必修一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷
高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习与测试(含答案)
高中数学必修一第二章一、单选题1．已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则（ ）A．ab≤12B．ab≥12C．a2+b2≥2D．a2+b2≤32．已知正数x，y满足x+1y=1，则1x+4y的最小值为（ ）A．9B．10C．6D．83．在实数集上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣1，1）B．（0，2）C．(―12，32)D．(―32，12)4．已知1≤a+b≤5，―1≤a―b≤3，则3a―2b的取值范围是（ ）A．[―6，14]B．[―2，14]C．[―2，10]D．[―6，10] 5．若关于x的不等式x2―4x―2―a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（ ）A．a<―2B．a>―2C．a>―6D．a<―6 6．若x=5―2，y=2―3，则x，y满足（ ）A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x=y7．正数a,b满足9a +1b=2，若a+b≥x2+2x对任意正数a,b恒成立，则实数x的取值范围是（ ）A．[―4,2]B．[―2,4]C．(―∞,―4]∪[2,+∞)D．(―∞,―2]∪[4,+∞)8．设正数a，b满足b―a<2，若关于x的不等式(a2―4)x2+4bx―b2<0的解集中的整数解恰有4个，则a的取值范围是（ ）A．(2，3)B．(3，4)C．(2，4)D．(4，5)二、多选题9．下列函数最小值为2的是（ ）A．y=x2+1x2B．y=x2+3+1x2+3C．y=2x+12x D．y=x2+1x，x>010．已知a>0，b>0.若4a+b=1，则（ ）A．14a +1b的最小值为9B．1a+1b的最小值为9C．(4a+1)(b+1)的最大值为94D．(a+1)(b+1)的最大值为9411．已知a>0，b>0，则下列式子一定成立的有（ ）A．2aba+b ≤ab B．a2+b22≤a+b2C．1a +1b≤4a+bD．a2+b22≤a2+b2a+b12．已知正数a，b满足a(a+b)=1，下列结论中正确的是（ ）A．a2+b2的最小值为22―2B．2a+b的最小值为2C．1a +1b的最小值为332D．a―b的最大值为1三、填空题13．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|―1<x<13}，则ab的值是 ．14．已知x,y为正实数，且x+4y=1x+1y=m，则m的最小值为 .15．已知实数a,b满足ab>0，则aa+b―aa+2b的最大值为 16．已知实数x，y，z满足：{x+y+z=3x2+y2+z2=36，则|x|+|y|+|z|的最大值为 .四、解答题17．已知集合A={x|―2<x<5}，B={x|m+1≤x≤2m―1}．（1）当m=3时，求（∁R A）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．18．求证下列问题：（1）已知a，b，c均为正数，求证：bca +acb+abc≥a+b+c.（2）已知xy>0，求证：1x>1y的充要条件是x<y.19．已知不等式组{―x<2，x2+7x―8<0的解集为A，集合B={x|a―5<x<3a―5}．（1）求A；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．20．已知函数g(x)=k2x+k，ℎ(x)=x2―2(k2―k+1)x+4．（1）当k=1时，求函数y=ℎ(x)g(x)，x∈(―∞,―1)的最大值；（2）令f(x)={g(x),x>0ℎ(x),x<0，求证：对任意给定的非零实数x1，存在惟一的实数x2(x1≠x2)使得f(x1)=f(x2)成立的充要条件是k=4．21．若函数f(x)=a x2―(2a+1)x+2.（1）讨论f(x)>0的解集；（2）若a=1时，总∃x∈[13，1]，对∀m∈[1，4]，使得f(1x)+3―2mx≤b2―2b―2恒成立，求实数b的取值范围.22．已知函数f(x)=2|x+1|―|x―a|(a∈R)．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x)⩾x+2的解集；（Ⅱ）设函数g(x)=f(x)+3|x―a|，当a=1时，函数g(x)的最小值为t，且2m +12n=t(m>0,n>0)，求m+n的最小值．答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】A,C 10．【答案】B,C 11．【答案】A,D 13．【答案】614．【答案】315．【答案】3―2216．【答案】1+22217．【答案】（1）解：∵集合A ={x|―2<x <5}，B ={x|m +1≤x ≤2m ―1}．∴∁R A ={x|x ≤―2或x ≥5}，m =3时，B ={x|4≤x ≤5}，∴（∁R A ）∩B ={5}（2）解：若A ∪B =A ，则B ⊆A ，当B =∅时，m +1>2m ―1，解得m <2，成立；当B ≠∅时，{m +1≤2m ―1m +1>―22m ―1<5，解得2≤m <3，综上实数m 的取值范围为（―∞，3）18．【答案】（1）证明：bc a +ac b +ab c =2bc a +2ac b +2ab c 2=bc a +ac b +bc a +ab c +ac b +ab c 2≥2bc a ⋅ac b+2bc a ⋅ab c+2ac b ⋅ab c=a +b +c ，当且仅当bc a =ac b ，bc a=ab c ，acb =abc ，即a =b =c 时等号成立.（2）证明：依题意xy >0，则{x >0y >0或{x <0y <0，所以：1x >1y ⇔1x ―1y =y ―x xy >0⇔y ―x >0⇔x <y ，所以：1x>1y 的充要条件是x <y .19．【答案】（1）解：由{―x <2x 2+7x ―8<0，得{x >―2―8<x <1，得―2<x <1，所以A ={x |―2<x <1}．（2）解：由A ∪B =B ，得A ⊆B ，所以{a ―5≤―23a ―5≥1，得2≤a ≤3，故a 的取值范围为[2，3]．20．【答案】（1）解：当 k =1 时，函数 y =x 2―2x +4x +1， x ∈(―∞,―1) ，令 t =x +1<0 ，则 y =t +7t―4 ，此时 ―t >0 ，由 (―t )+(―7t )≥2(―t )×7―t =27 ，即 t +7t≤―27 ，当且仅当 t =―7 ，即 x =―7―1 时取等号，综上，当 x =―7―1 时， y 最大值是 ―27―4 ．（2）解：充分性：当 k =4 时， f (x )={16x +4,x >0x 2―26x +4,x <0 ， 当 x >0 时， y =16x +4 在 (0,+∞) 单调递增，且 y >4 ，当 x <0 时， y =x 2―26x +4 在 (―∞,0) 单调递减，且 y >4 ，若 x 1>0 ，则存在惟一的 x 2<0 ，使得 f (x 1)=f (x 2) ，同理 x 1<0 时也成立，必要性：当 x >0 时， y =k 2x +k ，当 k =0 时， f (x ) 在 (0,+∞) 上的值域为 {0} ，显然不符合题意，因此 k ≠0 ，当 x >0 时， f (x ) 在 f (x ) 的取值集合 A =(k ,+∞) ，x <0 ， f (x )=x 2―2(k 2―k +1)x +4 的对称轴 x =k 2―k +1>0 ， f (x ) 在 (―∞,0) 上递减， f (x )>f (0)=4 ，所以 f (x ) 的取值集合 B =(4,+∞) ，①若 x 1>0 ， f (x ) 且在 (0,+∞) 上单调递增，要使 f (x 1)=f (x 2) ，则 x 2<0 ，且 A ⊆B ，有 k ≥4 ．②若 x 1<0 ， f (x ) 且在 (―∞,0) 上单调递减，要使 f (x 1)=f (x 2) ，则 x 2>0 ，且 B ⊆A ，有 k ≤4 ．综上： k =4 ．21．【答案】（1）已知f (x )=a x 2―(2a +1)x +2，①当a =0时，f (x )=―x +2>0时，即x <2；②当a ≠0时，f (x )=a (x ―1a )(x ―2)，若a <0，f (x )>0，解得 1a <x <2，若0<a <12，f (x )>0，解得x <2或x >1a ，若a =12，f (x )>0，解得x ≠2，若a >12时，f (x )>0，解得x <1a 或x >2，综上所述：当a <0时，f (x )>0的解集为(1a ，2)；当a =0时，f (x )>0的解集为(―∞，2)；当0<a <12时，f (x )>0的解集为(―∞，2)∪(1a ，+∞)；当a =12时，f (x )>0的解集为(―∞，2)∪(2，+∞)；当a >12时，f (x )>0的解集为(―∞，1a )∪(2，+∞).（2）若a =1，则f (x )=x 2―3x +2，∴f (1x )+3―2m x =1x 2―2m x +2，令t =1x ，原题等价于∃t ∈[1，3]，对∀m ∈[1，4]使得t 2―2mt +2≤b 2―2b ―2恒成立，令g (m )=―2tm +t 2+2，∴g (m )是关于m 的减函数，∴对∀m ∈[1，4]，g (m )≤b 2―2b ―2恒成立，即b 2―2b ―2≥g (m )max =g (1)=t 2―2t +2，又∃t ∈[1，3]，b 2―2b ―2≥t 2―2t +2，即b 2―2b ―2≥(t 2―2t +2)min =12―2×1+2=1，故b 2―2b ―3=(b ―3)(b +1)≥0，解得b ≤―1或b ≥3.22．【答案】解：（Ⅰ）当 a =2 时， f (x )⩾x +2 化为 2|x +1|―|x ―2|≥x +2 ，当 x⩽―1 时，不等式化为 ―x ―4⩾x +2 ，解得 x⩽―3 ；当 ―1<x <2 时，不等式化为 3x⩾x +2 ，解得 1⩽x <2 ；当 x⩾2 时，不等式化为 x +4⩾x +2 ，解得 x⩾2 ，综上不等式 f (x )⩾x +2 的解集是 {x |x⩽―3或x⩾1}（Ⅱ）当 a =1 时， g (x )=2|x +1|+2|x ―1|⩾2|x +1+1―x |=4 ，当且仅当 (x +1)(x ―1)⩽0 ，即 ―1⩽x⩽1 时，等号成立．所以，函数 g (x ) 的最小值 t =4 ，所以 2m +12n =4 ， 12m +18n=1 ．m +n =(m +n )(12m +18n )=n 2m +m 8n +58⩾2n 2m ⋅m 8n +58=98 ，当且仅当 {12m +18n =1，n 2m =m 8n 即 {m =34，n =38时等号成立，所以 m +n 的最小值为 98．。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知a >0，b >0，a +b =1，则下列等式可能成立的是（ ） A ．221a b += B ．1ab = C ．212a b +=D ．2212a b -=2．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．163．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0B ．3C ．94D ．14．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．925．已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是（ ） A ．112B ．5C ．222+D ．32+6．当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤B ．8m <C ．8m ≥D ．8m >7．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．218．若实数,x y 满足0xy >，则的最大值为（ ） A ．22B ．22+C ．422+D ．422- 9．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3B ．4C ．5D ．610．若a ，b 为正实数，直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．32B ．98C ．94D ．411．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6B π=且1ABC S =△，则2a c ac a c+-+的最小值（ ） A ．12B ．2C ．14D ．4二、填空题13．对于实数m ，若两函数()f x ，()g x 满足：①[,)x m ∀∈+∞，()0f x <或()0<g x ；②(,]x m ∃∈-∞，()()0f x g x <，则称函数()f x 和()g x 互为“m 相异”函数.若2()1f x ax ax =+-和()1g x x =-互为“1相异”函数，则实数a 的取值范围是___________.14．已知正数,x y 满足10xy y -+=，则4y x+的最小值为___________． 15．已知函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________. 16．设函数4()f x x x=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.17．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是 ．18．若关于x 的不等式2410x x m -+->的区间[]1,4内有解，则实数m 的取值范围为______．19．设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值.20．已知函数3()3f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，则实数t 的取值范围__________．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(1)8f -=且(0)(4)3f f == （1）求()f x 的解析式；（2）若[],1x t t ∈+，试求()y f x =的最小值.22．已知a 、b 都是正实数，且.bb a a=- （1）求证:a >1； （2）求b 的最小值.23．已知命题p ：方程240x mx ++=无实数根：命题q ：不等式()2310x m x +-+>在x ∈R 上恒成立.（1）如果命题p 是假命题，请求出实数m 的取值范围；（2）如果命题p q ∨为真命题，且命题p q ∧为假命题，请求出实数m 的取值范围.24．解下列不等式： （1）2340x x -->； （2）122x x -≤+．25．已知二次函数()f x 满足()01f =，()()125f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）若[]3,1x ∈-，若()25f x m m ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.26．若关于x 的不等式（1－a ）x 2－4x ＋6<0的解集是x| x<－3或x> 1}． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据已知条件由2()2a b ab +≤可求出2212a b +≥，又由完全平方公式可得221a b +<，即可判断A 、B ；由已知条件可知01b <<，则2b b >，因此22212a b a b +>+≥，可判断C ；由平方差公式可得12a b -=，与1a b +=联立可求出满足条件的a 、b ，故D 可能成立.001a b a b >>+=，，2222211()21212()12()222a b a b a b ab ab +∴+=+-=-≥-⋅=-⨯=， 当且仅当12a b ==时等号成立， 又0ab >，222()2121b a b a ab a b +=+-=-<∴，22112a b ≤+<∴，则221a b +=不可能成立； 2211()()224a b ab ≤==+，当且仅当12a b ==时等号成立，故1ab =不可能成立；001a b a b >>+=，，，01b ∴<<，2b b ∴>，22212b a b a +>+≥∴（由A 可知），则212a b +=不可能成立； ()()2212a b a b a b a b -=+-=-=，联立112a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得31,44a b ==，满足条件，D 成立. 故选：D2．C解析：C 【分析】由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->， 所以()141414(1)511111111a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54,33b a ==时等号成立. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.3．D【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?xy xy x y zx xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.4．D解析：D 【分析】将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可． 【详解】0x ，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．C解析：C 【分析】将原式变形为()2211b a b b a b ab++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：()222111b a b b b a b ab ab+++⎛⎫+== ⎪⎝⎭)()222222222a abab b a ab ababab++++==≥=，当且仅当a =时取等号，即2a =1b =时等号成立，故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.6．A解析：A 【分析】 由题可得444444x x x x +=-++--，且40x ->，利用基本不等式解答即可． 【详解】解：∵4x >，∴40x ->，∴44444844x x x x +=-++≥=-- 当且仅当444x x -=-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立， ∴只需min484m x x ⎛⎫≤+= ⎪-⎝⎭． ∴m 的取值范围为：(8],-∞． 故选A ． 【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出444444x x x x +=-++--，属于一般题．7．A解析：A 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．8．D解析：D 【解析】试题分析：由实数,x y 满足0xy >，，设{2m x y n x y=+=+，解得2{x m ny n m =-=-，则2222224()424222x y m n n m n m n mx y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++，当且仅当2n mm n=，及2n m =时等号成立，所以的最大值为422-，故选D.考点：基本不等式的应用.9．C解析：C 【分析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．B解析：B 【分析】由两直线垂直求出23a b +=，再利用基本不等式求出ab 的最大值． 【详解】解：由直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直 所以22(23)0b a +-= 即23a b +=又a 、b 为正实数，所以2a b +≥即229224a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a 34=，b 32=时取“＝”；所以ab 的最大值为98． 