随机变量函数的分布

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随机变量函数的分布

二、连续型随机变量函数的分布 2.分布函数法一般地，若已知X的概率密度为 fX(x),求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)分两个步骤： 10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y); 20 由 fY(y) = F (y) 求出 fY (y)
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
定理设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ，（－∞<x< +∞ ）,又函数y = g(x)处处可导，且严格单调，其反函数为x = h(y )，则Y = g(X)也是一连续型随机变量，且密度函数为
h y f[ h ( y )], y f y Y , 其他 0
计算离散型随机变量函数的分布的方法：首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值
y g ( x )( i 1 ， 2 ， .) i i
如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 Y P y1 p1 y2 p2 … … yi pi … …
如果 yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在
0 , y25 /4 F (y) * 25 /4y9 1, y9
F ( y ) P { Y y } P { X / 4 y }
2
P { X 4 y / }

4 y /

f ( x ) dx X
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
其中， m g ( in{ ), g ( )}, m g ( ax ), g ( )
注意若f(x)在有限区间[a,b]外等于0,则只需设在[a,b] ( x ) 0 [ 或 g ( x ) 0 ]. 上有 g

随机变量的函数的分布

[a, b] 上的反函数. min{g(a), g(b)},
max{g(a), g(b)}
例5：X ~ N (, 2 ),则 Y aX b 也服从正态分布 (a 0)
(x)2
fX (x)
1
e 2 2
2
y ax b 是x的单调函数，它的反函数为x y b ，
§5 随机变量的函数的分布
设X 为一随机变量，y=g(x)为实函数，则Y=g(X)也是随机变量
已知随机变量X 的分布，并且已知
Y gX ，要求随机变量Y 的分布．
一、离散型随机变量函数的分布列的求法
X为离散型，则g（X）也为离散型.
若yk g( xk ) g( x j ),
k j则 Y g(X)取 yk的概率为
P{Y g( X ) yk } P{X xk } P{X xJ } pk p j
例1：X
P
-1
0
1
2
0.2
0.3
0.1
0.4
求Y (X 1)2 1的分布律
解：X取-1，0，1，2时，Y分别取3，0，-1，0
P{Y 3} P{X 1} 0.2
P{Y 0} P{X 0} P{X 2} 0.3 0.4 0.7
U
（2）对FY ( y)关于 y 求导，便得 Y 的概率密度 fY ( y) FY ( y)
x
例 2：
已知
f
X
(
x)
8
0
0 x4 o.w.
求 Y 2X 8 的概率密度
FY ( y) P{Y y} P{2X 8 y}
fY ( y) FY ( y)
f
X
(
y

随机变量函数的分布

则 Y = g (X) 的概率分布为
P Y yk
g ( xi ) y

pi ,(k
1, 2,)
k
5
*例2.25 假设未来一段时间内来到某大型超市的顾客数Ｘ服从泊松分布 P ，而每位顾客购买某种商品的概率为 p ，求购买该种商品的顾客数Ｙ的分布列．解 Y的所有可能取值为0，1，2，…．对于固定的 k 0,1, 2, , 事件 X k , X k 1 , , 是事件 Y k 发生的全部的不同“原因”，因此由全概率公式，
y2 P X 3
y2 3
f X x dx ,
y 2 y 2 1 y 2 fY y FY y f X 3 3 f X 3 3
10
1 , 1 x 1, 注意到 f X x 2 0, 其它
yb a 2 2
2

1 2 a
e
y a b 2 a 2 2
2
, y R.
类似地可得，当a<0时，上述结论仍然成立．
X ~ N , 2 , a , b R , 且a 0, 性质2.6 若则aX b ~ N a b, a 2 2 .
6
P Y k P X i P Y k X i

ik

ik
i
i!
e

C p 1 p
k i k
ik

ik

i
i!
e
k

i! ik k p 1 p k ! i k !

