2017年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷(理科)
大连市2017届高三第一次模拟考试理数试题 含解析
辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试理数试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。
已知复数12z i =+，则z z =（ )A ．5B ．54i +C ． —3D ．34i - 【答案】A2.已知集合2{|230}A x xx =--<，1{|0}xB x x -=<，则A B =（)A ．{|13}x x <<B ．{|13}x x -<<C ．{|1003}x x x -<<<<或D ．{|103}x x x -<<<<或1 【答案】D 【解析】,所以,选D 。
3.设,a b 均为实数,则“||a b >”是“33a b >”的（）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，所以充分性成立;,所以必要性不成立，因此选A. 4。
若点P 为抛物线21:2C x y=上的动点,F为抛物线C 的焦点，则||PF 的最小值为（ ） A ． 2 B ．12C. 14D ．18【答案】D【解析】由抛物线定义得 ，所以的最小值为 选D.5。
已知数列{}na 满足12n n aa +-=,15a =-，则126||||||a a a +++=（）A ． 9 B15． C. 18 D ．30 【答案】C【解析】由题意得数列为等差数列，,因此选C.6.在平面内的动点(,)x y 满足不等式30100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值是（ ）A ． 6B ．4C 。
2D ．0 【答案】A7。
某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ． 4B ．73C 。
43D ．83【答案】D【解析】几何体为一个四棱锥，其中高为2,底面为边长为2的正方形,因此体积为，选D。
【全国市级联考】辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试理数(原卷版)
辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12z i =+，则z z =（ ）A ．5B ．54i +C ． -3D ．34i -2.已知集合2{|230}A x x x =--<，1{|0}xB x x -=<，则A B =（ ）A ．{|13}x x <<B ．{|13}x x -<<C ．{|1003}x x x -<<<<或D ．{|103}x x x -<<<<或13.设,a b 均为实数，则“||a b >”是“33a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件4.若点P 为抛物线21:2C x y =上的动点，F 为抛物线C 的焦点，则||PF 的最小值为（）A ． 2B ．12 C. 14 D ．185.已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，15a =-，则126||||||a a a +++=（ ）A ． 9 B15． C. 18 D ．306.在平面内的动点(,)x y 满足不等式30100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ． 6B ．4 C. 2 D ．07.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ． 4B ．73 C. 43 D ．838.将一枚硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于1516，则n 的最小值为（ ） A ． 4 B ．5 C. 6 D ．79.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A ．118B ．54 C. 32 D ．231610.若方程2sin(2)6x m π+=在[0,]2x π∈上有两个不相等的实数解12,x x ，则12x x +=（ ） A ．2π B ．4π C. 3π D ．23π 11.已知向量(3,1)OA =，(1,3)OB =-，OC mOA nOB =-(0,0)m n >>，若[1,2]m n +∈，则||OC 的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知定义在R 上的函数2()(0)x f x e mx m m =+->，当121x x +=时，不等式12()(0)()(1)f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C. 1(,1)2D ．(1,)+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有 种不同的分法（用数字作答）．14.函数()sin x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程是 ．15.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数是 ．16.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于,A B 两点，若2BF FA =，则双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知点P ，(cos ,sin )Q x x ，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =∙.（1）求函数()f x 的最小值及此时x 的值；（2）若A 为ABC ∆的内角，()4f A =，3BC =，求ABC ∆的周长的最大值.18. 某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD AP =，E 为棱PD 中点.（1）求证：PD ⊥平面ABE ；（2）若F 为AB 中点，(01)PM PC λλ=<<，试确定λ的值，使二面角P FM B --的余弦值为.20. 已知点P 是长轴长为的椭圆Q ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，点M 为线段PA 的中点，且直线PA 与OM 的斜率之积恒为12-. （1）求椭圆Q 的方程；（2）设过左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,C D 两点，线段CD 的垂直平分线与x 轴交于点G ，点G 横坐标的取值范围是1[,0)4-，求||CD 的最小值. 21. 已知函数2()(2)(2)x f x x e a x =-++(0)x >.（1）若()f x 是(0,)+∞的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）当1(0,)4a ∈时，求证：函数()f x 有最小值，并求函数()f x 最小值的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）. （1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()|||2|f x x a x b =++-的最小值为1.（1）求证：22a b +=；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.。
2017届高三模拟考试(数学理)(含答案)word版
大连市第二十四中学 2017年高三模拟考试卷数 学 试 题（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ） A ．3B ．1C ．-3D ．1或-32．已知{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28cos()a a +的值为（ ）A ．12-B．C ．12D3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．41π+ B ．413π+C ．483π+D ．48π+4．双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方 程为y x =-，则双曲线的方程为 （ ）A ．22160y x -=B ．2296x y -=C ．2280x y -=D ．2224y x -=5．已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，若l 上一点C 满足2c o s c o s O C O A O B θθ=+ ，则246sin sin sin sin θθθθ+++的最大值是（ ）ABCD6．设O 为坐标原点，点A （1，1），若点(,)B x y 满足222210,12,12,x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则OA OB⋅ 取得最小值时，点B 的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．无数7．我校某班有3男2女五位同学均获2011年交大、同济、复旦三校的保送资格，那么恰有2男1女三位同学保送交大的概率是 （ ）A ．881B ．281C ．24125D ．61258．已知函数2()f x x bx =+图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2011S 的值为（ ）A ．20122013B ．20112012C ．20092010D ．201020119．已知函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且(1)2,(2011)f f =则=（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-310．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得1144,a m n=+则的最小值为（ ）A ．32 B ．53C ．94D ．不存在11．有下列结论：（1）命题2:,0p x R x ∀∈>总成立，则命题2:,0p x R x ⌝∀∈≤总成立。
辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试理数试题Word版含答案
大连市2017年高三第一次模拟考试
数学（理科）能力测试
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有- 项是符合题目要求的•
1•已知复数z =1 2i，则Zz=（）
A. 5
B. 5 4i
C. -3
D. 3 - 4i
1 x
2•已知集合A={X|X2-2x-3 ：：0} , B ={x| 0}，则A B=（）
x
A. {x |1 ：：x ：：3}
B. {x | —1 ：：x ：：3}
C. {x | —1 ：：x ：：0或0 x 3} D . {x|「1 ：：x 0或1 ：：x 3}
3•设a,b均为实数，则“ a・|b|”是“ a3 b3”的（）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C.充要条件 D .既不充分也不必要条件
2 1
4•若点P为抛物线C:x y上的动点，F为抛物线C的焦点，则| PF |的最小值为
2
( )
1 1 1
A . 2
B .— c.— D .-
2 4 8
5•已知数列{a n}满足a n 1 - a n =2, a i =-5，则|a | 伦| …$ |二()
A . 9 B15 .C・18 D . 30
x y -3 _0
I『
6•在平面内的动点（x,y）满足不等式x-y，1—0，贝V z=2x，y的最大值是（
）
［八0
C. 2
7•某几何体的三视图如图所示，则其体积为（。
【辽宁省大连】2017届高三第一次模拟考试理科数学年试题
17．解：（1）∵(3,1)OP=，(3cos ,1sin )QP x x =-， ∴π()31sin 42sin()f x x x x =+-=-+，（2）∵()=4f A ，∴3A =， 又∵3BC =，∴2222π2cos3a b c bc =+-，∴29()b c bc =+-． 2()4b c bc +≤，∴23()94b c +≤， ∴b c +=，当且仅当=b c 取等号，18．（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1，2，3，1242361(1)5C C P X C ===；2142363(2)5C C P X C ===；3242361(3)5C C P X C ===．所以X 的分布列为()326E X =⨯=或()2555E X =++=． 19．解：（1）证明：∵PA ABCD ⊥底面，AB ABCD ⊂底面，∴PA AB ⊥， 又∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥，PA AD A =，PA PAD ⊂平面，AD PAD ⊂平面， ∴AB PAD ⊥平面，又PD PAD ⊂平面，∴AB PD ⊥，AD AP =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，AE AB A =，AE ABE ⊂平面，AB ABE ⊂平面，∴PD ABE ⊥平面．（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PC =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ-设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⎪⎨⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- 设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⎪⎨⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- |cos ,|||||||||6m n m n m n <>===，解得12λ=． 20．解：（1）∵椭圆Q 的长轴长为a =设00(,)P x y ，∵直线P A 与OM 的斜率之积恒为12-00122y =-， ∴22001x y +=，∴1b =，（2）设直线l 方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入2212x y +=有2222(12)4220k x k x k +++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点00(,)N x y ， ∴21224()12k x x k +=-+，21222212k x x k-=+． ∴2012212()212k x x x k =+=-+，002(1)12k y k x k =+=+ ∴CD 的垂直平分线方程为001()y y x x k -=--， 令0y =，得00211242G x x ky k =+=-++ ∵1[,0)4G x ∈-，∴21114242k -≤-++，∴2102k <≤． 421164(2|||k CD x x -=-=2112[+]22(21)2k =≥+，21．解：（1）()e (2)e 24x x f x x ax a '=+-++∵函数()f x 在区间(0)+∞，上单调递增， ∴()f x '在(0)+∞，上恒成立． ∴e (2)e 240x xx ax a +-++≥，∴(1)e 24xx a x -≥+， 令(1)e ()24x x g x x -=+，222[(1)e e ](24)2(1)e e (222)()0(24)(24)x x x x x x x x x g x x x --+-----'==<++， ∴1()(0)4g x g <=，∴14a ≥． （2）[()]e 20x f x x a ''=+>∴=()y f x '在(0)+∞，上单调递增 又(0)=410f a '-<，(1)=60f a '>∴存在(,1)t ∈0使()=0f t '∴(0,)x t ∈时，()0f x '<，(0,)x t ∈时，()0f x '>当=x t 时，2min ()=()=(2)e +(2)t f x f t t a t -+且有()=e (1)+2(2)0tf t t a t '-+=，∴e (1)=2(2)t t a t -+．由（1）知e (1)=()=2(2)t t a g t t -+在(0,)t ∈+∞上单调递减， 1(0)=4g ，(1)=0g ，且104a <<，∴(0,1)t ∈． ∴22min e (1)(2)()=()=(2)e +(2)e 2(2)2t tt t t t f x f t t t t --+--+=+， 2e ()=(1)02tf t t t '---<， ∴(1)()(0)f f t f <<，e ()1f t -<<-，∴()f x 的最小值的取值范围是(e,1)--．22．解：（1）由1C ：2240x y x +-=，l ：230x y +-=．（2）π)4P ，直角坐标为(2,2)， (2cos ,sin α)Q α，1(1cos ,1sin )2M αα++，l ：230x y +-=．∵|||||()()|222x a x x a x a ++-≥+--=+且||02x -≥， ∴()2b f x a ≥+，当2b x =时取等号，即()f x 的最小值为2b a +， ∴12b a +=，22a b +=． 法二：∵2b a -<，∴3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩， 显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b +∞上单调递增，∴()f x 的最小值为()22bb f a =+， ∴12b a +=，22a b +=． （2）∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab+≥恒成立， 21212112219()(2)(14)(14)2222a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++≥++= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92．。
辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试理数试题
辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12z i =+，则z z =（ ）A ．5B ．54i +C ． -3D ．34i -【答案】A2.已知集合2{|230}A x x x =--<，1{|0}x B x x-=<，则A B =（ ） A ．{|13}x x << B ．{|13}x x -<<C ．{|1003}x x x -<<<<或D ．{|103}x x x -<<<<或1【答案】D【解析】错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
,选D.3.设,a b 均为实数，则“||a b >”是“33a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】错误！未找到引用源。
,所以充分性成立;错误！未找到引用源。
,所以必要性不成立,因此选A. 4.若点P 为抛物线21:2C x y =上的动点，F 为抛物线C 的焦点，则||PF 的最小值为（ ） A ． 2 B ．12 C. 14D ．18 【答案】D【解析】由抛物线定义得错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
的最小值为错误！未找到引用源。
选D.5.已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，15a =-，则126||||||a a a +++=（ ）A ． 9 B15． C. 18 D ．30【答案】C【解析】由题意得数列错误！未找到引用源。
为等差数列,错误！未找到引用源。
,因此错误！未找到引用源。
选C. 6.在平面内的动点(,)x y 满足不等式30100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ． 6B ．4 C. 2 D ．0【答案】A7.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ． 4B ．73 C. 43 D ．83 【答案】D【解析】几何体为一个四棱锥,其中高为2,底面为边长为2的正方形,因此体积为错误！未找到引用源。
【辽宁省大连市】2017届高三3月双基测试数学(理科)试卷-答案
设点 处切线 的倾斜角为 ，
由 斜率范围 ，可得 ，
而 ，∴ ，
∴ ，
所以，点 横坐标的取值范围是 ．
23．解：（Ⅰ） ，
解得 ．
（Ⅱ）当 时， ， ；
当 时， ， ，
∴不等式解集为 ．
辽宁省大连市2017届高三3月双基测试数学（理科）试卷
答案
一、选择题
1~5．CBDCB6~10．CADAD11~12．BA
二、填空题
13．
14．36
15．
16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由已知得： ，
由正弦定理得： ，
由余弦定理可得： ．
， ．
（Ⅱ）解法一： ，
其中 ，
∵ 的图像关于直线 对称，
∴ ，
∵ ，∴ 代入①式得 ．
21．解：
（Ⅰ） 的焦点为 ，
∴ ．
又 ，
∴ ， ．
∴椭圆E的方程为 ．
（Ⅱ）由题意， 存在且不为零，设直线 方程为 ，
联立方程组 消元得
∴ ， ，
= ，
∵ 为定值∴ ，即 ∴
∵ ，∴ ．
∴ ，
同理 ，
．
22．解：（Ⅰ）由 ，得 ，
设 ， ，则 ，即 ，
代入 ，
得 ，∴ ；
（不写 累计扣1分）
所以， ，所以二面角正弦值 ．
20.解：（Ⅰ） ，
∵函数 在区间 上单调递增，∴ 在 上恒成立，∴ ，
即 在 上恒成立，
∵ ，∴ ，∴ ，取等号条件为当且仅当 ，
∴ ，∴ ．
（Ⅱ）设切点为 ，则 ， ， ，
∴ ①且 ②
由①得 代入②得
即 ，
令 ，则 ，
∵ 的 ，
辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试理数试题Word版含答案
大连市 2017 年高三第一次模拟考试数学（理科）能力测试第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知复数 z 1 2i ，则 z z（ ）A ． 5B ． 5 4iC ． -3D ． 3 4i2.已知会合 A{ x | x22x 3 0}， B{ x |1x 0}，则 AB （）xA ． { x |1 x 3}B ． { x | 1 x 3}C ． { x | 1 x 0或 0x 3} D ． { x | 1 x 0或1 x 3}3.设 a, b 均为实数，则“ a | b |”是“ a 3b 3 ”的（）A ．充足不用要条件B ． 必需不充足条件C ．充要条件D ． 既不充足也不用要条件4.若点 P 为抛物线 C : x21y 上的动点， F 为抛物线 C 的焦点，则 | PF |的最小值为2（ ）A ． 2 1C.1D ．1B ．4825.已知数列 { a n } 知足 a n 1a n 2 ， a 15 ，则 | a 1 | | a 2 || a 6 | （）A ． 9B15 ．C.18D ． 30x y 3 06.在平面内的动点 ( x, y) 知足不等式x y 1 0 ，则 z 2 xy 的最大值是（）y 0A ． 6B ． 4C. 2D ． 07.某几何体的三视图以下图，则其体积为（）A ． 47 4 8B ．C.D ．33315，则 n 的最小值8.将一枚硬币连续投掷n 次，若使得起码有一次正面向上的概率不小于16为（ ）A ． 4B ． 5C. 6 D ． 79.运转以下图的程序框图，则输出结果为（）115 C.323A ．B ．2D ．841610.若方程 2sin(2 x)m 在 x [0, ] 上有两个不相等的实数解 x 1 , x 2 ，则 x 1 x 26 2（ ）A ．B ． C.23D ．24311.已知向量 OA (3,1) ， OB ( 1,3) ， OC mOA nOB (m 0, n 0) ，若m n[1,2] ，则 |OC | 的取值范围是（）A ． [5,2 5] B ． [ 5,2 10) C. (5, 10)D ． [ 5,2 10]12.已知定义在 R 上的函数 f ( x)e x mx 2 m(m 0) ，当 x 1 x 2 1 时，不等式f ( x1 ) f (0) f ( x2 ) f (1) 恒成立，则实数x1的取值范围是（）A ．( ,0) B．(0,1) C. (1,1) D．(1, ) 2 2第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.现将 5 张连号的电影票分给甲乙等 5 个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不一样的分法（用数字作答）．14.函数f ( x) e x sin x 的图象在点(0, f (0))处的切线方程是．15.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”假如此物数目在100 至 200 之间，那么这个数是．x2 y21(a 0, b 0) 的焦点 F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线16.过双曲线b2a2订交于 A, B 两点，若 BF 2FA ，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知点P( 3,1) ，Q(cos x,sin x)，O为坐标原点，函数 f ( x) OP QP.（1）求函数f (x)的最小值及此时x的值；（2）若A为ABC 的内角， f ( A) 4，BC 3，求ABC 的周长的最大值.18.某手机厂商推出一次智好手机，现对 500 名该手机使用者（ 200 名女性， 300 名男性）进行检查，敌手机进行打分，打分的频数散布表以下：（1）达成以下频次散布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算详细值，给出结论即可）；（2）依据评分的不一样，运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，在这20 名用户中，从评分不低于80 分的用户中随意取 3 名用户，求 3 名用户评分小于90 分的人数的散布列和期望.19. 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA底面ABCD，AD AP ，E为棱 PD中点.（1）求证：PD 平面 ABE ；（2）若F为AB中点，PM PC(0 1)，试确立的值，使二面角 P FM B 的余弦值为3. 320. 已知点P是长轴长为2 2x2 y21(a b 0) 上异于极点的一个动点，的椭圆 Q：b2a2O 为坐标原点， A 为椭圆的右极点，点M 为线段 PA 的中点，且直线 PA 与 OM 的斜率之积恒为1 . 2（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C , D两点，线段CD的垂直均分线与 x 轴交于点G，点G横坐标的取值范围是[ 1,0) ，求 | CD |的最小值. 421. 已知函数f ( x) (x 2)e x a( x 2)2 (x 0) .（1）若f ( x)是(0,)的单一递加函数，务实数 a 的取值范围；（2）当a1) 时，求证：函数 f (x) 有最小值，并求函数 f ( x) 最小值的取值范围. (0,4请考生在22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，成立极坐标x2 5t 15系，曲线 C1的极坐标方程为4cos ，直线 l 的参数方程为（ t 为参数）.5 ty 15（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l 的一般方程；（2）若曲线C2的参数方程为x 2cos，Q 为y sin（为参数），曲线 C1上点P的极角为4曲线 C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值. 23.选修 4-5：不等式选讲已知 a 0, b 0 ，函数 f ( x) | x a | | 2x b | 的最小值为 1. （1）求证：2a b 2 ；（2）若a 2b tab 恒成立，务实数t的最大值.2017 年大连市高三一模测试数学（理科）参照答案与评分标准一．选择题（1）A ；（ 2）D ；（ 3）A ；（ 4）D；（ 5）C；（ 6）A ；（ 7）D ；（ 8）A ；（9）B ；（ 10） C；（ 11）B；（ 12）D ．二.填空题（13） 48；（ 14）y x ；（15） 128 ；（16）23 ．3三.解答题（17）解：（ I ）∵OP ( 3,1),QP ( 3 cos x,1 sin x) ，∴ f (x) 3 3 cos x 1 sin x 4 2sin( x ) ，3∴当 x62k (k Z ) 时， f (x) 获得最小值2．(2) ∵f ( A)=4，∴A 2，32又∵ BC 3，∴ a2 b2 c2 2bc cos ，∴ 9 (b c)2 bc．3(b c)2 3(b c) 29 ，．bc4 ，∴ 4∴ b c 2 3 ，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为 3 23.(18)解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频次散布直方图分别以下左、右图：由图可得女性用户的颠簸小，男性用户的颠簸大.（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，此中评分小于90 分的人数为 4 ，从 6 人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X ，则 X 取值为 1,2,3 ，P( XC 41C 22 1 2)C 42 C 21 3 C 43C 22 11)； P(XC 63； P(X 3)C 63.C 63555因此 X 的散布列为X123P131555EX43 2或EX1 6 32.65 5 5(19)解： (I) 证明：∵ PA 底面 ABCD ， AB 底面 ABCD ，∴ PA AB ，又∵底面 ABCD 为矩形，∴ AB AD ，PAAD A ， PA平面 PAD ， AD 平面PAD ，∴ AB 平面 PAD ，又 PD 平面 PAD ，∴ AB PD ，AD AP ，E 为PD 中点，∴ AEPD ，AE ABA ，AE 平面 ABE ， AB 平面 ABE ，∴ PD平面 ABE .(II) 以 A 为原点，以 AB, AD, AP 为 x, y, z 轴正方向，成立空间直角坐标系 ABDP ，令|AB| 2 ，则 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， P(0,0,2) ， C (2,2,0) ， E(0,1,1)， F (1,0,0) ， PF(1,0, 2) ，PC (2,2, 2)，PM (2 ,2 , 2 )，M(2 ,2 ,2 2 )设平面 PFM 的法向量 m ( x1 , y1, z1 ) ，m PF =0 x 2z 0，即2 x 2，m PM =0 y 2 z 0m (2, 1,1)设平面 BFM 的法向量n ( x2 , y2 , z2 ) ，n BF =0，n FM =0x 0， n (0, 1, )即1 x2 y 22 2 z 0m n 1 3 1| cos m,n |2 2，解得.| m || n |6 1 3 2 (20)解：（Ⅰ）∵椭圆 Q 的长轴长为 2 2 ，∴ a 2 ．设 P( x0 , y0 ) ，y0∵直线 PA 与 OM 的斜率之积恒为 1 ，∴ 2 y0 1 ，2 x0 2 x0 222∴x02 2，∴ b 1，y02 1故椭圆的方程为x2 y 2 1.2(Ⅱ ) 设直线 l 方程为y (k x1 ) (k ，代入x2 y2 1 有2(1 2k 2 ) x2 4k 2 x 2k2 2 0 ，设 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，AB中点 N ( x0 , y0 ) ，∴ (x14k22, x1x22k 2 2 x2 )2k 1 2k2.1∴ x0 1 2k 2, y0 k ( x0 1)k ( x1 x2 )1 2k22k2 2 1∴ CD 的垂直均分线方程为y y0 1( x x0 ) ，k令 y 0 ，得 x G x0 ky0 1 12 4k 2 2∵ x G [ 1,0) ，∴ 1 1 1 ，∴ 0 k 2 1 ．