暨南大学810高等代数专业课考研真题(2020年)
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考试科目名称及代码：810 高等代数（B 卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
1. （10 分）证明：如果 x2 + x +1| f1(x3) + xf2 (x3) ，则 (x −1) | f1(x) ， (x −1) | f2 (x) 。
1 2 3 n −1 n
考试科目：
共 2 页，第 1 页
第 1／2页
全国高校自命题专业课考研真题（原版试题）
6. （15 分）设 AT = A ，证明 A 可逆当且仅当存在矩阵 B ，使得 AB + B T A 正定。
1 7. （15 分）设矩阵 A = 1
1 1
1 1
，求正交矩阵 T
，使 T
−1 AT
为对角形。
1 1 1
1 − 2 −1 8. （15 分）求矩阵 A = − 2 4 2 的初等因子与若尔当典范形。
3 − 6 − 3
9.
（20
分）记V
=
a c
b d
a,b ∈C,
a
+
d
=
0 ，对任一
A∈V
，定义V
上的线性变
换T
为：对任意
X
∈V
，T(X
)=AX
−
XA 。假设
A=
1 0
−01 。试求：T 的所有特征
x2 x2 +
+ 6 x3
2 x3 + 3x4
− −
x4 4 x5
= 1 = 8 。
2x1 + 4x2 − 2x3 + 4x4 − 7x5 = 9
4. （15 分）设 A, B 为 n 阶方阵，证明：
rank(A + B) ≤ rank(A B) ≤ rank(A)+ rank(B)。
5. （15 分）设向量组α1,α2 ,,αm 线性无关，向量组α1,α2,,αm , β 线性相关。证 明： β 可以由向量组α1,α2,,αm 线性表示。
坚持不懈 值以及与这些特征值相对应的特征向量。
10. （20 分）设 A 、 B 是 n × n 矩阵，且 A2 = B2 = E （ E 是 n 阶单位矩阵），且
A + B = 0 ，证明： A + B 不是可逆矩阵。
考试科目：
第 2／2页
共 2 页，第 2 页
全国高校自命题专业课考研真题（原版试题）
2020 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
********************************************************************************************
招生专业与代码：070101 基础数学、070102 计算数学、070103 概率论与数理统计、070104 应用数学、070105 运筹学与控制论
2 3 4 n 1
2. （10 分）计算 n 阶行列式 3 4 5 1
2 。
n −1 n 1 n −3 n − 2
坚持不懈 n 1 2 n−2 n−1
3. （15 分）求下列线性方程组的全部解,并写出对应齐次方程组的基础解系
x1 + x2 − 3x4 − x5 = 2
Fra Baidu bibliotek
x1 4 x1
− −2
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
1. （10 分）证明：如果 x2 + x +1| f1(x3) + xf2 (x3) ，则 (x −1) | f1(x) ， (x −1) | f2 (x) 。
1 2 3 n −1 n
考试科目：
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全国高校自命题专业课考研真题（原版试题）
6. （15 分）设 AT = A ，证明 A 可逆当且仅当存在矩阵 B ，使得 AB + B T A 正定。
1 7. （15 分）设矩阵 A = 1
1 1
1 1
，求正交矩阵 T
，使 T
−1 AT
为对角形。
1 1 1
1 − 2 −1 8. （15 分）求矩阵 A = − 2 4 2 的初等因子与若尔当典范形。
3 − 6 − 3
9.
（20
分）记V
=
a c
b d
a,b ∈C,
a
+
d
=
0 ，对任一
A∈V
，定义V
上的线性变
换T
为：对任意
X
∈V
，T(X
)=AX
−
XA 。假设
A=
1 0
−01 。试求：T 的所有特征
x2 x2 +
+ 6 x3
2 x3 + 3x4
− −
x4 4 x5
= 1 = 8 。
2x1 + 4x2 − 2x3 + 4x4 − 7x5 = 9
4. （15 分）设 A, B 为 n 阶方阵，证明：
rank(A + B) ≤ rank(A B) ≤ rank(A)+ rank(B)。
5. （15 分）设向量组α1,α2 ,,αm 线性无关，向量组α1,α2,,αm , β 线性相关。证 明： β 可以由向量组α1,α2,,αm 线性表示。
坚持不懈 值以及与这些特征值相对应的特征向量。
10. （20 分）设 A 、 B 是 n × n 矩阵，且 A2 = B2 = E （ E 是 n 阶单位矩阵），且
A + B = 0 ，证明： A + B 不是可逆矩阵。
考试科目：
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全国高校自命题专业课考研真题（原版试题）
2020 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：070101 基础数学、070102 计算数学、070103 概率论与数理统计、070104 应用数学、070105 运筹学与控制论
2 3 4 n 1
2. （10 分）计算 n 阶行列式 3 4 5 1
2 。
n −1 n 1 n −3 n − 2
坚持不懈 n 1 2 n−2 n−1
3. （15 分）求下列线性方程组的全部解,并写出对应齐次方程组的基础解系
x1 + x2 − 3x4 − x5 = 2
Fra Baidu bibliotek
x1 4 x1
− −2