2015届高考数学第一轮复习第六章数列章末检测(新人教A版)

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2015届高考数学一轮总复习6-1数列的概念课后强化作业(新人教A版)

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-1数列的概念课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝2n 2＋3n －1B ．a n ＝n 2＋5n －5C ．a n ＝2n 3－3n 2＋3n －1D ．a n ＝2n 3－n 2＋n －2 [答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝1，否定A 、D.当n ＝3时，a 3＝35，否定B ，故选C. 2．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4 n ＝1，2n －1 n ≥2.D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝1，2n ＋1 n ≥2.[答案] D[解析] a 1＝S 1＝4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝1，2n ＋1 n ≥2.3．(文)(2013·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 [答案] B[解析] ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)<0，∴193≤k <223，∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.(理)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项 D ．第5项[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－10n )－[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11，令b n ＝na n ，则b n ＝n (2n －11)＝2(n －114)2－1218，∵n ∈N *，∴n ＝3时，b n 取最小值．4．(文)(2012·西安模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N ＋)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38[答案] C[解析] ∵a n a n －1＝a n －1＋(－1)n ， ∴a 2a 1＝a 1＋1， a 3a 2＝a 2－1， a 4a 3＝a 3＋1， a 5a 4＝a 4－1，∵a 1＝1，∴a 2＝2，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝23，∴a 3a 5＝34. (理)(2013·德州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝45，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n≤1，则a 2012等于( )A.45B.35C.25D.15 [答案] C[解析] ∵a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n≤1，又a 1＝45，∴a 2＝2×45－1＝35，a 3＝2×35－1＝15，a 4＝2×15＝25，a 5＝2×25＝45，∴数列{a n }以4为周期，∵20124＝503，∴a 2012＝a 4＝25. 5．(文)(2012·佛山质检)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.132[答案] B[解析] ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×(－32)＋10×2＝72.(理)(2013·池州一模)数列{a n }的通项公式a n ＝2n ·sin(n π2－π3)＋3n cos n π2，前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A ．1007B ．－1007C ．2013D ．－2013 [答案] B[解析] a n ＝2n sin(n π2－π3)＋3n cos n π2＝n sin n π2.由函数y ＝sin π2x 的周期是4，且a 1＝1，a 2＝2×0＝0，a 3＝3×(－1)＝－3，a 4＝4×0＝0，归纳可知数列{a n }从第一项开始依次每相邻四项之和是一个常数－2，即a i ＋a i ＋1＋a i ＋2＋a i ＋3＝－2(i ＝4k ＋1，k ∈N )，所以S 2013＝2013－14×(－2)＋2013＝－1007，故选A.6．(文)已知x 与函数f (x )的对应关系如下表所示，数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝f (a n )，则a 2014＝( )A.3 B ．2 [答案] A[解析] ∵a 1＝3，∴a 2＝f (a 1)＝f (3)＝1，∴a 3＝f (a 2)＝f (1)＝2，a 4＝f (a 3)＝f (2)＝3，∴数列{a n }为周期数列，周期T ＝3，∴a 2014＝a 1＝3，故选A.(理)若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2014等于( )A ．3B ．2 C.12 D.23[答案] C[解析] a 1＝2，a 2＝3，a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，依次可得a 5＝13，a 6＝23，a 7＝2，a 8＝3，a 9＝32…，可见{a n }是周期为6的周期数列．∴a 2014＝a 4＝12，故选C.[点评] 数列是函数，故可用研究函数的方法加以讨论，由a n ＝a n －1a n －2(n ≥3，n ∈N *)知，a n＋1＝a n a n －1＝a n －1a n －2a n －1＝1a n －2，∴a n ＋3＝1a n (n ∈N *)，∴a n ＋6＝a n ，故{a n }周期为6. 二、填空题7．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π2，则S 2014＝________.[答案] 1[解析] 依题意得，数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，注意到2014＝4×503＋2，因此S 2014＝0×503＋a 1＋a 2＝1.(理)(2012·湖北文，17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：b 2012是数列{a n }中的第________项．[答案] 5030[解析] 由前四组可以推知a n ＝n (n ＋1)2，b 1＝a 4＝10，b 2＝a 5＝15，b 3＝a 9＝45，b 4＝a 10＝55，依次可知，当n ＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，a n 能被5整除，由此可得，b 2k ＝a 5k (k ∈N *)，∴b 2012＝a 5×1006＝a 5030.8．(文)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 2014＝________.[答案] 12[解析] 由题可知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，∴a 2014＝a 1＝12.(理)在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________. [答案] 2n ＋1－3[解析] 依题意得，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，a 1＋3＝4，因此数列{a n ＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，于是有a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，则a n ＝2n ＋1－3.9．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S 2014等于________．[答案] 2010[解析] 由题意a n ＋1＋a n －1＝a n (n ≥2)，a n ＋a n ＋2＝a n ＋1，两式相加得a n ＋2＝－a n －1， ∴a n ＋3＝－a n ，∴a n ＋6＝a n ，即{a n }是以6为周期的数列．∵2014＝335×6＋4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a 2014＝335×0＋a 2011＋a 2012＋a 2013＋a 2014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2010. 三、解答题10．(文)(2013·江西)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)．T n ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝12(1－1n ＋1)＝n2(n ＋1).(理)(2013·广州调研)各项都为正数的数列{a n }，满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n ＝2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a 2n2n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝2，a 21＝1，所以数列{a 2n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，因为a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以a 2n 2n ＝2n －12n ，于是S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，①12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋2(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1 ＝12＋2×14×(1－12n －1)1－12－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1，所以S n ＝3－2n ＋32n .能力拓展提升一、选择题11．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n 的代数式表示)()A ．4nB ．4n ＋1C ．4n －3D ．4n ＋8[答案] D[解析] 第(1)，(2)，(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5－3＝12；4×6－2×4＝16；5×7－3×5＝20，代入选项验证可得答案为D.12．(文)(2012·东城模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n 等于( )A ．83B ．82C ．81D ．80[答案] C [解析] ∵a n ＝log 3nn ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)， ∵S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4，解得n >34－1＝80.(理)设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点列{P n (n ，a n )}恒满足P n P n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n (n －43)B ．n (n －34)C ．n (n －23)D ．n (n －12)[答案] A[解析] 设P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，则P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，即a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是以2为公差的等差数列．又a 1＋2a 2＝3，所以a 1＝－13，所以S n ＝n (n －43)，选A.13．(文)由1开始的奇数列，按下列方法分组：(1)，(3,5)，(7,9,11)，…，第n 组有n 个数，则第n 组的首项为( )A ．n 2－nB ．n 2－n ＋1C ．n 2＋nD ．n 2＋n ＋1 [答案] B[解析] 前n －1组共有1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)2个奇数，故第n 组的首项为2×n (n －1)2＋1＝n 2－n ＋1.[点评] 可直接验证，第2组的首项为3，将n ＝2代入可知A 、C 、D 都不对，故选B. (理)已知整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2014个数对是( )A ．(3,61)B ．(3,60)C ．(61,3)D ．(61,2) [答案] C[解析] 根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，整数对和为n ＋1的有n 项，由n (n ＋1)2≤2014得n ≤62，且n ＝63时，n (n ＋1)2＝2016，故第2014个数对是和为64的倒数第3项，即(61,3)．二、填空题14．(文)(2013·北京东城区综合练习)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列{1x n }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.[答案] 20[解析] 由题意，若{a n }为调和数列，则{1a n }为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质可知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11＝20010＝20.(理)(2013·大连测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[答案] 3n[解析] a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .15．(2013·江苏调研)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案] 2n ＋1－2[解析] 由已知a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…，a n －a n －1＝2n －1，由累加法得a n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2n，从而S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.三、解答题16．(文)(2013·河北质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0，所以a na n －1＝3，故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1.当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2，…b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理，得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1，所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)若对任意正整数n ，k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值． [解析] (1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3，① ∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，② 由①－②得，3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0. ∴a n ＋1a n ＝13(n ≥2)．又∵a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13.∴数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫13n －1(n 为正整数)． (2)由(1)知，∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有 k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ， ∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝⎛⎭⎫13n 单调递增，当n ＝1时，数列取最小项为23，∴必有k ≤1，即实数k 的最大值为1.考纲要求了解数列的概念，了解数列是自变量为正整数的一类函数．了解数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)．补充说明1．求数列的通项公式常见的有以下三种类型 (1)已知数列的前几项，写出一个通项公式．依据数列前几项的特点归纳出通项公式：方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④综合写出项与项数的关系．要特别注意以下数列特点： ①自然数列，自然数的平方列． ②奇数列，偶数列．③a n ＝(－1)n ，a n ＝12[1＋(－1)n ]．④a n ＝sin n π2，a n ＝cos n π2.⑤a n ＝k9(10n －1)(k ＝1,2，…，9)．要注意理顺其大小规律如：2，－83，4，－325，…先变化为：42，－83，164，－325，….(2)已知数列的递推关系求其通项公式：一般是采用“归纳—猜想—证明”，有时也通过变形转化为等差、等比数列进行处理．(3)已知数列的前n 项和求通项公式，用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求解． 2．注意数列的两个性质(1)单调性——若a n ＋1>a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列． (2)周期性——若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零常数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．3．数列求和方法 (1)公式法①直接用等差、等比数列的求和公式求． ②了解一些常见的数列的前n 项和． 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．(2)倒序相加法如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和可用“乘公比，错位相减”法进行，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的，其一般步骤是：第一步，将数列{c n }写成c n ＝a n ·b n ，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q . 第二步，写出S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .第三步，乘公比q 得，qS n ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b n ＋1.第四步，错位相减，用等比数列求和公式求和得(q －1)S n .第五步，等式两边同除以q －1得S n .第六步，检查解题过程，看求和公式是否用错，符号是否正确，化简有无错误．(4)裂项相消法如果数列的通项可以表达成两项之差，各项随n 的变化而变化，前后项相加可以相互抵消就用裂项相加相消法．(5)分组求和法当一个数列的通项由几个项构成，各个项构成等差或等比数列时，可分为几个数列分别求和再相加．4．函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此可用函数的知识，函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．备选习题1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 3＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1[答案] A[解析] 由S 1＝2(a 1－1)得a 1＝2；由S 2＝2(a 2－1)得a 2＝4.由S 3＝2(a 3－1)得，a 3＝8.2．如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b ∈R )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)等于( ) A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014 [答案] D[解析] 令a ＝n ，b ＝1，f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，∴f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2， ∴f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＝2×1007＝2014.。

高考数学一轮复习第六章第5讲数列的综合应用配套课件理新人教A版

考点自测
1．若数列{an}为等比数列，则下面四个命题：
①{a2n}是等比数列； ②{a2n}是等比数列； ③a1n是等比数列； ④{lg|an|}是等比数列．其中正确的个数是________．
答案 3
2．(2012·南京一模)若数列{an}满足：lg an＋1＝1＋lg an(n∈N*)， a1＋a2＋a3＝10，则lg(a4＋a5＋a6)的值为________．
答案 (－∞，7]
5．(2012·盐城第一学期摸底考试)设等差数列{an}满足：公差 d∈N*，an∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项．若a1＝35，则d的所有可能取值之和为________．
解析由题意知，an＝35＋(n－1)d.对数列{an}中的任意两项ar，as其和为ar＋as＝35＋35＋(r＋s－2)d，设at＝35＋(t －1)d，则35＋(r＋s－2)d＝(t－1)d，即35＝(t－r－s＋1)d. 因为r，s，t，d∈N*，所以35是d的整数倍，即d所有可能取值为1,3,9,27,81,243，和为364. 答案 364
∴{an}是以 a4 为首项，a2 为公比的等比数列．
(2)解 bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2. 当 a＝ 2时，bn＝(2n＋2)( 2)2n＋2＝(n＋1)2n＋2. Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，① 2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3，② ①－②得－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3 ＝16＋2411－－22n－1－(n＋1)·2n＋3 ＝16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3. ∴Sn＝n·2n＋3.

