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《初中数学北师大版九年级下学期_第一章_单元测试卷》详细答案与试题解析
《初中数学北师大版九年级下学期第一章单元测试卷》一、单选题(共10题;共40分)1. 在Rt△ABC中,∠C=90∘,∠B=40∘,AB=10,则直角边BC的长是()A.10sin40∘B.10cos40∘C.10tan40∘D.10sin402. 若∠A是锐角,且sin A=14,则()A.0º<∠A<30ºB.30º<∠A<45ºC.45º<∠A<60ºD.60º<∠A<90º3. 如果a是锐角,且cos a=45,那么sin a的值是()A.9 25B.45C.35D.16254. 如图,△ABC的三个顶点均在格点上,则cos A的值为( )A.1 2B.√55C.2D.2√555. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘,BC=5,AC=12,则sin B的值是()A.5 12B.125C.135D.12136. 如图,在平面直角坐标系中,直线OA过点(3,1),则tanα的值是().A.√1010B.√10 C.13D.37. 在Rt△ABC中,∠C=90∘,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,如果a=3b,那么∠A的余切值为()A.1 3B.3C.√24D.√10108. 在Rt△ABC中,∠C=90∘,如果AC=2,cos A=34,那么AB的长是()A.5 2B.83C.103D.23√79. 某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度.如图,大楼前有一段斜坡BC,已知BC的长为12米它的坡度i=1:√3.在离C点40米的D处,用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37度,测角仪DE的高度为1.5米,求大楼AB的高度约为()米(sin37∘=0.60,cos37∘=0.80,tan37∘=0.75,√3=1.73)A.39.3B.37.8C.33.3D.25.710. 如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于()A.a sin x+b sin xB.a cos x+b cos xC.a sin x+b cos x.D.a cos x+b sin x二、填空题(共6题;共24分)=________.已知∠A是锐角,且tan A=√3,则sin A2如图,当小明沿坡度i=1:√3的坡面由A到B行走了6米时,他实际上升的高度BC=________米.如果α是锐角,且sinα=cos20∘,那么α=________度.若sinα=√2cos60∘,则锐角α=________.某人从地面沿着坡度为i=1:√3的山坡走了100米,这时他离地面的高度是________米.,∠C=∠D,则如图,在四边形ABCD中,AB=√29,AD=7,BC=8,tan∠B=52线段CD的长为________.三、计算题(共2题;共12分)计算:2cos30∘+4sin30∘−tan60∘.+√8cos45∘+√(1−tan60∘)2.计算:3tan30∘−1cos60∘四、解答题(共5题;共44分)我们把底角为51∘的等腰三角形称为最稳定三角形.如图,已知△ABC是最稳定三角形,AB=AC,BC=232.8m.求BC边上的高AD的长.(sin51∘≈0.8,cos51∘≈0.6,tan51∘≈1.2,精确到1m),AC=6√3,求AB的长.如图,在△ABC中,∠A=30∘,tan B=34周末,小强在文化广场放风筝.如图,小强为了计算风筝离地面的高度,他测得风筝的仰角为58∘,已知风筝线BC的长为10米,小强的身高AB为1.55米.请你帮小强画出测量示意图,并计算出风筝离地面的高度(结果精确到0.1米).(参考数据:sin58∘=0.85,cos58∘=0.53,tan58∘=1.60)如图,四边形ABCD中,∠ADB=∠DBC=90∘,AD=6,CD=12,tan A=4,求5sin C的值.如图,某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度,他们先在A 处测得古塔顶端点D的仰角为45∘,再沿着BA的方向后退20m至C处,测得古塔顶端点D的仰角为30∘.求该古塔BD的高度(,结果保留一位小数).参考答案与试题解析《初中数学北师大版九年级下学期 第一章 单元测试卷》一、单选题(共10题;共40分) 1.【答案】 B【考点】 解直角三角形 【解析】根据余弦的定义求解. 【解答】在Rt △ABC 中,∠C =90∘, cos B =BC AB,BC =10cos 40∘. 2.【答案】 A【考点】锐角三角函数的定义 【解析】根据题意,由30∘的正弦值,判断得到|∠A 的度数范围即可. 【解答】 解:∵ sin 30∘=12又∵ 0<14<12:0∘<∠A <30∘ 故答案为:A . 3.【答案】 C【考点】锐角三角函数的定义 【解析】根据题意,由cos a 的值,计算得到答案即可. 【解答】解∵ sin 2a +cos 2a =1 ∵ 5ln a =√1−cos 2a=√1−(45)2=35故答案为:C .4. 【答案】D【考点】锐角三角函数的定义勾股定理【解析】过B点作BD⊥AC,得AB的长,AD的长,利用锐角三角函数得结果.【解答】解:过B点作BD⊥AC于D,如图,由勾股定理得AB=√12+32=√10,AD=√22+22=2√2,cos A=ADAB =√2√10=2√55.故选D.5.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义【解析】由勾股定理先求斜边,再由正弦定义可求.【解答】解:在Rt△ABC中,由勾股定理|AB=√BC2+AC2=√52+122=13inB=ACAB =1213故答案为:D.6.【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】将点(3,1)设为点C,过点C作CD⊥x轴于点D,然后利用正切的定义即可求出答案.【解答】将点(3,1)设为点C,过点C作CD⊥x轴于点D,C(3,1)OD=3,CD=1tanα=CD OD=13故答案为:C.7.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据余切函数的定义即可求解.【解答】∵在Rt△ABC中,∠C=90∘,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,a=3b,∴cot A=ba =13.8.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据cos A=ACAB =34,求出AB即可.【解答】在Rt△ABC中,∵∠C=90∘,AC=2,又∵cos A=ACAB =34,∴AB=83,9.【答案】C【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】延长AB交直线DC于点F,过点E作I5H⊥AF,垂足为点H,在RtttCF中利用坡度的定义求得CF的长,则DF即可求得,然后在直角4AEH中利用三角函数求得AF的长,进而求得AB的长.【解答】解:延长AB交直线DC于点F,过点E作EH⊥AF,垂足为点H.:在RtBC中,BFCF=1:√3∴设BF=k,则CF=√3k,BC=2k.又.BC=12k=6.BF=6,CF=6√3DF=DC+CFDF=40+6√3:在RtAEH中,tan∠AEH=AHEHAH=tan37∘×(40+6√3)≈37.785(米),⋅8H=BF−FHBH=6−1.5=4.5AB=AH−HBAB=37.785−4.5≈33.3.3.故答案为:C.10.【答案】D【考点】解直角三角形的应用【解析】作4G⊥OC交OC于点G,交BC于点H,由矩形性质得.∠ABH=90∘AD=BC=b,根据等角的余角相等得∠HCG=∠BAH=x,在Rt=ABH中,根据锐角三角函数余弦定义cos x=ABAH得AH=a COSx 根据锐角三角函数正切定义tan x=BHAB得BH=a+ax,从而可得CH长,在Rt=CGH中,根据锐角三角函数正弦定义sin x=GHCH得GH=bsinxa tan x sin x,由AG=AH+HG计算即可得出答案【解答】解:作AG⊥OC交OC于点G,交BC于点H,如图,:四边形ABCD为矩形,AD=b∠ABH=90∘AD=BC=bOB⊥OC∠O=90∘又…∠HGG+∠GHC=90∘∠AB+∠BAH=90∘∠GHC=∠ABB∠BCO=x ∠HCG=∠BAH=x在Rt=ABH中,∵cos∠BAH=cos x=ABAHAB=a∴ AH=a COSx⋅tan∠BAH=tan x=BHBH=a+anxCH=BC−BH=b−a+anx在R t tGGH2中,∵ 5∠HGG=sin x=GH CH(b−−a+−a+am⋅sin x=b sinsin x−axxAG=AH+HG=acos x+b sin x−a tan x sin xa cos x +b sin x−a sin2xcos x=b sin x+a cos x.故答案为:D.二、填空题(共6题;共24分)【答案】12【考点】特殊角的三角函数值【解析】先根据tan A=√3,求出∠A的度数,然后代入求解.【解答】解:∵tan A=√3,∴∠A=60∘,∴sin A2=sin30∘=12.故答案为:12.【答案】3【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】根据坡度的概念求出∠A,根据直角三角形的性质解答.【解答】∵i=1:√3,∴tan A=√3=√33,∴∠A=30∘,∴BC=12AB=3(米),【答案】70【考点】互余两角三角函数的关系【解析】直接利用sin A=cos(90∘−∠A),进而得出答案.【解答】∵sinα=cos20∘,∴α=90∘−20∘=70∘.【答案】45∘【考点】特殊角的三角函数值【解析】根据30∘,45∘,60∘角的三角函数值解答即可.【解答】∵sinα=√2cos60∘=√2×12=√22,∴α=45∘.【答案】50【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形.利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后,借助于勾股定理进行解答.【解答】∵坡度为i=1:√3,∴设离地面的高度为x,那么水平距离为√3x.∵x2+(√3x)2=1002解得x=50.即这时他离地面的高度是50米.【答案】6√2613【考点】解直角三角形【解析】如图,作AH⊥BC于H,在CB上截取CE,使得CE=AD,连接AE,作DM⊥AE于M,CN⊥AE于N.构造等腰梯形,把等腰梯形分成两个全等三角形一个矩形解决问题即可.【解答】如图,作AH⊥BC于H,在CB上截取CE,使得CE=AD,连接AE,作DM⊥AE于M,CN⊥AE于N.∵∠ADC=∠ECD,DA=CE,∴四边形ADCE是等腰梯形,则△ADM≅△ECN,可得AM=EN,四边形MNCD是矩形,可得CD=MN,在Rt△ABH中,∵tan B=52,AB=√29,∴AH=5,BH=2,∵BC=8,EC=AD=7,∴BE=8−7=1,∴EH=BH−BE=1,在Rt△AEH中,AE=√AH2+EH2=√26,∵△ECN∽△EAH,∴ENEH =ECAE,∴EN=7√2626,∴AM=EN=7√2626,∴CD=MN=AE−AM−EN=6√2613,三、计算题(共2题;共12分)【答案】解:2cos30∘+4sin30∘−tan60∘=2×√32+4×12−√3=2.【考点】特殊角的三角函数值【解析】代入特殊角的三角函数直接求解即可. 【解答】解:2cos30∘+4sin30∘−tan60∘=2×√32+4×12−√3=2. 【答案】解:原式=3×√33−112+√8×√22+√(1−√3)2=√3−2+2+√3−1=2√3−1.【考点】特殊角的三角函数值【解析】将特殊角的三角函数值代入,根据实数的运算法则求值即可.【解答】此题暂无解答四、解答题(共5题;共44分)【答案】高AD的长是140米.【考点】锐角三角函数的定义解直角三角形特殊角的三角函数值等腰三角形的性质:三线合一【解析】此题暂无解析【解答】根据最稳定三角形得出∠B=∠C=51∘,且AB=AC,再利用三线合一得出BD,最后利用三角函数求出AD.解:∵△ABC是最稳定三角形,∴∠B=∠C=51∘,且AB=AC,∵AD BC,∴BD=BC=116.4m,∴AD=116.4×tan51∘=139.68≈140m,∴BC边上的高AD的长是140米.【答案】如图,过点C作CD⊥AB于点D.∵在Rt△CDA中,∠A=30∘,∴CD=AC⋅sin30∘=3√3,AD=AC×cos30∘=9,在Rt△CDB中,∵tan B=34∴CDBD =34∴BD=4√3,∴AB=AD+DB=9+4√3.【考点】解直角三角形【解析】过点C作CD⊥AB于点D,根据∠A=30∘,tan B=34,AC=6√3可求出AD与BD的长度.【解答】如图,过点C作CD⊥AB于点D.∵在Rt△CDA中,∠A=30∘,∴CD=AC⋅sin30∘=3√3,AD=AC×cos30∘=9,在Rt△CDB中,∵tan B=34∴CDBD =34∴BD=4√3,∴AB=AD+DB=9+4√3.【答案】风筝离地面的高度约为10.1m.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】根据题意画出图形,根据sin58∘=CEBC可求出CE的长,再根据CD=CE+ED即可得出答案.【解答】解:如图,过点C作地面的垂线CD,垂足为D,过点B作BE⊥CD于E.在Rt△CEB中,∵sin∠CBE=CEBC,∴CE=BC⋅sin58∘=10×0.85≈8.5m,∴CD=CE+ED=8.5+1.55=10.05≈10.1m,【答案】解:∵∠ADB=∠DBC=90∘,AD=6,tan A=45,tan A=BDAD,∴BD=4.8.∵CD=12,∴sin C=BDCD =4.812=25.【考点】解直角三角形【解析】根据∠ADB=∠DBC=90∘,AD=6,CD=12,tan A=45,可以求得BD的长,从而可以求得sin C的值.【解答】解:∵∠ADB=∠DBC=90∘,AD=6,tan A=45,tan A=BDAD,∴BD=4.8.∵CD=12,∴sin C=BDCD =4.812=25.【答案】27.3m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题勾股定理解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】先根据题意得出:∠BAD2CD的度数及;AC的长,再在Rt△ABD中可得出AB=BD,利用锐角三角函数的定义可得出BD的长.【解答】解:根据题意可知:∠BAD=45∘,∠BCD=30∘,AC=20m在Rt△ABD中,由∠BAD=∠BDA=45∘,得AB=BD在F加BDC中,由|tan∠BCD=BDBC,得BC=√3BD又BC⋅AB=AC,√3BD−BD=20,∴BD=√3−1≈27.3(n)答:该古塔BD的高度273m。
九年级数学下册第一章单元测试题及参考答案
九年级数学下册第一章单元测试题及参考答案要想学好一门课就必须大量反复地做题,为此,精品小编为大家整理了这篇九年级数学下册第一章单元测试题及参考答案,以供大家参考! 一、选择题(每题3分,共30分) 1.顺次连接对角线相等的平行四边形四边中点,所得的四边形必是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形2.到三角形三边距离相等的点是三角形( ) A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线交点D.不确定 3.正方形的对角线长为a,则它的对角线的交点到它的边的距离为( ) A.22a B.24a C.a2 D.22a 4.梯形上底长是4,下底长是6,则中位线夹在两条对角线之间的线段长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图,将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点E,若,则在不添加任何辅助线的情况下,图中的45°角有( ) A.6个B.5个C.4个D.3个 第6题 6.如图,□ABCD中,过对角线交点O引EF交BC于点E,交AD于点F,若AB=5cm,AD=7cm,OE=2cm,则四边形ABEF的周长是( ) A.14 B.16cm, C.19cm D.24cm 7.如果等腰梯形的两底之差等于它一腰的长,则这个等腰梯形的锐角是( ) A.60° B.30° C.45° D.15° 8.顺次连接四边形四边的中点,所得的四边形是菱形,则原四边形一定是( ) A.平行四边形B.对角线相等的四边形 C.矩形D.对角线互相垂直的四边形 9.若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长,则它的最小内角等于( ) A.10° B.20° C.30° D.60° 10.下列条件中,能判定四边形是正方形的是( ) A.对角线相等B.对角线互相垂直 C.对角线相等且垂直D.对角线相等且互相垂直平分 二、填空题(每题3分,共30分) 11.等腰三角形的一个内角为80°,则其它两个角分别是___________. 12.在中, ,则a:b:c=___________. 13.已知矩形的对角线长为10cm,则它的各边中点的连线所得的四边形的周长为___________cm. 14.平行四边形的两邻边长分别是6cm,8cm,夹角为30°,则这个平行四边形的面积是__________. 15.平行四边形的两邻角之比为1:2,两条高分别为2,3,则其面积为_______. 16.菱形的周长为20,且一条对角线长为5,则它的另一条对角线长为______. 17.矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=60°,AB=23,AE⊥BD,垂足为E,那幺BD=______,BE=________. 18.四边形ABCD中,∠A=∠C , ,AB=3,BC=2,则CD=_______. 19.梯形的上底长3cm,下底长7cm,则它的一条对角线把它分成的两部分的面积比是_________. 20.梯形ABCD中, AB∥CD,中位线FE交AD、AC、BD、BC于点E、G、H、F,若DC=5,AB=11,则EH=________,GH=_________. 学习是一个循序渐进的过程,也是一个不断积累不断创新的过程。
(含答案)九年级数学北师大版下册第1章《单元测试》03
答卷时应注意事项1、拿到试卷,要认真仔细的先填好自己的考生信息。
2、拿到试卷不要提笔就写,先大致的浏览一遍,有多少大题,每个大题里有几个小题,有什么题型,哪些容易,哪些难,做到心里有底;3、审题,每个题目都要多读几遍,不仅要读大题,还要读小题,不放过每一个字,遇到暂时弄不懂题意的题目,手指点读,多读几遍题目,就能理解题意了;容易混乱的地方也应该多读几遍,比如从小到大,从左到右这样的题;4、每个题目做完了以后,把自己的手从试卷上完全移开,好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题;试卷第1页和第2页上下衔接的地方一定要注意,仔细看看有没有遗漏的小题;5、中途遇到真的解决不了的难题,注意安排好时间,先把后面会做的做完,再来重新读题,结合平时课堂上所学的知识,解答难题;一定要镇定,不能因此慌了手脚,影响下面的答题;6、卷面要清洁,字迹要清工整,非常重要;7、做完的试卷要检查,这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题,检查的时候,用手指点读题目,不要管自己的答案,重新分析题意,所有计算题重新计算,判断题重新判断,填空题重新填空,之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友,你们好!经过两个月的学习,你们一定有不小的收获吧,用你的自信和智慧,认真答题,相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的!北师大版九年级下单元测试第1单元班级________姓名________一、单选题1.在ABC 中,90C Ð=,1AC BC ==,则sin A 的值是()A B .2C .1D .122.如图,在Rt ABC 中,90A Ð=°,AD 是BC 边上的高,则下列选项中不能表示tan B的是()A .ACABB .AD BDC .CD ADD .AB BC3.若某人沿坡角为α的斜坡前进100m ,则他上升的最大高度是()A .100sinαmB .100sin am C .100cos am D .100cosαm4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,如果BC=2,sinA=23,那么AB 的长是()A .3B .43C D 5.下列说法中,正确的是()A .sin60cos301+=B .若a 1sin a -C .对于锐角b ,必有sin cos b b<D .在Rt ABC 中,90C Ð=,则有tan cos 1A B =6.如图,在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30o ,向高楼前进60米到C 点,又测得仰角为45o ,则该高楼的高度大约为()A.82米B.163米C.52米D.70米7.如图,已知正方形ABCD的边长为2,如果将线段BD绕着点B旋转后,点D 落在CB的延长线上的D′处,那么tan∠BAD′等于()A.1B2C.22D38.如图,在矩形ABCD中,AD=10,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至BC恰好经过点D,得到矩形AB′C′D′,此时旋转角为θ,若tanθ=34,则cos∠ADD'为()A.13B.31010C.1010D.359.一艘轮船从港口O出发,以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处,此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B.若以港口O为坐标原点,正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向,1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系(如图),则小岛B所在位置的坐标是()A.3,30)B.(30,3C.330)D.(30,3二、填空题10.比较大小:sin57°_____tan57°.11.在RT△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinA=35,那么AC=_____.12.如图,点M是Rt△ABC的斜边AB的中点,连接CM,作线段CM的垂直平分线,分别交边CB和CA的延长线于点D、E,若∠C=90°,AB=20,tanB=25,则DE=________.13.如图,一艘潜艇在海面下500m深的点A处,测得正前方俯角为31°方向上的海底有黑匣子发出信号,潜艇在同一深度保持直线航行500m,在点B处测得海底黑匣子位于正前方俯角36.9°的方向上,海底黑匣子C所在点距海面的深度为________m.(精确到1,m.参考数据:sin36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.80,tan36.9°≈0.75,sin31°≈0.51,cos31°≈0.87,tan31°≈0.60)14.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为4,大正方形的面积为100,直角三角形中较小的锐角为α,则tanα的值等于____三、解答题15.计算:2sin302cos60tan45cot44cot46-++.16.对于同一锐角α有:sin2α+cos2α=1,现锐角A满足sin A+cos A=54.试求:(1)sin A•cos A的值;(2)sin A﹣cos A的值.17.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,a=,∠A=60°,求b、c.18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)19.在数学活动课上,九年级(1)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树(如图)的高度,设计的方案及测量数据如下:(1)在大树前的平地上选择一点A,测得由点A看大树顶端C的仰角为35°;(2)在点A和大树之间选择一点B (A,B,D在同一直线上),测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°;(3)量出A,B两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD的高度.(精确到0.1米)(可能用到的参考数据sin35°≈0.57cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)参考答案1.B2.D3.A4.A5.B6.A7.B8.C9.A10.<11.812.29213.2000.14.3415.解:原式11 221122=´-´++1111=-++2=.16.(1)∵sin A+cos A=,∴sin2A+cos2A+2sin A cos A=,即1+2sin A cos A=,∴sin A cos A=;(2)∵(sin A﹣cos A)2=sin2A+cos2A﹣2sin A cos A,=1﹣,=,∴sin A ﹣cos A =±.17.解:根据题意画出图形:,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,∴∠B =30°,∴b =a •tan B=∴c=12b cosA ==即,b c ==.18.解:∵△ABD 是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°﹣90°﹣60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt △ABC 中,由勾股定理得:AC===2,∴△ABC 的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2.答:△ABC 的周长是6+2.19.设CD=x 米,∵∠DBC=45°,∴DB=CD=x ,AD=x+4.5,在Rt △ACD 中,tan ∠A=CDAD,∴tan35°=5.4+x x,解得:x=10.5,所以大树的高为10.5米.。
北师大版九年级数学下册第一章测试题及答案
北师大版九年级数学下册第一章测试题及答案(考试时间:120分钟满分:120分)分数:____________一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,每小题只有一个正确选项)1.计算 2 sin 45°的值等于(C)A. 2 B.22C.1 D.122.某斜坡的长为100 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,则这个斜坡的坡度为(C)A.30°B.60°C.33D.123.在Rt△ABC中,∠C=90°.若sin A=513,则cos A的值是(D)A.512B.813C.23D.12134.西周时期,丞相周公旦设置过一种通过测量日影长度来确定时间的仪器,称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表,其中,立柱AC高为a.已知,冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5˚,则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为(B)A.asin 26.5˚ B.atan 26.5˚C.acos 26.5˚ D.acos 26.5˚5.如图,在▱ABCD 中,点E 是AD 的中点,延长BC 到点F ,使CF ∶BC =1∶2,连接DF ,EC.若AB =5,AD =8,sin B =45 ,则DF 的长等于 ( C ) A .10 B .15 C .17 D .2 5第5题图6.如图,菱形ABCD 的周长为20 cm ,DE ⊥AB ,垂足为E ,cos A =45 ,则下列结论中:①DE =3 cm ;②EB =1 cm ;③S 菱形ABCD =15 cm 2.正确的个数为 ( D ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个第6题图二、填空题(本大题共6小题,每小题 3分,共18分) 7. 已知α为锐角,且sin (α+10°)=32 ,则α等于__50__度.8.将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图的形状,那么折痕PQ 的长是3__cm.9.如图,已知点C 处有一个高空探测气球,从点C 处测得水平地面上A ,B 两点的俯角分别为30°和45°.若AB =2 km ,则A ,C 两点之间的距离为km.第9题图10.某中学要修建一座图书楼,为改善安全性能,把楼梯的倾斜角由原来设计的45°改为30°.如图,已知原来设计的楼梯长为4.5 m ,在楼梯高度不变的情况下,调整后的楼梯多占地面4__m.第10题图11.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =6,cos B =23 , 则BC 的长为__4__.12.已知△ABC 中,AB =10,AC =27 ,∠B =30°,则△ABC的面积等于.选择、填空题答题卡一、选择题(每小题3分,共18分)二、填空题(每小题3分,共18分)得分:________7.__50__ 8.3 __ 9.10.4__ 11.__4__ 12.三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分) 13.2cos 230°-sin30°+1tan 60°-2sin 45°.解:原式=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32 2 -12 +13-2×22=1+ 3 + 2 .14.先化简,再求代数式⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1-2a -3a 2-1 ÷1a +1 的值,其中a =2sin 60°+tan 45°.解:原式=2(a -1)-2a +3a 2-1 ·(a +1)=1a 2-1 ·(a +1) =1a -1 . ∵a =2×32+1= 3 +1. ∴原式=13+1-1=33 .15.在Rt △ABC 中,∠C =90°. (1)已知c =25,b =15,求a ; (2)已知a = 6 ,∠A =60°,求b ,c. 解:(1)根据勾股定理可得:a=252-152=20.(2)∵△ABC为直角三角形,∠A=60°,∴∠B=30°,∴c=2b,根据勾股定理可得:6+b2=(2b)2,解得b= 2 ,则c=2 2 .16.如图,AD是△ABC的中线,tan B=13,cos C=22,AC= 2 .求:(1)BC的长;(2)sin ∠ADC的值.解:(1)过点A作AE⊥BC于点E,∵cos C=2 2,∴∠C=45°,在Rt△ACE中,CE=AC·cos C=1,∴AE=CE=1,在Rt△ABE中,tan B=1 3,即AE BE =13 ,∴BE =3AE =3, ∴BC =BE +CE =4. (2)∵AD 是△ABC 的中线, ∴CD =12 BC =2,∴DE =CD -CE =1, ∵AE ⊥BC ,DE =AE ,∴∠ADC =45°,∴sin ∠ADC =22 .17.(兴化市期末)京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的),如图,在岸边分别选定了点A ,B 和点C ,D ,先用卷尺量出AB =180 m ,CD =60 m ,再用测角仪测得∠CAB =30°,∠DBA =60°,求该段运河的河宽(即CH 的长).解:过D 作DE ⊥AB ,可得四边形CHED 为矩形, ∴HE =CD =60 m , 设CH =DE =x m ,在Rt △BDE 中,∠DBA =60°,∴BE =33 x m ,在Rt △ACH 中,∠BAC =30°,∴AH = 3 x m ,由AH +HE +EB =AB =180 m ,得到 3 x +60+33 x =180,解得x =30 3 ,即CH =30 3 m , 答:该段运河的河宽为30 3 m .四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.如图,O 是坐标原点,边长为2的菱形OABC 的顶点C 在x 轴的负半轴上,cos ∠AOC =12 ,函数 y =kx (x<0) 的图象经过顶点B ,求k 的值.解:作AD ⊥OC 于D , ∵OA =2,∠AOC =60°, cos ∠AOC =OD OA =12 ,∴OD =1,∴AD =22-12 = 3 , ∴点A 的坐标为(-1, 3 ), ∴点B 的坐标为(-3, 3 ), ∵点B 在函数y =kx (x<0)的图象上,∴k =-3× 3 =-3 3 .19.如图,小明为了测量小河对岸大树BC的高度,他在点A测得大树顶端B的仰角是45° ,沿斜坡走2 5 米到达斜坡上点D ,在此处测得树顶端点B的仰角为30° ,且斜坡AF的坡比为1∶2.则小明从点A走到点D的过程中,求:(1)上升的高度;(2)大树BC的高度(结果保留根号).解:(1)过点D作DH⊥AC交CA的延长线于H,延长BD,CE交于点G.∵AD=2 5 ,DHAH=12,DH2+AH2=AD2,∴5DH2=20,∴DH=2.∴上升的高度为2米.(2)由(1)可知,DH=2,∠G=30°,∴AH=4,∴GH=2 3 ,AG=4+2 3 ,设BC=x,∵∠BAC=45°,∠G=30°,∴AC=x,CG= 3 x,∵CG-AC=AG,∴ 3 x-x=4+2 3 ,解得x=5+3 3 .答:大树BC 的高度为(5+3 3 )米.20.如图,海中一小岛上有一个观测点A ,某天上午9:00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行.当天上午9:30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处.若该渔船的速度为每小时30海里,在此航行过程中,问该渔船从B 处开始航行多少小时,离观测点A 的距离最近?(计算结果用根号表示,不取近似值)解: 过点A 作AD ⊥BC ,交BC 于点D , 则点D 距观测点A 最近. 依题意有∠BAD =45°, ∠ACD =60°, BC =30×0.5=15(海里). 设AD =x 海里.∵tan ∠ACD =AD CD = 3 , tan ∠BAD =BDAD =1,∴CD =33x 海里,BD =x 海里. ∴33 x +x =15,解得x =45-1532 . ∵45-1532 ÷30=3-34(小时),答:渔船从B 点开始行驶3-34 小时离观测点A 的距离最近.五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.(房山区期末)如图,胡同左右两侧是竖直的墙,一架3 2 米长的梯子斜靠在右侧墙壁上,测得梯子与地面的夹角为45°,此时梯子顶端B 恰巧与墙壁顶端重合.因梯子阻碍交通,故将梯子底端向右移动一段距离到达D 处,此时测得梯子AD 与地面的夹角为60°,问:胡同左侧的通道拓宽了多少米(结果保留根号)?解:在Rt △BCE 中, ∵BC =3 2 , ∠BEC =90°, ∠BCE =45°, ∴BE =CE =BC·cos 45° =3 2 ×22 =3,在Rt △BDE 中,DE =BE·tan 30°= 3 , ∴CD =CE -DE =3- 3 ,答:胡同左侧的通道拓宽了(3- 3 )米.22.重庆某中学依山而建,校门A 处,有一斜坡AB ,长度为13米,在坡顶B 处看教学楼CF 的楼顶C 的仰角∠CBF =50°,离B 点4米远的E 处有一花台,在E 处仰望C 的仰角∠CEF =63.4°.CF 的延长线交校门处的水平面于D 点,FD =5米.⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据:tan 50°≈43,tan 63.4°≈2 (1)求斜坡AB 的坡度i ;(2)求DC 的长.解:(1) AB 的坡度i =1∶2.4.(2)在Rt △BCF 中,BF =CF tan ∠CBF =34CF. 在Rt △CEF 中,EF =CF tan ∠CEF=CF 2 . ∵BE =4米,∴BF -EF =34 CF -CF 2=4, 解得CF =16. ∴DC =CF +DF =16+5=21(米).六、(本大题共12分)23.(绍兴中考)如图①,窗框和窗扇用“滑块铰链”连接,图③是图②中“滑块铰链”的平面示意图,滑轨MN 安装在窗框上,托悬臂DE安装在窗扇上,交点A处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点B,C,D始终在一直线上,延长DE交MN于点F.已知AC=DE=20 cm,AE=CD=10 cm,BD=40 cm.(1)窗扇完全打开,张角∠CAB=85°,求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB 的度数;(2)窗扇部分打开,张角∠CAB=60°,求此时点A,B之间的距离(精确到0.1 cm).(参考数据: 3 ≈1.732, 6 ≈2.449)解:(1)∵AC=DE=20 cm,AE=CD=10 cm,∴四边形ACDE是平行四边形,∴AC∥DE,∴∠DFB=∠CAB,∵∠CAB=85°,∴∠DFB=85°.(2)作CG⊥AB于点G,∵AC=20,∠CGA=90°,∠CAB=60°,∴CG=10 3 ,AG=10,∵BD=40,CD=10,∴CB=30,∴BG=302-(103)2=10 6 ,∴AB=AG+BG=10+10 6≈10+10×2.449=34.49≈34.5 cm,答:A,B之间的距离为34.5 cm.。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 测试题 (含答案)
