翼教版九年级下册 30.5二次函数与一元二次方程的关系同步课时训练
冀教版数学九年级下册《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》教学设计2
冀教版数学九年级下册《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级下册《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》这一节主要让学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握将一元二次方程转化为二次函数的方法，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
内容上，本节节课主要分为两个部分，第一部分是介绍二次函数与一元二次方程的定义及关系，第二部分是通过实例展示如何将一元二次方程转化为二次函数，并利用二次函数的性质解决问题。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了二次函数的定义、图像和性质，以及一元二次方程的解法。
但学生对二次函数与一元二次方程之间的关系可能还不是很清楚，需要通过实例来加深理解。
此外，学生的抽象思维能力有待提高，需要通过具体的例子来帮助学生理解。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.学会将一元二次方程转化为二次函数，并利用二次函数的性质解决问题。
3.提高学生的抽象思维能力，培养学生的解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何将一元二次方程转化为二次函数。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过具体的实例引导学生发现二次函数与一元二次方程之间的关系，再通过练习巩固所学知识，最后通过拓展环节提高学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学黑板七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次函数的定义、图像和性质，以及一元二次方程的解法，引导学生回忆已学知识，为新课的学习打下基础。
2.呈现（10分钟）展示一个具体的一元二次方程，如：x^2 - 5x + 6 = 0，引导学生思考如何将其转化为二次函数。
3.操练（15分钟）学生分组讨论，每组尝试将给定的一元二次方程转化为二次函数。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成教材中的练习题，教师及时批改，纠正学生的错误，巩固所学知识。
冀教版初中数学九年级下册30.5《二次函数与一元二次方程的关系》试卷练习题
冀教版初中数学
重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！
冀教版初中数学 和你一起共同进步学业有成！
《二次函数与一元二次方程的关系》习题
1、抛物线与x 轴交点的个数为________．
222y x kx =-++2、已知二次函数与x 轴有交点，则k 的取值范围________． 277y kx x =--3、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程22y x x m =-++x 的解为________．
220x x m -++=
x
（第3题）4、二次函数263y kx x =-+的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A 、3k < B 、3k <且0k ≠ C 、3k ≤ D 、3k ≤且0k ≠
5、抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的取值范围是_______．
6、抛物线223y x x =+-与x 轴交点的个数是_______．
7、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是_______．
8、画出函数223y x x =-++223y x x =-++的图像，并根据图像解决下列问题．
(1)写出抛物线的顶点坐标、对称轴和抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标．
(2)当x 在什么范围内时y 随x 的增大而减小？
(3)当x 在什么范围内时，y >0？
(4)当x 在什么范围内时，y <0
？
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维可以让他们更理性地看待人生。
冀教版数学九年级下册《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》教学设计3
冀教版数学九年级下册《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》教学设计3一. 教材分析冀教版数学九年级下册《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》这一节主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，理解并掌握二次函数的图像与一元二次方程的解之间的关系。
教材通过实例引导学生探究，从而让学生自行发现这一关系，提高学生的自主学习能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了二次函数的图像和性质，以及一元二次方程的解法。
但他们可能还没有意识到这两者之间的关系。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生建立两者之间的联系，让学生能够运用这一关系解决实际问题。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.让学生能够运用这一关系解决实际问题。
3.培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.教学难点：如何引导学生发现并理解这一关系。
五. 教学方法1.实例引导：通过具体的实例，让学生观察、分析，从而发现二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.小组讨论：让学生分组讨论，共同探究这一关系，培养学生的合作能力。
3.练习巩固：通过大量的练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.教材、PPT、黑板。
2.练习题。
3.教学工具：直尺、圆规、剪刀等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的实例，如抛物线与x轴的交点问题，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次函数的图像和一元二次方程的解，让学生观察两者之间的关系。
同时，教师引导学生进行分析，解释二次函数的图像与一元二次方程的解之间的关系。
3.操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立解答。
这些练习题主要包括根据二次函数的图像求一元二次方程的解，以及根据一元二次方程的解求二次函数的图像。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，共同探究二次函数与一元二次方程之间的关系。
冀教版初中数学九年级下册学案30.5 二次函数与一元二次方程的关系
30.5 二次函数与一元二次方程的关系学习思路（纠错栏）学习思路（纠错栏）学习目标：1.知道二次函数与一元二次方程的联系，提高综合解决问题的能力．2.会求抛物线与坐标轴交点坐标，会结合函数图象求方程的根.学习重点：二次函数与一元二次方程的联系．预设难点：用二次函数与一元二次方程的关系综合解题．☆预习导航☆一、链接：1.画一次函数y=2x-3的图象并回答下列问题(1)求直线y=2x-3与x轴的交点坐标；(2)解方程2x-3=0(3)说出直线y=2x-3与x轴交点的横坐标和方程根的关系2.不解方程3x2-2x+4=0，此方程有个根。
二、导读画二次函数y= x2-5x+4的图象1．观察图象，抛物线与x轴的交点坐标是什么？2.求一元二次方程x2-5x+4=0的解。
3.抛物线与x轴交点的横坐标与一元二次方程x2-5x+4=0的解有什么关系？（3）一元二次方程ax2＋bx＋c=0是二次函数y＝ax2＋bx＋c当函数值y=0时的特殊情况.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根有什么关系？☆合作探究☆1.二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c=0的关系如下：①当240b ac∆=->时，图象与x轴交于两点12()x x≠，其中的12x x，是一元二次方程()200ax bx c a++=≠的两根．②当0∆=时，图象与x轴只有一个交点；③当0∆<时，图象与x轴没有交点.2.已知抛物线y=2x2+5x+c与x轴没有交点，求c的取值范围.xy( , )( , )Oxy( , )OxyO☆ 归纳反思 ☆一元二次方程02=++c bx ax ，当ac b 42-=∆≥0时有实数根，这个实数根就是对应二次函数c bx ax y ++=2当y =0时自变量x 的值，这个值就是二次函数图象与x 轴交点的 ．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c与一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0与x 轴有 个交点⇔ ac b 42- 0，方程有 的实数根与x 轴有 个交点这个交点是点 ⇔ ac b 42- 0，方程有 的实数根与x 轴有 个交点⇔ac b 42- 0，方程 实数根.☆ 达标检测 ☆1、判断下列二次函数的图象与x 轴有无交点，如有，求出交点坐标；如没有， 说明理由．1442+-=x x y ； 322++=x x y ； 43212-+-=x x y2、证明：抛物线y=x 2-（2p-1）x+p 2-p 与x 轴必有两个不同的交点。
冀教版九年级数学下册教学设计：30.5 二次函数与一元二次方程的关系
冀教版九年级数学下册教学设计：30.5 二次函数与一元二次方程的关系一. 教材分析冀教版九年级数学下册第30.5节《二次函数与一元二次方程的关系》是学生在学习了二次函数及其图象与性质的基础上，进一步探究二次函数与一元二次方程之间的联系。
通过本节课的学习，学生能够理解并掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数及其图象与性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能很好地将二次函数与一元二次方程结合起来。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生建立二次函数与一元二次方程之间的联系，提高学生的解题能力。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.能够运用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.难点：如何运用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作能力。
3.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用二次函数与一元二次方程的关系解决问题。
4.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.实际问题案例：准备一些实际问题，用于课堂讨论和练习。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入二次函数与一元二次方程的关系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示课件，引导学生回顾二次函数及其图象与性质。
然后，介绍一元二次方程的定义及其解法。
3.操练（10分钟）分组讨论实际问题，让学生运用二次函数与一元二次方程的关系解决问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
冀教版数学九年级下册《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》教学设计2
冀教版数学九年级下册《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级下册第30.5节《二次函数与一元二次方程的关系》是本册教材的最后一个单元，主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解二次函数的图像与一元二次方程的解之间的关系，提高他们解决实际问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识点，提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图像、一元二次方程的解法等知识点。
但部分学生对二次函数与一元二次方程之间的关系理解不够深入，解决实际问题的能力有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注这部分学生的学习需求，通过实例讲解和练习，帮助他们更好地理解知识点。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.学会运用二次函数的图像解决实际问题。
3.提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.难点：如何运用二次函数的图像解决实际问题。
五. 教学方法1.实例讲解：通过具体的例子，让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.小组讨论：让学生分组讨论，培养他们的合作能力和解决问题的能力。
3.练习巩固：通过丰富的练习题，帮助学生巩固知识点。
4.拓展延伸：引导学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备练习题和答案。
3.准备教学板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示二次函数与一元二次方程之间的关系，让学生了解它们之间的联系。
3.操练（15分钟）学生分组讨论，运用所学知识解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，教师批改并及时给予反馈。
5.拓展（10分钟）教师引导学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
冀教版数学九年级下册《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》教学设计1
冀教版数学九年级下册《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级下册第30.5节《二次函数与一元二次方程的关系》是本册教材的最后一个单元，主要目的是让学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握将一元二次方程转化为二次函数的方法，并能够运用二次函数解决一些实际问题。
本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过实例来帮助学生理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的知识，对于二次函数也有一定的了解，但将其与一元二次方程联系起来可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要通过具体的实例和活动，帮助学生建立起二次函数与一元二次方程之间的联系，提高他们的理解能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.学会将一元二次方程转化为二次函数的方法。
3.能够运用二次函数解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.难点：将一元二次方程转化为二次函数的方法。
五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实例，让学生理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.小组讨论：让学生在小组内进行讨论，共同解决问题，提高他们的合作能力和解决问题的能力。
3.问题解决：引导学生运用二次函数解决实际问题，培养他们的应用能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材和教案。
2.课件和教学素材。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次函数与一元二次方程的关系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解二次函数与一元二次方程之间的关系，通过具体的实例，让学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固所学的知识。
4.巩固（10分钟）通过小组讨论，共同解决问题，进一步巩固二次函数与一元二次方程之间的关系。
5.拓展（10分钟）引导学生运用二次函数解决实际问题，培养他们的应用能力和解决问题的能力。
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数与一元二次方程的关系
3．(2019·河北唐山丰南区期末)若二次函数 y＝ax2－2ax－1 的图 像和 x 轴两交点间的距离为 4，则 a 为( B ) A．18 B．13 C．214 D．－1
4．抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的交点个数与一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0 根的判别式的关系： 当 b2－4ac＜0 时，抛物线与 x 轴___没__有_____交点； 当 b2－4ac＝0 时，抛物线与 x 轴__有__一_个_____交点； 当 b2－4ac＞0 时，抛物线与 x 轴___有_两__个____交点．
①若抛物线 l 与线段 AB 总有公共点，求 t 的取值范围；
解：平移后 B(－2，－1－2t)，A(－4，－1－2t)， 当抛物线 l 经过点 B 时，有 y＝－(－2)2＋2×(－2)＋3＝－5， 当抛物线 l 经过点 A 时，有 y＝－(－4)2＋2×(－4)＋3＝－21. ∵抛物线 l 与线段 AB 总有公共点，∴－21≤－1－2t≤－5， 解得 2≤t≤10.