2015年高考数学(理)核按钮：第六章《数列》(含解析)

第六章数列§6.1数列的概念与简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．高考以考查通项公式及其性质为主，题型主要为：用归纳猜想法求通项；利用a n与S n的关系求通项；由递推数列的关系式求通项；判断数列的单调性等．1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成，其中a n是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n}．(2)通项公式：如果数列{a n}的与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有、、、.2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为、.(2)按项的增减规律分为、、和．递增数列⇔a n＋1a n；递减数列⇔a n＋1a n；常数列⇔a n＋1a n.递增数列与递减数列统称为．3．数列前n项和S n与a n的关系已知S n，则a n＝⎩⎨⎧≥=）.2（），1（nn4．常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a n＝____________；(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a n＝____________；(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a n＝____________；(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a n＝____________；(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n＝____________；(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a n＝____________；(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为a n＝____________；(8)9，99，999，…的一个通项公式为a n＝.注：据此，很易获得数列1，11，111， (2)22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n－1)，29(10n－1)，…，89(10n－1)．【自查自纠】1．(1)项首项a1，a2，a3，…，a n，…(2)第n项n(3)函数值(4)a n a n－1(5)通项公式(解析法)列表法图象法递推公式2．(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列摆动数列常数列＞＜＝单调数列3．S1S n－S n－14．(1)n (2)2n (3)2n ＋1 (4)2n (5)(－1)n(6)1＋（－1）n －12(7)（a ＋b ）＋（－1）n －1（a －b ）2(8)10n －1数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n n （n ＋1）2n －1B ．a n ＝(－1)nn 22n －1C ．a n ＝(－1)nn 22n ＋1D ．a n ＝(－1)nn 3－2n2n －1解：－1＝－11，数列1，4，9，16，…对应通项n 2，数列1，3，5，7，…对应通项2n －1，数列－1，1，－1，1，…对应通项(－1)n .故选B .下列有四个命题：①数列是自变量为正整数的一类函数；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：易知①③正确，②④不正确．故选B .若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A.110B ．－110C.190D.1990解：a 5－a 4＝⎝⎛⎭⎫16＋17＋…＋110－(15＋16＋17＋18)＝19＋110－15＝190，故选C .数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为____________．解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n－S n －1＝2n ＋1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），2n ＋1（n ≥2）.故填a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），2n ＋1（n ≥2）.数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.解法一：由a 1a 2a 3＝22a 3＝32，得a 3＝94，由a 1a 2a 3a 4a 5＝42a 5＝52，得a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.解法二：当n ≥1时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2. 当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12，n ≥2.∴a 3＝94，a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝6116.故填6116.类型一数列的通项公式已知数列：45，910，1617，2526，….(1)试写出该数列的一个通项公式；(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项．解：(1)各项的分子为22，32，42，52，…，分母比分子大1，因此该数列的一个通项公式为a n ＝（n ＋1）2（n ＋1）2＋1.(2)不妨令（n ＋1）2（n ＋1）2＋1＝0.98，得n 2＋2n －48＝。

走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学6-2

基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·北京东城区统一检测)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] 根据已知，a 1＋2d ＝6,3a 1＋3d ＝12，解得d ＝2. (理)已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项和S 10等于( )A ．64B ．100C ．110D ．120 [答案] B[解析] 设数列{a n }的公差为d ，由题意得，2a 1＋d ＝4,2a 1＋13d ＝28，所以a 1＝1，d ＝2.于是S 10＝10×1＋10×92×2＝100.[点评] 可设b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则{b n }为等差数列，其公差D ＝b 4－b 13＝8，∴S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 5＝5b 1＋5×42D ＝100.2．(文)(2012·辽宁文，4)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( )A ．12B ．16C ．20D ．24 [答案] B[解析] 由等差数列的性质得，a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝16，B 正确． [点评] 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质． (理)(2013·昆明重点高中检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则S 7的值为( )A ．28B ．42C ．56D ．14 [答案] A[解析] ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12， ∴a 4＝4，∴S 7＝7a 4＝28，故选A.3．(2013·玉溪模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 [答案] B[解析] 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.[解法探究] 求得b n ＝2n －8后可用逐差相加法求a 8.4．(文)在等差数列{a n }中，a 9＋a 11＝10，则数列{a n }的前19项之和为( )A ．98B ．95C ．93D ．90 [分析] 由求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2，及等差数列的性质a 1＋a 19＝a 9＋a 11可求解结果．[解析] S 19＝19×(a 1＋a 19)2＝19×(a 9＋a 11)2 ＝19×102＝95，故选B.(理)(2013·天津新华中学月考)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案] C[解析] 因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 3a 7＝a 24，又S 8＝8(a 1＋a 8)2＝32，所以a 1＋a 8＝8，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝－3×10＋90＝60，选C.5．(文)已知数列{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率是( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－143 [答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55， ∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，∴a 3＝11. ∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝4，故选A.(理)(2012·衡阳六校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且ON →＝a 15OM →＋a 6OP →(直线MP 不过点O )，则S 20等于( )A ．10B ．15C ．20D ．40[解析] 依题意，得a 15＋a 6＝1.由等差数列性质知a 15＋a 6＝a 1＋a 20，所以S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 15＋a 6)＝10，选A. 6．(文)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S20等于( )A.19B.310C.18D.13 [答案] B[解析] 设其公差为d ，∵S 5S 10＝5a 1＋12×5×4d10a 1＋12×10×9d ＝a 1＋2d 2a 1＋9d ＝13， ∴a 1＝3d .∴S 10S 20＝10a 1＋12×10×9d20a 1＋12×20×19d＝310. (理)设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )A ．22B ．21C ．20D ．19 [答案] C[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则有3d ＝93－99＝－6，∴d ＝－2；∴a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝3a 1＋9d ＝3a 1－18＝99，∴a 1＝39，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39－2(n －1)＝41－2n .令a n ＝41－2n >0得n <20.5，即在数列{a n }中，前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此在其前n 项和中，S 20最大．依题意得知，满足题意的k 值是20，选C.二、填空题7．(文)(2013·陕西检测)在等差数列{a n }中，若a 13＝20，a 20＝13，则a 2013＝________.[答案] －1980[解析] 由题意知，等差数列{a n }的公差d ＝13－2020－13＝－1，∴a 2013＝a 20＋(2013－20)d ＝13－1993＝－1980.(理)两个等差数列的前n 项和之比为5n ＋102n －1，则它们的第7项之比为________．[答案][解析] 设两个数列{a n }、{b n }的前n 项和为S n 、T n ，则S nT n＝5n ＋102n －1，而a 7b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝S 13T 13＝5×13＋102×13－1＝3. 8．已知函数f (x )＝sin x ＋tan x .项数为27的等差数列{a n }满足a n∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.[答案] 14[解析] ∵f (x )＝sin x ＋tan x 为奇函数，且在x ＝0处有定义，∴f (0)＝0.∵{a n }为等差数列且d ≠0，∴a n (1≤n ≤27，n ∈N *)对称分布在原点及原点两侧， ∵f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，∴f (a 14)＝0.∴k ＝14.9．(文)将正偶数按下表排成5列：[答案] 252 2[解析] 通项a n ＝2n ，故2014为第1007项，∵1007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2014应排在第252行，且第252行从右向左排第3个数，即252行第2列．(理)已知a n ＝n 的各项排列成如图的三角形状：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … … … … … … … … … …记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (31,12)＝________. [答案] 912[解析] 由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n 行有2n －1个数，故前n 行有S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2个数，因此前30行共有S 30＝900个数，故第31行的第一个数为901，第12个数为912，即A (31,12)＝912. 三、解答题10．(2013·福建)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．[解析] (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列．所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1，或a 1＝2. (2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.能力拓展提升一、选择题11．(文)设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5，又∵a 1·a 2·a 3＝105，∴a 1a 3＝21，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 3＝21，a 1＋a 3＝10.及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2，∴a n ＝9－2n ，由a n ≥0得n ≤4，∴选A.(理)(2012·大纲全国理，5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 [答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15， ∴5(a 1＋a 5)2＝15，即a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101.故选A.[点评] 本题亦可利用等差数列的性质，由S 5＝15得5a 3＝15，即a 3＝3，再进一步求解．12．(2012·河南安阳三模)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2011，a 2011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．1 [答案] A[解析] 解法一：由已知S 21＝S 4000，则a 22＋a 23＋…＋a 4000＝0，设{a n }的公差为d ，则3979(a 22＋a 4000)2＝0，又a 22＋a 4000＝2a 2011，所以a 2011＝0，所以OP →·OQ →＝2011＋a n ·a 2011＝2011.解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 21＝S 4000，且等差数列前n项和公式可看成二次函数，所以由对称性可得S1＝S4020，则有a1＝4020a1＋4020×40192d，整理得a2011＝0，所以OP→·OQ→＝2011＋a n·a2011＝2011.13．(2013·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1＝1且前n项和S n满足S n S n－1－S n－1S n＝2S n S n－1(n∈N*且n≥2)，则a81＝()A．641 B．640 C．639 D．638[答案] B[解析]由已知S n S n－1－S n－1S n＝2S n S n－1可得，S n－S n－1＝2，所以{S n}是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n＝2n－1，S n＝(2n－1)2，所以a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选B.二、填空题14．(2013·南京模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若(a2－1)3＋2012(a2－1)＝1，(a2011－1)3＋2012·(a2011－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．①S2011＝2011；②S2012＝2012；③a2011<a2；④S2011<S2.[答案]②③[解析]设f(x)＝x3＋2012x，则f(x)为奇函数，f′(x)＝3x2＋2012>0，∴f(x)单调递增．由f(1)＝2013>1知f(1)>f(a2－1)，∴1>a2－1，∴a2<2.又f(a2－1)＝－f(a2011－1)＝f(1－a2011)，∴a2－1＝1－a2011，∴a2＋a2011＝2，∴S2012＝a1＋a20122×2012＝2012，故②正确；又f(a2－1)>f(a2011－1)，∴a2－1>a2011－1，∴a2011<a2，∴③正确；S 2011＝S 2012－a 2012＝2012－(a 2011＋d )＝2012－(2－a 2＋d )＝2010＋a 1>a 1＋a 2＝S 2，∴④错误；假设S 2011＝2011，则2010＋a 1＝2011，∴a 1＝1，∵S 2011＝2011×(a 1＋a 2011)2＝2011×(1＋a 2011)2＝2011，∴a 2011＝1，这与{a n }是等差数列矛盾，∴①错．综上，正确的为②③.15．(2013·黄山期末)对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．[答案] a n ＝2n ＋12n[解析] 由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 可得，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n (n ＋2)2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －1)(n ＋1)2，② ①－②得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12，所以a n ＝2n ＋12n .三、解答题16．(文)(2013·河北唐山一模)设函数f (x )＝ax ＋b (其中a ≠0)，若f (3)＝5，且f (1)，f (2)，f (5)成等比数列．(1)求f (n )；(2)令b n ＝f (n )·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)∵f (3)＝5，且f (1)，f (2)，f (5)成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝5，(a ＋b )(5a ＋b )＝(2a ＋b )2，解得a ＝2，b ＝－1， ∴f (x )＝2x －1，即f (n )＝2n －1.(2)由题意得b n ＝(2n －1)·2n ，则T n ＝1·21＋3·22＋…＋(2n －1)·2n ，①2T n ＝1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②①－②得：－T n ＝2＋23＋24＋…＋2n ＋1－(2n －1)·2n ＋1＝2·2n ＋1－6－(2n －1)·2n ＋1＝－(2n －3)·2n ＋1－6，∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.(理)(2012·湖北文，20)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2、a 3、a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．[分析] (1)利用等差数列的通项公式，及相关关系求出首项和公差．(2)先确定数列的通项公式，由于首项a 1<0需判断从哪一项开始a n >0，将{|a n |}前n 项和写为分段函数的形式．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7， n ＝1，2.3n －7， n ≥3. 记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎨⎧ 4， n ＝1，32n 2－112n ＋10， n >1.[点评] {a n }是等差数列(a 1>0，d <0或a 1<0，d >0)，求数列{|a n |}的前n 项和T n 一般步骤：第一步，求{a n }的前n 项和S n . 第二步，求使⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1<0，成立的整数k . 第三步，求n ≤k 和n >k 时T n 的表达式．第四步，用分段函数形式下结论，并反思检查．考纲要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．补充说明1．函数思想等差数列的通项是n 的一次函数，前n 项和是n 的二次函数，故有关等差数列的前n 项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．2．等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d ；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .3．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则(1)若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大；(2)若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．备选习题1．如表定义函数f (x )：n 1n n －1a 2014的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律．由特殊到一般易知a 1＝4，a 2＝f (a 1)＝f (4)＝1，a 3＝f (a 2)＝f (1)＝5，a 4＝f (a 3)＝f (5)＝2，a 5＝f (a 4)＝f (2)＝4，…，据此可归纳数列{a n }为以4为周期的数列，从而a 2014＝a 2＝1.2．(2013·河南适应性测试)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ·2n ，求数列{c n }的前n 项和S n .[解析] (1)b 1＝1a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n ，1a n ＋1－1a n＝4， ∴b n ＋1－b n ＝4.数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列．1a n ＝b n ＝1＋4(n －1)＝4n －3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3(n ∈N *)． (2)S n ＝21＋5×22＋9×23＋…＋(4n －3)·2n ，①2S n ＝22＋5×23＋9×24＋…＋(4n －3)·2n ＋1，②②－①并化简得S n ＝(4n －7)·2n ＋1＋14.3．(2013·湖南十二校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点A (n ，S n n )(n ∈N *)总在直线y ＝12x ＋32上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝n ＋1a n (n ∈N *)，试问数列{b n }中是否存在最大项，如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)因为点A (n ，S n n )(n ∈N )在直线y ＝12x ＋32上，故有S n n ＝12n ＋32，即S n ＝12n 2＋32n ，当n ≥2时，S n －1＝12(n －1)2＋32(n －1)，所以a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋32n －[12(n －1)2＋32(n －1)]＝n ＋1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1.(2)由a n ＝n ＋1，可知b n ＝n ＋1n ＋1， b 1＝2＝623<632＝33＝b 2，b 3＝44＝2＝b 1，b 3＝44＝2045>2054＝55＝b 4，所以，b 2>b 1＝b 3>b 4，猜想{b n ＋1}递减，即猜想当n ≥2时，n ＋1n ＋1>n ＋2n ＋2，考察函数y ＝ln x x (x >e)，则y ′＝1－ln x x 2，显然当x >e 时，ln x >1，即y ′<0，故y ＝ln (n ＋2)n ＋2<ln (n ＋1)n ＋1，即n ＋2n ＋2<n ＋1n ＋1，猜想正确，因此，数列{b n }的最大项是b 2＝33.[点评] 由n ＋1n ＋1>n ＋2n ＋2两边取对数得，1n ＋1ln(n ＋1)>1n ＋2ln(n ＋2)．即ln (n ＋1)n ＋1>ln (n ＋2)n ＋2，于是构造函数f (x )＝ln x x (x >e)，通过研究函数f (x )的单调性来证明不等式．。

