2019年甘肃省高考一诊文科数学答案

2019年甘肃省第一次高考诊断文科数学考试参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1. A

2. C

3. C

4. B

5. A

6. D ．

7.C

8.B

9.A 10.B 11.D 12. C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.8 14. 12

15. 50 16. 16

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分. 17.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则 323d a a =−=， 因为，所以2411314a a a d a d +=+++=11a =，

所以{}n a 的通项公式为. ……………………………6分

32n a n =−（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为，由（1）得 即 q 244,16.b b =⎧⎨

=⎩1314,

16.b q b q =⎧⎪⎨=⎪⎩解得或

……………………………8分

12,2.b q =⎧⎨=⎩12,

2.

b q =−⎧⎨

=−⎩所以7717(1)2(12)=254112b q S q −−==−−或771721(2)(1)=

8112b q S q ⎡⎤−−−−⎣⎦6==−−+. …12分 18.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）根据直方图数据，有2(20.20.2)1a a a ×++++=，

解得． ……………………………2分 0.025a =设所选样本中产品的平均长度为X ，

图中从左到右六组的频率分别为，，，，，． 0.050.10.20.40.20.05则200.05220.1240.2260.4280.2300.05X =×+×+×+×+×+×=25.5（cm ）． 根据样本估计总体原理，因此估计这批产品的平均增长长度值为25.5cm ．

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……………6分

（Ⅱ）根据直方图可知，样本中优质产品有120(0.10020.0252)30××+×=，列联表如下表所示： A 试验区

B 试验区

合计

优质产品 10 20 30 非优质产品 60 30 90 合计 70 50 120

……………………8分 可得2

2

120(10302060)10.310.82870503090

K ×−×=

≈×××<． ……………………10分 所以，没有99.9％的把握认为优质产品与A ，B 两个试验区有关系． …………12分 19. （本题满分12分）

证明：（Ⅰ）取的中点PD E ，连接AE ，

EM ，因为M 为棱的中点，所以 PC //EM CD ，且1

=2

EM CD .又因为

//AB CD ，2AB =,,

4CD =所以//EM AB ,=EM AB ,所以四

边形ABME 是平行四边形, 所以,//BM AE BM ⊄平面,PAD AE ⊂平面,

所以平面. ………………………6分 PAD //BM PAD （Ⅱ）取AD 的中点F ,连接，则BF BF

AD ⊥

，又PD ⊥底面，所以

，，所以ABCD PD BF ⊥

PD AD D ∩=BF ⊥平面PAD ， ……………………9分

由（1）知平面，故//BM PAD M 点到平面的距离等于PAD B 点到平面的距离PAD BF ,由2,60,AB AD DAB ==∠=°得

BF =M 点到平面的距离PAD . ………………………………12分

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20.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得22

1()1,⎧

⎪=⎪⎩

解得2,1a b ==， 所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=. ………………………………………5分

（Ⅱ）设直线l 的方程

为y kx =+代入椭圆C 的方程2

214x y +=，整理

得22(14)40k x x +++=，

k 的值应满足0Δ>，即，所以24-10k >1

2k >，或12

k <−. ① ……………7分

设点，，则11(,)A x y 22(,)B x

y 122

14x x k

+=−

+，1224

14x x k =+，

又212121212(()y y kx kx k x x x x ==+++2.

若坐标原点O 在以为直径的圆内，则AB 0OA OB ⋅

, ……………………9分

所以12

12121221))20((x x y y k x x x x =++++<，

即224(1)(214k k +⋅

++<+0

, 解得k k <>

② 由①②得,k

的取值范围是(,−∞∪+∞). ……………………12分

21.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）因为2()ln f x x x x =−，所以()2ln 1f x x x ′=−−.(1)1f ′=,又,即切线斜率，切点为(1，所以曲线(1)1f =1k =,1)()y f x =在点处的切线方程为

. ……………………5分

(1,(1))f 0−=x y （Ⅱ）令22

()()ln ,(1+)22

x x g x f x x x x =−=−∈∞，，则()1ln g x x x ′=−−. …………7分

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