概率论2-5 (1)

2
y
fY
( y)
1
y
e 2, y 0
2 y
0
其它
设X ~ N（0，1），其概率密度为：
x
1
x2 ,
e 2 x
2
则 Y X 2 概率密度函数为：
fY
y
1
2
1 y
y 2e 2 ,
0,
y0 y0
此时称Y服从自由度为1的 2分布,记作 Y ~ 2 1
结论：若 X ~ N 0,1 则 X 2 ~ 2 1
机变量。求Y的分布律.
例:已知
X -1 0
Pk
1 3
1 3
求：Y=X2的分布律
1
Y1 0
1 3
Pk
2 3
1 3
一般地
X
x1
x2 xk
Pk p1
p2 pk
Y=g(X) g(x1) g(x2 ) g(xk )
如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加．
例设随机变量X的分布律为
1、一般方法
(1) 求Y的分布函数 FY(y)
根据分布函数的定义
FY ( y)
P{Y y} P{g(X ) y}
(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
f (x)dx
g ( x) y
fY ( y) (FY ( y)) '
设随机变量X的密度函数为
fX
(x)
x
8
,0
x
4
0, 其它
求随机变量Y=2X+8的概率密度。
2
pk 0.2 0.3 0.4 0.1
解由题设可得如下表格

2.4随机变量函数的分布

P( X
yb
y
a
b
)
a
f X ( x)dx
fY ( y)
1 a
fX (
y
a
b
)
11
(2)
a<0 FY ( y)
P( X
y b) a
yb f X ( x)dx
a
fY ( y)
1 a
f
X
(
y
a
b
)
即
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y a
b)
…(*)
12
对于上例: y=g(x)=ax+b 注意到y=g(x)=ax+b与y=ex都是单调函数
13
定理: 连续型随机变量X的概率密度为 fX(x), x(, +),若y=g(x)为严格单调函数,其反函数x=h(y)连续可导,Y=g(X) 的概率密度为:
fY
(
y
)
f
X
0,
[h(
y)]
|
h(
y
)
|,
y
其它
其中=min{g(),g(+)} =max{g(),g(+)}
14
当fX(x)在有限区间[a,b]之外取值为零时,只需假设在[a,b]上g(x)严格单调,反函数在相应区间可导,则上述定
2.4 随机变量函数的分布
讨论如何根据已知的随机变量X的分布,去求它的函数Y=g(X)的分布
一、离散型随机变量函数的分布
二、连续型随机变量函数的分布
1
问题的提出
在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣. 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，

《概率论与数理统计》第四节随机变量函数的分布

y，
(ln
y)
1， y
故Y的概率密度为：
fY
(
y)
1 2y
,
1
y e2,
0, 其它.
求连续型随机变量函数分布律的方法：
(2) 设y g( x)在区间I（k k 1,2,, s)上严格单调，且反函数分别
为x
hk (
y)，则Y
g( X )的概率密度为： s
fY ( y) f X [hk ( y)] h'k ( y) .
P(Z 1) P( X 1) P( X 1) 0.2 0.1 0.3，
P(Z 4) P( X 2) 0.3，P(Z 9) P( X 3) 0.3，
因此Z的分布律为：
Z P
0 0.1
1 0.3
4 0.3
9 0.3
.
从例1看到，根据X的分布确定Y g( X )分布，只需用“事件相同，概率相等”的思想处理. 一般地有，
h'(
y)
,
y ，
其它.
其中 min{ g(), g()}， max{g(), g()}.
一、分布函数
1. 分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数 x，事件{X x}的
概率P( X x)称为随机变量X的分布函数，记作F( x)，即
F( x) P( X x).
2. 分布函数的性质：
P( X k) k e，k 0，1，2,， 0，则称X服从泊松分布，记k为! ：X～ ( ).
4. 几何分布: 若随机变量X所有可能取值为1, 2, , 且分布律为:
P( X k) pqk1, k 1, 2,, 0 p 1, q 1 p,
则称X服从几何分布，记为：X～G( p).

随机变量的分布函数

A
sin
As

x
x
i nxx
2x
2
x
2A
2
2
2
A
2
求得
A
1 2
,于是f概x率密度12 c函os数x
x
2
2
01
其它
f
x
1 2
cos
x
0
x
2
2
其它
利用分布函数与概率密度函数之间的积分关系,
F x x f t dt ，求分布函数 Fx
当 x 时, F x
x f t dt
=7/30+7/120
例 2.3.4 在一质量均匀的陀螺的圆周上均匀地刻上区间 (0,1]
上诸数字,旋转这陀螺,当它停下时,其圆周与桌面接触点的刻
度 X 是一个随机变量,求 X 的分布函数。
解由陀螺刻度的均匀性，对于区间(0,1]内的任一子区间(a,b] 有 P( a<X≤b) =b-a. 因为，X可能取值为区间(0,1]上所有值，所以，在求X的分布函数时，可将整个数轴分成三个区间来讨论.
x
0dt 0
2
当 x 时，
2
2
F x x f tdt
2 f (t)dt
x
f (t )dt
x
1 2
cos
tdt
1 sinx
2
1 2
2
2
f
第2.3节随机变量的分布函数
一、分布函数
1. 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P{X≤x}, －∞＜x＜＋∞
为随机变量X的分布函数. 任意a<b, P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a);