高考数学一轮复习第六章数列1数列的概念与表示课件新人教A版文

, ≥ 2.
-24考点1
考点2
考点3
1 , = 1,
解题心得已知数列的前n项和Sn,则通项公式 an=
--1 , ≥ 2.
当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式an;
当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.
-25考点1
函数y=3x+5的定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且排列在
y=3x+5的图象上.
-8知识梳理
双基自测
5.数列的前n项和
在数列{an}中,Sn=
1
2
3
4
5
a1+a2+…+an
6
叫做数列的前n项和.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
6.数列{an}的an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,则 an=
式.
思考已知在数列{an}中,an+1=an+f(n),利用什么方法求an?
解 ∵an+1=an+3n+2,
∴an+1-an=3n+2,
∴an-an-1=3n-1(n≥2).
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(3n-1)+(3n-4)+…+5+2
(3+1)
的大小关
系
分类
递增数列 an+1
>
an
递减数列 an+1
<
an

2015届高考数学(理)一轮专题复习特训：数列(人教A版)

2015届高考数学（理）一轮专题复习特训：数列一、选择题错误！未指定书签。

1．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）已知数列{ a n }的前n 项和为Sn,且Sn=2(a n —1),则a 2等于（）A ．4B ．2C ．1D ．-2 【答案】A2错误！未指定书签。

．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）已知n n a )31(=,把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状,记),n m A （表示第m 行的第n 个数,则）（12,10A =（）A ．9331）（B ．9231）（C ．9431）（D ．11231）（【答案】A3错误！未指定书签。

．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若5359a a =,则95SS = （） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．12【答案】A4错误！未指定书签。

．（山东省淄博一中2014届高三上学期10月阶段检测理科数学）数列}{n a 中,前n项和为nS ,且n n n a a a a )1(1,2,1221-++===+ ,则100S = （）A ．2600B ．2601C ．2602D ．2603 【答案】A5错误！未指定书签。

．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）设等比数列{}n a 中,前n 项和为n S ,已知7863==S S ，,则=++987a a a（）A ．81B ．81-C ．857D ．855【答案】A6错误！未指定书签。

．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示数列{an}的前n 项的和,若a1=3,a2a4=144,则S5的值为（）A ．692B ．69C ．93D ．189【答案】C7错误！未指定书签。

2015届高考数学一轮总复习6-4数列的综合问题与数列的应用课后强化作业(新人教A版)

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)若a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 [答案] A[解析] 由题意知，b 2＝ac >0，∴Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，∴f (x )的图象与x 轴无交点． (理)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n 、a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 [答案] D[解析] 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64，故选D.2．(文)小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＝a n －1＋n (n ∈N *)，其中正确的为( )A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④[答案] D[解析] 观察图形可知a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴选D.(理)某同学在电脑中打出如下若干个圈：●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2014个圈中的●的个数是( )A ．60B ．61C ．62D ．63 [答案] C[解析] 第一次出现●在第1个位置；第二次出现●在第(1＋2)个位置；第三次出现●在第(1＋2＋3)个位置；…；第n 次出现●在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝62时，n (n ＋1)2＝62×(62＋1)2＝1953,2014－1953＝61<63，∴在前2014个圈中的●的个数是62.3．(2012·沈阳市二模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个实数根，则S 5的值为( )A.52 B ．5 C ．－52 D ．－5 [答案] A[解析] ∵a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两实根， ∴a 2＋a 4＝1，∴S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝52.4．(文)已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公式q ≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( ) A ．a 6＝b 6 B ．a 6>b 6 C ．a 6a 1a 11＝b 6.(理)(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [答案] A[解析] 由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，∴a 6·a 15≤(a 6＋a 152)2＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →＝( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1[答案] A[解析] 由S 29＝S 4000得到S n 关于n ＝29＋40002＝2014.5对称，故S n 的最大(或最小)值为S 2014＝S 2015，故a 2015＝0，OP →·OQ →＝2015＋a n ·a 2015＝2015＋a n ×0＝2015，故选A.6．(2013·江南十校联考)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A.2012－1B.2013－1C.2014－1D.2014＋1[答案] C[解析] 由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12 .∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2014－2013)＝2014－1.二、填空题7．(文)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋d ＝q ，2(2＋3d )＝q 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，d ＝0，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝2.所以a n ＝2n ，b n ＝4n －1.若a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则满足2n ＝log α4n －1＋β，即2n ＝(n －1)log α4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4. (理)在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则公比q 为________．[答案] 3[解析] ∵a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|41＝(4＋42)－(1＋12)＝18，∴q 3＝a 4a 1＝27， ∴q ＝3.8．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．[答案] 78ar[解析] 依题意得，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋3ar ＋2ar ＋ar ＝12(12＋1)2ar ＝78ar 元． 9．(文)已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为________．[答案]22[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2＝m 2n 可得m ＝2，n ＝4， ∴e ＝n －m n＝22. (理)已知双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)的焦点在y 轴上，一条渐近线方程是y ＝2x ，其中数列{a n }是以4为首项的正项数列，则数列{a n }的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ， ∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1. 三、解答题10．(文)(2013·浙江萧山五校联考)已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x )＝2x ＋2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·a n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n . [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ， ∴S n ＝n 2＋2n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1，又a 1＝S 1＝3，适合上式，∴a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝(2n ＋1)·2n ，∴T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n ＋1)·2n ， ∴2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n ＋1)·2n ＋1，相减得－T n ＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2·4·(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，∴T n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.(理)已知函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n项和T n .[解析] (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝6x －2，∴a ＝3，b ＝－2， ∵f (x )过原点，∴c ＝0，∴f (x )＝3x 2－2x .依题意得S n ＝3n 2－2n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式． ∴a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)∵a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n ，∴a n －1＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1(n ≥2)．相减得b n2n ＝6，∴b n ＝6·2n (n ≥2)．b 1＝2a 1＝2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，6·2n (n ≥2).∴T n ＝2＋6(22＋23＋…＋2n )＝3·2n ＋2－22.能力拓展提升一、选择题11．椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11000的等差数列，则n 的最大值为( )A ．2001B ．2000C ．1999D ．1998[答案] B[分析] 公差确定后，首项和末项之差越大，等差数列的项数就越多(即n 越大)，故P 1与P n 取长轴两端点时n 取最大值，可依据公差大于11000列不等式解．[解析] ∵|P n F |max ＝a ＋c ＝3，|P n F |min ＝a －c ＝1， d ＝a n －a 1n －1＝3－1n －1＞11000，n ∈N ，∴n max ＝2000，故选B.12．(文)数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1＝b 1，a 3＝b 3，a 7＝b 5，则b 11等于( )A ．a 63B ．a 36C ．a 31D ．a 13 [答案] A[解析] 设数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝a 1q 2，a 1＋6d ＝a 1q 4.得d ＝a 14(q 4－q 2)． ∴a 1＋a 12(q 4－q 2)＝a 1q 2，∵q ≠1，∴q 2＝2，d ＝a 12，于是b 11＝a 1q 10＝32a 1.设32a 1＝a 1＋(n －1)·a 12，则n ＝63，∴b 11＝a 63.(理)(2013·河北教学质量监测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n－λ)(1a n＋1)(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．λ>2B ．λ>3C ．λ<2D ．λ<3[答案] C[解析] 由已知可得1a n ＋1＝2a n ＋1，1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，1a 1＋1＝2≠0，则1a n ＋1＝2n ，b n ＋1＝2n (n －λ)，b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N *)．由b n ＋1>b n ，得2n (n －λ)>2n －1(n －1－λ)，即λ<n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2，故实数λ的取值范围为λ<2.13．(文)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )A.12B.23C.34D.45 [答案] C[解析] 循环过程为i ＝1<4→i ＝2，m ＝1，S ＝11×2； i ＝2<4→i ＝3，m ＝2，S ＝11×2＋12×3；i ＝3<4→i ＝4，m ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4；i ＝4<4不成立，输出S 的值．故S ＝11×2＋12×3＋13×4＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14 ＝1－14＝34.(理)已知数列{a n }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝511，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n －1C ．a n ＝2n ＋1D ．a n ＝2n －3[答案] B[解析] 由a i ＋1＝a i ＋2知数列{a n }是公差为2的等差数列，由M ＝1a i ai ＋1及S ＝S ＋M 知，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a i a i ＋1，由条件i ≤k 不满足时输出S 及输入k ＝5，输出S ＝511知，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…1a 5a 6＝12[(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…(1a 5－1a 6)]＝12(1a 1－1a 6)＝12(1a 1－1a 1＋10)＝5a 1(a 1＋10)＝511， ∵a 1>0，∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 二、填空题14．(2013·广东佛山一模)我们可以利用数列{a n }的递推公式，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．[答案] 28 640[解析] a 24＋a 25＝a 12＋25＝a 6＋25＝a 3＋25＝3＋25＝28. 5＝a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640.15．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，把数列{a n }的各项排列成如图所示的三角形数阵：2 22 23 24 25 26 27 28 29 210……记M (s ，t )表示该数阵中第s 行的第t 个数，则M (11,2)对应的数是________(用2n 的形式表示，n ∈N )．[答案] 257[解析] 由数阵的排列规律知，第m 行的最后一个数是数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋m ＝m (m ＋1)2项，且该行有m 项，由此可知第11行的第2个数是数列{a n }的第10×112＋2＝57项，对应的数是257.三、解答题16．(文)已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝⎛⎭⎫1，S 11，P 2⎝⎛⎭⎫2，S 22，…，P n ⎝⎛⎭⎫n ，S nn (n ∈N *)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd ＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d . ∴点P n ⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋x －12d 上． ∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．即dx －2y ＋2－d ＝0.(理)在等差数列{a n }中，设S n 为它的前n 项和，若S 15>0，S 16<0，且点A (3，a 3)与B (5，a 5)都在斜率为－2的直线l 上，(1)求a 1的取值范围；(2)指出S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中哪个值最大，并说明理由．[解析] (1)由已知可得a 5－a 35－3＝－2，则公差d ＝－2，∴⎩⎨⎧S 15＝15a 1＋15×142×d ＝15(a 1－14)>0，S16＝16a 1＋16×152×d ＝16(a 1－15)<0.∴14<a 1<15. (2)最大的值是S 8a 8，∵S 15＝15a 8>0，S 16＝8(a 8＋a 9)<0， ∴a 8>0，a 9<0，即S 8最大．又当1≤i ≤8时，S i a i >0；当9≤i ≤15时，S ia i <0，∵数列{a n }递减，∴S 1a 1≤S 2a 2≤…≤S 8a 8，S 8a 8≥S 9a 9≥…≥S 15a 15⇒S 8a 8最大．考纲要求能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．补充说明1．等比数列综合问题的解题思路在解答等差、等比数列综合问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果，既要掌握“通法”，又要注重“特法”．2．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，将数列拆为基本数列，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．3．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．4．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．备选习题1．设正项等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且T 10＝32，则1a 5＋1a 6的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3 [答案] B[解析] 由条件知，T 10＝a 1a 2…a 10＝(a 5a 6)5＝32，∵a n >0，∴a 5a 6＝2，∴1a 5＋1a 6＝12·a 5a 6·(1a 5＋1a 6)＝12(a 5＋a 6)≥12×2a 5a 6＝2，等号在a 5＝a 6＝2时成立． 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 6＋a 7>0是S 9≥S 3的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵S 9≥S 3⇔a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9≥0⇔3(a 6＋a 7)≥0⇔a 6＋a 7≥0，∴a 6＋a 7>0⇒a 6＋a 7≥0，但a 6＋a 7≥0⇒/ a 6＋a 7>0，故选A.3．已知数列{a n }、{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n ，则b 2014＝( )A.20132014B.20142013C.20142015D.20152014 [答案] C[解析] ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12，∵b n ＋1＝b n 1－a 2n ，∴b 2＝b 11－a 21＝23， ∴a 2＝13，b 3＝b 21－a 22＝34，a 3＝14，b 4＝b 31－a 23＝45，a 4＝15，…，观察可见a n＝1n ＋1，b n ＝n n ＋1，∴b 2014＝20142015，故选C.4．(2013·武汉调研)在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为a i ，j ，且满足a 1，j ＝2j －1，a i,1＝i ，a i ＋1，j ＋1＝a i ，j ＋a i ＋1，j (i ，j ∈N *)；又记第3行的3,5,8,13,22,39，…，为数列{b n }，则(1)(2)数列{b n }的通项公式为________． [答案] (1)129 (2)b n ＝2n －1＋n ＋1，n ∈N *5．已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n 为正偶数)且{a n }为等差数列，f (1)＝n 2，f (－1)＝n ，试比较f ⎝⎛⎭⎫12与3的大小，并证明你的结论．[解析] 由f (1)＝n 2，f (－1)＝n 得，a 1＝1，d ＝2. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋5⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －1)· ⎝⎛⎭⎫12n ，两边同乘以12得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)⎝⎛⎭⎫12n ＋(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1，两式相减得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋2⎝⎛⎭⎫122＋2⎝⎛⎭⎫123＋…＋2⎝⎛⎭⎫12n －(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－(2n －1)12n ＋1. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝3－2n ＋32n<3.。

