阴影部分面积计算题

求阴影部分图形面积新题型
近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积的知识，出现了一批考查应用与创新能力的新题型，归纳起来主要有： 一、规律探究型
例1 宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r ）．
（1）如图1，分别以线段O 1O 2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积．
（2）如图2，分别以等边△O 1O 2O 3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？
（3）如图3，分别以正方形O 1O 2O 3O 4的四个顶点为圆心，以其边长为半径作四个相同的圆，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？（2005年黄冈市中考题）
分析 （1）利用“S 阴=S 菱形AO1BO2=4S 弓形”即可；（2）利用“S 阴=S △O1O2O3+3S 弓”即可；（3）•直接求解比较困难，可利用求补法，即“S 阴=S 正方形O1O2O3O4-S 空白”，考虑到四个圆半径相同，若延长O 2O 1交⊙O 1•于A ，则S 空白=4S O1AB ，由（1）根据对称性可求S O1BO4，再由“S O1AB =S 扇形AO1O4-S O1BO4”，这样S 空白可求．
解答 （1）设两圆交于A 、B 两点，连结O 1A ，O 2A ，O 1B ，O 2B ． 则S 阴=S 菱形AO1BO2+4S 弓．
∵S 菱形=2S △AO1O2，△O 1O 2A 为正△，其边长为r ．
∴S △AO1O22，S 弓=260360r π2=26r π2
．
∴S 阴=22+4（6πr 2r 2）=23πr 22
．
（2）图2阴影部分的面积为S 阴=S △O1O2O3+3S 弓．
∵△O 1O 2O 3为正△，边长为r ．
∴S △O1O2O3=4r 2，S 弓=260360r π-4
r 2
．
∴S 阴=4r 2+3（26r π-4r 2）=2πr 2-2
r 2
．
（3）延长O 2O 1与⊙O 1交于点A ，设⊙O 1与⊙O 4交于点B ，由（1）知，S O1BO4=
1
2
（
23πr 2-2
r 2
）． ∵S O1AB =S 扇形AO1O4-S O1BO4
=290360r π-12（23πr 2=r 2
）
=
24
r π-
1
3
πr 2+
4
r 2
． 则S 阴=S 正方形O1O2O3O4-4S O1AB
=r 2
-4（24
r π-
1
3
πr 22）
=r 2+
13πr 22=（1
3
πr 2． 二、方案设计型
例2 在一块长16m ，宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．
小明的设计方案：如图1，其中花园四周小路的宽度相等，经过解方程，•我得到路的宽为2m 或12m ．
小颖的设计方案：如图2，其中花园中每个角上的扇形都相同． （1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．
（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0．1m）
（3）你还有其它的设计方案吗？请在右边的矩形中画出你的设计草图，•并加以说明．（2004年新疆建设兵团中考题）
分析（1）由小明的设计知，小路的宽应小于矩形荒地宽的一半，由此判断即可；（2）可由“花园面积为矩形面积一半”列方程求x；（3）可由图形对称性来设计．解（1）小明的结果不对．
设小路宽xm，则得方程
（16-2x）（12-2x）=1
2
×16×12
解得：x1=2，x2=12．而荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m 不合题意．
（2）由题意，4×
2
4
x
π
=
1
2
×16×12
x2=96
π
，x≈5.5m．
（3）方案有多种，下面提供5种供参考：
三、网格求值型
例3 图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．
（1）直接写出单位正三角形的高与面积；