直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,cos A =1213,则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,垂足为D .若AC =5,BC =2,则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图,在△ABC 中,点E 在AC 上,点G 在BC 上,连接EG ,AE =EG =5,过点E 作ED ⊥AB ,垂足为D ,过点G 作GF ⊥AC ,垂足为F ,此时恰有DE =GF =4.若BG =25,则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图,直线y =-33x +2与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ,则点O ′的坐标是( )A .(3,3)B .(3,3)C .(2,23)D .(23,4) 5.tan45°的值为( ) A.12 B .1 C.22D.2 6.如图所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D .1第6题图 第7题图7.如图,在Rt △ABC 中,斜边AB 的长为m ,∠A =35°,则直角边BC 的长是( ) A .m sin35° B .m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8.在△ABC 中,若⎪⎪⎪⎪sin A -12+⎝⎛⎭⎫33-tan B 2=0,则∠C 的度数为( )A .30°B .60°C .90°D .120° 二、填空题9.运用科学计算器计算:317sin73°52′≈________(结果精确到0.1). 10.计算:cos30°-sin60°=________.11.如图,铁路的路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为1∶1.5,上底宽为6m ,路基高为4m ,则路基的下底宽为________m.12.如图,△ABC 中,∠ACB =90°,tan A =43,AB =15,AC =________.第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CM 为AB 边上的中线,AN ⊥CM ,交BC 于点N .若CM =3,AN =4,则tan ∠CAN 的值为________.14.如图,一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向,距离灯塔18海里的A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处,此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数,参考数据:sin55°≈0.8,cos55°≈0.6,tan55°≈1.4).三、解答题15.如图,CD 是一高为4米的平台,AB 是与CD 底部相平的一棵树,在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α=30°,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ,在点E 处测得树顶A 点的仰角β=60°,求树高AB (结果保留根号).16.某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC 的坡度为1∶1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α;(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除?请说明理由.17.在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即asin A=bsin B=csin C,利用上述结论可以求解如下题目,如:在△ABC中,若∠A=45°,∠B=30°,a=6,求b的值.解:在△ABC中,∵asin A=bsin B,∴b=a sin Bsin A=6sin30°sin45°=6×1222=3 2.解决问题:如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行,当甲船航行20分钟后到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距102海里.(1)判断△A1A2B2的形状,并给出证明;(2)乙船每小时航行多少海里?参考答案与解析1.D2.A3.C 解析:在Rt △ADE 与Rt △EFG 中,⎩⎪⎨⎪⎧AE =EG ,DE =GF , ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL),∴∠A =∠GEF .∵∠A +∠AED =90°,∴∠GEF +∠AED=90°,∴∠DEG =90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ,则四边形DEGH 为矩形,∴GH =DE =4.在Rt △BGH 中,sin B =GH BG =425=255.故选C.4.A 解析:过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y =-33x +2与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,∴点A ,B 的坐标分别为(23,0),(0,2),∴tan ∠BAO =OB OA =223=33,∴∠BAO=30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ,∴O ′A =OA =23,∠O ′AO =60°,∴CA =12O ′A =3,O ′C =O ′A ·sin ∠O ′AC =23×32=3,∴OC =OA -CA =23-3=3,∴点O ′的坐标为(3,3).故选A. 5.B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10.0 11.18 12.913.23 解析:∵∠ACB =90°,CM 为AB 边上的中线,∴AB =2CM =6,CM =BM ,∴∠B =∠MCB .∵AN ⊥CM ,∴∠CAN +∠ACM =90°.又∵∠ACM +∠MCB =90°,∴∠CAN =∠MCB ,∴∠B =∠CAN .又∵∠ACN =∠BCA ,∴△CAN ∽△CBA ,∴CN CA =AN BA =46=23,∴tan ∠CAN =CN AC =23.14.11 解析:过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A =30°,∠B =55°.在Rt △P AC 中,∵P A =18海里,∠A =30°,∴PC =12P A =12×18=9(海里).在Rt △PBC 中,∵PC =9海里,∠B =55°,∴PB =PC sin B ≈90.8≈11(海里).15.解:过点C 作CF ⊥AB 于点F ,则BF =CD =4米,CF =BD .设AF =x 米.在Rt △ACF 中,tan ∠ACF =AF CF ,∠ACF =α=30°,则CF =AF tan30°=3x 米.在Rt △ABE 中,AB =AF +BF =(x +4)米,tan ∠AEB =AB BE ,∠AEB =β=60°,则BE =AB tan60°=33(x +4)米.∵CF =BD =DE +BE ,∴3x =3+33(x +4),解得x =33+42.则AB =33+42+4=33+122(米). 答:树高AB 是33+122米.16.解:(1)∵新坡面的坡度为1∶3,∴tan α=13=33,∴α=30°; (2)文化墙PM 不需要拆除.理由如下:过点C 作CD ⊥AB 于点D ,则CD =6米.∵坡面BC 的坡度为1∶1,新坡面AC 的坡度为1∶3,∴BD =CD =6米,AD =3CD =63米,∴AB =AD -BD =(63-6)米<8米,∴文化墙PM 不需要拆除.17.解:(1)△A 1A 2B 2是等边三角形.证明如下:由题意可得A 2B 2=102海里,A 1A 2=302×2060=102(海里),∴A 1A 2=A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2=180°-120°=60°,∴△A 1A 2B 2是等边三角形;(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形,∴A 1B 2=A 1A 2=102海里,∠A 2A 1B 2=60°,∴∠B 1A 1B 2=105°-60°=45°.由题意可知∠CB 1A 1=180°-105°=75°,∴∠B 2B 1A 1=75°-15°=60°.在△A 1B 2B 1中,由正弦定理得B 1B 2sin45°=A 1B 2sin60°,∴B 1B 2=A 1B 2sin60° ·sin45°=10232×22=2033(海里).乙船的速度为2033÷2060=203(海里/时). 答:乙船每小时航行203海里.。
2019春北师大版九年级数学下第一章检测卷(含答案)
第一章检测卷(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.点M(-sin 60°,cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是A. B.C. D.2.已知Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠A=30°,a+b=1,则斜边c为A.+1B.-1C.+1D.-13.若(tan A-3)2+|2cos B-|=0,则△ABCA.是直角三角形B.是等边三角形C.是含有60°的任意三角形D.是顶角为钝角的等腰三角形4.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,且3a=4b,则∠A的度数为A.53.48°B.53.13°C.53.13'D.53.48'5.若α,β都是锐角,下列说法正确的是A.若sin α=cos β,则α=β=45°B.若sin α=cos β,则α+β=90°C.若sin α>cos β,则α>βD.若sin α<cos β,则α<β6.某人在高为30米的铁塔AB的塔顶A处,向正东方向观察地面上的C处和D处,俯角分别是30°和60°.如果B,D,C三处在一条直线上,那么C处和D处之间的距离可以是下列数据中的A.20米B.30米C.40米D.50米7.若一个等腰三角形腰长为4,面积是4,则这个等腰三角形顶角的度数为A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°8.若∠B为锐角,且sin B>,那么∠BA.小于30°B.大于30°C.大于45°且小于60°D.大于60°9.如图,在△ABC中,CD⊥AB,BE⊥AC,,则sin A的值为A. B. C. D.10.在平面直角坐标系中,设点P到原点O的距离为p,OP与x轴正方向的夹角为α,则用[p,α]表示点P的极坐标,显然,点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如:点P的坐标为(1,1),则其极坐标为[,45°].若点Q的极坐标为[4,60°],则点Q的坐标为A.(2,2)B.(2,-2)C.(2,2)D.(2,2)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m,则小明沿垂直方向升高了25m.12.已知α为锐角,下列结论:①sin α+cos α=1;②如果α>45°,那么sin α>cos α;③如果cos α>,那么α<60°;④=1-sin α.正确的有②③④.13.计算:sin 45°-cos 60°+(-1)2019+(1-)0=.14.如图,无人机在空中C处测得地面A,B两点的俯角分别为60°,45°,如果无人机距地面高度CD为100米,点A,D,B在同一水平直线上,则A,B两点间的距离是100(1+)米.(结果保留根号)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.(1)计算:cos245°+sin 60°·tan 30°-.解:原式==2-.(2)一个直角三角形有两条边长为3和4,求较小锐角的正切值.解:当两条边长3和4是直角边时,则较小锐角的正切值为;当3是直角边,4是斜边时,另一条边=,则较小锐角的正切值为.综上,较小锐角的正切值为.16.在△ABC中,∠C=90°,b+c=30,∠A-∠B=30°,解这个直角三角形.解:∵在△ABC中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∵∠A-∠B=30°,∴∠A=60°,∠B=30°.∵sin B=,b+c=30,∴b=10,c=20,∴a=10.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.一块直角三角板ABC按如图放置,顶点A的坐标为(0,1),直角顶点C的坐标为(-3,0),∠B=30°,求点B的坐标.解:过点B作BE⊥x轴于点E.由题可知∠BEC=∠COA,∠EBC=∠OCA,∴△EBC∽△OCA,∴,在Rt△ABC中,∠CBA=30°,∴tan ∠CBA=,∴,解得BE=3,EC=,∴EO=EC+CO=+3,∴点B的坐标为(-3-,3).18.如图,在△ABC中,∠A=90°.(1)用尺规作图的方法,作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1;(保留作图痕迹)(2)若AB=3,BC=5,求tan∠AB1C1.解:(1)作∠CAB的平分线,在平分线上截取AB1=AB,作C1A⊥AB1,在AC1上截取AC1=AC,如图所示即是所求.(2)∵AB=3,BC=5,∴AC=4,∴AB1=3,AC1=4,tan∠AB1C1=.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器,检测点设在距离公路10 m的A处,测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒,已知∠B=30°,∠C=45°.(1)求B,C之间的距离;(保留根号)(2)如果此地限速为80 km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:≈1.7,≈1.4)解:(1)作AD⊥BC于点D,则AD=10 m.在Rt△ACD中,∵∠C=45°,∴CD=AD=10 m,在Rt△ABD中,∵∠B=30°,∴BD=AD=10 m,∴BC=BD+DC=(10+10) m.(2)这辆汽车超速.理由:∵BC=10+10≈27 m,∴汽车速度==30 m/s=108 km/h,∵108>80,∴这辆汽车超速.20.随着航母编队的成立,我国海军日益强大,2018年4月12日,中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵,在阅兵之前我军加强了海上巡逻,如图,我军巡逻舰在某海域航行到A处时,该舰在观测点P的南偏东45°的方向上,且与观测点P的距离PA为400海里;巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后,到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处,问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里?(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果精确到1海里)解:在△APC中,∠ACP=90°,∠APC=45°,则AC=PC.∵AP=400海里,∴PC=AP·=200 海里.又∵在△BPC中,∠PCB=90°,∠BPC=60°,∴PB=2PC=400≈565.6 海里.答:此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6海里.六、(本题满分12分)21.如图,两座建筑物的水平距离BC为60 m,从C点测得A点的仰角α为53°,从A点测得D点的俯角β为37°,求两座建筑物的高度.参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈解:过点D作DE⊥AB于点E,则DE=BC=60 m,在Rt△ABC中,tan 53°=,∴,∴AB=80 m,在Rt△ADE中,tan 37°=,∴,∴AE=45 m,∴BE=CD=AB-AE=35 m,答:两座建筑物的高度分别为80 m和35 m.七、(本题满分12分)22.某市开展一项自行车旅游活动,线路需经A,B,C,D四地,如图,其中A,B,C三地在同一直线上,D地在A地北偏东30°方向,在C地北偏西45°方向,C地在A地北偏东75°方向,且BC=CD=20 km.问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少?(最后结果保留整数,参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,≈1.4,≈1.7)解:由题意可知∠DCA=180°-75°-45°=60°,∵BC=CD,∴△BCD是等边三角形.过点B作BE⊥AD,垂足为E,由题意可知∠DAC=75°-30°=45°,∵△BCD是等边三角形,∴∠DBC=60°,BD=BC=CD=20 km,∴∠ADB=∠DBC-∠DAC=15°,∴BE=BD sin 15°≈0.25×20=5 km,∴AB==5≈5×1.4=7 km,∴AB+BC+CD=7+20+20=47 km.答:从A地到D地的路程约为47 km.八、(本题满分14分)23.如图,某办公楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE,而当光线与地面夹角是45°时,办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离(B,F,C在一条直线上).(1)求办公楼AB的高度;(2)若要在A,E之间挂一些彩旗,请你求出A,E两点之间的距离.(参考数据:sin 22°≈,cos 22°≈,tan 22°≈)解:(1)过点E作EM⊥AB,垂足为M.设AB为x.在Rt△ABF中,∠AFB=45°,∴BF=AB=x,∴BC=BF+FC=x+25,在Rt△AEM中,∠AEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,tan 22°=,则,解得x=20,即教学楼的高为20米.(2)由(1)可得ME=BC=x+25=20+25=45.在Rt△AME中,cos 22°=,∴AE==48,即A,E之间的距离约为48米.。
北师大版九年级数学下册第一章测试题含答案2套
北师大版九年级数学下册第一章测试题含答案2套第一章测试卷(1)一、选择题(每题3分,共30分) 1.cos30°的值为( )A.12B.32C.22D.332.如图,已知Rt △BAC 中,∠C =90°,AC =4,tan A =12,则BC 的长是( )A .2B .8C .2 5D .4 5(第2题) (第3题)3.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D 点,已知AC =5,BC =2,那么sin∠ACD 等于( ) A.53B.23C.253D.524.若3tan(α+10°)=1,则锐角α的度数是( )A .20°B .30°C .40°D .50°5.已知cos θ=0.253 4,则锐角θ约等于( )A .14.7°B .14°7′C .75.3°D .75°3′6.如图,某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中,已测得仰角∠CAE =33°,AB =a ,BD=b ,则下列求旗杆CD 长的式子中正确的是( ) A .CD =b sin 33°+a B .CD =b cos33°+a C .CD =b tan33°+aD .CD =btan33°+a(第6题) (第7题)7.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A ,B ,C 都在格点上,则∠ABC 的正切值是( ) A .2B.255C.55D.128.在△ABC 中,∠A =30°,∠B =45°,AB =2(1+3),则BC 等于( )A .2B. 6C .2 2D .1+ 39.如图,在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°,向高楼前进60 m 到C 点,又测得仰角为45°,则该高楼的高度大约为( ) A .82 mB .163 mC .52 mD .30 m(第9题) (第10题)10.如图,钓鱼竿AC 长6 m ,露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ,某钓者想看看鱼钓上的情况,把鱼竿AC 转动到AC ′的位置,此时露在水面上的鱼线B ′C ′长为3 3 m ,则鱼竿转过的角度是( ) A .60°B .45°C .15°D .90°二、填空题(每题3分,共30分)11.已知α为等腰直角三角形的一个锐角,则tan α=________. 12.若反比例函数y =kx 的图象经过点(tan30°,cos60°),则k =________.13.在△ABC 中,∠C =90°,BC =6,sin A =23,则AB =________.14.某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时,人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端,现有一个长6 m 的梯子,则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙.15.某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m 的牌子,当他沿山坡前进50 m 时,他又看见一个标注海拔70 m 的牌子,于是他走过的山坡的坡度是__________.16.如图,△ABC 的顶点A ,C 的坐标分别是(0,23),(2,0),且∠ACB =90°,∠B =30°,则顶点B 的坐标是__________.(第16题) (第17题) (第18题) (第19题) (第20题)17.如图,一棵树的枝叶部分AB 在太阳光下的投影CD 的长是5.5 m ,此时太阳光线与地面的夹角是52°,则AB 的长约为__________ (结果精确到0.1 m .参考数据:sin 52°≈0.79,tan52°≈1.28).18.如图,秋千链子的长度OA =3 m ,静止时秋千踏板处于A 位置,此时踏板距离地面0.3m ,秋千向两边摆动,当踏板处于A ′位置时,摆角最大,此时∠AOA ′=50°,则在A ′位置,踏板与地面的距离约为________m(sin 50°≈0.766,cos50°≈0.642 8,结果精确到0.01 m).19.如图,轮船在A 处观测灯塔C 位于北偏西70°方向上,轮船从A 处以每小时20 n mile的速度沿南偏西50°方向匀速航行,1 h 后到达码头B 处,此时,观测灯塔C 位于北偏西25°方向上,则灯塔C 与码头B 的距离约是________n mile(结果精确到个位,参考数据:2≈1.4,3≈1.7,6≈2.4).20.如图,正方形ABCD 的边长为22,过点A 作AE ⊥AC ,AE =1,连接BE ,则tan E =________. 三、解答题(21题8分,26题12分,其余每题10分,共60分) 21.计算:(1)2-1-3sin 60°+(π-2 020)0+⎪⎪⎪⎪⎪⎪-12;(2)12-3+4cos60°·sin 45°-(tan60°-2)2.22.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,2a =3b ,求∠B 的正弦、余弦和正切值.23.如图,在△ABD中,AC⊥BD于点C,BCCD=32,点E是AB的中点,tan D=2,CE=1,求sin∠ECB的值和AD的长.(第23题)24.为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市,正在对某城市河段进行区域性景观打造.某施工单位为测得某河段的宽度,测量员先在河对岸岸边取一点A,再在河这边沿河边取两点B和C,在B处测得点A在北偏东30°方向上,在C处测得点A在西北方向上,如图,量得BC长为200 m,求该河段的宽度(结果保留根号).(第24题)25.如图,海中一小岛上有一个观测点A,某天上午9:00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行.当天上午9:30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处.若该渔船的速度为30 n mile/h,在此航行过程中,该渔船从B处开始航行多少小时,离观测点A的距离最近?(计算结果用根号表示,不取近似值)(第25题)26.如图,MN表示一段笔直的高架道路,线段AB表示高架道路旁的一排居民楼.已知点A到MN的距离为15 m,BA的延长线与MN相交于点D,且∠BDN=30°.假设汽车在高架道路上行驶时,周围39 m以内会受到噪音的影响.(1)过点A作MN的垂线,垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶,当汽车到达点P处时,噪音开始影响这一排居民楼,那么此时汽车与点H的距离为多少米?(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板.当汽车行驶到点Q时,它与这一排居民楼的距离QC为39 m,那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长?(结果精确到1 m,参考数据:3≈1.7)(第26题) 答案一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7.D 8.A 9.A10.C 点拨:∵sin ∠CAB =BC AC =326=22,∴∠CAB =45°.∵sin ∠C ′AB ′=B ′C ′AC ′=336=32,∴∠C ′AB ′=60°.∴∠CAC ′=60°-45°=15°,即鱼竿转过的角度是15°. 二、11.1 12.36 13.9 14.3 3 m 15.3∶4 16.(8,23)17.7.0 m 点拨:过点B 作BE ∥CD ,交AD 于点E .∵太阳光线与地面的夹角是52°,且太阳光线是平行的, ∴tan 52°=ABBE ,BE =CD =5.5 m.∴AB =5.5×tan 52°≈5.5×1.28=7.04≈7.0(m).18.1.37 点拨:如图,作A ′D ⊥OA 于点D ,A ′C 垂直地面于点C ,延长OA 交地面于点B .(第18题)易得四边形BCA ′D 为矩形, ∴A ′C =DB .∵∠AOA ′=50°,且OA =OA ′=3 m ,∴在Rt △OA ′D 中,OD =OA ′·cos ∠AOA ′≈3×0.642 8≈1.93(m). 又AB =0.3 m , ∴OB =OA +AB =3.3 m. ∴A ′C =DB =OB -OD ≈1.37 m. 19.2420.23 点拨:延长CA 到F 使AF =AE ,连接BF ,过B 点作BG ⊥AC ,垂足为G .根据题干条件证明△BAF ≌△BAE ,得出∠E =∠F ,然后在Rt △BGF 中,求出tan F 的值,进而求出tan E 的值.三、21.解:(1)原式=12-3×32+1+12=12-32+1+12=12;(2)原式=-(2+3)+4×12×22-(3-2)=-2-3+2-3+2=-23+ 2. 22.解:由2a =3b ,可得a b =32.设a =3k (k >0),则b =2k ,由勾股定理,得c =a 2+b 2=9k 2+4k 2=13k . ∴sin B =b c =2k 13k =21313,cos B =a c =3k 13k =31313,tan B =b a =2k 3k =23. 23.解:∵AC ⊥BD ,∴∠ACB =∠ACD =90°. ∵点E 是AB 的中点,CE =1, ∴BE =CE =1,AB =2CE =2. ∴∠B =∠ECB . ∵BC CD =32,∴设BC =3x ,则CD =2x . 在Rt △ACD 中,tan D =2, ∴ACCD =2. ∴AC =4x .在Rt △ACB 中,由勾股定理得AB =AC 2+BC 2=5x , ∴sin ∠ECB =sin B =AC AB =45.由AB =2,得x =25,∴AD =AC 2+CD 2=(4x )2+(2x )2=25x =25×25=455. 24.解:如图,过点A 作AD ⊥BC 于点D .(第24题)根据题意知∠ABC =90°-30°=60°,∠ACD =45°,∴∠CAD =45°. ∴∠ACD =∠CAD . ∴AD =CD .∴BD =BC -CD =200-AD . 在Rt △ABD 中,tan ∠ABD =ADBD ,∴AD =BD ·tan ∠ABD =(200-AD )·tan 60°=3(200-AD ). ∴AD +3AD =200 3.∴AD =20033+1=300-1003(m).答:该河段的宽度为(300-1003)m. 25.解:如图,过点A 作AP ⊥BC ,垂足为P ,设AP =x n mile.(第25题)在Rt △APC 中,∵∠APC =90°, ∠PAC =90°-60°=30°, ∴tan ∠PAC =CP AP =33. ∴CP =33x n mile.在Rt △APB 中,∵∠APB =90°, ∠PAB =45°, ∴BP =AP =x n mile.∵PC +BP =BC =30×12=15(n mile),∴33x +x =15. 解得x =15(3-3)2.∴PB =15(3-3)2 n mile. ∴航行时间为15(3-3)2÷30=3-34(h).答:该渔船从B 处开始航行3-34 h ,离观测点A 的距离最近.26.解:(1)如图,连接PA .(第26题)由已知得AP =39 m ,在Rt △APH 中,PH =AP 2-AH 2=392-152=36(m). 答:此时汽车与点H 的距离为36 m. (2)由题意,隔音板位置应从P 到Q ,在Rt △ADH 中,DH =AH tan 30°=1533=153(m);在Rt △CDQ 中,DQ =CQ sin 30°=3912=78(m).∴PQ =PH +HQ =PH +DQ -DH =36+78-153≈114-15×1.7≈89(m). 答:高架道路旁安装的隔音板至少需要89 m 长.第一章测试卷(2)一、选择题(每题3分,共30分) 1.已知cos A =32,则锐角A 的度数为( )A .30°B .45°C .50°D .60°2.在Rt △ABC 中,∠C =90°,tan B =32,BC =23,则AC 等于( )A .3B .4C .4 3D .63.在锐角三角形ABC 中,若⎝⎛⎭⎪⎫sin A -322+⎪⎪⎪⎪⎪⎪22-cos B =0,则∠C 等于( )A .60°B .45°C .75°D .105°4.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC 的三个顶点均在格点上,则tan∠ABC 的值为( )A .35B .34C .105 D .1(第4题) (第5题) (第6题)5.如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,已知CD =5,AC =6,则tan B 的值为( )A .45B .35C .34D .436.为了测量被池塘隔开的A ,B 两点之间的距离,根据实际情况,作出如图所示的图形,其中AB ⊥BE ,EF ⊥BE ,AF 交BE 于点D ,C 在BD 上.有四位同学分别测量出以下4组数据:①BC ,∠ACB ;②CD ,∠ACB ,∠ADB ;③EF ,DE ,BD ;④DE ,DC ,BC .能根据所测数据,求出A ,B 两点之间距离的有( ) A .1组 B .2组 C .3组 D .4组7.如图,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边上的点F 处.已知AB =8,BC =10,则tan ∠EFC 的值为( )A .34B .43C .35D .458.如图所示,从热气球C 处测得地面A ,B 两点的俯角分别为30°,45°,如果此时热气球的高度CD 为100 m ,点A ,D ,B 在同一直线上,则A ,B 两点之间的距离是( ) A .200 m B .200 3 m C .220 3 m D .100(3+1)m(第8题) (第9题) (第10题) 9.如图,若△ABC和△DEF的面积分别为S1,S2,则()A.S1=12S2B.S1=72S2C.S1=85S2D.S1=S210.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示),点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上.若正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3,则点A3到x轴的距离是()A.3+318B.3+118C.3+36D.3+16二、填空题(每题3分,共24分)11.计算:cos245°+tan 30°sin 60°=________.12.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=10,若△ABC的面积为5033,则∠A=_________度.13.