随机变量的分布函数

-1 0 1 2 3 x
例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.
解：（1）若 x < 0, 则 {X x} 是不可能事件，于是
F (x) P{X x} P() 0.
（3）若 x 2 , 则 {X x} 是必然事件，于是
F (x) P{X x} 1.
0,
F
(x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2,
x 2.
F(x) 1
01 2 3
x
3. 分布函数的性质
分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以看出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：
上的概率.
2. 例子
例 1 设随机变量 X 的分布律为：求 X 的分布函数.
X -1
pk
1 4
23
11 24
解：当 x <-1 时，满足 X x 的 X 的集合为，
F ( x) P{X x} P{} 0.
X
x -1 0 ２３ x
当 1 x 2 时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1,
4.用分布函数计算概率
设 Fx PX x是随机变量 X 的分布函数，则
PX a Fa 0 PX a PX a PX a
F a Fa 0 Pa X b PX b PX a
Fb F a
Pa X b PX b PX a
Fb Fa 0
Pa X b PX b PX a Fb 0 Fa
x
x
2
例 4（续）
解方程组

概率论-随机变量函数的分布

个连续型r.v，它的概率密度为
fY
(
y
)
f
[h(
y)]
dh( y dy
)
,
y
0,
其它
其中， min g(x), max g(x),
a xb
a xb
x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数 .
此定理的证明与前面的解题思路类似
注意利用以上公式直接写出Y g( x) 的概率密度时，要注意两点：
即
z y
FX (z y) fX ( x)dx
于是
FZ (z)
z y
fY ( y)[ f X ( x)dx]dy
fY
(
y)FX
(z
y)dy
将上式两边关于z求导，得
FZ (z) ຫໍສະໝຸດ fZ (z)fY ( y) fX (z y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z) 又可写成
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
y)
fY
(
y)dy
z
1
e
ydy,
0
0 z 1
fZ
(z)
z z 1
fX
(z
y)
fY
(
y)dy
0,
z 1 e ydy, z 1
z 1
其他
1 ez , 0 z 1
(e
1)e
z
,
z 1
0,
其他
f
X
(
x
)
1,
0,
0
x 其它
1 ,
e y , y 0
fY ( y)
0,
其它
方法二
若由卷积公式

随机变量函数的分布

(296)
其中Cx{ t | g(t)x}
而P{XCx}往往可由X的分布函数FX(x)来表达或用其密
度函数fX(x)的积分来表达
P{X Cx} Cx fX (t)dt
进而 Y的密度函数可直接从FY(x)导出
(297)
6
例228 设X是一个连续型随机变量其分布函数F(x)是严格单调递增的则F(X)服从[0 1]上的均匀分布
10
(x)
FY(
x)
1 x
0(
x), x
当x0时
FY (x) P{X 2 x} P{
x
fXY
(x)
xF}Y(2x) 0(
1xx)010(,
x),
0, x 0,
x 0,
x0
(x) P{X 2 x} P{ x X
x X x} 20( x)1
x} 20(
x
) 1 fY (x)
1
e
x 2
§25 随机变量函数的分布
一、随机变量的函数二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布
1
一、随机变量的函数
随机变量的函数
如果存在一个函数g(x) 使得随机变量X Y满足
Yg(X)
(289)
则称随机变量Y是随机变量X的函数
如何从自变量X的统计规律导出其函数Yg(X)的统计规
律呢？
对任意区间(或区间的并)B 令C{x|g(x)B} 则
{YB}{g(X)B}{XC}
(290)
从而
P{YB}P{g(X)B}P{XC}
(291)
(291)说明 X的统计规律确实决定了Y的统计规律
2
例226 设X是一随机变量且YX2 则对任意α0 有