4 4 2 4k2 2 2|CD| 1 k2 | x2 x1 | 1 k 2 16k 4 4(2k2 1)(2k 2 2)2k 2 12 2[1+ 1 ] 3 2 ，2 2(2k 2 1) 2| CD |min 3 2．2(21)解：（Ⅰ） f x e x (x 2)e x 2ax 4a∵函数（f （ 0，+ ）x) 在区间上单一递加，f x 0在（ 0，+ ）上恒成立 . ∴e x (x 2)e x 2ax 4a 0 ，∴ a (1 x) e x ，2x 4令 g( x) (1 x)e x ， g ( x) [(1 x)e x e x ](2 x 4) 2(1 x) e x e x ( 2x2 2x 2) 0 ，2x 4 (2 x 4)2 (2 x 4) 2∴g( x) g(0) 1，∴ a 1 .4 4（Ⅱ） f x x e x 2a 0 ∴ y=f x 在（0，+ ）上单一递加又 f 0 =4 a 1 0 f 1 =6 a 0 ∴存在 t （ 0,1 ）使 f t =0∴ x （0，t）时， f x 0， x （ t，+ ）时， f x 0当 x=t时， f min x =f t = （t -2）e t +a(t 2)2且有 f t =e t（t-1）+2a(t 2) 0 ，∴a= e t (1 t ) ．2(t 2)由（Ⅰ）知 a=g(t)= et(1t) 在t (0, ) 上单一递减，2(t 2)g(0)= 1, g(1)=0 ，且 0 a1，∴ t (0,1) ．4 4∴ f min x =f t=（t-2）e t+ e t (1 t)(t 2) 2et ( t2t 2) ，2(t 2) 2f t = e t( t 2t 1) 0 ，2∴ f (1) f (t ) f (0) ， ef (t) 1 ,∴ f (x) 的最小值的取值范围是 ( e, 1) ．(22)解：（Ⅰ）由 C : x 2y 2 4x 0, l : x 2y 30 .1（Ⅱ） P(22, ), 直角坐标为 (2, 2) ，4 1Q(2cos ,sin ),M(1 cos ,1 ) ， l : x2 y3 0 ．sin2M 到 l 的距离 d|1 cos2 sin3|10| sin(4 ) |，55进而最大值为 10.5(23)解：（Ⅰ）法一： f ( x) | x a || 2x b | = | x a | | x b | | x b|，b | | ( x a) (xb) | a b 且 | x b | 2 2 ∵ | x a | | x0，b2b 2 22b∴ f (x)af ( x) 的最小值为 a，当 x时取等号，即，222b1， 2a b 2 .∴ a2b法二：∵ a，23x a b, x a∴ f (x)| x a | | 2x b | = x a b, a x b ，b23x a b, x2明显 f (x) 在 (, b ] 上单一递减， f ( x) 在 [ b,) 上单一递加，2 2∴ f (x) 的最小值为 f ( b) ab ，2 2∴ ab 1， 2a b 2 .2（Ⅱ）∵ a 2b tab 恒成立，∴a2b t 恒成立，aba 2b 1 2 ( 1 2)(2 a b) 11(1 4 2a2b ) 1 (1 4 2 2a 2b ) 9ab b a b a2 2 ba2b a 2 当 a b 2 时，a 2b获得最小值 9 ，∴93 ab92t ，即实数 t 的最大值为 .222017 年大连市高三一模测试数学（理科）参照答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解答不一样，可依据试题的主要考察内容对比评分标准制定相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超出该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题（1）A ；（ 2）D ；（ 3）A ；（ 4）D；（ 5）C；（ 6）A ；（ 7）D ；（ 8）A ；（9）B ；（ 10） C；（ 11）B；（ 12）D ．二.填空题（13） 48；（ 14）y x ；（15） 128 ；（16）2 3．3三.解答题（17） (本小题满分12 分)解：（ I ）∵OP ( 3,1),QP ( 3 cos x,1 sin x) ， 3 分∴ f ( x) 3 3 cos x 1 sin x 4 2sin( x ) ， 5 分3∴当 x62k (k Z ) 时， f (x) 获得最小值2． 6 分2，7 分(2) ∵f ( A)=4，∴A32bc cos 2又∵ BC 3，∴ a2 b2 c2 ，∴ 9 (b c)2 bc．9 分3(b c) 2 3(b c)29 ，．10 分bc ，∴4 4∴ b c 2 3 ，当且仅当 b=c 取等号，∴三角形周长最大值为 3 2 3 . 12 分(18)( 本小题满分12 分 )解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频次散布直方图分别以下左、右图：频次频次组距组距O 50 60 70 80 90 100 评分O 50 60 70 80 90 100 评分12 分,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分由图可得女性用户的颠簸小，男性用户的颠簸大. ,,,,,,,,,,,,,, 6 分（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，评分不低于80 分有 6 人，此中评分小于90分的人数为 4 ，从 6 人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X ，则 X 取值为 1,2,3 ，C41C22 1 C42 C21 3 C43C22 1P(X 1) ； P(X 2)C63 ； P(X 3)C63. 9分C63 5 5 5因此 X 的散布列为X 1 2 3P 1 3 15 5 5EX 4 3 2或 EX 1 6 3 2.12分6 5 5 5(19)( 本小题满分12 分)解： (I) 证明：∵ PA⊥底面 ABCD ， AB 底面 ABCD ，∴ PA⊥AB ，又∵底面ABCD 为矩形，∴ AB⊥ AD， PA∩AD =A， PA 平面 PAD ， AD 平面 PAD，∴ AB ⊥平面 PAD，又 PD 平面 PAD ，∴ AB⊥PD ， AD=AP ， E 为 PD 中点，∴ AE⊥ PD ， AE∩AB =A，AE 平面 ABE， AB平面ABE，∴ PD⊥平面ABE. 6 分(II) 以A为原点，以AB, AD, AP为x, y, z轴正方向，成立空间直角坐标系 A BDP ，令|AB| 2，则 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， P(0,0,2) ， C (2,2,0) ， E(0,1,1) ， F (1,0,0) ， PF (1,0, 2) ，PC (2,2, 2)， PM (2 ,2 , 2 )，M(2 ,2 ,2 2 )设平面 PFM 的法向量mm PF =0 x 2z 0( x1 , y1, z1 ) ，，即x 2 y 2 z，m PM =0 2 0m (2, 1,1)设平面BFM 的法向量n ( x2 , y2, z2 ) ，n BF =0，即n FM =0x 0， n (0, 1, ) 2 x1 2y 2 z2 0| cosm n 1 3 1 m,n |2 2，解得.| m || n | 6 3 21(20) （本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）∵椭圆 Q 的长轴长为 2 2 ，∴ a 2 ．P(x0 , y0 ) ，∵PA 与OM 的1设直线斜率之积恒为，2y0∴ 2 y0 1，,,,,,,,,,,,,,,,, 2 分x0 2 x0 2 22∴ x02 y02 1，∴ b 1，2故椭圆的方程为x2y 2 1.,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分2(Ⅱ ) 设直线l 方程为 y (k x1 ) (k ，代入x2 y2 1 有2(1 2k 2 ) x2 4k2 x 2k 2 2 0 ，,,,,,,,,,,,, 5 分设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，AB中点 N ( x0 , y0 ) ，∴ ( x1 x2 )4k22, x1 x22k 2 2.,,,,,,,,,,,,, 6 分1 2k 1 2k 2∴ x0 1( x1 x2 )12k 2 2 , y0 k( x0 1) k 2 ,,,,,,,, 7 分2 2k 1 2k∴ CD 的垂直均分线方程为y y0 1(x x0 ) ，k令 y 0 ，得 x G x0 ky0 1 1,,,,,,,,,,,, 9 分2 4k2 2∵ x G [ 1 ,0) ，∴ 1 1 1 ，∴ 0 k2 1 ． ,,,,,, 10 分4 4 2 4k2 2 2|CD | 1 k 2 | x2 x1 | 1 k 2 16k 4 4(2k2 1)(2k 2 2)2k 2 12 2[1+ 1 ] 3 2 ，2 2(2k 2 1) 2|CD |min 3 2． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 分2(21)（本小题满分12 分）解：（Ⅰ） f x e x(x 2)e x2ax 4a 1 分函数（fx)在区间（ 0，+ ）上单一递加， f x 0在（ 0，+ ）上恒成立. ∴ e x (x 2)e x 2ax 4a 0 ，∴ a (1 x)e x ， 2 分2 x 4令 g( x) (1 x)e x ， g ( x) [(1 x)e x e x ](2 x 4) 2(1 x) e x e x ( 2x2 2x 2) 0 ，2x 4 (2 x 4)2 (2 x 4) 2∴g( x) g(0) 1，∴ a 1 . 4 分4 4（Ⅱ） f x x e x 2a 0 ∴ y=f x 在（0，+ ）上单一递加又 f 0 =4 a 1 0 f 1 =6 a 0 ∴存在 t （ 0,1 ）使 f t =0∴ x （0，t）时， f x 0， x （ t，+ ）时， f x 0当 x=t时， f min x =f t = （t -2）e t +a(t 2)2 ,,,,,,,,,, 6 分且有 f t =e t（t-1）+2a(t 2) 0 ，∴a= e t (1 t )．,,,,,,,, 6 分2(t 2)由（Ⅰ）知 a=g(t)= et(1t) 在t (0, ) 上单一递减，2(t 2)g(0)= 1, g(1)=0 ，且 0 a1，∴ t (0,1) ． , , , , , , ,,,, , , , , 8 分4 4∴ f min x =f t =（t-2）e t + et(1t) (t 2) 2 e t ( t2 t2)，,,,,,,, 10 分2(t 2) 2f t = e t ( t2 t 1) 0 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 11 分2∴ f (1) f (t ) f (0) ， e f (t) 1 ,∴ f (x) 的最小值的取值范围是( e, 1) ．,,,,,,,,,,,,,,, 12 分．(22)（本小题满分 10 分）解：（Ⅰ）由C1: x2 y2 4x 0, ,,,,,,,,,,,,,,, 2 分l : x 2 y 3 0 . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分（Ⅱ） P(2 2, ),直角坐标为(2,2，), , , , , , , , , , ,,,6分4 1sin ) ， l : xQ (2cos ,sin ),M(1 cos ,1 2 y 3 0．,, 8 分2M 到 l 的距离 d |1 cos 2 sin3|10| sin()|，,9 分554进而最大值为10 ,,,,,,,,,,,,,,,10.5分(23) （本小题满分 10 分）解：（Ⅰ）法一：f ( x )||| 2| = | a| |b| b| ， |2 分x ax bxxx, ,22∵ | x a | | xb| |( x a) ( xb) | a b且 | x b| 0 ，2 2 2 2∴ f (x)ab b时 取 等 号 ， 即 f ( x) 的 最 小 值 为 ab， , ,4 分2 ， 当 x 22b 1， 2a b2 .,,,,5 分∴ a2b法二：∵a，23x a b, x a∴ f ( x)| x a | | 2x b | = x a b, a xb，,,,,,3 分b23x a b, x2明显 f ( x) 在 (, b] 上单一递减， f ( x) 在 [ b,) 上单一递加，22∴ f ( x) 的最小值为 f ( b)a b ，, ,,,,4 分b22∴ a1， 2a b 2 .,,,,,,,,,5 分2tab 恒 成 立 ， ∴a 2b（ Ⅱ ） ∵ a2b t 恒 成 立 ，, ,, , , 7 分aba 2b 12 (1 2)(2 a b) 1 1(1 4 2a 2b )ab ba b a2 2 b a1(142 2a 2b9 , , , ,, , , ,,,,,, ,, , 9 分 当2 b a ) 2a b 2 时， a2b获得最小值 9 ，∴93 ab92t ，即实数 t 的最大值为 .,,,,,,,,,,,,,,,5 分22。
2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷理科
2017年辽宁省大连市高考数学)理科(一模试卷．年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）2017一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.，则=（z=1+2i ）1．（5分）已知复数4i3B．5+4i﹣C．﹣3 D．A．52，＜0}2x﹣．（5分）已知集合 A，则∩B=（）A={x|x3﹣2A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}33”的（ |b|”是“a）＞b（3．5分）设a，b均为实数，则“a＞．必要不充分条件B．充分不必要条件 A C．充要条件 D．既不充分也不必要条件为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|54．（分）若点P）的最小值为（．DC A．2 B．．5．（5分）已知数列{a}满足a﹣a=2，a=﹣5，则|a|+|a|+…+|a|=（）62n+11nn1A．9 B．15 C．18 D．30）满足不等式y分）在平面内的动点（x，z=2x+y，则的最大6．（5）值是（A．6 B．4 C．2 D．07．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）第2页（共22页）．CD．A．4 B ．8．（5分）将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）7D．C．6 A．4 B．59．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）．．B ． CAD．分）若方程．（5在上有两个不相等的实数解x，101） =（ x，则x+x212． CA．． BD．分）已知向量5，11．（），（m＞0，n＞，0） 2] ，则的取值范围是（若m+n∈[1，．． AC． BD．x2﹣m（m＞0），当x上的函数f（）=ex+mx+x=1时，R．12（5分）已知定义在21不等式f（x）+f（0）＞f（x）+f（1）恒成立，则实数x的取值范围是（）112∞）+1，．． C． D（ B0．A（﹣∞，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）第223页（共页）个人，每人一张，且甲乙分得5（5分）现将5张连号的电影票分给甲乙等13．．的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）x?sinx在点（0，f（0x）=e））处的切线方程是．14．（5分）函数f（15．