除 ， 也是 的无理根。---------- (10分)
一、填空（共32分）
（1）-1（2）3，-4（3）
（4） （5）
（6）1（7） （8）不存在
二、计算题
1、设 ，且 --------------------（3分）
比较系数得 ----------------（6分）
----------------（8分）
2、有辗转相除法可得
，--------------------（3分）
所以
--------------------（5分）
--------------------（8分）
3、由于 的有理根只可能为 。-------------------（2分）
经验证 为 的有理根。------------------------------（6分）
于是 ------------------------------（8分）
所以 在有理数域上可约- ----- ----- (4分)
（2）如果 ,令
则 。- ----- ----- (6分)
由于素数 不整除1， 整除 不整除 。
由艾森斯坦判别法可知 在有理数域上不可约-----------------（8分）
(完整word版)高等代数期中考试题
高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、全体正实数的集合+R ，对加法和数量乘法ab b a =⊕， k a a k = 构成实数域R 上的向量空间，则该空间的零元为______，+∈R a 的负元为______2、设321,,ααα是线性空间V 的一个线性无关的向量组，则L (321,,ααα)的维数为______．3、若矩阵1234(,,,)A αααα=经过行初等变换化为1003002401050000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭, 那么向量组1234,,,αααα的一个极大无关组是_____________ 其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为 ______4、若把同构的子空间看成一类,则n 维向量空间的子空间共分成___类5、设A 是数域F 上的n s ⨯矩阵且秩r A =)(，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21. 若方程组0=AX 有非零解，则它的基础解系所含解的个数为_______个.二、单选题（每小题3分，共15分）1、按照数的加法和乘法,下列集合( )构成实数域R 上的向量空间.A ．整数集；B ．有理数集；C ．正实数集；D ．实数集2、下列子集（ ）作成向量空间n R 的子空间。
A ．}0|),,,{(2121=a a a a a nB ．},,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈C ．}0|),,,{(121∑==n i i n a a a aD ．}1|),,,{(121∑==ni i n a a a a3、下列向量组（ ）是线性无关的。
A ．}0{B ．},,0{βαC ．1221},,,,{αααααk r =其中D ．},,,{21r ααα ，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合。
4、关于向量组极大无关组的结论, 下面有( )个正确．(Ⅰ) 任何向量组都有极大无关组； (Ⅱ) 任何有限个不全为零的向量组都有极大无关组； (Ⅲ) 若极大无关组存在则唯一； (Ⅳ) 极大无关组存在不唯一, 但彼此等价．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4．5、3F 的两个子空间{}02),,(3213211=+-=x x x x x x V ，{}0),,(313212=+=x x x x x V ，则子空间21V V 的维数为（ ）。
高工16级 数分期中模拟考题
《数学分析Ⅰ》期中考试模拟试题
高等理工学院学习部
命题人：赵剑羽
一、判断题
1. 任意数列{Xn}中必可选出一个（不一定严格）单调的子数列 （ ）
2. 设{a n }是一个数列，若在任一子序列a n k 中均存在收敛子列{a n k r }，则{a n }必为收敛序列 （ ）
二、计算下列极限
1.
2.
3.
4. lim n →∞
ln C n k n k=0n 2
三、试讨论黎曼函数在[0,1]上的可微性
注：黎曼函数: 定义在[0，1]上，R(x)=1/q, 当x=p/q(p,q 都属于正整数，p/q 为既约真分 数)，R(x)=0,当x=0，1和(0，1)内的无理数
四、设f x = x+2x+1sin 1x ，a>0为任意常数。
试证：f x 在（0，a ）内不一致连续，在[a,+∞)上一致连续
五、记号{x} =x-[x]表示x 的小数部分，试求lim n →∞{(2+ 3)n }
六、若a n >0(n=1,2....)，证明lim n →∞n n →∞a n +1a n
七、f x 对（-∞，+∞）内一切x 有f x 2 = f x ，且f x 在x=0，x=1连续，证明f x 在（-∞，+∞）为常数
八、设f x 映[a,b]为自身，且| f x - f y |≤|x-y|，任取X1ϵ a,b ,令X n+1=1
2[X n + f X n ]。
求证数列有极限a ，且a 满足方程f a = a。
上海市虹口区复兴高中2016年10月2016～2017学年度高一第一学期期中数学试卷及参考答案教师专用
2016年10月2016～2017学年度上海市虹口区复兴高中高一上学期期中数学试卷一、填空题(每题4分,共56分)1.不等式|2﹣x|＜1的解集为.2.若集合M＝{x|y＝2x＋1},N＝{(x,y)|y＝﹣x2},则M∩N＝.3.已知函数y＝f(x＋1)定义域是[﹣2,3],则y＝f(2x﹣1)的定义域是.4.不等式的解集是.5.设函数f(x)＝为奇函数,则实数a＝.6.函数y＝2x﹣的值域为.7.若函数y＝x2＋2(a﹣1)x＋2在区间(﹣∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围是.8.不等式(a﹣2)x2﹣2(a﹣2)x﹣4＜0对x∈R恒成立,则实数a的取值范围为.9.定义在(﹣∞,0)∪(0,＋∞)的奇函数f(x)在(0,＋∞)上为增函数,且f(1)＝0,则不等式f(x)＜0的解集是.10.设f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若函数f(x)＋g(x)的值域为[1,3),则f(x)﹣g(x)的值域为.11.已知函数f(x)＝,则不等式的解集是.12.要设计两个矩形框架,甲矩形的面积是1m2,长为xm,乙矩形的面积为9m2,长为ym,若甲矩形的一条宽与乙矩形一条宽之和为1m,则x＋y的最小值为.13.已知关于x的不等式的解集为p,若1∉p,则实数a的取值范围为.14.若对于满足﹣1≤t≤3的一切实数t,不等式x2﹣(t2＋t﹣3)x＋t2(t﹣3)＞0恒成立,则x的取值范围为.二、选择题(每题5分,共20分)15.设x取实数,则f(x)与g(x)表示同一个函数的是()A.f(x)＝x,g(x)＝B.f(x)＝,g(x)＝C.f(x)＝1,g(x)＝(x﹣1)0D.f(x)＝,g(x)＝x﹣316.是成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.已知f(x)是偶函数,x∈R,当x＞0时,f(x)为增函数,若x1＜0,x2＞0,且|x1|＜|x2|,则()A.f(﹣x1)＞f(﹣x2)B.f(﹣x1)＜f(﹣x2)C.﹣f(x1)＞f(﹣x2)D.﹣f(x1)＜f(﹣x2)18.已知函数f(x)＝|x﹣1|,若存在x1,x2∈[a,b],且x1＜x2,使f(x1)≥f(x2)成立,则以下对实数a,b 的描述正确的是()A.a＜1B.a≥1C.b≤1D.b≥1三、解答题(共5题,共74分)19.