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M,N两点关于对角线AC所在的直线对称,若DM=1,则tan∠ADN=________.14.已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2-7x+3=0的根,则sin A=________.15.如图,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′,使点B′与C重合,连接A′B,则tan∠A′BC′=________.(第15题) (第16题) (第17题) (第18题)16.如图,一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离AC=3 m,cos∠BAC=34,则墙高BC=________.17.如图,已知正方形ABCD的边长为2,如果将线段BD绕着点B旋转后,点D落在CB 的延长线上的D′处,那么tan∠BAD′=________.18.如图,甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼,乙沿南偏东30°方向以10 n mile/h 的速度航行,甲沿南偏西75°方向以10 2 n mile/h的速度航行,当航行1 h后,甲在A 处发现自己的渔具掉在了乙船上,于是迅速改变航向和速度,仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船,正好在B 处追上.则甲船追赶乙船的速度为________n mile/h. 三、解答题(19题12分,20题10分,21,22每题14分,23题16分,共66分) 19.计算:(1)3sin 60°-2cos 45°+38;(2)12-3+4cos 60°·sin 45°-(tan 60°-2)2.20.a ,b ,c 是△ABC 的三边,且满足等式b 2=c 2-a 2,5a -3c =0,求sin A +sin B 的值.21.如图,已知▱ABCD ,点E 是BC 边上的一点,将边AD 延长至点F ,使∠AFC =∠DEC.(1)求证:四边形DECF 是平行四边形.(2)若AB =13,DF =14,tan A =125,求CF 的长.22.为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市,正在对某城市河段进行区域性景观打造.某施工单位为测得某河段的宽度,测量员先在河对岸岸边取一点A,再在河这边沿河边取两点B和C,在B处测得点A在北偏东30°方向上,在点C处测得点A在西北方向上,如图,量得BC长为200 m,求该河段的宽度(结果保留根号).23.某校教学楼后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD,斜坡AB长为22 m,坡角∠BAD=68°.为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡.(1)求改造前坡顶与地面的距离(精确到0.1 m).(2)为了确保安全,学校计划改造时保持坡的根部A不动,坡顶B沿BC前进到F点处,问BF至少是多少?(精确到0.1 m)(参考数据:sin 68°≈0.927 2,cos 68°≈0.374 6,tan 68°≈2.475 1,sin 50°≈0.766 0,cos 50°≈0.642 8,tan 50°≈1.191 8)答案一、1.A2.A 点拨:由tan B =AC BC 知AC =BC tan B =23×32=3.3.C 点拨:由题意,得sin A -32=0,22-cos B =0.所以sin A =32,cos B =22.所以∠A =60°,∠B =45°,所以∠C =180°-∠A -∠B =180°-60°-45°=75°. 4.B 5.C6.C 点拨:对于①,可由AB =BC ·tan ∠ACB 求出AB 的长;对于②,由BC =ABtan ∠ACB,BD =AB tan ∠ADB ,BD -BC =CD ,可求出AB 的长;对于③,易知△DEF ∽△DBA ,则DEEF =BDAB ,可求出AB 的长;对于④,无法求得AB 的长,故有①②③共3组,故选C . 7.A8.D 点拨:由题意可知,∠A =30°,∠B =45°,tan A =CD AD ,tan B =CDDB ,又CD =100 m ,因此AB =AD +DB =CD tan A +CD tan B =100tan 30°+100tan 45°=1003+100=100(3+1)(m). 9.D 点拨:如图,过点A 作AM ⊥BC 于点M ,过点D 作DN ⊥EF ,交FE 的延长线于点N .在Rt △ABM 中,∵sin B =AMAB ,∴AM =3×sin 50°,∴S 1=12BC ·AM =12×7×3×sin 50°=212sin 50°.在Rt △DEN 中,∠DEN =180°-130°=50°.∵sin ∠DEN =DN DE ,∴DN =7×sin 50°,∴S 2=12EF ·DN =12×3×7×sin 50°=212sin 50°,∴S 1=S 2.故选D .10.D 点拨:依题意知:D 1E 1=12,B 2C 2=33,B 3E 4=36,B 3C 3=13,A 3C 3=23,sin ∠A 3C 3x=sin(30°+45°)=sin 75°=2+64,∴A 3到x 轴的距离3+16. 二、11.1 点拨:cos 245°+tan 30°sin 60°=⎝ ⎛⎭⎪⎫222+33×32=1.12.60 点拨:∵BC =10,∴S △ABC =BC ·AC 2=10·AC 2=5033,则AC =1033,∴tan A =BC AC =101033=3,∴∠A =60°.13.43 14.1215.13 点拨:如图,过A ′作A ′D ⊥BC ′于点D ,设A ′D =x ,则B ′D =x ,BC =2x ,BD =3x .∴tan ∠A ′BC ′=A ′D BD =x 3x =13.16.7 m 点拨:由cos ∠BAC =AC AB =34,知3AB =34,∴AB =4 m.在Rt △ABC 中,BC =AB 2-AC 2=42-32=7(m). 17.2 点拨:由题意知BD ′=BD =2 2.在Rt △ABD ′中,tan ∠BAD ′=BD ′AB =222= 2.18.(10+103) 点拨:如图,由题意可知,∠DOB =30°,∠AOD =75°,∠2=90°-60°=30°.∵∠3=∠AOD =75°,∴∠1=90°-75°=15°,故 ∠1+∠2=15°+30°=45°.如图,过点O 作OC ⊥AB 于点C ,则∠AOC =90°-∠1-∠2=90°-45°=45°.易知OA =102n mile ,∠OAB =∠AOC =45°,∴OC =AC =OA ·sin 45°=102×22=10(n mile).在Rt △OBC 中, ∠BOC =∠AOD +∠BOD -∠AOC =75°+30°-45°=60°,∴BC = OC ·tan 60°=10 3 n mile ,∴AB =AC +BC =(10+103)n mile.∵OC =10 n mile ,∠B =30°,∴OB =2OC =2×10=20(n mile),乙船从O 到B 所用时间为20÷10=2(h ).∵甲船从O 到A 所用时间为1 h ,∴甲船从A 到B 所用时间为2-1=1(h),故甲船追赶乙船的速度为(10+103)n mile/h.三、19.解:(1)原式=3×32-2×22+2=32-1+2 =52.(2)原式=-(2+3)+4×12×22-(3-2)2 =-2-3+2-(2-3) =-2.20.解:由b 2=c 2-a 2,得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 为直角三角形,∠C =90°. ∵5a -3c =0, ∴a c =35,即sin A =35. 设a =3k ,c =5k ,则b =(5k )2-(3k )2=4k . ∴sin B =b c =45, ∴sin A +sin B =35+45=75.21.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC .∴∠ADE =∠DEC . 又∵∠AFC =∠DEC , ∴∠AFC =∠ADE . ∴DE ∥FC .∴四边形DECF 是平行四边形.(2)解:过点D 作DH ⊥BC 于点H ,如图所示.∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠BCD =∠A ,AB =CD =13. 又∵tan A =125=tan ∠DCH =DHCH , ∴DH =12,CH =5. ∵DF =14, ∴CE =14. ∴EH =9.∴DE =92+122=15. ∴CF =DE =15.22.解:如图,过点A 作AD ⊥BC 于点D .根据题意,知∠ABC =90°-30°=60°,∠ACD =45°,∴∠CAD =45°. ∴∠ACD =∠CAD . ∴AD =CD .∴BD =BC -CD =200-AD . 在Rt △ABD 中,tan ∠ABD =ADBD ,∴AD =BD ·tan ∠ABD =(200-AD )·tan 60°=3(200-AD ). ∴AD +3AD =200 3.∴AD =20033+1=(300-1003)(m).故该河段的宽度为(300-1003)m.23.解:(1)如图,作BE⊥AD,E为垂足,则BE=AB·sin 68°=22 sin 68°≈20.4(m).即改造前坡顶与地面的距离约为20.4 m.(2)如图,作FG⊥AD,G为垂足,连接FA.则∠FAG=50°,FG=BE.∵AG=FGtan 50°≈20.41.191 8≈17.12(m),AE=AB·cos 68°=22cos 68°≈8.24(m),∴BF=GE=AG-AE≈8.9 m,即BF至少是8.9 m.。
北师大版九年级下册数学单元测试题全套及答案
北师大版九年级下册数学单元测试题全套及答案(含期中期末试题)第一章检测题(BSD)(考试时间:120分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)1.如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高线,∠ACD 的正弦值是23,则ACAB 的值是( B )A.255B.23C.355D.522.在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =45,AC =6 cm ,则BC 的长度为( C )A .6 cmB .7 cmC .8 cmD .9 cm3.在△ABC 中,sin B =cos(90°-∠C )=12,那么△ABC 是( A )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形4.如图,过点C (-2,5)的直线AB 分别交坐标轴于A (0,2),B 两点,则tan ∠OAB =( B ) A.25B.23C.52D.325.为了测量被池塘隔开的A ,B 两点之间的距离,根据实际情况,作出如图所示的图形,其中AB ⊥BE ,EF ⊥BE ,AF 交BE 于点D ,点C 在BD 上,有四位同学分别测量出以下四组数据:①BC ,∠ACB ;②CD ,∠ACB ,∠ADB ;③EF ,DE ,BD ;④DE ,DC ,BC .能根据所测数据,求出A ,B 间距离的有( C )A .1组B .2组C .3组D .4组6.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,E 为线段AB 上一点,且AE ∶EB =4∶1,EF ⊥AC 于F ,连接FB ,则tan ∠CFB 的值等于( C )A.33B.233C.533D .53二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 7.在Rt △ABC 中 ,∠C =90°,BC =5,AB =12,则tan A =512. 8.(2019·赤峰)如图,一根竖直的木杆在离地面3.1 m 处折断,木杆顶端落在地面上,且与地面成38°角,则木杆折断之前高度约为__8.1__m __.(参考数据:sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79,tan 38°≈0.78)9.(2019·咸宁) 如图,某校九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB (这段河流的两岸平行),他们在点C 测得∠ACB =30°,点D 处测得∠ADB =60°,CD =80 m ,则河宽AB 约为 __69__ m .(结果保留整数,3≈1.73)10.(2019·柳州)在△ABC 中,sin B =13,tan C =22,AB =3,则AC 的长为 3 .11.如图,小明将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠,B 点恰好落在AD 边上,设此点为F ,若AB ∶BC =4∶5,则sin ∠DCF 的值为 35.12.如图,在边长为1的小正方形网格中,点A ,B ,C ,D 都在这些小正方形的顶点上,AB ,CD 相交于点O ,则tan ∠AOD = 2 .三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13.计算:sin 30°-(cos 45°-1)0+32tan 2 30°.解:原式=12-1+32×⎝⎛⎭⎫332=12-1+12=0.14.已知Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =60°,a =4,解这个直角三角形.解:∠A =90°-∠B =90°-60°=30°.由tan B =ba,得b =a tan B =4tan 60°=4 3.由cos B=a c ,得c =a cos B =4cos 60°=8.所以∠A =30°,b =43,c =8. 15.已知α为锐角,且tan α是方程x 2+2x -3=0的一个根,求2sin 2α+cos 2α- 3 tan (α+15°)的值.解:解方程x 2+2x -3=0, 得x 1=1,x 2=-3.∵tan α>0,∴tan α=1,∴α=45°,∴2sin 2α+cos 2α-3tan (α+15°)=2sin 245°+cos 245°-3tan 60°=2×⎝⎛⎭⎫222+⎝⎛⎭⎫222-3×3=1+12-3=-32.16.数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等.于是,小路同学提出一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合后拼放在一起,点B ,C ,E 在同一直线上.若BC =2,求AF 的长.(请你运用所学的数学知识解决这个问题)解:在Rt △ABC 中,BC =2,∠A =30°, ∴AC =BC tan A =2tan 30°=2 3. 由题意,得EF =AC =2 3. 在Rt △EFC 中,∠E =45°, ∴CF =EF·sin 45°=23×22=6, ∴AF =AC -CF =23- 6.17.(2019·通辽)两栋居民楼之间的距离CD =30 m ,楼AC 和BD 均为10层,每层楼高为3 m .上午某时刻,太阳光线GB 与水平面的夹角为30°,此刻楼BD 的影子会遮挡到AC 的第几层?(参考数据:3≈1.7,2≈1.4)解:设太阳光线GB 交AC 于点F ,过F 作FH ⊥BD 于H ,AC =BD =3×10=30 m ,FH =CD =30 m ,∠BFH =∠α=30°,在RtBFH 中,tan ∠BFH =BH FH =BH 30=33,∴BH =30×33=103≈10×1.7=17,∴FC =HD =BD -BH ≈30-17=13,∵133≈4.3,所以在四层的上面,即第五层.答:此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的5层.四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.(2019·深圳)如图所示,某施工队要测量隧道长度BC ,AD =600米,AD ⊥BC ,施工队站在点D 处看向B ,测得仰角为45°,再由D 走到E 处测量,DE ∥AC ,ED =500米,测得仰角为53°,求隧道BC 的长.(sin 53°≈45,cos 53°≈ 35,tan 53°≈43)解:在RtABD 中,AB =AD =600(米),作EM ⊥AC 于M ,则AM =DE =500(米),∴BM =100米,在Rt △CEM 中,tan 53°=CM EM =CM 600=43,∴CM =800(米),∴BC =CM -BM =800-100=700(米).答:隧道BC 长为700米.19.(2019·广元)如图,某海监船以60海里/小时的速度从A 处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在A 的西北方向的C 处,海监船航行1.5小时到达B 处时接到报警,需巡查此可疑船只,此时可疑船只仍在B 的北偏西30°方向的C 处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/小时的速度追击,在D 处海监船追到可疑船只,D 在B 的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(1)求B ,C 两处之间的距离;(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.解:(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E ,在Rt △BCE 中,∵∠BCE =30°,∴BE =BC ×sin ∠BCE =12BC ,CE =BC ×cos ∠BCE =32BC ,在Rt △ACE 中, ∵∠A =45°.∴AE =CE =32BC ,∵AB =60×1.5=90,∴AE -BE =32BC -12BC =90,解得BC =90(3+1).故B ,C 相距(903+90)海里.(2)过点D 作DF ⊥AB 于F ,由(1),得DF =CE =32BC ,∴DF =135+453,在Rt △BDF 中,∠DBF =30°,∴BD =2DF =270+903,∴海监船追到可疑船只所用的时间为(270+903)÷90=(3+3)h.20.已知:如图,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ADC =90°,DE ⊥BC 于E ,连接BD.若tan C =2,BE =3,CE =2,求点B 到CD 的距离.解:过点B 作BF ⊥CD ,垂足为F ,则∠BFC =90°.∵DE ⊥BC ,∴∠DEC =∠DEB =90°,在Rt △DEC 中,∵tan C =2,EC =2,∴DE =4.在Rt △BFC 中,∵tan C =2,∴BF =2FC ,设BF =x ,则FC =12x ,∵BF 2+FC 2=BC 2,∴x 2+(12x)2=(3+2)2,解得x =25,即BF =2 5.答:点B 到CD 的距离是2 5.五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.如图,点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点,△BCE 沿BE 折叠为△BFE ,点F 落在AD 上. (1)求证:△ABF ∽△DFE ;(2)若sin ∠DFE =13,求tan ∠EBC 的值.(1)证明:∵∠A =∠D =90°,∠ABF 与∠DFE 都与∠AFB 互余,∴∠ABF =∠DFE ,∴△ABF ∽△DFE ;(2)解:∵sin ∠DFE =DE EF =13,∴设DE =k .则EF =CE =3k ,AB =CD =4k ,∴DF =EF 2-DE 2=22k ,由△ABF ∽△DFE ,得AF DE =AB DF ,即AF k =4k22k ,∴AF =2k ,∴BC =AD =2k +22k =32k ,∴tan ∠EBC =CE BC =3k 32k =22. 22.小明坐于堤边垂钓,如图,河堤AC 的坡角为30°,AC 长332米,钓竿AO 的倾斜角是60°,其长为3米,若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°,求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离.解:如图,延长OA 交直线BC 于点D ,∵AO 的倾斜角是60°,∴∠ODB =60°.∵∠ACD =30°,∴∠CAD =180°-∠ODB -∠ACD =90°.在Rt △ACD 中,AD =AC·tan ∠ACD =332·33=32(米).∴CD =2AD =3(米). 又∵∠O =60°,∴△BOD 为等边三角形.∴BD=OD=OA+AD=3+32=4.5(米).∴BC=BD-CD=4.5-3=1.5米.答:浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.六、(本大题共12分)23.在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达扫描实验.表盘是△ABC,其中AB=AC,∠BAC =120°,在点A处有一束红外光线AP,从AB开始,绕点A逆时针匀速旋转,每秒钟旋转15°,到达AC后立即以相同旋转速度返回AB,到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现,光线从AB 处旋转开始计时,旋转1秒,此时光线AP交BC边于点M,BM的长为(203-20) cm.(1)求AB的长;(2)从AB处旋转开始计时,若旋转6秒,此时光线AP与BC边的交点在什么位置?若旋转2 030秒,交点又在什么位置?请说明理由.解:(1)如图①,过A点作AD⊥BC,垂足为D.∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=30°.令AB=2t cm.在Rt△ABD中,AD=12AB=t,BD=32AB=3t.在Rt AMD中,∵∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°,∴MD=AD=t.∵BM=BD-MD.即3t-t=203-20.解得t=20.∴AB=2×20=40 cm.答:AB的长为40 cm.(2)如图②,当光线旋转6秒,设AP交BC于点N,此时∠BAN=15°×6=90°.在Rt△ABN中,BN=ABcos 30°=4032=8033cm.∴光线AP旋转6秒,与BC的交点N距点B8033cm处.如图③,设光线AP旋转2 030秒后光线与BC的交点为Q.由题意可知,光线从边AB开始到第一次回到AB处需8×2=16秒,而2 030=126×16+14,即AP旋转2 030秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点Q.旋转14s的过程是B→C:8s,C→Q:6s,因此CQ=BN=8033cm,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴BC=2ABcos 30°=2×40×32=40 3 cm,∴BQ=BC-CQ=403-8033=4033cm.答:光线AP旋转2 030秒后,与BC的交点Q在距点B的4033cm处.第二章检测题(BSD)(考试时间:120分钟满分:120分)一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)1.已知抛物线y=x2+ax+b与x轴的交点坐标为(-1,0)和(-3,0),则方程x2+ax+b=0的解是( B )A.x1=1,x2=-3 B.x1=-1,x2=-3C.x=-3 D.x=32.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4 cm,BC=6 cm,动点P从点C开始沿CA以1 cm/s 的速度向A点运动,同时动点Q从点C开始沿CB以2 cm/s的速度向B点运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也停止运动,则运动过程中所构成的△CPQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是( C )3.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t +1.则下列说法中正确的是( D )A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B.点火后24 s火箭落于地面C.点火后10 s的升空高度为139 mD.火箭升空的最大高度为145 m4.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和第一、二、三象限,则(A)A.a>0,b>0,c=0 B.a>0,b<0,c=0C.a<0,b>0,c=0 D.a<0,b<0,c=05.(2019·烟台)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的y与x的部分对应值如下表,下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2; ③当0<x<4时,y>0;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(x1,2),B(B)A.2 B.36.(2019·巴中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b -c >0,④a +b +c <0.其中正确的是( A )A .①④B .②④C .②③D .①②③④二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)7.已知一条抛物线的开口大小与y =x 2相同但方向相反,且顶点坐标是(2,3),则该抛物线的表达式是 y =-x 2+4x -1 .8.飞机着陆后滑行的距离y (单位:m)关于滑行时间t (单位:s)的函数表达式是y =60t -32t 2,在飞机着陆滑行中,最后4 s 滑行的距离是 24 m.9.若二次函数y =2x 2-4x -1的图象与x 轴交于A (x 1,0),B (x 2,0)两点,则1x 1+1x 2的值为 -4 .10.如图,已知△OBC 是等腰直角三角形,∠OCB =90°,若点B 的坐标为(4,0),点C 在第一象限,则经过O ,B ,C 三点的抛物线的表达式是 y =-12x 2+2x .11.已知二次函数y =ax 2+2ax +3a 2+3(a ≠0)(其中x 是自变量),当x ≥2时,y 随x 的增大而增大,且-2≤x ≤1时,y 的最大值为9,则a 的值是__1__.12.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y =ax 2+bx(a>0)的顶点为C ,与x 轴的正半轴交于点A ,它的对称轴与抛物线y =ax 2(a>0)交于点B.若四边形ABOC 是正方形,则b 的值是 -2 .三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13.已知当x =2时,抛物线y =a(x -h)2有最大值,此抛物线过点(1,-3),求抛物线的表达式,并指出当x 为何值时,y 随x 的增大而减小.解:当x =2时,有最大值,所以h =2.此抛物线过(1,-3),所以-3=a(1-2)2,解得a =-3.此抛物线的表达式为y =-3(x -2)2.当x >2时,y 随x 的增大而减小.14.已知抛物线y =-3x 2经过平移经过点(0,0)和(1,9),求出平移后抛物线的表达式,并写出它的对称轴和顶点坐标.解:设平移后抛物线的表达式为y =-3x 2+bx +c ,将点(0,0)和(1,9)的坐标代入,得⎩⎨⎧c =0,-3+b +c =9,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =12,c =0.∴平移后抛物线的表达式为y =-3x 2+12x.∵y =-3x 2+12x =-3(x -2)2+12,∴对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,12).15.已知抛物线y =-a(x -2)2+3经过点(1,2).(1)求a 的值;(2)若点A(m ,y 1),B(n ,y 2)(m >n >2)都在该抛物线上,试比较y 1与y 2的大小. 解:(1)把(1,2)代入y =-a(x -2)2+3,得2=-a(1-2)2+3,解得a =1;(2)由(1)知原抛物线的表达式为y =-(x -2)2+3,其开口向下,对称轴为直线x =2, ∴当x >2时,y 随x 的增大而减小. ∵m >n >2,∴y 1<y 2.16.如图,在平面直角坐标系xOy 中,边长为2的正方形OABC 的顶点A ,C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,二次函数y =-23x 2+bx +c 的图象经过B ,C 两点.(1)求该二次函数的表达式;(2)结合函数的图象探索,当y >0时,x 的取值范围.解:(1)由题意可得B(2,2),C(0,2),将B ,C 坐标代入y =-23x 2+bx +c ,解得c =2,b =43,所以二次函数的表达式是y =-23x 2+43x +2.(2)令y =0,解-23x 2+43x +2=0,得x 1=3,x 2=-1,由图象可知:y >0时,x 的取值范围是-1<x <3.17.如图,抛物线y =ax 2+bx -5(a ≠0)与x 轴交于点A(-5,0)和点B(3,0),与y 轴交于点C.(1)求该抛物线的表达式;(2)若点E 为x 轴下方抛物线上的一动点,当S △ABE =S △ABC 时,求点E 的坐标.解:(1)∵抛物线经过A ,B 两点,∴把A(-5,0),B(3,0)代入y =ax 2+bx -5,得⎩⎨⎧25a -5b -5=0,9a +3b -5=0,解得⎩⎨⎧a =13,b =23,∴该抛物线的表达式为y =13x 2+23x -5.(2)∵y =13x 2+23x -5,∴令x =0,则y =-5.∴C 点的坐标为(0,-5),∵S △ABE =S △ABC ,∴点E的纵坐标与点C 的纵坐标相等,即点E 的纵坐标为-5,令13x 2+23x -5=-5,解得x 1=-2,x 2=0(舍去),∴点E 的坐标为(-2,-5).四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 18.已知二次函数y =x 2-(2m -1)x +m 2-m.(1)求证:此二次函数图象与x 轴必有两个不同的交点;(2)若此二次函数图象与直线y =x -3m +4的一个交点在y 轴上,求m 的值.(1)证明:令y =0,有x 2-(2m -1)x +m 2-m =0,Δ=b 2-4ac =(2m -1)2-4(m 2-m)=1>0,∴结论成立;(2)解:令x =0,代入y =x 2-(2m -1)x +m 2-m 与y =x -3m +4,得m 2-m =-3m +4,∴m =-1+5或-1- 5.19.杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处,其身体(看作一点)的路线是抛物线y =-35x 2+3x +1的一部分,如图.(1)求演员弹跳离地面的最大高度;(2)已知人梯高BC =3.4 m ,在一次表演中人梯到起点A 的水平距离为4 m ,问这次表演是否成功?请说明理由.解:(1)∵y =-35x 2+3x +1=-35⎝⎛⎭⎫x -522+194,∴该演员弹跳高度的最大值为194m ; (2)当x =4时,y =-35×42+3×4+1=3.4,∴这次表演是成功的.20.如图,已知抛物线y =ax 2-4x +c 经过点A(0,-6)和B(3,-9).(1)求出抛物线的表达式;(2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标;(3)点P(m ,m)(其中m >0)与点Q 均在抛物线上,且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m 的值及点Q 的坐标.解:(1)依题意有⎩⎨⎧a ×02-4×0+c =-6,a ×32-4×3+c =-9,即⎩⎨⎧c =-6,9a -12+c =-3,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =1,c =-6.∴抛物线的表达式为y =x 2-4x -6.(2)把y =x 2-4x -6配方得y =(x -2)2-10,∴对称轴为直线x =2,顶点坐标(2,-10).(3)由点P(m ,m)在抛物线上,有m =m 2-4m -6,即m 2-5m -6=0.∴m 1=6或m 2=-1(舍去),∴m =6,∴P 点的坐标为(6,6).∵点P ,Q 均在抛物线上,且关于对称轴x =2对称,∴Q 点的坐标为(-2,6). 五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.把抛物线y =12x 2平移得到抛物线m ,抛物线m 经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P ,它的对称轴与抛物线y =12x 2交于点Q.(1)求顶点P 的坐标; (2)写出平移过程;(3)求图中阴影部分的面积.解:(1)设抛物线m 的表达式为y =12x 2+bx +c ,把点A(-6,0),原点O(0,0)代入,得b =3,c=0,∴抛物线m 的表达式为y =12x 2+3x =12(x +3)2-92,所以顶点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫-3,-92. (2)把抛物线y =12x 2先向左平移3个单位长度,再向下平移92个单位长度即可得到抛物线y =12(x +3)2-92.(3)Q 点横坐标为-3,代入y =12x 2,可得Q ⎝⎛⎭⎫-3,92,图中阴影部分的面积=S △OPQ =12×3×9=272. 22.(2019·南充)在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元,购买4支钢笔和5个笔记本共70元. (1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价售,笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元?解:(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x ,y 元,根据题意得,⎩⎨⎧2x +3y =38,4x +5y =70,解得:⎩⎪⎨⎪⎧x =10,y =6.答:钢笔、笔记本的单价分别为10元,6元;(2)设钢笔的单价为a 元,购买数量为b 支,支付钢笔和笔记本的总金额为w 元, ①当30≤b ≤50时,a =10-0.1(b -30)=-0.1b +13,w =b(-0.1b +13)+6(100-b)=-0.1b 2+7b +600=-0.1(b -35)2+722.5,∵当b =30时,w =720,当b =50时,w =700, ∴当30≤b ≤50时,700≤w ≤722.5;②当50<b ≤60时,a =8,w =8b +6(100-b)=2b +600,700<w ≤720,∴当30≤b ≤60时,w 的最小值为700元.答:这次奖励一等奖学生50人时,购买的奖品总金额最少,最少为700元.六、(本大题共12分)23.