故选：B 【点睛】本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选C ．【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.12．A解析：A 【分析】由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令24a c y a c +=-+，+a c t =，24t y t =-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6B π=且1ABC S =△，得1sin 126ac π=，解得4ac =， 所以2+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，即+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号， 所以224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则24t y t =-（4t ≥），而24t y t =-在[)4+∞，单调递增，所以24214442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c+-+的最小值为12. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据两个函数互为相异函数可得有恒成立且在上有解利用参变分离先讨论前者再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围【详解】因为当时当时当时结合互为相异函数故有恒成立且在上有解先考虑有恒成立则在 解析：(),4-∞-【分析】根据两个函数互为“1相异”函数可得[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解，利用参变分离先讨论前者，再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围. 【详解】因为当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当1x <时，()0g x <， 结合()(),f x g x 互为“1相异”函数，故[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解. 先考虑[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，则210ax ax 在[1,)+∞上恒成立，故2+1a x x<在[1,)+∞上恒成立， 因为22+x x ≥，故2+1102x x <≤，故0a ≤. 再考虑()0f x >在(),1-∞上有解，若0a =，则()10f x =-<，故()0f x >在(),1-∞上无解， 若0a <，()f x 的对称轴为12x =-，且开口向下，由()0f x >在(),1-∞上有解可得240a a ∆=+>， 故4a或0a >（舍）.故实数a 的取值范围是(),4-∞-， 故答案为：(),4-∞-. 【点睛】方法点睛：对于新定义背景下的函数性质的讨论，一般是先根据定义得到含参数的函数的性质，对于不等式的恒成立或有解问题，可优先考虑参变分离的方法，也可以结合函数图象的性质处理.14．9【分析】由已知条件得出将代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】因为正数满足所以即所以当且仅当即时等号成立故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条解析：9【分析】 由已知条件得出11x y +=，将代数式1x y +与4y x+相乘，展开后利用基本不等式可求得4y x+的最小值. 【详解】因为正数,x y 满足10xy y -+=， 所以1xy y +=，即11x y+=，所以4144()()559y x y xy x y x xy +=++=++≥+=， 当且仅当2xy =，即3y =，23x =时，等号成立. 故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】因为函数的定义域为即不等式恒成立需按二次项系数：为零与不为零分类讨论当系数不为零时只需让系数大于零且根的判别式小于零解此不等式组即可求出的取值范围【详解】∵函数的定义域为∴对于任意恒有①若则 解析：2(,)[2,)3-∞⋃+∞ 【分析】因为函数的定义域为R ，即不等式22(32)(2)10m m x m x -++-+>恒成立，需按二次项系数：232m m -+为零与不为零，分类讨论，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零，解此不等式组，即可求出m 的取值范围.【详解】∵ 函数()f x 的定义域为R ，∴ 对于任意x ∈R ，恒有22(32)(2)10m m x m x -++-+>，① 若2320m m -+=，则2m =或1，当1m =时，不等式即为101x x -+>⇒<，不符合题意，当2m =时，不等式即为10>，符合题意，∴ 2m =符合题意；② 若2320m m -+≠，由题意得()22232024(32)0m m m m m ⎧-+>⎪⎨∆=---+<⎪⎩， 解得：2m >或23m <； 综上可得，m 的取值范围是2m ≥或23m <． 故答案为：2(,)[2,)3-∞⋃+∞.【点睛】关键点睛：本题主要考查二次不等式的恒成立问题．讨论二次项系数为零与不为零，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零是解决本题的关键. 16．【分析】由题意可得在恒成立运用参数分离和讨论结合恒成立思想和不等式的解法即可得到所求范围【详解】函数对任意恒成立即有即有在恒成立当时由于不满足题意；当时由于可得解得或即有成立则的取值范围是故答案为： 解析：(,1)-∞-【分析】 由题意可得212ax a a<+在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围．【详解】 函数4()f x x x =-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x-+-<， 即有212ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭在[2，)+∞恒成立， 当0a >时，22121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意； 当0a <时，22121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 解得1a >或1a <-，即有1a <-成立．则a 的取值范围是(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．17．(-24)【分析】根据条件得到的范围然后与的范围相加得到的取值范围【详解】因为所以而所以故答案为【点睛】本题考查不等式的基本性质属于简单题 解析：(-2,4)【分析】根据条件，得到b -的范围，然后与a 的范围相加，得到-a b 的取值范围.【详解】因为21b -<<，所以12b -<-<而1a 2-<<所以24a b -<-<故答案为()2,4-.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于简单题.18．【分析】不等式在区间内有解等价于然后求出的值域即可【详解】不等式在区间内有解等价于因为函数在上单调递减在单调递增所以的值域为所以故答案为：【点睛】本题考查的是不等式存在性问题考查了学生对基本方法的掌 解析：(],1-∞【分析】不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，然后求出()24+1f x x x =-的值域即可.【详解】不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，因为函数()24+1f x x x =-在()1,2上单调递减，在()2,4单调递增，()()()12,23,41f f f =-=-=，所以()f x 的值域为[]31-，，所以1m ≤， 故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查的是不等式存在性问题，考查了学生对基本方法的掌握情况，属于中档题. 19．【分析】根据题中所给的式子结合已知条件将式子进行整理结合绝对值的意义以及基本不等式求得结果【详解】由已知有：当且仅当时等号成立即故答案为：【点睛】该题考查的是有关求最值的问题涉及到的知识点有基本不等解析：20202019-【分析】 根据题中所给的式子，结合已知条件，将式子进行整理，结合绝对值的意义以及基本不等式求得结果.【详解】由已知有：22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b++=+=++212020≥-+ 221140392202020202020=-+⨯=， 当且仅当0a <，22020a b a b=时，等号成立. 即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有基本不等式，属于简单题目. 20．【分析】代入函数解析式可得不等式等价于任意的实数恒成立利用判别式小于0即可求解【详解】不等式恒成立即恒成立整理得恒成立可知则任意的实数恒成立解得（舍去）或实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查一 解析：()4,+∞【分析】代入函数解析式可得不等式等价于223340x tx t 任意的实数x 恒成立，利用判别式小于0即可求解.【详解】 3()3f x x x =-，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，即()()3333x t x t x x t +-+>-+恒成立，整理得2233340tx t x t t 恒成立，可知0t >，则223340x tx t 任意的实数x 恒成立，2234340t t ，解得4t <-（舍去）或4t >， ∴实数t 的取值范围是()4,+∞.故答案为：()4,+∞.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立，属于基础题.三、解答题21．（1）2()43f x x x =-+；（2）2min243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩. 【分析】（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(1)8f -=、(0)(4)3f f ==列方程组即可求出,,a b c 得值进而可得()f x 的解析式；（2）由（1）知2()43f x x x =-+，对称轴为2x =，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解.【详解】（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为(1)8f -=，且(0)(4)3f f ==，则有813416433a b c a c b a b c c -+==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩， 于是二次函数解析式为：2()43f x x x =-+（2）由（1）知2()43f x x x =-+，对称轴为2x =，若2t ≥，则()f x 在[],1t t +上单调递增，所以2min ()()43f x f t t t ==-+； 若12t +≤，即1t ≤时，()f x 在[],1t t +上单调递减，所以22min ()(1)(1)4(1)32f x f t t t t t =+=+-++=-； 若21t t <<+，即12t <<时，2min ()(2)24231f x f ==-⨯+=-综上，2min243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩【点睛】 方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出()f x ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题，令()g x t =，解出x ，然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ，从而求得()f x ，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出()f x 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 22．无23．无24．无25．无26．无。
一元二次函数、方程和不等式(单元测试卷)(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
第二章一元二次函数、方程和不等式（单元测试卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a＞b，则下列结论正确的是( )A.ac2＞bc2B.a2＞b2C.|a|＞|b|D.a＋c＞b＋c2.若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A＜B或A＞BD.A＞B3.已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示是( )A.Error!B.Error!Error! D.Error!5.下列说法正确的是( )A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若1a＞1b，则a＜bC.若b＞c，则|a|b≥|a|cD.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d6.下列不等式中，正确的是( )A.a＋4a≥4 B.a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D.x2＋3x2≥237.不等式x＋61－x≥0的解集为( )A.{x|－6≤x≤1}B.{x|x≥1或x≤－6}C.{x|－6≤x＜1}D.{x|x＞1或x≤－6}8.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )A.{x|10≤x<16}B.{x|12≤x<18}C.{x|15<x<20}D.{x|10≤x<20}二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.若x＞y＞0，则下列不等式成立的是( )A.x2＞y2B.－x＞－yC.1x＜1yD.xy＜x＋1y＋110.已知实数a，b，下列不等式一定正确的有( )A.a＋b2≥ab B.a＋1a≥2C.≥2D.2(a2＋b2)≥(a＋b)211.若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )A.ab有最大值14B.a＋b有最小值2C.1a＋1b有最小值4 D.a2＋b2有最小值22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．12.如果a＞b，ab＜0，那么1a与1b的大小关系是________13.已知a＞0，b＞0，则1a＋ab2＋b的最小值为________14.若不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＋b＝ ；不等式bx2＋ax＋1＜0的解集为 Ｗ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）设a＞0，b＞0，比较a2b ＋b2a与a ＋b的大小．a b || b a16.（16分）已知关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}．(1)求a，b的值；(2)若c∈R，解关于x的不等式ax2－(ac＋b－1)x＋(b－1)c＜0．17.（16分）已知关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0．(1)当a＝2时，求不等式的解集；(2)当a∈R，a≠0且a≠1时，求不等式的解集．18.（16分）如图所示，要设计一张矩形广告，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空间的宽度为5 cm，怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌最省料？19.(16分)已知关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0，k ≠0．(1)若不等式的解集为，求k 的值；(2)若不等式的解集为R ，求k的取值范围．{}3x |x 12-<<参考答案及解析：一、选择题1.D 解析：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；对于B，当a＝1，b＝－1时，a2＝b2，B 错误；对于C，当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，C错误；对于D，由于a＞b，所以a＋c＞b＋c，D 正确．故选D．2.B 解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝＋34b2≥0，所以A≥B．3.A 解析：由a＞6，得a2＞36，所以“a＞6”是“a2＞36”的充分条件；由a2＞36，得a＞6或a＜－6，所以“a＞6”不是“a2＞36”的必要条件，故“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件．故选A．4.D 解析：由题中x不低于95，即x≥95；y高于380，即y＞380；z超过45，即z＞45．5.C 解析：A项，a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项，不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项，|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项，同向不等式不能相减．6.D 解析：若a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错；由基本不等式可知D项正确．7.C 解析：不等式x＋61－x≥0等价于Error!解得－6≤x＜1．故解集为{x|－6≤x＜1}8.C 解析：设这批台灯的销售单价为x元，则[30－(x－15)×2]x>400，即x2－30x＋200<0，∴10<x<20，又∵x>15，∴15<x<20．故选C．二、选择题9.AC 解析：对于A，当x＞y＞0时，x2＞y2，A成立；对于B，当x＞y＞0时，－x＜－y，B不成立；对于C，当x＞y＞0时，xxy＞yxy，即1x＜1y，C成立；对于D，xy－x＋1y＋1＝x(y＋1)－y(x＋1)y(y＋1)＝x－yy(y＋1)，∵x＞y＞0，∴x－y＞0，∴xy－x＋1y＋1＞0，即xy＞x＋1y＋1，D不成立．故选AC．2b(a)210.CD 解析：当a ＜0，b ＜0时，a ＋b 2≥ab 不成立；当a ＜0，时，a ＋1a≥2不成立；因为≥2，故C 正确；因为2(a 2＋b 2)－(a ＋b)2＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b)2≥0，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)2，故D 正确．故选CD ．11.AC 解析：∵a>0，b>0，且a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，∴ab 有最大值14，∴A 正确；(a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋(a ＋b)＝2，∴0<a ＋b ≤2，∴B 错误；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，∴1a ＋1b 有最小值4，∴C 正确；∵a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ，且ab ≤14，∴a 2＋b 2≥1－2×14＝12，∴a 2＋b 2的最小值是12，∴D 错误．