记函数f(x)＝的定义域为集合A,则函数g(x)＝的定义域为集合B,(1)求A∩B和A∪B(2)若C＝{x|p﹣2＜x＜2p＋1},且C⊆A,求实数p的取值范围.20.某化工厂生产的某种化工产品,当年产量在150吨至250吨之间,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可近似地表示为问:(1)年产量为多少吨时,每吨的平均成本最低？并求出最低成本？(2)若每吨平均出厂价为16万元,则年产量为多少吨时,可获得最大利润？并求出最大利润？21.已知函数f(x)＝|x﹣a|,g(x)＝x2＋2ax＋1(a为正常数),且函数f(x)和g(x)的图象与y轴的交点重合.(1)求a实数的值(2)若h(x)＝f(x)＋b(b为常数)试讨论函数h(x)的奇偶性;(3)若关于x的不等式f(x)﹣2＞a有解,求实数a的取值范围.22.已知函数f(x)＝(1)求证f(x)在(0,＋∞)上递增(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],求实数a的取值范围(3)当f(x)≤2x在(0,＋∞)上恒成立,求实数a的取值范围.23.定义实数a,b间的计算法则如下a△b＝.(1)计算2△(3△1);(2)对0＜x＜z＜y的任意实数x,y,z,判断x△(y△z)与(x△y)△z的大小,并说明理由;(3)写出函数y＝(1△x)＋(2△x),x∈R的解析式,作出该函数的图象,并写出该函数单调递增区间和值域(只需要写出结果).2016年10月2016～2017学年度上海市虹口区复兴高中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(每题4分,共56分)1.不等式|2﹣x|＜1的解集为(1,3).【知识考查点】绝对值不等式的解法.【试题分析】由不等式|2﹣x|＜1可得﹣1＜x﹣2＜1,即可得出结论.【试题解答】解:由不等式|2﹣x|＜1可得﹣1＜x﹣2＜1,∴1＜x＜3,故不等式|2﹣x|＜1的解集为(1,3),故答案为:(1,3).2.若集合M＝{x|y＝2x＋1},N＝{(x,y)|y＝﹣x2},则M∩N＝∅.【知识考查点】交集及其运算.【试题分析】求出集合M中x的范围确定出M,集合N表示开口向下,顶点为原点的抛物线上点的坐标,确定出两集合交集即可.【试题解答】解:∵M＝{x|y＝2x＋1},N＝{(x,y)|y＝﹣x2},∴M∩N＝∅,故答案为:∅3.已知函数y＝f(x＋1)定义域是[﹣2,3],则y＝f(2x﹣1)的定义域是.【知识考查点】函数的定义域及其求法.【试题分析】利用函数的定义域是自变量的取值范围,同一法则f对括号的范围要求一致;先求出f(x)的定义域;再求出f(2x﹣1)的定义域.【试题解答】解:∵y＝f(x＋1)定义域是[﹣2,3],∴﹣1≤x＋1≤4,∴f(x)的定义域是[﹣1,4],令﹣1≤2x﹣1≤4,解得0≤x≤,故答案为:.4.不等式的解集是{x|x≤或1＜x≤3} .【知识考查点】其他不等式的解法.【试题分析】不等式等价为(2﹣3x)(x﹣3)(x﹣1)≥0且x﹣1≠0,即可得出结论.【试题解答】解:不等式等价为(2﹣3x)(x﹣3)(x﹣1)≥0且x﹣1≠0,∴x≤或1＜x≤3,∴不等式的解集是{x|x≤或1＜x≤3},故答案为{x|x≤或1＜x≤3}.5.设函数f(x)＝为奇函数,则实数a＝﹣1.【知识考查点】函数奇偶性的性质.【试题分析】一般由奇函数的定义应得出f(x)＋f(﹣x)＝0,但对于本题来说,用此方程求参数的值运算较繁,因为f(x)＋f(﹣x)＝0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a的值.【试题解答】解:∵函数为奇函数,∴f(x)＋f(﹣x)＝0,∴f(1)＋f(﹣1)＝0,即2(1＋a)＋0＝0,∴a＝﹣1.故答案为:﹣1.6.函数y＝2x﹣的值域为[,3] .【知识考查点】函数的值域.【试题分析】利用函数是增函数得出即可.【试题解答】解:∵函数y＝2x﹣∴根据函数是增函数得出:x＝1时,y＝x＝时,y＝3∴值域为:[,3]故答案为:[,3]7.若函数y＝x2＋2(a﹣1)x＋2在区间(﹣∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围是a≤﹣3. 【知识考查点】二次函数的性质.【试题分析】若y＝x2＋2(a﹣1)x＋2在区间(﹣∞,4]上单调递减,则1﹣a≥4,解得答案.【试题解答】解:函数y＝x2＋2(a﹣1)x＋2的图象是开口朝上,且以直线x＝1﹣a为对称轴的抛物线,若y＝x2＋2(a﹣1)x＋2在区间(﹣∞,4]上单调递减,则1﹣a≥4,解得:a≤﹣3,故答案为:a≤﹣38.不等式(a﹣2)x2﹣2(a﹣2)x﹣4＜0对x∈R恒成立,则实数a的取值范围为﹣2＜a≤2. 【知识考查点】函数恒成立问题.【试题分析】依题意,分a＝2与a≠2两类讨论,即可求得实数a的取值范围.【试题解答】解:∵不等式(a﹣2)x2﹣2(a﹣2)x﹣4＜0对x∈R恒成立,∴当a＝2时,﹣4＜0对任意实数x都成立;当a≠2时,,解得:﹣2＜a＜2;综上所述,﹣2＜a≤2.故答案为:﹣2＜a≤2.9.定义在(﹣∞,0)∪(0,＋∞)的奇函数f(x)在(0,＋∞)上为增函数,且f(1)＝0,则不等式f(x)＜0的解集是{x|x＜﹣1或0＜x＜1} .【知识考查点】奇偶性与单调性的综合.【试题分析】先根据其为奇函数,得到在(﹣∞,0)上的单调性;再借助于f(﹣1)＝﹣f(1)＝0,即可得到结论.【试题解答】解:∵定义在(﹣∞,0)∪(0,＋∞)的奇函数,且在(0,＋∞)上是增函数,∴在(﹣∞,0)上也是增函数;又∵f(﹣1)＝﹣f(1)＝0.∴f(x)＜0的解集为:{x|x＜﹣1或0＜x＜1}.故答案为:{x|x＜﹣1或0＜x＜1}.10.设f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若函数f(x)＋g(x)的值域为[1,3),则f(x)﹣g(x)的值域为(﹣3,﹣1] .【知识考查点】函数的值域;奇函数;偶函数.【试题分析】根据奇偶函数的定义得到f(﹣x)＝﹣f(x),g(﹣x)＝g(x),由两函数的定义域都为R,根据f(x)＋g(x)的值域列出不等式,把x换为﹣x,代换后即可求出f(x)﹣g(x)的范围,即为所求的值域.【试题解答】解:由f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,得到f(﹣x)＝﹣f(x),g(﹣x)＝g(x),∵1≤f(x)＋g(x)＜3,且f(x)和g(x)的定义域都为R,把x换为﹣x得:1≤f(﹣x)＋g(﹣x)＜3,变形得:1≤﹣f(x)＋g(x)＜3,即﹣3＜f(x)﹣g(x)≤﹣1,则f(x)﹣g(x)的值域为(﹣3,﹣1].故答案为:(﹣3,﹣1]11.已知函数f(x)＝,则不等式的解集是{x0＜x＜} .【知识考查点】其他不等式的解法.【试题分析】由h(x)＝x2＋4x在[0,＋∞)单调递增,h(x)min＝h(0)＝0,g(x)＝﹣x2＋4x在(﹣∞,0)上单调递增,g(x)max＝g(0)＝0可知函数f(x)在R上单调递增,则由可得＞2x,解不等式可求.【试题解答】解:f(x)＝,∵h(x)＝x2＋4x在[0,＋∞)单调递增,h(x)min＝h(0)＝0g(x)＝﹣x2＋4x在(﹣∞,0)上单调递增,g(x)max＝g(0)＝0由分段函数的性质可知,函数f(x)在R上单调递增∵,∴＞2x,∴0＜x＜,故答案为{x|0＜x＜}.12.要设计两个矩形框架,甲矩形的面积是1m2,长为xm,乙矩形的面积为9m2,长为ym,若甲矩形的一条宽与乙矩形一条宽之和为1m,则x＋y的最小值为16m.【知识考查点】基本不等式.【试题分析】利用矩形的面积计算公式、“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【试题解答】解:由题意可得:＋＝1,x,y＞0.则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2≥16.