②若抛物线 l 同时以每秒 3 个单位长度的速度向下平移，且其在 y 轴及 y 轴右侧的部分与直线 AB 总有两个公共点，直接写出 t 的取值范围．
【点拨】平移过程中，设 C(0，3－3t)，则抛物线 l 的顶点坐标为 (1，4－3t)． ∵抛物线 l 在 y 轴及 y 轴右侧的部分与直线 AB 总有两个公共点， ∴－－11－－22tt≥<43－－33t，t，解得 4≤t＜5.
10. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图像如图所示，顶 点坐标为(－1，－3.2)，由图像可知关于 x 的一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0 的两个根分别是 x1＝1.3，x2＝__－_3_._3___．
2020年春冀教版九年级数学下册30.5 二次函数与一元二次方程的关系
30.5 二次函数与一元二次方程的关系1.抛物线2283y x x =--与x 轴有个交点，因为其判别式24b ac -=0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为．2.二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为 ．3.关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于点，此时m =．4. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个5.关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（）Ａ．116m <-Ｂ．116m -≥且0m ≠Ｃ．116m =-Ｄ．116m >-且0m ≠6.函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（）Ａ．有两个不相等的实数根Ｂ．有两个异号的实数根Ｃ．有两个相等的实数根Ｄ．没有实数根7. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c8.已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是，求h 和k的值．9.已知函数22y x mx m =-+-．（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点；（2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式．10.已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，且△ABC 的面积为，求此二次函数的函数表达式． 11.已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，且22 1210x x+=．（1）求A，B两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P，使△PAB面积等于四边形ACMB面积的2倍，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．。
最近冀教版九年级数学下册单元习题30.5 二次函数与一元二次方程的关系
冀教版初中数学九年级下册第三十章二次函数30.5《用函数观点看一元二次方程》教材分析本课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况．这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法和数形结合、代数与几何的转化思想．这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系．学情分析对于探索得出二次函数与一元二次方程的关系，用二次函数的图象求一元二次方程的方法和数形结合、转化思想，学生认识上不够深刻，实际运用的经验不足，故学生如何探索方程与函数之间关系、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系并灵活运用结论以及相关数学思想去解决实际问题是本节课的难点．教学策略针对本节课的内容特点、教学目标、学生已有经验和认知水平，采取了分组交流合作法、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合．注重数学与生活的联系，创设有启发性、挑战性的问题情景激发学生学习的兴趣，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律．注重学生的个性差异，因材施教，分层教学．注重师生互动、生生互动，让不同层次的学生动眼、动脑、动手、动口，参与数学思维活动，充分发挥学生的主体作用．教案说明本节课采用问题探究式学习模式、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合，我认为这样更能有效的培养学生学习数学的能力，有利于培养学生的数学思维．一、教学目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．2．进一步培养学生综合能力，渗透数形结合思想．3．通过实际问题，体会一元二次方程解的实际意义，发展数学思维，求解过程中，学会合作、交流．二、重点与难点：重点：1．体会方程与函数之间的联系；2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．难点：进一步培养学生的综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．三、教学过程：自主探究合作交流给如果不出示问题，学生分析理解．注意学生对高度、时间的理解分析：通过对小球飞行问题的求解，一元二次方程根的探索兴趣．（请学生自主学习课本相关内容）教学反思：1．注重知识的发生过程与思想方法的应用《用函数的观点看一元二次方程》内容比较多，而课时安排只一节，为了在一节课的时间里更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导、学生为主体的指导思想，本节课给学生布置的预习作业，从学生已有的经验出发引发学生观察、分析、类比、联想、归纳、总结获得新的知识，让学生充分感受知识的产生和发展过程，使学生始终处于积极的思维状态中，对新的知识的获得觉得不意外，让学生“跳一跳就可以摘到桃子”．探究抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系及其应用的过程中，引导学生观察图形，从图象与x轴交点的个数与方程的根之间进行分析、猜想、归纳、总结，这是重要的数学中数形结合的思想方法，在整个教学过程中始终贯穿的是类比思想方法．这些方法的使用对学生良好的思维品质的形成有重要的作用，对学生的终身发展也有一定的作用．2．关注学生学习的过程在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题串、给学生提供广阔的思考空间、活动空间、为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界．3．优化作业设计作业的设计分作业本作业（量少）和同步练习册作业（稍多），作业本作业能让学生难度偏低适合所有学习，目的是简单回顾上课内容，更能培养学生书写的规范性及整洁性；同步作业巩固课堂知识，适当拓展，提高学生综合能力．。
冀教版初中数学九年级下册专题练习30.5 二次函数与一元二次方程的关系
30.5 二次函数与一元二次方程的关系一、选择题1. 下列命题：若，则；若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是A. 只有B. 只有C. 只有D. 只有2. 二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是A. B. C. D.3. 已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：A. 开口向上B. 与x轴的另一个交点是C. 与y轴交于负半轴D. 在直线的左侧部分是下降的4. 在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线的一部分图象如图所示，它与x轴交于，与y轴交于点B，则a的取值范围是A. B. C. D.5. 二次函数的图象如图所示，那么一元二次方程为常数且的两根之和为A. 1B. 2C. -1D. -26. 已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取、时对应的函数值为、，则、必须满足A. 、B. 、C. 、D. 、7. 如图，教师在小黑板上出示一道题，小华答：过点；小彬答：过点；小明答：；小颖答：抛物线被x轴截得的线段长为你认为四人的回答中，正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 已知函数，其中、为常数，且，若方程的两个根为、，且，则、、、的大小关系为A. B.C. D.9. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，其中错误的结论为A. 方程的根为B.C. D.10. 已知抛物线的对称轴为，若关于x的一元二次方程在的范围内有解，则c的取值范围是A. B. C. D.二、解答题11. 抛物线经过点、两点．（1）求抛物线顶点D的坐标；（2）抛物线与x轴的另一交点为A，求的面积．12. 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线，经过点、．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长．13. 已知抛物线的对称轴是直线，（1）求证：；（2）若关于x的方程，有一个根为4，求方程的另一个根．14. 抛物线与y轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）①当x取什么值时，？当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？15. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与x轴正半轴的交点，点B在抛物线上，其横坐标为2，直线AB与y轴交于点点M、P在线段AC上不含端点，点Q在抛物线上，且MQ平行于x轴，PQ平行于y轴设点P横坐标为m．（1）求直线AB所对应的函数表达式．（2）用含m的代数式表示线段PQ的长．（3）以PQ、QM为邻边作矩形PQMN，求矩形PQMN的周长为9时m的值．答案一、选择题1.【答案】B【解析】①b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）2≥0，正确；②若b＞a+c，则△的大小无法判断，故不能得出方程有两个不等实根，错误；③b2-4ac=4a2+9c2+12ac-4ac=4（a+c）2+5c2，因为a≠0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2-4ac＞0，正确；④二次函数y=ax2+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确．故选B．2.【答案】A【解析】由图可知：y≥-3，即ax2+bx≥-3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=-m，∴-m≥-3，∴m≤3．故选A. 3. 【答案】B【解析】A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4．将（-1，0）代入，得a（-1-1）2+4=0，解得a=-1．∵a=-1＜0，∴抛物线的开口方向向下，故本选项错误；B、抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴是x=1，则抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），故本选项正确；C、由表格知，抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），即与y轴交于正半轴，故本选项错误；D、抛物线开口方向向下，对称轴为x=1，则在直线x=1的左侧部分是上升的，故本选项错误；故选B．点睛：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．4. 【答案】B【解析】根据图象得：a＜0，b＜0，∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），∴，∴a+b=-3，∵b＜0，∴-3＜a＜0，故选B．5. 【答案】D【解析】∵抛物线与x轴的两交点坐标为（-3，0），（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=-3，x2=1，∴-3+1=-，即=2，∴一元二次方程ax2+bx+c-m=0的两根之和=-=-2．故选D．6. 【答案】B【解析】令y＝−x2+x−=0，解得：x=，∵当自变量x取m时对应的值大于0，∴＜m＜，∵点（m+1，0）与（m-1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x轴两交点之间的距离，∴m-1的最大值在左边交点之左，m+1的最小值在右边交点之右．∴点（m+1，0）与（m-1，0）均在交点之外，∴y1＜0、y2＜0．故选B．7. 【答案】C【解析】∵抛物线过（1，0），对称轴是x=2，∴，解得a=1，b=-4，∴y=x2-4x+3，当x=3时，y=0，小华正确；当x=4时，y=3，小彬也正确，小明也正确；∵抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），∴另一点为（-1，0）或（3，0），∴对称轴为y轴或x=2，此时答案不唯一，∴小颖错误．故选C．8. 【答案】C【解析】函数y=（x-x1）（x-x2）的图象与x轴的交点的横坐标分别是x1、x2；函数y=（x-x1）（x-x2）-2的图象是由函数y=（x-x1）（x-x2）的图象向下平移2个单位得到的，则方程（x-x1）（x-x2）-2=0[或方程（x-x1）（x-x2）=2]的两根x3、x4即为函数y=（x-x1）（x-x2）-2的图象与x轴的交点的横坐标，它们的大致图象如图所示,根据图象知，x3＜x1＜x2＜x4．故选C．9. 【答案】A【解析】∵x=-1时，y≠0，∴方程ax2+bx+c=0的根为-1这种说法不正确，∴结论A不正确；∵二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2-4ac＞0，∴结论B正确；∵x=-，∴b=2a，∴顶点的纵坐标是=2，∴a=c-2，∴结论C正确；∵二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，∴与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴结论D正确；∴不正确的结论为：A．故选A．点睛：二次函数的图象与系数的关系：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．10. 【答案】D【解析】由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，∴−=1，−=1，解得：b=-2，∴x2-bx-c=x2+2x-c，令y1=x2+2x-c，可求其对称轴为：x=-1，根据题意，当x=2时，y1＞0，x2+2x-c＞0，且当x=-1时，y1≤0，x2+2x-c≤0，或当x=-3时，y＞0，9-6-c＞0，且当x=-1时，y1≤0，x2+2x-c≤0，解得：-1≤c＜8，或-1≤c ＜3，综上所述，-1≤c＜8．故选D．二、解答题11. 【答案】（1）D（1，4）；（2）6.