故选AC ．三、填空题12.答案：1a ＞1b 解析：1a －1b ＝b －a ab ＞0，所以1a ＞1b．13.答案：22 解析：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22，当且仅当1a ＝a b 2且b ＝2b ，即a ＝b ＝2时取等号，∴1a ＋a b 2＋b 的最小值为22．14.答案：－3, 解析：根据题意，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则－1和2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根，则有(－1)＋2＝－a ，(－1)×2＝b ，解得a ＝－1，b ＝－2．故a ＋b ＝－3．bx 2＋ax ＋1＜0⇒－2x 2－x ＋1＜0⇒2x 2＋x －1＞0，解得x ＜－1或x ＞12，即不等式bx 2＋ax ＋1＜0的解集为．四、解答题a b a b ||||||b a b a+=+{1x |x 1x 2⎫<->⎬⎭或{1x |x 1x 2⎫<->⎬⎭或15.解：因为a＞0，b＞0，所以a2b ＋b2a＝ab＋ba．根据均值不等式可得ab＋b≥2a，①ba＋a≥2b，②当且仅当a＝b时，取等号．由①＋②，得ab＋ba＋ a ＋b≥2（ a ＋b），即a2b＋b2a≥ a ＋b．16.解：(1)关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}，即方程ax2－x－b＝0的根为2，－1，∴Error!解得a＝1，b＝2．(2)由(1)得关于x的不等式x2－(c＋1)x＋c＜0，即(x－1)(x－c)＜0，当c＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜c}；当c＝1时，不等式的解集为；当c＜1时，不等式的解集为{x|c＜x＜1}．17.解：(1)当a＝2时，不等式为(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4，所以该不等式的解集为{x|2＜x＜4}．(2)因为a∈R，a≠0且a≠1，当0＜a＜1时，a2＜a，解不等式(x－a)(x－a2)＜0，得a2＜x＜a；当a＜0或a＞1时，a＜a2，解不等式(x－a)(x－a2)＜0，得a＜x＜a2．综上所述，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＜0或a＞1时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}．18.解：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab＝9 000．①广告牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm，其中a＞0，b＞0．广告牌的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2 25a·40b＝18 500＋21 000ab＝24 500．当且仅当25a＝40b时，等号成立，此时b＝58a，代入①式得a＝120，从而b＝75．即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500 cm2．故广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌最省料．19.解：(1)因为关于x的不等式2kx2＋kx－38<0的解集为，所以－32和1是方程2kx2＋kx－38＝0的两个实数根，由根与系数的关系可得－32×1＝，得k＝18．(2)因为关于x的不等式2kx2＋kx－38<0的解集为R，k≠0，所以Error!解得－3<k<0，故k的取值范围为{k|－3<k<0}．{}3x|x12-<<382k-。
高一数学必修一 第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试试卷 (3)
高一数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试试卷 (3)数学第二章测试卷A卷本试卷满分100分，考试时间80分钟。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.若$a+b+c=0$，且$a<b<c$，则下列不等式一定成立的是A。
$ab<bc$B。
$ab<ac$XXX<bc$D。
$ab<bc$2.已知正数$a$、$b$满足$\frac{22}{1194}+\frac{a}{b}=1$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的最小值是A。
6B。
12C。
24D。
363.已知二次函数$f(x)=x^2+bx+c$的两个零点分别在区间$(-2,-1)$和$(-1,0)$内，则$f(3)$的取值范围是A。
$(12,20)$B。
$(12,18)$C。
$(18,20)$D。
$(8,18)$4.若$x>0$，$y>0$，且$\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x+2y}=1$，则$2x+y$的最小值为A。
2B。
$\frac{2}{3}$C。
$2+\frac{2}{3}$D。
$3$5.关于$x$的不等式$(ax-1)<x$恰有2个整数解，则实数$a$的取值范围是A。
$-\frac{34}{43}<a\leq-\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}<a\leq\frac{43}{34}$B。
$-\frac{3}{4}<a\leq-\frac{2}{3}$或$\frac{2}{3}<a\leq\frac{3}{4}$C。
$-\frac{34}{43}\leq a<-\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}\leq a<\frac{43}{34}$D。
$-\frac{3}{4}\leq a<-\frac{2}{3}$或$\frac{2}{3}\leq a\leq\frac{3}{4}$二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共计10分。
高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试(含答案)
高中数学必修一第二章一、单选题1．已知a>b>0,c>d，下列不等式中必成立的一个是（ ）A．a c>bdB．ad<bc C．a+c>b+d D．a―c>b―d2．已知x，y均为正实数，且1x+2+4y+3=12，则x+y的最小值为( )A．10B．11C．12D．133．若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．(―∞,―2)∪[4,+∞)B．(―∞,―4)∪[2,+∞)C．(―2,4)D．(―4,2)4．若x，y∈R+，且x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）A．5B．245C．235D．1955．小明从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（ ）A．a＜v＜ab B．v＝ab C．ab＜v＜a+b2D．v＝a+b26．已知a＞0，b＞0，若不等式m3a+b ―3a―1b≤0恒成立，则m的最大值为（ ）A．4B．16C．9D．37．已知x，y∈（―2，2），且xy＝1，则22―x2+44―y2的最小值是（ ）A．207B．127C．16+427D．16―4278．已知函数f(x)=2x|2x―a|，若0≤x≤1时f(x)≤1，则实数a的取值范围为（ ）A．[74，2]B．[53，2]C．[32，2]D．[32，53]二、多选题9．已知a>b>c>0，则（ ）A．a+c>b+c B．ac>bc C．aa+c>bb+cD．a x<b c10．已知a>0，b>0，且a+b=ab，则（ ）A．(a―1)(b―1)=1B．ab的最大值为4C．a+4b的最小值为9D．1a2+2b2的最小值为2311．已知a，b∈R∗，a+2b=1，则b2a +12b+12ab的值可能为（ ）A．6B．315C．132D．5212． 现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆.过点.C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的无字证明有（ ）A ．a +b 2≥ab (a >0,b >0)B ．a 2+b 2≥2ab (a >0,b >0)C ．a 2+b 22≥a +b2(a ≥0,b >0)D ．ab ≥21a+1b(a >0,b >0)三、填空题13．已知不等式|x ―1|+|x +2|≥5的解集为 ．14． 已知实数x ，y 满足―1≤x +y ≤4且2≤x ―y ≤3，则x +3y 的取值范围是 .15．若关于x 的不等式x 2+mx ―2<0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为 .16．设正实数x ，y ，z 满足x 2―3xy +4y 2―z =0，则当xyZ 取得最大值时，2x+1y ―2z的最大值为 .四、解答题17．U =R ，非空集合 A ={x |x 2―5x +6<0} ，集合 B ={x |(x ―a )(x ―a 2―2)<0} ．（1）a =12时，求 (∁ U B )∩A ；（2）若 x ∈B 是 x ∈A 的必要条件，求实数 a 的取值范围．18．已知 p :|1―x ―13|≤2 ， q :x 2―2x +1―m 2≤0(m >0) ，若 ¬p 是 ¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.19.求解不等式x 2―a ≥|x ―1|―120.已知a ，b ，c 都为正实数，满足abc （a ＋b ＋c ）＝1（1）求S ＝（a ＋c ）（b ＋c ）的最小值（2）当S 取最小值时，求c 的最大值.21.某项研究表明；在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位；辆∕时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位米∕秒）、平均车长l （单位:米）的值有关，其公式为F =76000νv 2+18v +20l（1）如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为多少.（2）如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加多少.22．已知a ，b ，c 为实数且a +2b +5c =10.（1）若a ，b ，c 均为正数，当2ab +5ac +10bc =10时，求a +b +c 的值；（2）证明：(2b +5c )2+(a +b +5c )2+(a +2b +4c )2≥4903.答案解析部分1．C已知a>b>0,c>d,由不等式的同向相加的性质得到a+c>b+d正确；当a=2,b=1,c=-1,d=-2时，a c<bd, ，a―c=b―d A，D不正确；c=2，d=1时，ad=bc,B不正确. 2．D解：因为x,y>0，且1x+2+4y+3=12，则x+y=(x+2)+(y+3)―5=2(1x+2+4y+3)[(x+2)+(y+3)]―5=2(5+y+3x+2+4(x+2)y+3)―5≥2(5+2y+3x+2⋅4(x+2)y+3―5=13，当且仅当y+3x+2=4(x+2)y+3，即x=4,y=9时等号成立，则x+y的最小值为13.3．D由基本不等式得x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4yx+xy+4≥24yx⋅xy+4=8，当且仅当4yx=xy，由于x>0，y>0，即当x=2y时，等号成立，所以，x+2y的最小值为8，由题意可得m2+2m<8，即m2+2m―8<0，解得―4<m<2，因此，实数m的取值范围是(―4,2)，4．A从题设可得15y+35x=1，则3x+4y=15(3x+4y)(1y+3x)=15(3x y+12yx+13)≥15(12+13)=5，5．A6．B7．C8．C不等式f(x)≤1可化为|2x―a|≤2―x，有―2―x≤a―2x≤2―x，有2x―2―x≤a≤2x+2―x，当0≤x≤1时，2x+2―x≥22x×2―x=2（当且仅当x=0时取等号），2x―2―x≤2―12=32，故有32≤a≤2。
第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试A卷——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册含答
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试A 卷（答卷时间：40分钟，满分：100分）一、单选题（本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知a b >,c R Î则下列结论正确的是（ ）A ．22a b > B ．22ac bc > C ．a c b c +>+ D ．ac bc<2.若0x >,则1x x +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．D ．43.不等式2230x x --<的解集为（ ）A ．{}|31x x -<< B ．{}|13x x -<<C ．{}|13x x x <->或D ．{}|31x x x <->或4.已知01x <<,则(1)x x -的最大值为（ ）A ．13 B ．12 C ．14 D ．235.已知25,1,4A x B x =+=+则A 和B 的大小关系是（ ）A ．A B > B ．A B < C ．A B ³ D ．无法确定6.已知不等式230ax bx +->的解集为{}|13x x <<,则a b -=（ ）A ．3- B ．1- C ．3 D ．5-7.若1x >,则函数411y x x =-+-取得最小值时x 的值为 （）A ．2B ．32C ．3D ．4二、多选题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，完全正确得5分，选对部分得3分，出现错误选项得0分)8. 设,a b 为任意两个非零实数,那么“不等式11a b<成立”的一个充分不必要条件是 ( )A ．0a b <<B ．0a b -<C ．0a b >>D ．a b>9.已知0,0,a b >>下列说法一定成立的是 （ ）A ．222a b ab +³2a b+£C ．a b +> D.22433a a +++（）的最小值为410.对于任意实数x ,不等式230x ax -+>恒成立,则实数a 可以是 （ ）A ．2B ．3C ．D ．4三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，其中14题第一个空2分，第二个空3分）11.不等式201x x ->+的解集是________.12.已知0,a >1,a b +=则a b a a ++的最小值是________.13.设,,a b c R Î则“a b >”是“22ac bc >”的_______________条件.14.已知0,0,m n >>且m 和n 的算术平均数不小于它们的几何平均数，则此不等关系的表达式为______________,8m n +=时,mn 的最大值为____________.四、解答题（本题共 3道大题，每道大题 10分，共 30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.解下列一元二次不等式（1）23100x x -->； （2）22950x x --+>.16.已知,x R Î21,4M x =+N x =,比较M 和N 的大小关系，写出详细过程.17. 若0,a b >>0c d <<求证：（1）11a b<; （2）a c b d->-第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试A 卷参考答案一、单选题（本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.C.解析：A 选项中当22()()a b a b a b -=+-无法判断a b +的正负所以无法确定2a 与2b 的大小关系,另外也可以根据不等式的性质中只有满足条件0a b >³,才能得到22a b >因此A 错误；B 选项中当0c =时22ac bc =,0c ¹时22ac bc >,因此B 错误；C 选项中由于a b >,不等式两边同时加上同一实数c ,不等号的方向不变（同向可加性）因此C 正确；D 选项中由于不清楚实数c 的正负,无法通过a b >得到ac 和bc 的大小关系, 故选C.2.A.解析：基本不等式：0,0a b >>2a b +£,当且仅当a b =时等号成立.其中式子2a b +£可变形为a b +³.由于0x >则10x >,因此1x x +³即12x x +³, 当且仅当1x x =即1x =时12x x +=,等号成立,所以1x x +的最小值为2, 故选A.（注意利用基本不等式求最大值或最小值需要满足的条件）3.A.解析：解一元二次方程2230x x --=得1213x x =-=，, 且二次函数223y x x =--的图象开口向上,由此该二次函数的图象如图.通过对该函数图象的观察,得到不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<, 故选A. （注意借助二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系,是求解一元二次不等式的一般性方法）.x02a b +£,当且仅当a b =时等号成立.变形得2()2a b ab +£.由01x <<可知0x >,10x ->,则211(1)(24x x x x +--£=,当且仅当1x x =-即12x =时等号成立,所以当12x =时1x x =-有最大值14,故选C.5.C. 分析：比较两项的大小关系，在性质特征不是很明显的情况下通常采用作差法,如果不能直接看出差值与0的大小关系,可将作差的结果进行适当变形,从而得出结论. 解析：22251110442A B x x x x x -=+-+-+=-³（）=（）,所以0A B -³,因此A B ³,故选C.6.D. 解析：因为不等式230ax bx +->的解集为{}|13x x <<,所以1和3是方程230ax bx +-=的两个解.解法一：将1x =和3x =分别代入230ax bx +-=得{2211303330a b a b +-=+-=g g g g 即{309330a b a b +-=+-=解得{14a b =-=所以5a b -=-,故选D.解法二：方程230ax bx +-=的两个解1和3,说明方程230ax bx +-=是一元二次方程, 0a ¹,则可利用根与系数的关系得到方程组13313ba a +=--´=-ìíî解得{14a b =-=所以5a b -=-,故选D.7.C. 解析：1x >则410,01x x ->>-,所以4141y x x =-+³=-,当且仅当且仅当411x x -=-,即3x =时411y x x =-+-取得最小值4, 所以411y x x =-+-取得最小值时3x =,故选C.二、多选题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，完全正确得5分，选对部分得3分，出现错误选项得0分)8.AC.思路：题中考查选项中哪几个是“不等式11a b <成立”的充分不必要条件,则该条件成立时可以推出11a b <,而当11a b<成立时无法推出该条件成立.本题考查不等式相关知识，因此注重利用不等式性质及作差法的运用技巧.解析：A 选项,充分性：当0a b <<成立时11a b <也成立,因此充分性成立；必要性：当11a b<成立时无法判断0a b <<成立,因此必要性不成立.所以 “0a b <<”是“不等式11a b<成立”的充分不必要条件. B 选项,充分性：当0a b -<成立时11b a a b ab --=,由于无法确定ab 的符号,因此无法确定11a b<是否成立,因此充分性不成立；必要性：当11a b <成立时110b a a b ab--=<,由于无法确定ab 的符号,无法判断0a b -<成立,因此必要性不成立.