当且仅当y＝3x＝12时取等号.故答案为:16m.13.已知关于x的不等式的解集为p,若1∉p,则实数a的取值范围为(﹣1,0).【知识考查点】其他不等式的解法.【试题分析】由题意知1不满足不等式,列出关于a的不等式,由分式不等式的解法求出实数a的取值范围.【试题解答】解:∵不等式的解集为p,且1∉P,∴,则,即a(a＋1)＜0,解得﹣1＜a＜0,∴实数a的取值范围是(﹣1,0),故答案为:(﹣1,0)14.若对于满足﹣1≤t≤3的一切实数t,不等式x2﹣(t2＋t﹣3)x＋t2(t﹣3)＞0恒成立,则x的取值范围为(﹣∞,﹣4)∪(9,＋∞).【知识考查点】函数恒成立问题.【试题分析】不等式x2﹣(t2＋t﹣3)x＋t2(t﹣3)＞0可化为(x﹣t2)(x﹣t＋3)＞0,求出不等式的解集,再求出函数的最值,即可确定x的取值范围.【试题解答】解:不等式x2﹣(t2＋t﹣3)x＋t2(t﹣3)＞0可化为(x﹣t2)(x﹣t＋3)＞0∵﹣1≤t≤3,∴t2＞t﹣3∴x＞t2或x＜t﹣3∵y＝t2在﹣1≤t≤3时,最大值为9;y＝t﹣3在﹣1≤t≤3时,最小值为﹣4,∴x＞9或x＜﹣4故答案为(﹣∞,﹣4)∪(9,＋∞)二、选择题(每题5分,共20分)15.设x取实数,则f(x)与g(x)表示同一个函数的是()A.f(x)＝x,g(x)＝B.f(x)＝,g(x)＝C.f(x)＝1,g(x)＝(x﹣1)0D.f(x)＝,g(x)＝x﹣3【知识考查点】判断两个函数是否为同一函数.【试题分析】根据确定函数的三要素判断每组函数是否为同一个函数,即需要确定每组函数的定义域、对应关系、值域是否相同,也可只判断前两项是否相同即可确定这两个函数是否为同一个函数.【试题解答】解:A组中两函数的定义域相同,对应关系不同,g(x)＝|x|≠x,故A中的两函数不为同一个函数;B组中两函数的定义域均为所有正数构成的集合,对应关系化简为f(x)＝g(x)＝1,故B中的两函数是同一个函数;C组中两函数的定义域不同,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠1},故C中的两函数不为同一个函数;D组中两函数的定义域不同,g(x)的定义域为R,f(x)的定义域由不等于﹣3的实数构成,故D中的两函数不为同一个函数.故选B.16.是成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识考查点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【试题分析】根据不等式之间的关系,结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【试题解答】解:当时,成立,即充分性成立,当x＝10,,满足成立但不成立,即必要性不成立.故是成立充分不必要条件,故选:A17.已知f(x)是偶函数,x∈R,当x＞0时,f(x)为增函数,若x1＜0,x2＞0,且|x1|＜|x2|,则()A.f(﹣x1)＞f(﹣x2)B.f(﹣x1)＜f(﹣x2)C.﹣f(x1)＞f(﹣x2)D.﹣f(x1)＜f(﹣x2)【知识考查点】奇偶性与单调性的综合.【试题分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论.【试题解答】解:∵f(x)是偶函数,x∈R,当x＞0时,f(x)为增函数,且|x1|＜|x2|,∴f(|x1|)＜f(|x2|),则f(﹣x1)＜f(﹣x2)成立,故选:B18.已知函数f(x)＝|x﹣1|,若存在x1,x2∈[a,b],且x1＜x2,使f(x1)≥f(x2)成立,则以下对实数a,b 的描述正确的是()A.a＜1B.a≥1C.b≤1D.b≥1【知识考查点】分段函数的应用.【试题分析】先根据f(x)＝|x|的图象性质,推得函数f(x)＝|x﹣1|的单调区间,再依据条件分析求解.【试题解答】解:∵f(x)＝|x|的图象是把f(x)＝x的图象中x轴下方的部分对称到x轴上方, ∴函数在(﹣∞,0)上递减;在(0,＋∞)上递增.函数f(x)＝|x﹣1|的图象可由f(x)＝|x|的图象向右平移1个单位而得,∴在(﹣∞,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,∵若存在x1,x2∈[a,b],x1＜x2,使f(x1)≥f(x2)成立,∴a＜1故选:A.三、解答题(共5题,共74分)19.记函数f(x)＝的定义域为集合A,则函数g(x)＝的定义域为集合B,(1)求A∩B和A∪B(2)若C＝{x|p﹣2＜x＜2p＋1},且C⊆A,求实数p的取值范围.【知识考查点】集合的包含关系判断及应用;交集及其运算.【试题分析】(1)先分别求出函数f(x)、g(x)的定义域A、B,再利用交集、并集的定义可求出A∩B和A∪B.(2)由C⊆A,分类讨论,即可求出实数p的取值范围.【试题解答】解:(1)∵x﹣2＞0,解得x＞2,∴函数f(x)＝的定义域为集合A＝{x|x＞2}. ∵9﹣x2≥0,解得﹣3≤x≤3,∴函数g(x)＝的定义域为集合B＝{x|﹣3≤x≤3}.∴A∩B＝{x|x＞2}∪{x|﹣3≤x≤3}＝(2,3],A∪B＝{x|x＞2}∪{x|﹣3≤x≤3}＝[﹣3,＋∞).(2)∵C＝{x|p﹣2＜x＜2p＋1},且C⊆A,∴C＝∅,p﹣2≥2p＋1,∴p≤﹣3;C≠∅,,∴p≥4,综上所述,p≤﹣3或p≥4.20.某化工厂生产的某种化工产品,当年产量在150吨至250吨之间,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可近似地表示为问:(1)年产量为多少吨时,每吨的平均成本最低？并求出最低成本？(2)若每吨平均出厂价为16万元,则年产量为多少吨时,可获得最大利润？并求出最大利润？【知识考查点】函数模型的选择与应用.【试题分析】(1)利用总成本除以年产量表示出平均成本,利用基本不等式求出平均成本的最小值.(2)利用收入减去总成本表示出年利润,通过配方求出二次函数的对称轴,由于开口向下,对称轴处取得最大值.【试题解答】解:(1)设每吨的平均成本为W(万元/T),则W＝＝＋﹣30≥2﹣30＝10,当且仅当＝,x＝200(T)时每吨平均成本最低,且最低成本为10万元.(2)设年利润为u(万元),则u＝16x﹣(﹣30x＋4000)＝﹣＋46x﹣4000＝﹣(x﹣230)2＋1290.所以当年产量为230吨时,最大年利润1290万元.21.已知函数f(x)＝|x﹣a|,g(x)＝x2＋2ax＋1(a为正常数),且函数f(x)和g(x)的图象与y轴的交点重合.(1)求a实数的值(2)若h(x)＝f(x)＋b(b为常数)试讨论函数h(x)的奇偶性;(3)若关于x的不等式f(x)﹣2＞a有解,求实数a的取值范围.【知识考查点】函数的图象;函数奇偶性的判断.【试题分析】(1)由题意得:f(0)＝g(0),即|a|＝1,可得a＝1.(2)利用奇偶函数的定义,确定b的值,进而可得函数的奇偶性.(3)关于x的不等式f(x)﹣2＞a有解转化为|x﹣1|﹣2|x＋1|的最大值大于或等于a,画出函数画出函数y＝|x﹣1|﹣2|x＋1|的图象,由图象可得答案.【试题解答】解:(1)由题意得:f(0)＝g(0),即|a|＝1,又∵a＞0,∴a＝1.(2)由(1)可知,f(x)＝|x﹣1|,g(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2,∴h(x)＝f(x)＋b＝|x﹣1|＋b|x＋1|,若h(x)为偶函数,即h(x)＝h(﹣x),则有b＝1,此时h(2)＝4,h(﹣2)＝4,故h(2)≠﹣h(﹣2),即h(x)不为奇函数;若h(x)为奇函数,即h(x)＝﹣h(﹣x),则b＝﹣1,此时h(2)＝2,h(﹣2)＝﹣2,故h(2)≠h(﹣2),即h(x)不为偶函数;综上,当且仅当b＝1时,函数h(x)为偶函数,且不为奇函数,当且仅当b＝﹣1时,函数h(x)为奇函数,且不为偶函数,当b≠±1时,函数h(x)既非奇函数又非偶函数.