(2019·新疆)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (-1,0),B (4,0),C (0,4)三点. (1)求抛物线的表达式及顶点D 的坐标; (2)将(1)中的抛物线向下平移154个单位长度,再向左平移h (h >0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点D ′在△ABC 内,求h 的取值范围;(3)点P 为线段BC 上一动点(点P 不与点B ,C 重合),过点P 作x 轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q ,当△PQC 与△ABC 相似时,求△PQC 的面积.题图 答图解:(1)函数表达式为y =a(x +1)(x -4)=a(x 2-3x -4),即-4a =4,解得a =-1,故抛物线的表达式为y =-x 2+3x +4,顶点D(32,254);(2)抛物线向下平移154个单位长度,再向左平移h(h>0)个单位长度,得到新抛物线的顶点D' (32-h ,52),将点A ,C 的坐标代入一次函数表达式并解得直线AC 的表达式为y =4x +4,将点D' 坐标代入直线AC 的表达式得:52=4(32-h)+4,解得h =158,故0<h<158;(3)过点P 作y 轴的平行线交抛物线和x 轴于点Q ,H ,∵OB =OC =4,∴∠PBA =∠OCB =45°=∠QPC ,直线BC 的表达式为y =-x +4,则AB =5,BC =42,AC =17,S ABC =12×5×4=10,设点Q(m ,-m 2+3m +4),点P(m ,-m +4),CP =2m ,PQ =-m 2+3m +4+m -4=-m 2+4m ,①当△CPQ ∽△CBA ,PC BC =PQ AB ,即2m42=-m 2+4m 5,解得m =114,相似比为PC BC =1116,②当△CPQ ∽△ACB ,同理可得相似比为PC AB =12225,利用面积比等于相似比的平方可得S PQC=10×(1116)2=605128或SPQC =10×(12225)2=576125. 第三章检测题(BSD)(考试时间:120分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)1.已知⊙P 的半径为4,圆心P 的坐标为(1,2),点Q 的坐标为(0,5),则点Q 与⊙P 位置关系是( C )A .点Q 在⊙P 外B .点Q 在⊙P 上C .点Q 在⊙P 内D .不能确定2.如图,在⊙O 中,弦AB ∥CD ,若∠ABC =40°,则∠BOD 等于( D ) A .20° B .40° C .50° D.80°3.如图,⊙O 的半径为3,四边形ABCD 内接于⊙O ,连接OB ,OD ,若∠BOD =∠BCD ,则BD ︵的长为( C )A .πB.32πC .2πD .3π4.同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长之比为( B )A .3∶4B .3∶2C .2∶ 3D .1∶25.如图,AC 是⊙O 的直径,弦BD ⊥AO 于点E ,连接BC ,过点O 作OF ⊥BC 于点F ,若BD =8 cm ,AE =2 cm ,则OF 的长度是( D )A .3 cmB . 6 cmC .2.5 cmD . 5 cm 6.如图,将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°,得正方形AB 1C 1D 1,B 1C 1交CD 于点E ,AB =3,则四边形AB 1ED 的内切圆半径为( B )A .3+12B .3-32C .3+13D .3-33二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)7.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,若∠BOD =138°,则它的一个外角∠DCE 等于69° . 8.如图,量角器的0度刻度线为AB ,将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点C ,直尺另一边交量角器于点A ,D ,量得AD =10 cm ,点D 在量角器上的读数为60°,则该直尺的宽度为533 cm . 9.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,过点C 的切线与BA 的延长线交于点D ,点E 在BC ︵上(不与点B ,C 重合),连接BE ,CE.若∠D =40°,则∠BEC =115度.10.(2019·内江)如图,在平行四边形ABCD 中,AB<AD ,∠A =150°,CD =4,以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ,则图中阴影部分的面积为2π3+ 3 . 11.如图,P 是反比例函数y =4x (x >0)的图象上一点,以点P 为圆心、1个单位长度为半径作⊙P ,当⊙P 与直线y =3相切时,点P 的坐标为 (1,4)或(2,2) .12.(2019·包头)如图,BD 是⊙O 的直径,A 是⊙O 外一点,点C 在⊙O 上,AC 与⊙O 相切于点C ,∠CAB =90°,若BD =6,AB =4,∠ABC =∠CBD ,则弦BC 的长为.三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠A =45°,BD 是直径,BD =2,连接CD ,求BC 的长.解:在⊙O 中,∵∠A =45°,∴∠D =45°. ∵BD 为⊙O 的直径, ∴∠BCD =90°, ∴BC =BD·sin 45°=2×22= 2. 14.如图,已知CD 平分∠ACB ,DE ∥AC.求证:DE =BC.证明:∵CD 平分∠ACB ,∴∠ACD =∠BCD ,∴BD ︵=AD ︵,∵DE ∥AC ,∴∠ACD =∠CDE ,∴AD ︵=CE ︵,∴BD ︵=CE ︵,∴DE ︵=BC ︵,∴DE =BC.15.如图,两个同心圆中,大圆的弦AB ,AC 分别切小圆于点D ,E ,△ABC 的周长为12 cm ,求△ADE 的周长.解:连接OD ,OE.∵AB ,AC 分别切小圆于点D ,E , ∴OD ⊥AB ,OE ⊥AC , ∴AD =DB ,AE =EC , ∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE =12BC ,∴C △ADE =12C △ABC =12×12=6 cm .16.如图所示,⊙O 的直径AB 长为6,弦AC 的长为2,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ,求四边形ADBC 的面积.解:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB =∠ADB =90°.在Rt △ABC 中,由勾股定理,得 BC =AB 2-AC 2=62-22=4 2. 又∵CD 平分∠ACB , ∴AD ︵=BD ︵,∴AD =BD.在Rt △ABD 中,由勾股定理,得AD =BD =22AB =22×6=3 2. ∴S 四边形ADBC =S △ABC +S △ABD =42+9,∴四边形ADBC 的面积为42+9.17.如图,点I 是△ABC 的内心,AI 的延长线交BC 于点D ,交△ABC 的外接圆于点E.求证:IE 2=AE·DE.证明:连接BE ,BI.∵I 为△ABC 的内心,∴∠1=∠2,∠3=∠4. 又∵∠6=∠1+∠3,∠IBE =∠4+∠5, ∠5=∠2=∠1,∴∠IBE =∠6,∴IE =BE. ∵∠5=∠1,∠E =∠E ,∴△BED∽△AEB,∴BEDE=AEBE,∴BE2=AE·DE,∴IE2=AE·DE.四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.如图,在直角坐标系中,点O′的坐标为(-2,0),⊙O′与x轴相交于原点O和点A,B,C 两点的坐标分别为(0,b),(1,0).(1)当b=3时,求经过B,C两点的直线的表达式;(2)当B点在y轴上运动时,直线BC与⊙O′有哪几种位置关系?并求出每种位置关系时b的取值范围.解:(1)直线BC表达式为y=-3x+3.(2)当BC切⊙O′于第二象限时,记切点为点D.易得DC= 5.∵BO=BD=b,∴BC=5-b.12+b2=(5-b)2,得b=25 5.同理当BC切⊙O′于第三象限D1点时,可求得b=-25 5.故当b>255或b<-255时,直线BC与⊙O′相离;当b=255或-255时,直线BC与⊙O′相切;当-255<b<255时,直线BC与⊙O′相交.19.(2018·南充)如图,C是⊙O上一点,点P在直径AB的延长线上,⊙O的半径为3,PB=2,PC=4.(1)求证:PC是⊙O的切线.(2)求tan∠CAB的值.(1)证明:连接OC,BC,∵⊙O的半径为3,PB=2,∴OC=OB=3,OP=OB+PB=5.∵PC=4,∴OC2+PC2=OP2,∴△OCP是直角三角形,∴OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线.(2)解:∵AB是直径,∴∠ACB=90° ,∴∠ACO+∠OCB=90°,∵OC⊥PC,∴∠BCP+∠OCB =90°,∴∠BCP=∠ACO.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠A=∠BCP,在△PBC和△PCA中,∠BCP=∠A,∠P=∠P,∴△PBC∽△PCA,∴BCAC=PBPC=24=12,∴tan∠CAB=BC AC=12.20.(齐齐哈尔中考)如图,以△ABC的边AB为直径画⊙O,交AC于点D,半径OE∥BD,连接BE,DE,BD,设BE交AC于点F,若∠DEB=∠DBC.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BF=BC=2,求图中阴影部分的面积.(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠A+∠ABD=90°.又∵∠A=∠DEB,∠DEB=∠DBC,∴∠A=∠DBC,∴∠DBC+∠ABD=90°,即∠ABC=90°∴BC是⊙O的切线.(2)解:∵BF=BC=2且∠ADB=90°,∴∠CBD=∠FBD,又∵OE∥BD,∴∠FBD=∠OEB.∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE,∴∠CBD=∠DBE=∠OBE=13∠ABC=13×90°=30°,∴∠C=60°,∴AB=3BC=23,∴⊙O的半径为3,连接OD,∴阴影部分面积为S扇形OBD-S△OBD=16π×3-34×3=π2-334.五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.(2019·安顺)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E 两点,过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)求证:点H为CE的中点;(3)若BC=10,cos C=55,求AE的长.(1)解:DH与⊙O相切.理由:连接OD,AD,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵AB=AC,∴BD=CD,∵OA=OB,∴OD∥AC,∵DH⊥AC,∴DH⊥OD,∴DH为⊙O的切线.(2)证明:连接DE,∵A,B,D,E四点共圆,∴∠DEC=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠DEC=∠C,∴CD=ED,∵DH⊥CE,∴点H为CE的中点.(3)解:CD=12BC=5,∵cos C=CDAC=55,∴AC=55,∵cos C=CHCD=55,∴CH=5,∴CE=2CH =25,∴AE =AC -CE =3 5.22.如图,在Rt △ABC 与Rt △OCD 中,∠ACB =∠DCO =90°,点O 为AB 的中点.(1)求证:∠B =∠ACD ;(2)已知点E 在AB 上,且BC 2=AB ·BE . ①若tan ∠ACD =34,BC =10,求CE 的长;②试判断CD 与以A 为圆心,AE 为半径的⊙A 的位置关系,并请说明理由.(1)证明:∵∠ACB =∠DCO =90°,∴∠ACB -∠ACO =∠DCO -∠ACO ,即∠ACD =∠OCB ; 又∵点O 是AB 的中点,∴OC =OB , ∴∠OCB =∠B , ∴∠B =∠ACD .(2)解:①∵BC 2=AB ·BE ,∴BC AB =BEBC.∵∠B =∠B ,∴△ABC ∽△CBE ,∴∠ACB =∠CEB =90°. ∵∠ACD =∠B ,∴tan ∠ACD =tan B =34,设BE =4x ,则CE =3x .由勾股定理,可知BE 2+CE 2=BC 2, ∴(4x )2+(3x )2=100,∴解得x =2,∴CE =6.②CD 与⊙A 相切.理由如下: 过点A 作AF ⊥CD 于点F .∵∠CEB =90°,∴∠B +∠ECB =90°. ∵∠ACE +∠ECB =90°,∴∠B =∠ACE .∵∠ACD =∠B ,∴∠ACD =∠ACE ,∴CA 平分∠DCE .∵AF ⊥CD ,AE ⊥CE ,∴AF =AE ,∴直线CD 与⊙A 相切.六、(本大题共12分)23.(2019·荆州)如图AB 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点,点P 是半径OB 上一动点(不与O ,B 重合),过点P 作射线l ⊥AB ,分别交弦BC ,BC ︵于D ,E 两点,在射线l 上取点F ,使FC =FD .(1)求证:FC 是⊙O 的切线; (2)当点E 是BC ︵的中点时,①若∠BAC =60°,判断O ,B ,E ,C 为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由; ②若tan ∠ABC =34,且AB =20,求DE 的长.(1)证明:连接OC ,∵OB =OC ,∴∠OBC =∠OCB ,∵PF ⊥AB ,∴∠BPD =90°,∴∠OBC +∠BDP =90°,∵FC =FD, ∴∠FCD =∠FDC ,∵∠FDC =∠BDP ,∴∠FCD =∠BDP ,∴∠OCB +∠FCD =90°,∴OC ⊥FC ,FC 是⊙O 的切线.(2)解:连接OC ,OE ,BE ,CE ,OE 与BC 交于H. ①以O ,B ,E ,C 为顶点的四边形是菱形.理由:∵AB 是直径,∴∠ACB =90°,∵∠BAC =60°,∴∠BOC =120°,∵点E 是BC ︵的中点,∴∠BOE =∠COE =60°,∵OB =OE =OC ,∴△BOE ,△COE 均为等边三角形,∴OB =BE =CE =OC ,∴四边形BOCE 是菱形.②∵AC BC =tan ∠ABC =34,设AC =3k ,BC =4k ,k>0.由AC 2+BC 2=AB 2,即(3k)2+(4k)2=202,解得k =4,∴AC =12,BC =16,∵点E 是BC ︵的中心,∴OE ⊥BC ,BH =CH =8,∵S △BOE =12OE·BH =12OB·PE ,即12×10×8=12×10×PE ,∴PE =8,又OP =OE 2-PE 2=6,∴BP =OB -OP =4,∵DP BP =tan ∠ABC =34,∴DP =34BP =3,∴DE =PE -DP =8-3=5.期中检测题(BSD)(考试时间:120分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项) 1.对于函数y =-2(x -m)2的图象,下列说法不正确的是( D ) A .开口向下 B .对称轴是x =m C .最大值为0 D .与y 轴不相交 2.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =6,tan B =33,则Rt △ABC 的面积为( B ) A .9 3B .923C .9D .183.如图,某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A 处时,测得岛屿P 恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B 处,测得岛屿P 在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C 处,此时海监船与岛屿P 之间的距离(即PC 的长)为( D )A .40海里B .60海里C .203海里D .403海里4.若抛物线y =x 2+ax +b 与x 轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x =1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点 ( B )A .(-3,-6)B .(-3,0)C .(-3,-5)D .(-3,-1)5.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A <∠B ,沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠,使点A 落在点D 处,若CD 恰好与MB 垂直,则tan A 的值为( A )A .33B . 3C .12D .136.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,则|a -b +c|+|2a +b|等于( D ) A .a +b B .a -2b C .a -b D .3a 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)7.某种型号的迫击炮发射炮弹时的飞行高度h(m )与飞行时间t(s )的关系满足h =-13t 2+10t ,则经过 30 s ,发射的炮弹落地爆炸.8.在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,若⎪⎪⎪⎪sin A -12+⎝⎛⎭⎫cos B -122=0,则∠C = 90° . 9.若函数y =mx 2+(m +2)x +12m +1的图象与x 轴只有一个交点,那么m 的值为 0,2或-2 .10.(2019·盐城)在△ABC 中,BC =6+2,∠C =45°,AB =2AC ,则AC 的长为__2__. 11.(2019·宿迁)若∠MAN =60°,△ABC 的顶点B 在射线AM 上,且AB =2,点C 在射线AN 上运动,当△ABC 是锐角三角形时,BC12.已知抛物线y =23x 2+43x -2与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C .点P 在对称轴上,当△PBC的周长最小时,点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫-1,-43. 三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13.计算:cos 60°-sin 45°+14tan 230°+cos 30°-sin 30°.解:原式=12-22+14×⎝⎛⎭⎫332+32-12=32-22+112. 14.由于保管不慎,小明把一道数学题染上了污渍,变成了“如图,在△ABC 中,∠A =30°,tan B =,AC =43,求AB 的长”.这时小明去翻看了标准答案,显示AB =10.你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么?解:过点C 作CH ⊥AB 于点H ,在Rt △ACH 中,CH =AC ·sin A =43×sin 30°=23,AH =AC ·cos A =43×cos 30°=6, ∴BH =AB -AH =4, ∴tan B =CH BH =32,∴污渍部分的内容是32. 15.(2019·凉山州)已知二次函数y =x 2+x +a 的图象与x 轴交于A (x 1,0),B (x 2,0)两点,且1x 21+1x 22=1,求a 的值.解:函数y =x 2+x +a 的图象与x 轴交于A(x 1,0),B(x 2,0)两点,∴x 1+x 2=-1,x 1·x 2 =a ,∵1x 21+1x 22=x 21+x 22x 21x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2=1-2a a 2=1,∴a =-1+ 2 或a =-1- 2. 16.在同一平面直角坐标系中,一次函数y =x -4与二次函数y =-x 2+2x +c 图象交于点A (-1,m ).(1)求m ,c 的值;(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 解:(1)∵A 点在一次函数的图象上,∴m =-1-4=-5.∴点A 的坐标为(-1,-5),∵A 点在二次函数图象上,∴-5=-1-2+c ,解得c =-2. (2)由①可知二次函数表达式为y =-x 2+2x -2=-(x -1)2-1,∴二次函数的图象的对称轴为直线x =1,顶点坐标为(1,-1).17.如图,某消防队在一居民楼前进行演习,消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后,又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者,在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别为45°和65°,点A 距地面2.5米,点B 距地面10.5米,为救出点C 处的求救者,云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米?(结果保留整数,参考数据:tan 65°≈2.1,sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,2≈1.4)解:作AH ⊥CN 于点H .在Rt △ABH 中,∵∠BAH =45°,BH =10.5-2.5=8(m), ∴AH =BH =8(m), 在Rt △AHC 中,tan 65°=CH AH, ∴CH =8×2.1≈17(m),∴BC =CH -BH =17-8=9(m).四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.如图,直线y =x +2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,AB ⊥BC ,且点C 在x 轴上,若抛物线y =ax 2+bx +c 以C 为顶点,且经过点B ,求这条抛物线对应的函数表达式.解:∵直线y =x +2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B , ∴A (-2,0),B (0,2),∴△ABO 为等腰直角三角形.又∵AB ⊥BC ,∴△BCO 也为等腰直角三角形, ∴OC =OB =OA .∴C (2,0),设抛物线对应的函数表达式为y =a (x -2)2, 将点B (0,2)的坐标代入得2=a (0-2)2,解得a =12,∴此抛物线对应的函数表达式为y =12(x -2)2,即y =12x 2-2x +2.19.如图,一座钢结构桥梁的框架是△ABC ,水平横梁BC 长18米,中柱AD 高6米,其中D 是BC 的中点,且AD ⊥BC.(1)求sin B 的值;(2)现需要加装支架DE ,EF ,其中点E 在AB 上,BE =2AE ,且EF ⊥BC ,垂足为点F ,求支架DE 的长.解:(1)∵BD =DC =9,AD =6, ∴AB =92+62=313.∴sin B =AD AB =6313=21313.(2)∵EF ∥AD ,BE =2AE ,∴△BEF ∽△BAD. ∴EF AD =BF BD =BE BA =23,∴EF 6=BF 9=23, ∴EF =4,BF =6,∴DF =3,∴在Rt △DEF 中,DE =42+32=5米.20.为美化校园,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(只围AB ,BC 两边),设AB =x m .(1)若花园的面积为192 m 2,求x 的值;(2)若在P 处有一棵树与墙CD ,AD 的距离分别是15 m 和6 m ,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S 的最大值.解:(1)∵AB =x m ,则BC =(28-x)m ,∴x(28-x)=192,解得x 1=12,x 2=16,∴当花园的面积为192 m 2时,x 的值为12 m 或16 m .(2)由题意可得S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196,∵在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,28-15=13,∴6≤x≤13,∴当x=13时,S最大=-(13-14)2+196=195,∴花园面积S的最大值为195 m2.五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的表达式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系h=-1128(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?解:(1)抛物线的表达式为y=-364x2+11(-8≤x≤8).(2)令-1128(t-19)2+8=11-5.解得t1=35,t2=3.∴当3≤t≤35时,水面到顶点C的距离不大于5米,需禁止船只通行,禁止船只通行时间为35-3=32小时.答:禁止船只通行时间为32小时.22.(2019·岳阳)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图,小亮的目高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°,小琴的目高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a米远的F处,测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D,B,F在同一水平线上,参考数据:sin 62.3°≈0.89,cos 62.3°≈0.46,tan 62.3°≈1.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示)(2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.解:(1)四边形CDBG,HBFE为矩形,∴GB=CD=1.7,HB=EF=1.5,∴GH=0.2,在Rt AHE中,tan∠AEH=AHHE,则AH=HE·tan∠AEH≈1.9a,∴AG=AH-GH=1.9a-0.2,在Rt ACG中,∠ACG=45°,∴CG=AG=1.9a-0.2,∴BD=1.9a-0.2,答:小亮与塔底中心。
北师大版初中数学九下第一章综合测试试题试卷含答案
第一章综合测试一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分) 1.若 的余角为°60,则tan 的值是( )A .12 B .2 C D .3 2.ABC △在正方形网格中的位置如下图所示,则cos B 的值为( )A B C .12D .2 3.在ABC Rt△中,将各边都扩大两倍,则锐角A 的正弦值( )A .扩大两倍B .缩小为原来的一半C .不变D .不能确定4.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2:,则顶角的度数为( ) A .60°B .90°C .120°D .150°5.在ABC Rt△中,°90C A B C ,,,所对的边分别为a b c ,,,且°45A a b ,,则c 等于( )A .B .4C .D .6.如下图,一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC OB ,点A B C D O ,,,,在同一平面内),已知AB a AD b BCO x ,,,则点A 到OC 的距离等于( )A .sin sin a x b xB .cos cos a x b xC .sin cos a x b xD .cos sin a x b x7.如下图,某河坝的横断面为四边形ABCD AD BC AB CD ,∥,,坝顶宽10BC 米,坝高12米,斜坡AB 的坡度1:1.5i ,则坝底宽AD 的长度为( )A .26米B .28米C .30米D .46米8.如下图,在ABC △中,°904ACB AC BC ,,将ABC △折叠,使点A 落在BC 边上的点D 处,EF 为折痕.若3AE ,则sin BFD 的值为( )A .13B .3C .4D .359.如下图,在ABC Rt△中,°903ACB BC AC AB ,,的垂直平分线ED 交BC 的延长线于点D ,垂足为E ,连接AD ,则sin CAD 的值为( )A .14B .4C .13 D .15 10.如下图,在ABC △中,10tan 2AB AC A BE AC ,,于点E ,若点D 是线段BE 上的一个动点,则5CD BD的最小值是( )A .B .C .D .10二、填空题(本大题共6小题,每题3分,共18分)11.在ABC △中,若21sinA tan 02B,则C 的度数是________.12.如下图,将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折叠,使顶点C 落在C 处,若36AB DE ,,则sin C DE ________.13.如图,已知ABC Rt△中,°90BAC ,斜边BC 上的高4AD ,4cos 5B,则AC ________.14.如下图,从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°,从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°,已知乙楼的高CD 是45m ,则甲楼的高AB 是________m .(结果保留根号)15.如下图,在东西方向的海岸线上有A B ,两个港口,甲货船从A 港出发,沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度航行,同时乙货船从B 港出发,沿西北方向航行,2h 后两船在点P 处相遇,则乙货船的速度为________.16.在ABC △中,AD 是ABC △的高,若AB ,tan 2B 且2BD CD ,则BC ________. 三、解答题(本大题共6小题,共72分)17.(10分)(1)计算:°2°sin60sin 30cos45tan 60tan 45cos30;(2)已知°°075 <<,且 °sin 152 1014cos 3.14tan 3的值.18.(11分)如下图,ABC △的顶点A C ,的坐标分别是 04,, 30,,且°°9030ACB ABC ,,试求点B 的坐标.19.(12分)如下图,在ABC Rt△中,°90C D ,为BC 上一点,51AB BD ,,3tan 4B.(1)求AD 的长;(2)求sin 的值.20.(12分)如下图,山顶有一塔AB ,塔高33m .计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道EF .从与E 点相距80m 的C 处测得A B ,的仰角分别为27°,22°,从与F 点相距50m 的D 处测得A 的仰角为45°.求隧道EF 的长度.(参考数据:°°tan220.40tan270.51 ,)21.(13分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究,过程如下: 问题提出:如下图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计:如下图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳篷CD . 数据收集:通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线DA 与遮阳篷CD 的夹角最大(°77.44ADC );冬至这一天的正午时刻,太阳光线DB 与遮阳篷CD 的夹角最小(°30.56BDC ).窗户AB 的高度为2m . 问题解决:根据上述方案及数据,求遮阳篷CD 的长.(结果精确到0.1m .参考数据:°°°°sin30.560.51cos30.560.86tan30.560.59sin77.440.98 ,,,,°°cos77.440.22tan77.44 4.49 ,)22.(14分)如下图1是小红家的阳台上放置的一个晒衣架,下图2是晒衣架的侧面示意图,立杆AB CD ,相交于点O B D ,,两点位于地面.经测量:136cm 51cm 34cm AB CD OA OC OE OF ,,.现将晒衣架完全稳固张开,此时扣链EF 成一条线段,32cm EF .图1图2(1)求证:AC BD ∥;(2)求扣链EF 与立杆AB 的夹角OEF 的余弦值;(3)小红的连衣裙挂在衣架上的总长度达到122cm ,问挂在晒衣架后是否会拖落在地面?请通过计算说明理由.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】若 的余角为°60,则°30,所以°tan tan 303a .故选D . 2.【答案】B【解析】如下图,连接DE ,易知DE BC ,且点D E ,都在格点上,在BED Rt△中,EB,所以cos 5BD B EB.故选B .3.【答案】C4.【答案】A【解析】因为等腰三角形的底边与底边上的高的比是2,所以底角为°60,所以顶角的度数为°60.故选A . 5.【答案】A【解析】在ABC Rt△中,°°9045C A ,,所以a b.因为a b,所以a b,所以sin 2a c AA . 6.【答案】D【解析】如下图,过点A 作AE OC 于点E ,交BC 于点M AF OB ,于点F .∵四边形ABCD 是矩形,°°9090ABC AEC AMB CME EAB BCO x ∴,∵,,∴.易知四边形AFOE 为矩形,AE FO FBA EAB x ∴∥,∴.cos sin AB a AD b FO FB BO a x b x ∵,,∴.故选D .7.【答案】D【解析】过点B 作BE AD 于点E ,过点C 作CF AD 于点F .由题意得1121.5BE i BE AE,米,所以18AE 米.因为AD BC AB CD ∥,,所以18DF AE 米,10EF BC 米,所以18101846AD AE EF DF (米).故选D . 8.【答案】A【解析】°°90445ACB AC BC A B ∵,,∴,由折叠可得3AEF DEF DE AE △≌△,,EDF A EDF B ,∴.又CDE EDF B BFD CDE BFD ∵,∴.在CDE Rt△中,11sin sin 3CE CE AC AE CDE BFD DE,∴的值为13.故选A . 9.【答案】A【解析】设 0AD x x >,因为DE 是AB 的垂直平分线,所以BD x ,所以3CD x .在ACD Rt△中,由222AC CD AD ,得 2223x x ,解得4x ,所以431CD ,所以1sin 4CD CAD AD .故选A . 10.【答案】B【解析】如下图,过点D 作DH AB 于点H ,过点C 作CM AB 于点M .°90BE AC AEB ∵,∴,tan 2BEA AE∴.设 0AE a a >,则2BE a ,根据勾股定理,得221004a a a ,∴,2BE a ∴.同理,可得CM BEsin 555DH AE DBH DH BD CD BD CD DH BD AB∵,∴,∴,又CD DH CM ∵≥,55CD BD CD BD ∴≥的最小值为.故选B .二、11.【答案】90°【解析】由题意,得°°11sin 0tan 0sin tan 306022A B A B A B,∴,,, °°°°180306090C ∴.12.【答案】2【解析】因为36CD AB DE ,,所以12CD DE,易得°30CED ,所以°60CDE ,由折叠可知C DE CDE ,所以°60C DE,所以sin 2C DE . 13.【答案】5【解析】因为°°9090CAD BAD B BAD ,,所以CAD B ,所以4cos cos 5CAD B ,即445AD AC AC ,所以5AC . 14.【答案】【解析】由题意,得°45BDA AB AD ,∴.在ADC Rt△中,°3045CAD CD ,,°tan tan303CD CAD AD∴,即453AD AB AD ,故甲楼的高AB是m . 15.【答案】【解析】过点P 作PC AB 于点C .∵甲货船从A 港出发,沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度航行,°30428PAC AP ∴,(海里),142PC AP ∴海里.∵乙货船从B 港出发,沿西北方向航行,°°45sin 45PCPBC PB∴,∴海里.∴乙货船的速度为2 (海里/时). 16.【答案】3或1【解析】因为tan AD B BD,所以设 0AD x >,则2BD x .因为222AB AD BD,所以2222x ,解得1x 或1x (舍去),即2BD .又因为2BD CD ,所以1CD .当点D 在线段BC 上时,如下图1,则3BC BD CD ;当点D 在线段BC 的延长线上时,如下图2,则1BC BD CD .图1图2三、17.【答案】(1)2sin 60sin 30cos45tan 60tan 45cos30211211142142.(2)°°075 ∵<<,且°sin 15°°°156045 ∴,∴.114cos 3.14tan 3411323 .18.【答案】如下图,过点B 作BG x 轴于点G .435OA OC AC ∵,,∴.°°°9030tan30ACACB ABC BC∵,,∴°°9090BCG ACO ACO CAO ∵,,BCG CAO ∴,34sin cos 55BG CG BCG BCG BC BC∴,,BG CG ∴,∴点B 的坐标是 3 . 19.【答案】(1)在ABC Rt△中,3tan 4AC B BC , 设 30AC x x >,则4BC x ,2222225345AC BC AB AB x x ∵,,∴,解得1x (舍去)或1x ,34AC BC ∴,. 13BD CD ∵,∴,AD ∴.(2)如下图,过点D 作DE AB 于点E ,则°90BED . 在BDE Rt△中,3tan 4DE B BE,设 30DE y y >,则4BE y , 2222221341DE BE BD BD y y ∵,,∴,解得15y (舍去)或15y,3sin 510DE DE a AD∴.20.【答案】如下图,延长AB 交CD 于点H ,则AH CD . 在ACH Rt△中,°tan 27AHACH ACH CH,, °tan27AH CH ∴.在BCH Rt△中,°tan 22BHBCH BCH CH, °tan22BH CH ∴.33AB AH BH AB ∵,,°°tan 27tan2233CH CH ∴,300CH ∴.°tan27153AH CH ∴.在ADH Rt△中,°tan 45AHD D HD,, 153HD AH ∴.3001538050323EF CD CE FD CH HD CE FD ∴. 故隧道EF 的长度约为323m .21.【答案】在BCD Rt△中,°°9030.56tan BCBCD BDC BDC CD,,, °tan tan30.56BC CD BDC CD ∴.在ACD Rt△中,°°9077.44tan ACACD ADC ADC CD,,, °tan tan77.44AC CD ADC CD ∴.2AC BC AB AB ∵,,初中数学 九年级下册 6 / 6 °°tan77.44tan30.562CD CD ∴,4.490.592CD ∴,解得0.5CD .答:遮阳篷CD 的长约为0.5m .22.【答案】(1)OA OC AB CD OB OD ∵,,∴,°°1118018022OAC OCA AOC OBD ODB BOD ∴,, 又AOC BOD OAC OBD AC BD ∵,∴,∴∥.(2)如下图,过点O 作OM EF 于点M .34cm 32cm 16cm OE OF EF EM ∵,,∴,168cos 3417EM OEF OE ∴. (3)小红的连衣裙会拖落在地面.理由如下:如图,过点A 作AH BD 于点H .OE OF OB OD ∵,,°°1118018022OEF OFE BOD OBD ODB BOD ∴,, OEF OBD ∴,即OEM ABH , 由(2)知88cos cos 1717OEF ABH,∴,即817BH AB , 8813664cm 1717BH AB ∴,由勾股定理可得 120cm AH . 122120∵>,∴小红的连衣裙会拖落在地面.。