所以 “0a b -<”是“不等式11a b<成立”的既不充分也不必要条件.C 选项,充分性：当0a b >>成立时10,ab>利用不等式的性质可知11,a b ab ab >g g 因此11b a >,即11a b <成立,因此充分性成立；必要性：当11a b<成立时无法判断0a b >>成立,因此必要性不成立.所以 “0a b >>”是“不等式11a b<成立”的充分不必要条件. D 选项,充分性：1111,,a b ab b ab a==g g 当a b >成立时由于无法确定1ab 的正负,所以无法确定1a ab g 和1b ab g 的大小关系,即无法确定11a b<成立,因此充分性不成立；必要性：同理当11a b<成立时无法确定a b >成立,因此必要性不成立.所以 “a b >”是“不等式11a b<成立”的既不充分也不必要条件.综上所述可知正确选项为AC.9.AB.解析：因为0,0,a b >>重要不等式222a b ab +³2a b +£均成立,故A,B 正确,当且仅当a b =2a b +=即a b +=,所以a b +>成立,C 错误, 由于2330a +³>,2403a >+则224343a a ++³=+（） 当且仅当22433a a =++（）成立时等号成立,由于22433a a =++（）时21a =-无解,所以22433a a +++（）无法取得最小值4,因此D 错误. 综上所述可知正确选项为AB.本题考查对基本不等式的理解及对是否符合利用基本不等式求最值条件的判定能力.10.ABC. 解析：任意实数x ,不等式230x ax -+>恒成立,则函数23y x ax =-+的最小值2min 413041a y ´´-=>´,解得a -<<则选项中满足该条件的实数a 可以是故选ABC.点评：将一元二次不等式恒成立问题转化为函数的最值问题是常见的解题策略，即若0(0)y y ><恒成立则只需min max 0(0)y y ><,这一结论是解决这类问题的关键,也是解决恒成立问题的总的思考方向.三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，其中14题第一个空2分，第二个空3分）11. {}|12x x x <->或解析：本道题考查分式不等式的等价转换.不等式201x x ->+等价于2)(1)0x x -+>（，解得12x x <->或，所以201x x ->+的解集为{}|12x x x <->或，注意解集要写成集合或区间的形式，区间形式将会在下一章学习到.12.2解析：本道题考查基本不等式的构造思维能力和对运用基本不等式求最值方法的掌握.1,a b +=则1=a b a a a a +++,因为10,0a a >>则1=a b a a a a +++³，当且仅当1=a a ，即=1a 时等号成立，因此a b a a++的最小值为2.13.必要不充分条件解析：充分性：,,a b c R Î，当a b >，0c =时2=0c ，22==0ac bc ，因此a b >Þ/22ac bc >，充分性不成立； 必要性：22ac bc >时说明20c ¹，那么一定有20c >，210c >，由不等式的性质可知此时222211ac bc c c>g g ，即a b >，因此22ac bc a b >Þ>必要性成立.综上所述“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件.14. 第一空：+2m n ³第二空：16解析：0,0,m n >>且m 和n 的算术平均数是+2m n ，m 和n ，因此“m 和n 的算术平均数不小于它们的几何平均数”的符号表达式为+2m n ³+2m n ³变形可知2+(2m n mn £,当且仅当=m n 时等号成立, 8m n +=,mn £28(2=16,所以当且仅当4m n ==时mn 的最大值16.四、解答题（本题共 3道大题，每道大题 10分，共 30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 解：（1）解一元二次方程2310=0x x --得1=2x -,2=5x 则一元二次函数2=310y x x --的图象如图}5>.（2）不等式22950x x --+>的等价不等式为22+950x x -<解一元二次方程22+95=0x x -得15x =-,21=2x 则22+950x x -<的解集为1|52x x ìü-<<íýîþ即一元二次不等式22950x x --+>的解集为1|52x x ìü-<<íýîþ.方法指导：解一元二次不等式可以从解一元二次方程的根入手,了解一元二次方程与相应二次函数图象的联系,画出二次函数的图象,能根据具体函数图象得到相应一元二次不等式的解集.另外在学习本节课内容之后可以用课堂上推广的一般结论,解决相关问题.注意要明确课本上一般结论的推广过程，理解知识本质,体会数形结合和函数思想的应用,以及具体到抽象,特殊到一般的研究问题的基本方法.16. 分析：比较两项的大小关系,在性质特征不是很明显的情况下通常采用作差法,如果不能直接看出差值与0的大小关系,可将作差的结果进行适当变形,从而得出结论.解：221144M N x x x x -=+-=-+2211222x x =-+g （21=()2x - 因为,x R Î所以21(02x -³所以0M N -³,即M 和N 的大小关系是M N ³.17. 分析：通过观察不难发现两个小问均可采用作差法或利用不等式的性质直接证明.解：（1）0a b >>则10ab>由不等式的性质可知11a b ab ab >g g ,即11b a >,所以11a b<（2）0c d <<则0c d ->->又0a b >>Q ()()a cb d \+->+-ac bd \->-。
高一数学必修一 第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试试卷 (3)
数学第二章 测试卷A 卷 本试卷满分100分，考试时间80分钟． 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．若a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，则下列不等式一定成立的是A ．22ab b c <B ．ab ac <C ．ac bc <D ．ab bc <2．已知正数a 、b 满足111a b +=，则9411a b +--的最小值是 A ．6 B ．12 C ．24 D ．363．已知二次函数2()f x x bx c =++的两个零点分别在区间(﹣2，﹣1)和(﹣1，0)内，则(3)f 的取值范围是A ．(12，20)B ．(12，18)C ．(18，20)D ．(8，18)4．若x ＞0，y ＞0，且11112x x y+=++，则2x y +的最小值为 A ．2 B ．23 C ．423+ D ．132+ 5．关于x 的不等式22(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是A ．3423a -<≤-或4332a <≤B ．3423a -<≤-或4332a ≤< C ．3423a -≤<-或4332a <≤ D ．3423a -≤<-或4332a ≤< 二、 多项选择题（本大题共2小题，每小题5分， 共计10分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）6．若非零实数a ，b 满足a ＜b ，则下列不等式不一定成立的是A ．1a b< B ．2b a a b +≥ C ．2211ab a b < D ．22a a b b +<+ 7．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 第7题的垂线，垂足为E ．则该图形可以完成的所有的无字证明为A．2a b +≥a ＞0，b ＞0) B ．222a b ab +≥(a ＞0，b ＞0) C211a b≥+(a ＞0，b ＞0) D ．2222a b a b ++≥(a ≥0，b ＞0) 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 8．已知实数a 、x 满足x ＜a ＜0，则a 2、x 2、ax 中的最大数为 ．9．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{}26x x <<，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为 ．10．x ＞4，y ＞1，且xy ＝12＋x ＋4y ，则x ＋y 的最小值是 ．11．已知a ＞0，b ＞0，c ＞2且a ＋b ＝1，则362ac c b ab c ++-的最小值是 ． 四、解答题（本大题共4小题，共计45分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）12．（本题满分10分）已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．13．（本题满分12分）正实数a ，b ，c 满足a 2﹣3ab ＋4b 2﹣c ＝0，当ab c 最大值时，求212a b c+-的最大值．14．（本题满分12分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x N*∈)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a﹣3500x)万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？15．（本题满分11分）已知M是关于x的不等式2x2＋(3a﹣7)x＋3＋a﹣2a2＜0解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．参考答案1．C 2．B 3．A 4．D 5．B 6．ABD 7．AC8．x2 9．1162x x x⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或10．13 11．2412．略13．略14．（1）最多调整500名（2）（0，5】15．a<-1,或a>3/2。
高中数学必修第一册,第2章 一元二次函数、方程和不等式单元测试题1
第二章一元二次函数、方程和不等式一、选择题1．（2019·全国高一课时练）集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B = （）A ．{|12}x x -<<B ．{|1x x <-或2x >}C ．{|01}x x <<D ．{|0x x <或}2．（2019·全国高一课时练）已知c b a <<，且0ac <，下列不等式中，不一定成立的是()A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<3．（2019·全国高一课时练）不等式20ax x c -+>的解集为{}21,x x -<<则函数2y ax x c =++的图像大致为（）A. B.D.4．（2019·河南高一期末）设0a >，0b >，若21a b +=，则21a b+的最小值为A ．B ．8C ．9D ．10（2019·全国高一课时练）若01t <<，则关于x 的不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为（）A.1{|}x x t t<< B.1{}x xx t t<或 C.1{|}x xx t t或 D.1 {|}x t x t<<6.（2019·全国高一课时练）函数2228(0)y x ax a a =-->，记0y ≤的解集为A ，若()1,1A -⊆，则a 的取值范围（）A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.11,42⎛⎫⎪⎝⎭D.11,42⎡⎤⎢⎣⎦7．（2019·辽河油田高级中学高一课时练）若关于x 的不等式2−4≥对任意x ∈[0,1]恒成立,则实数m 的取值范围是()A ．m≤－3B ．m≥－3C ．－3≤m≤0D ．m≤－3或m≥08．（2019江西高一联考）某市原来居民用电价为0.52元/kw h ⋅，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元/kw h ⋅，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw h ⋅．对于一个平均每月用电量为200kw h ⋅的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为()A ．110kw h⋅B ．114kw h⋅C ．118kw h⋅D ．120kw h⋅9．（2019广东揭阳三中高一课时练）在R 上定义运算:a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭ =ad-bc,若不等式-1-21x a a x ⎛⎫⎪+⎝⎭ ≥1对任意实数x 恒成立,则实数a 的最大值为()A ．-12B ．-32C ．12D ．3210．（2019·新疆乌鲁木齐市第70中高一期末）正数,a b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．[3,)+∞B ．(,3]-∞C ．(,6]-∞D ．[6,)+∞二、填空题11．不等式2450x x --+≤的解集为________________．（用区间表示）12．（2019·全国高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为4x 万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量x 为_____________；13.（2019·全国高一课时练）已知集合A ={t |t 2–4≤0}，对于满足集合A 的所有实数t ,则使不等式x 2+tx-t ＞2x -1恒成立的x 的取值范围是14.（2019·河北高一期末）已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<>的解集为()12,x x ，则1212ax x x x ++的最小值是______．三、解答题15．（2019·黑龙江双鸭山一中高一期末）若不等式()21460a x x --+>的解集是{}31x x -<<.（1）求a 的值；（2）当b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ．16．（2019·山西省永济中学高一期末）如果用akg 糖制出bkg 糖溶液,则糖的质量分数为ab.若在上述溶液中再添加mkg 糖.(Ⅰ)此时糖的质量分数增加到多少？（请用分式表示）(Ⅱ)请将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.17．（2019·安徽高一期末）已知关于x 的函数()()221f x x ax a R =-+∈.（Ⅰ）当3a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）若()0f x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的最大值.18．（2019·黑龙江高一期末）设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求,a b 的值；（2）若()12f =，①0,0a b >>，求14a b+的最小值；②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．第二章一元二次函数、方程和不等式（答案与解析）二、选择题1．（2019·全国高一课时练）集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B = （）A ．{|12}x x -<<B ．{|1x x <-或2x >}C ．{|01}x x <<D ．{|0x x <或}【答案】C【解析】由题意可得{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，所以{|01}A B x x =<< .故选C.2．（2019·全国高一课时练）已知c b a <<，且0ac <，下列不等式中，不一定成立的是()A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<【答案】C【解析】因为c b a <<且0ac <，所以0a >，0c <，b R ∈．对于A ，因为0a >，c b <，所以ac ab <，即ab ac >一定成立．对于B ，因为b a <，所以0b a -<，所以()0cb a ->一定成立．对于C ，因为b R ∈，所以当0b =时，22cb ab <不成，故22cb ab <不一定成立．对于D ，因为c b a <<，0a >，0c <，所以0a c ->，()0aca c -<一定成立．故选C ．3．（2019·全国高一课时练）不等式20ax x c -+>的解集为{}21,x x -<<则函数2y ax x c =++的图像大致为（）A. B.D.【答案】C【解析】由题知-2和1是ax 2-x+c=0的两根，由根与系数的关系知-2+1=1a ，，−2×1＝c a，∴a=-1，c=2，∴2y ax x c =++=-x 2+x+2=-（x-12）2+94，故选C 4．（2019·河南高一期末）设0a >，0b >，若21a b +=，则21a b+的最小值为A ．B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】由题意知，0a >，0b >，且21a b +=，则()212122()5925b a a b a b a b b a ++=+=++≥+=当且仅当22b a a b =时，等号成立，21a b+的最小值为9，故答案选C 。
人教版高一数学必修一第二单元《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题(含答案)