（2）图1中的ABCD含有多少个单位正三角形？ABCD的面积是多少？
（3）求出图1中线段AC的长（可作辅助线）；
（4）求出图2中四边形EFGH的面积．（2005年吉林省中考题）
分析（1）由正三角形边角关系来求；（2）仔细观察图1便可找到答案；（3）考虑到图1中AB=3，BC=4，∠B=60°，可作△ABC的高AK，构造直角三角形，•再利用解直角三角形知识即可求得；（4）可利用网格构造特殊格点图形，再由求补法计算四边
形EFGH •面积．
解：（1，
（2）ABCD 含有24个单位正三角形，故其面积为24
（3）如图1，过A 作AK ⊥BC 于K ，在Rt △ACK 中，AK=
32
KC=5
2
．
∴
（4）如图3，构造EQSR ，过F 作FT ⊥QG 于T ，则S △FQG =
12FT ·QG=12
× 同理可求
S △GSH S △EHR S EQSR
∴S 四边形EFGH = S
EQSR -S △FQG -S △GSH -S △EHR
四、图形对称型
例4 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过C 、E 和D •、•F ，•则图中阴影部分的面积是_________．•（2005年河南省中考题）
分析 由题意知，图中两半圆和两抛物线组成的图形关于y 轴对称，故y 轴左侧阴影部分面积等于半圆B 中的空白面积，所以所求阴影部分面积为半圆B 的面积，即S 阴=
12π·12=1
2
π．
解答：
2
π． 五、图形变换型
例5 如图，矩形ABCD 的长与宽分别是2cm 和1cm ，AB 在直线L 上，依次为B 、C ′、•D ″，依次为B 、C ′、D ″为中心将矩形ABCD 按顺时针方向旋转90°．这样点A •走过的曲线依次为'AA 、'''A A 、''
'''A
A ，其中'AA 交CD 于点P ．
（1）求矩形A ′BC ′D ′的对角线A ′C ′的长； （2）求'AA 的长；
（3）求图中 部分的面积S ；
（4）求图中 部分的面积T ．（2005年吉林省中考题）
分析 （1）要求A ′C ′，因长宽分别为2和1，利用勾股定理即可；（2）要求'AA ，因'AA 所对圆心角为∠ABA ′=90°，半径AB=2，利用弧长公式即可；（3）因△A ′C ′D •′≌△A ″C ′D ″，故S=S 扇形A`C`A``；（4）连PB ，则PB=AB=2，又BC=1，故∠PBC=60°，∠ABP=30°，•欲求T ，由“T=S 扇形ABP +S △BCP ”即可．
解答 （1）A ′C ′cm ）． （2）'AA =
90180
π
×2=π（cm ）．
（3）S=S 扇形A`CA``=290360
π=5
4π（cm ）
（4）连结BP ，在Rt △BCP 中，BC=1，BP=2，
∴∠BPC=30°，ABP=30°，
∴T=S 扇形ABP +S △PBC =
30360π×22（3πcm 2．
六、实际应用型
例6 在栽植农作物时，一个很重要的问题是“合理密植”．如图是栽植一种蔬菜时的两种方法，A 、B 、C 、D 四珠顺次连结成为一个菱形，且AB=BD ；A ′、B ′、•C ′、D ′四株连结成一个正方形，这两种图形的面积为四株作物所占的面积，•两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．在株距都为a ，其他客观因素也相同的条件下，•请从栽植的行距，蔬菜所占的面积，充分生长后空隙地面积三个方面比较两种栽植方法．哪种方法能更充分地利用土地．
分析：本题立意很新，要合理密植，充分利用土地，只需分别计算并比较两种方案的行距、阴影面积以及S 和S ．对应值小的即为合理密植．
解 连结AC 交BD 于点O ．在菱形ABCD 中，有AB=AD ，AC ⊥BD ，BO=1
2
BD ． ∵AB=BD=a ，∴BO=OD=
12
a ．
在Rt △AOD 中，．
∴S 菱形ABCD =2×
12BD ·AO=2
a 2， S 正方形A`B`C`D`=a 2．
设方法（1）中空隙地面积为S 1，方法（2）中空隙地面积为S 2．
则S 1=S 菱形ABCD -S ☉A =
2
a 2-4πa 2， S 2=S 正方形A`B`C`D`-S ☉A`=a 2-
4
πa 2．
∵
2
<1， ∴AO<A ′B ′，
S菱形ABCD<S正方形A`B`C`D`，S1<S2．
∴栽植方法（1）比栽植方法（2）能更充分地利用土地．。