【解析】（1）利用待定系数法代入求出a，c的值，进而利用配方法求出D点坐标即可；（2）首先求出图象与x轴的交点坐标，进而求出△ABC的面积．解：（1）由题意，得，解得，则y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则D（1，4）；（2）由题意，得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3；则A（-1，0），又∵B（3，0）、C（0，3），∴S△ABC＝×4×3＝6.12. 【答案】（1）C（2，-3）；（2）.【解析】（1）已知抛物线过A，B两点，可将A，B的坐标代入抛物线的解析式中用待定系数法即可求出抛物线的解析式．然后可根据抛物线的解析式得出顶点C的坐标．（2）分别求直线AC的解析式和BD的解析式，直线AC：y=-x-1，直线BD：y=x-1，可得D和P的坐标，证明△BPG∽△CPH和△HPG∽△CPB，列比例式可得HG的长.解：（1）把A（-1，0）、B（5，0）代入抛物线解析式，得，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2−x−＝ (x−2)2−3，∴顶点C（2，-3）（2）设BD与CG相交于点P，设直线AC的解析式为：y=kx+b把A（-1，0）和C（2，-3）代入得：，解得：则直线AC：y=-x-1，∴D（0，-1），同理可得直线BD：y=x-1，∴P(2，−)∵∠CHP=∠PGB=90°，∠GPB=∠CPH∴△BPG∽△CPH，∴，∴△HPG∽△CPB，∴，∴，∴HG＝.13. 【答案】（1）见解析；（2）方程的另一个根为x=-2.【解析】（1）根据抛物线的对称轴为x=-=1可得；（2）根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴-=1，∴2a+b=0；（2）∵关于x的方程ax2+bx-8=0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），∴方程的另一个根为x=-2．14.【答案】（1）；（2）x轴：、；Y轴：（3）见解析.【解析】（1）将点（0，3）代入抛物线的解析式中，即可求得m的值；（2）可以令y=0，可得出一个关于x 的一元二次方程，方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标；（3）根据（2）中抛物线与x轴的交点以及抛物线的开口方向即可求得x的取值范围．解：（1）将点（0，3）代入抛物线y=-x2+（m-1）x+m，m=3，∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3；（2）令y=0，-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1；x轴：A（3，0）、B（-1，0）；y轴：C（0，3）（3）抛物线开口向下，对称轴x=1；所以）①当-1＜x＜3时，y＞0；②当x≥1时，y的值随x的增大而减小．15. 【答案】（1）直线AB的解析式为；（2）见解析；（3）m的值为或．【解析】（1）先利用二次函数解析式求出A点和B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式；（2）设P（m，-m+8），则Q（m，-m2+4m），讨论：当0＜m≤2时，PQ=m2-5m+8；当2＜m＜8时，PQ=-m2+5m-8；（3）先表示出M（m2-4m+8，-m2+4m），讨论：当0＜m≤2，QM=m2-5m+8，利用矩形周长列方程得到（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，然后解方程求出满足条件m的值；当2＜m＜8，QM=-m2+5m-8，利用矩形周长列方程得到2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，然后解方程求出满足条件m的值．解：（1）当y=0时，-x2+4x=0，解得x1=0，x2=8，则A（8，0）；当x=2时，y=-x2+4x=6，则B（2，6），设直线AB所对应的函数表达式为y=kx+b，将A（8，0），B（2，6）代入可得，解得，所以直线AB的解析式为y=-x+8；（2）设P（m，-m+8），则Q（m，-m2+4m），当0＜m≤2时，PQ=-m+8-（-m2+4m）=m2-5m+8；当2＜m＜8时，PQ=-m2+4m-（-m+8）=-m2+5m-8；（3）∵MQ∥x轴，∴M点的纵坐标为-m2+4m，∴M点的横坐标为m2-4m+8，即M（m2-4m+8，-m2+4m），当0＜m≤2，QM=m2-4m+8-m=m2-5m+8，∵2（PQ+QM）=9，∴2（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，整理得2m2-20m+23=0，解得m1=，m2=（舍去）；当2＜m＜8，QM=m-（m2-4m+8）=-m2+5m-8，∵2（PQ+QM）=9，∴2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，整理得2m2-20m+41=0，解得m1=，m2=（舍去）；综上所述，m的值为或．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用。
冀教版九年级下册课时作业 30、5二次函数与一元二次方程的关系
30.5二次函数与一元二次方程的关系一、单选题1.如图，点(2.18,0.51)A -，(2.68,0.54)B 在二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象上，则方程20ax bx c ++=的一个近似值可能是( )A.2.18B.2.68C.0.51-D.2.452.已知二次函数2114y x x m =-+-的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( )A.5m ≤B.2m ≥C.5m <D.2m >3.若抛物线28y x px =++的顶点在x 轴的正半轴上，则p 的值为( )A.±B.C.-D.04.已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是( )A.有两个同号不相等的实数根B.有两个异号不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.无实数根5.四位同学在研究函数2y x bx c =++（b ，c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( ) A.甲 B.乙C.丙D.丁6.若二次函数2y x bx =+图像的对称轴是直线2x =，则关于x 的方程25x bx +=的解为( )A.120,4x x ==B.121,5x x ==C.121,5x x ==-D.121,5x x =-=7.抛物线221y x =-+与坐标轴的交点个数是( ) A.0 B.1C.2D.38.二次函数2y ax bx =+的图像如图，若一元二次方程2ax bx m +=-有实数根，则m 的最大值为( )A.3B.-3C.-6D.99.在平面直角坐标系中，已知函数2221231,2,4y x ax y x bx y x cx =++=++=++，其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =.设函数123,,y y y 的图像与x 轴的交点个数分别为123,,M M M ，( )A.若122,2M M ==，则30M =B.若121,0M M ==，则30M =C.若120,2M M ==，则30M =D.若120,0M M ==，则30M =二、填空题10.小颖用计算器探索方程20ax bx c ++=的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根3.4x =-，则方程的另一个近似根为______________（精确到0.1）.11.若函数22y x x b =-+的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是__________.12.如图，抛物线2(0)y ax a =≠与直线(0)y bx c b =+≠的两个交点坐标分别为(2,4),(1,1)A B -，则关于x 的方程2ax bx c =+的解是___________.三、解答题13.已知抛物线22(21)2y x m x m m =--+--.（1）此抛物线与x 轴有几个交点？试说明理由.（2）分别求出抛物线与x 轴的交点A ，B （点A 在点B 的左侧）的横坐标A x ，B x ，以及与y 轴的交点C 的纵坐标C y （用含m 的代数式表示）.（3）设ABC 的面积为6，且A ，B 两点在y 轴的同侧，试求抛物线的表达式.参考答案1.答案：D解析：图象上有两点分别为(2.18,0.51),(2.680.54),A B -∴，当 2.18x =时，0.51y =-；当 2.68x =时，0.54y =，∴当0y =时，2.18 2.68x <<.只有选项D 符合.故选D. 2.答案：A解析：二次函数2114y x x m =-+-的图象与x 轴有交点，21(1)41104m ⎛⎫∴∆=--⨯⨯-≥ ⎪⎝⎭，解得5m ≤.故选A.3.答案：C解析：抛物线28y x px =++的顶点在x 轴的正半轴上，0p ∴<，且224320b ac p -=-=，解得p =-.故选C.4.答案：A解析：由题意知2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，顶点的纵坐标是223.20,2ax bx c ax bx c -+++=∴++=-，∴方程的解即2y =-时x 的值.由图象可知，方程有两个同号不相等的实数根.故选A. 5.答案：B解析：假设甲和丙的结论正确，则21,243,4bc b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得2,4.b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为224y x x =-+.当1x =-时，2247y x x =-+=，∴乙的结论不正确；当2x =时，2244y x x =-+=，∴丁的结论正确.四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立.故选B. 6.答案：D解析：令0y =，得20x bx +=，解得120,x x b ==-.抛物线的对称轴为2,4x b =∴-=，解得4b =-.将4b =-代入25x bx +=，得245x x -=，解得125,1x x ==-.故选D.7.答案：C解析：(2244210b ac ∆=-=--⨯⨯=，因此抛物线与x 轴只有1个交点.1c =，故抛物线与y轴相交于(0,1).故抛物线与坐标轴有2个交点. 8.答案：A解析：由图像可得，二次函数2y ax bx =+的最小值是3y =-.一元二次方程2ax bx m +=-有实数根，3m ∴-≥-，解得3m ≤，∴m 的最大值是3.故选A. 9.答案：B解析：假设121,0M M ==，2240,80.,,a b a b c ∴-=-<是正实数，2212.,2a b ac c b ∴==∴=，对于234y x cx =++，则()()()24422111Δ161664880444c b b b b =-=-=-=+-<，30,M ∴=∴选项B 符合题意.故选B. 10.答案：1.4解析：抛物线与x 轴的一个交点为( 3.4,0)-，又抛物线的对称轴为直线1x =-，∴另一个交点坐标为(1.4,0)，故方程的另一个近似根为1.4.故选D. 11.答案：1b <且0b ≠解析：函数22y x x b =-+的图象与坐标轴有三个交点，2(2)40,0,b b ⎧∆=-->∴⎨≠⎩，解得1b <且0b ≠.12.答案：122,1x x =-=解析：抛物线2(0)y ax a =≠与直线(0)y bx c b =+≠的两个交点坐标分别为(2,4),(1,1)A B -，∴方程组2,y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为12122,1,4,1,x x y y ⎧=-=⎧⎪⎨⎨==⎪⎩⎩∴关于x 的方程2ax bx c =+的解是12x =-，21x =. 13.答案：解：（1）抛物线与x 轴有两个交点.理由： 这里1a =，(21)b m =--，22c m m =--，()2222[(21)]4244144890m m m m m m m ∆=-----=-+-++=>，∴抛物线与x 轴有两个交点.（2）令0y =，得到22(21)20x m x m m --+--=，即(2)(1)0x m x m -+--=， 解得2A x m =-，1B x m =+.令0x =，得到22y m m =--，即22C y m m =--. （3）根据题意，得2132622ABCC A B Sy x x m m =⋅⋅-=--=∣∣， 224m m ∴--=或224m m --=-，解得3m =或2m =-，∴抛物线的表达式为254y x x =-+或254y x x =++.。
冀教版九年级数学下册同步练习：30.5 二次函数与一元二次方程的关系
30.5二次函数与一元二次方程的关系知识点1二次函数图像与x轴交点的横坐标1．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图30－5－1所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的根是________，________；(2)∵方程x2＋3x＋2＝0的根是________，________，∴抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的交点坐标是________和________．图30－5－12已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)，则一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根是()A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－3，x2＝1C．x1＝3，x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝－33．二次函数y＝－x2＋6x－9的图像与x轴交点的横坐标为________．知识点2二次函数图像与x轴的交点个数4．教材“做一做”变式题抛物线y＝－3x2－x＋4与x轴的公共点的个数是()A．3 B．2 C．1 D．05．图30－5－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图像，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0()图30－5－2A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定6．设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x＝2时，函数值y＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0的判别式b2－4ac与0的大小关系是()A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac＜0C．b2－4ac＞0 D．b2－4ac≥07．2019·自贡若函数y＝x2＋2x－m的图像与x轴有且只有一个交点，则m的值为________．8．2019·武汉已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图像与x轴的一个交点的坐标为(m，0)．若2＜m＜3，则a的取值范围是________．9．指出下列函数图像与x轴是否有公共点，如果有，请求出公共点坐标；如果没有，请说明理由．