精品试题北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评试题(含解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,则 tan B 的值为( )A B .1 C D .22、在Rt ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,则下列式子一定成立的是( )A .sin a cB =⋅ B .cos a c B =⋅C .tan a c B =D .sin c a A =⋅3、如图要测量小河两岸相对的两点P ,A 的距离,点P 位于点A 正北方向,点C 位于点A 的北偏西46°,若测得PC =50米,则小河宽PA 为( )A .50sin44°米B .50cos44°C .50tan44°米D .50tan46°米4、tan 45︒的值为( )A .1B .2CD .5、某人沿坡度1:2i =的斜坡向上前进了10米,则他上升的高度为( )A .5米B .C .D .6、如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,90ABC ∠=︒,O 为对角线BD 的中点,2OA =,5BC =,3CD =,则tan DCB ∠等于( )A .43B .34C .45 D .357、如图,某建筑物AB 在一个坡度为i =1:0.75的山坡BC 上,建筑物底部点B 到山脚点C 的距离BC =20米,在距山脚点C 右侧同一水平面上的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是42°,在另一坡度为i =1:2.4的山坡DE 上的点E 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°,点E 到山脚点D 的距离DE =26米,若建筑物AB 和山坡BC 、DE 的剖面在同一平面内,则建筑物AB 的高度约为( )(参考数据:sin 24°≈0.41,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.45,sin 42°≈0.67.cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)A .36.7米B .26.3 米C .15.4米D .25.6 米8、如图,E 是正方形ABCD 边AB 的中点,连接CE ,过点B 作BH ⊥CE 于F ,交AC 于G ,交AD 于H ,下列说法:①AH HG AB BG =; ②点F 是GB 的中点;③AG AB =;④S △AHG =16S △ABC .其中正确的结论的序号是( )A .①②③B .①③C .②④D .①③④ 9、在△ABC 中,∠C =90°,BC =2,sin A =23,则边AC 的长是( )A B .3 C .43 D 10、如图,在平面直角坐标系xoy 中,直线14y k x =+与y 轴交于点C ,与反比例函数2k y x =在第一象限内的图象交于点B ,连接BO ,若2OBC S ∆=,1tan 5BOC ∠=,则2k 的值是( )A .-20B .20C .-5D .5第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、等腰ABC ,底角是30ABC 的周长是_____________2、如图,矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E ,∠ADE =α,cosα=35,AB =4,AD 长为_____.3、cos30°的相反数是 _____.4、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性,在计算tan15°时,如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠ABC =30°,延长CB 至D ,使BD =AB ,连接AD ,得∠D =15°,所以tan15°AC CD ====2tan22.5°的值为 _____.5、如图, 在 Rt ABC △ 中, 390,tan ,2ACB BAC CD ∠∠== 是斜边 AB 上的中线, 点 E 是直线 AC 左侧一点, 联结 AE CE ED 、、, 若 ,EC CD EAC B ∠∠⊥=, 则 CDEABC SS 的值为______.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、如图,平地上两栋建筑物AB 和CD 相距30m ,在建筑物AB 的顶部测得建筑物CD 底部的俯角为26.6°,测得建筑物CD顶部的仰角为45°.求建筑物CD 的高度.(参考数据:sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50)2、如图,等腰Rt△ABC 中,AB =AC ,D 为线段BC 上的一个动点,E 为线段AB 上的一个动点,使得CD=.连接DE ,以D 点为中心,将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ,连接线段EF ,过点D 作射线DR ⊥BC 交射线BA 于点R ,连接DR ,RF .(1)依题意补全图形;(2)求证:△BDE ≌△RDF ;(3)若AB =AC =2,P 为射线BA 上一点,连接PF ,请写出一个BP 的值,使得对于任意的点D ,总有∠BPF 为定值,并证明.3、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩,在A 处观察到电视塔在北偏东37度的方向上,5分钟后在B 处观察到电视塔在北偏西53度的方向上.已知电视塔C 距离公路AB 的距离为300米,求小明的徒步速度.(精确到个位,sin370.6︒≈,cos370.8︒≈,sin530.8︒≈,cos530.6︒≈,tan370.75︒≈,tan53 1.3︒≈)4、如图, 在 ABC 中,90,3C AC BC ∠===, 点 D E 、 分别在 AC 边和 AB 边上,沿着直线 DE 翻折 ADE ,点 A 落在 BC 边上,记为点 F ,如果 1CF =,则 BE =_______.5、计算:(1)22390x x +-=;(21016sin 453)2-⎛⎫+- ⎪⎝⎭︒.-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得30B ∠=︒,根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】∵∠C =90°,∠A =60°,∴30B ∠=︒又tan 30︒=故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余,求特殊角的三角函数值,理解特殊角的三角函数值是解题的关键.2、B【分析】根据题意,画出直角三角形,再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可.【详解】解:由题意可得,如下图:sinaAc=,则sina c A=⋅,A选项错误,不符合题意;cosaBc=,则cosa c B=⋅,B选项正确,符合题意;tanbBa=,则tanacB≠,C选项错误,不符合题意;sinaAc=,则sinacA=,D选项错误,不符合题意;故选B,【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义,解题的关键是画出图形,根据锐角三角函数的定义进行求解.3、C【分析】先根据AP⊥PC,可求∠PCA=90°-46°=44°,在Rt△PCA中,利用三角函数AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米即可.【详解】解:∵AP⊥PC,∴∠PCA+∠A=90°,∵∠A=46°,∴∠PCA=90°-46°=44°,在Rt△PCA中,tan∠PCA=APCP,PC=50米,∴AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米.故选C.【点睛】本题考查测量问题,掌握测量问题经常利用三角函数求边,熟悉锐角三角函数定义是解题关键.4、A【分析】直接求解即可.【详解】解:tan45︒=1,故选:A.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,熟记特殊角的三角函数值是解答的关键.5、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边.根据题意可得BC:AC=1:2,AB=10m,可解出直角边BC,即得到位置升高的高度.【详解】解:由题意得,BC:AC=1:2.∴设BC=x,则AC=2x.∵AB=10,BC2+ AC2=AB2,∴x2+ (2x)2=102,解得:x=.故选:B.【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用,注意画出示意图会使问题具体化.6、A【分析】先根据平行线的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BD ,再根据勾股定理的逆定理判断出∠BDC =90°,由正切定义求解即可.【详解】解:∵AD ∥BC ,∠ABC =90°,∴∠BAD =90°,∵O 为对角线BD 的中点,OA =2,∴BD =2OA =4,∵BC =5,CD =3,∴BD 2+CD 2=BC 2,∴∠BDC =90°,∴tan∠DCB =BD CD =43, 故选:A .【点睛】本题考查平行线的性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理的逆定理、正切,熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键.7、D【分析】如图所示,过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ,标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H 由坡度为i =1:0.75,BC =20可得BG =16,GC =12,由坡度为 i =1:2.4,DE =26可得DF =24,EF =10,分别在在AGB 中满足tan 42AG GD =︒,在AEH △中满足tan 24AH HE =︒化简联立得AB =25.6.【详解】如图所示,过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ,标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H∵在BGC 中BC =20,坡度为i =1:0.75,∴222BG GC BC +=, ∴2223()4BG BG BC +=, ∴222916BG BG BC +=, ∴22252016BG =, ∴22540016BG =, ∴21640025BG =⨯, ∴2256BG =,∴16BG =, ∴3124CG BG ==. 在BGC 中DE =26,坡度为 i =1:2.4,∴222DF EF DE +=, ∴22212()5EF EF DE +=, ∴22214425EF EF DE +=, ∴221692625EF =, ∴225676169EF =⨯,∴2100EF =,∴10EF =, ∴12245DF EF ==, ∴在AGB 中满足tan 42AG GD =︒,在AEH △中满足tan 24AH HE =︒, 即0.9AB BG GC CD +=+,0.45AB BH GC CD DF+=++ 其中BG =16、BG =12、BH =BG -EF =6、DF =24,代入化简得160.9(12)60.45(36)AB CD AB CD +=+⎧⎨+=+⎩①②, 令2②-①有2261620.45360.91220.450.9AB AB CD CD -+⨯-=⨯⨯-⨯+⋅⋅-∴421.6AB -=,∴AB =25.6.故选:D .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度,再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组,正确的列方程求解是解题的关键.8、D 【分析】①先证明△ABH≌△BCE,得AH=BE,则1122AH AD BC==,即12AHAB=,再根据平行线分线段成比例定理得:12HGBG=即可判断;②设BF=x,CF=2x,则BC,计算FG=23x即可判断;③根据等腰直角三角形得:AC,根据①中得:13AGAC=即可判断;④根据11,22HG AGBG CG==,可得同高三角形面积的比,然后判断即可.【详解】解:①∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠HAB=∠ABC=90°,∵CE⊥BH,∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°,∴∠BCF=∠ABH,∴△ABH≌△BCE,∴AH=BE,∵E是正方形ABCD边AB的中点,∴BE=12AB,∴1122AH AD BC==,即12AHAB=∵AH//BC,∴12 AH HG BC BG==∴AH HGAB BG=,故①正确;②1 tan tan2AH BF ABH BCFAB CF ∠=∠===设BF=x,CF=2x,则BC,∴AHx∴52 BH x=∴552263x x xFG BH GH BF x BF=--=--=≠,故②不正确;③∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,∴AC,∵12 AG AH CG BC==∴13 AG AC=∴13AG AC AB==,故③正确;④∵12GH AG BG CG==∴11,22 AHG ABGABG BCGS SS S∆∆∆∆==∴13 ABGABCSS∆∆=∴16AHG ABCS S=,故④正确.故选D.【点睛】本题属于四边形综合题,主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点,灵活应用相关知识点成为解答本题的关键.9、A【分析】先根据BC=2,sin A=23求出AB的长度,再利用勾股定理即可求解.【详解】解:∵sin A=BCAB =23,BC=2,∴AB=3,∴AC故选:A.【点睛】本题考查正弦的定义、勾股定理等知识,是重要考点,难度较小,掌握相关知识是解题关键.10、D【分析】先根据直线解析式求得点C的坐标,然后根据△BOC的面积求得BD的长,然后利用正切函数的定义求得OD的长,从而求得点B的坐标,利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论.【详解】解:∵直线y=k1x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0,4),∴OC=4,过B作BD⊥y轴于D,∵S △OBC =2, ∴114222OC BD BD ⋅=⨯⋅=, ∴BD =1,∵tan∠BOC =15, ∴15BD OD =, ∴OD =5,∴点B 的坐标为(1,5), ∵反比例函数2k y x=在第一象限内的图象交于点B , ∴k 2=1×5=5.故选:D .【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标,锐角三角函数,三角形面积,待定系数法求分别列函数解析式,解题的关键是作辅助线构造直角三角形.二、填空题140 【分析】设腰长为x ,则等腰三角形的高为2x ,三角形的面积为122x ⨯=x 的值,进而求出周长2x +的值.【详解】解:设等腰三角形的腰长为x ,高为sin 302x x ︒=,底边长为2cos30x ︒=122x S ∴=⨯=解得x =∴周长为240x =40+. 【点睛】 本题考查了锐角三角函数值,等腰三角形.解题的关键在于利用三角函数值将边长表示出来. 2、163【分析】将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中,得到∠ADE =∠DCE =α,求出AC 的值,再由勾股定理计算即可.【详解】∵∠ADC =∠AED =90°,∠DAE +∠ADE =∠ADE +∠CDE =90°∴∠DAE =∠CDE又∵∠DCE +∠CDE =90°∴∠ADE =∠DCE =α∴cosα=35=CD AC又∵矩形ABCD中AB=CD=4∴AC=20 3在ADC中满足勾股定理有163AD=故答案为:163.【点睛】本题考查了已知余弦长求边长,将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键.3、【分析】先将特殊角的三角函数值代入求解,再求出其相反数.【详解】所以其相反数为故答案为:【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念.41##【分析】在等腰直角△ABC 中,∠C =90°,延长CB 至点D ,使得AB =BD ,则∠BAD =∠D .设AC =1,求出CD ,可得结论.【详解】解:如图,在等腰直角△ABC 中,∠C =90°,延长CB 至点D ,使得AB =BD ,则∠BAD =∠D .∵∠ABC =45°,∴45°=∠BAD +∠D =2∠D ,∴∠D =22.5°,设AC =1,则BC =1,AB =∴1CD CB BD CB AB =+=+=∴tan 22.5tan 1AC D CD ︒====.1.【点睛】本题考查解直角三角形,分母有理化,特殊直角三角形的性质,三角函数等知识,解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题.5、1336【分析】先证明Rt AED Rt CED ≌,则AED CED S S =,进而证明DAE BCA ∽,据3tan 2BAC ∠=求得相似比,根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解:CD 是Rt ABC 斜边 AB 上的中线, 12CD AB AD ∴== DCA DAC ∴∠=∠ 90ACB ∠=︒90CAB B ∴∠+∠=︒ EAC B ∠=∠90EAC DAC ∴∠+∠=︒ 即90EAD ∠=︒ 又EC CD ⊥90ECD ∴∠=︒EAD ECD ∴∠=∠ Rt AED Rt CED ∴≌ AED CED S S ∴= ,DA DC EA EC == ED AC ∴⊥又90ACB ∠=︒ BC AC ∴⊥//ED BC ∴ADE B ∴∠=∠又90EAD ACB ∠=∠=︒ DAE BCA ∴∽2ADC ABC S AD S BC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 3tan 2BAC ∠= 32CB CA ∴= 设3CB k =,则2AC k =AB ∴=12AD AB ∴== AED CED S S =2CDE ADC ABC ABC SS AD S SBC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭2132336k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭故答案为:1336【点睛】 本题考查了解直角三角形,三角形全等的性质与判定,相似三角形的性质与判定,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,垂直平分线的性质与判定,正切的定义,证明AED CED SS =是解题的关键. 三、解答题1、建筑物CD 的高度约为45m .【分析】如图所示,过点A 作AE ⊥CD 于E ,先证明AE =CE ,然后证明四边形ABDE 是矩形,则AE =BD =30m ,CE =AE =30m ,tan =30tan26.615m DE AE EAD =⋅︒≈∠,由此即可得到答案.【详解】解:如图所示,过点A作AE⊥CD于E,∴∠AEC=∠AED=90°,∵∠CAE=45°,∴∠C=45°,∴∠C=∠CAE,∴AE=CE,∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABD=∠BDE=90°,∴四边形ABDE是矩形,∴AE=BD=30m,∴CE=AE=30m,tan=30tan26.615m∠,=⋅︒≈DE AE EAD∴CD=CE+DE=45m,答:建筑物CD的高度约为45m.【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定,等腰直角三角形的性质与判定,解直角三角形,解题的关键在于能够正确作出辅助线求解.2、(1)见解析;(2)见解析;(3)当4BP=,使得对于任意的点D,总有∠BPF为定值,证明见解析【分析】(1)根据题意作出图形连接,DR RF ;(2)根据BDR EDF ∠=∠可得BDE RDF ∠=∠,证明BRD 是等腰直角三角,可得BD DR =,根据旋转的性质可得ED DR =,进而根据边角边即可证明△BDE ≌△RDF ;(3)当24PB AB ==时,设DE a =,则CD =,分别求得,FR RP ,根据1tan 22RF a BPF RP a ∠===即可求解【详解】(1)如图,(2)DR ⊥BC90RDB ∴∠=︒将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ,90,EDF ED FD ∴∠=︒=BDR EDF ∴∠=∠即BDE EDR EDR RDF ∠+∠=∠+∠BDE RDF ∴∠=∠ ABC 是等腰直角三角形45B ∴∠=︒90BDR ∠=︒45BRD ∴∠=︒BRD∴是等腰直角三角形∴=BD DR∴△BDE≌△RDF;(2)如图,当24==时,使得对于任意的点D,总有∠BPF为定值,证明如下,PB ABAB AC==ABC是等腰直角三角形,2∴=BCDC==,则CD,设DE a△BDE≌△RDF,==DR BD∴==,FR BR aABC是等腰直角三角形,∴∠=︒45EBD⊥DR BC∴∠=︒BRD45∴是等腰直角三角形,BDR∴==-BR a42()∴=-=--=4422PR BP BR a a△BDE ≌△RDF ,45FRD EBD ∴∠=∠=︒90BRF BRD DRF ∴∠=∠+∠=︒即FR AB ⊥1tan 22RF a BPF RP a ∴∠=== BPF ∴∠为定值【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质,正切的定义,旋转的性质,掌握以上知识是解题的关键.3、126米/分钟【分析】过C 作CD AB ⊥于D ,则300CD =米,由解直角三角形求出AD 和BD 的长度,则求出AB 的长度,即可求出小明的速度.【详解】解:过C 作CD AB ⊥于D ,则300CD =米,∴903753CAD ∠=︒-︒=︒, ∴300tan tan 53 1.3CAD AD∠=︒=≈, ∴231AD ≈,同理:400BD ≈631AB AD BD =+=速度:631÷5≈126(米/分钟).【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,以及解直角三角形,解题的关键是正确求出AD 和BD 的长度.4【分析】过点F 作FG AB ⊥于点G ,设BE x =,则AE x =,EG BE BG x =-=EGF △即可求得x ,即BE 的值【详解】解:如图,过点F 作FG AB ⊥于点G在 ABC 中,90,3C AC BC ∠===,AB ∴=tan 1AC B BC ==45A B ∠FGB ∴是等腰直角三角形BG FG ∴==sin FB B ⋅=设BE x =,则AE x =,EG BE BG x =-=沿着直线DE 翻折ADE ,点A 落在BC 边上,记为点F ,EA EF ∴=x在Rt EFG 中,222EF EG FG =+即()(222x x =+解得x =【点睛】本题考查了勾股定理,轴对称的性质,解直角三角形,根据题意构造直角三角形是解题的关键.5、(1)123,32x x ==-;(2)1 【分析】(1)用公式法求解即可;(2)根据特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质计算即可.【详解】(1)∵2a =,3b =,9c =-24972810b ac -=+=>,∴x ==∴123,32x x ==-.(2)原式621=-01=+1=. 【点睛】 本题考查了解一元二次方程,特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质等知识,熟练掌握并灵活运用这些知识是关键.。
北师大版九年级数学下册单元测试卷附答案第一章 直角三角形的边角
北师大版九年级数学下册单元测试卷附答案第一章直角三角形的边角一、选择题(共15小题;共60分)1. 如图,在中,斜边的长为,,则直角边的长是A. B. C. D.2. ,锐角的度数应是A. B. C. D.3. 小新站在高楼上的点处看一棵小树顶端的仰角为,同时看小树底端的俯角为,则等于A. B. C. D.4. 已知,则约为A. B. C. D.5. 如图是拦水坝的横断面,斜坡的水平宽度为米,斜面坡度比为,则斜坡的长为A. 米B. 米C. 米D. 米6. ,,的大小关系是A. B.C. D.7. 在中,,,则等于B. C.8. 如图,传送带和地面所成斜坡的坡度为,物体从地面沿着该斜坡前进了米,那么物体离地面的高度为A. 米B. 米C. 米D. 米9. 如图,在中,,定义:斜边与的邻边的比叫做的正割,用“”表示,如设该直角三角形各边为,,,则,则下列说法正确的是A. B.C. D.10. 在中,,,则的度数是A. B. C. D.11. 用科学计算器算得①;②;③;④若,则锐角.其中正确的是A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④12. 计算:A. B. C. D.13. 对于正数,规定,例如,,计算的结果是A. B. C. D.14. 如图,在网格中,小正方形的边长均为,点,,都在格点上,则的正切值是A. B.15. 如图,在平面直角坐标系上有个点,点第次向上跳动个单位至点,紧接着第次向右跳动个单位至点,第次向上跳动个单位,第次向左跳动个单位,第次又向上跳动个单位,第次向右跳动个单位,,依此规律跳动下去,点第次跳动至点的坐标是A. B.C. D.二、填空题(共6小题;共25分)16. .17. 若是锐角,,则度.18. 请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.A.如图,在中,和是的两条角平分线.若,则的度数为.B..(结果精确到)19. 若,则锐角的大小为;若,则锐角的大小为.20. 如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度,中柱(为中点)的长是,则(用科学计算器计算,结果精确到).21. 如果,,是整数,且,那么我们规定一种记号,例如,那么记作,根据以上规定,求.三、解答题(共5小题;共65分)22. 基本事实:“若,则或”.一元二次方程可通过因式分解化为,由基本事实得或,即方程的解为或.(1)试利用上述基本事实,解方程:;(2)解方程:.23. 计算:.24. 计算:.25. 已知是经过顶点的一条直线,,,分别是直线上的两点,且.(1)若直线经过的内部,且在射线上,请解决下面两个问题.如图若,,则,(填“”、“”、“”);如图,若,则与的关系还成立吗?请说明理由;(2)如图,若直线经过的外部,,请写出,,三条线段数量关系(不要求说明理由).26. 如图是一过街天桥的示意图,天桥高为为,在距点处有一建筑物.为方便行人上下天桥,现准备减小坡道的坡角,但要求建筑物与新坡角的顶点处之间地面要留出不少于宽的人行道.(1)若将倾斜角改建为(即),则建筑物是否需要拆除? (2)若不拆除建筑物,则坡角最小能改成多少度(精确到)?答案第一部分1. A 【解析】在中,根据锐角三角函数的概念得,.2. D3. B4. B5. B6. C7. A8. C 【解析】作地面于点.设米,传送带和地面所成斜坡的坡度为,米,由勾股定理得,即,解得,即米.9. A10. C11. A12. B13. B14. D 【解析】如图,连接.由勾股定理,得,,,所以为直角三角形,且,所以.15. A【解析】经过观察可得:和的纵坐标均为,和的纵坐标均为,和的纵坐标均为,因此可以推知为.其中的倍数的跳动后的点都在轴的左侧,那么第次跳动得到的点也在轴左侧.第次跳动得到的点在轴右侧.横坐标为,横坐标为横坐标为依此类推可得到:的横坐标为(是的倍数).的横坐标为.故点的横坐标为:.点第次跳动至点的坐标是.第二部分16.17.18. ,【解析】A.,,平分,平分,,,B..19. ,20.21.【解析】根据规定可设,则,又由,所以,即.第三部分22. (1)方程左边因式分解可得:,或,解得:或.(2)原方程整理可得:,左边因式分解可得:,,解得:.23.24.25. (1);时,中两个结论仍然成立;证明:如图中,,,,在和中,,,,,当在的右侧时,同理可证,.【解析】如图中,点在点的左侧,,,,,,,,在和中,,,,,当在的右侧时,同理可证,.(2).26. (1)当时,,则,所以建筑物要拆除.(2)若不拆除建筑物,最长为,则,得,即坡角最小能改到.。
北师大版九年级数学下册第一章达标检测卷附答案