人教版高一数学必修一第二单元《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题（含答案）一、单选题 1．已知1x >,则91x x +-的最小值为( ) A ．4B ．6C ．7D ．102．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（=新工件的体积材料利用率原工件的体积）（ ）A ．89πB ．169πC ．321)πD ．321)π3．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a ，使得2116m n a a a =，则14m n +的最小值为（ ） A ． 43B ．9C ．32D ．不存在4．对任意0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦任意()0,y ∈+∞，不等式292cos sin 4y x a x y -≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(],3-∞B ．22,3⎡⎤-⎣⎦C ．22,22-⎡⎣D ．[]3,3-5．下列函数中，y 的最小值为2的是（ ）A ．1y xx=+B ．2y =C ．x x y e e -=+D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭6．关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ） A ．52B ．72C ．154D ．1527．若,a b 为正实数，且1a b +=，则122a b+的最小值为 A ．5 B ．4C ．92D ．38．不等式102xx -≥+的解集为（ ）. A ．[]2,1- B ．(]2,1-C ．[)2,1-D ．(][),21,-∞-+∞9．如果不等式ax 2+bx+c<0 （a≠0）的解集是空集,那么 （ ） A ．a<0，且b 2-4ac>0 B ．a<0且b 2-4ac≤0 C ．a>0且b 2-4ac≤0 D ．a>0且b 2-4ac>010．若直线1(00)x ya b a b+=>>，过点()1,2，则2a b +的最小值为（ ）A ．6B ．4+C ．8D ．911．已知0a b <<，则（ ） A ．11a b< B ．2a ab <C ．22a b <D ．11a b a<- 12．若0x >，则1x x -+的最小值为（ ）A ．12B ．1CD ．2第II 卷（非选择题）二、填空题13．若13a b -<+<，24a b <-<，则b 的取值范围___________.14．已知等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[]0,9，则使数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值的正整数n 的值是______．15．设0,0a b >>.若2是2a 与2b 的等比中项，则11a b+的最小值为 ． 16．已知p ：2230x x --<，若1a x a -<-<是p 的一个必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题17．解不等式2024x x <--<18．不等式2260(0)kx x k k -+->≠(1)若不等式的解集为{|3x x <-或}2x >-,求k 的值 (2)若不等式的解集为R ,求k 的取值范围19．已知对于正数a 、b ，存在一些特殊的形式，如：22a b a b ++、222a b +、2a b +等. （1）判断上述三者的大小关系，并证明；（2）定义：间距22221||2a b a b a b ++∆=-+，间距222||22a b a b++∆=-，判断两者的大小关系，并证明.20．已知a,b,c 为互不相等的非负数,求证：a 2+b 2+c 2＞(++).21．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈（1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.22．如图所示，设矩形()ABCD AB BC >的周长为24，把它沿AC 翻折，翻折AB '后交DC 于点P ，设AB x =．（1）用x 表示DP ，并求出x 的取值范围； （2）求ADP △面积的最大值及此时x 的值．23．证明下列不等式：（167225； （2）如果0a >，0b >，则lg lg lg 22a b a b++≥24．某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x （0x >）个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点. （1）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围25．在一个限速40km /h 的弯道上，甲.乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .又知甲，乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km /h 之间分别有如下关系：20.10.01s x x =+甲，20.050.005s x x =+乙.问超速行驶谁应负主要责任?参考答案1．C2．A3．C4．A5．C6．A7．C8．B9．C10．C11．D12．D 13．51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭14．5 15．4 16．2a >17．{x|21x -<<-或23}x <<18．（1）25k =-；（2）,⎛-∞ ⎝⎭19．（1）222a b a ba b++≥≥+；证明见解析；（2）12∆≥∆，证明见解析. 20．见解析21．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞--22．（1）()7212612DP x x=-<<；（2）当x =108-． 23．（1）见解析；（2）见解析 24．（1）1(50)?(10)(010)25y a x x x =+-<<；（2）{|02}.x x <≤. 25．乙应负主要责任.。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B2、若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞) 答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围 因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立 ⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立 故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0 解之得：1<m <3 故选：A3、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A4、不等式|5x −x 2|<6的解集为（ ）A ．{x|x <2,或x >3}B ．{x|−1<x <2,或3<x <6}C ．{x|−1<x <6}D ．{x|2<x <3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可. 解：∵|5x−x2|<6，∴−6<5x−x2<6∴{x 2−5x−6<0x2−5x+6>0⇒{−1<x<6x<2或x>3⇒−1<x<2或3<x<6则不等式的解集为：{x|−1<x<2或3<x<6}故选：B.5、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A6、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．7、关于x的方程x2+(m−2)x+2m−1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m的取值范围是（）A．[12,32]B．(12,23]C．[12,2)D．(12,23]∪{6−2√7}答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为：f(x)=x2+(m-2)x+2m-1因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①f(0)⋅f(1)<0，(2m-1)(3m-2)<0，解得：12<m<23；②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=12，此时方程为x2-32x=0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=23，此时方程为3x2-4x+1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，Δ=(m-2)2-8m+4=0，解得m=6±2√7，经检验，当m=6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;综上：实数m的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D8、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B多选题9、若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a<b，则1a >1bB．若0<a<1，则a2<aC．若a>b>0且c>0，则b+ca+c >baD．a2+b2+1≥2(a−2b−2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A，当a<0<b时，结论不成立，故A错误；对于B，a2<a等价于a(a−1)<0，又0<a<1，故成立，故B正确；对于C，因为a>b>0且c>0，所以b+ca+c >ba等价于ab+ac>ab+bc，即(a−b)c>0，成立，故C正确；对于D，a2+b2+1≥2(a−2b−2)等价于(a−1)2+(b+2)2≥0，成立，故D正确. 故选：BCD.10、已知正实数a，b满足a+b=ab，则（）A．a+b≥4B．ab≥6C．a+2b≥3+2√2D．ab2+ba2≥1答案：ACD分析：根据特殊值判断B，利用ab⩽(a+b)24判断A，利用换“1”法判断C，变形后利用基本不等式判断D. 对于B，当a=b=2时，满足a+b=ab，此时ab<6，B错误；对于A，ab⩽(a+b)24，则(a+b)24⩾a+b，变形可得a+b⩾4，当且仅当a=b=2时等号成立，A正确；对于C ，a +b =ab ，变形可得1a +1b =1，则有a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+2b a+ab ⩾3+2√2，当且仅当a =2b 时等号成立，C 正确； 对于D ，ab 2+ba 2=a 3+b 3a 2b 2=(a+b)(a 2+b 2−ab)a 2b 2=b a +ab −1⩾2−1=1，当且仅当a =b =2时等号成立，D 正确；故选：ACD11、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD填空题12、若不等式kx2+2kx+2<0的解集为空集，则实数k的取值范围是_____．答案：{k|0≤k≤2}分析：分k=0和k>0两种情况讨论，当k>0时需满足Δ≤0，即可得到不等式，解得即可；解：当k=0时，2<0不等式无解，满足题意；当k>0时，Δ=4k2−8k≤0，解得0<k≤2；综上，实数k的取值范围是{k|0≤k≤2}．所以答案是：{k|0≤k≤2}13、已知a,b,a+m均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a>b,②a<b,③m>0,④m<0,⑤b+ma+m >ba.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________. 答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+ 1>0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.解答题15、回答下列问题：(1)若a>b，且c>d，能否判断a−c与b−d的大小？举例说明．(2)若a>b，且c<d，能否判断a+c与b+d的大小？举例说明．(3)若a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．(4)若a>b，c<d，且c≠0，d≠0，能否判断ac 与bd的大小？举例说明．答案：(1)不能判断，举例见解析(2)不能判断，举例见解析(3)不能判断，举例见解析(4)不能判断，举例见解析分析：因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定. （1）不能判断a−c与b−d的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c>b−d；取a=5,b=4,c=3,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c<b−d；取a=5,b=4,c=3,d=2，满足条件a>b，且c>d，此时a−c=b−d；（2）不能判断a+c与b+d的大小，举例：取a=5,b=3,c=0,d=1，满足条件a>b，且c<d，此时a+c>b+d；取a=5,b=3,c=2,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c<b+d.取a=5,b=3,c=4,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c=b+d；（3）不能判断ac与bd的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时ac>bd；取a=5,b=3,c=−3,d=−5，满足条件a>b，且c>d，此时ac=bd；取a=5,b=−3,c=1,d=−2，满足条件a>b，且c>d，此时ac<bd；（4）不能判断ac 与bd的大小举例：取a=6,b=3,c=1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac >bd；取a=2,b=1,c=−1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac <bd；取a=6,b=3,c=−2,d=−1，满足条件a>b，且c<d，此时ac =bd；。
人教版高中数学必修第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式综合检测基础卷(含详细解析)
第2章一元二次函数、方程和不等式（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题是真命题的是A ．若ac bc >．则a b >B ．若22a b >，则a b>C ．若a b >，则11a b<D ．若c d >，a c b d ->-，则a b>2．已知242,65,M x x N x x R =+-=-∈，下列关系正确的是A ．M N ≤B ．M N <C ．M N=D ．M N>3．已知正数a，b ，满足2a b +=A ．最小值1BC D ．最大值14．已知关于x 的不等式220ax ax -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是A ．()(),08,-∞+∞B ．(][),08,-∞+∞C ．[)0,8D ．()0,85．已知0a >，0b >，且228a b ab ++=，则2+a b 的最小值为A ．2B ．C ．4D ．66．不等式()4421m m >-，则实数m 的取值范围是A ．(),1-∞B ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭7．已知0x >，0y >且141x y+=，若不等式246x y m m +≥-对任意正数x ，y 恒成立，则实数m 的取值集合为A ．{|28}m m -≤≤B ．{|82}m m -≤≤C ．{|8m m ≤-或2}m ≥D ．{|2m m ≤-或8}m ≥8．若关于x 的不等式22840x x a --->在[1,4]内有解，则实数a 的取值范围是A ．(4,)-+∞B ．(,4)-∞-C ．(12,)-+∞D ．(,12)-∞-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知23x <<，23y <<，则下列说法正确的是A ．2x y +的取值范围为(6,9)B ．2x y -的取值范围为(2,3)C ．x y的取值范围为23(,)32D ．xy 的取值范围为(4,9)10．不等式20ax bx c ++≥的解集是122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，对于系数a ，b ，c ，下列结论正确的是A ．0a b c -+>B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>11．现有以下结论①函数1y x x=+的最小值是2②若,a b ∈R 且0ab >，则2b a a b+≥③y =2④函数423(0)y x x x =-->的最小值为2-其中，不正确的是A ．①B ．②C ．③D ．④12．关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0(a ∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值可以是A ．6B ．7C ．8D ．9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若方程()200ax bx c a ++=>有唯一的实数根－2，则不等式20ax bx c ++>的解集为________．14．已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是________．15．若关于x 的不等式223x x a -≥-+无解，则实数a 的取值范围是________．16．已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式()0f x <的解集是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．18．（12分）已知二次函数2()3f x ax bx =++，且1,3-是函数()f x 的零点．（1）求()f x 的解析式；（2）解不等式()3f x ≤．19．（12分）求解下列各题：（1）求()23402x x y x x ++=<的最大值；（2）求()2811x y x x +=>-的最小值．20．（12分）今年10月份，学校从某厂家购进了A 、B 型电脑共250台，A 、B 两种型号电脑的单价分别为7000元、9000元，其中购进A 型、B 型电脑的总金额和为205万元．（1）求学校10月份购进A 、B 型电脑各多少台？（2）为推进学校设备更新进程，学校决定11月份在同一厂家再次购进A 、B 两种型号的电脑，在此次采购中，比起10月份进购的同类型电脑，A 型电脑的单价下降了a %，A 型电脑数量增加了4%5a ，B 型电脑的单价上升了503a 元，B 型电脑数量下降了4%5a ，这次采购A 、B 两种型号电脑的总金额为205万元，求a 的值．21．（12分）已知实数0,0x y >>，且()()222,,R xy x y a x y b a b =++++∈．（1）当0,0a b ==时，求4x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值：（2）当0,3a b ==时，求x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值（3）当1,02a b ==时，求x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值．22．（12分）若()0,a b ∈+∞，则2223a b a b a b +≤++．（1）若存在常数M ，使得不等式2222a b a bM a b a b a b a b+++≤≤+++对任意正数a ，b 恒成立，试求常数M 的值，并证明不等式：22a bM a b a b++≤+；（2）证明不等式：32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++．第2章一元二次函数、方程和不等式（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》检测卷与答案