高考数学一轮复习单元质检6数列A含解析新人教A版

单元质检六数列(A )(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 6=15,S 9=99,则等差数列{a n }的公差是( ) A.14 B.4 C.-4 D.-3答案:B解析:∵数列{a n }是等差数列,a 6=15,S 9=99, ∴a 1+a 9=22,∴2a 5=22,a 5=11. ∴公差d=a 6-a 5=4.2.已知公比为√23的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则log 2a 16=( ) A.4 B.5 C.6 D.7答案:B解析:由等比中项的性质,得a 3a 11=a 72=16. 因为数列{a n }各项都是正数,所以a 7=4. 所以a 16=a 7q 9=32.所以log 2a 16=5.3.在等差数列{a n }中,已知a 4=5,a 3是a 2和a 6的等比中项,则数列{a n }的前5项的和为( ) A.15 B.20C.25D.15或25答案:A解析:设{a n }的公差为d.∵在等差数列{a n }中,a 4=5,a 3是a 2和a 6的等比中项,∴{a 1+3a =5,(a 1+2a )2=(a 1+a )(a 1+5a ),解得{a 1=-1,a =2, ∴S 5=5a 1+5×42d=5×(-1)+5×4=15.故选A .4.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足3a 1-a 82+3a 15=0,且a 8=b 10,则b 3b 17=( ) A.9B.12C.16D.36答案:D解析:由3a 1-a 82+3a 15=0,得a 82=3a 1+3a 15=3(a 1+a 15)=3×2a 8,即a 82-6a 8=0.因为a 8=b 10≠0,所以a 8=6,b 10=6,所以b 3b 17=a 102=36.5.设公比为q (q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,则a 1=( ) A.-2 B.-1C.12D.23答案:B解析:∵S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,∴S 4-S 2=3(a 4-a 2),即a 1(q 3+q 2)=3a 1(q 3-q ),q>0,解得q=32,代入a 1(1+q )=3a 1q+2,解得a 1=-1.6.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,f (x )=x (1-x ).若数列{a n }满足a 1=12,且a n+1=11-a a,则f (a 11)=( ) A.2 B.-2 C.6 D.-6答案:C解析:设x>0,则-x<0.因为f (x )是定义在R 上的奇函数, 所以f (x )=-f (-x )=-[-x (1+x )]=x (1+x ). 由a 1=12,且a n+1=11-a a,得a 2=11-a 1=11-12=2,a 3=11-a 2=11-2=-1,a 4=11-a 3=11-(-1)=12,……所以数列{a n }是以3为周期的周期数列, 即a 11=a 3×3+2=a 2=2.所以f (a 11)=f (a 2)=f (2)=2×(1+2)=6.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分) 7.已知数列{a n }满足a 1=1,a n -a n+1=2a n a n+1,则a 6= . 答案:111解析:由a n -a n+1=2a n a n+1,得1a a +1−1a a=2,即数列{1a a}是以1a 1=1为首项,2为公差的等差数列.所以1a 6=1a 1+5×2=11,即a 6=111.8.我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列{a (a +1)2}就是二阶等差数列.数列{a (a +1)2}(n ∈N *)的前3项和是 .答案:10 解析:令a n =a (a +1)2,则a 1=1×22=1,a 2=2×32=3,a 3=3×42=6,S 3=1+3+6=10.故答案为10.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值.解:(1)设{a n }的公差为d ,由题意得3a 1+3d=-15. 由a 1=-7得d=2.所以{a n }的通项公式为a n =2n-9. (2)由(1)得S n =n 2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,S n 取得最小值,最小值为-16. 10.(15分)已知数列{a n }满足a n =6-9a a -1(n ∈N *,n ≥2).(1)求证:数列{1aa -3}是等差数列;(2)若a 1=6,求数列{lg a n }的前999项的和.答案:(1)证明∵1a a -3−1a a -1-3=a a -13a a -1-9−1a a -1-3=a a -1-33a a -1-9=13(n ≥2),∴数列{1a a -3}是等差数列.(2)解∵{1a a -3}是等差数列,且1a 1-3=13,d=13,∴1aa-3=1a 1-3+13(n-1)=a 3.∴a n =3(a +1)a.∴lg a n =lg(n+1)-lg n+lg3. 设数列{lg a n }的前999项的和为S ,则S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg1000-lg999)=999lg3+lg1000=3+999lg3. 11.(15分)设数列{a n }满足a 1=2,a n+1-a n =3·22n-1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解:(1)由已知,当n ≥1时,a n+1=[(a n+1-a n )+(a n -a n-1)+…+(a 2-a 1)]+a 1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a 1=2,所以数列{a n }的通项公式为a n =22n-1.(2)由b n =na n =n ·22n-1知S n =1·2+2·23+3·25+…+n ·22n-1.①从而22·S n =1·23+2·25+3·27+…+n ·22n+1.②①-②,得(1-22)S n =2+23+25+…+22n-1-n ·22n+1,即S n =19[(3n-1)22n+1+2].。

走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学6-3

基础巩固强化一、选择题1．(文)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 [答案] A[解析] ∵S 6＝S 3＋S 3q 3＝S 3·(1＋q 3)，∴q ＝2.(理)在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21.则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．189 [答案] C[解析] 由前三项和为21可知a 1(1＋q ＋q 2)＝21，将a 1＝3代入解之得q ＝2或－3(舍)．则a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 2＋a 3)q 2＝21×4＝84.2．(文)(2013·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则该数列的通项a n ＝( )A ．4×(23)n －1B ．4×(23)nC ．4×(32)nD ．4×(32)n －1[答案] D[解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q ＝a 2a 1＝32，故a n ＝4×(32)n －1.(理)(2013·安徽省级示范高中名校联考)三个实数a ，b ，c 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝3，则b 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．(0,1]C ．[－1,0)∪(0,3]D ．[－3,0)∪(0,1][答案] D[解析] 设公比为q ，显然q ≠0，a ＋b ＋c ＝b (1q ＋1＋q )＝3⇒b ＝31＋1q ＋q. 当q >0时，q ＋1q ≥2，当且仅当q ＝1时等号成立，∴00⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2.那么a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84. (理)已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n－1) C.43(4n－1) D ．(2n －1)2[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n ＝(2n －1)2＝4n －1，∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1×(4n －1)4－1＝13(4n－1)．4．(文)(2013·广元二模)等比数列{a n }的公比q >0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝( )A ．－20B ．15 C.152 D.203 [答案] C[解析] ∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a n ≠0， ∴q 2＋q －6＝0，∵q >0，∴q ＝2，∴a 1＝12， ∴S 4＝12(1－24)1－2＝152.(理)(2013·西安标准化考试)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则公比q 为( )A ．q ＝－2B ．q ＝1C ．q ＝－2或q ＝1D ．q ＝2或q ＝－1[答案] A[解析] 本题有两种处理策略，一是设出首项a 1，建立方程2a 1(1－q n )1－q ＝a 1(1－q n ＋1)1－q ＋a 1(1－q n ＋2)1－q 求解，解得q ＝－2.此法为通法，但运算复杂；二是特例探路，不妨设n ＝1，则S n ＋1，S n ，S n ＋2即是S 2，S 1，S 3，根据等差数列的性质可知，2S 1＝S 2＋S 3，即2a 1＝a 1(1＋q )＋a 1(1＋q ＋q 2)，易得q ＝－2.故选A.5．(文)若数列{a n }是正项递减等比数列，T n 表示其前n 项的积，且T 8＝T 12，则当T n 取最大值时，n 的值等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12 [答案] B[解析] ∵T 8＝T 12，∴a 9a 10a 11a 12＝1，又a 9a 12＝a 10a 11＝1，且数列{a n }是正项递减数列，所以a 9>a 10>1>a 11>a 12，因此T 10取最大值．(理)在由正数组成的等比数列{a n }中，设x ＝a 5＋a 10，y ＝a 2＋a 13，则x 与y 的大小关系是( )A ．x ＝yB ．x ≥yC ．x ≤yD ．不确定 [答案] C[解析] x －y ＝a 1q (1－q 3)(q 8－1)．当q ＝1时，x ＝y ；当q >1时，1－q 3<0而q 8－1>0，x －y <0；当0<q <1时，1－q 3>0而q 8－1<0，x －y <0.故选C.6．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组如下：第一组第二组第三组 … {2,4} {6,8,10,12} {14,16,18,20,22,24,26,28} … 则2014位于( ) A ．第7组B ．第8组C ．第9组D ．第10组[答案] C[解析] 前n 组共有2＋4＋8＋ (2)＝2×(2n－1)2－1＝2n ＋1－2个数．由a n ＝2n ＝2014知，n ＝1007，∴2014为第1007个偶数， ∵29＝512,210＝1024，故前8组共有510个数，前9组共有1022个数，即2014在第9组．二、填空题7．(2013·莆田一模)若等比数列{a n }(a n ∈R )对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝22，那么a 12＝________.[答案] 64[解析] 令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a n ＝q n ， ∵a 3＝q 3＝22，∴a 12＝q 12＝64.8．(文)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n ＝________.[答案] n ＋1[解析] 设等差数列首项a 1，公差d ，则∵a 1、a 3、a 7成等比，∴a 23＝a 1a 7，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ，又S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35， ∴d ＝1，∴a 1＝2，∴a n ＝n ＋1.(理)(2013·浙江湖州中学)已知数列{a n }是正项等比数列，若a 1＝32，a 4＝4，则数列{log 2a n }的前n 项和S n 的最大值为________．[答案] 15[解析] ∵a 1＝32，a 4＝4，∴q ＝12，a n ＝32·(12)n －1，log 2a n ＝log 232·(12)n －1＝5＋(n －1)log 212＝6－n ，由6－n ≥0，得n ≤6，∴前5项(或6项)和最大，S 5＝5×(5＋1)2＝15.9．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9，共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题．三、解答题10．(文)(2013·陕西)设S n 表示数列{a n }的前n 项和． (1)若{a n }是等差数列，推导S n 的计算公式；(2)若a 1＝1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n ＝1－q n 1－q .判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．[解析] (1)方法一：设{a n }的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]，又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1＝[a 1＋(n －1)d ]＋[a 1＋(n －2)d ]＋…＋a 1，∴2S n ＝[2a 1＋(n －1)d ]＋[2a 1＋(n －1)d ]＋…＋[2a 1＋(n －1)d ]＝2na 1＋n (n －1)d ，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d .方法二：设{a n }的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]，又S n ＝a n ＋(a n －d )＋…＋[a n －(n －1)d ]，两式相加得2S n ＝n (a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2. (2){a n }是等比数列，证明如下：∵S n ＝1－q n 1－q ，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝1－q n ＋11－q －1－q n 1－q ＝q n (1－q )1－q ＝q n.∵a 1＝1，q ≠0，∴当n ≥1时，有a n ＋1a n ＝q nq n －1＝q ，因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．(理)(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．[解析] (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0，由条件易知q ≠1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2S 2＝S 3＋S 4，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(1－q 2)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 4)1－q ，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2013，则1－(－2)n ≥2013，即(－2)n ≤－2012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2012，即2n ≥2012，则n ≥11. 综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定[答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q (q －1)＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a5的大小．[解析] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5；当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4<0，所以有S 3a 3<S 5a 5.综上可知有S 3a 3<S 5a 5.(理)(2012·云南省二检)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，它的前9项的平均值等于5113，若从中去掉一项a m ，剩下的8项的平均值等于14378，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] B[解析] 数列{a n }前9项的和为S 9＝5113×9＝1533，即a 1(1－29)1－2＝1533，解得a 1＝3.又知a m ＝S 9－14378×8＝96，而a m ＝3·2m －1，即3·2m－1＝96，解得m ＝6.12．(文)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q[答案] D[解析] P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92， ∵q ≠1，∴a 3≠a 9， ∴a 3＋a 92>a 3a 9，又∵y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于( )A.32B.152C.13D.133 [答案] D[解析] ∵a ＋b ＝5，a ·b ＝6，a >b >0， ∴a ＝3，b ＝2.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝133.13．(文)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] D[解析] 由程序框图可知，S ＝1＋2＋22＋…＋2k ＝2k ＋1－1，由S <100得，2k ＋1<101，∵26＝64,27＝128，∴k ＋1＝7，∴k ＝6，结合语句k ＝k ＋1在S ＝S ＋2k 后面知，当k ＝6时，S ＝127，k 的值再增加1后输出k 值为7.[点评] 这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k 取何值时，恰满足S ≥100，又要顾及S 与k 的赋值语句的先后顺序．(理)已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 ……………………记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 [答案] D[解析] 由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，∴前10行数字个数的和为10×1＋10×92×2＝100，故A (11,12)为{a n }的第112项，∴A (11,12)＝a 112＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.二、填空题14．(文)已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则a x ＋cy ＝________.[答案] 2[解析] 由条件知x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c 2，c ＝bq ，a ＝bq ， ∴a x ＋c y ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2b q b q ＋b ＋2bqb ＋bq＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. (理)(2012·北京东城练习)已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a 、b 都是大于1的正整数，且a 12，则a <b <aa －2，解得a <3，即2<a <3，即不存在a 满足条件，由此可得a ＝2.当a ＝2时，a n ＝2＋(n －1)b ，b n ＝b ×2n －1，若存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则b ×2n －1＝2＋(m －1)b ＋3，即得b ×2n －1＝bm ＋5－b ，当b ＝5时，方程2n －1＝m 总有解，此时a n ＝5n －3.15．(2013·合肥二模)已知等比数列{a n }中，a 2>a 3＝1，则使不等式(a 1－1a 1)＋(a 2－1a 2)＋…＋(a n －1a n)≥0成立的最大自然数是________．[答案] 5[解析] ∵a 2>a 3＝1，∴0<q ＝a 3a 2<1，a 1＝1q 2>1.由(a 1－1a 1)＋(a 2－1a 2)＋…＋(a n －1a n)＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－(1a 1＋1a2＋…＋1a n)＝a 1(1－q n )1－q－1a 1(1－1q n )1－1q ＝a 1(1－q n )1－q －1－q n a 1(1－q )q n －1≥0，得a 1(1－q n )1－q ≥1－q n a 1(1－q )q n －1.∵0<q <1，∴上式可化为a 21≥1qn －1，∴q 4≤q n －1.∴4≥n －1，n ≤5，即n 的最大值为5.三、解答题16．(文)(2013·洛阳统考)已知数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和S n满足S n ＋1－S n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ； (2)令b n ＝2log 2a n ＋1，求数列{1b n ·b n ＋1}的前n 项和T n .[解析] (1)由S n ＋1－S n ＝2n ＋1得a n ＋1＝2n ＋1，即a n ＝2n (n ≥2)．又a 1＝2，所以a n ＝2n (n ∈N *)．从而S n ＝2＋22＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.(2)因为b n ＝2log 2a n ＋1＝2log 22n ＋1＝2n ＋1，所以1b n ·b n ＋1＝1(2n ＋1)·(2n ＋3)＝12(12n ＋1－12n ＋3)．于是T n ＝12[(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n ＋1－12n ＋3)]＝12(13－12n ＋3)＝n3(2n ＋3). (理)(2013·长春三校调研)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式S n >ka n －2对一切n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围．[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *，∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18， ∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2，∴2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3.∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)，∴不等式化为3(2n －1)>k ·3·2n －1－2，即k <2－13·2－对一切n ∈N *恒成立．令f (n )＝2－13·2n －1，易知f (n )随n 的增大而增大，∴f (n )min ＝f (1)＝2－13＝53，∴k <53. ∴实数k 的取值范围为(－∞，53)．考纲要求1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．补充说明与等比数列有关的常用求和方法 (1)分组求和法若数列{a n }是由等差数列与等比数列的和形式给出的，可先分别对它们求和，再将其和相加，该方法称为分组求和法．(2)错位相减法一般地，{a n }是等差数列，{b n }是等比数列(公差d ≠0，公比q ≠1)，c n ＝a n b n ，求数列{c n }前n 项的和用“乘公比、错位相减法”．备选习题1．(2013·温州第一次适应性测试)已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝( )A.12 B ．1 C ．2 D.14 [答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，依题意可得a 25＝a 4a 6＝4a 27＝4·a 25q 4，∴q 4＝14，q 2＝12，∴a 3＝a 1q 2＝2×12＝1.2．(2013·深圳第一次调研)设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n －1＋12 C.(－1)n ＋12 D.(－1)n －12[答案] D[解析] 因为数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝－1·[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12，选D. 3．已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n ＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2、a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1，令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3；令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9，∴a 3＝9.∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1，两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)，即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)，且a 2a 1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n .故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(n ＝1)，0.(n ≥2).此时，{a n }不是等比数列；当k ≠－1时，a n ＋1a n＝k ＋1≠0，此时，{a n }是首项为1，公比为k＋1的等比数列．综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列；当k ≠－1时，{a n }是等比数列．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ＋2，S n ＋1)在直线y ＝4x －5上，其中n ∈N *.令b n ＝a n ＋1－2a n ，且a 1＝1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ，求f ′(1)的表达式． [解析] (1)∵S n ＋1＝4(a n ＋2)－5，∴S n ＋1＝4a n ＋3. ∴S n ＝4a n －1＋3(n ≥2)，∴a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∴b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(n ≥2)． ∴数列{b n }为等比数列，其公比为q ＝2，首项b 1＝a 2－2a 1，而a 1＋a 2＝4a 1＋3，且a 1＝1，∴a 2＝6. ∴b 1＝6－2＝4，∴b n ＝4×2n －1＝2n ＋1. (2)∵f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ，∴f ′(1)＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n . ∴f ′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1① ∴2f ′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n ·2n ＋2② ①－②得－f ′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2 ＝4(1－2n )1－2－n ·2n ＋2＝－4(1－2n )－n ·2n ＋2，∴f ′(1)＝4＋(n －1)·2n ＋2.5．(2012·北京东城练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．[解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1. 又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列． (2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－(43)n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.。