北师大版九年级数学下册第一章达标检测卷一、选择题(每题3分,共30分)1.2sin 30°的值为()A.12B.1 C.32D. 32.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则cos A等于()A.35B.45C.34D.433.已知α为锐角,且cos α=12,则α等于()A.30°B.45°C.60°D.无法确定4.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则sin∠ABC的值为()A.35B.34C.105D.15.西周时期,丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器,称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表,其中,立柱AC高为a.已知,冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°,则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为()A.a sin 26.5°B.atan 26.5°C.acos 26.5°D.a cos 26.5°6.【教材P15习题T4变式】如图,从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,如果此时热气球的高度CD为100 m,点A,D,B在同一直线上,则A,B两点之间的距离是()A.200 m B.200 3 m C.220 3 m D.100(3+1)m 7.如图,沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在BC边上的点F处.已知AB =4,BC=5,则cos∠EFC的值为()A.34B.43C.35D.458.如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB的延长线上的一点,且AB=BD,则tan D的值为()A.2 3 B.3 3 C.2+ 3 D.2- 39.如图,过点C(-2,5)的直线AB分别交坐标轴于A(0,2),B两点,则tan ∠OAB等于()A.25B.23C.52D.3210.小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,则树的高度为()A.(6+3)米B.12米C.(4+23)米D.10米二、填空题(每题3分,共24分)11.计算:tan245°-1=________.12.如图,在山坡上种树,已知∠C=90°,∠A=α,相邻两树的坡面距离AB为m米,则相邻两树的水平距离AC为________米.13.【教材P6做一做改编】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,cos A=2 5,则BC的长是________.14.【教材P7习题T4变式】如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=5,AC=6,则tan B的值为________.15.规定:在平面直角坐标系xOy 中,若点P 的坐标为(a ,b ),则向量OP →可以表示为OP →=(a ,b ),如果OA →与OB →互相垂直,OA →=(x 1,y 1),OB →=(x 2,y 2),那么x 1x 2+y 1y 2=0.若OM →与ON →互相垂直,OM →=(sin α,1),ON →=(2,-3),则锐角∠α=________.16.【教材P 21习题T 4变式】如图,一轮船在M 处观测到灯塔P 位于南偏西30°方向,该轮船沿正南方向以15海里/时的速度匀速航行2小时后到达N 处,观测到灯塔P 位于南偏西60°方向,若该轮船继续向南航行至离灯塔P 最近的位置T 处,此时轮船与灯塔之间的距离PT 为________海里(结果保留根号).17.如图,一架长为6 m 的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上,这时测得∠ABO =70°,若梯子的底端B 外移到D 处,则梯子顶端A 下移到C 处,这时又测得∠CDO =50°,那么AC 的长度约为________m(参考数据:sin 70°≈0.94,sin 50°≈0.77,cos 70°≈0.34,cos 50°≈0.64).18.如图,∠EFG =90°,EF =10,OG =17,cos ∠FGO =35,则点F 的坐标是__________.三、解答题(19,23,24题每题12分,其余每题10分,共66分) 19.计算:(1)3sin 60°-2cos 45°+38;(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-120+4cos 60°·sin 45°-(tan 60°-2)2.20.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,∠B=60°,解这个直角三角形.21.【教材P21习题T3改编】如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝底BC的长.22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sin A=23,点D,E分别在AB,AC上,DE⊥AC,垂足为E,DE=2,DB=9. 求:(1)BC的长;(2)tan∠CDE的值.23.为了承办2022年冬奥会,张家口市加强城市绿化建设.如图,工作人员正在对该市某河段进行区域性景观打造.某施工单位为测得某河段的宽度,测量员先在河对岸岸边取一点A,再在河这边沿河边取两点B和C,在B处测得点A在北偏东30°方向上,在点C处测得点A在西北方向上,量得BC长为200 m,求该河段的宽度(结果保留根号).24.【教材P27复习题T21变式】为了培养学生的动手操作能力,某校积极开展数学实践活动.在一次综合实践活动中,某小组对本地的一座古塔进行了测量.如图,他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°,沿山坡向上走25 m到达D处,测得古塔顶端M的仰角为30°.已知山坡坡度i=3∶4,即tan θ=34,请你帮助该小组计算古塔的高度ME(结果精确到0.1 m,参考数据:3≈1.732).答案一、1.B2.B3.C4.A5.B6.D7.D8.D9.B10.A点拨:如图,延长AC交BF的延长线于点D,过点C作CE⊥BD于点E.由题意得BF=8米,CF=4米,∠CFD=30°.在Rt△CFE中,∠CFE=30°,CF=4米,∴CE=2米,EF=4cos 30°=23(米).∵同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,∴tan D=CEDE=ABBD=12.∴DE=2CE=4米.∴BD=BF+EF+ED=(12+23)米.∴AB=12BD=12×(12+23)=6+3(米).二、11.012.m cos α13.22114.3415.60°16.15317.1.0218.(8,12)点拨:如图,过点F作F A∥OG,交y轴于点A,过点G作GH⊥F A交AF的延长线于点H,∴∠F AE=90°.∴∠FEA +∠AFE =90°. ∵F A ∥OG , ∴∠FGO =∠HFG . ∵∠EFG =90°, ∴∠HFG +∠AFE =90°. ∴∠FEA =∠HFG =∠FGO . ∵cos ∠FGO =35,∴cos ∠FEA =35. 在Rt △AEF 中,∵EF =10, ∴AE =EF ·cos ∠FEA =10×35=6. 由勾股定理,得AF =8.∵∠F AE =90°,∠AOG =90°,∠GHA =90°, ∴四边形OGHA 为矩形. ∴AH =OG . ∵OG =17, ∴AH =17. ∴FH =17-8=9.在Rt △FGH 中,∵FH FG =cos ∠HFG =cos ∠FGO =35, ∴FG =9÷35=15.由勾股定理,得HG =152-92=12, ∴F (8,12).三、19.解:(1)原式=3×32-2×22+2=32-1+2=52;(2)原式=1+4×12×22-(3-2)2=1+2-(2-3)=-1+2+ 3.20.解:∵∠C =90°,∠B =60°,∴∠A =90°-∠B =90°-60°=30°. ∴BC =AC ·tan A =15×33=53, AB =2BC =2×53=10 3.21.解:如图,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点D 作DF ⊥BC 于点F ,∴EF =AD =6 m ,AE =DF .在Rt △CDF 中,∵CD =14 m ,∠DCF =30°,∴DF =12CD =7 m. ∴AE =7 m. ∵cos ∠DCF =FC CD ,∴FC =CD ·cos ∠DCF =14×32=73(m). 在Rt △ABE 中,∵∠B =45°, ∴BE =AE =7 m.∴BC =BE +EF +FC =7+6+73=13+73(m). 22.解:(1)在Rt △DEA 中,∵DE =2,sin A =23,∴AD =DE sin A =223=3.∵DB =9,∴AB =BD +AD =12.在Rt △ABC 中,∵AB =12,sin A =23, ∴BC =AB ·sin A =12×23=8.(2)在Rt △ABC 中,∵AB =12,BC =8, ∴AC =AB 2-BC 2=122-82=4 5. 在Rt △DEA 中,∵DE =2,AD =3, ∴AE =AD 2-DE 2=32-22= 5. ∴CE =AC -AE =3 5. ∴tan ∠CDE =CE DE =352.23.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.根据题意,知∠ABC=90°-30°=60°,∠ACD=45°,∴∠CAD=45°.∴∠ACD=∠CAD.∴AD=CD.∴在Rt△ABD中,tan ∠ABD=ADBD=ADBC-AD,∴AD200-AD= 3.∴AD=(300-1003) m.答:该河段的宽度为(300-1003)m.24.解:如图,过点D分别作DC⊥EP于点C,作DF⊥ME于点F,过点P作PH⊥DF于点H,则DC=FE,DH=CP,HF=PE.设DC=3x m,∵tan θ=3 4,∴CP=4x m.由勾股定理,得PD2=DC2+CP2,即252=(3x)2+(4x)2,解得x=5(负值舍去).∴DC=15 m,CP=20 m.∴DH=20 m,FE=15 m.设MF=y m,则ME=(y+15)m.在Rt△MDF中,∵tan∠MDF=MF DF,∴DF=MFtan∠MDF=3y m.在Rt△MPE中,∵tan∠MPE=ME PE,∴HF=PE=MEtan∠MPE=33(y+15) m.∵DH=DF-HF,∴3y-33(y+15)=20,解得y=7.5+10 3.∴ME=MF+FE=7.5+103+15≈39.8(m).答:古塔的高度ME约为39.8 m.。
【易错题】北师大版九年级数学下册《第一章直角三角形的边角关系》单元测试卷(教师用)
【易错题解析】北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系一、单选题(共10题;共30分)1.计算:cos245°+sin245°=()A. B. 1 C. D.【答案】B【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解:∵cos45°=sin45°= ,∴cos245°+sin245°===1.故选:B.【分析】首先根据cos45°=sin45°= ,分别求出cos245°、sin245°的值是多少;然后把它们求和,求出cos245°+sin245°的值是多少即可.2.三角形在方格纸中的位置如图所示,则tan的值是()A. B. C. D.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据三角函数的定义就可以解决.【解答】在直角三角形中,正切值等于对边比上邻边,∴.故选A.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义.3.在△ABC中,∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA的值是()A. B. C. D.【答案】A【考点】勾股定理,锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边,即可得到结果。
【解答】sinA=,故选A.【点评】解答本题的关键是熟练掌握在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边。
4.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若CD:AC=2:3,则sin∠BCD的值是()A. B. C. D.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解:sin∠A= = ,∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∴∠A=∠BCD,∴sin∠BCD=sin∠A= = ,故选:B.【分析】根据正弦的定义求出sin∠A,根据同角的余角相等得到∠A=∠BCD,得到答案.5.如图所示,在Rt△ABC中,斜边AB=3,BC=1,点D在AB上,且= ,则tan∠BCD的值是()A. B. 1C. D.【答案】C【考点】平行线分线段成比例,解直角三角形【解析】【解答】解:作DE∥AC,∵在Rt△ABC中,斜边AB=3,BC=1,∴DE∥AC,∴= = ,∴BE= ,CE= ,BD=∴DE= = ,∴tan∠BCD= = = .故答案为:C.【分析】作DE∥AC,根据平行线分线段成比例得出BE、CE、BD的长度,再根据勾股定理得DE得长度,最后由正切定义得出结论。
【完整版】北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系含答案
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、如图,关于∠α与∠β的同一种三角函数值,有三个结论:①tanα>tanβ,②sinα>sinβ,③cosα>cosβ.正确的结论为()A.①②B.②③C.①③D.①②③2、如果∠A为锐角,sinA=,那么()A.0°<∠A<30°B.30°<∠A<45°C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°3、如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB的长为( )A.4 米B.6 米C.12 米D.24米4、如图,在▱ABCD中,,,分别切边AB,AD于点E,F,且圆心O恰好落在DE上现将沿AB方向滚动到与边BC相切点O在的内部,则圆心O移动的路径长为A.4B.6C.D.5、如图,在△ABC中,∠C=90o, AC=3,BC=4,则sinB的值是()A. B. C. D.6、勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加(H.Perigal,1801﹣1898)用“水车翼轮法”(图1)证明了勾股定理.该证法是用线段QX,ST,将正方形BIJC分割成四个全等的四边形,再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB(图2).若AD=,tan∠AON=,则正方形MNUV的周长为()A. B.18 C.16 D.7、如图所示是一块含30°,60°,90°的直角三角板,直角顶点O位于坐标=(x>0)的图象上,顶点B在原点,斜边AB垂直x轴,顶点A在函数y1=(x>0)的图象上,∠ABO=30°,则=()函数y2A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣8、如图,两条宽度均为40 m的公路相交成α角,那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是()A. B. C.1600sinα(m 2) D.1600cosα(m 2)9、如图,的顶点都是正方形网格中的格点,则等于()A. B. C. D.10、如图,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阻影部分)的面积为()A. B. C. D.111、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图,旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C=α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为()A. B. C. D.12、sin45°=()A. B. C.1 D.13、如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B、C在同一水平面上).为了测量B、C两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B、C两地之间的距离为()A.100 mB.50 mC.50 mD. m14、如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC为()A. B. C. D.15、如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子的长是3米.若梯子与地面的夹角为,则梯子顶端到地面的距离BC为()A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10题,共计30分)16、在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=4,BD=10,sin∠BDC=,则▱ABCD的面积是________.17、如图所示,某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE、DF为梯形的高,其中迎水坡AB的坡角α=45°,坡长AB= 米,背水坡CD的坡度i=1:(i为DF与FC的比值),则背水坡CD的坡长为________米.18、在Rt△ABC中,,BC=2,,则AB=________19、已知⊙O半径为,AB是⊙O的一条弦,且AB=3,则弦AB所对的圆周角度数是________.20、小明在学习“锐角三角函数”中发现,用折纸的方法可求出tan22.5°,方法如下:将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC 上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,这样就可以知道tan22.5°=________21、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanA=________.22、在Rt△ABC中,∠C=90°,2a=c,则∠A=________23、如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在格点上,则cosA=________24、将矩形纸片ABCD按如图M2-5方式折叠,M,N分别为AB,CD的中点。
最新北师大版九年级数学下册单元测试题及答案全套
最新北师大版九年级数学下册单元测试题及答案全套含期中期末试题第一章检测题时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分,共30分)1.计算:cos 245°+sin 245°=( )A .12B .1C .14D .322.把△ABC 三边的长度都缩小为原来的13,则锐角A 的正弦值( )A .不变B .缩小为原来的13C .扩大为原来的3倍D .不能确定3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,若sin A =23,则cos B 的值等于( ) A .12 B .22 C .23D .1 4.在△ABC 中,∠C =90°,BC =2,sin A =23,则边AC 的长度是( )A . 5B .3C .43D .135.如图,将一张矩形纸片ABCD 折叠,使顶点C 落在C′处,测量得AB =4,DE =8,则sin ∠C ′ED 为( )A .2B .12C .22 D .32,第6题图) ,第8题图)6.(2017·益阳)如图,电线杆CD 的高度为h ,两根拉线AC 与BC 相互垂直,∠CAB =α,则拉线BC的长度为(点A ,D ,B 在同一条直线上)( )A .h sin α B .h cos α C .htan αD .h ·cos α 7.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A ,∠B 的对边分别是a ,b ,且满足a 2-ab -b 2=0,则tan A 等于( )A .1B .1+52 C .1-52 D .1±528.如图,某校数学兴趣小组用测倾器测量某大桥的桥塔高度,在距桥塔AB 底部50米的C 处,测得桥塔顶部A 的仰角为41.5°,已知测倾器CD 的高度为1米,则桥塔AB 的高度为( )(参考数据:sin 41.5°≈0.663,cos 41.5°≈0.749,tan 41.5°≈0.885)A .34米B .38米C .45米D .50米9.如图,在菱形ABCD 中,AB =6,∠DAB =60°,点E 在BC 边上,且CE =2,AE 与BD 交于点F ,连接CF ,则下列结论不正确的是( )A .△ABF ≌△CBFB .△ADF ∽△EBFC .tan ∠EAB =3D .S =6 310.(2017·深圳)如图,学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度,他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60°,然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30°,已知斜坡CD 的长度为20 m ,DE 的长为10 m ,则树AB 的高度是( )m .A .20 3B .30C .30 3D .40,第9题图) ,第10题图),第13题图),第14题图)二、填空题(每小题3分,共24分)11.计算:tan 245°-1=________.12.某坡面的坡度为1∶3,则坡角是________.13.如图,在坡屋顶的设计图中,AB =AC ,屋顶的宽度l 为10米,坡角α为35°,则坡屋顶高度h 为________米.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)14.如图,P 是∠α的边OA 上的一点,且点P 的坐标为(1,3),则sin α=________. 15.如图,在正八边形ABCDEFGH 中,AC ,AE 是对角线,则sin ∠CAE 的值为________.,第15题图) ,第16题图) ,第17题图) ,第18题图)16.如图,小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上,严重影响了同学们的行走安全.他自觉地将拖把挪动位置,使其倾斜角度为75°,如果拖把的总长为1.80 m ,则小明拓宽了行走通道________m .(结果精确到0.01 m ,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97)17.如图,海中有一个小岛A ,它的周围15海里内有暗礁,今有货船由西向东航行,开始在A 岛南偏西60°的B 处,往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C 处后,货船继续向东航行,你认为货船航行途中________触礁的危险.(填“有”或“没有”)18.如图,在四边形ABCD 中,AB =AD =6,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD =60°,点M ,N 分别在AB ,AD 边上,若AM∶MB=AN∶ND=1∶2.则cos ∠MCN =________.三、解答题(共66分) 19.(8分)计算:(1)(-1)2-2cos 30°+3+(-2 017)0;(2)3tan 30°-2tan 60°+4sin 60°.20.(8分)已知锐角α使关于x 的一元二次方程x 2-2sin α·x +3sin α-34=0有两个相等的实数根,求α的度数.21.(8分)在△ABC 中,已知AB =6,∠B =45°,∠C =60°,求AC ,BC 的长.22.(9分)如图,某校课外活动小组,在距离湖面7米高的观测台A 处,看湖面上空一热气球P 的仰角为37°,看P 在湖中的倒影P′的俯角为53°(P′为P 关于湖面的对称点).请你计算出这个热气球P 距湖面的高度PC 约为多少米?(参考数据:sin 37°≈35,cos 37°≈45,tan 37°≈34;sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43)23.(10分)如图,海中两个灯塔A,B,其中B位于A的正东方向上,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点C处测得灯塔A在西北方向上,灯塔B在北偏东30°方向上,渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D,这时测得灯塔A在北偏西60°方向上,求灯塔A,B间的距离.(结果用根号表示,不取近似值)24.(11分)如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E重合;再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处.(1)判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形?(不需说明理由)(2)如果AM=1,sin∠DMF=35,求AB的长.25.(12分)小红家的阳台上放置了一个晒衣架,如图所示的是晒衣架的侧面示意图,立杆AB 、CD 相交于点O ,B 、D 两点立于地面,经测量:AB =CD =136 cm ,OA =OC =51 cm ,OE =OF =34 cm ,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF 成一条线段,且EF =32 cm .(1)求扣链EF 与立杆AB 的夹角∠OEF 的度数.(精确到0.1°)(2)小红的连衣裙挂在衣架后的总长度达到122 cm ,垂挂在晒衣架上是否拖落到地面?通过计算说明理由.(结果精确到0.1,参考数据:sin 61.9°≈0.882,cos 61.9°≈0.471,tan 28.1°≈0.534)第一章检测题1.B 2.A 3.C 4.A 5.B 6.B 7.B 8.C 9.C 10.B 11.0 12.30° 13.3.5 14.32 15.2216.1.28 17.没有 18.1314点拨:如图,连接MN ,AC ,∵AB =AD =6,AM ∶MB =AN∶ND =1∶2,∴AM =AN =2,BM =DN =4.在Rt △ABC 与Rt △ADC 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ,AC =AC ,∴Rt △ABC ≌Rt △ADC(HL ),∴∠BAC =∠DAC=12∠BAD=30°,MC =NC ,∴BC =AB·tan 30°=23,在Rt △BMC 中,CM =BM 2+BC 2=27.∵AN=AM ,∠MAN =60°,∴△MAN是等边三角形,∴MN =AM =AN =2,过M 点作ME⊥CN 于点E ,设NE =x ,则CE =27-x ,∴MN 2-NE 2=MC2-EC 2,即4-x 2=(27)2-(27-x)2,解得x =77,∴EC =27-77=1377,∴cos ∠MCN =CE CM =137727=131419.(1)2 (2)0 20.由题意,得(2sin α)2-4(3sin α-34)=0,即4sin 2α-43sin α+3=0,解得sin α=32.∵α为锐角,∴α=60° 21.BC =3+1,AC =2 22.过点A 作AD⊥PP′,垂足为点D ,图略,则有CD =AB =7米.设PC 为x 米,则P′C=x 米,PD =(x -7)米,P ′D =(x +7)米,在Rt △PDA 中,AD =PD tan 37°≈43(x -7),在Rt △P ′DA 中,AD =P′Dtan 53°≈34(x +7),∴43(x -7)=34(x +7),解得x =25,则热气球P 距湖面的高度PC 约为25米 23.过点A 作AF⊥CD,垂足为点F ,图略,由题意,得∠FCA=∠ACN=45°,∠NCB =30°,∠ADE =60°,则∠FAD=60°,∠FAC =∠FCA=45°,∠ADF =30°,∴AF =FC =AN =NC ,设FC =AF =x ,∵tan 30°=AF FD ,∴x x +30=33,解得x =15(3+1),∵tan 30°=BN NC ,∴BN 15(3+1)=33,解得BN =15+53,∴AB =AN +BN =15(3+1)+15+53=30+203,则灯塔A ,B 间的距离为(30+203)海里 24.(1)有三对相似三角形,即△AMP∽△BPQ∽△CQD (2)设AP =x ,∴由折叠知BP =AP =EP =x ,AB =DC =2x.由△AMP∽△BPQ 得AM BP =APBQ ,∴BQ =x 2.由△AMP∽△CQD 得AP CD =AM CQ,∴CQ =2,∴AD =BC =BQ +CQ =x 2+2,MD =AD -AM =x 2+1.∵在Rt △FDM 中,sin ∠DMF =35,DF =DC =2x ,∴2x x 2+1=35,变形,得3x 2-10x +3=0,解得x 1=3,x 2=13(不合题意,舍去),∴AB =2x =625.(1)如图,在△OEF 中,OE =OF =34 cm ,EF =32 cm ,作OM⊥EF 于点M ,则EM =16 cm ,∴cos ∠OEF =EM OE =1634≈0.471,∴∠OEF ≈61.9° (2)小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面.理由:∵EF∥BD,∴∠ABD =∠OEF ≈61.9°.如图,过点A 作AH⊥BD 于点H.在Rt △ABH 中,∵sin ∠ABD =AHAB ,∴AH =AB ·sin∠ABD =136×sin 61.9°≈136×0.882≈120.0(cm ).∵小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122 cm >晒衣架高度120.0 cm ,∴会拖落到地面上第二章检测题一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列函数中,不是二次函数的是( )A .y =1-2x 2B .y =2(x -1)2+4C .y =12(x -1)(x +4) D .y =(x -2)2-x 22.二次函数y =ax 2+bx +c(a≠0)图象上部分点的坐标(x ,y)对应值列表如下:则该函数图象的对称轴是( )A .直线x =-3B .直线x =-2C .直线x =-1D .直线x =03.已知抛物线y =ax 2+bx +c 过(1,-1),(2,-4)和(0,4)三点,那么a ,b ,c 的值分别是( ) A .a =-1,b =-6,c =4 B .a =1,b =-6,c =-4 C .a =-1,b =-6,c =-4 D .a =1,b =-6,c =44.若二次函数y =x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线,则关于x 的方程x 2+bx =5的解为( )A .x 1=0,x 2=4B .x 1=1,x 2=5C .x 1=1,x 2=-5D .x 1=-1,x 2=55.将抛物线y =x 2-1向下平移8个单位长度后与x 轴的两个交点之间的距离为( ) A .4 B .6 C .8 D .106.已知函数y =ax 2-2ax -1(a 是常数,a ≠0),下列结论正确的是( )A .当a =1时,函数图象过点(-1,1)B .当a =-2时,函数图象与x 轴没有交点C .若a >0,则当x≥1时,y 随x 的增大而减小D .若a <0,则当x≤1时,y 随x 的增大而增大 7.某海滨浴场有100个遮阳伞,每个每天收费10元时,可全部租出;若每个每天提高2元,则减少10个伞租出,若每个每天收费再提高2元,则再减少10个伞租出……为了投资少而获利大,每个每天应提高( )A .4元或6元B .4元C .6元D .8元8.在同一平面直角坐标系中,一次函数y =ax +b 和二次函数y =ax 2+bx +c 的图象可能为( )9.如图,边长分别为1和2的两个等边三角形,开始它们在左边重合,大三角形固定不动,然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x ,两个三角形重叠面积为y ,则y 关于x 的函数图象是( )10.(2017·广安)如图所示,抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为B(-1,3),与x 轴的交点A 在点(-3,0)和(-2,0)之间,以下结论:①b 2-4ac =0;②a+b +c >0;③2a-b =0;④c-a =3. 其中正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4二、填空题(每小题3分,共24分)11.二次函数y =2(x -3)2-4的最小值为________.12.已知二次函数y =ax 2+bx +c(a≠0)的图象如图所示,则一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解是____________.第12题图第16题图第17题图13.若二次函数y =x 2+2x +m 的图象与x 轴没有公共点,则m 的取值范围是________.14.已知二次函数y =-12x 2-7x +152,若自变量x 分别取x 1,x 2,x 3,且0<x 1<x 2<x 3,则对应的函数值y 1,y 2,y 3的大小关系是________________.15.抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A(-3,0),对称轴是直线x =-1,则a +b +c =________. 16.二次函数y =x 2-2x -3的图象如图所示,若线段AB 在x 轴上,且AB 为23个单位长度,以AB 为边作等边△ABC,使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上,则点C 的坐标为______________.17.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,且P =|2a +b|+|3b -2c|,Q =|2a -b|-|3b +2c|,则P ,Q 的大小关系是__________.18.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t =________.三、解答题(共66分)19.(6分)已知:二次函数y =-2x 2+(3k +2)x -3k.(1)若二次函数的图象过点A(3,0),求此二次函数图象的对称轴;20.(8分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点(-1,8)并与x轴交于A,B两点,且点B坐标为(3,0).(1)求抛物线的表达式;(2)若抛物线与y轴交于点C,顶点为点P,求△CPB的面积.21.(8分)如图,二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式;(2)根据图象,写出满足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围.22.(8分)已知P(-3,m)和Q(1,m)是抛物线y=2x2+bx+1上的两点.(1)求b的值;(2)若A(-2,y1),B(5,y2)是抛物线y=2x2+bx+1上的两点,试比较y1与y2的大小关系;(3)将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k(k是正整数)个单位长度,使平移后的图象与x轴无交23.(10分)如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的平面直角坐标系,最左边的抛物线可以用y =ax 2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B ,C 两点到地面的距离均为34 m ,到墙边OA 的距离分别为12 m ,32m .(1)求最左边拋物线的函数表达式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为10 m ,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案?24.(12分)天水市某企业接到一批粽子生产任务,按要求在19天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只4元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李红第x 天生产的粽子数量为y 只,y 与x满足如下关系:y =⎩⎪⎨⎪⎧32x (0≤x≤5),20x +60(5<x≤19).(1)李红第几天生产的粽子数量为260只?(2)如图,设第x 天生产的每只粽子的成本是p 元,p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画,若李红第x 天创造的利润为w 元,求w 与x 之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)25.(14分)如图,在平面直角坐标系中,点A ,B ,C 分别为坐标轴上的三个点,且OA =1,OB =3,OC =4.