高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》检测卷考试时间：120分钟；满分：150分一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）若实数a，b满足>，则下列不等式成立的是（）A．>B．+>+C．2>2D．B2>B22．已知条件G>1，条件G−2−2+3≤0，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知1≤+≤4，−1≤−≤2，则4−2的取值范围是（）A．−4<<10B．−3<<6C．−2<<14D．−2≤≤104．若正实数、满足+=2，则1B的最小值为（）A．0B．1C．2D．35．（5分）若关于的不等式2+B+>0的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)，则不等式2+B−8r>0的解集为（）A．(−4,1)∪(2,+∞)B．(−2,1)∪(4,+∞)C．(−∞,−2)∪(1,4)D．(−∞,−4)∪(1,2)6．（5分）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（）A．甲更合算B．乙更合算C．甲乙同样合算D．无法判断谁更合算7．（5分）若关于的不等式2−+2+2<0的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（）A．−2,−1∪5,6B．−2,−1∪3,6C．−3,−1∪3,6D．−1∪4,68．（5分）已知正数、满足−1−2=2，不等式3+2>恒成立．则实数的取值范围是（）A．−∞,4+62B．6+42,+∞C．−∞,7+43D．8+43,+∞二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知−1<<6,3<<8，则下列结果正确的有（）A．−13<<2B．2<+<14C．−4<−<−2D．−3<B<4810．（5分）∀∈，关于的不等式2−B+>0恒成立，则实数的值可以是（）A．0B．1C．2D．311．（5分）下列结论中，正确的结论有（）A．函数=+1的最小值是2B．如果>0，>0，+3+B=9，那么B的最大值为3 C．函数op=的最小值为52D．如果>0，>0，且1r1+11+=1，那么+的最小值为2 12．（5分）已知关于x的不等式B2+B+≤0的解集是U≤−2或≥6（）A．<0B．不等式B2−B+<0的解集是U−16<<C．++>0D．不等式B+>0的解集是U<−3三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）比较大小：2+（请从“<”“>”“=”中选择合适的符号填空）14．（5分）若>0,>0，且+=6，则4+1的最小值为．15．（5分）已知二次方程B2+B+=0(>0)的两根分别为2和4，则不等式B2+B+<0的解集为．16．（5分）设>0，>1，若+=2，且不等式4+1K1>2+8恒成立，则的取值范围是.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）解关于的不等式.(1)2+−6<0;(2)−22−≤−6(3)(−p(−2)>0.18．（12分）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)2+12与4+2+1；(2)2−22+2与>>0.19．（12分）证明下列不等式：(1)已知>>>，求证：1K<1K；(2)已知>>0,<<0,<0，求证：K>K.20．（12分）已知>0，>0，+=1，求下列代数式的最小值(1)1r2+1r2；(2)1(+1).21．（12分）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度km h的平方的34倍，固定成本为元.(1)将全程运输成本（元）表示为速度km h的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶?22．（12分）已知函数op=2−B+.(1)若不等式op>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)，求实数s的值；(2)当−1=0时，（i）解关于x的不等式>0；（i）若存在∈[1,2]，使得≤0，求实数a的取值范围.高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》检测卷答案一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）若实数a，b满足>，则下列不等式成立的是（）A．>B．+>+C．2>2D．B2>B2【解题思路】利用不等式的性质即可判断.【解答过程】由=1，=−2，=0<，故A错；2<2，故C错；B2=B2，故D错；由不等式的性质易知B正确.故选：B.2．已知条件G>1，条件G−2−2+3≤0，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可得解.【解答过程】由题意条件G>1，条件G−2−2+3≤0⇔≤−3或≥1，所以是的充分不必要条件.故选：A.3．已知1≤+≤4，−1≤−≤2，则4−2的取值范围是（）A．−4<<10B．−3<<6C．−2<<14D．−2≤≤10【解题思路】利用+和−范围求出0≤2≤6，然后利用不等式的性质求解即可【解答过程】由−1≤−≤2，1≤+≤4，得0≤−++≤6，即0≤2≤6，−2≤2−≤4，所以−2≤2−+2≤10，即−2≤4−2≤10，故选：D.4．若正实数、满足+=2，则1B的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【解题思路】利用基本不等式可求得1B的最小值.【解答过程】因为正实数、满足+=2，则1B≥12=1，当且仅当=+=2时，即当==1时，等号成立，故1B的最小值为1.故选：B.5．（5分）若关于的不等式2+B+>0的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)，则不等式2+B−8r>0的解集为（）A．(−4,1)∪(2,+∞)B．(−2,1)∪(4,+∞)C．(−∞,−2)∪(1,4)D．(−∞,−4)∪(1,2)【解题思路】根据关于x的不等式B+<0的解集是U−1<<2，利用韦达定理可得=−1,=−2>0，进而求解.【解答过程】因为关于的不等式2+B+>0的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)，所以2+B+=02，由韦达定理可得：=−1,=−2，所以2+B−8r>0>0，解得−2<<1或>4.所以原不等式的解集为(−2,1)∪(4,+∞)，故选：B.6．（5分）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（）A．甲更合算B．乙更合算C．甲乙同样合算D．无法判断谁更合算【解题思路】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解.【解答过程】设两次的单价分别是s≠元/升，甲加两次油的平均单价为600300+300=21+1，单位：元/升，乙每次加油升，加两次油的平均单价为B+B2=r2，单位：元/升，因为>0，>0，≠，+=2++>2+=4，即21+1<r 2，即甲的平均单价低，甲更合算.故选：A.7．（5分）若关于的不等式2−+2+2<0的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（）A ．−2,−1∪5,6B ．−2,−1∪3,6C ．−3,−1∪3,6D ．−1∪4,6【解题思路】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可.【解答过程】由2−+2+2<0，得−−2<0，当=2时，不等式的解集为∅，不符合题意，舍去；当<2时，不等式的解集为<<2，此时若有3个整数解，此时，解集中的三个整数分别为1、0、−1，则需−2≤<−1；当>2时，不等式的解集为2<<，此时若有3个整数解，此时，解集中的三个整数分别为3、4、5，则需5<≤6综上：所以−2≤<−1或5<≤6，故选：A ．8．（5分）已知正数、满足−1−2=2，不等式3+2>恒成立．则实数的取值范围是（）A ．−∞,4+62B ．6+42,+∞C ．−∞,7+43D ．8+43,+∞【解题思路】由不等式3+2>恒成立，故只需3+2min>，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出3+2的最小值即可.【解答过程】因为−1−2=2,>0,>0，所以B =2+，即1+2=1，所以由基本不等式可得3+2=3+27+2+6≥7+=7+43，等号成立当且仅当2=6>0,>0−1−2=2即=1+233=2+3综上所述，3+2的最小值为7+43；因为不等式3+2>恒成立，所以实数的取值范围是−∞,7+43.故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知−1<<6,3<<8，则下列结果正确的有（）A．−13<<2B．2<+<14C．−4<−<−2D．−3<B<48【解题思路】根据题意，利用不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，由3<<8，可得18<1<13，由不等式的性质，可得−13<<2，所以A正确；对于B中，由−1<<6,3<<8，根据不等式的性质，可得2<+<14，所以B正确；对于C中，由3<<8，可得−8<−<−3，所以−9<−<3，所以C错误；对于D中，由−1<<6,3<<8，可得−8<B<48，所以D错误.故选：AB.10．（5分）∀∈，关于的不等式2−B+>0恒成立，则实数的值可以是（）A．0B．1C．2D．3【解题思路】结合一元二次不等式恒成立有Δ<0，即可求范围.【解答过程】∀∈，关于的不等式2−B+>0恒成立，所以Δ=2−4<0，解得0<<4，对照选项知实数的值可以是1,2,3.故选：BCD.11．（5分）下列结论中，正确的结论有（）A．函数=+1的最小值是2B．如果>0，>0，+3+B=9，那么B的最大值为3C．函数op=的最小值为52D．如果>0，>0，且1r1+11+=1，那么+的最小值为2【解题思路】利用基本不等式对选项逐个判断即可得.【解答过程】对A：当J−1时，=−1−1=−2，所以最小值不是2，故A错误；对B：由已知可得9−B=+3≥23B，解得0<B≤3，所以0<B≤3，当且仅当=3时成立，此时B的最大值为3，故B正确；=2+4+，设2+4=，≥2，对C：函数op==+1在2,+∞上单调递增，所以=2时，取最大值52，故C正确；对D ：+=+1++1−2=[(+1)+(+1)](1r1+1r1)−2=1+1−2+r1r1+r1r1≥=2,当且仅当=时取得最小值为2，故D 正确．故选：BCD ．12．（5分）已知关于x 的不等式B 2+B +≤0的解集是U ≤−2或≥6（）A ．<0B ．不等式B 2−B +<0的解集是U −16<<C ．++>0D ．不等式B +>0的解集是U <−3【解题思路】根据一元二次不等式的解集性质进行逐一判断即可.【解答过程】因为关于x 的不等式B 2+B +≤0的解集是U ≤−2或≥6，所以有<0−2+6=−−2×6=⇒<0=−4=−12，因此选项A 正确；B 2−B +<0⇒−12B 2+4B +<0⇒122−4−1<0⇒−16<<12，因此选项B 正确；++=−4−12=−15>0，因此选项C 正确；B +>0⇒−4B−12>0⇒+3>0⇒>−3，因此选项D 不正确，故选：ABC.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）比较大小：2+（请从“<”“>”“=”中选择合适的符号填空）【解题思路】将两数都平方，然后作差法比较大小即可.【解答过程】由(2+6)2=8+43，则(2+6)2−42=4(3−2)<0，所以(2+6)2<42⇒2+6<4.故答案为：<.14．（5分）若>0,>0，且+=6，则4+1的最小值为32．【解题思路】根据基本不等式的乘“1”法即可求解.【解答过程】由于>0,>0，所以4+1=+=+4+≥+=32，当且仅当4=，即=4,=2时等号成立，故答案为：.15．（5分）已知二次方程B2+B+=0(>0)的两根分别为2和4，则不等式B2+B+<0的解【解题思路】根据二次方程的两根可得、与的关系，可化简B2+B+<0为2−6+8<0，再解不等式可得答案.【解答过程】二次方程B2+B+=0(>0)的两根分别为2和4，可得2+4=−2×4=，即=−6=8，由B2+B+<0>0可得2−6+8<0，解得2<<4，所以不等式2−6+8<0的解集为U2<<4.故答案为：U2<<4.16．（5分）设>0，>1，若+=2，且不等式4+1K1>2+8的取值范围是−9,1【解题思路】首先根据已知条件得到+−1=1⋅+−1即可求得最小值，再解关于的一元二次不等式即可求得的取值范围.【解答过程】因为>0，>1，+=2，所以+−1=1，则4+1⋅+−1=5++K1≥5+=9，=K1时，即=23,=43时取等号，所以9>2+8，解得−9<<1.故答案为：−9,1.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）解关于的不等式.(1)2+−6<0;(2)−22−≤−6(3)(−p(−2)>0.【解题思路】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式.【解答过程】（1）不等式2+−6<0，即+3−2<0，解得−3<<2，所以不等式的解集为U−3<<2；（2）不等式−2，所以不等式的解集为{U≤−2或≥32}；（3）不等式−−2>0，当>2时，解集为<2或>，当<2时，解集为<或>2，当=2时，解集为{U≠2}.18．（12分）比较下列各题中两个代数式值的大小.(1)2+12与4+2+1；(2)2−22+2与>>0.【解题思路】（1）（2）利用作差法，化简后和0比较，即可判断大小关系.【解答过程】（1）2+12−4+2+1=4+22+1−4+2+1=2≥0，∴2+12≥4+（2）2−22+2−K r==∵>>0，∴>0,+>0,2+2>0，>0，∴2−22+2>K r.19．（12分）证明下列不等式：(1)已知>>>，求证：1K<1K；(2)已知>>0,<<0,<0，求证：K>K.【解题思路】（1）依题意可得−>−>0，再根据不等式的性质证明；（2）利用作差法证明即可.【解答过程】（1）∵>>>，即>s−>−，∴−>−>0，则1K<1K.（2）∵>>0,<<0,<0，∴−>−>0，∴−>则−===>0，∴−>−.20．（12分）已知>0，>0，+=1，求下列代数式的最小值(1)1r2+1r2；(2)1(+1).【解题思路】（1）运用配凑和常值代换法将其转化，利用基本不等式即可求得；（2）展开变形成2+1B，再将1换成+2展开，即可利用基本不等式求解．.【解答过程】（1）因>0，>0，+=1，则(+2)+(+2)=5，于是得1r2+1r2=15[(+2)+(+2)](1r2+1r2)=15(2+r2r2+r2r2)≥15(2+=45，当且仅当r2r2=r2r2，即==12时取“=”，所以，当==12时，1r2+1r2的最小值是45；（2）因>0，>0，+=1，则1(+1)=2+1B=2+(rp2B=2+2B+22B=+2+2≥2=22+2，当且仅当=2，即=2−2，=2−1时取“=”，所以当=2−2，=2−1时，1(+1)的最小值是22+2．21．（12分）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度km h的平方的34倍，固定成本为元.(1)将全程运输成本（元）表示为速度km h的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶?【解题思路】（12元，固定成本为a元，求和后乘以时间即可；（2）由（1）的结论，利用基本不等式求最小值作答.【解答过程】（12元，固定成本为a元，所用时间为1000，则=10002+=1000(0, 100]．（2）由（1）得=1000≥1000×=10003，当且仅当34=，即=易知函数=34+在+∞上单调递增.又0<≤100，所以当0<≤7500时，货车以=的速度行驶，全程运输成本最小；当>7500时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小．22．（12分）已知函数op=2−B+.(1)若不等式op>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)，求实数s的值；(2)当−1=0时，（i）解关于x的不等式>0；（i）若存在∈[1,2]，使得≤0，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）根据题意，转化为得到1和3是方程2−B+=0的两个实数根据，列出方程组，即可求解；（2）（i）由−1=0，求得=−(+1)，把不等式>0，转化为(+1)[−(+1)]>0，分类讨论，即可求得不等式的解集；（i i）由（i）中不等式的解集，结合存在∈[1,2]，使得≤0，分类讨论，即可求解.【解答过程】（1）解：由函数op=2−B+，因为不等式op>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)，可得1和3是方程2−B+=0的两个实数根据，则1+3=1×3=，解得=4,=3.（2）解：（i）由函数op=2−B+，因为−1=0，可得o−1)=1++=0，即=−(+1)，所以op=2−B−(+1)，由不等式>0，即2−B−(+1)=(+1)[−(+1)]>0，当+1>−1时，即>−2时，解得<−1或>+1；当+1=−1时，即=−2时，即为(+1)2>0解得≠−1；当+1<−1时，即<−2时，解得<+1或>1，综上可得，当>−2时，不等式解集为(−∞,−1)∪(+1,+∞)；当=−2时，不等式的解集为(−∞,−1)∪(−1,+∞)；当<−2时，不等式的解集为(−∞,+1)∪(−1,+∞).（i i）由（i）知，当>−2时，不等式>0解集为(−∞,−1)∪(+1,+∞)，若存在∈[1,2]，使得≤0，则满足+1≥1，解得≥0；当=−2时，不等式>0的解集为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，此时不存在∈[1,2]，使得≤0；当<−2时，不等式>0的解集为(−∞,+1)∪(−1,+∞)，此时不存在∈[1,2]，使得≤0，综上可得，实数的取值范围为[0,+∞).。
人教版高一数学必修一第二单元《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题(含答案)
人教版高一数学必修一第二单元《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题（含答案）1．已知不等式210ax bx --≥的解集是1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A ．{}23x x << B ．{2x x <或}3x > C ．1132xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭2．已知0a >，0b >，且3为3a 与3b 的等比中项，则49aba b+的最大值为（ ）A ．124B ．125C ．126 D ．1273．函数2()(0)f x x x x=+>的最小值是（ ）． A ．2B ．2C ．22D ．34．若正数x ，y 满足x 2+3xy ﹣1=0，则x+y 的最小值是（ ） A ．23B ．223C ．33D ．2335．如果不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<，那么函数()y f x =的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <7．不等式()()0x b x c a x++≤-的解集为[)[)1,23,-+∞，则b c +=（ ）A ．5-B ．2-C ．1D ．38．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ）A ．如果0a b >>,a b >B ．如果0a b >>,那么22a b >C ．对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥， 当且仅当a b =时等号成立D ．对任意正实数a 和b ，有2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立9．设()121p a a -=++，21q a a =-+，则（ ）．A ．p q >B ．p q <C ．p q ≥D ．p q ≤10．已知实数0a >，0b >，2a b +=，则12aa b+的最小值为（ ） A ．32B ．322C ．2D ．5211．设0a >，0b >55a 与5b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1D ．1412．已知命题p ：R x ∃∈，使2254x x ++≤；命题q ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()4sin sin f x x x=+的最小值为4.下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝第II 卷（非选择题）二、填空题13．若0x >时，函数21ax y x+=的最小值为5，则正实数a =____________.14．如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD 且2AB =，1AD =，2DC x =（(0,1)x ∈）．以,A B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ；以,C D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e +的取值范围为_________15．若1x >，则函数()21f x x x =+-的最小值为___________. 16．设a 、b 是实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是__________．三、解答题17．已知:(1)(2)0,:p x x q +-≥关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立 (1)当x ∈R 时q 成立，求实数m 的取值范围;(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18．已知,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求,,ααβαββ+-的取值范围.19．设数列{a n }满足a 1＝t ，a 2＝t 2，且t ≠0，前n 项和为S n ，且S n +2﹣（t +1）S n +1+tS n ＝0（n ∈N *）． （1）证明数列{a n }为等比数列，并求{a n }的通项公式； （2）当t ＜2时，比较2n +2﹣n 与t n +t ﹣n 的大小；（3）若t ＜2，b n ，求证：2n．20．已知0,0a b >>，2224a b c ++=．（1）当1c =时，求证：()()339a b a b ++≥；（2）求2224411a b c +++的最小值．21．当[]13x ∈，时，一元二次不等式2280x x a -+-≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知关于x 的不等式2520,ax x a R -+<∈. （1）当2a =时，解此不等式；（2）若此不等式的解集为{|2x x <-或1}3x >，求实数a 的值.23．你能从“盐水加盐变得更咸了”这一生活常识中提炼出一个不等式吗？若能，请写出这个不等式并证明；若不能，此题你将没有分.24．已知集合{}211600A x x x =--≤,{}133B x m x m =-≤≤+,若()AB A ⊆,求实数m 的取值范围.25．命题p :x ∀∈R ,2230x m +->成立；命题q :x ∃∈R ,2220x mx m -++<成立. (1)若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围； (2)若命题q 为真命题,求实数m 的取值范围；(3)若命题p ､q 至少有一个为真命题,求实数m 的取值范围.参考答案1．A2．B3．C4．B5．D6．D7．B8．C9．D10．D11．B12．D 13．25414．)+∞15．1+16．17．(1) ()3,2m ∈- （2）10733m <<- 18．12,,2222aπππαβπαββ<+<-<-<<< 19．（1）证明见解析，a n ＝t n （2）t n +t ﹣n ＜2n +2﹣n （3）见解析 20．（1）详见解析；（2）9． 21．5a ≤ 22．（1）1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）3-. 23．x x a y y a+<+，0x y <<，0a >，证明见解析. 24．4m ≤25．（1）32m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）{1m m <-或}2m >；（3）{1m m <-或32m ⎫>⎬⎭。