(1)y＝x2＋x；(2)y＝－x2＋2x－1；(3)y＝3x2－6x＋5.10．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；(2)把该函数的图像沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？知识点3利用二次函数图像求一元二次方程的近似解11．根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个根x的范围是()A.6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.2012．小颖用计算器探索方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，作出如图30－5－3所示的图像，其中直线x＝－1为此图像的对称轴，并求得一个近似根x＝－3.4，则方程的另一个近似根(精确到0.1)为()A．4.4 B．3.4C．2.4 D．1.4图30－5－3图30－5－413．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＞0)的部分图像如图30－5－4所示，直线x＝1是它的对称轴．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1的取值范围是2＜x 1＜3，则它的另一个根x 2的取值范围是____________．14．2019·徐州若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图像与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( )A ．b ＜1且b ≠0B ．b ＞1C ．0＜b ＜1D ．b ＜115．2019·朝阳若函数y ＝(m －1)x 2－6x ＋32m 的图像与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为( )A ．－2或3B ．－2或－3C ．1或－2或3D ．1或－2或－316．若关于x 的一元二次方程a (x ＋m )2－3＝0的两个实数根分别为x 1＝－1，x 2＝3，则抛物线y ＝a (x ＋m －2)2－3与x 轴的交点坐标为________．17．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像如图30－5－5所示，根据图像解答下列问题：(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根；(2)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝k (a ≠0)有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．图30－5－518．如图30－5－6，二次函数y ＝(x ＋2)2＋m 的图像与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过该二次函数图像上的点A (－1，0)及点B .(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图像，写出满足不等式(x ＋2)2＋m ≥kx ＋b 的x 的取值范围．图30－5－6【详解详析】1．(1)x 1＝－3 x 2＝1(2)x 1＝－2 x 2＝－1 (－2，0) (－1，0)2．C 3.3 4.B5．A [解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个公共点，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根．6．D7．－1 [解析] ∵函数y ＝x 2＋2x －m 的图像与x 轴有且只有一个交点，∴b 2－4ac ＝ 22－4×1×(－m )＝4＋4m ＝0，解得m ＝－1.8.13＜a ＜12或－3＜a ＜－2 [解析] ∵y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a ＝(ax －1)(x ＋a )，∴当y ＝0时，x 1＝1a ，x 2＝－a ，∴抛物线与x 轴的交点为(1a，0)和(－a ，0)．∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(m ，0)且2＜m ＜3，∴当a ＞0时，2＜1a ＜3，解得13＜a ＜12；当a ＜0时，2＜－a ＜3，解得－3＜a ＜－2.故答案为13＜a ＜12或－3＜a ＜－2. 9．解：(1)有公共点．因为b 2－4ac ＝1－0>0，所以函数图像与x 轴有两个公共点．当 x 2＋x ＝0时，解得x 1＝0，x 2＝－1，所以函数图像与x 轴的公共点的坐标为(0，0)和(－1，0)．(2)有公共点．因为b 2－4ac ＝4－4＝0，所以函数图像与x 轴有一个公共点．当－x 2＋2x －1＝0时，解得x 1＝x 2＝1，所以函数图像与x 轴的公共点坐标为(1，0)．(3)没有公共点．理由：因为b 2－4ac ＝36－60<0，所以函数图像与x 轴没有公共点．10．解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝(－2m )2－4×1×(m 2＋3)＝4m 2－4m 2－12＝－12＜0， ∴方程x 2－2mx ＋m 2＋3＝0没有实数根，即不论m 为何值，该函数的图像与x 轴没有公共点．(2)y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3＝(x －m )2＋3，把函数y ＝(x －m )2＋3的图像沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数y ＝(x －m )2的图像，它的顶点坐标是(m ，0)，此时，这个函数的图像与x 轴只有一个公共点．所以把函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图像沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图像与x 轴只有一个公共点．11．C12．D13．－1＜x 2＜0 [解析] 由图像可知当x ＝2时，y ＜0；当x ＝3时，y ＞0.由于直线x ＝1是抛物线的对称轴，则由二次函数图像的对称性可知：当x ＝0时，y ＜0；当x ＝－1时， y ＞0，所以另一个根x 2的取值范围为－1＜x 2＜0.14．A [解析] ∵函数y ＝x 2－2x ＋b 的图像与坐标轴有三个交点，∴(－2)2－4b ＞0，且b ≠0，解得b ＜1且b ≠0.故选A.15．C [解析] 当m ＝1时，函数表达式为y ＝－6x ＋32是一次函数，图像与x 轴有且只有一个交点；当m ≠1时，函数是二次函数．∵函数y ＝(m －1)x 2－6x ＋32m 的图像与x 轴有且只有一个交点，∴62－4×(m －1)×32m ＝0，解得m ＝－2或m ＝3.故选C. 16．(1，0)，(5，0) [解析] ∵关于x 的一元二次方程a (x ＋m )2－3＝0的两个实数根分别为x 1＝－1，x 2＝3，即抛物线y ＝a (x ＋m )2－3与x 轴的两个交点坐标是(－1，0)，(3，0)．抛物线y ＝a (x ＋m －2)2－3是将抛物线y ＝a (x ＋m )2－3向右平移2个单位长度得到的， 故抛物线y ＝a (x ＋m －2)2－3与x 轴的交点坐标是(1，0)，(5，0)．17．解：(1)由图像，得方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1＝1，x 2＝3.(2)由图像，得当y ＝ax 2＋bx ＋c ＞0时，x 的取值范围为1＜x ＜3，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为1<x <3.教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
冀教版数学九年级下册30.5《二次函数与一元二次方程的关系》教学设计1
冀教版数学九年级下册30.5《二次函数与一元二次方程的关系》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级下册30.5《二次函数与一元二次方程的关系》这一节主要让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
教材通过例题和练习题引导学生从实际问题中发现一元二次方程，从而加深对二次函数与一元二次方程关系的理解。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学过二次函数的图像和性质，以及一元二次方程的解法。
他们对于二次函数和一元二次方程各自的概念和性质有一定的了解，但可能还没有意识到它们之间的联系。
因此，在教学过程中，需要帮助学生建立二次函数与一元二次方程之间的联系，并通过实际问题让学生感受它们之间的关系。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.能够从实际问题中提出一元二次方程，并利用二次函数的性质解决问题。
3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.难点：如何从实际问题中提出一元二次方程，并利用二次函数的性质解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实际问题引导学生发现一元二次方程，并利用二次函数的性质解决问题。
同时，采用小组合作学习法，让学生在小组讨论中共同解决问题，培养学生的团队合作能力和数学思维。
六. 教学准备1.教材和教辅资料。
2.投影仪和电脑。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：二次函数与一元二次方程的关系。
例如，抛物线与x轴的交点问题。
2.呈现（15分钟）讲解教材中的例题，引导学生从实际问题中提出一元二次方程，并利用二次函数的性质解决问题。
在此过程中，强调二次函数与一元二次方程之间的关系。
3.操练（15分钟）让学生独立完成教材中的练习题，教师巡回指导。
遇到问题时，鼓励学生相互讨论，共同解决问题。
4.巩固（10分钟）小组合作完成一个综合性的实际问题。
问题可以涉及二次函数和一元二次方程的综合应用，如求最值、确定函数图象与x轴的交点等问题。
冀教版数学九年级下册30.5《二次函数与一元二次方程的关系》教学设计1
冀教版数学九年级下册30.5《二次函数与一元二次方程的关系》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级下册30.5《二次函数与一元二次方程的关系》这一节主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握将一元二次方程转化为二次函数的方法，以及会用二次函数的性质解决实际问题。
通过这一节的学习，让学生能更好地理解初中阶段数学知识之间的联系。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了二次函数的一般形式、图像和性质，以及一元二次方程的解法。
但学生对二次函数与一元二次方程之间的关系可能还比较模糊，需要通过实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.学会将一元二次方程转化为二次函数的方法。
3.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
4.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的关系，将一元二次方程转化为二次函数的方法。
2.教学难点：运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生对知识的理解和运用能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作包含二次函数与一元二次方程关系的课件。
2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数解决实际问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次函数的一般形式、图像和性质，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）展示一些一元二次方程，让学生尝试将其转化为二次函数，从而引出二次函数与一元二次方程之间的关系。
通过具体例子，让学生理解两者之间的联系。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，共同完成一些练习题，巩固对二次函数与一元二次方程关系的理解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）请学生上台展示自己的练习成果，教师点评并给予鼓励。
冀教版初中数学九年级下册《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》同步练习卷
冀教新版九年级下学期《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》同步练习卷一．选择题（共16小题）1．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1＝，x2＝D．x1＝﹣4，x2＝02．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A．b＜1且b≠0B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜13．已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（）A．y＝x2+2x+1B．y＝x2+2x﹣1C．y＝x2﹣2x+1D．y＝x2﹣2x﹣1 4．已知二次函数y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（）A．m＝n B．m＝n C．m＝n2D．m＝n25．根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（）A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是26．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n 的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜0B．x＜﹣3或x＞0C．x＜﹣3D．0＜x＜37．在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x ＞2x的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜2C．x＞2D．x＜0或x＞2 8．若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是（）A．2≤x≤3B．﹣1＜x＜1C．﹣1≤x≤1D．2＜x＜39．如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围（）A．﹣1≤x≤9B．﹣1≤x＜9C．﹣1＜x≤9D．x≤﹣1或x≥9 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：（1）b2﹣4ac＞0；（2）2a＝b；（3）点（﹣，y1）、（﹣，y2）、（，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3；（4）3b+2c＜0；（5）t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．