高中数学第六章计数原理章末检测新人教A版选择性必修第三册

第六章章末检测(时间：120分钟,满分150分)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．计算C 58＋2A 24的值是( ) A ．64 B ．80 C ．13 464D ．40【答案】B 【解析】C 58＋2A 24＝C 38＋2A 24＝8×7×63×2×1＋2×4×3＝80.2．将A,B,C,D,E 排成一列,要求A,B,C 在排列中顺序为“A,B,C ”或“C,B,A ”(可以不相邻),则不同的排列方法有( )A ．12种B ．20种C ．40种D ．60种【答案】C 【解析】5个元素没有限制,全排列数为A 55,由于要求A,B,C 的次序一定(按A,B,C 或C,B,A),故所求排列数为A 55A 33×2＝40.3．(1－x )10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－720 B ．720 C ．120D ．－120【答案】D 【解析】由T r ＋1＝C r10(－x )r＝(－1)r C r10x r,因为r ＝3,所以系数为(－1)3C 310＝－120.4．某城市的街道如图,某人要从A 地前往B 地,则路程最短的走法有( )A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种【答案】B 【解析】此人从A 到B,路程最短的走法应走两纵3横,将纵用0表示,横用1表示,则一种走法就是2个0和3个1的一个排列,只需从5个位置中选2个排0,其余位置排1即可,故共有C 25＝10(种)．5．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10,则a 8等于( ) A ．－5 B ．5 C ．90D ．180【答案】D 【解析】∵(1＋x )10＝[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10,∴a 8＝C 810·22＝180.6．12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( )A ．C 28A 23 B ．C 26A 66 C ．C 28A 25D ．C 28A 26【答案】D 【解析】第一步可先从后排8人中选2人共有C 28种；第二步可认为前排放6个座位,先选出2个座位让后排的2人坐,由于其他人的顺序不变,所以有A 26种坐法．综上知不同调整方法的种数为C 28A 26.7．在(1－x )11的展开式中,含x 的奇次幂的各项系数的和是( ) A ．－210B ．210C ．－211D ．211【答案】A 【解析】 (1－x )11的展开式中,含x 的奇次幂的项即偶数项,由于偶数项的二项式系数和为210,偶数项的系数均为负数,故含x 的奇次幂的各项系数的和为－210.8．为参加校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训,培训项目及人数分别为：乐器1人,舞蹈2人,演唱2人．若每人只参加1个项目,并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加,则不同推荐方案的种数为( )A ．12B ．36C ．48D ．24【答案】D 【解析】方法一(直接法) 3名女生各参加1项,2名男生在舞蹈、演唱中各参加1项,有A 33A 22＝12(种)方案；有2名女生同时参加舞蹈或演唱,有C 23A 12A 22＝12(种)方案．所以共有12＋12＝24(种)方案．方法二(间接法) 2名男生同时参加舞蹈或演唱,有C 23A 12＝6(种)方案,而所有不同的推荐方案共有C 15C 24C 22＝30(种),故满足条件的推荐方案种数为30－6＝24.二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．二项式(2x －1)7的展开式的各项中,二项式系数最大的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项D ．第5项【答案】CD 【解析】因为二项式(2x －1)7展开式的各项的二项式系数为C k7(k ＝0,1,2,3,4,5,6,7),易知当k ＝3或k ＝4时,C k7最大,即二项展开式中,二项式系数最大的为第4项和第5项．10．设m 为大于1且小于15的正整数,若⎝⎛⎭⎪⎫x 3－1x2m 的展开式中有不含x 的项,满足这样条件的m 可以是( )A ．3B ．5C ．10D ．12【答案】BC 【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－1x 2m 的展开式的通项为T r ＋1＝C r m (x 3)m －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x2r ＝(－1)r C r m x 3m －5r.因为展开式中有不含x 的项,所以有3m －5r ＝0,即3m ＝5r .又1＜m ＜15(0≤r ≤m )且m ∈N *,r ∈N ,所以满足条件的m 有m ＝5,m ＝10两个数．11．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 35,以下判断正确的有( )A ．展开式中没有常数项B ．展开式中的第一项为x －5C ．展开式中第二项的系数力15D ．展开式的二项式系数的和为32【答案】ABD 【解析】该二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－k (x 3)k ＝C k 5x 4k －5,令4k －5＝0,得k ＝54,不合题意,故展开式中没有常数项,A 正确；令k ＝0,得T 1＝C 05x －5＝x －5,故B 正确；令k ＝1,得T 2＝C 15x－1＝5x －1.第二项的系数为5,故C 错误；二项式展开式系数的和为25＝32,故D 正确．12．将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,不允许有空盒子,下列结果正确的有( )A ．C 13C 12C 11C 13 B ．C 24A 33 C ．C 13C 24A 22D ．18【答案】BC 【解析】根据题意,四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,且没有空盒,则三个盒子中有1个放2个球,剩下的2个盒子各放1个,有两种解法：(1)分两步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组,有C 24种分组方法；②将分好的3组全排列,对应放到3个盒子中,有A 33种放法,则没有空盒的放法有C 24A 33种．(2)分2步进行分析：①在4个小球中任选2个,在3个盒子中任选1个,将选出的2个小球放入选出的小盒中,有C 13C 24种情况；②将剩下的2个小球全排列,放入剩下的2个小盒中,有A 22种放法,则没有空盒的放法有C 13C 24A 22种．故选BC ．三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．将5名志愿者分成4组,其中一组有2人,其余各组各1人,到4个路口协助交警执勤,则不同的分配方法有________种(用数字作答)．【答案】240 【解析】分配方法数为C 25C 13C 12C 11A 33·A 44＝240. 14．设(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0,则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________. 【答案】729 【解析】因为(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0,由二项式定理可知a 0,a 2,a 4,a 6均为正数,a 1,a 3,a 5均为负数,令x ＝－1可得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝(2＋1)6＝729.15．用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个(用数字作答) .【答案】14 【解析】因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意,所以适合题意的四位数有24－2＝14(个)．16．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x ＋1)5(a ≠0),若其展开式中各项的系数和为81,则a ＝________,展开式中常数项为________．【答案】－23 10 【解析】在⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x ＋1)5中,令x ＝1,得(a ＋1)·35＝81,解得a ＝－23,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x ＋1x (2x ＋1)5的展开式中的常数项为1x ·C 45·2x ＝10. 四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图有4个编号为A,B,C,D 的小三角形,要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种,并且相邻的小三角形颜色不同,共有多少种不同的涂色方法？解：分为两类：第一类：若A,C 同色,则A 有5种涂法,B 有4种涂法,C 有1种涂法(与A 相同),D 有4种涂法．故N 1＝5×4×1×4＝80(种)．第二类：若A,C 不同色,则A 有5种涂法,B 有4种涂法,C 有3种涂法,D 有3种涂法．故N 2＝5×4×3×3＝180(种)．综上可知不同的涂法共有N ＝N 1＋N 2＝80＋180＝260(种)．18．已知在(1－2log 2x )n的展开式中,所有奇数项的二项式系数的和为64. (1)求n 的值；(2)求展开式中所有项的系数之和．解：(1)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2×64,即2n＝128,则n ＝7.(2)设(1－2log 2x )7＝a 0＋a 1log 2x ＋a 2(log 2x )2＋…＋a 7(log 2x )7,令x ＝2,得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(1－2log 22)7＝－1,即展开式中所有项的系数之和为－1.19．已知有10件不同厂生产的同类产品．(1)在商品评选会上,若有2件商品因瑕疵不能参加评选,从剩下的商品中要选出4件商品,并排定选出的4件商品的名次,有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列,且必须将获金质奖章的2件商品放上,有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品,除去不能参加评选的2件商品,剩下8件,从中选出4件进行排列,有A 48＝1 680(或C 48·A 44)(种)．(2)分步完成．先将获金质奖章的2件商品布置在6个位置中的2个位置上,有A 26种方法,再从剩下的8件商品中选出4件,布置在剩下的4个位置上,有A 48种方法,共有A 26·A 48＝50 400(或C 48·A 66)(种)．20．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．(1)求n 的值；(2)求展开式中所有二项式系数的和；(3)求展开式中所有的有理项．解：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12rxn －32r (r ＝0,1,2,…,n )．(1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等, 得C 1n ·12＝C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122,即12·n ＝14·n n －12,解得n ＝5.(2)展开式中所有二项式系数的和为C 05＋C 15＋C 25＋…＋C 55＝25＝32.(3)二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12rx 5－32r (r ＝0,1,2,…,5)．当r ＝0,2,4时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为T 1＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫120x 5＝x 5,T 3＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 2＝52x 2,T 5＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫124x －1＝516x. 21．从集合{1,2,3,…,20}中任选出3个不同的数,使这3个数成等差数列,这样的等差数列可以有多少个？解：设a ,b ,c ∈N *,且a ,b ,c 成等差数列,则a ＋c ＝2b ,所以a ＋c 应是偶数．因此,若从1,2,…,20这20个数字中任选出3个不同的数成等差数列,则第一个与第三个数必同为偶数或同为奇数．而1到20这20个数字中有10个偶数10个奇数,当第一个数和第三个数选定后,中间数唯一确定,因此,选法只有两类：①第一、三个数都是偶数,有A 210种选法；②第一、三个数都是奇数,有A 210种选法．于是,满足题意的等差数列共有A 210＋A 210＝180(个)．22．某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队． (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加,有多少种选法？ (3)甲、乙2人至少有1人参加,有多少种选法？(4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生,有多少种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可,共有C 318＝816(种)选法． (2)只需从其他18人中选5人即可,共有C 518＝8 568(种)选法．(3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加．则共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)选法． (4)方法一(直接法) 至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类：1内4外；2内3外；3内2外；4内1外．所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)选法．方法二(间接法) 从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求,即共有C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)选法．。