2高中数学必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》单元检测试题
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对式子 进行合理的变形和拼凑，使之能使用基本不等式求最值.
3．C
【分析】
由题意可得 恒成立，令 ，可得 ，求出 可得答案.
【详解】
解：由题意当 时， 恒成立，
令 ，可得 ，
由 ，可得 ，所以 ，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数恒成立的问题及求二次函数的最值，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
4．D
【分析】
根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可.
【详解】
①当a=b=1时，满足a＋b=2，但此时推不出结论 ， 中至少有一个大于1；
②由反证法知，若 ，b≤1，则a＋b≤2，与a＋b> 2，矛盾，即a＋b>2，可以推出 ， 中至少有一个大于1；
③当 时，满足条件a+b>-2，但不能推出 ， 中至少有一个大于1；
当 时，由题得 且 ，
解之得 .
综上所述， .
故选：C
【点睛】
本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．A
【分析】
由已知得出 ，将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可求得 的最小值，即可得出实数 的最大值.
【详解】
已知正数 、 满足 ，可得 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，所以， 的最小值为 ， .
（1）写出年利润 (万元)关于年产量 (万件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.
19．（2020·福建高一期中）已知函数 ．
（1）若对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
高一数学必修一第二章测试题及答案
人教版高中数学必修一第二章 《一元二次函数、方程和不等式》测试题及答案解析(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式x 2≥2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥2} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}解析：选D 由x 2≥2x 得x (x －2)≥0，解得x ≤0或x ≥2，故选D. 2．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >BD ．A >B解析：选B ∵A－B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，∴A ≥B.3．不等式组⎩⎨⎧x 2－1<0，x 2－3x <0的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3}解析：选C 由⎩⎨⎧x2－1<0，x2－3x<0，得⎩⎨⎧－1<x<1，0<x<3，所以0<x<1，即不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.4．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( ) A ．{x |x <5a 或x >－a } B ．{x |x >5a 或x <－a } C ．{x |－a <x <5a }D ．{x |5a <x <－a }解析：选A 方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a ，5a.因为2a ＋1<0，所以a<－12，所以－a>5a.结合二次函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a 或x>－a}，故选A.5．已知a ，b ，c ∈R ，则下列说法中错误的是( ) A ．a >b ⇒ac 2≥bc 2 B.a c >b c，c <0⇒a <b C ．a 3>b 3，ab >0⇒1a <1bD ．a 2>b 2，ab >0⇒1a <1b解析：选D 对于A ，c 2≥0，则由a>b 可得ac 2≥bc 2，故A 中说法正确； 对于B ，由a c >b c ，得a c －b c ＝a －bc >0，当c<0时，有a －b<0，则a<b ，故B 中说法正确；对于C ，∵a 3>b 3，ab>0，∴a 3>b 3两边同乘1a3b3，得到1b3>1a3，∴1a <1b，故C 中说法正确；对于D ，∵a 2>b 2，ab>0，∴a 2>b 2两边同乘1a2b2， 得到1b2>1a2，不一定有1a <1b，故D 中说法错误．故选D.6．若关于x 的一元二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－2或m ≥2B ．－2≤m ≤2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <2解析：选B 因为不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，所以Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m≤2.7．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－300x ＋80 000，为使平均处理成本最低，该厂每月处理量应为( )A ．300吨B ．400吨C ．500吨D ．600吨解析：选B 由题意，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)的函数关系为y＝12x 2－300x ＋80 000，所以平均处理成本为s ＝y x ＝12x2－300x ＋80 000x ＝x 2＋80 000x －300，其中300≤x≤600，又x 2＋80 000x－300≥2x 2·80 000x－300＝400－300＝100，当且仅当x 2＝80 000x 时等号成立，所以x ＝400时，平均处理成本最低．故选B.8．设正数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y－2z的最大值是( ) A ．0 B ．1 C.94D ．3解析：选B 由题意得xy z ＝xy x2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4y x －3≤14－3＝1，当且仅当x＝2y 时，等号成立，此时z ＝2y 2.故2x ＋1y －2z ＝－1y2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时，等号成立，故所求的最大值为1.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2，则下列结论正确的是( )A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a ＋b ＋c >0解析：选BCD 因为不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x<2，故相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a<0，故A 错误；易知2和－12是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1<0，－b a ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝32>0，又a<0，故b>0，c>0，故B 、C 正确；因为ca ＝－1，所以a ＋c ＝0，又b>0，所以a ＋b ＋c>0，故D 正确．故选B 、C 、D.10．下列结论中正确的有( )A ．若a ，b 为正实数，a ≠b ，则a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2B ．若a ，b ，m 为正实数，a <b ，则a ＋m b ＋m <a bC ．若a c 2>bc2，则a >bD ．当x >0时，x ＋2x的最小值为2 2解析：选ACD 对于A ，∵a ，b 为正实数，a ≠b ，∴a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a －b)2(a ＋b)>0，∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，故A 正确；对于B ，若a ，b ，m 为正实数，a<b ，则a ＋m b ＋m －a b ＝m （b －a ）b （b ＋m ）>0，则a ＋m b ＋m >ab，故B 错误；对于C ，若a c2>bc2，则a>b ，故C 正确； 对于D ，当x>0时，x ＋2x 的最小值为22，当且仅当x ＝2时取等号，故D正确．故选A 、C 、D.11．下列各式中，最大值是12的是( )A ．y ＝x 2＋116x 2B ．y ＝x 1－x 2(0≤x ≤1)C ．y ＝x 2x 4＋1D ．y ＝x ＋4x ＋2(x >－2) 解析：选BCA中，y ＝x 2＋116x2≥2x2·116x2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝±12时取等号，因此式子无最大值；B 中，y 2＝x 2(1－x2)≤⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1－x222＝14，y ≥0， ∴0≤y ≤12，当且仅当x ＝22时y 取到最大值12； C 中，当x ＝0时，y ＝0，当x≠0时，y ＝1x2＋1x2≤12x2·1x2＝12，当且仅当x ＝±1时y 取到最大值12；D 中，y ＝x ＋4x ＋2＝x ＋2＋4x ＋2－2≥2（x ＋2）·4x ＋2－2＝2(x>－2)(当且仅当x ＝0时取等号)，无最大值，故选B 、C.12．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入，则这批台灯的售价x (元)的取值可以是( )A ．10B ．15C ．16D ．20解析：选BC 设这批台灯的售价定为x 元，x ≥15，则[30－(x －15)×2]·x>400，即x 2－30x ＋200<0，因为方程 x 2－30x ＋200＝0的两根分别为x 1＝10，x 2＝20，所以x 2－30x ＋200<0的解集为{x|10<x<20}，又因为x≥15，所以15≤x<20.故选B 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知a >b ，a －1a >b －1b同时成立，则ab 应满足的条件是________．解析：因为a －1a >b －1b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1b ＝（a －b ）（ab ＋1）ab >0.又a>b ，即a －b>0，所以ab ＋1ab>0，从而ab(ab ＋1)>0，所以ab<－1或ab>0.答案：ab<－1或ab>014．一个大于50小于60的两位数，其个位数字b 比十位数字a 大2.则这个两位数为________．解析：由题意知⎩⎨⎧50<10a ＋b<60，b －a ＝2，0<a ≤9，0≤b ≤9，解得4411<a<5311. 又a∈N*，∴a ＝5.∴b ＝7，∴所求的两位数为57. 答案：5715．一元二次不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为{x |x <－3或x >1}，则a ＋b ＝________，一元一次不等式ax ＋b <0的解集为________．解析：由题意知，－3和1是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧－3＋1＝－a ，－3×1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3， 故a ＋b ＝－1.不等式ax ＋b<0即为2x －3<0， 所以x<32.答案：－1⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<32 16．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为________． 解析：因为x ，y 为正数，且x ＋2y ＝2，所以x 2＋y ＝1，所以x ＋8yxy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ＝x 2y ＋8yx ＋5≥2x 2y ·8y x ＋5＝9，当且仅当x ＝4y ＝43时，等号成立，所以x ＋8yxy的最小值为9. 答案：9四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0，所以(2x ＋1)(x －2)<0，故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x<2. (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0. 所以(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤－12或x≥1.18．(本小题满分12分)当p ，q 都为正数且p ＋q ＝1时，试比较代数式(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．解：(px ＋qy)2－(px 2＋qy 2)＝p(p －1)x 2＋q(q －1)y 2＋2pqxy. 因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p ，所以(px ＋qy)2－(px 2＋qy 2)＝－pq(x 2＋y 2－2xy)＝－pq(x －y)2. 因为p ，q 都为正数，所以－pq(x －y)2≤0，因此(px ＋qy)2≤px 2＋qy 2，当且仅当x ＝y 时等号成立．19．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0.当a 为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1?(2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3?解：(1)已知方程的一个根大于1，另一个根小于1，结合二次函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象(如图所示)知，当x ＝1时，函数值小于0，即12－2＋a<0，所以a<1.因此a 的取值范围是{a|a<1}．(2)由方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3，结合二次函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象(如图所示)知，x 取－1，3时函数值为正，x 取1，2时函数值为负，即⎩⎨⎧1＋2＋a>0，1－2＋a<0，4－4＋a<0，9－6＋a>0，解得－3<a<0.因此a 的取值范围是{a|－3<a<0}．20．(本小题满分12分)已知a >0，b >0且1a ＋2b＝1.(1)求ab 的最小值； (2)求a ＋b 的最小值．解：(1)因为a>0，b>0且1a ＋2b ＝1，所以1a ＋2b≥21a ·2b＝22ab，则22ab≤1， 即ab≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2b ＝1，1a ＝2b ，即⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab 的最小值是8. (2)因为a>0，b>0且1a ＋2b ＝1，所以a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b)＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ·2ab＝3＋22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2b ＝1，b a ＝2a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1＋2，b ＝2＋2时取等号，所以a ＋b 的最小值是3＋2 2.21．(本小题满分12分)设y ＝ax 2＋(1－a )x ＋a －2.(1)若不等式y ≥－2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式ax 2＋(1－a )x ＋a －2<a －1(a ∈R)．解：(1)ax 2＋(1－a)x ＋a －2≥－2对于一切实数x 恒成立等价于ax 2＋(1－a)x ＋a≥0对于一切实数x 恒成立．当a ＝0时，不等式可化为x≥0，不满足题意； 当a≠0时，由题意得⎩⎨⎧a>0，（1－a ）2－4a2≤0，解得a≥13.所以实数a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥13.(2)不等式ax 2＋(1－a)x ＋a －2<a －1等价于ax 2＋(1－a)x －1<0. 当a ＝0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为{x|x<1}； 当a>0时，不等式可化为(ax ＋1)(x －1)<0，此时－1a<1，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x<1； 当a<0时，不等式可化为(ax ＋1)(x －1)<0，①当a ＝－1时，－1a＝1，不等式的解集为{x|x≠1}；②当－1<a<0时，－1a >1，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>－1a ；③当a<－1时，－1a <1，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<－1a 或x>1. 综上所述，当a<－1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<－1a 或x>1；当a ＝－1时，不等式的解集为{x|x≠1}；当－1<a<0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>－1a ；当a ＝0时，不等式的解集为{x|x<1}；当a>0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x<1. 22．(本小题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的关系式为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试写出年利润W (万元)与年广告费x (万元)的关系式；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？ 解：(1)由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为⎝⎛⎭⎪⎫32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%万元， ∴年销售收入为⎝⎛⎭⎪⎫32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%·Q ＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3)－12x ＝12(32Q ＋3－x) ＝－x2＋98x ＋352（x ＋1）(x≥0)．(2)由(1)得，W ＝－x2＋98x ＋352（x ＋1）＝－（x ＋1）2＋100（x ＋1）－642（x ＋1）＝－x ＋12－32x ＋1＋50.∵x ＋1≥1，∴x ＋12＋32x ＋1≥2x ＋12·32x ＋1＝8， ∴W ≤42，当且仅当x ＋12＝32x ＋1，即x ＝7时，W 有最大值42，即当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元．。