511．如图，已知二次函数y1＝x2﹣x的图象与正比例函数y2＝x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．0＜x＜3C．2＜x＜3D．x＜0或x＞3 12．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为A（﹣1，3），抛物线与x轴的一个交点为B（﹣3，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a ﹣b＝0，②abc＞0，③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，④抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），⑤当﹣3＜x＜﹣1时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．213．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B（3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c ＝4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个14．抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n的图象如图所示，下列判断：①abc＜0；②c＜n；③a+b+c＞0；④2a+b＜0；⑤当x＜或x＞6时，y1＞y2．其中正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．如图，一条抛物线与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动．M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2）．x1的最小值为﹣3，则x2的最大值为（）A．﹣1B．1C．3D．516．如图一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C10，若点P（28，m）在第10段抛物线C10上，则m的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2二．填空题（共8小题）17．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2﹣2x（﹣2≤x≤0）的图象记为C1，它与x 轴交于A1，O两点，将图象C1绕着原点O旋转180°得到图象C2，点A1的对称点为A2，将C1与C2同时沿x轴向右平移A1A2的长度即可得到C3与C4，若点P（，m）在C4上，则m＝．18．已知m是正实数，关于x的方程2x2﹣mx﹣30＝0的两个根为x1、x2，且5x1+3x2＝0，在直角坐标系中，抛物线y＝mx2+（4+k）x+k与x轴有个交点．19．已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，以C为直角顶点作等腰Rt△ACP，则P点的坐标为．20．抛物线y＝2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有个．21．已知函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为．22．抛物线y＝ax2+bx+c过（2，6），（4，6）两点，一元二次方程ax2+bx+c＝k，当k＞7时无实数根，当k≤7时有实数根，则抛物线的顶点坐标是．23．如图，已知：一次函数图象y1＝kx+d与x轴交于点（m，0），与y轴交于（0，4），二次函数y2＝ax2+bx+c图象与x轴交于点（s，0）和（n，0），与y轴交于（0，6），且两个函数图象交点的横坐标分别为p、t，则y3＝ax2+（b﹣k）x+2的图象与x轴的交点坐标是．24．若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），则另一交点坐标为．三．解答题（共14小题）25．已知：抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D′的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD′和AC，请你直接写出线段AC与线段BD′的关系．26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．27．已知函数y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m（m为常数）．（1）试判断该函数的图象与x轴的公共点的个数；（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x2+4x+6的图象上；（3）若直线y＝x与二次函数图象交于A、B两点，当﹣4≤m≤2时，求线段AB的最大值和最小值．28．已知二次函数y＝kx2+（k+1）x+1（k≠0）．（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值．29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．30．二次函数y＝x2﹣x﹣2（1）分别求此二次函数图象与x轴的交点A．B和与y轴交点C以及顶点D坐标；（2）求△ABC的面积；（3）该二次函数图象上有一点P（x，y），使S△ABP＝S△ABC，请求出P点的坐标．31．已知y关于x的二次函数：y＝（m﹣n）x2+nx+t﹣n．（1）当m＝t＝0时，判断该函数图象和x轴的交点个数；（2）若n＝t＝3m，当x为何值时，函数有最值；（3）是否存在实数m和t，使该函数图象和x轴有交点，且n的最大值和最小值分别为8和4？若存在，求m和t值；若不存在，请说明理由．32．已知，如图抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝4OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．33．已知mn是两位数，二次函数y＝x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，这两点间的距离不超过2，（1）求证：0＜m2﹣4n≤4；（2）求出所有这样的两位数mn．34．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（﹣2，1），关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个根是﹣4，求另一个根．35．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线c1：y＝x2+10x+9的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线c1沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线c2：直线l：y＝kx+b经过M，N两点．（1）结合图象，直接写出不等式x2+10x+9＜kx+b的解集；（2）若抛物线c2的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线c2的解析式；（3）若直线l沿x轴向右平移q个单位长度后，与（2）中的抛物线c2存在公共点，求32﹣10q的最大值．36．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx﹣，经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长．37．二次函数y1＝ax2+2x过点A（﹣2，0）和点B，过点A，B作一次函数y2＝kx+b，若点B的横坐标为1．（1）求出二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围；（3）若P点在抛物线y1上，且横坐标为﹣1，求△ABP的面积．38．如图，y1＝ax2+bx的图象交x轴于O点和A点，将此抛物线绕原点旋转180°得图象y2，y2与x轴交于O点和B点．（1）若y1＝2x2﹣3x，则y2＝．（2）设y1的顶点为C，则当△ABC为直角三角形时，请你任写一个符合此条件的y1的表达式．冀教新版九年级下学期《30.5 二次函数与一元二次方程的关系》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1＝，x2＝D．x1＝﹣4，x2＝0【分析】二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1＝0，求得a＝﹣，代入方程a（x﹣2）2+1＝0即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），∴4a+1＝0，∴a＝﹣，∴方程a（x﹣2）2+1＝0为：方程﹣（x﹣2）2+1＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：A．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．2．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A．b＜1且b≠0B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜1【分析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．【解答】解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，∴，解得b＜1且b≠0．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．该题属于易错题，解题时，往往忽略了抛物线与y轴有交点时，b≠0这一条件．3．已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（）A．y＝x2+2x+1B．y＝x2+2x﹣1C．y＝x2﹣2x+1D．y＝x2﹣2x﹣1【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．【解答】解：当y＝0，则0＝x2﹣4x+3，（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴M点坐标为：（2，﹣1），∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y＝（x+1）2＝x2+2x+1．故选：A．【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．4．已知二次函数y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（）A．m＝n B．m＝n C．m＝n2D．m＝n2【分析】由“抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x＝﹣时，y＝0．且b2﹣4c ＝0，即b2＝4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴当x＝﹣时，y＝0．且b2﹣4c＝0，即b2＝4c．又∵点A（x1，m），B（x1+n，m），∴点A、B关于直线x＝﹣对称，∴＝﹣，解得x1＝（﹣b﹣n）∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），将A点坐标代入抛物线解析式，得m＝（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m＝﹣+c，∵b2＝4c，∴m＝n2，故选：D．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．5．根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（）A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是2【分析】仔细看表，可知x2+px+q的值﹣0.59和0.84最接近于0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．所以解的整数部分是1，十分位是1．故选：C．【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．6．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜0B．x＜﹣3或x＞0C．x＜﹣3D．0＜x＜3【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：由图可知，﹣3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是﹣3＜x＜0．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．7．在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x ＞2x的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜2C．x＞2D．x＜0或x＞2【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：由图可知，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的交点坐标为（0，0），（2，4），所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．8．若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是（）A．2≤x≤3B．﹣1＜x＜1C．﹣1≤x≤1D．2＜x＜3【分析】把不等式整理成以关于a的一元一次不等式，然后根据一次函数的增减性列出关于x的不等式组，然后求解即可．【解答】解：由ax2+7x﹣1＞2x+5得，ax2+5x﹣6＞0，∵当x＝0时，﹣6＞0不成立，∴x≠0，∴关于a的一次函数y＝x2•a+5x﹣6，当a＝﹣1时，y＝﹣x2+5x﹣6＝﹣（x﹣2）（x﹣3），当a＝1时，y＝x2+5x﹣6＝（x﹣1）（x+6），∵不等式对﹣1≤a≤1恒成立，∴，解得2＜x＜3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数与不等式，一次函数的性质，难度较大，确定从一次函数的增减性考虑求解然后列出关于x的一元二次不等式组是解题的关键．9．如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围（）A．﹣1≤x≤9B．﹣1≤x＜9C．﹣1＜x≤9D．x≤﹣1或x≥9【分析】根据A、B的坐标，及两个函数的图象即可求出y1≥y2时，即直线下面部分，进而得出自变量x的取值范围．【解答】解：由两个函数的图象知：当y1≥y2时，﹣1≤x≤9．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，根据图象得出y1≥y2时，即直线下面部分对应的x的值是解题关键．