阴影部分面积计算题

求阴影部分图形面积新题型

近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积的知识，出现了一批考查应用与创新能力的新题型，归纳起来主要有： 一、规律探究型

例1 宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r ）．

（1）如图1，分别以线段O 1O 2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积．

（2）如图2，分别以等边△O 1O 2O 3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？

（3）如图3，分别以正方形O 1O 2O 3O 4的四个顶点为圆心，以其边长为半径作四个相同的圆，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？（2005年黄冈市中考题）

分析 （1）利用“S 阴=S 菱形AO1BO2=4S 弓形”即可；（2）利用“S 阴=S △O1O2O3+3S 弓”即可；（3）•直接求解比较困难，可利用求补法，即“S 阴=S 正方形O1O2O3O4-S 空白”，考虑到四个圆半径相同，若延长O 2O 1交⊙O 1•于A ，则S 空白=4S O1AB ，由（1）根据对称性可求S O1BO4，再由“S O1AB =S 扇形AO1O4-S O1BO4”，这样S 空白可求．

解答 （1）设两圆交于A 、B 两点，连结O 1A ，O 2A ，O 1B ，O 2B ． 则S 阴=S 菱形AO1BO2+4S 弓．

∵S 菱形=2S △AO1O2，△O 1O 2A 为正△，其边长为r ．

∴S △AO1O22，S 弓=260360r π2=26r π2

．

∴S 阴=22+4（6πr 2r 2）=23πr 22

．

（2）图2阴影部分的面积为S 阴=S △O1O2O3+3S 弓．

∵△O 1O 2O 3为正△，边长为r ．

∴S △O1O2O3=4r 2，S 弓=260360r π-4

r 2

．

∴S 阴=4r 2+3（26r π-4r 2）=2πr 2-2

r 2

．

（3）延长O 2O 1与⊙O 1交于点A ，设⊙O 1与⊙O 4交于点B ，由（1）知，S O1BO4=

1

2

（

23πr 2-2

r 2

）． ∵S O1AB =S 扇形AO1O4-S O1BO4

=290360r π-12（23πr 2=r 2

）

=

24

r π-

1

3

πr 2+

4

r 2

． 则S 阴=S 正方形O1O2O3O4-4S O1AB

=r 2

-4（24

r π-

1

3

πr 22）

=r 2+

13πr 22=（1

3

πr 2． 二、方案设计型

例2 在一块长16m ，宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．

小明的设计方案：如图1，其中花园四周小路的宽度相等，经过解方程，•我得到路的宽为2m 或12m ．

小颖的设计方案：如图2，其中花园中每个角上的扇形都相同． （1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．

（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0．1m）

（3）你还有其它的设计方案吗？请在右边的矩形中画出你的设计草图，•并加以说明．（2004年新疆建设兵团中考题）

分析（1）由小明的设计知，小路的宽应小于矩形荒地宽的一半，由此判断即可；（2）可由“花园面积为矩形面积一半”列方程求x；（3）可由图形对称性来设计．解（1）小明的结果不对．

设小路宽xm，则得方程

（16-2x）（12-2x）=1

2

×16×12

解得：x1=2，x2=12．而荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m 不合题意．

（2）由题意，4×

2

4

x

π

=

1

2

×16×12

x2=96

π

，x≈5.5m．

（3）方案有多种，下面提供5种供参考：

三、网格求值型

例3 图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．

（1）直接写出单位正三角形的高与面积；

（2）图1中的ABCD含有多少个单位正三角形？ABCD的面积是多少？

（3）求出图1中线段AC的长（可作辅助线）；

（4）求出图2中四边形EFGH的面积．（2005年吉林省中考题）

分析（1）由正三角形边角关系来求；（2）仔细观察图1便可找到答案；（3）考虑到图1中AB=3，BC=4，∠B=60°，可作△ABC的高AK，构造直角三角形，•再利用解直角三角形知识即可求得；（4）可利用网格构造特殊格点图形，再由求补法计算四边

形EFGH •面积．

解：（1，

（2）ABCD 含有24个单位正三角形，故其面积为24

（3）如图1，过A 作AK ⊥BC 于K ，在Rt △ACK 中，AK=

32

KC=5

2

．

∴

（4）如图3，构造EQSR ，过F 作FT ⊥QG 于T ，则S △FQG =

12FT ·QG=12

× 同理可求

S △GSH S △EHR S EQSR

∴S 四边形EFGH = S

EQSR -S △FQG -S △GSH -S △EHR

四、图形对称型

例4 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过C 、E 和D •、•F ，•则图中阴影部分的面积是_________．•（2005年河南省中考题）

分析 由题意知，图中两半圆和两抛物线组成的图形关于y 轴对称，故y 轴左侧阴影部分面积等于半圆B 中的空白面积，所以所求阴影部分面积为半圆B 的面积，即S 阴=

12π·12=1

2

π．