(3)关于x的不等式f(x)﹣2＞a有解,即x的不等式|x﹣1|﹣2|x＋1|＞a有解故|x﹣1|﹣2|x＋1|的最大值大于或等于a,画出函数y＝|x﹣1|﹣2|x＋1|的图象,如图所示:由图象可知,|x﹣1|﹣2|x＋1|的最大值为2,∴a＜222.已知函数f(x)＝(1)求证f(x)在(0,＋∞)上递增(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],求实数a的取值范围(3)当f(x)≤2x在(0,＋∞)上恒成立,求实数a的取值范围.【知识考查点】函数恒成立问题;函数的值域.【试题分析】(1)利用f'(x)＝＞0即可证明f(x)在(0,＋∞)上递增;(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],则则,构造函数y＝与y＝x＋(x＞0),利用两函数的图象有两个公共点,即求实数a的取值范围;(3)当f(x)≤2x在(0,＋∞)上恒成立⇒a≥＝在(0,＋∞)上恒成立,构造函数g(x)＝,利用基本不等式可求得g(x)max,从而可求实数a的取值范围.【试题解答】(1)证明:∵f(x)＝﹣,x∈(0,＋∞),∴f'(x)＝＞0,故函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增;(2)∵f(x)在(0,＋∞)上单调递增,∴若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],则,即,故函数y＝与y＝x＋(x＞0)的图象有两个公共点,∵当x＞0时,y＝x＋≥2(当且仅当x＝,即x＝1时取“＝”),∴≥2,解得0＜a≤.(3)∵f(x)＝﹣,f(x)≤2x在(0,＋∞)上恒成立上,∴a≥＝在(0,＋∞)上恒成立,令g(x)＝,则g(x)≤＝(当且仅当2x＝,即x＝时取等号),要使(0,＋∞)上恒成立,故a的取值范围是[,＋∞).23.定义实数a,b间的计算法则如下a△b＝.(1)计算2△(3△1);(2)对0＜x＜z＜y的任意实数x,y,z,判断x△(y△z)与(x△y)△z的大小,并说明理由;(3)写出函数y＝(1△x)＋(2△x),x∈R的解析式,作出该函数的图象,并写出该函数单调递增区间和值域(只需要写出结果).【知识考查点】分段函数的应用;函数解析式的求解及常用方法;函数的图象.【试题分析】(1)先求出3△1,再求出2△(3△1)的值即可;(2)分别求出x△(y△z)和(x△y)△z的值,讨论y2与z的大小即可;(3)讨论x的大小,分x≥2,x＜1,1≤x＜2,求得函数式,画出函数图象,即可得到该函数单调递增区间和值域.【试题解答】解:(1)实数a,b间的计算法则如下a△b＝.则2△(3△1)＝2△3＝32＝9;(2)对0＜x＜z＜y的任意实数x,y,z,x△(y△z)＝x△y＝y2,(x△y)△z＝y2△z,此时若y2≥z,则(x△y)△z＝y2;若y2＜z,则(x△y)△z＝z2.即若y2≥z,则x△(y△z)＝(x△y)△z;若y2＜z,则x△(y△z)＞(x△y)△z.(3)当x＞2时,y＝(1△x)＋(2△x)＝x2＋x2＝2x2;当1＜x≤2时,y＝(1△x)＋(2△x)＝x2＋2;当x≤1时,y＝(1△x)＋(2△x)＝1＋2＝3.即有y＝,画出函数y的图象,如右:该函数单调递增区间为(1,2),(2,＋∞);值域为[3,＋∞).2017年1月4日。
上海市复旦大学附中2016年10月2016～2017学年度高一第一学期期中考试数学试卷及参考答案教师专用
2016年10月2016～2017学年度上海市复旦大学附中高一上学期期中数学试卷一.填空题1.集合{1,2,3,…,2015,2016}的子集个数为.2.已知全集U＝R,集合A＝{x|x≤1},集合B＝{x|x≥2},则∁U(A∪B)＝.3.已知集合A＝{x|1≤x≤2},集合B＝{x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是.4.己知集合U＝{a,b,c,d,e,f},集合A＝{a,b,c,d},A∩B＝{b},∁U(A∪B)＝{f},求集合B.5.已知a2＞a1＞0,b2＞b1＞0,且a1＋a2＝b1＋b2＝1,记A＝a1b1＋a2b2,B＝a1b2＋a2b1,C＝,则按A、B、C从小到大的顺序排列是.6.已知Rt△ABC的周长为定值2,则它的面积最大值为.7.我们将b﹣a称为集合M＝{x|a≤x≤b}的“长度”,若集合M＝{x|m≤x≤m＋},N＝{x|n﹣0.5≤x≤n},且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,则集合M∩N的“长度”的最小值是.8.已知A＝{x|＞x},B＝{x|x(x﹣3)(x＋3)＞0},则A∩B＝.9.对于任意集合X与Y,定义:①X﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y},②X△Y＝(X﹣Y)∪(Y﹣X),已知A ＝{y|y＝x2,x∈R},B＝{y|﹣2≤y≤2},则A△B＝.10.已知常数a是正整数,集合A＝{x||x﹣a|＜a＋,x∈Z},B＝{x||x|＜2a,x∈Z},则集合A∪B中所有元素之和为.11.非空集合G关于运算⊕满足:(1)对任意a,b∈G,都有a＋b∈G;(2)存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a,则称G是关于运算⊕的融洽集,现有下列集合与运算:①G是非负整数集,⊕:实数的加法;②G是偶数集,⊕:实数的乘法;③G是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法;④G＝{x|x＝a＋b,a,b∈Q},⊕:实数的乘法;其中属于融洽集的是(请填写编号)12.集合A＝{(x,y)|y＝a|x|,x∈R},B＝{(x,y)|y＝x＋a,x∈R},已知集合A∩B中有且仅有一个元素,则常数a的取值范围是.二.选择题13.已知集合A＝{1,2,3,…,2105,2016},集合B＝{x|x＝3k＋1,k∈Z},则A∩B中的最大元素是()A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对14.已知全集U＝A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mnB.m＋nC.n﹣mD.m﹣n15.命题“已知x,y∈R,如果x2＋y2＝0,那么x＝0且y＝0”的逆否命题是()A.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0且y≠0B.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0或y≠0C.已知x,y∈R,如果x≠0或y≠0,那么x2＋y2≠0D.已知x,y∈R,如果x≠0且y≠0,那么x2＋y2≠016.对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件;②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件;④“a＜4”是“a＜3”的必要条件;其中真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个三.解答题17.已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2﹣(a＋1)x＋a＝0,x∈R},若A∪B＝A,求实数a.18.已知a,b,c∈R＋,求证:2(a3＋b3＋c3)≥ab2＋a2b＋bc2＋b2c＋ac2＋a2c.19.设正有理数a1是的一个近似值,令a2＝1＋,求证:(1)介于a1与a2之间;(2)a2比a1更接近于.20.已知对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立或不等式mx＞0成立,求实数m的取值范围.21.