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：（1）b2﹣4ac＞0；（2）2a＝b；（3）点（﹣，y1）、（﹣，y2）、（，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3；（4）3b+2c＜0；（5）t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】逐一分析5条结论是否正确：（1）由抛物线与x轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出该结论正确；（2）根据抛物线的对称轴为x＝﹣1，即可得出b＝2a，即（2）正确；（3）根据抛物线的对称性找出点（﹣，y3）在抛物线上，再结合抛物线对称轴左边的单调性即可得出（3）错误；（4）由x＝﹣3时，y＜0，即可得出3a+c＜0，结合b ＝2a即可得出（4）正确；（5）由方程at2+bt+a＝0中△＝b2﹣4a•a＝0结合a＜0，即可得出抛物线y＝at2+bt+a中y≤0，由此即可得出（5）正确．综上即可得出结论．【解答】解：（1）由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＞0，∴（1）正确；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴2a＝b，∴（2）正确；（3）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，点（，y3）在抛物线上，∴（﹣，y3）．∵﹣＜﹣＜﹣，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，∴y1＜y3＜y2．∴（3）错误；（4）∵当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，且b＝2a，∴9a﹣3×2a+c＝3a+c＜0，∴6a+2c＝3b+2c＜0，∴（4）正确；（5）∵b＝2a，∴方程at2+bt+a＝0中△＝b2﹣4a•a＝0，∴抛物线y＝at2+bt+a与x轴只有一个交点，∵图中抛物线开口向下，∴a＜0，∴y＝at2+bt+a≤0，即at2+bt≤﹣a＝a﹣b．∴（5）正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是逐一分析5条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象是关键．11．如图，已知二次函数y1＝x2﹣x的图象与正比例函数y2＝x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．0＜x＜3C．2＜x＜3D．x＜0或x＞3【分析】由二次函数y1＝x2﹣x的图象与正比例函数y2＝x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），然后观察图象，即可求得答案．【解答】解：∵二次函数y1＝x2﹣x的图象与正比例函数y2＝x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），∴由图象得：若0＜y1＜y2，则x的取值范围是：2＜x＜3．故选：C．【点评】此题考查了二次函数与不等式的关系．注意掌握数形结合思想的应用是关键．12．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为A（﹣1，3），抛物线与x轴的一个交点为B（﹣3，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a ﹣b＝0，②abc＞0，③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，④抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），⑤当﹣3＜x＜﹣1时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．2【分析】根据抛物线的图象特征和对称性可得①②④；将方程ax2+bx+c＝3转化为函数图象求交点问题可解；通过数形结合可得⑤．【解答】解：由抛物线对称轴为直线x＝﹣b＝2a，则①正确；由图象，ab同号，c＞0，则abc＞0，则②正确；方程ax2+bx+c＝3可以看做是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3求交点横坐标，由抛物线顶点为（﹣1，3）则直线y＝3过抛物线顶点．∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．故③正确；由抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点（﹣3，0）则有对称性抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）则④正确；∵A（﹣1，3），B（﹣3，0），直线y2＝mx+n与抛物线交于A，B两点∴当当﹣3＜x＜﹣1时，抛物线y1的图象在直线y2上方，则y2＜y1，故⑤正确．故选：A．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数各项系数的性质、抛物线对称性和从函数观点看方程和不等式，解答关键是数形结合．13．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B（3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c ＝4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】通过图象得到a、b、c符号和抛物线对称轴，将方程ax2+bx+c＝4转化为函数图象交点问题，利用抛物线顶点证明x（ax+b）≤a+b【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，c＞0∵抛物线的顶点坐标是A（1，4）∴抛物线对称轴为直线x＝﹣∴b＝﹣2a∴b＞0，则①错误，②正确；方程ax2+bx+c＝4方程的解，可以看做直线y＝4与抛物线y＝ax2+bx+c的交点的横坐标．由图象可知，直线y＝4经过抛物线顶点，则直线y＝4与抛物线有且只有一个交点．则方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根，③正确；由抛物线对称性，抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1.0）则④错误；不等式x（ax+b）≤a+b可以化为ax2+bx+c≤a+b+c∵抛物线顶点为（1，4）∴当x＝1时，y最大＝a+b+c∴ax2+bx+c≤a+b+c故⑤正确故选：B．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的各项系数与图象位置的关系、抛物线对称性和最值，以及用函数的观点解决方程或不等式．14．抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n的图象如图所示，下列判断：①abc＜0；②c＜n；③a+b+c＞0；④2a+b＜0；⑤当x＜或x＞6时，y1＞y2．其中正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据二次函数a、b、c作用判断①②，利用x＝1时的图象对应点判断a+b+c符号，利用对称轴判断④，利用函数值大小与函数图象高低判断⑤【解答】解：由图象可知抛物线开口向上，则a＞0，抛物线对称轴在y轴右侧，则b＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，则abc＜0，则①正确；根据抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n的图象与y轴交点可知c＞n，故②错误；当x＝1时，y＝a+b+c，图象可知，a+b+c＝0，则③错误；图象可知抛物线对称轴直线x＝﹣∴b＝﹣6a，则2a+b＝2a﹣6a＝﹣4a＜0．则④正确；由图象可知，当y1＞y2时，对应的y1的图象高于y2的图象，则当x＜或x＞6故⑤正确；故选：B．【点评】本题综合考查二次函数和一次函数图象的相关知识，应用了数形结合思想．15．如图，一条抛物线与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动．M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2）．x1的最小值为﹣3，则x2的最大值为（）A．﹣1B．1C．3D．5【分析】当抛物线顶点平移到M时，可设出抛物线顶点式，代入（﹣3，0）求得抛物线二次项系数，由于抛物线平移时a不变，可求抛物线顶点到N时的x轴交点，x2的最大值可求．【解答】解：抛物线顶点平移到点M时，由已知x1的最小值为﹣3则设此时抛物线解析式为：y＝a（x+1）2+2把（﹣3，0）代入得a＝﹣则当抛物线顶点平移到N时，解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2．当y＝0时，解得抛物线与x轴交点坐标为（3，0）或（﹣1，0）则x2的最大值为3故选：C．【点评】本题是二次函数图象平移问题，考查抛物线顶点式和抛物线与x轴交点，解答关键是数形结合．16．如图一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C10，若点P（28，m）在第10段抛物线C10上，则m的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移以及沿x轴翻折，表示出抛物线C10的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．【解答】解：令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x2＝3，∴A1（3，0），由图可知，抛物线C10在x轴下方，相当于抛物线C1向右平移3×9＝27个单位，再沿x轴翻折得到，∴抛物线C10的解析式为y＝（x﹣27）（x﹣27﹣3）＝（x﹣27）（x﹣30），∵P（28，m）在第10段抛物线C10上，∴m＝（28﹣27）（28﹣30）＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．二．填空题（共8小题）17．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2﹣2x（﹣2≤x≤0）的图象记为C1，它与x 轴交于A1，O两点，将图象C1绕着原点O旋转180°得到图象C2，点A1的对称点为A2，将C1与C2同时沿x轴向右平移A1A2的长度即可得到C3与C4，若点P（，m）在C4上，则m＝﹣．【分析】根据二次函数图象平移、旋转性质，得到C4解析式求得m．【解答】解：由旋转可知，C2解析式为y＝x2﹣2x（0≤x≤2）则OA1＝OA2＝2∴A1A2＝4由已知C4图象可以看做将C2向右边平移4个单位得到∴C4的解析式为y＝（x﹣4）2﹣2（x﹣4）（4≤x≤6）当x＝时，m＝（﹣4）2﹣2（﹣4）＝故答案为：【点评】本题考查平面直角坐标系下的二次函数图象平移和旋转变换后的函数关系式确定方法，解答时要注意数形结合．18．已知m是正实数，关于x的方程2x2﹣mx﹣30＝0的两个根为x1、x2，且5x1+3x2＝0，在直角坐标系中，抛物线y＝mx2+（4+k）x+k与x轴有1或2个交点．【分析】先利用求根公式和根与系数的关系求m的值，要想确定抛物线与x轴的交点的个数，求△的值，并将m＝4代入可得：△＝（k﹣4）2，讨论k的值可得结论．【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣mx﹣30＝0的两个根为x1、x2，∴x1+x2＝，x＝＝，∵5x1+3x2＝0，∴3x1+3x2+2x1＝0，3×+2x1＝0，x1＝﹣，∵m＞0，∴﹣＝，﹣4m＝﹣，解得：m＝±4，∴m＝4，△＝（4+k）2﹣4mk＝16+8k+k2﹣16k＝（k﹣4）2，当k＝4时，△＝0，抛物线y＝mx2+（4+k）x+k与x轴有1个交点．当k≠4时，△＞0，抛物线y＝mx2+（4+k）x+k与x轴有2个交点．故答案为：1或2．【点评】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系和抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握抛物线与x轴的交点由△确定是解本题的关键，本题有难度，注意将△的值配方后对k 的值进行讨论．19．已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，以C为直角顶点作等腰Rt△ACP，则P点的坐标为P1（﹣4，﹣2），P2（4，﹣6），P3（﹣4，﹣6），P4（4，﹣2）．【分析】先分别令x＝0，y＝0，求出抛物线y＝x2﹣4与x轴的两个交点A、B的坐标，与y轴的交点C的坐标，然后由A点的坐标分两种情况进行讨论，结合图形即可求出P点的坐标．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，∴令y＝0，得：x2﹣4＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣2，∴A（2，0），B（﹣2，0）或A（﹣2，0），B（2，0）∵抛物线y＝x2﹣4与y轴交于点C，∴令x＝0，得：y＝﹣4，∴C（0，﹣4），分两种情况：①当A（2，0），C（0，﹣4）时，如图（1）∵以C为直角顶点作等腰Rt△ACP，∴AC＝CP1，AC＝CP2，过P1作P1D⊥y轴，垂足为D，过P2作P2E⊥y轴，垂足为E，在△AOC和△CDP1中，，∴△AOC≌△CDP1（AAS），∴DC＝OA＝2，DP1＝OC＝4，∴OD＝2，∴P1（﹣4，﹣2），同理P2（4，﹣6），②当A（﹣2，0），C（0，﹣4）时，如图（2）同①可得P3（﹣4，﹣6），P4（4，﹣2）【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点的问题及等腰直角三角形的性质，解题关键是：数形结合由A点的位置进行分类讨论．20．抛物线y＝2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有3个．【分析】根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y＝﹣2x2+4x﹣2的图象与x轴交点的个数，根据c的值可以判断出二次函数y＝﹣2x2+4x﹣2的图象与y轴有无交点．【解答】解：∵b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×3＝1＞0，∴二次函数y＝﹣2x2+4x﹣2的图象与x轴有两个交点∵c＝3≠0，∴二次函数y＝﹣2x2+4x﹣2的图象与y轴有1个交点，∴抛物线y＝2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有3个．【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与坐标轴交点的个数的判断．21．已知函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为2或11．【分析】分①函数为一次函数时，二次项系数等于0，②函数为二次函数时，令y＝0，根据函数图象与x轴只有一个交点，根的判别式△＝0列式进行计算即可得解．【解答】解：①当m﹣2＝0，即m＝2时，函数为y＝﹣3x+，与x轴只有一个交点，②令y＝0，则（m﹣2）x2﹣3x+＝0，∵函数图象与x轴只有一个交点，∴△＝（﹣3）2﹣4×（m﹣2）＝0，解得m＝11，综上所述，m的值为2或11．故答案为：2或11．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象与x轴只有一个交点，则令y ＝0得到的一元二次方程根的判别式△＝0，本题需要注意是一次函数的情况，这也是本题容易出错的地方．22．抛物线y＝ax2+bx+c过（2，6），（4，6）两点，一元二次方程ax2+bx+c＝k，当k＞7时无实数根，当k≤7时有实数根，则抛物线的顶点坐标是（3，7）．【分析】根据所给的抛物线上的点得到抛物线顶点的横坐标，根据有无实数根可判断出顶点的纵坐标．