（5分）我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200．之间，那么这个数的焦点F且与一条渐近线垂直的直（5分）过双曲线16．． A，B两点，若，则双曲线的离心率为线与两条渐近线相交于三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知点sinx），O为坐标原点，函数．分）．（1217，Q（cosx，的值；xx）的最小值及此时1（）求函数f（（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：），10080）[80，90）[90[60女性用分值区[50，60），70）[70，间户1020504080频数男性用[50，60）[60，分值区70）[70，80）[80，90）[90，100）间户3045607590频数（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．第4页（共22页），ABCD为正方形，PA⊥底面P﹣ABCD中，底面ABCD分）如图，在四棱锥19．（12中点．E为棱PDAD=AP，；ABEPD⊥平面（1）求证：中点，的值，使二面角P﹣FM为AB（2）若F，试确定λ．的余弦值为﹣B上异于顶：是长轴长为的椭圆Q20．（12分）已知点P的中点，且为线段PA为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M点的一个动点，O．与OM的斜率之积恒为直线PA的方程；）求椭圆Q（1的CDD两点，线段CF 且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于，（2）设过左焦点1横坐标的取值范围是点G垂直平分线与x轴交于点G，求|CD|的最小，值．2x．）＞0（x+2）（x2=f．21（12分）已知函数（x）（x﹣）e+a的取值范围；a+0，∞）的单调递增函数，求实数x1（）若f（）是（）最小值x）有最小值，并求函数xf（（时，求证：函数（2）当f 225第页（共页）的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方1．t为参数）程为（（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；1的极角为PC上点的参数方程为（α为参数），若曲线（2）C，曲线12距离的最大值．到直线l上的动点，求PQ的中点M为曲线QC2[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．；2a+b=2（1）求证：（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t 的最大值．第6页（共22页）年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）2017参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个.选项中，只有一项是符合题目要求的），则=（1．（5分）已知复数z=1+2i4i3﹣．﹣3 D．A．5 B．5+4iC2．，∴=|z|【解答】解：∵z=1+2i=．故选：A2） B=（，，则A∩2．（5分）已知集合A={x|x0}﹣2x﹣3＜3}＜{x|﹣1＜x3} A．{x|1＜x＜B．3}1＜x＜x．{x|﹣1＜＜0或＜＜C．{x|﹣1x＜0或0＜x3} D2，x＜3}﹣2x3＜0}={x|﹣1【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣，＞1}或={x|x＜0x．3}或01＜x＜∩∴AB={x|﹣1＜x＜．D故选：33）”的（”是“ab均为实数，则“a＞|b| ＞b ，（3．5分）设a．必要不充分条件 BA．充分不必要条件．既不充分也不必要条件DC．充要条件33”，是充分条件，＞ba【解答】解：由＞|b|”能推出“a，不是必要条件，2，反之，不成立，比如a=1b=﹣．故选：A页（共第722页）为抛物线上的动点，F为抛物线PC的焦点，则|PF|分）若点4．（5）的最小值为（． D． CA．2B．为抛物线解：点上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|P【解答】．的最小值为：．D故选：5．（5分）已知数列{a}满足a﹣a=2，a=﹣5，则|a|+|a|+…+|a|=（）61n+1n21n A．9 B．15 C．18 D．30【解答】解：∵a﹣a=2，a=﹣5，∴数列{a}是公差为2的等差数列．n1nn+1．7=2n﹣（5+2n﹣1）∴a=﹣n2．﹣==n6nS数列{a}的前n项和nn．，解得≥0令a=2n﹣7n．a时，|a|=﹣≤∴n3nn．|=a时，|an≥4nn22﹣6×3）=18．6﹣×6﹣2（3=6=S+aa﹣|=|+|a则|+|a…+|a﹣aa﹣+a+a﹣2S31234651626．故选：C）满足不等式yx，6的最大．（5分）在平面内的动点（，则z=2x+y）值是（A．6 B．4 C．2 D．0解：根据不等式，画出可行域，【解答】第8页（共22页）y=0，由，可得x=3．最大值为60）时，z过点2x+y=0，∴当直线z=2x+yA （3，平移直线．A故选：） 5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ 7．（． CD．4 A．B ．解：由题意三视图可知，几何体是直四棱锥，【解答】，的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2底面边长为2．所以四棱锥的体积．故选D次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于n5分）将一枚硬币连续抛掷（8．），则n的最小值为（7D．．BA．4 ．5 C6﹣1解：由题意，【解答】，≥n，∴≥4 229第页（共页），4∴n的最小值为．故选A9．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）． CAD． B．．【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是2用二分法求函数f（x）=x﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到0.3；模拟如下；）×＜101，）?f（）m==（﹣=时，f（b|=≥d；b=，|a﹣）×（﹣1）?f（）=m=（0）＞，=时，f1（﹣；d﹣b|=＜a=，|am=．程序运行终止，输出．B故选：分）若方程（510，在上有两个不相等的实数解x．1x，则x+x=（）221页（共10第22页）．D． B ． CA．2x+，]【解答】解：∵x∈[0∈[，∴，]，上有两个不相等的实数解x，x方程，在21，∴=，=则x+x21．故选：C分）已知向量5，11．（（m＞0，n＞0，），，则2]∈[1，若m+n的取值范围是（）．．CA．． BD解：根据题意，向量【解答】，，，）﹣3nm=（3m+n，，=则=，=，则令t=t而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：2，t≤＜=又由t，；故＜2≤．B故选：第11页（共22页）2x时，=1），当x+mx+x﹣m（m＞0（12．5分）已知定义在R上的函数f（x）=e21）x的取值范围是（ f（x）+f（1）恒成立，则实数）不等式f（x+f（0）＞121∞），+C ．D．（A．（﹣∞，0） B1．）恒成立，+f（10）＞f（x）x【解答】解：∵不等式f（）+f（21）恒成立，（0）＞f（1）﹣f∴不等式f（x）﹣f（x21，=1又∵x+x21）恒成立，1）﹣f （1﹣）﹣xf（1﹣x）＞f（1∴不等式f（11，﹣x）（x）﹣f（1=f设g（x）2x，0）=e（x）+mx﹣m（m＞f∵x1﹣x，1）（=eg∴（x）﹣e+m2x﹣x1x﹣上单调递增，g （x）=ex+e）在R+2m＞0，∴则g′（）恒成立，（1x∴不等式g（）＞g1，x ＞1∴1．D故选：分，将答案填在答题纸上）20二、填空题（每题5分，满分个人，每人一张，且甲乙分得分）现将5张连号的电影票分给甲乙等5（13．5．种不同的分法（用数字作答）的电影票连号，则共有 48人，有3种情况，其余解：甲乙分得的电影票连号，有【解答】4×=62=8种情况，页）22页（共12第种不同的分法．6=488×∴共有．48故答案为x． y=x （0）f．（5分）函数（x）=e）处的切线方程是?sinx在点（0，f14xx sinx+cosx）=e，（2（分）【解答】解：∵f（x）=e?sinx，f′（x），=0（0）0）=1，ff′（∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为，）﹣0y﹣0=1×（x即y=x（4分）．．y=x故答案为：15．（5分）我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200． 128 之间，那么这个数【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；；1第二个数能同时被3和7整除，但除以5余，即21；第三个数能同时被5和7013余，即7整除，但除以然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×．2=233最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128128故答案为：的焦点F且与一条渐近线垂直的直16．（5分）过双曲线．两点，若B，则双曲线的离心率为，线与两条渐近线相交于A页）22页（共13第，±的渐近线方程为y=【解答】x解：双曲线，c）（xy=x垂直的直线为y=﹣，设焦点F（c0），与﹣；（）由可得A，，﹣）（，由可得B（）=2再由0），，可得0﹣（﹣﹣2222，a=3（c化为a）=3b﹣22，即为3c=4a．e=则=．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知点sinx（cosx，），O为坐标原点，（函数．12分）17．Q，的值；x（x）的最小值及此时（1）求函数f（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．）∵1【解答】解：，（，∴时，f（x）取得最小值2．∴当，Af2（）∵（）=4，∴，，∴BC=3又∵2，．bc）b+c9=∴（﹣第14页（共22页），∴取等号，b=c∴，当且仅当∴三角形周长最大值为．名200500名该手机使用者（．（12分）某手机厂商推出一次智能手机，现对18名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：300女性，）100）80[80，90）[90，）女性用分值区[50，60[60，70）[70，间户1040502080频数），100，90）[90[80分值区[6060），70）[70，80）[50男性用，间户3045频数756090（不并比较女性用户和男性用户评分的方差大小）完成下列频率分布直方图，（1；计算具体值，给出结论即可）名名用户，在这20（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取2090名用户评分小于求3名用户，从评分不低于用户中，80分的用户中任意取3分的人数的分布列和期望．（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：【解答】解：2215第页（共页）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．人，分有6（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80人，364，从人人任取其中评分小于90分的人数为，，3，则记评分小于90分的人数为XX取值为1，2，，．的分布列为所以X123XP或．，ABCDPA⊥底面ABCD分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为正方形，．19（12中点．为棱PDEAD=AP，；ABE⊥平面1）求证：PD（中点，为AB2（）若FFM﹣Pλ，试确定的值，使二面角．﹣B的余弦值为 2216第页（共页），AB，∴PA⊥ABCD，AB?底面ABCD解：【解答】（I）证明：∵PA⊥底面，PADAD?平面，PA?平面PAD，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PDAE ⊥，E为PD中点，∴PAD，又PD?平面，∴AB⊥PD，AD=AP∴AB⊥平面PAD．⊥平面ABE平面ABE，∴PDAB=A，AE?平面ABE，AB?AE∩轴正方向，建立空间直角坐标，zx，II）以Ay为原点，以为（，﹣BDP，令|AB|=2系AF），，1，1，2，2，0）E（0C，（02），则A（00，0，B（，0，），P0，02），（（2λ，M0，），，，，1（，0﹣2λ）2λ，2的法向量，即，设平面PFM，，，设平面BFM的法向量，即解得， 2217第页（共页）．是长轴长为12分）已知点P：上异于顶20．（的椭圆Q的中点，且PA为椭圆的右顶点，点M为线段点的一个动点，O为坐标原点，A．OM的斜率之积恒为直线PA与的方程；1（）求椭圆Q的CDD两点，线段l 交椭圆于C，且不与坐标轴垂直的直线（2）设过左焦点F1横坐标的取值范围是点G求，|CD|的最小x轴交于点G，垂直平分线与值．的长轴长为Q1）∵椭圆，∴．【解答】解：（，，y）P设（x00的斜率之积恒为与OM，∴，∵直线PA，∴，∴b=1故椭圆的方程为．2222，代入）（k≠0x+1x+2k（2）设直线l方程为y=k1+2k有（（）x+4k），2=0﹣，），（xy中点）x），A（xy，B（，y，ABN设012102∴．∴的垂直平分线方程为∴CD， 2218第页（共页），得令y=0∴，∵，∴=．．，x2（x＞）0）2）e．+a（x+2f21．（12分）已知函数（x）=（x﹣（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数（2f（x）最小值的取值范围．xx+2ax+4a，2）=ee+（x﹣【解答】解：（1）f'（x）∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．xx，0，∴）e+2ax+4a≥∴e+（x﹣2，令，．，∴∴x+2a＞′=x?e0，）[f'（x）]（2∴y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增又f'（0）=4a﹣1＜0，f'（1）=6a＞0，∴存在t∈（0，1）使f'（t）=0∴x∈（0，t）时，f'（x）＜0，x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，t时，）（f'且有t+2a）﹣t（?1x=t）（t+2当=e，=0．∴第19页（共22页）∞）上单调递减，+，∈（0由（1，）知在t，且∴t∈（0，1）．∴，，∴f（1）＜f（t）＜f（0），﹣e＜f（t）＜﹣1，∴f（x）的最小值的取值范围是（﹣e，﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方1．t为参数）程为（（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；1的极角为P曲线C，C上点的参数方程为（α为参数），若曲线（2）12距离的最大值．lM到直线为曲线QC上的动点，求PQ的中点22=4ρcosθ，ρ=4cosθ，即ρ1（）曲线C的极坐标方程为【解答】解：1．可得直角坐标方程：的参数方程为（tl为参数），直线．3=0可得普通方程：x+2y﹣消去参数t坐标为（2，2（2，）直），角，的距离M到l∴≤，第20页（共22页）．从而最大值为]：不等式选讲选修4-5[．的最小值为1）=|x+a|+|2x﹣b|，b＞0，函数f （x023．已知a＞；2a+b=2（1）求证：的最大值．恒成立，求实数t）若a+2b ≥tab（2，﹣﹣|+|x（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x|【解答】解：（1）法一：f，0﹣）||=a+且|x∵|x+a|+|xx﹣|≥|（x+a）﹣（≥﹣，x）的最小值为a+x=时取等号，即f（∴fx）≥（a+，当；，∴2a+b=2a+=1b|=﹣f（x），法二：∵﹣a=|x+a|+|2x＜，∴∞）上单调递增，，x）在+[f（xf）在（﹣∞，]上单调递减，（显然，（）=a+∴f（x）的最小值为f．=1，∴2a+b=2a+恒成立，∴a+2b≥t恒成立，tab（2）方法一：∵≥1+4+=++=））?（，）+（2a+b （=，取得最小值当时，a=b=；t的最大值为t∴≥，即实数恒成立，tab≥方法二：∵a+2b恒成立，≥∴t恒成立，t+≤=，≥+=+=页（共21第22页）；的最大值为≥t，即实数t∴恒成立，方法三：∵a+2b≥tab）恒成立，a （2﹣a∴a+2（2﹣）≥ta2恒成立，0a+42ta≥﹣（3+2t）∴2，≤﹣326）∴（3+2t0．的最大值为t≤，实数t≤∴ 2222第页（共页）。