已知关于x的不等式(4kx﹣k2﹣12k﹣9)(2x﹣11)＞0,其中k∈R;(1)试求不等式的解集A;(2)对于不等式的解集A,记B＝A∩Z(其中Z为整数集),若集合B为有限集,求实数k的取值范围,使得集合B中元素个数最少,并用列举法表示集合B.2016年10月2016～2017学年度上海市复旦大学附中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.(2016秋•杨浦区校级期中)集合{1,2,3,…,2015,2016}的子集个数为22016.【知识考查点】子集与真子集.【专题】集合思想;集合.【试题分析】对于有限集合,我们有以下结论:若一个集合中有n个元素,则它有2n个子集. 【试题解答】解:∵集合{1,2,3,…,2015,2016}中有2016个元素,∴集合M{1,2,3,…,2015,2016}的子集的个数为22016;故答案为:22016.【点评】本题考查了集合的子集个数,若一个集合中有n个元素,则它有2n个子集,有(2n﹣1)个真子集,属于基础题.2.(2016秋•杨浦区校级期中)已知全集U＝R,集合A＝{x|x≤1},集合B＝{x|x≥2},则∁U(A∪B)＝{x|1＜x＜2} .【知识考查点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合思想;定义法;集合.【试题分析】根据并集与补集的定义,进行计算即可.【试题解答】解:全集U＝R,集合A＝{x|x≤1},集合B＝{x|x≥2},所以A∪B＝{x|x≤1或x≥2},所以∁U(A∪B)＝{x|1＜x＜2}.故答案为:{x|1＜x＜2}.【点评】本题考查了并集与补集的定义与应用问题,是基础题目.3.(2016秋•杨浦区校级期中)已知集合A＝{x|1≤x≤2},集合B＝{x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是[1,＋∞).【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.【试题分析】题中条件:“A∩B≠∅,”表示两个集合的交集的结果不是空集,即可求解实数a的取值范围.【试题解答】解:集合A＝{x|1≤x≤2},集合B＝{x|x≤a},因为A∩B≠∅,所以a≥1故答案为:[1,＋∞)【点评】本题考查集合的关系、一元二次不等式的解法,考查运算能力,是基础题.4.(2016秋•杨浦区校级期中)己知集合U＝{a,b,c,d,e,f},集合A＝{a,b,c,d},A∩B＝{b},∁U(A∪B)＝{f},求集合B.【知识考查点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合思想;综合法;集合.【试题分析】根据全集U,以及A与B并集的补集确定出A与B的并集,再根据A与B的交集及A,确定出B即可.【试题解答】解:∵U＝{a,b,c,d,e,f},∁U(A∪B)＝{f},∴A∪B＝{a,b,c,d,e},∵A∩B＝{b};A＝{a,b,c,d},∴b∈B,e∈B,b∉B,c∉B,d∉B,∴B＝{b,e}.【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.5.(2016秋•杨浦区校级期中)已知a2＞a1＞0,b2＞b1＞0,且a1＋a2＝b1＋b2＝1,记A＝a1b1＋a2b2,B＝a1b2＋a2b1,C＝,则按A、B、C从小到大的顺序排列是B＜C＜A.【知识考查点】不等式比较大小.【专题】计算题;转化思想;转化法;不等式.【试题分析】不妨令a1＝,a2＝,b1＝,b2＝,分别求出A,B,比较即可【试题解答】解:∵a2＞a1＞0,b2＞b1＞0,且a1＋a2＝b1＋b2＝1,不妨令a1＝,a2＝,b1＝,b2＝,A＝a1b1＋a2b2＝＋＝,B＝a1b2＋a2b1＝＋＝,∵C＝＝∴B＜C＜A故答案为:B＜C＜A.【点评】本题主要考查不等式与不等关系,利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系,是一种简单有效的方法,属于基础题.6.(2016秋•杨浦区校级期中)已知Rt△ABC的周长为定值2,则它的面积最大值为3﹣2.【知识考查点】正弦定理.【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形;不等式的解法及应用.【试题分析】设直角边长为a,b,则斜边长为,利用直角三角形ABC的三边之和为2,可得a＋b＋＝2,利用基本不等式,即可求△ABC的面积的最大值.【试题解答】解:设直角边长为a,b,则斜边长为,∵直角三角形ABC的三边之和为2,∴a＋b＋＝2,∴2≥2＋,∴≤＝2﹣,∴ab≤6﹣4,∴S＝ba≤3﹣2,∴△ABC的面积的最大值为3﹣2.故答案为:3﹣2.【点评】本题考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,正确运用基本不等式是关键,属于中档题.7.(2016秋•杨浦区校级期中)我们将b﹣a称为集合M＝{x|a≤x≤b}的“长度”,若集合M＝{x|m≤x≤m＋},N＝{x|n﹣0.5≤x≤n},且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,则集合M∩N的“长度”的最小值是.【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;新定义;转化思想;转化法;集合.【试题分析】当集合M∩N的长度的最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左右两端,由此能求出M∩N的长度的最小值.【试题解答】解:根据题意,M的长度为,N的长度为,当集合M∩N的长度的最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左右两端,故M∩N的长度的最小值是＝.故答案为:.【点评】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意新定义的合理运用.8.(2016秋•杨浦区校级期中)已知A＝{x|＞x},B＝{x|x(x﹣3)(x＋3)＞0},则A∩B＝{x|﹣3＜x＜0} .【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;方程思想;定义法;集合.【试题分析】先利用不等式的性质分别求出集合A和B,由此利用交集的性质能求出A∩B. 【试题解答】解:∵A＝{x|＞x}＝{x|﹣2≤x≤1,或x＜0},B＝{x|x(x﹣3)(x＋3)＞0}＝{x|﹣3＜x＜0或x＞3},∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜0}.故答案为:{x|﹣3＜x＜0}.【点评】本题考查交集的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意无理不等式和高次不等式性质的合理运用.9.(2016秋•杨浦区校级期中)对于任意集合X与Y,定义:①X﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y},②X△Y ＝(X﹣Y)∪(Y﹣X),已知A＝{y|y＝x2,x∈R},B＝{y|﹣2≤y≤2},则A△B＝[﹣3,0)∪(3,＋∞).【知识考查点】子集与交集、并集运算的转换.【专题】综合题;方程思想;演绎法;集合.【试题分析】由A＝{y|y＝x2,x∈R}＝{y|y≥0},B＝{y|﹣2≤y≤2},先求出A﹣B＝{y|y＞2},B﹣A＝{y|﹣2≤y＜0},再求A△B的值.【试题解答】解:∵A＝{y|y＝x2,x∈R}＝{y|y≥0},B＝{y|﹣2≤y≤2},∴A﹣B＝{y|y＞2},B﹣A＝{y|﹣2≤y＜0},∴A△B＝{y|y＞2}∪{y|﹣2≤y＜0},故答案为:[﹣3,0)∪(3,＋∞).【点评】本题考查集合的交、并、补集的运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意正确理解X ﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y}、X△Y＝(X﹣Y)∪(Y﹣X).10.