(1)求经过A ,B ,C 三点的抛物线的表达式. (2)在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ,使得以点A ,B ,C ,P 为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点M 为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PM -AM|的最大值时点M 的坐标,并直接写出|PM -AM|的最大值.第二章检测题1.D 2.B 3.D 4.D 5.B 6.D 7.C 8.A 9.B10.B 11.-4 12.-1<x<3 13.m >1 14.y 1>y 2>y 3 15.0 16.(1+7,3)或(2,-3) 17.P >Q18.1.6 19.(1)将点A(3,0)代入y =-2x 2+(3k +2)x -3k 中,得-2×32+(3k +2)×3-3k =0,解得k=2.∴y=-2x 2+8x -6,对称轴为直线x =2 (2)由题意,得Δ=(3k +2)2-4×(-2)×(-3k)=0,整理,得9k 2-12k +4=0,(3k -2)2=0,∴k =2320.(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点(-1,8)与点B(3,0),∴⎩⎪⎨⎪⎧1-b +c =8,9+3b +c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-4,c =3,∴抛物线的表达式为y =x 2-4x +3(2)∵y=x 2-4x +3=(x -2)2-1,∴P(2,-1),C(0,3).过点P 作PH⊥y 轴于点H ,过点B 作BM∥y 轴交直线PH 于点M ,过点C 作CN⊥y 轴交直线BM 于点N ,如图所示,S △CPB =S 矩形CHMN -S △CHP -S △PMB -S △CNB =3×4-12×2×4-12×1×1-12×3×3=3,即△CPB 的面积为3 21.(1)将点A(1,0)代入y =(x -2)2+m 中得(1-2)2+m =0,解得m =-1,所以二次函数的表达式为y =(x -2)2-1.当x =0时,y =4-1=3,所以点C 坐标为(0,3),由于点C 和点B 关于对称轴对称,而抛物线的对称轴为直线x =2,所以点B 坐标为(4,3),将A(1,0),B(4,3)代入y =kx +b 中,得⎩⎪⎨⎪⎧k +b =0,4k +b =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =1,b =-1.所以一次函数的表达式为y =x -1 (2)当kx +b≥(x-2)2+m 时,1≤x ≤4 22.(1)∵点P ,Q 是二次函数y =2x 2+bx +1图象上的两点,∴此抛物线的对称轴是直线x =-1.∵二次函数的表达式为y =2x 2+bx +1,∴-b 4=-1,解得b =4 (2)y 1<y 2(3)平移后抛物线的表达式为y =2x 2+4x +1+k.要使平移后的图象与x 轴无交点,则有b 2-4ac =16-8(1+k)<0,解得k >1.∵k 是正整数,∴k 的最小值为2 23.(1)根据题意,得B(12,34),C(32,34),把点B ,点C 代入y =ax 2+bx ,得⎩⎪⎨⎪⎧34=14a +12b ,34=94a +32b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =2,∴最左边抛物线的函数表达式为y =-x 2+2x ,∴图案最高点到地面的距离为-224×(-1)=1 (2)令y =0,即-x 2+2x =0,解得x 1=0,x 2=2,10÷2=5,∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案 24.(1)设李红第x 天生产的粽子数量为260只,根据题意,得20x +60=260,解得x =10,答:李红第10天生产的粽子数量为260只 (2)根据图象,得当0≤x≤9时,p =2;当9<x≤19时,设表达式为p =kx +b ,把(9,2),(19,3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧9k +b =2,19k +b =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =110,b =1110,所以p =110x +1110.①当0≤x≤5时,w =(4-2)·32x=64x ,x =5时,此时w 有最大值为320元;②当5<x≤9时,w =(4-2)·(20x+60)=40x +120,x =9时,此时w 有最大值为480元;③当9<x ≤19时,w =[4-(110x +1110)]·(20x+60)=-2x 2+52x +174=-2(x -13)2+512,即x =13时,此时w 有最大值为512元.综上所述,第13天的利润最大,最大利润是512元 25.(1)设抛物线的表达式为y =ax 2+bx +c ,∵A(1,0),B(0,3),C(-4,0),∴⎩⎪⎨⎪⎧a +b +c =0,c =3,16a -4b +c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-34,b =-94,c =3,∴经过A ,B ,C 三点的抛物线的表达式为y =-34x 2-94x +3(2)存在.理由如下:如图所示,∵OB =3,OC =4,OA =1,∴BC =AC =5,当BP 平行且等于AC时,四边形ACBP 为菱形,∴BP =AC =5,且点P 到x 轴的距离等于OB ,∴点P 的坐标为(5,3),当点P 在第二、三象限时,以点A ,B ,C ,P 为顶点的四边形只能是平行四边形,不是菱形,则当点P 的坐标为(5,3)时,以点A ,B ,C ,P 为顶点的四边形为菱形 (3)设直线PA 的表达式为y =kx +b (k≠0),∵A(1,0),P(5,3),∴⎩⎪⎨⎪⎧5k +b =3,k +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =34,b =-34,∴直线PA 的表达式为y =34x -34,当点M 与点P ,A 不在同一直线上时,根据三角形的三边关系|PM -AM|<PA ,当点M 与点P ,A 在同一直线上时,|PM -AM|=PA ,∴当点M 与点P ,A 在同一直线上时,|PM -AM|的值最大,即点M 为直线PA 与抛物线的交点,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =34x -34,y =-34x 2-94x +3,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=1,y 1=0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2=-5,y 2=-92,∴点M 的坐标为(1,0)或(-5,-92)时,|PM -AM|的值最大,此时|PM -AM|的最大值为5第三章检测题时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列判断中正确的是( )A .平分弦的直径垂直于弦B .平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C .弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D .平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 2.在⊙O 中,同一条弦AB 所对的圆周角( ) A .相等 B .互补 C .互余 D .相等或互补3.如图,已知⊙O 是△ABD 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,∠ABD =58°,则∠BCD 等于( )A .116°B .32°C .58°D .64°,第3题图) ,第4题图) ,第5题图),第6题图)4.如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8 m ,桥拱半径OC 为5 m ,则水面宽AB 为( ) A .4 m B .5 m C .6 m D .8 m5.如图,AB 是⊙O 的直径,C ,D 是⊙O 上的点,∠CDB =25°,过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ,则∠E 等于( )A .40°B .50°C .60°D .70°6.如图,⊙O 的半径为2,点O 到直线l 的距离为3,点P 是直线l 上的一个动点,PB 切⊙O 于点B ,则PB 的最小值是( )A .13B .3C . 5D .27.(2017·福建)如图,AB 是⊙O 的直径,C ,D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD 互余的角是( )A .∠ADCB .∠ABDC .∠BACD .∠BAD,第7题图) ,第8题图) ,第10题图)8.如图,四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,延长AB 与DC 相交于点G ,AO ⊥CD ,垂足为点E ,连接BD ,∠GBC =50°,则∠DBC 的度数为( )A .50°B .60°C .80°D .90°9.(2017·南京)过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为( )A .(4,176)B .(4,3)C .(5,176) D .(5,3)10.如图,正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为2,正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的外接圆与正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边相切,正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3的外接圆与正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的各边相切,……按这样的规律进行下去,正六边形A 10B 10C 10D 10E 10F 10的边长为( )A .24329 B .81329 C .8129 D .81328 二、填空题(每小题3分,共24分)11.若⊙O 的半径为8,点P 在⊙O 内,则线段PO 的长度范围是________. 12.圆内接四边形ABCD 的内角∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠D=________.13.如图,AB 是⊙O 的直径,点D 在⊙O 上,∠AOD =130°,BC ∥OD 交⊙O 于点C ,则∠A=________.,第13题图) ,第16题图) ,第17题图) ,第18题图)14.若正多边形的边心距与边长的比为1∶2,则这个正多边形的边数是________.15.(2016·宁夏)已知正△ABC的边长为6,那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是______.16.如图,AB是⊙O的直径,AB=4,点M是OA的中点,过点M的直线与⊙O交于C,D两点.若∠CMA =45°,则弦CD的长为________.17.如图,⊙O的半径为6 cm,B为⊙O外一点,OB交⊙O于点A,AB=OA,动点P从点A出发,以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止.当点P运动的时间为________s时,BP与⊙O相切.18.(2017·恩施州)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,以直角边AB为直径作半圆交AC于点D,以AD为边作等边△ADE,延长ED交BC于点F,BC=23,则图中阴影部分的面积为________.(结果不取近似值)三、解答题(共66分)19.(8分)如图,两个同心圆中,大圆的弦AB,AC分别切小圆于点D,E,△ABC的周长为12 cm,求△ADE的周长.20.(8分)如图,⊙O的直径AB长为6,弦AC长为2,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求四边形ADBC 的面积.21.(9分)如图,AB是⊙O的弦,OA⊥OD,AB,OD交于点C,且CD=BD.(1)判断BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;(2)当OA=3,OC=1时,求线段BD的长.22.(9分)如图,PA ,PB 是⊙O 的切线,A ,B 为切点,∠APB =60°,连接PO 并延长与⊙O 交于C 点,连接AC ,BC.(1)求证:四边形ACBP 是菱形;(2)若⊙O 半径为1,求菱形ACBP 的面积.23.(10分)如图,AB 为半圆O 的直径,AC 是⊙O 的一条弦,D 为BC ︵的中点,作DE⊥AC,交AC 的延长线于点E ,ED ,AB 的延长线交于点F ,连接DA.(1)求证:EF 为半圆O 的切线;(2)若DA =DF =63,求阴影区域的面积.(结果保留根号和π)24.(10分)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,弦BD 交AC 于点E ,连接CD ,且AE =DE ,BC =CE. (1)求∠ACB 的度数;(2)过点O 作OF⊥AC 于点F ,延长FO 交BE 于点G ,DE =3,EG =2,求AB 的长.25.(12分)如图,已知⊙O 上依次有A ,B ,C ,D 四个点,AD ︵=BC ︵,连接AB ,AD ,BD ,弦AB 不经过圆心O ,延长AB 到E ,使BE =AB ,连接EC ,F 是EC 的中点,连接BF.(1)若⊙O 的半径为3,∠DAB =120°,求劣弧BD ︵的长; (2)求证:BF =12BD ;(3)设G 是BD 的中点,探索:在⊙O 上是否存在点P(不同于点B),使得PG =PF ?并说明PB 与AE 的位置关系.第三章检测题1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7.D 8.C 9.A10.D 11.0≤PO<8 12.90° 13.40° 14.4 15.2 3 16.14 17.2或10 18.33-32π19.连接OD ,OE ,图略.∵AB,AC 分别切小⊙O 于点D ,E ,∴OD ⊥AB ,OE ⊥AC ,∴AD =DB ,AE =EC ,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE =12BC ,∴C △ADE =12C △ABC =12×12=6(cm ) 20.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =∠ADB=90°.在Rt △ABC 中,由勾股定理,得BC =AB 2-AC 2=42.∵CD 平分∠ACB,∴AD ︵=BD ︵,∴AD =BD.在Rt △ABD 中,由勾股定理,得AD =DB =22AB =22×6=32,∴S 四边形ADBC =S △ABC +S △ABD =12AC·BC +12AD·BD=12×2×42+12×32×32=42+9 21.(1)BD 与⊙O 相切.证明:连接OB ,图略.∵OA =OB ,∴∠OAC =∠OBC.∵OA⊥OD,∴∠AOC =90°,∴∠OAC +∠OCA =90°.∵DC =DB ,∴∠DCB =∠DBC.∵∠DCB=∠ACO,∴∠ACO =∠DBC,∴∠DBC +∠OBC=90°,∴∠OBD =90°,即OB⊥BD,∴BD 与⊙O 相切 (2)设BD =x ,则CD =x ,OD =x +1 ,OB =OA =3,由勾股定理,得32+x 2=(x +1)2,解得x =4,∴BD =4 22.(1)证明:连接AO ,BO ,图略.∵PA,PB 是⊙O 的切线,∴∠OAP =∠OBP=90°,PA =PB ,∠APO =∠BPO=12∠APB=30°,∴∠AOP =60°,∵OA =OC ,∴∠CAO =∠ACO,又∠AOP =∠CAO+∠ACO,∴∠ACO =30°,∴∠ACO =∠APO,∴AC =AP ,同理BC =PB ,∴AC =BC =BP =AP ,∴四边形ACBP 是菱形 (2)连接AB 交PC 于D ,图略,则AD⊥PC,∵OA =1,∠AOP =60°,∴AD =32OA =32,∴PD =32,∴PC =3,AB =3,∴菱形ACBP 的面积=12AB·PC=332 23.(1)证明:连接OD ,图略.∵D 为BC ︵的中点,∴∠CAD =∠BAD,∵OA =OD ,∴∠BAD =∠ADO,∴∠CAD =∠ADO,∴OD ∥AE.∵DE ⊥AC ,∴OD ⊥EF ,∴EF 为半圆O 的切线 (2)连接OC 与CD ,图略.∵DA=DF ,∴∠BAD =∠F ,∴∠BAD =∠F=∠CAD,又∵∠BAD +∠CAD +∠F=90°,∴∠F =30°,∠BAC =60°,∵OC =OA ,∴△AOC 为等边三角形,∴∠AOC =60°.∵OD ⊥EF ,∠F =30°,∴∠DOF =60°,在Rt △ODF 中,DF =63,∴OD =DF·tan 30°=6,在Rt △AED 中,DA =63,∠CAD =30°,∴DE =DA·sin 30°=33,EA =DA·cos 30°=9,∵∠COD =180°-∠AOC-∠DOF=60°,易证CD∥AB,故S △ACD =S △COD ,∴S 阴影=S △AED -S 扇形COD =12×9×33-60360π×62=2732-6π 24.(1)在△AEB 和△DEC 中,∠A =∠D,AE =ED ,∠AEB =∠DEC,∴△AEB ≌△DEC(ASA ),∴EB =EC.又∵BC=CE ,∴BE =CE =BC ,∴△EBC 为等边三角形,∴∠ACB =60° (2)作BM⊥AC 于点M ,图略,∵OF ⊥AC,∴AF =CF.∵△EBC 为等边三角形,∴∠GEF =60°,∴∠EGF =30°.∵EG =2,∴EF =1.又∵AE=ED =3,∴CF =AF =4,∴AC =8,EC =5,∴BC =5.∵∠BCM =60°,∴∠MBC =30°,∴CM =52,BM =BC 2-CM 2=523,∴AM =AC -CM =112,∴AB =AM 2+BM 2=7 25.(1)连接OB ,OD ,图略,∵∠DAB =120°,∴BCD ︵所对圆心角的度数为240°,∴∠BOD =120°.∵⊙O 的半径为3,∴劣弧BD ︵的长为120180×π×3=2π (2)证明:连接AC ,图略,∵AB =BE ,∴点B 为AE 的中点.∵F 是EC 的中点,∴BF 为△EAC 的中位线,∴BF =12AC.∵AD ︵=BC ︵,∴AD ︵+AB ︵=BC ︵+AB ︵,∴BD ︵=CA ︵,∴BD =AC ,∴BF =12BD (3)存在.过点B 作AE 的垂线,与⊙O 的交点即为所求的点P ,图略.∵BF为△EAC 的中位线,∴BF ∥AC ,∴∠FBE =∠CAE.∵AD ︵=BC ︵,∴∠DBA =∠CAB,∴∠FBE =∠DBA.由作法可知BP⊥AE,∴∠GBP =∠FBP.∵G 为BD 的中点,∴BG =12BD ,∴BG =BF.在△PBG 和△PBF 中,BG =BF ,∠PBG =∠PBF,BP =BP ,∴△PBG ≌△PBF(SAS ),∴PG =PF.故在⊙O 上存在点P ,使得PG =PF ,此时PB⊥AE期中检测题时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分,共30分)1.在△ABC 中,∠A =105°,∠B =45°,cos C 的值是( )A .12B .33 C .32D . 3 2.抛物线y =-35(x +12)2-3的顶点坐标是( )A .(12,-3) B .(-12,-3) C .(12,3) D .(-12,3)3.(2017·日照)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =13,AC =5,则sin A 的值为( )A .513B .1213C .512D .1254.(2017·怀化)如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(3,4),那么sin α的值是( )A .35B .34C .45D .43,第4题图) ,第7题图) ,第9题图) ,第10题图)5.将抛物线y =x 2向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线相应的函数表达式是( )A .y =(x +2)2+1B .y =(x +2)2-1C .y =(x -2)2+1D .y =(x -2)2-16.a≠0,函数y =a x与y =-ax 2+a 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )7.(2017·滨州)如图,在△ABC 中,AC ⊥BC ,∠ABC =30°,点D 是CB 延长线上的一点,且BD =BA ,则tan ∠DAC 的值为( )A .2+ 3B .2 3C .3+ 3D .3 38..若一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限,则二次函数y =ax 2-ax( )A .有最大值a 4B .有最大值-a 4C .有最小值a 4D .有最小值-a 49.如图,垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1:y =x 2(x≥0)和抛物线C 2:y =x24(x≥0)交于A ,B 两点,过点A 作CD∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ,D ,过点B 作EF∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ,F ,则S △OFBS △EAD的值为( )A .26 B .24 C .14 D .1610.(2017·安顺)二次函数y =ax 2+bx +c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac-b 2<0;②3b+2c <0;③4a+c <2b ;④m(am+b)+b <a(m≠1),其中结论正确的个数是( )A .1B .2C .3D .4二、填空题(每小题3分,共24分)11.在△ABC 中,若|sin A -12|+(32-cos B)2=0,则∠C=________度.12.如图,在建筑平台CD 的顶部C 处,测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°,测得大树AB 的底部B的俯角为30°,已知平台CD 的高度为5 m ,则大树的高度为________m .(结果保留根号),第12题图) ,第13题图),第15题图),第17题图)13.如图,直线y =mx +n 与抛物线y =ax 2+bx +c 交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x 的不等式mx +n >ax 2+bx +c 的解集是____________.14.某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售单价x(元/件)与日销售量y(件)之间的关系如下表.按照这样的规律可得,日销售利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式是____________.15.(2017·临沂)如图,在▱ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,若AB =4,BD =10,sin ∠BDC =35,则▱ABCD 的面积是________.162①该抛物线的对称轴是直线x =-2;②该抛物线与y 轴的交点坐标为(0,-2.5);③b 2-4ac =0;④若点A(0.5,y 1)是该抛物线上一点.则y 1<-2.5.所有正确的结论的序号是________.17.(2017·黔东南州)如图所示把多块大小不同的30°直角三角板,摆放在平面直角坐标系中,第一块三角板AOB 的一条直角边与y 轴重合且点A 的坐标为(0,1),∠ABO =30°;第二块三角板的斜边BB 1与第一块三角板的斜边AB 垂直且交y 轴于点B 1;第三块三角板的斜边B 1B 2与第二块三角板的斜边BB 1垂直且交x 轴于点B 2;第四块三角板的斜边B 2B 3与第三块三角板的斜边B 1B 2垂直且交y 轴于点B 3;…按此规律继续下去,则点B 2 017的坐标为________.18.如图,△ABC 是边长为8的等边三角形,F 是边BC 上的动点,且DF⊥AB,EF ⊥AC.则四边形ADFE 面积的最大值是________.三、解答题(共66分)19.(9分)计算:(1)tan 30°×sin 45°+tan 60°×cos 60°;(2)(2017·怀化)|3-1|+(2017-π)0-(14)-1-3tan 30°+38;(3)12-3tan 30°+(π-4)0-(12)-1.20.(8分)已知二次函数的顶点坐标为A(1,9),且其图象经过点(-1,5). (1)求此二次函数的表达式;(2)若该函数图象与x 轴的交点为B ,C ,求△ABC 的面积.21.(8分)密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线型的建筑物,是美国最高的独自挺立的纪念碑,如图.拱门的地面宽度为200米,两侧距地面高150米处各有一个观光窗,两窗的水平距离为100米,求拱门的最大高度.22.(8分)(2017·宿迁)如图所示,飞机在一定高度上沿水平直线飞行,先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°,面向小岛方向继续飞行10 km到达B处,发现小岛在其正后方,此时测得小岛的俯角为45°,如果小岛高度忽略不计,求飞机飞行的高度.(结果保留根号)23.(10分)(2017·济宁)某商店经销一种双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.经市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(单位:个)与销售单价x(单位:元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).(1)设这种双肩包每天的销售利润为w元.求w与x之间的函数表达式;(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?24.(10分)(2017·广东)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =-x 2+ax +b 交x 轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P 是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP 与y 轴相交于点C.(1)求抛物线y =-x 2+ax +b 的表达式;(2)当点P 是线段BC 的中点时,求点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,求sin ∠OCB 的值.25.(13分)(2017·菏泽)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +1交y 轴于点A ,交x 轴正半轴于点B(4,0),与过A 点的直线相交于另一点D(3,52),过点D 作DC⊥x 轴,垂足为点C.(1)求抛物线的表达式.(2)点P 在线段OC 上(不与点O ,C 重合),过P 作PN⊥x 轴,交直线AD 于点M ,交抛物线于点N ,连接CM ,求△PCM 面积的最大值.(3)若P 是x 轴正半轴上的一动点,设OP 的长为t ,是否存在t ,使以点M ,C ,D ,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.期中检测题1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.D 7.A 8.B 9.D 10.C 11.120 12.(5+53) 13.x <-1或x >414.w =-10x 2+500x -4 000 15.24 16.①②④ 17.(0,-(3)2 018) 18.12 3 19.(1)tan 30°×sin 45°+tan 60°×cos 60°=33×22+3×12=66+32 (2)|3-1|+(2017-π)0-(14)-1-3tan 30°+38=3-1+1-4-3×33+2=3-4-3+2=-2 (3)12-3tan 30°+(π-4)0-(12)-1=23-3×33+1-2=3-1 20.(1)设抛物线表达式为y =a(x -1)2+9,把(-1,5)代入得a(-1-1)2+9=5,解得a =-1,所以抛物线表达式为y =-(x -1)2+9 (2)当y =0时,-(x -1)2+9=0,解得x 1=4,x 2=-2,所以B ,C 两点的坐标为(-2,0),(4,0),所以△ABC 的面积为12×9×(4+2)=27 21.如图所示建立平面直角坐标系,此时,抛物线与x 轴的交点为C(-100,0),D(100,0),设这条抛物线的表达式为y =a(x -100)(x +100),∵抛物线经过点B(50,150),可得150=a(50-100)(50+100),解得a =-150,∴y =-150(x -100)(x +100),即抛物线的表达式为y =-150x 2+200,顶点坐标是(0,200),∴拱门的最大高度为200米22.如图,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,设CD =x ,∵∠CBD =45°,∴BD =CD =x ,在Rt △ACD 中,∵tan ∠CAD =CD AD ,∴AD=CD tan ∠CAD =x tan 30°=x 33=3x ,由AD +BD =AB 可得3x +x =10,解得x =53-5,答:飞机飞行的高度为(53-5)km 23.(1)w =y·(x-30)=(-x +60)·(x-30)=-x 2+30x +60x -1 800=-x 2+90x -1800,w 与x 之间的函数表达式为w =-x 2+90x -1 800 (2)根据题意,得w =-x 2+90x-1800=-(x -45)2+225,∵-1<0,∴当x =45时,w 有最大值,最大值是225,∴这种双肩包销售单价为45元时,每天的销售利润最大,最大利润是225元 (3)当w =200时,-x 2+90x -1 800=200,解得x 1=40,x 2=50,∵50>48,∴x 2=50不符合题意,舍去,答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元 24.(1)将点A ,B 代入抛物线y =-x 2+ax +b ,可得⎩⎪⎨⎪⎧0=-12+a +b ,0=-32+3a +b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =4,b =-3,∴抛物线的表达式为y =-x 2+4x -3(2)∵点C在y 轴上,所以C 点横坐标x =0,∵点P 是线段BC 的中点,∴点P 横坐标x P =0+32=32,∵点P 在抛物线y =-x 2+4x -3上,∴y P =-(32)2+4×32-3=34,∴点P 的坐标为(32,34) (3)∵点P 的坐标为(32,34),点P 是线段BC 的中点,∴点C 的纵坐标为2×34-0=32,∴点C 的坐标为(0,32),∴BC =(32)2+32=352,∴sin ∠OCB =OBBC=3352=255 25.(1)把点B(4,0),点D(3,52),代入y =ax 2+bx +1中,得⎩⎪⎨⎪⎧16a +4b +1=0,9a +3b +1=52,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-34,b =114,∴抛物线的表达式为y =-34x 2+114x +1 (2)设直线AD 的表达式为y =kx +b ,∵A(0,1),D(3,52),∴⎩⎪⎨⎪⎧b =1,3k +b =52,∴⎩⎪⎨⎪⎧k =12,b =1,∴直线AD 的表达式为y =12x +1,设P(t ,0),∴M(t ,12t +1),∴PM =12t +1,∵CD ⊥x 轴,∴PC =3-t ,∴S △PCM =12PC ·PM =12×(3-t)(12t +1),∴S △PCM =-14t 2+14t +32=-14(t -12)2+2516,∴△PCM 面积的最大值是2516 (3)存在.求t 值如下:∵OP=t ,∴点M ,N 的横坐标为t ,设M(t ,12t +1),N(t ,-34t 2+114t +1),∴|MN|=|-34t 2+114t +1-12t -1|=|-34t 2+94t|,CD =52,如图1,如果以点M ,C ,D ,N 为顶点的四边形是平行四边形,则MN =CD ,即-34t 2+94t =52,∵Δ=-39,∴方程-34t 2+94t =52无实数根,∴不存在t ;如图2,如果以点M ,C ,D ,N 为顶点的四边形是平行四边形,则MN =CD ,即34t 2-94t=52,∴t =9+2016或t =9-2016(负值舍去),∴当t =9+2016时,以点M ,C ,D ,N 为顶点的四边形是平行四边形期末检测题时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分,共30分)1.在△ABC 中,∠C =90°,sin B =12,则tan A 的值为( )A . 3B .1C .33 D .122.如图,△ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上,则cos A 的值为( )A .65 B .56C .56161 D .66161,第2题图) ,第3题图) ,第4题图)3.如图,AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,若∠B=60°,则∠A 等于( ) A .80° B .50° C .40° D .30°4.如图,在Rt △ABC 中,∠A =90°,BC =22,以BC 的中点O 为圆心分别与AB ,AC 相切于D ,E 两点,则DE ︵的长为( )A .π4B .π2C .πD .2π5.抛物线y =-12(x +1)2+3的顶点坐标为( )A .(1,3)B .(1,-3)C .(-1,-3)D .(-1,3)6.抛物线y =3x 2+2x -1向上平移4个单位长度后的函数表达式为( ) A .y =3x 2+2x -5 B .y =3x 2+2x -4 C .y =3x 2+2x +3 D .y =3x 2+2x +47.二次函数y =ax 2+bx +c 与一次函数y =ax +c ,它们在同一直角坐标系中的图象大致是( )8.已知二次函数y =kx 2-7x -7的图象与x 轴有两个交点,则k 的取值范围为( )A .k >-74B .k >-74且k≠0 C .k ≥-74D .k ≥-74且k≠09.如图,某幢建筑物从10米高的窗口A 用水管向外喷水,喷的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直),如果抛物线的最高点M 离墙1米,离地面403米,则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A .2米B .3米C .4米D .5米。
北师大版2020-2021九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元基础过关测试题(附答案详解)
∵AC=6 ,∠C=45°
∴AD=AC⋅sin45°=6 × =6,
∵tan∠ABC=3,
∴ =3,
∴BD= =2,
故选A.