【解答】解：∵（2，6），（4，6）两点关于直线x＝3对称，∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝3，即抛物线的顶点横坐标为3，∵一元二次方程ax2+bx+c＝k，当k＞7时无实数根，当k≤7时有实数根，∴7为函数y＝ax2+bx+c的最大值，即抛物线的顶点纵坐标为7，则抛物线的顶点坐标是（3，7）．【点评】抛物线上纵坐标相同的两点都关于对称轴对称，同时顶点坐标的纵坐标就是此二次函数的最值．23．如图，已知：一次函数图象y1＝kx+d与x轴交于点（m，0），与y轴交于（0，4），二次函数y2＝ax2+bx+c图象与x轴交于点（s，0）和（n，0），与y轴交于（0，6），且两个函数图象交点的横坐标分别为p、t，则y3＝ax2+（b﹣k）x+2的图象与x轴的交点坐标是（p，0）和（t，0）．【分析】由已知条件得出y1＝kx+4，y2＝ax2+bx+6，当y1＝y2时，得出ax2+（b﹣k）x+2＝0，由两个函数图象交点的横坐标分别为p、t，得出方程的解x1＝p，x2＝t，即可得出结果．【解答】解：∵一次函数图象y1＝kx+d与x轴交于点（m，0），与y轴交于（0，4），∴y1＝kx+4，∵y2＝ax2+bx+c，与y轴交于（0，6），∴y2＝ax2+bx+6，当y1＝y2时，ax2+bx+c＝kx+4，∴ax2+（b﹣k）x+2＝0，∵两个函数图象交点的横坐标分别为p、t，∴x1＝p，x2＝t，∴y3＝ax2+（b﹣k）x+2的图象与x轴的交点坐标是（p，0）和（t，0）；故答案为：（p，0）和（t，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及与一元二次方程的解的关系；根据题意得出y3＝ax2+（b﹣k）x+2的图象与x轴的交点坐标是解决问题的关键．24．若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），则另一交点坐标为（3，0）．【分析】解法1：首先根据抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3）可以求出c的值，然后令y＝x2﹣2x+c＝0，解出x的两个值，即可求出抛物线与x轴的另一交点坐标．解法2：首先求出抛物线的对称轴x＝1，然后再根据抛物线与坐标轴的两个交点关于x＝1对称，于是可以求出另个坐标．【解答】解：解法1：∵抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），∴c＝﹣3，又∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴有两个交点，∴令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），另一交点坐标为（3，0），解法2：设另一点坐标为（a，0），∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x+c，∴抛物线的对称轴为x＝1，∵坐标轴的两个交点关于x＝1对称，∴＝1，解得a＝3，∴另一交点坐标为（3，0），故答案为（3，0）．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题的知识点，解答本题的关键是求出c的值，也可以利用对称性进行解答，此题难度不大．三．解答题（共14小题）25．已知：抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D′的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD′和AC，请你直接写出线段AC与线段BD′的关系．【分析】（1）由待定系数法求函数解析式；（2）把点D坐标代入抛物线解析式，求m，由BC坐标可知，直线BC与y轴夹角为45°，且CD⊥y轴经过对称，点D′在y轴上，则点D′坐标可求；（3）通过证明△AOC≌△D′OB可得线段AC与线段BD′相等且互相垂直．【解答】解：（1）由已知，将点A（﹣2，0）B（4，0）代入得。
翼教版九年级数学下册二次函数与一元二次方程的关系测试题
30.5 二次函数与一元二次方程的关系1.抛物线2283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式24b ac -= 0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为 ．2.二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为 ．3.关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于 点，此时m = ．4. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个5.关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ）Ａ．116m <-Ｂ．116m -≥且0m ≠Ｃ．116m =-Ｄ．116m >-且0m ≠6.函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（ ） Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个异号的实数根 Ｃ．有两个相等的实数根 Ｄ．没有实数根7. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c8.已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x轴上截得的线段长是h 和k 的值．9.已知函数22y x mx m =-+-．（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点；（2）若函数y有最小值5-，求函数表达式．410.已知二次函数22=-+．y x mx m24（1）求证：当0m≠时，二次函数的图像与x轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x轴交点为A，B，顶点为C，且△ABC的面积为求此二次函数的函数表达式．11.已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，且221210x x +=． （1）求A ，B 两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C 坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P ，使△PAB 面积等于四边形ACMB 面积的2倍，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．易错专题：求二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的取值范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为________．2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法12】( )A ．3B ．2C ．1D ．－13．函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值． ◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．在二次函数y ＝x 2－2x －3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是【方法12】( )A ．0，－4B ．0，－3C ．－3，－4D ．0，05．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1( )A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值6．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别是( )A ．1，－29B ．3，－29C ．3，1D ．1，－37．已知0≤x ≤12，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是________．◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围8．从y ＝2x 2－3的图像上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( )A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤19．(贵阳中考)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( )A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜310．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图像如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m11．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值12．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为( )A．－2 B．1 C．2 D．913．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )A．3 B．－1 C．4 D．4或－114．已知y＝－x2＋(a－3)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤515．已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y＝2x2－3ax＋4的最小值是－23，则a＝________.16．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图像关于直线x＝－2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____________.参考答案与解析 1．5 2.C3．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋13，∴该抛物线的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13.4．A 5.C6．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图像的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B.7．－2.5 解析：∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＜2，y随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤12，∴当x ＝12时，y 取最大值，y 最大＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22＋2＝－2.5.8．C9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.10．C 解析：当x ＝a 时，y ＜0，则a 的范围是x 1＜a ＜x 2，又对称轴是直线x ＝12，所以a －1＜0.当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时函数值是m .因此当x ＝a －1＜0时，函数值y 一定大于m . 11．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝32.在0≤x ≤5范围内，当x＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21.12．A13．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－424a＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.14．D 解析：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x ≤5内时，∵在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，∴对称轴一定在1≤x ≤5的左边，∴对称轴直线x ＝a －32＜1，即a ＜5；第二种情况：当对称轴在1≤x ≤5内时，∵－1<0，∴对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为直线x ＝1，∴a －32＝1，即a ＝5.综上所述，a≤5.故选D.15．5 解析：抛物线的对称轴为直线x＝3a4.∵a≥4，∴x＝3a4≥3.∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当1≤x≤3时，函数取最小值－23时，x＝3.把x＝3代入y＝2x2－3ax＋4中，得18－9a＋4＝－23，解得a＝5.16．－4≤m≤－2 解析：∵二次函数图像关于直线x＝－2对称，∴－a2×1＝－2，∴a＝4，∴y＝x2＋4x ＋5＝(x＋2)2＋1.当y＝1时，x＝－2；当y＝5时，x＝0或－4.∵当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，∴－4≤m≤－2.。
湘教版九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的联系》 同步练习及答案
第1章 二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的联系1. 一元二次方程2x 2－3x －5＝0的两根52、－1，则二次函是数y ＝2x 2－3x －5的图象与x 轴的两个交点间的距离为( )A.2B.32C.72D.52.抛物线y ＝x 2＋2x ＋m －1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ) A. m ＜2 B. m ＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜－23. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )A. a ＞0B. 当x ＞1时，y 随x 的增大而增大C. c ＜0D. 3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根4. 抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c 与x 轴的一个交点为(－5,0)，则它与x 轴的另一个交点的坐标为( )A.(3,0)B.(－3,0)C.(13，0) D.不能确定，与a 的值有关5. 抛物线y ＝2x 2－22x ＋1与坐标轴的交点个数是( ) A. 0 B. 2 C. 3D. 41、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。
20.6.176.17.202019:3919:39:12Jun-2019:392、心不清则无以见道，志不确则无以定功。
二〇二〇年六月十七日2020年6月17日星期三3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。
19:396.17.202019:396.17.202019:3919:39:126.17.202019:396.17.20204、与肝胆人共事，无字句处读书。