东北三省四市2017届高三数学二模试卷理(含解析)
2017年东北三省四市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2} 3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．5．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．306．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，4] C．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．10．运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a11．已知向量，，若m+n=1，则|的最小值为（）A．B．C．D．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4= ．16．F是双曲线的左焦点，过F作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．18．某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．20．椭圆C：的长轴长为2，P为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积为﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，N点的横坐标的取值范围是，求线段AB的长的取值范围．21．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，证明：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）的图象与直线y=m的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点的横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．五、23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）证明：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的取值范围．2017年东北三省四市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2} 【考点】1E：交集及其运算．【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．故选：D．3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．5．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．30【考点】8E：数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n．及其数列{a n}的前n项和S n．令a n≥0，解得n，分类讨论即可得出．【解答】解：∵a n+1﹣a n=2，a1=﹣5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．∴a n=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{a n}的前n项和S n==n2﹣6n．令a n=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|a n|=﹣a n．n≥4时，|a n|=a n．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．6．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，4] C．【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知解得A（1，2）当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4]故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件及n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式得到p=1﹣（）n，由此能求出n的最小值．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为，∴p=1﹣（）n，∴（）n≤．∴n的最小值为4．故选：A．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2 值．【解答】解：∵x∈，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．10．运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，写出运行结果即可．【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，程序运行后输出的是c≤b≤a．故选：A．11．已知向量，，若m+n=1，则|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】93：向量的模．【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得的坐标，由向量模的公式可得||=，由基本不等式的性质可得≥（）2=，即m2+n2≥；即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，则=m﹣n=（3m+n，m﹣3n），||==，又由m+n=1，则有≥（）2=，即m2+n2≥；故||=≥，即||的最小值为；故选：C．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】3T：函数的值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要即可，当m＜2时，只要即可，由此能求出结果．【解答】解：当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立；当m＞2时，，只要即可，解得2＜m＜5；当m＜2时，，只要即可，解得，综上．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48 种不同的分法（用数字作答）．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x．故答案为：y=x．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4= 30 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．16．F是双曲线的左焦点，过F作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为或2 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到．【解答】解：当b＞a＞0时，由，可知A为BF的中点，由条件可得=，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k=，即离心率e===2．同理当a＞b＞0时，可得e=；故答案为：或2．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f （x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=（，1）•（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为3+2．18．某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）画出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大；（Ⅱ）由分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，根据X的取值计算对应的概率，求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25，0.05，其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，且P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为X的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．20．椭圆C：的长轴长为2，P为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积为﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，N点的横坐标的取值范围是，求线段AB的长的取值范围．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）由2a=2，解得a=，设P（x0，y0），A1（，0），A2（，0）．由=1，可得=﹣．根据OM∥PA1，可得，于是===﹣=﹣，解得b2．（II）设直线l的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，利用根与系数的关系与中点坐标公式可得线段AB的中点Q，QN的方程为：y﹣=﹣，可得N．根据＜＜0，解得：0＜2k2＜1．利用弦长公式可得：|AB|=，即可得出．【解答】解：（I）由2a=2，解得a=，设P（x0，y0），A1（，0），A2（，0）．则=1，可得=﹣．∵OM∥PA1，∴，∴====﹣=﹣，解得b2=1．∴椭圆C的方程为=1．（II）设直线l的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1•x2=，∴y1+y2=k（x1+x2+2）=，可得线段AB的中点Q，QN的方程为：y﹣=﹣，∴N．∵＜＜0，解得：0＜2k2＜1．∴|AB|=•=，∵＜1，∴|AB|∈．21．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，证明：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）的图象与直线y=m的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点的横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导，令f′（x）=0，根据函数单调性与导数的关系，即可求得函数f（x）的极值；（2）采用分析法，要证明f（e+x）＞f（e﹣x），只需证（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e ﹣x），构造辅助函数求导，由F′（x）＞0，即可求得函数单调性递增，F（x）＞F（0）=0，即可求得f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）由（1）可知0＜x1＜e＜x2，则0＜e﹣x1＜e，由（2）可知，f（x）在（e，+∞）上单调递减，x1+x2＞2e，x0=＞e，即可f'（x0）＜0．【解答】解：（1）由f（x）=，x＞0，求导f′（x）=，当x∈（0，e），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值，（2）证明：要证明f（e+x）＞f（e﹣x），即证＞，只需证（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），求导F′（x）=﹣ln（e2﹣x2）=+＞0，∴f（x）在（0，e）单调递增，∴F（x）＞F（0）=0，∴（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），∴f（e+x）＞f（e﹣x），（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）可知0＜x1＜e＜x2，由0＜e﹣x1＜e，由（2）可知：f＞f=f（x1）=f（x2），由2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，即x1+x2＞2e，则x0=＞e，∴f'（x0）＜0．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．五、23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）证明：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）化简f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，根据单调性得出f（x）的最小值化简即可得出结论；（2）分离参数得t≤，把2a+b=2代入不等式，根据基本不等式的性质得出的最小值，从而得出t的范围．【解答】解：（1）证明：令x+a=0得x=﹣a，令2x﹣b=0得x=，∵a＞0，b＞0，∴﹣a，则f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，]上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（）=a+=1，2a+b=2；（2）∵a+2b≥tab恒成立，∴t≤恒成立，∵2a+b=2，∴a+b=1，∴=+=+=+≥=，（当且仅当a=b时取等号）∴的最小值为，∴t．。
辽宁省普通高中学生学业水平考试数学真题
2017年辽宁省普通高中学生学业水平考试·真题数 学(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间90分钟)一、 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1,2}M =，{2,3}N =，则M N = （ ）A ．{1,2,3} B.{1,3} C.{2} D.φ2．3sin 4π= （ ）A.0B.12 C. 22 D. 13．下列函数为奇函数的是 （ ）A.y x =-B.cos y x =C. 23y x = D.||y x =4．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，若向图中随机掷一粒豆子，则豆子落 在阴影部分的概率为 （ ）A. 14 B. 12 C. 23 D. 345．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，其中，3a =，5c =， 4cos 5A =，则b = （ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．已知函数,0()2,0x a x x f x x -≥⎧=⎨<⎩有零点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．0a <B ．0a ≤C ．0a >D ．0a ≥7．如图，网格纸上小正方形的边长是1，在其上用粗实线画出的是某空间几何体的 三视图（其中主视图、左视图、俯视图都是等腰直角三角形），则该空间几何体的体积为（ ）。