【点睛】
本题主要考查解直角三角形,三角函数的知识,熟记知识点是解题的关键.
7.A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出第三边,再根据正切函数的定义求出较小锐角的正切值.
【详解】
(2)用公式法解方程:3x2+2x-1=0.
26.在△ABC中,∠C=90°,BC= AC,求∠B的度数(精确到1″).
27.如图,我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克准备通过一座小山,已知山脚和山顶的水平距离为1000米,山高为565米,如果这辆坦克能够爬30°的斜坡,试问:它能不能通过这座小山?
【解析】
试题分析:2 ≈2×9.3274=18.6548,
tan87°≈19.0811,
∵18.6548<19.0811,
∴2 <tan87°.
故答案为<.
点睛:本题考查了计算器的使用,要注意一般保留小数点后4位.
12.42
【解析】
试题解析:过点 作 于点D,
∴由勾股定理可知:
的面积为:
故答案为
13.30°
12.如图,在 中, , , ,则 的面积为________.
13.某水库大坝,其坡面AB的坡度i=1∶ ,则斜坡AB的坡角的度数为____°.
14.坡角为α=60°,则坡度i=_____.
15.小明沿着坡度为1: 的坡面向下走了20米的路,那么他竖直方向下降的高度为_____.
16.如图,在高 米,坡角为 的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.(精确到 米)
北京师范大学第一附属中学九年级数学下册第一单元《反比例函数》检测卷(含答案解析)
一、选择题1.下列式子中表示y 是x 的反比例函数的是( )A .24y x =-B .y=5x 2C .y=21xD .y=13x2.与点()2,3-在同一反比例函数图象上的点是( )A .()1.5,4-B .()1,6--C .()6,1D .()2,3-- 3.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(﹣1,1),点B 在x 轴正半轴上,点D 在第三象限的双曲线y =8x上,过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ,则CE 的长为( )A .85B .235C .3.5D .54.如图,△ABC 的三个顶点分别为A (1,2),B (2,5),C (6,1).若函数在第一象限内的图像与△ABC 有交点,则的取值范围是A .2≤≤B .6≤≤10C .2≤≤6D .2≤≤ 5.如图,四边形OABC 是矩形,ADEF 是正方形,点A 、D 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,点F 在AB 上,点B 、E 在反比例函数y =k x的图象上,OA =1,OC =6,则正方形ADEF 的边长为( )A .1.5B .1.8C .2D .无法求 6.如图,菱形ABCD 的边AD y ⊥轴,垂足为点E ,顶点A 在第二象限,顶点B 在y 轴的正半轴上,反比例函数k y x = (0k ≠,0x >)的图像同时经过顶点C 、D ,若点D 的横坐标为1,3BE DE =.则k 的值为( )A .52B .3C .154D .57.若函数5y x =与1y x =+的图像交于点(),A a b ,则11a b -的值为 ( ) A .15- B .15 C .5- D .58.如图,函数y =kx (k >0)与函数2y x =的图象相交于A ,C 两点,过A 作AB ⊥y 轴于B ,连结BC ,则三角形ABC 的面积为( )A .1B .2C .k 2D .2k 2 9.在函数()0k y k x=<的图象上有()11,A y ,()21,B y -,()32,B y -三个点,则下列各式中正确的是( )A .123y y y <<B .132y y y <<C .321y y y <<D .231y y y << 10.给出下列函数:①y =﹣3x +2:②y =3x ;③y =﹣5x:④y =3x ,上述函数中符合条件“当x >1时,函数值y 随自变量x 增大而增大”的是( )A .①③B .③④C .②④D .②③11.如图,直线y =x +2与y 轴交于点A ,与直线y =﹣3x +10交于点B ,P 是线段AB 的中点,已知反比例函数y =k x 的图象经过点P ,则k 的值为( )A .1B .3C .6D .812.已知1(3A -,1)y 、1(2B -,2)y 、3(1,)C y 是一次函数3y x b =-+的图象上三点,则1y ,2y ,3y 的大小关系是( )A .123y y y <<B .213y y y <<C .312y y y <<D .321y y y <<二、填空题13.如图,△OA 1B 1,△A 1A 2B 2,△A 2A 3B 3,…是分别以A 1,A 2,A 3,…为直角顶点,一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形,其斜边的中点C 1(x 1,y 1),C 2(x 2,y 2),C 3(x 3,y 3),…均在反比例函数y =4x(x >0)的图象上,则y 1+y 2+…+y 100的值为_____.14.反比例函数()0k y x x=<的图象如图所示,下列关于该函数图象的四个结论:①0k >;②当0x <时,y 随x 的增大而增大;③该函数图象关于直线y x =-对称;④若点()2,3-在该反比例函数图象上,则点()1,6-也在该函数的图象上.其中正确结论的有_________(填番号).15.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数(0)k y x x=>经过矩形ABOC 的对角线OA 的中点M ,己知矩形ABOC 的面积为24,则k 的值为___________16.如果反比例函数2k y x -=的图像在第二、四象限内,那么k 的取值范围是______. 17.已知()221a y a x -=-是反比例函数,则a =________________. 18.如图,正方形ABCD 的边长为10,点A 的坐标为()8,0-,点B 在y 轴上,若反比例函数(0)k y k x==的图象过点C ,则该反比例函数的解析式为_________.19.若A 、B 两点关于y 轴对称,且点A 在双曲线y =12x 上,点B 在直线y =x +6上,设点A 的坐标为(a ,b ),则a b b a+=_____. 20.如图,平面直角坐标系中,等腰Rt ABC ∆的顶点.A B 分别在x 轴、y 轴的正半轴, 90,ABC =∠CA x ⊥轴, 点C 在函数()0ky x x =>的图象上.若2,AB =则k 的值为_____.三、解答题21.在同一平面直角坐标系中,设一次函数1y mx n =+(m ,n 为常数,且0,m m n ≠≠-)与反比例函数2m n y x +=. (1)若1y 与2y 的图象有交点()1,5,且4n m =,①求:m 、n 的值;②当15y ≥时,2y 的取值范围;(2)若1y 与2y 的图象有且只有一个交点,求m n的值. 22.已知A (n ,-2),B (1,4)是一次函数y =kx +b 的图象和反比例函数y=m x 的图象的两个交点,直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的关系式;(2)求△AOC 的面积;(3)求不等式kx +b <m x的解集(直接写出答案).23.已知反比例函数k 1y x-=(k 为常数,k≠1). (1)若点A (1,2)在这个函数的图象上,求k 的值;(2)若在这个函数图象的每一分支上,y 随x 的增大而减小,求k 的取值范围. 24.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A ,B 在函数y =k x(x >0)的图象上(点B 的横坐标大于点A 的横坐标),点A 的坐标为(2,4),过点A 作AD ⊥x 轴于点D ,过点B 作BC ⊥x 轴于点C ,连接OA ,AB .(1)求k 的值.(2)若点D 为OC 中点,求四边形OABC 的面积.25.已知反比例函数y =12m x-(m 为常数)的图象在第一、三象限.(1)求m 的取值范围;(2)如图,若该反比例函数的图象经过▱ABOD 的顶点D ,点A ,B 的坐标分别为(0,3),(﹣2,0),求出该反比例函数的解析式;(3)若E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)都在该反比例函数的图象上,且x 1>x 2>0,则y 1和y 2有怎样的大小关系?26.如图,已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象交于点()3,A a ,点(142,2)B a -.(1)求反比例函数的表达式;(2)若一次函数图象与y 轴交于点C ,点D 为点C 关于原点O 的对称点,求ACD △的面积.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】根据反比例函数的定义逐项分析即可.【详解】A. 24y x =-,y 是x 的一次函数,故不符合题意;B. y=5x 2,y 是x 的正比例函数,故不符合题意; C. 21y x =,y 是x²的反比例函数,故不符合题意; D. y=13x,y 是x 的反比例函数,符合题意; 故选:D .【点睛】 本题考查了反比例函数的定义,一般地,形如k y x=(k 为常数,k ≠0)的函数叫做反比例函数. 2.A解析:A【分析】根据在同一反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等即可解答.【详解】解:∵点()2,3-∴k=2×(-3)=-6∴只有A 选项:-1.5×4=-6.故答案为A .【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质,掌握同一反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等是解答本题的关键.3.B解析:B【分析】设点D (m ,8m),过点D 作x 轴的垂线交CE 于点G ,过点A 过x 轴的平行线交DG 于点H ,过点A 作AN ⊥x 轴于点N ,根据AAS 先证明△DHA ≌△CGD 、△ANB ≌△DGC 可得AN =DG =1=AH ,据此可得关于m 的方程,求出m 的值后,进一步即可求得答案.【详解】解:设点D(m,8m),过点D作x轴的垂线交CE于点G,过点A过x轴的平行线交DG于点H,过点A作AN⊥x轴于点N,如图所示:∵∠GDC+∠DCG=90°,∠GDC+∠HDA=90°,∴∠HDA=∠GCD,又AD=CD,∠DHA=∠CGD=90°,∴△DHA≌△CGD(AAS),∴HA=DG,DH=CG,同理△ANB≌△DGC(AAS),∴AN=DG=1=AH,则点G(m,8m﹣1),CG=DH,AH=﹣1﹣m=1,解得:m=﹣2,故点G(﹣2,﹣5),D(﹣2,﹣4),H(﹣2,1),则点E(﹣85,﹣5),GE=25,CE=CG﹣GE=DH﹣GE=5﹣25=235,故选B.【点睛】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点和全等三角形的判定与性质,构造全等、充分运用正方形的性质是解题的关键.4.A解析:A【分析】把A点的坐标代入即可求出k的最小值;当反比例函数和直线BC相交时,求出b2﹣4ac的值,得出k的最大值.【详解】把点A(1,2)代入kyx得:k=2;C的坐标是(6,1),B的坐标是(2,5),设直线BC的解析式是y=kx+b,则25 61 k bk b+=⎧⎨+=⎩,解得:17kb=-⎧⎨=⎩,则函数的解析式是: y=﹣x+7,根据题意,得:kx=﹣x+7,即x2﹣7x+k=0,△=49﹣4k≥0,解得:k≤494.则k的范围是:2≤k≤494.故选A.考点:反比例函数综合题.5.C解析:C【分析】根据OA、OC的长度,可得反比例函数的比例系数k=6,设正方形ADEF的边长为x,则OD DE=(1x)x=6⋅+⋅,解得x即为正方形的边长.【详解】解:根据OA=1,OC=6,可得反比例函数的比例系数k=OA OC=6⋅,设正方形ADEF的边长为x,则OD=OA+AD=1+x,DE=x,则OD DE=(1x)x=6⋅+⋅,解得:x=2或-3(舍),故选:C.【点睛】本题主要考察了反比例函数与几何图形的综合、解一元二次函数,解题的关键在于根据图形求出反比例函数的比例系数k.6.C解析:C【分析】过点D作DF⊥BC于点F,设BC=x,在Rt△DFC中利用勾股定理列方程即可求出x,然后设OB=a,即可表示出C,D的坐标,再代入kyx=可求出a,k的值.【详解】解:过点D作DF⊥BC于点F,∵点D 的横坐标为1,∴BF =DE =1,∴DF =BE =3DE =3,设BC =x ,则CD =x ,CF =x -1,在Rt △DFC 中,由勾股定理得:222DF CF CD +=,∴2223(1)x x +-=,解得:x =5.设OB =a ,则点D 坐标为(1,a +3),点C 坐标为(5,a ),∵点D 、C 在双曲线上∴1×(a +3)=5a∴a =34, ∴点C 坐标为(5,34), ∴k =154. 故选:C.【点睛】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征,菱形的性质,勾股定理,根据勾股定理列出方程求出BC 的长度是本题的关键.7.B解析:B【分析】先把A (a ,b )分别代入两个解析式得到5b a =,b =a +1,则ab =5,b -a =1,再变形11a b -得到b a ab-,然后利用整体思想进行计算即可. 【详解】解:把A (a ,b )代入5y x=与y =x +1, 得5b a=,b =a +1, 即ab =5,b -a =1,所以11a b -=b a ab -=15. 故选:B.【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式.8.B解析:B【分析】设点A 坐标2,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,根据点A ,C 关于原点对称,可得出点C 坐标,最后根据三角形的面积计算即可.【详解】设点A 坐标2,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则点C 坐标2,x x ⎛⎫--⎪⎝⎭, ∵AB ⊥y 轴, ∴()114222ABC A C S AB y y x x=⋅-=⋅=, 故选B .【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握双曲线是关于原点对称,两个分支上的点也是关于原点对称是解题的关键.9.B解析:B【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到11y k ⨯=,21y k -⨯=,32y k -⨯=,然后计算出1y 、2y 、3y 的值再比较大小即可.【详解】 解:(0)k y k x=<的图象上有1(1,)A y 、2(1,)B y -、3(2,)C y -三个点, 11y k ∴⨯=,21y k -⨯=,32y k -⨯=,1y k ∴=,2y k =-,312y k =-, 而k 0<,132y y y ∴<<.故选:B .【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数k y x=(k 为常数,且0k ≠)的图象是双曲线,图象上的点(),x y 的横纵坐标的积是定值k ,即xy k =.10.B解析:B【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案.【详解】解:①y =﹣3x +2,当x >1时,函数值y 随自变量x 增大而减小,故此选项不符合题意; ②y =3x,当x >1时,函数值y 随自变量x 增大而减小,故此选项不符合题意; ③y =﹣5x,当x >1时,函数值y 随自变量x 增大而增大,故此选项符合题意; ④y =3x ,当x >1时,函数值y 随自变量x 增大而增大,故此选项符合题意;故选:B .【点睛】此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数,正确把握相关性质是解题关键. 11.B解析:B【分析】先求出直线y =x +2与坐标轴的交点A 坐标,再由两条直线解析式构成方程组,解方程组求得B 点坐标,进而求得中点P 的坐标,问题就迎刃而解了.【详解】解:直线y =x +2中,令x =0,得y =2,∴A (0,2),解2310y x y x =+⎧⎨=-+⎩得24x y =⎧⎨=⎩, ∴B (2,4),∵P 是线段AB 的中点,∴P (1,3),把(1,3)P 代入k y x=中,得3k =, 故选:B .【点睛】本题主要考查了两条直线的相交问题,反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法.本题的关键是求出P 点坐标. 12.C解析:C【分析】 分别计算自变量为13-,12-和1时的函数值,然后比较函数值的大小即可. 【详解】 1(3A -,1)y 、1(2B -,2)y 、3(1,)C y 是一次函数3y x b =-+的图象上三点, 11y b ∴=+,232y b =+,33y b =-+. 3312b b b -+<+<+, 312y y y ∴<<.故选:C .【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征:一次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了一次函数的性质.二、填空题13.20【分析】根据点C1的坐标确定y1可求反比例函数关系式由点C1是等腰直角三角形的斜边中点可以得到OA1的长然后再设未知数表示点C2的坐标确定y2代入反比例函数的关系式建立方程解出未知数表示点C3的解析:20【分析】根据点C 1的坐标,确定y 1,可求反比例函数关系式,由点C 1是等腰直角三角形的斜边中点,可以得到OA 1的长,然后再设未知数,表示点C 2的坐标,确定y 2,代入反比例函数的关系式,建立方程解出未知数,表示点C 3的坐标,确定y 3,……然后再求和.【详解】解:过C 1、C 2、C 3…分别作x 轴的垂线,垂足分别为D 1、D 2、D 3…则∠OD 1C 1=∠OD 2C 2=∠OD 3C 3=90°,∵三角形OA 1B 1是等腰直角三角形,∴∠A 1OB 1=45°,∴∠OC 1D 1=45°,∴OD 1=C 1D 1,其斜边的中点C 1在反比例函数y =4x , ∴C (2,2),即y 1=2,∴OD 1=D 1A 1=2,∴OA 1=2OD 1=4,设A 1D 2=a ,则C 2D 2=a 此时C 2(4+a ,a ),代入y =4x得:a (4+a )=4,解得:a =22﹣2,即:y 2=22﹣2,同理:y 3=23﹣22,y 4=24﹣23,……y 100=2100﹣299∴y 1+y 2+…+y 100=2+22﹣2+23﹣22……2100﹣299=20,故答案为:20.【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识,通过计算有一定的规律,推断出一般性的结论,得出答案.14.②③④【分析】观察反比例函数y =(x <0)的图象可得图象过第二象限可得k <0然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断【详解】解:①由题图可得:当时则该函数的应满足:则①错误②由题图象可知随的增大而 解析:②③④.【分析】观察反比例函数y =k x(x <0)的图象可得,图象过第二象限,可得k <0,然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断.【详解】解:①由题图可得:当0x <时,0y >, 则该函数()0k y x x=<的k 应满足:0k <, 则①错误,②由题图象可知, y 随x 的增大而增大,(反比例函数具有单调性),则②正确,③由于该图象为()0k y x x=<的图象(注意x 的范围),在第二象限。
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北师大版九年级数学下册第一章单元检测学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________评卷人得分一、选择题(每小题4分,共10小题,满分40分)1.在Rt△ABC 中,∠C=90°,若sinA=,则cosB 的值是( )35A . B . C . D .453534432.在△ABC 中,∠A=105°,∠B=45°,cosC 的值是( )A .BCD 123.在直角三角形中,各边的长度都扩大3倍,则锐角A 的三角函数值( )A .也扩大3倍 B .缩小为原来的13C .都不变D .有的扩大,有的缩小4.已知A 为锐角,且cosA≤,那么( )12A .0°≤A≤60°B .60°≤A<90°C .0°<A≤30°D .30°≤A<90°5.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或结论错误的是( )A. 斜坡AB 的坡角是10°B. 斜坡AB 的坡度是tan10°C. AC=1.2tan10°米D. AB=米10sin 2.16.在Rt△ABC 中,∠C=90°,cosB=,AB=10cm ,则BC 的长度为( )35A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm7.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是()海里.A. B..50 D.258.如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是BC=50m,则迎水坡面AB 的长度是().A.100m B.m C.150m D.9.如图,小山岗的斜坡AC的坡角α=45°,在与山脚C距离200米的D处,测得山顶A 的仰角为26.6°,小山岗的高AB约为().(结果取整数,参考数据:sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50)A.164m B.178m C.200m D.1618m10.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为()A .B ﹣1C .1314评卷人得分二、填空题(每小题5分,共4 小题,满分20分)11.在△ABC 中,若|sinA﹣|+﹣cosB)2=0,则∠C= 度.1212.如图所示,四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=2,CD=8,AC⊥CD,若sin∠ACB=,则13cos∠ADC= .13.已知在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,cotA=,则BC 的长是 .1214.如图,在建筑平台CD 的顶部C 处,测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°,测得大树AB 的底部B 的俯角为30°,已知平台CD 的高度为5m ,则大树的高度为_______m (结果保留根号)。
评卷人得分三、计算题(每小题8分,共2小题,满分16分)15.计算: +sin45°.22cos 30cos 60tan 60tan 30+⋅160112cos301)()8-+-- 评卷人得分四、解答题(共8小题,满分74分。
第17,18小题,每题8分,每19,20,21,22小题每题9分,第23题10分,第24题12分。
17.在Rt△ABC 中,∠C=90°,a=8,∠B=60°,解这个直角三角形.18.如图所示,某船上午11时30分在A 处观测海岛B 在北偏东60°方向,该船以每小时10海里的速度航行到C 处,再观测海岛B 在北偏东30°方向,又以同样的速度继续航行到D 处,再观测海岛在北偏西30°方向,当轮船到达C 处时恰好与海岛B 相距20海里,请你确定轮船到达C 处和D 处的时间.19.小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如示意图,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m,CE=0. 8m,CA=30m(点A、E、C在同一直线上).已知小明的身高EF是1.7m,请你帮小明求出楼高AB.(结果精确到0.1m)20.如图,在一次数学课外实践活动中,要求测教学楼的高度AB。
小刚在D处用高1.5m的测角仪CD,测得教学楼顶端A的仰角为30°,然后向教学楼前进40m到达E,又测得教学楼顶端A的仰角为60°。
求这幢教学楼的高度AB。
21.如图1,小红家阳台上放置了一个晒衣架.如图2是晒衣架的侧面示意图,立杆AB、CD相交于点O,B、D两点立于地面,经测量:AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条直线,且EF=32cm.(1)求证:AC∥BD;(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°);(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由.(参考数据:sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,tan61.9°≈0.553;可使用科学计算器)22.如图,现有甲、乙两个小分队分别同时从B、C两地出发前往A地,甲沿线路BA行进,乙沿线路CA行进,已知C在A的南偏东55°方向,AB的坡度为1:5,同时由于地震原因造成BC路段泥石堵塞,在BC路段中位于A的正南方向上有一清障处H,负责抢修BC路段,已知BH为12000m.(1)求BC的长度;(2)如果两个分队在前往A地时匀速前行,且甲的速度是乙的速度的三倍.试判断哪个分26队先到达A地.(tan55°≈1.4,sin55°≈0.84,cos55°≈0.6,≈5.01,结果保留整数)23.如图,小明在大楼45米高(即PH=45米)的窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯3角为15°,山脚B处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i(即tan∠ABC)为1:,点P、H、B、C、A在同一个平面上,点H、B、C在同一条直线上,且PH⊥HC.(1)山坡坡脚(即∠ABC)的度数等于度;3(2)求A、B两点间的距离.(结果精确到1米,参考数据:≈1.732)24.学习“利用三角函数测高”后,某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB,其测量步骤如下:(1)在中心广场测点C处安置测倾器,测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°;(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C、D与B在同一直线上,且C、D之间的距离可以直接测得),测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°;(3)测得测倾器的高度CF=DG=1.5米,并测得CD之间的距离为288米;已知红军亭高度为12米,请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(取1.732,结果保留整数)参考答案1.B . 2.C 3.C 4.B 5.C 6.A7.D .8.A .9.C.10.A11.120°12. 13.8 14.( 15 16.-7 17.45318.轮船到达C 处的时间为13时30分,到达D 处的时间15时30分;19.AB≈20.0m20.(20+1.5)米321.解:(1)∵AB、CD 相交于点O ,∴∠AOC=∠BOD,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=(180º-∠AOC),同理可证:12∠OBD=∠ODB=(180º-∠BOD),∴∠OAC=∠OBD,∴AC∥BD;方法二:12AB=CD=136cm ,OA=OC=51cm ,∴OB=OD=85cm,∴,又∵∠AOC=∠BOD,∴△==35O A O C O B O D AOC∽△BOD, ∴∠OAC=∠OBD;∴AC∥BD;(2)在△OEF 中,OE=OF=34cm ,EF=32cm ;过点O 作OM⊥EF 于点M ,则EM=16cm ;∴cos∠OEF=0.471,用科学计算器求得∠OEF=61.9°;==≈1683417E M O E (3)小红的连衣裙会拖落到地面;同(1)可证:EF∥BD,∴∠ABD=∠OEF=61.9°;过点A 作AH⊥BD 于点H ,在Rt△ABH 中sin∠ABD=,AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°A H A B=136×0.882≈120.0cm,因为小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm >晒衣架的高度AH=120cm .所以小红的连衣裙会拖落到地面.22. (1)、连接AH ∵H 在A 的正南方向, ∴AH⊥BC, ∵AB 的坡度为:1:5,∴在Rt△ABH 中, =, ∴AH=12000×=2400(m ) AH BH 1515∵在Rt△ACH 中,tan∠HAC=,HC AH∴1.4=,即CH=3360m ∴BC=BH+CH=15360m,2400CH (2)、乙先到达目的地,理由如下:在Rt△ACH 中,cos∠HAC=,∴0.6=,即AH AC 2400ACAC==4000(m ),24000.6在Rt△ABH 中, =,设AH=x ,BH=5x , AH BH 15由勾股定理得:AB==x≈5.01×2400=12024(m),∵3AC=12000<12024=AB ,∴乙分队先到达目的地.23.(1), ∴∠ABC=30°;(2)、由题意得:∠PBH=60°,∵∠ABC=30°,∴∠ABP=90°,又∠APB=45°,∴△PAB 为等腰直角三角形, 在直角△PHB 中,,在直角△PBA 中,≈52米.24.设AH=x 米,在Rt△EHG 中,∵∠EGH=45°,∴GH=EH=AE+AH=x+12,∵GF=CD=288米,∴HF=GH+GF=x+12+288=x+300,在Rt△AHF 中,∵∠AFH=30°,∴AH=HF•tan∠AFH,即x=(x+300),解得x=150+1).∴AB=AH+BH≈409.8+1.5≈411(米),凤凰山与中心广场的相对高度AB 大约是411米.。