(2016秋•杨浦区校级期中)已知常数a是正整数,集合A＝{x||x﹣a|＜a＋,x∈Z},B＝{x||x|＜2a,x∈Z},则集合A∪B中所有元素之和为2a.【知识考查点】并集及其运算.【专题】集合思想;转化法;集合.【试题分析】分别求出集合A、B中的元素,从而求出A、B的并集,求和即可.【试题解答】解:A＝{x||x﹣a|＜a＋,x∈Z}＝{0,a,2a},B＝{x||x|＜2a,x∈Z}＝{﹣a,0,a},则集合A∪B＝{﹣a,0,a,2a},故集合A∪B中所有元素之和是2a,故答案为:2a.【点评】本题考查了集合的运算,考查解绝对值不等式问题,是一道基础题.11.(2016秋•杨浦区校级期中)非空集合G关于运算⊕满足:(1)对任意a,b∈G,都有a＋b∈G;(2)存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a,则称G是关于运算⊕的融洽集,现有下列集合与运算:①G是非负整数集,⊕:实数的加法;②G是偶数集,⊕:实数的乘法;③G是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法;④G＝{x|x＝a＋b,a,b∈Q},⊕:实数的乘法;其中属于融洽集的是①④(请填写编号)【知识考查点】元素与集合关系的判断.【专题】新定义;集合思想;集合.【试题分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件,若两个条件都满足,是“融洽集”,有一个不满足,则不是“融洽集”.【试题解答】解:①对于任意非负整数a,b知道:a＋b仍为非负整数,所以a⊕b∈G;取e＝0,及任意非负整数a,则a＋0＝0＋a＝a,因此G对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”;②对于任意偶数a,b知道:a＋b仍为偶数,故有a＋b∈G;但是不存在e∈G,使对一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a,故②的G不是“融洽集”.③对于G＝{二次三项式},若a、b∈G时,a,b的两个同类项系数,则其积不再为二次三项式,故G不是和谐集,故③不正确;④G＝{x|x＝a＋b,a,b∈Q},设x1＝a＋b,x2＝c＋d,则设x1＋x2＝(a＋c)＋(b＋d),属于集合G,取e＝1,a×1＝1×a＝a,因此G对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”,故④中的G是“融洽集”.故答案为①④.【点评】本题考查了对新定义“融洽集”理解能力,及对有关知识的掌握情况.关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件.12.(2016秋•杨浦区校级期中)集合A＝{(x,y)|y＝a|x|,x∈R},B＝{(x,y)|y＝x＋a,x∈R},已知集合A∩B中有且仅有一个元素,则常数a的取值范围是[﹣1,1] .【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;转化思想;转化法;集合.【试题分析】由已知得a|x|＝x＋a有1个解,由此能求出常数a的取值范围.【试题解答】解:∵集合A＝{(x,y)|y＝a|x|,x∈R},B＝{(x,y)|y＝x＋a,x∈R},集合A∩B中有且仅有一个元素,∴a|x|＝x＋a有1个解,若x≥0,ax＝x＋a,x＝,若x＜0,﹣ax＝x＋a,x＝﹣,由已知得或或或,解得﹣1≤a≤1.∴常数a的取值范围是[﹣1,1].故答案为:[﹣1,1].【点评】本题考查常数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,是基础题,解题时要认真审题,注意交集性质的合理运用.二.选择题13.(2016秋•杨浦区校级期中)已知集合A＝{1,2,3,…,2105,2016},集合B＝{x|x＝3k＋1,k∈Z},则A∩B中的最大元素是()A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.【试题分析】由题意求出A与B的交集,即可作出判断.【试题解答】解:∵A＝{1,2,3,…,2105,2016},集合B＝{x|x＝3k＋1,k∈Z}∴则A∩B中的最大元素是2014.故选:A.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.14.(2009•江西)已知全集U＝A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mnB.m＋nC.n﹣mD.m﹣n【知识考查点】Venn图表达集合的关系及运算.【专题】数形结合.【试题分析】要求A∩B的元素个数,可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图,根据图来分析(如解法一),也可以利用德摩根定理解决(如解法二).【试题解答】解法一:∵(C U A)∪(C U B)中有n个元素,如图所示阴影部分,又∵U＝A∪B中有m个元素,故A∩B中有m﹣n个元素.解法二:∵(C U A)∪(C U B)＝C U(A∩B)有n个元素,又∵全集U＝A∪B中有m个元素,由card(A)＋card(C U A)＝card(U)得,card(A∩B)＋card(C U(A∩B))＝card(U)得,card(A∩B)＝m﹣n,故选D.【点评】解答此类型题目时,要求对集合的性质及运算非常熟悉,除教材上的定义,性质,运算律外,还应熟练掌握:①(C U A)∪(C U B)＝C U(A∩B)②(C U A)∩(C U B)＝C U(A∪B)③card(A∪B)＝card(A)＋card(B)﹣card(A∩B)等.15.(2016秋•杨浦区校级期中)命题“已知x,y∈R,如果x2＋y2＝0,那么x＝0且y＝0”的逆否命题是()A.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0且y≠0B.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0或y≠0C.已知x,y∈R,如果x≠0或y≠0,那么x2＋y2≠0D.已知x,y∈R,如果x≠0且y≠0,那么x2＋y2≠0【知识考查点】四种命题间的逆否关系.【专题】定义法;简易逻辑.【试题分析】根据已知中原命题,写出逆否命题,可得答案.【试题解答】解:命题“已知x,y∈R,如果x2＋y2＝0,那么x＝0且y＝0”的逆否命题是“已知x,y∈R,如果x≠0或y≠0,那么x2＋y2≠0”故选:C【点评】本题考查的知识点是四种命题,难度不大,属于基础题.16.(2016秋•杨浦区校级期中)对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件;②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件;④“a＜4”是“a＜3”的必要条件;其中真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【知识考查点】命题的真假判断与应用;必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】综合法;简易逻辑.【试题分析】逐项判断即可.①由ac＝bc不能推出a＝b;②由5是有理数易判断;③根据不等式的性质可得;④根据充分必要条件的定义易得.【试题解答】解:①由“a＝b“可得ac＝bc,但当ac＝bc时,不能得到a＝b,故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件,故①错误;②因为5是有理数,所以当a＋5是无理数时,a必为无理数,反之也成立,故②正确;③取a＝1,b＝﹣2,此时a2＜b2,故③错误;④当a＜4时,不能推出a＜3;当a＜3时,有a＜4成立,故“a＜4”是“a＜3”的必要不充分条件,故④正确.