3.4随机变量函数的分布

1, 0 x 1 fX (x) 0, 其它
e y ,
fY
(
y)
0,
y0 其它
求随机变量Z=2X+Y的分布函数与密度函数。 (1) R(Z)=(0，+∞);
(2) 任意取z∈(0，+∞);
FZ (z) P(Z z) P(2X Y z)
当z/2≤1时，
z 2 z2x
FZ (z) f (x, y)dydx
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y b), a
y R(Y );
例3.4.4.(1)设X ~ N (, 2 )，Y aX b(a 0)
求Y的密度函数 fY ( y)；若Y
解：(1).由X的密度f X (x)
X .求Y的分布。
1
e
(
x) 2 2
2
,易知
2
1 yb fY ( y) a fX ( a )
e
z
),
0 z 2
fZ
(z)
1
2
(e2z
ez
),
z
2
0,
其它
3.4.2、随机变量的可加性正态分布的可加性
定理3.5.5
设 X
N
(
1
,
2 1
),
Y
N
(
2
,
2 2
),
且相互独立，则
a b
N (a1
b2
,
a
2
2 1
b2
2 2
)
推广：
设 X i
N
(
i
,
2 i
)(
i

随机变量函数的分布

同理，PZ 4 0.25， Z 9 0.15 P 即Z的概率分布为 Z=X2 P 0 0.20 1 0.40 4 0.25 9 0.15
通过例题可总结出计算离散型随机变量函数的分布的方法：
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第5页
首先将X的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值 yi g ( xi ) (i 1 2， . ) ，如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 Y P y1 p1 y2 p2 … … yi pi … …

y 5 3
f X ( x)dx
y 5 1 3
y 5 0 3
y 5 1 3
0
Y的概率密度函数为

y 5 3 0
2 xdx x
y 5 2 3 0
2 9 ( y 5), 5 y 8, d fY ( y ) FY ( y ) dy 0, 其它.
h y f X [h( y )] , y fY y 0 , 其他
式中 min{g (), g ()}, max{g (), g ()},
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第11页
例4 设X～U(-π /2，π /2)，求Y= sinX的概率密度。 1 , x 解 X的概率密度为 f ( x) 2 2 0 , 其他由于y = sinx在(-π/2,π/2)是 x 的单调可导函数，其反函数x = arcsiny 存在、可导且导数恒不为零。而 h(y)= arcsiny, h’(y)=
1 2 2 f X ( x) e ( x ) 2 由于y=ax+b的反函数x=h(y)=(y-b)/a在(-∞,+∞)上单调、可导，且h’(y)=1/a ，故随机变量Y=aX+b的密度函数为 ( x )2

随机变量的函数的分布

或
f Z (z) f X ( x) fY (z x)d x .
例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
解
由于
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x ,
fY ( y)
1
y2
e 2,
2π
y ,
由公式
fZ (z) f X ( x) fY (z x)d x,
得
fZ (z)
1
x2 ( z x )2
e 2e 2 dx
2π
1
z2
e4
e
x z 2
2
d
x
2π
t xz 2
1
z2
e4
et2 d t
1
z2
e 4.
2π
2π
即 Z 服从 N (0,2) 分布.
说明一般 , 设 X , Y 相互独立且 X ~ N ( μ1,σ12 ), Y ~
1. Z=X+Y 的分布
设( X ,Y )的概率密度为f ( x, y),则Z X Y
的分布函数为
FZ (z) P{Z z} f ( x, y)d x d y
x yz
z y
f (x, y)d x d y
x u y z
f (u y, y)du d y
y x yz
O
随机变量的函数的分布
一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布
一、离散型随机变量的函数的分布
设 f (x) 是定义在随机变量X 的一切可能值 x 的集合上的函数,若随机变量Y 随着 X 取值 x 的值而取 y f ( x) 的值, 则称随机变量Y 为随机变量 X 的函数, 记作Y f (X ).