A.92 B. 9 C. 272 D. 278．已知函数2()43f x x x =++，则()f x 在[3,1]-上的最大值为（ ）。
A.9B. 8C.3D. 1-9．如图，DE 是ABC ∆的中位线，F 是DE 的中点，设AB =a ，AC =b ，则AF =（ ） A.1122+a b B. 1122-+a b C. 1142+a b D. 1142-+a b 10．已知变量,x y 满足约束条件2020220x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）。
辽宁省大连市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
辽宁省大连市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．设U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}，N={x|y=lg（x2+3x）}，则（∁UM）∩N=（）A．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）2．抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）A．x=B．y=2 C．y=D．y=﹣23．已知动点P，定点M（1，0）和N（3，0），若|PM|﹣|PN|=2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线4．等差数列{an }中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于（）A．99 B．66 C．144 D．2975．已知α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，则sin（β﹣α）=（）A．﹣B．C．﹣D．6．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则α∥β是a⊥b 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件7．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．8．已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．π9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．10．设m ，n ∈R ，若直线（m+1）x+（n+1）y ﹣2=0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n 的取值范围是（A ．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞） B ．（﹣∞，2]∪[2，+∞）C ．[2﹣2，2+2] D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）11．已知函数f （x ）=asinx ﹣bcosx （a ，b 常数，a ≠0，x ∈R ）在x=处取得最小值，则函数y=f （﹣x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C ．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D ．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称12．已知f （x ）为偶函数，且f （x ）=f （x ﹣4），在区间[0，2]上，f （x ）=，g （x ）=（）|x|+a ，若F （x ）=f （x ）﹣g （x ）恰好有4个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（2，）B ．（2，3）C ．（2，]D ．（2，3]二、填空题（每题5分，共20分）13．已知等比数列{a n }前n 项和为S n ，a 1+a 2=，a 4+a 5=6，则S 6= ．14．椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2=8y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为 ．15．设直线x ﹣3y+m=0（m ≠0）与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A ，B ．若点P （m ，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是 ． 16．下列命题中：（1）a=4，A=30°，若△ABC 唯一确定，则0＜b ≤4．（2）若点（1，1）在圆x 2+y 2+mx ﹣y+4=0外，则m 的取值范围是（﹣5，+∞）；（3）若曲线+=1表示双曲线，则k 的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）将函数y=cos （2x ﹣）（x ∈R ）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x 的图象．（5）已知双曲线方程为x 2﹣=1，则过点P （1，1）可以作一条直线l 与双曲线交于A ，B两点，使点P 是线段AB 的中点．正确的是 （填序号）三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+|x+1|． （Ⅰ）当a=1时，解不等式f （x ）＜3； （Ⅱ）若f （x ）的最小值为1，求a 的值．18．已知函数f （x ）=2cos 2x+sin （2x ﹣）（1）求函数f （x ）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x 的取值集合；（2）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A ）=，b+c=2，求实数a 的取值范围．19．已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =，（n ≥2）（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求：前n 项和公式S n ；（3）证明：当n ≥2时，S 1+S 2+S 3+…+S n ＜．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PD=PA ，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．（1）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）当三角形PAD 为正三角形时，点M 在线段PC （不含线段端点）上的什么位置时，二面角P ﹣AD ﹣M 的大小为．21．已知F 1，F 2是椭圆=1的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A ，B 两点， （1）求点P 坐标；（2）求证：直线AB 的斜率为定值； （3）求△PAB 面积的最大值．22．已知函数f （x ）=（1）当a ≥1时，求f （x ）在[0，e]（e 为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a ，问：曲线y=f （x ）上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ （O 为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？辽宁省大连市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每题5分，共60分）1．设U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}，N={x|y=lg（x2+3x）}，则（∁UM）∩N=（）A．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U=R，先求出CU M，再由集合N能够求出N∩（∁UM）．【解答】解：∵全集U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}=[0，2]，∴CUM=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∵x2+3x＞0，解得x＞0或x＜﹣3∴集合N=（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）∴N∩（∁UM）=（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）故选C．2．抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）A．x=B．y=2 C．y=D．y=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=﹣8y可得：2p=8，即可其准线方程．【解答】解：由抛物线x2=﹣8y可得：2p=8，∴=2，其准线方程是y=2．故选：B．3．已知动点P，定点M（1，0）和N（3，0），若|PM|﹣|PN|=2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线【考点】轨迹方程．【分析】先计算|MN|，从而有|PM|﹣|PN|=|MN|，故可确定点P的轨迹．【解答】解：由题意，|MN|=3﹣1=2∵|PM|﹣|PN|=2∴|PM|﹣|PN|=|MN|∴点P的轨迹是射线NP故选D．4．等差数列{an }中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于（）A．99 B．66 C．144 D．297【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a4=13，a6=9，可得a4+a6=22，再由等差数列的求和公式和性质可得S9=，代值计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，a3+a9=2a6，又∵a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，∴a1+a4+a7=3a4=39，a3+a6+a9=3a6=27，∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，∴数列{an }前9项的和S9====99故选：A5．已知α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，则sin（β﹣α）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，∴cosα==，sin=，∴sin（β﹣α）=sinβcosα﹣cosβsinα=﹣=．故选：B．6．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则α∥β是a⊥b 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据面面平行和线面垂直的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若a⊥b，∵b⊥β，∴a∥β或a⊂β，此时α∥β或α与β相交，即必要性不成立，若α∥β，∵b⊥β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，即充分性成立，故α∥β是a⊥b的充分不必要条件，故选：A．7．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．8．已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．π【考点】球内接多面体．【分析】确定∠BAC=120°，S△ABC=，利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，可得D 到平面ABC的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为r，则∵AB=BC=，AC=3，∴∠ABC=120°，S△ABC=，∴2r==2∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，∴D到平面ABC的最大距离为3，设球的半径为R，则R2=3+（3﹣R）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：B．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，可得其体积．【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为．故选D．10．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n 的取值范围是（A．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）B．（﹣∞，2]∪[2，+∞）C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意可得圆心（1，1）到直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0的距离等于半径，整理得mn=m+n+1，由可求得m+n的范围．【解答】解：由直线与圆相切，可得圆心（1，1）到直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0的距离等于半径，即=1，化简可得|m+n|=，整理得mn=m+n+1，由可知，m+n+1≤，解得m+n∈（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞），故选：A．11．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称【考点】正弦函数的对称性；三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据函数f（x）在x=处取得最小值，求得a=b，f（x）=asin（x﹣），可得f（﹣x）=asinx，从而得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x+θ）（a，b常数，a≠0，x∈R），根据函数f（x）在x=处取得最小值，则f（）=a+b=﹣，∴a=b，∴f（x）=asinx﹣acosx=asin（x﹣），∴f（﹣x）=asin（﹣x﹣）=﹣asinx，故函数f（x）为奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，故选：D．12．已知f（x）为偶函数，且f（x）=f（x﹣4），在区间[0，2]上，f（x）=，g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是（）A．（2，）B．（2，3）C．（2，] D．（2，3]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由函数f（x）为偶函数且f（x）=f（x﹣4），则f（x）=f（﹣x），函数的周期为4，求得在区间[﹣2，0]上，f （x ）的解析式，作出f （x ）和g （x ）的图象，通过平移，即可得到所求a 的范围．【解答】解：由函数f （x ）为偶函数且f （x ）=f （x ﹣4）， 则f （x ）=f （﹣x ），函数的周期为4，则在区间[﹣2，0]上，有f （x ）=，分别作出函数y=f （x ）在[﹣2，2]的图象， 并左右平移4个单位，8个单位，可得y=f （x ）的图象，再作y=g （x ）的图象，注意上下平移．当经过A （1，）时，a==2，经过B （3，）时，a=2，5﹣=．则平移可得2＜a ＜时，图象共有4个交点，即f （x ）﹣g （x ）恰好有4个零点，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分）13．