平移上加下减,左加右减

任意抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0），可以由抛物线y=ax2经过平移得到:

将y＝ax2向上移动k个单位得：

y＝ax2＋k，

将y＝ax2向左移动h个单位得：

y＝a（x＋h）2，

将y＝ax2先向上移动k（k＞0）个单位，再向右移动h（h＞0）个单位，便得函数y＝a（x－h）2＋k的图象.

【例1】将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式.

【分析】二次函数图象的平移即每一个点的平移，我们可通过二次函数的特殊点顶点坐标的变化来确定平移后的解析式.

解：配方法得：

y=-2（x2-2x）+6

=-2（x2-2x+1-1）+6

=-2（x-1）2+8.

顶点为（1，8），将顶点按要求平移得新抛物线顶点为（0，6）.

∴平移后抛物线解析式为y=-2x2+6.

【小结】平移抛物线只改变了抛物线的位置，而不改变它的形状、大小及开口方向，即a值不变.左右平移时横坐标变化，上下平移时纵坐标变化.

【例2】（2006·泸州）二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（）.

Ａ. y=x2+3 Ｂ. y=x2+3

Ｃ. y=（x＋3）2 Ｄ. y=（x－3）2

【分析】二次函数y＝x2的顶点坐标为（0，0），顶点按要求平移后变为（3，0），选项中只有y=（x－3）2的顶点是（3，0）.

解：D.

【例3】（2006·兰州）已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式为（）.

Ａ. y=2（x-2）2+2

Ｂ. y=2（x+2）2-2

Ｃ. y=2（x-2）2-2

Ｄ. y=2（x+2）2+2

【分析】若抛物线不动，把x、y轴分别向上、向右平移2个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移两个单位，由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为y=2（x+2）2-2 .

解：B

【小结】将坐标系平移，实质是将抛物线向相反方向各移动了2个单位，即向下，向左平移2个单位，注意换位思考，逆向思维.

【例4】（2006·杭州）有三个二次函数，甲：y＝x2－1；乙：y＝－x2＋1；丙：y＝x2＋2x－1.则下列叙述正确的是（）.

A.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合

B.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合

C.丙的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合

D.甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合

【分析】根据函数解析式画出3个函数的草图发现，甲、乙与乙、丙开口方向均相反，不能够经过平行移动使得图象重合；所以排除A、C、D.函数丙y＝x2＋2x－1可以化成y＝（x＋1）2－2，这样就可以看出甲的图形经过向左移动1个单位，向下移动1个单位与丙重合.

解：B.

二次函数：

一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)

顶点式：y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a (a≠0) 顶点:[(-b)/2a,(4ac-b2)/4a]

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) x1 x2为图像与x轴的交点， x1 可以等于x2.

将抛物线向左平移m个单位：y=a(x+b/2a+m)2+(4ac-b2)/4a (a≠0)

将抛物线向右平移m个单位：y=a(x+b/2a-m)2+(4ac-b2)/4a (a≠0)

将抛物线向上平移n个单位：y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a+n (a≠0)

将抛物线向下平移n个单位：y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a-n (a≠0)

将抛物线向左平移m个单位，向上平移n个单位：y=a(x+b/2a+m)2+(4ac-b2)/4a+n (a≠0)

将抛物线向右平移m个单位，向下平移n个单位：y=a(x+b/2a-m)2+(4ac-b2)/4a-n (a≠0)

将抛物线向左平移m个单位，向下平移n个单位：y=a(x+b/2a+m)2+(4ac-b2)/4a-n (a≠0)

将抛物线向右平移m个单位，向上平移n个单位：y=a(x+b/2a-m)2+(4ac-b2)/4a+n (a≠0)

｜a｜的大小决定抛物线开口的大小，｜a｜越大，抛物线的开口越大。

a>0时抛物线开口向上， a<0时抛物线的开口向下。

c=0时抛物线交y轴于原点c>0时抛物线交y轴于正半轴c<0时抛物线交y轴于负半轴b=0时对称轴为y轴

ab>0时对称轴在y轴左侧

ab<0时对称轴在y轴右侧