综上可得正确的命题有2个.故选:B.【点评】本题考查充分必要条件的判断,掌握充分必要条件的定义是关键.属于基础题.三.解答题17.(2016秋•杨浦区校级期中)已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2﹣(a＋1)x＋a＝0,x∈R},若A∪B ＝A,求实数a.【知识考查点】并集及其运算.【专题】计算题;分类讨论;集合.【试题分析】根据A∪B＝A,得到B⊆A,然后分B为空集和不是空集讨论,A为空集时,只要二次方程的判别式小于0即可,不是空集时,分别把1和2代入二次方程求解a的范围,注意求出a后需要验证.【试题解答】解:由A∪B＝A,得B⊆A.①若B＝∅,则△＝(a＋1)2﹣4a＜0,解得:a∈∅;②若1∈B,△＝(a＋1)2﹣4a＝0,此时a＝1,满足12﹣a﹣1＋a＝0,此时B＝{1},符合题意;③若2∈B,则22﹣2a﹣2＋a＝0,解得:a＝2,此时A＝{2,1},满足题意.④若3∈B,则32﹣3a﹣3＋a＝0,解得:a＝3,此时A＝{3,1},满足题意.综上所述,实数a的值为:1,2,3.【点评】本题考查了并集及其运算,考查了分类讨论的数学思想,求出a值后的验证是解答此题的关键,是基础题.18.(2016秋•杨浦区校级期中)已知a,b,c∈R＋,求证:2(a3＋b3＋c3)≥ab2＋a2b＋bc2＋b2c＋ac2＋a2c.【知识考查点】不等式的证明.【专题】证明题;转化思想;演绎法;不等式的解法及应用.【试题分析】作差,因式分解,即可得到结论.【试题解答】证明:(a3＋b3)﹣(a2b＋ab2)＝a2(a﹣b)＋b2(b﹣a)＝(a﹣b)(a2﹣b2)＝(a﹣b)2(a＋b)∵a＞0,b＞0,∴(a3＋b3)﹣(a2b＋ab2)≥0∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理b3＋c3≥bc2＋b2c,a3＋c3≥ac2＋a2c,三式相加,可得2(a3＋b3＋c3)≥ab2＋a2b＋bc2＋b2c＋ac2＋a2c.【点评】本题考查不等式的证明,考查作差法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.19.(2016秋•杨浦区校级期中)设正有理数a1是的一个近似值,令a2＝1＋,求证:(1)介于a1与a2之间;(2)a2比a1更接近于.【知识考查点】二分法求方程的近似解.【专题】证明题;转化思想;作差法;不等式.【试题分析】(1)利用作差法,再因式分解,确定其符号,即可得到结论;(2)利用作差法,判断|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0,即可得到结论【试题解答】证明:(1)a2﹣＝1＋﹣＝,∵若a1＞,∴a1﹣＞0,而1﹣＜0,∴a2＜∵若a1＜,∴a1﹣＜0,而1﹣＜0,∴a2＞,故介于a1与a2之间;(2)|a2﹣|﹣|a1﹣|＝﹣|a1﹣|＝|a1﹣|×,∵a1＞0,﹣2＜0,|a1﹣|＞0,∴|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0∴|a2﹣|＜|a1﹣|∴a2比a1更接近于.【点评】本题考查不等式的证明,考查作差法的运用,确定差的符号是关键.20.(2016秋•杨浦区校级期中)已知对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立或不等式mx＞0成立,求实数m的取值范围.【知识考查点】一元二次不等式的解法.【专题】分类讨论;转化思想;不等式的解法及应用.【试题分析】①对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立,对m分类讨论,m＝0时,易判断出.m≠0时,,解出即可得出.②对任意实数x,不等式mx＞0成立,m∈∅.【试题解答】解:①对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立,m＝0时化为:﹣3x＋1＞0,不成立,舍去.m≠0时,,解得.②对任意实数x,不等式mx＞0成立,m∈∅.综上可得:.∴实数m的取值范围是.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.21.(2016秋•杨浦区校级期中)已知关于x的不等式(4kx﹣k2﹣12k﹣9)(2x﹣11)＞0,其中k∈R;(1)试求不等式的解集A;(2)对于不等式的解集A,记B＝A∩Z(其中Z为整数集),若集合B为有限集,求实数k的取值范围,使得集合B中元素个数最少,并用列举法表示集合B.【知识考查点】一元二次不等式的解法.【专题】分类讨论;不等式的解法及应用;不等式.【试题分析】(1)对k分类讨论,利用一元二次不等式的解法即可得出.(2)根据B＝A∩Z(其中Z为整数集),集合B为有限集,即可得出.【试题解答】解:(1)①当k＜0,A＝{x|};②当k＝0,A＝{x|x};③当0＜k＜1或k＞9,A＝{x|x,或x＞};④当1≤k≤9,A＝{x|x＜,或x＞};(2)B＝A∩Z(其中Z为整数集),集合B为有限集,只有k＜0,B＝{2,3,4,5}.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.11。
高等代数试题
第一章 多项式§1.1一元多项式的定义和运算1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是(6) 222)()()(x xh x xg x f +=，那么.0)()()(===x h x g x f2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明：!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x nn---=+---+--+-§1.2 多项式的整除性1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：( i );13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：kx f x )(|必要且只要).(|x f x3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.nn a x -6．考虑有理数域上多项式()()()()()(),121211nkn k nk x x x x x x f ++++++=-++这里k 和n 都是非负整数．证明：()()().11|1n k 1+++++-x x f x x k7．证明：1-dx 整除1-n x 必要且只要d 整除.n§1.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式：( i ) ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f(ii) ()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f ==证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．3. 令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F 中的数，并且0≠-bc ad证明：()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++4． 证明：（i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式； （ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f = 此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。