已知等比数列{a n }前n 项和为S n ，a 1+a 2=，a 4+a 5=6，则S 6= ． 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由于，即a 1+a 1q=，a 1q 3+a 1q 4=6，两式相除，可得，q=2，a 1=．则S 6==．故答案为：14．椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2=8y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意设椭圆C 的标准方程为，a ＞b ＞0，由已知得，由此能求出椭圆C 的标准方程．故答案为：．【解答】解：由题意设椭圆C 的标准方程为，a ＞b ＞0，∵抛物线x 2=8y 的焦点为F （0，2），∴由已知得，解得a=4，b=2，∴椭圆C 的标准方程为．故答案为：．15．设直线x ﹣3y+m=0（m ≠0）与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．16．下列命题中：（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一确定，则0＜b≤4．（2）若点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则m的取值范围是（﹣5，+∞）；（3）若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x的图象．（5）已知双曲线方程为x 2﹣=1，则过点P （1，1）可以作一条直线l 与双曲线交于A ，B两点，使点P 是线段AB 的中点．正确的是 （2），（5） （填序号） 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由正弦定理求得sinB ，举例说明（1）错误；把点的坐标代入圆的方程说明（2）正确；由双曲线的方程可得关于k 的不等式，求得k 值说明（3）错误；由函数图形的平移可得（4）错误；利用点差法求出直线l 的方程说明（5）正确．【解答】解：对于（1），由，得sinB=．当b=8时，sinB=1，B=90°，C=60°，△ABC 唯一确定，故（1）错误；对于（2），点（1，1）在圆x 2+y 2+mx ﹣y+4=0外，则12+12+m ﹣1+4＞0，即m ＞﹣5，故（2）正确；对于（3），若曲线+=1表示双曲线，则（4+k ）（1﹣k ）＜0，解得k ＞1或k ＜﹣4，即k 的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣4），故（3）错误；对于（4），将函数y=cos （2x ﹣）（x ∈R ）的图象向左平移个单位，得到函数图象的解析式为y=cos[2（x+）]=cos （2x+），故（4）错误；对于（5），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，两式作差得：，∴，∴k AB =2，此时直线方程为y ﹣1=2（x ﹣2），即y=2x ﹣3，联立，得2x 2﹣12x+11=0，△=144﹣88=56＞0，故（5）正确．∴正确命题的序号是（2），（5）． 故答案为：（2），（5）．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数的分段函数形式，然后求解不等式f（x）＜3的解集即可；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义求出f（x）的最小值的表达式，利用最小值为1，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=；且f（1）=f（﹣1）=3，所以，f（x）＜3的解集为{x|﹣1＜x＜1}；…（Ⅱ）|2x﹣a|+|x+1|=|x﹣|+|x+1|+|x﹣|≥|1+|+0=|1+|当且仅当（x+1）（x﹣）≤0且x﹣=0时，取等号．所以|1+|=1，解得a=﹣4或0．…18．已知函数f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的取值范围．【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性．【分析】（1）化简可得解析式f（x）=sin（2x+）+1，从而可求函数f（x）的单调增区间；函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（2）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简可求得A的值，在△ABC中，根据余弦定理，由b+c=2，知bc≤1，即a2≥1．又由b+c＞a得a＜2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得函数f（x）的单调增区间[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），函数f（x）的最大值为2．当且仅当sin（2x+）=1，即2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时取到．所以函数最大值为2时x 的取值集合为{x|x=k π+，k ∈Z}．…（2）由题意，f （A ）=sin （2A+）+1=，化简得sin （2A+）=．∵A ∈（0，π），∴2A+=，∴A=．在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣bc=（b+c ）2﹣3bc ． 由b+c=2，知bc ≤1，即a 2≥1． ∴当b=c=1时，取等号． 又由b+c ＞a 得a ＜2．所以a 的取值范围是[1，2 ）．…19．已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =，（n ≥2）（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求：前n 项和公式S n ；（3）证明：当n ≥2时，S 1+S 2+S 3+…+S n ＜． 【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）当n ≥2时，，S n ﹣1﹣S n =2S n S n ﹣1，由此能证明数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由=1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1，能求出前n 项和公式S n ．（3）由==，利用裂项求和法能证明S 1+S 2+S 3+…+S n ＜．【解答】证明：（1）∵数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =，（n ≥2）∴当n ≥2时，，S n ﹣1﹣S n =2S n S n ﹣1，∴当n ≥2时，，∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．解：（2）由（1）得=1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1，∴S n =．证明：（3）由（2）知：当n ≥2时，==，∴S 1+S 2+S 3+…+S n ＜1+（1﹣）＜﹣＜．∴S 1+S 2+S 3+…+S n ＜．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PD=PA ，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．（1）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）当三角形PAD 为正三角形时，点M 在线段PC （不含线段端点）上的什么位置时，二面角P ﹣AD ﹣M 的大小为．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）通过证明BD ⊥平面PAD ，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面MBD ⊥平面PAD ．（2）以OA 、OE 、OP 为x ，y ，z 轴，建空间直角坐标系，求出点O ，A ，D ，B ，P ，C 的坐标，设（0＜λ＜1），平面PAD 的法向量可取：，求出平面MAD 的法向量为，利用空间向量的数量积，结合二面角P ﹣AD ﹣M 的大小为．求出．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：因为BD=AD=8，得BD=8，AD=6，又AB=10， 所以有AD 2+BD 2=AB 2，即AD ⊥BD ，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，所以PD ⊥平面PAD ， BD ⊂平面BDM ，故平面MBD ⊥平面PAD ．（2）由条件可知，三角形PAD 为正三角形，所以取AD 的中点O ，连PO ，则PO 垂直于AD ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO 垂直于平面ABCD ，过O 点作BD 的平行线，交AB 于点E ，则有OE ⊥AD ，所以分别以OA 、OE 、OP 为x ，y ，z 轴，建空间直角坐标系所以点O （0，0，0），A （3，0，0），D （﹣3，0，0），B （﹣3，8，0），P （0，0，3），由于AB ∥DC 且AB=2DC ，得到C （﹣6，4，0），设（0＜λ＜1），则有，因为由（1）的证明可知BD ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的法向量可取：，设平面MAD 的法向量为，则有，即有由由二面角P ﹣AD ﹣M 的大小为． ==，解得故当M 满足：PM=PC 时符合条件．21．已知F 1，F 2是椭圆=1的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A ，B 两点， （1）求点P 坐标；（2）求证：直线AB 的斜率为定值； （3）求△PAB 面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．【分析】（1）求出椭圆的两焦点坐标，设P （x ，y ），（x ＞0，y ＞0），由数量积坐标公式和点在椭圆上，列出方程，解出，即可得到P 的坐标；（2）设出直线PA ，PB 的方程，联立椭圆方程，消去y ，得到x 的二次方程，运用韦达定理，即可解得A ，B 的横坐标，再由直线方程，得到纵坐标，再由斜率公式，即可得证；（3）设出直线AB 的方程，联立椭圆方程，消去y ，得到x 的方程，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式，再由面积公式，运用基本不等式，即可得到最大值．【解答】（1）解：F 1，F 2是椭圆=1的两焦点，则c==，即有F 1（0，），F 2（0，﹣），设P （x ，y ），（x ＞0，y ＞0），则由=1，得x 2+y 2=3，又=1，解得，x=1，y=．则有点P 的坐标为；（2）证明：由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设直线PB 的斜率为k ，则直线PB 的方程为，由于过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB ，则直线PA ：y ﹣=﹣k （x ﹣1）．由，消去y ，得，设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），由韦达定理，得1+x B =，即有，y B =同理可得，y A =，所以为定值．（3）解：由（2）可设直线AB 的方程为，联立方程，得，消去y ，得，由判别式8m 2﹣16（m 2﹣4）＞0，得，x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=，|AB|==易知点P 到直线AB 的距离为，所以，当且仅当m=±2时取等号，满足，所以△PAB 面积的最大值为．22．已知函数f （x ）=（1）当a ≥1时，求f （x ）在[0，e]（e 为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a ，问：曲线y=f （x ）上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ （O 为坐标原点）是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？ 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当0≤x ＜e 时，求导函数，可得f （x ）在区间[0，e]上的最大值；（2）假设曲线y=f （x ）上存在两点P 、Q 满足题设要求，则点P 、Q 只能在y 轴两侧．设P 、Q 的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a ，曲线y=f （x ）上存在两点P 、Q ，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．【解答】解：（1）∵f（x）=，当0≤x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣），令f'（x）＞0，解得：0≤x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在[0，）递增，在（，1）递减，而f（）=，∴f（x）在区间[0，1）上的最大值为，1≤x＜e时，f（x）=alnx，f′（x）=＞0，f（x）在[1，e]递增，f（x）max=f（e）=a≥1，综上f（x）在[0，e]的最大值是a；（2）曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），显然t≠1，∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1）是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解．若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0，而此方程无实数解，因此t＞1．∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt．（*），考察函数在h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′（x）=lnx++1＞0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，当t→+∞时，h（t）→+∞，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．∴对于a＞0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．因此对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．。
辽宁省大连市高三双基测试卷数学试题理科
辽宁省大连市高三双基测试卷数学试题（理科）说明：1．本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．将I 卷和II 卷的答案都写在答题纸上，在试卷上答题无效。