高考数学一轮复习第六章数列3等比数列及其前n项和课件新人教A版2

②-①得an+1-an+an+1=1,
∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,
+1 -1
∴
-1
1
= 2,∴{an-1}是等比数列.
1
又 a1+a1=1,∴a1= ,
2
1
1
∵首项 c1=a1-1,∴c1=-2,公比 q=2.
1
1
又 cn=an-1,∴{cn}是以-2为首项,以2为公比的等比数列.
考点2
考点3
考点4
考点 3 等比数列性质的应用(多考向)
考向一等比数列项的性质的应用
例3(1)在等比数列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则
a9+a11+a13+a15的值为( C )
(2)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1
14
=324,则n=
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
31
32
(2)若 S5= ,求 λ.
思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?
-19考点1
考点2
考点3
考点4
解 (1)由题意得 a1=S1=1+λa1,故 λ≠1,a1=
1
1-
,a1≠0.
由 Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1 得 an+1=λan+1-λan,即 an+1(λ-1)=λan.
1 < 0,
②满足
或
时,{an}是
0<<1

2015届高考数学一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用

2015届高考数学一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用基础巩固强化一、选择题1．(文)若a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 [答案] A[解析] 由题意知，b 2＝ac >0，∴Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，∴f (x )的图象与x 轴无交点． (理)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n 、a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 [答案] D[解析] 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64，故选D.2．(文)小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n＝a n －1＋n (n ∈N *)，其中正确的为( )A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④[答案] D[解析] 观察图形可知a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴选D.(理)某同学在电脑中打出如下若干个圈：●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2014个圈中的●的个数是( ) A ．60 B ．61 C ．62 D ．63 [答案] C[解析] 第一次出现●在第1个位置；第二次出现●在第(1＋2)个位置；第三次出现●在第(1＋2＋3)个位置；…；第n 次出现●在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝62时，n (n ＋1)2＝62×(62＋1)2＝1953,2014－1953＝61<63，∴在前2014个圈中的●的个数是62.3．(2012·沈阳市二模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个实数根，则S 5的值为( )A.52 B ．5 C ．－52 D ．－5 [答案] A[解析] ∵a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两实根， ∴a 2＋a 4＝1，∴S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝52.4．(文)已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公式q ≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( ) A ．a 6＝b 6 B ．a 6>b 6 C ．a 6a 1a 11＝b 6.(理)(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [答案] A[解析] 由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，∴a 6·a 15≤(a 6＋a 152)2＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →＝( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1[答案] A[解析] 由S 29＝S 4000得到S n 关于n ＝29＋40002＝2014.5对称，故S n 的最大(或最小)值为S 2014＝S 2015，故a 2015＝0，OP →·OQ →＝2015＋a n ·a 2015＝2015＋a n ×0＝2015，故选A.6．(2013·江南十校联考)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A.2012－1B.2013－1C.2014－1D.2014＋1[答案] C[解析] 由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12 .∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2014－2013)＝2014－1. 二、填空题7．(文)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋d ＝q ，2(2＋3d )＝q 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，d ＝0，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝2.所以a n ＝2n ，b n ＝4n －1.若a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则满足2n ＝log α4n －1＋β，即2n ＝(n －1)log α4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4.(理)在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则公比q 为________．[答案] 3[解析] ∵a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|41＝(4＋42)－(1＋12)＝18，∴q 3＝a 4a 1＝27， ∴q ＝3.8．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．[答案] 78ar[解析] 依题意得，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋3ar ＋2ar ＋ar ＝12(12＋1)2ar ＝78ar 元．9．(文)已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为________．[答案]22[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2＝m 2n 可得m ＝2，n ＝4，∴e ＝n －m n＝22. (理)已知双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)的焦点在y 轴上，一条渐近线方程是y ＝2x ，其中数列{a n }是以4为首项的正项数列，则数列{a n }的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ， ∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1. 三、解答题10．(文)(2013·浙江萧山五校联考)已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x )＝2x ＋2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·a n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n . [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ， ∴S n ＝n 2＋2n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1，又a 1＝S 1＝3，适合上式，∴a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝(2n ＋1)·2n ，∴T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n ＋1)·2n ， ∴2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n ＋1)·2n ＋1，相减得－T n ＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2·4·(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，∴T n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.(理)已知函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝6x －2，∴a ＝3，b ＝－2，∵f (x )过原点，∴c ＝0，∴f (x )＝3x 2－2x .依题意得S n ＝3n 2－2n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式． ∴a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)∵a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n ，∴a n －1＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n 1(n ≥2)．相减得b n2n ＝6，∴b n ＝6·2n (n ≥2)．b 1＝2a 1＝2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，6·2n (n ≥2).∴T n ＝2＋6(22＋23＋…＋2n )＝3·2n ＋2－22.能力拓展提升一、选择题11．椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11000的等差数列，则n 的最大值为( )A ．2001B ．2000C ．1999D ．1998[答案] B[分析] 公差确定后，首项和末项之差越大，等差数列的项数就越多(即n 越大)，故P 1与P n 取长轴两端点时n 取最大值，可依据公差大于11000列不等式解． [解析] ∵|P n F |max ＝a ＋c ＝3，|P n F |min ＝a －c ＝1， d ＝a n －a 1n －1＝3－1n －1＞11000，n ∈N ，∴n max ＝2000，故选B.12．(文)数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1＝b 1，a 3＝b 3，a 7＝b 5，则b 11等于( )A ．a 63B ．a 36C ．a 31D ．a 13 [答案] A[解析] 设数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝a 1q 2，a 1＋6d ＝a 1q 4.得d ＝a 14(q 4－q 2)．∴a 1＋a 12(q 4－q 2)＝a 1q 2，∵q ≠1，∴q 2＝2，d ＝a 12，于是b 11＝a 1q 10＝32a 1.设32a 1＝a 1＋(n －1)·a 12，则n ＝63，∴b 11＝a 63.(理)(2013·河北教学质量监测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)(1a n ＋1)(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．λ>2B ．λ>3C ．λ<2D ．λ<3[答案] C[解析] 由已知可得1a n ＋1＝2a n ＋1，1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，1a 1＋1＝2≠0，则1a n ＋1＝2n ，b n ＋1＝2n (n －λ)，b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N *)．由b n ＋1>b n ，得2n (n －λ)>2n －1(n －1－λ)，即λ<n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2，故实数λ的取值范围为λ<2.13．(文)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )A.12B.23C.34D.45 [答案] C[解析] 循环过程为i ＝1<4→i ＝2，m ＝1，S ＝11×2； i ＝2<4→i ＝3，m ＝2，S ＝11×2＋12×3；i ＝3<4→i ＝4，m ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4；i ＝4<4不成立，输出S 的值．故S ＝11×2＋12×3＋13×4＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14 ＝1－14＝34.(理)已知数列{a n }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝511，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n －1C ．a n ＝2n ＋1D ．a n ＝2n －3[答案] B[解析] 由a i ＋1＝a i ＋2知数列{a n }是公差为2的等差数列，由M ＝1a i ai ＋1及S ＝S ＋M 知，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a i a i ＋1，由条件i ≤k 不满足时输出S 及输入k ＝5，输出S ＝511知，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…1a 5a 6＝12[(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…(1a 5－1a 6)]＝12(1a 1－1a 6)＝12(1a 1－1a 1＋10)＝5a 1(a 1＋10)＝511， ∵a 1>0，∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 二、填空题14．(2013·广东佛山一模)我们可以利用数列{a n }的递推公式，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．[答案] 28 640[解析] a 24＋a 25＝a 12＋25＝a 6＋25＝a 3＋25＝3＋25＝28. 5＝a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640.15．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，把数列{a n }的各项排列成如图所示的三角形数阵：2 22 23 24 25 26 27 28 29 210……记M (s ，t )表示该数阵中第s 行的第t 个数，则M (11,2)对应的数是________(用2n 的形式表示，n ∈N )．[答案] 257[解析] 由数阵的排列规律知，第m 行的最后一个数是数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋m ＝m (m ＋1)2项，且该行有m 项，由此可知第11行的第2个数是数列{a n }的第10×112＋2＝57项，对应的数是257.三、解答题16．(文)已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝⎛⎭⎫1，S 11，P 2⎝⎛⎭⎫2，S 22，…，P n ⎝⎛⎭⎫n ，S nn (n ∈N *)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd ＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d . ∴点P n ⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋x －12d 上． ∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．即dx －2y ＋2－d ＝0.(理)在等差数列{a n }中，设S n 为它的前n 项和，若S 15>0，S 16<0，且点A (3，a 3)与B (5，a 5)都在斜率为－2的直线l 上，(1)求a 1的取值范围；(2)指出S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中哪个值最大，并说明理由．[解析] (1)由已知可得a 5－a 35－3＝－2，则公差d ＝－2，∴⎩⎨⎧S 15＝15a 1＋15×142×d ＝15(a 1－14)>0，S16＝16a 1＋16×152×d ＝16(a 1－15)<0.∴14<a 1<15. (2)最大的值是S 8a 8，∵S 15＝15a 8>0，S 16＝8(a 8＋a 9)<0， ∴a 8>0，a 9<0，即S 8最大．又当1≤i ≤8时，S i a i >0；当9≤i ≤15时，S ia i <0，∵数列{a n }递减，∴S 1a 1≤S 2a 2≤…≤S 8a 8，S 8a 8≥S 9a 9≥…≥S 15a 15⇒S 8a 8最大．考纲要求能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．补充说明1．等比数列综合问题的解题思路在解答等差、等比数列综合问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果，既要掌握“通法”，又要注重“特法”．2．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，将数列拆为基本数列，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．3．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．4．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．备选习题1．设正项等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且T 10＝32，则1a 5＋1a 6的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3 [答案] B[解析] 由条件知，T 10＝a 1a 2…a 10＝(a 5a 6)5＝32，∵a n >0，∴a 5a 6＝2，∴1a 5＋1a 6＝12·a 5a 6·(1a 5＋1a 6)＝12(a 5＋a 6)≥12×2a 5a 6＝2，等号在a 5＝a 6＝2时成立． 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 6＋a 7>0是S 9≥S 3的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵S 9≥S 3⇔a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9≥0⇔3(a 6＋a 7)≥0⇔a 6＋a 7≥0，∴a 6＋a 7>0⇒a 6＋a 7≥0，但a 6＋a 7≥0⇒/ a 6＋a 7>0，故选A.3．已知数列{a n }、{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n ，则b 2014＝( )A.20132014B.20142013C.20142015D.20152014 [答案] C[解析] ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12，∵b n ＋1＝b n 1－a 2n ，∴b 2＝b 11－a 21＝23， ∴a 2＝13，b 3＝b 21－a 22＝34，a 3＝14，b 4＝b 31－a 23＝45，a 4＝15，…，观察可见a n＝1n ＋1，b n ＝n n ＋1，∴b 2014＝20142015，故选C.4．(2013·武汉调研)在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为a i ，j ，且满足a 1，j ＝2j －1，a i,1＝i ，a i ＋1，j ＋1＝a i ，j ＋a i ＋1，j (i ，j ∈N *)；又记第3行的3,5,8,13,22,39，…，为数列{b n }，则(1)(2)数列{b n }的通项公式为________． [答案] (1)129 (2)b n ＝2n －1＋n ＋1，n ∈N *5．已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n 为正偶数)且{a n }为等差数列，f (1)＝n 2，f (－1)＝n ，试比较f ⎝⎛⎭⎫12与3的大小，并证明你的结论．[解析] 由f (1)＝n 2，f (－1)＝n 得，a 1＝1，d ＝2.11 ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋5⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －1)· ⎝⎛⎭⎫12n ，两边同乘以12得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)⎝⎛⎭⎫12n ＋(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1，两式相减得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋2⎝⎛⎭⎫122＋2⎝⎛⎭⎫123＋…＋2⎝⎛⎭⎫12n －(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－(2n －1)12n ＋1. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝3－2n ＋32n<3.。

2015高考数学一轮课件：第6章常考题型强化练——数列

n＝2,3,4，…，设 bn＝ a2n1 ＋1，n＝1,2,3，…，则数列{bn}的通项
公式是________.
解析由题意，得对于任意的正整数n，bn＝a2n1 ＋1，
∴bn＋1＝ a2n＋1，
又 a2n ＋1＝(
2a2n
2
＋1)＋1＝2( a2n1 ＋1)＝2bn，
∴bn＋1＝2bn，
第二十页，编辑于星期五：十三点四十八分。
解析当 n＝1 时，2a1＝S1＋1，得 a1＝1，
当 n≥2 时，2(an－an－1)＝Sn－Sn－1＝an，所以aan－n 1＝2，所以 an＝2n－1，
又因为 a1＝1 适合上式，所以 an＝2n－1，所以 a2n＝4n－1，
所以数列{a2n}是以 a21＝1 为首项，以 4 为公比的等比数列，所以 a21＋a22＋…＋a2n＝1×1－1－44n＝13(4n－1)，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝12(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n) ＝4n＋61－4＋n2＋n＝23×4n＋n2＋n－23.
第十四页，编辑于星期五：十三点四十八分。
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10.已知等差数列{an}的前三项为 a－1,4,2a，记前 n 项和为 Sn. (1)设 Sk＝2 550，求 a 和 k 的值； (2)设 bn＝Snn，求 b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1 的值.
数学粤（理）
常考题型强化练——数列
第一页，编辑于星期五：十三点四十八分。
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2015-2016高三一轮复习《数列》单元测试参考答案

2015-2016高三一轮复习《数列》单元测试参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C BDADBCADDCB二．填空题13.43n a n =- 14.6766 15，n a n 313-= 16.nS n ＝n 2a 1＋n 2n －12d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49. ∴nS n 的最小值为－49. 17解：（裂项相消法）（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

有条件可知a>0,故13q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。

故数列{a n }的通项式为a n =13n 。

（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-12112()(1)1n b n n n n =-=--++12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n -+18解：（累加法，错位相减法）（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+。