2016级本科高数一期中试卷(本科)参考答案(1)
2016级本科高等数学（一）期中试题解答及评分标准一、单项选择题（本大题6个小题，每小题3分，共18分） 1. 设231()arccoslog (4)2x f x x -=+-，则()f x 的定义域为（ C ）. A . []1,2-； B. ()2,2- ； C . [)1,2- ； D . []1,3-.2．设ln(1),11()tan ,0121sin ,0x x x f x x x x x x π+⎧>⎪-⎪⎪=≤<⎨⎪⎪<⎪⎩，则()f x 的连续域为（ B ）.A. (,)-∞+∞；B. (,1)(1,)-∞⋃+∞；C. (,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞；D. (,0)(0,)-∞⋃+∞. 3．设()=232x x f x +-，则当0x →时，有（ B ）.A ．()x f 与x 是等价无穷小；B ．()x f 与x 同阶但非等价无穷小；C ．()x f 是比x 高阶的无穷小；D ．()x f 是比x 低阶的无穷小． 4. 设函数()f x 在点0x 处可微，,x y ∆∆分别为自变量和函数值的改变量，dy 为其微分，且0()0f x '≠，则0limx dy yy∆→-∆=∆（ C ）.A. 1-；B. 1；C. 0；D. ∞.5．设21lim()01x x ax b x →∞+--=+，则常数,a b 的值所组成的数组(,)a b 为（ A ）.A.(1,1)-；B.(1,0)；C.(0,1)；D.(1,1).6．设()f x 在R 上有定义，函数()f x 在点0x 处左，右极限都存在且相等是函数()f x 在点0x 处连续的（ C ）.A. 充分条件；B. 充分且必要条件；C. 必要条件；D. 非充分也非必要条件.二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分）7．设21,0(),00,0x x f x x x π⎧+>⎪==⎨⎪<⎩，则()()()2016f f f -＝ 21+π 8． ()()()102030232lim =21x x x x →∞-++2012 . 9．设ln(13),0()2,0sin ,0x x bxf x x axx x -⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩在=0x 处连续，则(,)=a b 3(2,)2- .10．设ln x y e x =+ (0)x >，则其反函数()x x y =的导数为 1x xxe + .11．设(2)22n x y x e --=，则()(0)n y = 2 .12. 设()f x 在点=0x 处连续，且()01lim 2sin x f x x x→+=+，则(0)f '= 4 ．三、解答题（本大题8个小题，每小题8分，共64分） 13.（8分）求极限240lim(cos )x x x →.解：原式240=lim(1+cos 1)x x x →- （2分）()24cos 11cos 10=lim(1+cos 1)x x x x x -⋅-→- （2分）()204cos -1limx x x e →= （2分）2e -= （2分）14.（8分）设ln(y x =，求(1)y ''.解：y '= （3分）322(1)xy x -''=+. （4分）(1)y ''= （1分）15.（8分）设22tan (12)y x =+，求dy .解： =d y yd x ' （4分） 222=8tan(12)sec (12)x x x dx ++ （4分）16.（8分）求曲线sin()ln()xy y x x +-=在0x =处的切线方程.解： 由0x =得，1y = （2分）对方程两边同时求导1cos()()1y xy y xy y x'-'++=- （2分） 所以(0)1y '= （2分）切线方程为：1y x =+ （2分）17.（8分）设()y y x =由参数方程332sin 10y x t te t y ⎧=+⎪⎨-+=⎪⎩确定，求x dy dx =.解：由0x =得，0t =且1y = （2分）由sin 10ye t y -+=得，cos 1sin y y dy e tdt e t=- （3分） 2000cos (1sin )(92)2y y x x x dy dy e t edt dxdx e t t dt======-+ （3分）18. (8分) 设2223()1x x f x x --=-，求其间断点并判定类型.解： 1x =和1x =-为间断点 （2分）()221123lim lim 1x x x x f x x →→--==∞-， 故1x =为无穷间断点 （3分）()22111233lim lim lim 211x x x x x x f x x x →-→-→----===-- 故1x =-为可去间断点 （3分）19. (8分) 设函数()f x 满足下列条件（1）对一切,x y R ∈有：()()()f x y f x f y +=⋅； （2）()1()f x xg x =+，且0lim ()1x g x →=.证明：()f x 在R 上处处可导，且()()f x f x '=. 证明：x R ∀∈，有0()()()limh f x h f x f x h→+-'= （2分） 0()()()lim h f x f h f x h→⋅-= （2分）0()1()limh f h f x h→-= （2分） 0[1()]1()lim ()h hg h f x f x h →+-==. （2分）20. (8分) 设()f x 在[,]a b 上连续，且a c d b <<<，证明：存在(),a b ξ∈，使得()()()()mf c nf d m n f ξ+=+，其中m 和n 为自然数.证明：法1 不妨设()()f c f d ≤， 故()()()()mf c nf d f c f d m n+≤≤+ （3分） 由介值定理得，存在[](),,c d a b ξ∈⊂，使得()()()mf c nf d f m nξ+=+ （5分）法2 不妨设()()f c f d ≤，则1．若()()f c f d =，则取(),c a b ξ=∈ （1分） 2. 若()()f c f d <，则令()()()()()F x mf c nf d m n f x =+-+ ，[],x c d ∈ （3分）（1）()F x 在[,]c d 上连续 （2）()()0F c F d ⋅< （2分）由零点定理得，存在()(),,c d a b ξ∈⊂，使得()0F ξ= （2分）。
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得分
评卷人
复查人
二、简答题（下面两题：要求先回答‘对’或‘错’；如果回答‘错’，请给出反举例，如果回答‘对’则简单给出理由。每小题10分，共20分）
1.有人说：对于有理数域上的两个多项式 和 ，它们在有理数域上的最大公因式与它们在实数域上的最大公因式是相等的。这种说法对吗？为什么？
湖南师范大学XXXX学院
2016-2017学年第一学期数学信统专业2016年级
《高等07031004考核方式：闭卷考试时量：120分钟试卷类型：D
题号
一
二
三
四
五
六
总分
合分人
复查人
应得分
20
20
30
30
100
实得分
得分
评卷人
复查人
一、理解题（每小题20分，共20分）
解：
2.有人说：3级行列式
为零的充分必要条件是 这3个数中至少有两个相等。这种说法对吗？为什么？
解：
得分
评卷人
复查人
三、计算题（每小题15分，共30分）
1.在有理数域上将多项式
分解为不可约多项式的乘积。
解：
2.设 ，计算下面 级行列式
解：
得分
评卷人
复查人
四、证明题（每小题15分，共30分）
1.设整数 两两不同，以及整系数多项式 ，证明：
； 如果 ， ，一定有 。
证：
2.设两个 级行列式
，
证明：当 时，有 。
证：