6.17.20206.17.202019:3919:3919:39:1219:39:125、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
Wednesday, June 17, 2020June 20Wednesday, June 17,20206/17/2020 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。
7时39分7时39分17-Jun-206.17.2020 7、自知之明是最难得的知识。
2023-2024学年冀教版九年级数学下册教学设计：30.5二次函数与一元二次方程的关系
2023-2024学年冀教版九年级数学下册教学设计：30.5 二次函数与一元二次方程的关系一. 教材分析冀教版九年级数学下册第30.5节《二次函数与一元二次方程的关系》是本学期的最后一节新课。
在前面的学习中，学生已经掌握了二次函数的图像和性质，以及一元二次方程的解法。
本节课的主要内容是引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的关系，加深学生对二次函数和一元二次方程的理解，为后续学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够理解和掌握二次函数的图像和性质，以及一元二次方程的解法。
但部分学生在解决实际问题时，仍存在将二次函数与一元二次方程割裂开来的情况，无法灵活运用两者之间的关系。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生建立二次函数与一元二次方程之间的联系，提高学生的数学思维能力。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2.能够运用二次函数的性质解决一元二次方程的实际问题；3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程之间的关系；2.难点：如何运用二次函数的性质解决一元二次方程的实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的关系；2.运用多媒体课件，直观展示二次函数的图像和一元二次方程的解法；3.开展小组讨论，让学生在合作中思考，提高学生的数学思维能力；4.注重个体差异，给予学生个性化的指导，使每个学生都能达到学习目标。
六. 教学准备1.多媒体课件；2.练习题；3.学生分组。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示二次函数y=x^2的图像，引导学生回顾二次函数的性质。
提问：二次函数的图像与一元二次方程有什么关系？2.呈现（10分钟）给出一个具体的一元二次方程x2-4x+3=0，让学生尝试用因式分解法解方程。
在学生解方程的过程中，引导他们观察方程与二次函数y=x2-4x+3的关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
30.5二次函数与一元二次方程的关系同步课时训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，将抛物线28y x x =-++图象中x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线8y =-的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax +3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若S △ABC ＝3，则a ＝（ ）A ．12-B ．12C ．﹣1D ．1 3．如图为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，其对称轴为x ＝1，在下列结论中： ①abc ＞0；②若方程ax 2+bx+c ＝0的根是x 1、x 2，则x 1+x 2＜0；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．正确的有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知二次函数()()y x m x n =--，其中m n <，设,a b 是方程()()0x m x n x ---=的两个根，且a b <，则当()()0a m b n -->时，mn 的值一定（ ） A ．大于1 B ．小于0 C ．大于0 D ．小于1- 5．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点为B （4，0），直线y 2＝mx ＋n （m≠0）与抛物线交于A 、B 两点，结合图象分析下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①③④D ．①③⑤ 6．抛物线277y kx x =--的图像和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．74k ≥- B ．74k ≥-且0k ≠ C ．74k >- D ．74k >-且0k ≠7．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②930a b c ++=；③20a b +=；④2am bm a b +<+（m 是任意实数），其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．②③④ 8．抛物线()()234y x x =-+与x 轴交点的横坐标分别为（ ）A ．3-，4-B ．3，4C ．3-，4D ．3，4- 9．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；③12a <-．其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-，下列结论中：①0bc >；②4b a =；③0a b c -+>；④540b c +=．其中所有正确的结论有（ ）A ．①②B ．③④C ．②③④D ．②③二、填空题 11．已知函数221y ax x =-+的图象与x 轴只有一个公共点，则a 的值是________________．12．如图，二次函数y ＝241033x x -﹣2的图像与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，在线段BC 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线交二次函数的图像于点N ，交x 轴于点M ，若△CPN 与△BPM 相似，则点P 的坐标为_____．13．已知抛物线y ＝2x 2+bx ﹣1与x 轴的交点坐标分别是（﹣3，0）和（2，0），那么关于x 的一元二次方程2x 2+bx ﹣1＝0的根是_____．14．已知抛物线22y x x n =-+与x 轴只有一个公共点，则n =__________． 15．已知关于x 的函数2222y x x a a =---的图象与x 轴只有两个公共点，则a 的取值范围是_____．16．如图，直线AB 与抛物线2y ax bx c =++（0a >）相交于()2,5A -，()5,12B 两点，点P 是抛物线上位于直线AB 下方的点，则点P 的横坐标m 的取值范围是___________．三、解答题17．如图，已知直线6y x =-+的图象分别交x 轴、y 轴于点A B 、．点P 为二次函数2()41y x b b =-++的顶点．（1）若点P 在直线6y x =-+上，求此时b 的值；（2）若二次函数图象经过点B ，且满足26()41x x b b -+>-++，求出x 的取值范围；（3）若二次函数的图象与OAB 的三边恰好只有一个交点，求此时b 的值． 18．如图，已知抛物线y ＝12x 2+bx +c 与x 轴交于点（﹣2，0），且关于直线x ＝1对称．（1）求抛物线的解析式；（2）设此抛物线与直线l ：y ＝﹣12x ﹣1相交于P ，Q 两点，平行于y 轴的直线x ＝m 交PQ 于M 点，交抛物线于N 点．①当点M 在点N 上方的时候，求MN 的表达式（用含m 的代数式表示）；②在①的条件下当△PQN 的面积最大的时候，求m 的值及面积的最大值． 19．已知抛物线2:6=+-L y x x 与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），并与y 轴相交于点C ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标，并求ABC 的面积；（2）将抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，且L '与x 轴相交于A '，B '两点（点A '在点B '的左侧），并与y 轴相交于点C '，要使A B C '''和ABC 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．20．如图，抛物线y ＝12x 2﹣32x ﹣2与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx ＋m ，经过点B ，C ．（1）求k 的值；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，求四边形ACPB 面积最大时点P 的坐标； （3）若M 是抛物线上一点，且∠MCB ＝∠ABC ，请直接写出点M 的坐标．参考答案1．D2．D3．C4．B5．C6．B7．B8．D9．C10．C11．0或112．51(,)23-或1113(,)812- 13．x 1＝−3，x 2＝2．14．115．2a <-或0a >或1a =-16．25m -<<17．（1）1b =；（2）110x -<<或01x <<；（3）2120b =或5-． 【详解】解：（1）P 为二次函数2()41y x b b =-++的顶点， ∴顶点(,41)P b b +，把(,41)P b b +代入6y x =-+，得416b b +=-+，解得1b =；（2）直线6y x =-+中，令0x =，则6y =，(0,6)B ∴，把(0,6)B 代入2()41y x b b =-++，解得5b =-或1，当5b =-时，联立26(5)19y x y x =-+⎧⎨=+-⎩，解得11x =或0，110x ∴-<<，当1b =时，联立26(1)5y x y x =-+⎧⎨=-+⎩，解得1x =或0， 01x ∴<<；故x 的取值范围为110x -<<或01x <<；（3）①由（2）可知，当5b =-时，二次函数图象经过点B ，且恰好与OAB ∆的三边只有一个交点，所以5b =-②当1b =时，联立26()41y x y x b b =-+⎧⎨=-++⎩，整理得22(21)450x b x b b --++-=， 令△0=，则22(21)4(45)0b b b --+-=， 解得2120b =， 综上所述：2120b =或5-． 18．（1）y ＝12x 2-x -4，（2）-12m 2+12m +3，（3）当m=12时，面积最大，最大值为12516． 【详解】 解：（1）抛物线的对称轴为x ＝1可得，1122b -=⨯，解得，b=-1， 把b=-1，（﹣2，0），代入得，0=2+2+c ，解得，c=-4，抛物线解析式为：y ＝12x 2-x -4 （2）由题意可知，M （m, ﹣12m ﹣1），N （m ，12m 2-m -4）， MN=﹣12m ﹣1-（12m 2-m -4）=-12m 2+12m +3， （3）抛物线与直线l ：y ＝﹣12x ﹣1相交于P ，Q 两点可得， 2112142y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得，1120x y =-⎧⎨=⎩，22352x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴P （-2,0）Q （3，52-） S △PQN =12(-12m 2+12m +3) ×[3-（-2）]=25515442m m -++， 写成顶点式为：S △PQN =251125()4216m --+， 当m=12时，面积最大，最大值为12516． 19．（1）A （-3，0）；B （2，0）；C （0，-6）；15ABC S =△；（2）26y x x =--或276y x x =++或276y x x =-+．【详解】（1）当0y =时，260x x +-=，解得：13x =-，22x =，∴点()30A -,，点()2,0B ． ∴AB=5，当0x =时，266y x x =+-=-，∴点()0,6C -，∴OC=6， ∴()112361522ABC S AB OC =⋅=⨯+⨯=△． （2）∵抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，∴5A B AB ''==，∵A B C '''和ABC 的面积相等，∴6OC OC '==，即()0,6C '-或()0,6，设抛物线L '的解析式为26y x bx =+-或26y x bx =++，(),0A m '，(),0B n '， 当m ，n 为方程260x bx +-=的两根时，即m n b +=-，6mn =-． ∵5n m -=，∴()225n m -=，∴()224()25m n mn n m +-=-=，∴()24625b -⨯-=， 解得：1b =或1b =-，∴抛物线L '的解析式为26y x x =+-（舍去）或26y x x =--；当m ，n 为方程260x bx ++=的两根时，∴m n b +=-，6mn =． ∵5n m -=，∴()225n m -=，∴()224()25m n mn n m +-=-=，∴24625b -⨯=，解得：7b =或7b =-，∴抛物线L '的解析式为276y x x =++或276y x x =-+．综上所述，抛物线L '的解析式为26y x x =--或276y x x =++或276y x x =-+． 20．（1）12；（2）P （2，﹣3）；（3）点M （173，509）或（3，﹣2） 【详解】解：（1）∵抛物线y ＝12x 2﹣32x ﹣2与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ， 当x=0时，y=-2，C 点坐标为（0，﹣2），当y=0时，0＝12x 2﹣32x ﹣2， 解得，x 1=-1，x 2=4，点A （﹣1，0），点B （4，0），∵直线y＝kx＋m，经过点B，C，∴204mk m=-⎧⎨=+⎩，解得：122 km⎧=⎪⎨⎪=-⎩，直线解析式为y＝12x-2，∴k的值为12；（2）如图1，过点P作PE⊥AB交BC于点E，由（1）可知，A（﹣1，0），设点P（a，12a2﹣32a﹣2），则点E（a，12a﹣2），∴PE＝12a﹣2﹣（12a2﹣32a﹣2）＝﹣12a2＋2a，∵四边形ACPB面积＝12（4＋1）×2＋12×（﹣12a2＋2a）×4＝﹣（a﹣2）2＋9，∴当a＝2时，四边形ACPB面积有最大值，此时点P（2，﹣3）；（3）如图2，当点M在BC上方时，设CM交AB于点H，∵∠MCB ＝∠ABC ，∴CH ＝BH ，∵CH 2＝OC 2＋OH 2，∴BH 2＝4＋（4﹣BH ）2，∴BH ＝52， ∴OH ＝32， ∴点H （32，0）， ∵点C （0，﹣2），点H （32，0）， ∴直线CH 解析式为：y ＝43x ﹣2， 联立方程组可得242313222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 解得：1102x y =⎧⎨=-⎩（舍去），22173509x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点M （173，509）， 当点M'在BC 下方时，∵∠M'CB ＝∠ABC ，∴M'C∥AB，∴点M'的纵坐标为﹣2，∴点M'的坐标为（3，﹣2）；综上所述：点M （173，509）或（3，﹣2）．。