而所以数列{}的通项公式为。

（Ⅱ）由知 ①从而②①-②得。

即19.（累乘法）解：（1）由2243S a =得1223()4a a a +=，解得2133a a ==由3353S a =得12333()5a a a a ++=，解得3123()62a a a =+=（2）由题设知11a =当2n ≥时，有112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-，整理得111n n n a a n -+=-于是:1213213411,,,...,.121n n n a a a a a a a n -+====-以上各式相乘，整理得(1)2n n n a +=显然，当1n =时也满足上式，所以(1)2n n n a +=20.解析 (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，21233(222)2n n --=++++2(1)12n +-=12,a =n a 212n n a -=212n n n b na n -==⋅35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅211[(31)22]9n n S n +=-+当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2＝1＋1－－12n －11－－12＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．21解；方法一：由已知得1112+=+=λλa a ，121)11(1)(2213++=+++=++=λλλλλa a a因为3,2,321+a a a 为等差数列{b n }的前三项，所以34312++=a a a 即：3121)1(42++++=+λλλ解得1=λ11+=∴+n n S a2≥n ，11+=-n n S a 以上两式相减得：nn n a a a 21=-+，即21=+n n a a检验：2,21,11221==+==a a a a λ 所以，{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，12-=n n a 又因为32,11211=-===a a d a b所以{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，23-=n b n方法二：11+=+n n S a λ ，)2(11≥+=-n S a n n λ 两式相减得n n n a a a λ=-+1，即)1(11-≠+=+λλnn a a 又因为λ+==1,121a a ，λ+=∴112a a所以，{a n }是以1为首项，λ+1为公比的等比数列23)1(λ+=∴a因为3,2,321+a a a 为等差数列{b n }的前三项，3)1(1)1(42+++=+λλ解得1=λ所以，12-=n n a ，23-=n b n（2）（略）52)53(+-=n n n S22.(Ⅰ)由题设，，两式相减，由于，所以 …………6分（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；证明时，{}为等差数列：由知数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列令则，∴ 数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列令则，∴ ∴（），因此，存在存在，使得{}为等差数列.11n n n a a S λ+=-1211n n n a a S λ+++=-()121n n n n a a a a λ+++-=0n a ≠2n n a a λ+-=1a 1211a a S λ=-211a λ=-31a λ=+n a 123,,a a a 1322a a a +=4λ=4λ=n a 24n n a a +-={}21m a -2143m a m -=-21,n m =-12n m +=21n a n =-(21)n m =-{}2m a 241m a m =-2,n m =2nm =21n a n =-(2)n m =21n a n =-*n N ∈12n n a a +-=4λ=n a。

高考数学一轮复习第六章《数列》精编配套试题(含解析)文新人教A版

3．(2013·山东威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)＝12n(n＋1)(2n＋1)t，但如果年产量超过 150t，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )
[解析] 因为 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，所以 a27＝a3a9，又因为公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得 a1 ＝20，通项公式为 an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，所以 S10＝ 10a12＋a10＝5×(20＋2)＝110，故选择 D.
(文)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an}的前 n 项和，n∈N*，则 S10 的值为( )
A．－110 B．－90 C．90 D．110
[答案] D
[分析] 由 a7 是 a3 与 a9 的等比中项及等差数列{an}的公差为－2，可得关于 a1 的方程，求出 a1，再由求和公式可求 S10.
走向高考·数学
人教B版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮吾将四节数列的综合问题与数列的应用
基础梳理导学
3 规范答题样板
高频考点通关
4 课后强化作业
基础梳理导学
夯实基础稳固根基现实生活中涉及到存贷利息、企业股金、产品利润、人口增长、产量增加、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常与数列有关，需考虑用数列的知识来加以解决．
已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公比 q≠1，
考点自测把脉弱点 1．(2013·六安二模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n－2， n∈N*，则( ) A．{an}是递增的等比数列 B．{an}是递增数列，但不是等比数列 C．{an}是递减的等比数列 D．{an}不是等比数列，也不单调

高考数学一轮复习第六章数列综合检测文新人教A版

高考数学一轮复习第六章数列综合检测文新人教A 版（120分钟，150分）一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.等差数列{}n a 中，155=a ，则8642a a a a +++的值为（） A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 【解析】C. 8642a a a a +++.6045==a2.等比数列{}n a 的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{}n a 的首项为（）A. 2B. 4C. 6D. 8 【解析】C. 6060)(31424=+⇒=+-a a a a S ，∴.6,313142==++=a a a a a q3.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，492-=n a n ，则n S 达到最小值时，n 的值为（） A. 12 B. 13 C. 24 D. 25 【解析】C. 22124)24(2)(--=+=n a a n S n n ，∴24=n 时，n S 达到最小值. 4.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，122221-++++=n n a ，则n S 的值为（）A. 12-nB. 121--nC. 22--n nD. 221--+n n【解析】D. 12222112-=++++=-nn n a ，∴=n S 221--+n n5.等比数列{}n a 中，2321=++a a a ，4654=++a a a ，则=++121110a a a （） A. 32 B. 16 C. 12 D. 8【解析】B. 由题意，得 23=q ，=++121110a a a .16)(6654=++q a a a6.数列{}n a 中，11++=n n a n ，若前n 项和9=n S ，则项数n 等于（）A. 96B. 97C. 98D. 99 【解析】D. n n n n a n -+=++=111，得 .99911=⇒=-+=n n S n7.某工厂去年的产值为P ，计划在5年内每年比上一年产值增长10％，则从今年起5年内该工厂的总产值为（）A.P )11.1(115- B.P )11.1(114- C.P )11.1(105- D.P )11.1(104-【解析】A.8.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，21=a ，若数列{}n a +1也是等比数列，则n S 等于（）A. n 2B. n 3C. 221-+nD. 13-n【解析】A. 数列{}n a +1是等比数列，∴1)21(3)21(22=⇒+=+q q q ，.2n S n = 二、填空题：(本大题共7小题，其中13—15小题是选做题；每小题5分，共30分)9.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，,52n n S n +=则=n a .【解析】42+n .利用).2(1≥-=-n S S a n n n10.在等差数列{}n a 中，0≠n a ，且431,,a a a 成等比数列，则其公比=q .【解析】1或21.由431,,a a a 成等比数列，得)0()(1311221≠⋅=a q a a q a ，=q 1或21. 11.已知4个实数1,,,921--a a 成等差数列，5个实数1,,,,9321--b b b 成等比数列，则)(122a a b -⋅ .【解析】8-. 1,,,921--a a 成等差数列，∴3814)9(112=----=-a a1,,,,9321--b b b 成等比数列，∴32-=b （32-=b 不合）∴8)(122-=-⋅a a b .12.已知等比数列{}n a 中，991,,0a a a n >为016102=+-x x 的两个根，则=⋅⋅605040a a a .【解析】64.选做题（从13题、14题、15题任选2题）13.设数列{}n a 中，21=a ，))(1(1++∈++=N n n a a n n ，则{}n a 的通项=n a . 【解析】121212++n n . 14.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则=++++13221n n a a a a a a . 【解析】).411(332n -由41252==a a ，，得公比21=q ，41=a ，n n a -=32∴=+++=+++-+)(1222113221n n n q q q a a a a a a a ).411(332n -15.对正整数n ，设曲线)1(x x y n-=在2=x 处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 的前n 项和=n S . 【解析】.221-+n 1)1(+-=-=n nnxx x x y ，n n x n nxy )1(1+-='-，122)2(-=⋅+-='n x n y ，当2=x 时，n y 2-=，切线：)2(2)2(21-⋅+-=+-x n y n n令0=x ，得 nn n a 2)1(+=，∴nn n a 21=+，∴.2221)21(21-=--=+n n n S 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. (13分)已知等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，155,7209==S a ，求：11a 及10S . 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+==+=155190207812019d a S d a a （4分）解得，,21,31==d a （8分） ∴ 82110311=⨯+=a ，2105219102131010=⨯⨯⨯+⨯=S . （13分） 17. (12分)已知等比数列{}n a 各项为正数，n S 是其前n 项和，且,3451=+a a 6442=⋅a a . 求{}n a 的公比q 及n S .【解析】数列{}n a 是等比数列，∴645142=⋅=⋅a a a a ，（2分）又 ,3451=+a a ∴ 32,251==a a 或2,3251==a a ，（4分）由0>n a ，当32,251==a a 时，nn S q 2,2==，（8分）当2,3251==a a 时，4)21(,21+==n n S q （12分） 18. (14分)已知：公差不为零的等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且421,,S S S 成等比数列.⑴求数列421,,S S S 的公比q ；⑵若42=S ，求等差数列{}n a 的通项公式.【解析】⑴设等差数列{}n a 的公差为d ，则4122S S S ⋅= ，即)64()2(1121d a a d a +=+（2分）0≠d ，∴12a d =，（5分） ∴421112=+==a da S S q （7分）⑵由⑴知，12a d =， ① 42412=+⇒=d a S ② （9分）由①②解得，2,11==d a ，∴12)1(21-=-+=n n a n . （14分） 19.（13分）（2011广雅中学质检一）已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T b b b =，且1n T =，求n 的值.【解析】解：⑴设数列{}n a 的公差为d ，则11202828a d a d +=-⎧⎨+=-⎩2分，解得1222a d =-⎧⎨=⎩4分222(1)224n a n n ∴=-+-=-6分⑵2242log 2242n n n b n b -=-∴=8分2(12)24(1)241222n nn n nn n T b b b +++-+-∴===10分令(1)240n n n +-=，得23n =12分∴当23n =时，1n T =13分20. (14分)（2011年金山中学三模）数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足22 (2)21n n n S a n S =≥-.⑴求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶设存在正数k ，使()()()12111n S S S +++≥+∈∀N n 都成立，求k 的最大值. 【解析】⑴因为2n ≥时，2112 21n n n n n n n S a S S S S S --=-∴-=-得 112n n n n S S S S ---=⋅由题意 0 (2)n S n ≠≥ ()111 2 2n n n S S -∴-=≥ 又111S a == 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以111S =为首项，2为公差的等差数列. （4分） ⑵由⑴有11(1)221n n n S =+-⨯=- ()1 21n S n N n *∴=∈-2n ∴≥时，1112212(1)1(21)(23)n n n a S S n n n n -=-=-=------ 又111a S == 1 (1)2(2)(21)(23)n n a n n n =⎧⎪∴=⎨-≥⎪--⎩（8分） ⑶ 设111()1S S S F n +++=+则(1)1()F n F n +===> ()Fn ∴在n N *∈上递增故使()F n k ≥恒成立，只需min ()k F n ≤.又min ()(1)F n F==又0k > 0k ∴<≤所以，k .（14分） 21. (14分) （2010广雅中学•节选）已知数列{}n a 满足113a =，279a =，214133n n n a a a ++=-*()n ∈N . ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵求数列{}n na 的前n 项和n S ；【解析】⑴方法一：由214133n n n a a a ++=-，得2111133n n n n a a a a +++-=-， ∴数列113n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是常数列，121117112339333n n a a a a +-=-=-⨯=，即11233n n a a +=+，得111(1)3n n a a +-=-.∴数列{}1n a -是首项为1213a -=-，公比为13的等比数列，∴1211()()33n n a --=-⋅，故数列{}n a 的通项公式为213n n a =-. …………7分方法二：由214133n n n a a a ++=-，得2111()3n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}1n n a a +-是首项为21714939a a -=-=，公比为13的等比数列，∴1141()93n n n a a -+-=⋅.∴2121321144141()()()()399393n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++⋅++⋅1141(1)1121293(1)1(2)13333313n n n n ---=+=+-=-≥- （*）当1n =时，113a =也适合（*），故数列{}n a 的通项公式为213n n a =-. …………7分方法三：由214133n n n a a a ++=-，得2111133n n n n a a a a +++-=-，2111()3n n n n a a a a +++-=-.∴113n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是常数列，{}1n n a a +-是首项为21714939a a -=-=，公比为13的等比数列.∴121117112339333n n a a a a +-=-=-⨯=，且1141()93n n n a a -+-=⋅.由上式联立消去1n a +，解得：213n n a =-为数列{}n a 的通项公式. ………7分⑵解：2(1)233n n n nna n n =-=-⋅.设231233333n n n T =++++， ① 则 13n T =2311213333nn n n +-+++. ② ①-②得：23121111333333n n n n T +=++++-1111(1)123331322313n n n n n ++-+=-=-⋅-， ∴323443n nn T +=-⋅. 故2(1)323(3)323(123)2222323n n n nnn n n n n n S n T +++-⋅++=++++-=-+=⋅⋅.……14分。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习数列阶段性测试题六新人教A版 (2)