2021年秋高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习卷
高一数学第二章 《一元二次函数、方程和不等式》练习卷一、单选题1．若0x >，0y >，且47x y +=，则111x y++的最小值为（ ） A ．2B ．98C ．94D ．322．关于x 的方程11x xx x =--的解集为（ ） A ．{0} B ．{x |x ≤0或x >1} C ．{x |0≤x <1}D ．{x |x ≠1}3．若－4<x <1，则22222x x x -+-（ ）A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－14．已知210a +<,则关于x 的不等式22450x ax a -->的解集是 A ．{|5x x a <或}x a >- B ．{|5x x a >或}x a <- C ．{}5x a x a -<<D ．{}5x a x a <<-5．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )·(n ＋x )>0的解集是（ ） A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }6．下列四个命题中的真命题为（ ） A ．∃x ∈Z ，1<4x <3 B ．∃x ∈Z ，5x ＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0 7．设四边形的两条对角线为、，则“四边形为菱形”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )＝（ ） A ．{x |0≤x <1} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |x <0} D ．{x |x >1}二、多选题9．下列不等式一定成立的是（ ）A ．3x x+≥B ．4212x x+≥C ．()2222x y x y +≤+D ．若0x <，0y <，则2y xx y+≤- 10．如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（ ） A ．11a b< B ．22ac bc < C ．11a b b a+<+ D ．22a ab b >>11．已知b 克糖水中有a 克糖()0b a >>，若再添加m 克糖()0m >，则糖水变得更甜.对于0b a >>，0m >，下列不等式正确的有：A ．a a mb b m+<+ B ．a a m b b m->- C ．a a bmb b am +<+ D ．a a bmb b am-<- 12．已知关于x 的不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b ，下列结论正确的是（ ）A ．当a ＜b ＜1时，不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为∅B ．当a ＝1，b ＝4时，不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |0≤x ≤4}C ．当a ＝2时，不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集可以为{x |c ≤x ≤d }的形式D ．不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好为{x |a ≤x ≤b }，那么b ＝43三、填空题13．某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：今制订计划欲使总产值最高，则A 类电子器件应开发_______件，最高产值为______万元. 14．已知不等式x 2+ax +b ≥0的解集为{x |x ≤2或x ≥3}，则a +b ＝_____．15．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立.若p 为真命题，则实数m 的取值范围是___________.16．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________． 四、解答题17．已知正数a 、b 满足111a b+=．（1）求a +b 的最小值； （2）求4911a ba b 的最小值．18．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，求： （1）3x+4y 的最小值； （2）求xy 的最小值．19．某个体户计划经销A ，B 两种商品，据调查统计，当投资额为(0)t t ≥万元时，经销A ，B 商品中所获得的收益分别为()f t 万元与()g t 万元，其中()1,()f t t g t =+=2101(03),{1912(35).t t t t t t +≤≤+-+-<≤如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．20．设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c 21．解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.22．已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R．（1）当a＝2时，求A∪B和(∁R A)∩B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．。
高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试(含答案)
高中数学必修一第二章一、单选题1．已知集合A ={x‖x ―2|<1}， B ={x |x 2―2x ―3<0}.则A ∩B =A ．{x |1<x <3}B ．{x |―1<x <3}C ．{x |―1<x <2}D ．{x |x >3}2．下列结论成立的是（ ）A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a ＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a+c ＞b+dD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣d ＞b ﹣c3．已知关于 x 的不等式 a x 2―2x +3a <0 在 (0,2] 上有解，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,33)B ．(―∞,47)C ．(33,+∞)D ．(47,+∞)4．当x ＞3时，不等式x+1x ―1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，3]B ．[3，+∞）C ．[ 72，+∞）D ．（﹣∞， 72]5．下列不等式恒成立的是（ ）A ．a 2+b 2≤2abB ．a +b ≥―2|ab |C ．a 2+b 2≥―2abD ．a +b ≤2|ab |6．已知 x >2 ，函数 y =4x ―2+x 的最小值是（ ） A ．5B ．4C ．8D ．67．设正实数x ，y ，z 满足x 2―3xy +4y 2―z =0，则当xy z取得最大值时，2x +1y ―2z 的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．94D ．38．已知正数x ，y 满足x+y ＝1，且 x 2y +1+y 2x +1≥m ，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．4二、多选题9．设正实数a ，b 满足a +b =1，则（ ）A ．a 2b +b 2a ≥14B ．1a +2b +12a +b ≥43C ．a 2+b 2≥12D ．a 3+b 3≥1410．若a ，b ∈(0，+∞)，a +b =1，则下列说法正确的有（ ）A ．(a +1a)(b +1b )的最小值为4B ．1+a +1+b 的最大值为6C．1a +2b的最小值为3+22D．2aa2+b+ba+b2的最大值是3+23311．已知a，b是正实数，若2a+b=2，则（ ）A．ab的最大值是12B．12a+1b的最小值是2C．a2+b2的最小值是54D．14a+b+2a+b的最小值是3212．已知a，b，c为实数，则下列命题中正确的是（ ）A．若a c2<bc2，则a<b B．若ac>bc，则a>bC．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a<b<0，则1a >1 b三、填空题13．不等式﹣2x（x﹣3）（3x+1）＞0的解集为 ．14．已知正实数x，y满足xy―x―2y=0，则x+y的最小值是 . 15．已知a，b均为正数，且ab―a―2b=0，则a24+b2的最小值为 ．16．以max A表示数集A中最大的数．已知a>0，b>0，c>0，则M=max{1c +ba,1ac+b,ab+c}的最小值为 四、解答题17．已知U=R且A={x∣x2―5x―6<0}，B={x∣―4≤x≤4}，求：（1）A∪B；（2）(C U A)∩(C U B)．18．解下列关于x的不等式:（1）x2―2x―3≤0;（2）―x2+4x―5>0;（3）x2―ax+a―1≤019．已知关于x的不等式2x2+x>2ax+a(a∈R)．（1）若a=1，求不等式的解集;（2）解关于x的不等式．20．某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE 需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x（x≥10），ED=y，试用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明理由．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】B,C,D10．【答案】B,C,D11．【答案】A,B12．【答案】A,C,D13．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（0，3）314．【答案】3+2215．【答案】816．【答案】217．【答案】（1）解：因为A={x∣x2―5x―6<0}=(―1，6)，且B={x∣―4≤x≤4}=[―4，4]，则A ∪B=[―4，6)．（2）解：由（1）可知，A=(―1，6)，B=[―4，4]，则C U A=(―∞，―1]∪[6，+∞)，C U B=(―∞，―4)∪(4，+∞)，所以(C U A)∩(C U B)=(―∞，―4)∪[6，+∞)．18．【答案】（1）解：x2―2x―3≤0,(x―3)(x+1)≤0⇒x≤―1或x≥3,故解集为: (―∞,―1]∪[3,+∞).（2）解：―x2+4x―5>0,∴x2―4x+5<0⇒(x―2)2+1<0⇒x无解,故解集为: ∅（3）解：x2―ax+a―1≤0,∴[x―(a―1)](x―1)≤0,当a―1<1,即a<2时,解集为[a―1,1],当a―1=1,即a=2时,解集为x=1,当 a ―1>1 ,即 a >2 时,解集为 [1,a ―1] .所以:当 a <2 时,解集为 [a ―1,1] ,当 a =2 时,解集为 x =1 ,当 a >2 时,解集为 [1,a ―1] .19．【答案】（1）解：2x 2+x >2ax +a ，∴x (2x +1)>a (2x +1)，∴(x ―a )(2x +1)>0，当a =1时，可得解集为{x |x >1或x <―12}.（2）对应方程的两个根为a ，―12，当a =―12时，原不等式的解集为{x |x ≠―12}，当a >―12时，原不等式的解集为{x |x >a 或x <―12}，当a <―12时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >―12}.20．【答案】（1）解：∵△ABC 的边长是20米，D 在AB 上，则10≤x≤20，S △ADE = 12S △ABC ，∴12 x•AEsin60°= 12 • 34 •（20）2，故AE= 200x，在三角形ADE 中，由余弦定理得：y= x 2+4⋅104x 2―200 ，（10≤x≤20）；（2）解：若DE 作为输水管道，则需求y 的最小值， ∴y= x 2+4⋅104x 2―200 ≥ 400―200 =10 2 ，当且仅当x 2= 4⋅104x 2即x=10 2 时“=”成立．。
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数学第二章测试卷A 卷
本试卷满分100分，考试时间80分钟．
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．若a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，则下列不等式一定成立的是
A ．22ab b c
<B ．ab ac <C ．ac bc <D ．ab bc <2．已知正数a 、b 满足
111a b +=，则9411a b +--的最小值是A ．6B ．12
C ．24
D ．363．已知二次函数2()f x x bx c =++的两个零点分别在区间(﹣2，﹣1)和(﹣1，0)内，则(3)
f 的取值范围是
A ．(12，20)
B ．(12，18)
C ．(18，20)
D ．(8，18)4．若x ＞0，y ＞0，且11112x x y
+=++，则2x y +的最小值为A ．2B
．C
．4+D
．12+5．关于x 的不等式22(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是
A ．3423a -<≤-或4332a <≤
B ．3423a -
<≤-或4332a ≤<C ．3423a -≤<-或4332a <≤D ．3423a -≤<-或4332a ≤<二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共计10分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
6．若非零实数a ，b 满足a ＜b ，则下列不等式不一定成立的是
A ．
1a b <B ．2b a a b +≥C ．2211ab a b <D ．22a a b b +<+7．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这
种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，
很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为
无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC
＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C
作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD
第7题的垂线，垂足为E ．则该图形可以完成的所有的无字证明为
A
．2
a b +≥(a ＞0，b ＞0)B ．222a b ab +≥(a ＞0，b ＞0)C
211a b ≥+(a ＞0，b ＞0)D ．2222
a b a b ++≥(a ≥0，b ＞
0)
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．
．）8．已知实数a 、x 满足x ＜a ＜0，则a 2、x 2、ax 中的最大数为．
9．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{}26x x <<，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为
．
10．x ＞4，y ＞1，且xy ＝12＋x ＋4y ，则x ＋y 的最小值是
．11．已知a ＞0，b ＞0，c ＞2且a ＋b ＝1，则362
ac c b ab c ++-的最小值是．四、解答题（本大题共4小题，共计45分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
12．（本题满分10分）
已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．
13．（本题满分12分）
正实数a ，b ，c 满足a 2﹣3ab ＋4b 2﹣c ＝0，当ab c 最大值时，求212a b c
+-的最大值．
14．（本题满分12分）
某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x N*
∈)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为
10(a﹣3
500
x
)万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
15．（本题满分11分）
已知M是关于x的不等式2x2＋(3a﹣7)x＋3＋a﹣2a2＜0解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
参考答案1．C2．B3．A4．D5．B 6．ABD7．AC
8．x29．
11
62
x x x
⎧⎫
<>
⎨
⎩⎭
或10．1311．24
12．略
13．略
14．（1）最多调整500名（2）（0，5】15．a<-1,或a>3/2。