随机变量的分布函数

求常数a.
答:
−x
1 a= 2
（3） (a ≤ X < b)＝ a p(u)du 的何义 P 几意 ∫
b
(4) 若x是p(x)的连续点，则的连续点，是的连续点
dF(x) = p(x) dx
例2：设随机变量X的分布函数为
1 x 2e F(x) = 1 −x − e 1 2 x <0 x ≥0
− e−λx , x > 0 1 F(x)＝ 0, x ≤ 0
电子元件的寿命X( 例6 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指电子元件的寿命X(年服从参数为3 数分布. 数分布. (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。求该电子元件寿命超过 (2)已知该电子元件已使用了1.5年 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能已知该电子元件已使用了1.5 使用两年的概率为多少？使用两年的概率为多少？解:
反之，任一满足上述四个性质的二元反之，函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变 Y)的分布函数的分布函数。量(X, Y)的分布函数。
例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为已知二维随机变量
x y F(x, y) = A[B + arctg( )][C + arctg( )] 2 3
上服从均匀分布，例 5 ：设 K 在（ 0 ，5 ）上服从均匀分布， 2 求方程 4x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。
p(x)
2. 指数分布
λe−λx , x > 0 若 X～ p(x)＝～ 0, x ≤ 0

随机变量函数分布

随机变量函数分布随机变量函数分布是概率论中的重要概念，它描述了一个随机变量经过函数转换后的分布情况。

在实际问题中，我们常常需要通过随机变量的函数来描述某种现象的规律或特性。

本文将介绍随机变量函数分布的基本概念和常见的分布形式。

一、随机变量函数分布的定义随机变量函数分布指的是一个随机变量经过某种函数转换后的概率分布情况。

在数学上，对于一个随机变量X和一个函数Y=f(X)，我们可以描述函数Y的概率分布，也就是Y的取值在各个区间内的概率。

通常情况下，我们可以通过概率密度函数或累积分布函数来描述随机变量函数分布。

二、常见的随机变量函数分布形式1. 线性变换最简单的随机变量函数分布形式就是线性变换。

设X是一个随机变量，Y=aX+b是X的线性变换，其中a和b为常数。

如果知道X的分布情况，就可以通过线性变换得到Y的分布。

具体地，如果X服从均匀分布，则Y也会服从均匀分布。

2. 指数变换指数变换是常用的随机变量函数形式之一。

如果X服从指数分布，经过指数变换Y=e^X后，Y会服从对数正态分布。

指数变换在描述某些事件的时间间隔时非常有用，比如描述两次地震事件之间的时间间隔。

3. 幂变换幂变换是一种常见的函数形式，如果X服从正态分布，Y=X^2后，Y会服从卡方分布。

幂变换在统计学中的应用非常广泛，比如方差分析和回归分析中就经常用到幂变换来处理数据。

三、实际应用举例在实际问题中，随机变量函数分布具有广泛的应用。

比如在金融领域中，可以通过随机变量函数分布来描述股票价格的涨跌情况，进而进行风险管理和投资决策。

在生物学领域中，可以通过随机变量函数分布来描述基因的变异情况，进而研究遗传特性。

总的来说，随机变量函数分布是概率论中一个重要的概念，它通过函数转换描述了随机变量的特性和规律。

通过研究随机变量函数分布，我们可以更好地理解现实世界中复杂的随机变量关系，从而进行更加精确的建模和分析。

随机变量函数的分布

1 1 2
三、连续型随机变量函数的分布一般地，连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量，但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形，此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数，而且还希望求出其概率密度函数. 设已知 X 的分布函数 FX ( x ) 或概率密度函数 f X ( x ), 则随机变量函数 Y g( X ) 的分布函数
1 y b fX ( ). k k
例
设X ~ N ( , 2 ), Y aX b,(a, b为常数, 且a 0), 则Y ~ N (a b, a 2 2 ).
f X ( x)
1 2
1
e

( x )2 2 2
,( x )
1 2 a
2
P{Y x } P{ X 2 x } P{ X x } P{ X x }.
完
二、离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量，其概率分布已知。 Y g( X )为X的函数.
若X 为D.r .v.
问题
Y g( X ) 为D.r .v .
如何根据随机变量 X 的分布求得随机变量 Y g( X )的分布 ?
一、随机变量的函数主要我们讨论变量间的函数关系时，在微积分中，注：研究函数关系的确定性特征，例如：导数、积分等. 而在概率论中，我们主要研究的是随机变量函数的随机
即由自变量 X 的统计规律性出发研究因变量 Y 特征，
的统计性规律. 一般地，对任意区间 I , 令 C { x | g( x ) I }, 则
( y ( a b ))2 2 a 2 2
1 yb 1 fY ( y ) fX ( ) k k a