§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT.

《信号与系统》
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三、离散时间傅里叶变换的基本性质
1、周期性 X (e j ) X (e j(2) )
即序列是时域离散的，其离散时间傅里叶变换是以2π为周期的 周期信号。注意，连续时间周期信号，其连续时间傅里叶变换是离 散的。
例如：单边指数序列
X
(e
j )
DTFT{anu(n)}
2、双边指数序列 x(n) a n
a 1
于是 其中
X (e j)
x(n)e jn
1
a ne jn a ne jn
n
n
n0
1
ae j
ane jn ane jn
n
n 1
1 ae j
所以
X (e j )
ae j 1 ae j
1
1 ae j
1 a2 1 2a cos a2
3、矩形窗序列 x(n) RN (n) u(n) u(n N )
X (z)zn1dz
1
X (e j)e j(n1)de j
2j z 1
2j
记为
1
X (e j)e j(n1) je jd
1
X (e j)e jnd
2j
2
x(n) IDTFT{X (e j)}
1
X (e j)e jnd
2
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于是，我们得到一对变换关系：
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§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
一、离散时间傅里叶变换的定义
设离散时间序列x(n)的z变换
X (z) x(n)zn n
单位圆被包含在它的收敛域之内。于是
X (e j ) X (z) |ze j
x(n)e jn
n
定义为序列x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）。记为
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二、离散时间傅里叶变换的举例
x(n)
1、单边指数序列 x(n) anu(n)
a 1
a0
于是
0 1 2 3 45 n
X (e j ) x(n)e jn
n
a ne jn
n0
1 1 ae j
x(n)
a0
即
a
nu(n)
N 5
3 21 1 2 3 n
0
2
RN
(n
N 1) DTFT 2
sin( N ) 2
s in( )
X (e j )
N 5
2
0
2
因为，此时序列是一偶对称信号，
与连续时间傅氏变换相同，其变换应是
()
纯实函数。变换的波形如图所示。
离散时间信号的傅立叶变换是以2π
0
2
为周期的连续函数，其幅度函数的波形
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记为
X (e j ) DTFT {x(n)} x(n)e jn -------DTFT变换式 n
x(n) IDTFT{X (e j)} 1
X (e j)e jnd
-------DTFT反变换式
2
x(n) DTFT X (e j )
由以上反变换式可见，DTFT是将序列x(n)分解为不同角频率ω 的复指数序列ejωn的组合，X(ejω)是不同分量的复振幅的相对大小， 习惯上，称X(ejω)是序列x(n)的频谱。
是以π偶对称的，相位函数是奇对称的。
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x(n) R4 (n) 1
0 1 2 3 45 n
N
sin( 2
)
j N 1
e2
X (e j ) e j()
sin( )
2Fra Baidu bibliotek
X (e j )
N4
sin( N )
X (e j )
2
sin( )
2
0
2
()
()
N 1 2
argsisninN2
2
3 4
0
2
3 4
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则RN(n)左移(N-1)/2后，是一个偶对称的序列, 根据时移性
x(n N 1)
1
2
3 21 1 2 3 n
RN (n
N 1) DTFT 2
sin( N ) 2
s in( )
2
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x(n N 1)
1
2
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X (e j )
1
1 ae
j
1
1
1
1 ae j 1 ae j(2) 1 ae je j2
2、线性 设 xi (n) DTFT X i (e j )
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则
Ci xi (n) DTFT Ci X i (e j )
i
i
例如：双边指数序列 x(n) anu(n 1) anu(n)
N 1
X (e j ) x(n)e jn e jn
n
n0
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x(n) R4 (n) 1
0 1 2 3 45 n
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X
(e
j )
1 e jN 1 e j
(e jN / 2 e jN / 2 )e jN / 2 (e j/ 2 e )e j/ 2 j/ 2
DTFT
1
1 ae
j
0
1 35 24
n
以上序列的z变换为 1
X (z) 1 az1
za
当|a|<1，单位圆被包含在收敛域中，所以
X (e j)
X (z) ze j
1 1 ae j
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j Im{z} a 1 Re{z}
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例如：设矩形窗序列RN(n)的宽度N为奇数，
x(n) R5 (n)
X (e j )
N 5
1
我们已知
0 1 2 3 45 n
RN
(n)
DTFT
sin( N 2
s in( )
)
e
j
N 1 2
2
0
2
()
4 5
0
2
4 5
X (e j ) DTFT {x(n)} x(n)e jn n
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由离散时间序列x(n)的反z变换
x(n) 1 X (z)zn1dz 2j C
由于单位圆在X(z)的收敛域之内，以上围线积分可沿单位圆上进行。
于是
x(n) 1
a 1
则 X (e j ) DTFT {anu(n 1)} DTFT {anu(n)}
ae j 1 ae j
1
1 ae j
1
1 a2 2a cos
a2
3、时移与频移性
设 则有
x(n) DTFT X (e j ) x(n m) DTFT X (e j )e jm
x(n)e j0n DTFT X (e j(0 ) )