参考公式：棱锥体积公式：Sh V 31=（其中S 为棱锥底面积，h 为棱锥的高）第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．集合A i x x x A 则第三象限在复平面上对应的点在复数},)2()1(|{-+-∈=R =（ ） A ．}21|{≤≤x x B ．}12|{<>x x x 或C ．}12|{≤≥x x x 或D ．}21|{<<x x2．在等差数列n a a a a n n 则已知中,2009,3,1,}{21===等于 （ ）A ．1003B ．1004C ．1005D ．1006 3．函数)42sin(2)(π-=x x f 的一个单调减区间是（ ）A ．]87,83[ππ B ．]83,8[ππ-C ．]89,85[ππ D ．]85,8[ππ 4．已知函数)()(,)(x f x f x f -+则定义域为R 一定为（ ）A ．非奇非偶函数B ．奇函数C ．偶函数D ．既奇又偶函数5．二项展开式x x 中10)12(-的奇次幂项的系数之和为（ ）A ．23110+B ．23110-C ．21310-D ．—23110+6．已知函数)]}2([{,)0(log )0)(6sin()(2f f f x x x x x f 则⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=ππ= （ ）A ．23B ．—23 C ．21 D ．—217．已知等腰直角2,90,==∠∆AB B ABC，点M 是△ABC 内部或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AM AN ⋅的最大值为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 8．已知数列n n a N n n n a 则),(5*23∈-=的最小值为（ ） A ．—19 B ．—18 C ．—17 D ．—16 9．下列说法错误．．的是（ ）A ．已知命题p 为“若a>b ，则a 2>b 2”，则p ⌝为“若a>b ，则a 2≤b 2”B ．若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题C ．x >1的一个充分不必要条件是x >2D ．“全等三角形的面积相等”的否命题是假命题10．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上。
2017年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷(理科)
2017年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0，x∈N*}，B={2x＜16}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，2，3}D．{1}2．（5分）若i为复数单位，复数z=在复平面内对应的点在直线x+2y+5=0上，则实数a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．13．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤54．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（9））的值为（）A．﹣ B．﹣9 C．D．95．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（1，0，2），（1，2，0），（1，2，1），（0，2，2），若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（）A．B．1 C．2 D．46．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．6 B．C．D．﹣18．（5分）（2x﹣）n的展开式的各个二项式系数之和为64，则在（2x﹣）n的展开式中，常数项为（）A．﹣120 B．120 C．﹣60 D．609．（5分）若正整数N除以正整m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10=4（mod6）．如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定律”的某一环节，执行该框图，输入a=2，b=3，c=5，则输出的N=（）A．6 B．9 C．12 D．2110．（5分）已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若=3，则直线l的方程为（）A．x﹣2y﹣1=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y﹣=0 11．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a1=3，S n为数列a n的前n项和，则a n•S n的最小值为（）A．0 B．﹣3 C．﹣20 D．912．（5分）已知函数f（x）=x2e2x+m|x|e x+1（m∈R）有四个零点，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e﹣）B．（﹣∞，e+）C．（﹣e﹣，﹣2）D．（﹣∞，﹣）二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，则S13=．14．（5分）已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为．15．（5分）已知平面内三个单位向量，，，＜，＞=60°，若=m+n，则m+n的最大值是．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，则S的取值范围是．三、解答题（本题共70分）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B ﹣cos2C﹣sin2A=sinAsimB．（1）求角C；（2）向量=（sinA，cosB），=（cosx，sinx），若函数f（x）=•的图象关于直线x=对称，求角A，B．18．（12分）为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图：男生成绩：女生成绩：（如图）（1）根据以上数据完成下列2×2列联表根据此数据你认为能否有99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关？参考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．（2）以样本中的频率作为概率，学校在全校成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市体育运动知识竞赛．（i）在其中2人为男生的条件下，求另1人为女生的概率；（ii）设3人中女生人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM 沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若=2，求二面角E﹣AM﹣D的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间（1，4）上单调递增，求a的取值范围；（2）若函数y=f（x）的图象与直线4x﹣3y﹣2=0相切，求a的值．21．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x 的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M（m，0）（m＞）做斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A，C两点，点P（，0），且•为定值．（1）求椭圆E的方程；（2）过点M且垂直于l的直线与椭圆E交于B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在极坐标系下，点P是曲线ρ=2（0＜θ＜π）上的动点，A（2，0），线段AP的中点为Q，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；（2）若轨迹C上的点M处的切线斜率的取值范围是[﹣，﹣]，求点M横坐标的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+4|．（1）若y=f（2x+a）+f（2x﹣a）最小值为4，求a的值；（2）求不等式f（x）＞1﹣x的解集．2017年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．C；2．B；3．C；4．C；5．B；6．C；7．A；8．D；9．A；10．D；11．B；12．A；二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．130；14．36；15．；16．[]；三、解答题（本题共70分）17．；18．120；100；120；100；220；19．；20．；21．；[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．；[选修4-5：不等式选讲]23．；。
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2017年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0，x∈N*}，B={2x＜16}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，2，3}D．{1}
2．（5分）若i为复数单位，复数z=在复平面内对应的点在直线x+2y+5=0上，则实数a的值为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
4．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（9））的值为（）A．﹣ B．﹣9 C．D．9
5．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（1，0，2），（1，2，0），（1，2，1），（0，2，2），若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（）
A．B．1 C．2 D．4
6．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（）
A．2 B．C．D．
7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为
（）
A．6 B．C．D．﹣1
8．（5分）（2x﹣）n的展开式的各个二项式系数之和为64，则在（2x﹣）
n的展开式中，常数项为（）
A．﹣120 B．120 C．﹣60 D．60
9．（5分）若正整数N除以正整m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10=4（mod6）．如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定律”的某一环节，执行该框图，输入a=2，b=3，c=5，则输出的N=（）
A．6 B．9 C．12 D．21
10．（5分）已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若=3，则直线l的方程为（）
A．x﹣2y﹣1=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y﹣=0 11．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a1=3，S n为数列a n的前n项和，则a n•S n的最小值为（）
A．0 B．﹣3 C．﹣20 D．9
12．（5分）已知函数f（x）=x2e2x+m|x|e x+1（m∈R）有四个零点，则m的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣e﹣）B．（﹣∞，e+）C．（﹣e﹣，﹣2）D．（﹣∞，﹣）
二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，则S13=．14．（5分）已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为．
15．（5分）已知平面内三个单位向量，，，＜，＞=60°，若=m+n，则m+n的最大值是．
16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，则S的取值范围是．
三、解答题（本题共70分）
17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B ﹣cos2C﹣sin2A=sinAsimB．
（1）求角C；
（2）向量=（sinA，cosB），=（cosx，sinx），若函数f（x）=•的图象关于直线x=对称，求角A，B．
18．（12分）为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图：
男生成绩：
分数段[50，60]（60，70]（70，80]（80，90]（90，100]频数910215723
女生成绩：（如图）
（1）根据以上数据完成下列2×2列联表
优秀非优秀合计男生a b
女生c d
合计
根据此数据你认为能否有99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关？
参考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．
P（K2≥k0）0.05
0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.841 5.024 6.6357.879
10.828
（2）以样本中的频率作为概率，学校在全校成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市体育运动知识竞赛．
（i）在其中2人为男生的条件下，求另1人为女生的概率；
（ii）设3人中女生人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM 沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若=2，求二面角E﹣AM﹣D的正弦值．
20．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，4）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线4x﹣3y﹣2=0相切，求a的值．
21．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x 的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M（m，0）（m＞）做斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A，C两点，点P（，0），且•为定值．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点M且垂直于l的直线与椭圆E交于B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在极坐标系下，点P是曲线ρ=2（0＜θ＜π）上的动点，A（2，0），线段AP的中点为Q，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；
（2）若轨迹C上的点M处的切线斜率的取值范围是[﹣，﹣]，求点M横坐标的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x+4|．
（1）若y=f（2x+a）+f（2x﹣a）最小值为4，求a的值；
（2）求不等式f（x）＞1﹣x的解集．
2017年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（理科）
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．C；2．B；3．C；4．C；5．B；6．C；7．A；8．D；9．A；10．D；11．B；12．A；
二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
13．130；14．36；15．；16．[]；
三、解答题（本题共70分）
17．；18．120；100；120；100；220；19．；20．；21．；
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．；
[选修4-5：不等式选讲]
23．；。