数列一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 100<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51(理)(2014·浙江台州中学期中)公差不为0的等差数列{a n }的前21项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．232．(2014·浙江杜桥中学期中)已知等比数列{a n }中，a 3＝16，a 4＝8，则a 8＝( )A ．128B ．64 C.14 D.123．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)已知{a n }是等比数列，对任意n ∈N *，a n >0恒成立，且a 1a 3＋2a 2a 5＋a 4a 6＝36，则a 2＋a 5等于( )A ．36B ．±6C ．－6D ．64．(2014·抚顺市六校联合体期中)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9的值等于( )A ．54B ．45C ．36D ．275．(2014·哈六中期中)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝2563，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 13＝83，则log 2(a 6a 8)的值为( ) A ．4 B ．5 C ．16 D ．326．(2014·山东省德州市期中)已知{a n }是首项为1的等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，且S 5＝a 13，则数列{1a n a n ＋1}的前五项和为( ) A.1011 B.511 C.45 D.257．(2014·北京海淀期中)已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n (3n －13)，则数列的前n 项和S n 的最小值是( )A ．S 3B ．S 4C ．S 5D ．S 68．设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，a 2＝1，前6项的方差为353，则a 3S 3的值为( )A ．－9B ．3C ．±9D ．99．(2014·浙江台州中学期中)已知数列{a n }是1为首项、2为公差的等差数列，{b n }是1为首项、2为公比的等比数列．设c n ＝ab n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n (n ∈N *)，则当T n ＞2013时，n 的最小值是( )A ．7B ．9C ．10D ．1110．(文)(2014·宝鸡市质检)已知一次函数f (x )＝kx ＋b 的图象经过点P (1,2)和Q (－2，－4)，令a n ＝f (n )f (n ＋1)，n ∈N *，记数列{1a n }的前n 项和为S n ，当S n ＝625时，n 的值等于( ) A ．24 B ．25 C ．23 D ．26(理)(2014·成都七中模拟)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋9n的最小值为( ) A.83 B.114 C.145 D.17611．(文)(2014·山西曲沃中学期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6).(a >0，a ≠1)，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[7,8)B ．(1,8)C ．(4,8)D ．(4,7)(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．6412．(2014·海南省文昌市检测)已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2011的值为( ) A.20102011 B.20092010 C.20112012 D.20122013二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2014·北京海淀期中)已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________.14．(2014·北京市海淀区期末)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－2，a 2＝b 2＝4，则满足a n ＝b n 的n 的所有取值构成的集合是________．15．(文)(2014·三亚市一中月考)设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________.(理)(2014·浙江省五校联考)在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝158，a 6a 7＝－98，则1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝________. 16．(文)(2014·浙北名校联盟联考)已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a 1>0，S 7＝S10，则使S n取到最大值的n为________．(理)(2014·鄂南高中、孝感高中联考)已知数列{a n}，若点(n，a n)(n∈N*)在直线y－3＝k(x －6)上，则数列{a n}的前11项和S11＝________.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2014·三亚市一中月考)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.(理)(2014·北京东城区联考)在公差不为0的等差数列{a n}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和．18．(本小题满分12分)(文)(2014·北京朝阳区期中)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，且a3＋a6＝4，S5＝－5.(1)求a n；(2)若T n＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|，求T5的值和T n的表达式．(理)(2014·安徽程集中学期中)S n表示等差数列{a n}的前n项的和，且S4＝S9，a1＝－12.(1)求数列的通项a n及S n；(2)求和T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.19．(本小题满分12分)(文)(2014·山东省德州市期中)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n >0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求T n .(理)(2014·辽宁师大附中期中)已知等比数列{a n }中，公比q ∈(0,1)，a 2＋a 4＝54，a 1a 5＝14，设b n ＝12na n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和S n .20．(本小题满分12分)(2014·浙北名校联盟联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·log 2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .22．(本小题满分14分)(文)(2014·长安一中质检)已知{a n }为等比数列，a 1＝2，a 3＝18，{b n }是等差数列，b 1＝2，b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝a 1＋a 2＋a 3>20.(1)求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)设P n ＝b 1＋b 4＋b 7＋…＋b 3n －2，Q n ＝b 10＋b 12＋b 14＋…＋b 2n ＋8，其中n ∈N ＋，试比较P n 与Q n 的大小，并加以证明．。

2015高考数学(人教A版,理科)大一轮总复习滚动检测 6套

解析：由已知得 g(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)， ∴g(x)的图象与 x 轴的交点坐标为(－2，0)，(1，0)，且－2 和 1 是函数 f(x)的极值点．故选 D. 答案：D
x，x≤0， 10． (2014 山东省青岛市高三模拟)已知函数 f(x)＝ 2 若函数 g(x)＝f(x)－m 有 x －x，x>0，
)
1－ln x，x>1，解析：依题意得 f(x)＝sgn(ln x)－ln x＝0，x＝1，－1－ln x，0<x<1. 1 令 f(x)＝0 得 x＝e，1，，所以函数有 3 个零点． e 故选 C. 答案：C 5．设集合 A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若 A⊆B，则实数 a，b 必满足( ) B．|a＋b|≥3 D．|a－b|≥3
A．|a＋b|≤3 C．|a－b|≤3
解析：由题意可得 A＝{x|a－1＜x＜a＋1}，对集合 B 有 x＜b－2 或 x＞b＋2，因为 A⊆ B，所以有 b－2≥a＋1 或 b＋2≤a－1，解得 a－b≥3 或 a－b≤－3，即|a－b|≥3.故选 D. 答案：D 6．(2014 安徽省蚌埠市高三质检)对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列说法正确的是( )
A．逆命题为“周期函数不是单调函数” B．否命题“单调函数是周期函数” C．逆否命题“周期函数是单调函数” D．以上三者都不正确解析：原命题可改写为“若一个函数是单调函数，则它不是周期函数”根据四种命题的构成可得，选项 A、B、C 均不正确．故选 D. 答案：D 7．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间 y 与储藏温度 x 的关系为指数型函数 y＝kax，若牛奶在 0 ℃的冰箱中，保鲜时间约为 100 h，在 5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是 80 h，那么在 10 ℃时的保鲜时间是( A．49 h C．64 h

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第六章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2013·茂名月考)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是 ( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．642．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0 (n ∈N *，n ≥2)，则S 2 010等( ) A ．0 B ．2 C ．2 009 D ．4 0203．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于 ( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56 4．(2013·南阳模拟)等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则 ( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝15．(2013·东北师大附中高三月考)由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1给出的数列{a n }的第34项( )A.34103 B ．100 C.1100 D.1104 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于 ( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．67．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于 ( )A ．13B ．10C ．9D ．6 8．(2013·福建)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于 ( )A ．6B ．7C ．8D ．99．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．(2013·衡水月考)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年 11．在△ABC 中，tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则B 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3B.⎝⎛⎦⎤0，π6∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6C.⎣⎡⎭⎫π6，π2D.⎣⎡⎭⎫π3，π2 12．(2013·安徽)设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是 ( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )213．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n ＝________.14．(2013·海口调研)在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.15．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是________．16．(2013·哈师大附中高三月考)已知S n 是等差数列{a n } (n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11.其中正确的命题是________．(将所有正确的命题序号填在横线上) 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(2013·德州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，S 10＝190. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设p ，q ∈N *，试判断a p ·a q 是否仍为数列{a n }中的项并说明理由．18．(12分)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求数列{a n }的通项公式．19．(12分)(2013·武汉月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且向量a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1na n 的前n 项和T n .20．(12分)(2013·唐山月考)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n ) (n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)设a 为常数，求证：{a n }成等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n .21．(12分)(2013·周口月考)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．22．(12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2013年底，将当地沙漠绿化了40%，从2013年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)答案 1．A [由{a n }是等差数列知a 7＋a 9＝2a 8＝16，∴a 8＝8.又a 4＝1，∴a 12＝2a 8－a 4＝15.]2．D [a 2n ＝a n －1＋a n ＋1＝2a n ，a n ≠0，∴a n ＝2. ∴S n ＝2n ，S 2 010＝2×2 010＝4 020.] 3．A [当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5， ∴a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋8(1＋15)2＝2＋64＝66.]4．B [因为{a n }是等比数列，所以a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，代入已知式T 5＝1，得a 53＝1，所以a 3＝1.]5．C [由a n ＋1＝a n 3a n ＋1知，1a n ＋1＝1a n＋3，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，公差为3的等差数列． ∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2. ∴a n ＝13n －2，a 34＝13×34－2＝1100.]6．B [∵S n ＝n 2－9n ，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10， a 1＝S 1＝－8适合上式， ∴a n ＝2n －10 (n ∈N *)，∴5<2k －10<8，得7.5<k <9.∴k ＝8.]7．D [∵a n ＝1－12n ，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－18＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n －12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n －1＋12n .∵S n ＝32164，∴n －1＋12n ＝32164＝5＋164.∴n ＝6.]8．A [设该数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6， ∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11， ∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值．]9．B [由表格知，第三列为首项为4，第二项为2的等比数列，∴x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，52，故该数列所成等比数列的公比为12，∴y ＝5×⎝⎛⎭⎫123＝58，同理z ＝6×⎝⎛⎭⎫124＝38.故x ＋y ＋z ＝2.] 10．C [由题意知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n－1)＝12n (n ＋1)·(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2 (n ∈N *)，令3n 2≤150，∴1≤n ≤52，∴1≤n ≤7.故生产期限最大为7年．]11．D [由已知得2tan B ＝tan A ＋tan C >0(显然tan B ≠0，若tan B <0，因为tan A >0且tan C >0，tan A ＋tan C >0，这与tan B <0矛盾)，又tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－2tan B1－tan A tan C≠0，所以tan A tan C ＝3.又∵tan A ＋tan C ≥2tan A tan C ＝23， ∴tan B ≥3，∵B ∈(0，π)∴B 的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.]12．D [由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z . 又∵{a n }是等比数列，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列， ∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )，即Y 2－2XY ＋X 2＝ZX －XY ， ∴Y 2－XY ＝ZX －X 2，即Y (Y －X )＝X (Z －X )．] 13．624解析 a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .∴(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝24， ∴n ＋1＝25，∴n ＝624. 14．52解析 ∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52.15．34 950解析由“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列，前99组数的个数共有(1＋99)×992＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950.16．①②解析由S 6>S 7得a 7<0，由S 6>S 5得a 6>0，由S 7>S 5得a 6＋a 7>0.因为d ＝a 7－a 6，∴d <0；S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝(a 1＋a 11)＋(a 2＋a 10)＋…＋a 6＝11a 6>0，S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝(a 1＋a 12)＋(a 2＋a 11)＋…＋(a 6＋a 7)＝6(a 6＋a 7)>0；∵a 6>0，a 7<0，∴{S n }中S 6最大．故正确的命题为①②.17．解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝810a 1＋10×92d ＝190，………………………………………………………………(4分) 解得a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.………………………………………………………(6分) (2)a p a q ＝(4p －3)(4q －3)＝16pq －12(p ＋q )＋9 ＝4[4pq －3(p ＋q )＋3]－3，∵4pq －3(p ＋q )＋3∈N *，………………………………………………………………(8分) ∴a p ·a q 为数列{a n }中的项．……………………………………………………………(10分) 18．解 ∵a 3＋a 13＝2a 8，a 3＋a 8＋a 13＝12， ∴a 8＝4，…………………………………………………………………………………(2分)则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 13＝8，a 3a 13＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a 13＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7，a 13＝1.…………………………………………………………(7分)由a 3＝1，a 13＝7，可知d ＝a 13－a 313－3＝7－110＝35.故a n ＝a 3＋(n －3)·35＝35n －45；……………………………………………………………(9分)由a 3＝7，a 13＝1，可知d ＝a 13－a 313－3＝1－710＝－35.故a n ＝a 3＋(n －3)·⎝⎛⎭⎫－35 ＝－35n ＋445.……………………………………………………………………………(11分)综上可得，a n ＝35n －45，或a n ＝－35n ＋445.……………………………………………(12分)19．(1)证明 ∵a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线，∴n (n ＋3)－4S n ＝0，∴S n ＝n (n ＋3)4.……………………………………………………(3分)∴a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋12，……………………………………………………(5分)又a 1＝1满足此式，∴a n ＝n ＋12.………………………………………………………(6分)∴a n ＋1－a n ＝12为常数，∴数列{a n }为首项为1，公差为12的等差数列．………………………………………(7分)(2)解 ∵1na n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，…………………………………………………(9分) ∴T n ＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n.＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋2⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1.……………………………………(12分)20．(1)证明 f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，…………………………………………(2分)即log a a n ＝2n ＋2，可得a n ＝a 2n ＋2.∴a na n －1＝a 2n ＋2a 2(n －1)＋2＝a 2n ＋2a 2n ＝a 2 (n ≥2)为定值．………………………………………………………………………(4分)∴{a n }为以a 2为公比的等比数列．……………………………………………………(5分)(2)解 b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a 2n ＋2＝(2n ＋2)a 2n ＋2.…………………………………………………………………………(7分)当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2)(2)2n ＋2＝(n ＋1)2n ＋2.S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，①2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3，② ①－②，得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3 …………………………………………(9分)＝16＋24(1－2n －1)1－2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋2n ＋3－24－n ·2n ＋3－2n ＋3＝－n ·2n ＋3.∴S n ＝n ·2n ＋3.……………………………………………………………………………(12分)21．解 (1)已知得a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)．②由①－②，得2n －1a n ＝8.∴a n ＝24－n .……………………………………………………(3分)在①中，令n ＝1，得a 1＝8＝24－1，∴a n ＝24－n (n ∈N *)．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2.∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6.…………………………………………………(5分) ∴b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．…………………………………………………………………(7分)(2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k ，单调递增，且f (4)＝1.∴k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋4－24－k ≥1.…………………………………………………(10分) 又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，…………………………………………………………………(11分)∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．………………………………………………(12分)22．解设该地区总面积为1,2013年底绿化面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2013年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.…(3分)依题意a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部分是新绿化的12%·b n ，∴a n ＋1＝92%·a n ＋12%(1－a n ) ＝45a n ＋325，………………………………………………………………………………(6分) 即a n ＋1－35＝45(a n －35)．∴{a n －35}是以－15为首项，45为公比的等比数列，则a n ＋1＝35－15·(45)n.………………………………………………………………………(9分)∵a n ＋1>50%，∴35－15·(45)n >12.∴(45)n <12，n >451log 2＝lg 21－3lg 2≈3.……………………………………………………(11分) 则当n ≥4时，不等式(45)n <12恒成立．∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.…………………………………………(12分)。