浅谈从数学文化中理解数学的价值

浅谈从数学文化中理解数学的价值张瑶03级3班1030500723 数学是什么？数学的特点是什么?数学的价值是什么?我想不是每一个人都能清楚地回答出这三个问题,尽管我们学习的数学专业,但对数学的本质,数学的精髓还知之甚少,需要我们大量阅读关于数学文化,数学史方面的书籍,从而领悟其中的精华。

R.柯朗和H.罗宾斯在《数学是什么》一书告诉我们：数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望。

它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。

也许我们对这段话还不是很理解，以下我想主要从以下几个大方面谈谈数学的特点和价值在这些方面的具体体现。

一、数学文化的概念由于数学对象并非物质世界中的真实存在，而是人类抽象思维的产物，所以，数学本身就是一种文化，古希腊的亚里士多德指出，数学是研究大小的量和书的，但是它们所研究的量和书，并不是那些我们可以感觉到的，占有空间的广延性的，可分的量和书，而是作为某种特殊性质的抽象的量和数，使我们在思想中将它们分离开来研究的。

从而，在亚里士多德看来，数学对象就只是一种抽象的存在，即是人类抽象思维的产物。

1．数学传统的内涵：数学对象是客体的，但数学活动的主体——数学家从事的数学活动必定是在一定传统指导之下进行的，他们的行为方式形成了数学传统。

数学家有着自己特殊的“工作方式”。

以下这个笑话被用来表明在解决问题时，数学家采取与一般科学家（如：物理学家）不同的方法：有人提出这样一个问题：“架设在你面前有煤气灶，水龙头，水壶和火柴，你想烧些水，应当怎样去做？”对此某人回答到：“在壶上放上水，点燃煤气，在把壶放到煤气灶上。

”提问者肯定了这一回答，然后又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你有应当怎么做？”这时被提问者往往有信心地回答道：“点燃煤气，在把水壶放到煤气灶上。

”因为“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒去壶中的水，并声称他已把后一问题划归为原先的问题了。

”这笑话说明了数学思维的一个重要特点：“在解决问题时，数学家往往不是对问题实行直接的攻击，而是不断地对此进行变形，直至最终把它转化成了某个已经得到解决的问题。

2．数学在历史发展中存在三个辩证关系：1）抽象化与具体化由于数学的发展在很大程度上凭助更高层次的抽象得以实现，所以更新，更高的抽象程度是数学发展的一个重要特征；但是我们不能认为抽象化是数学发展的唯一形式。

事实上，例如：“计算数学，运筹学，统计数学等与实践密切相关的学科的建立与发展就是具体化的实际例子。

更重要的是，数学向着更高抽象程度的发展又并非是一个单向的简单过程，而是在抽象与具体的辩证运动中得以实现的2）一般化与特殊化对于特殊化发法在数学解题中的作用人们已经作了较为透彻的研究，因为特殊化可以更好地弄清题意，我们可以通过特例对可能的结论进行猜测，通过有一般向特殊的化归解决原来的问题。

与此相对照，就一般化方法而言，人们只注意了它的构造性功能，忽视这一方法在解题中的作用。

例如：由“轨迹作图法”在几何作图中的广泛应用可看出：“轨迹作图具有“化难为易”的功能，而由原来所求作的对象到相应轨迹的过渡事实上就是一个一般化的过程。

所以我们不应片面强调一般化或特殊化，而应明确地肯定一般化与特殊化的辩证运动是数学发展的一个基本规律。

3）多样化与一体化多样化是数学发展的一种重要形式。

但我们也应该清楚地看到数学中存在强大的统一趋势。

具体说数学中的统一化趋势表现在各个分支的相互渗透，特别是一个数学分支常常通过由另一分支中吸取概念和方法获得重要的进步。

而且由于揭示了共同的本质，一些原来认为是互不相干，甚至对立的理论得到了统一。

如：“借助于F.克莱因关于几何学所研究的是变换群之下的不变量的思想，原先被分割成许多几乎互不相干分支（如欧氏几何，仿射几何，射影几何等）的几何学重新获得了统一。

不同理论的相互渗透与比较，导致了更为深刻地认识以及新的，更高层次上的统一；新的统一性概念或理论的建立则又为创造更多的新概念和新理论提供了直接的依据，所以多样化与一体化的辩证统一也应被看成数学发展的一个基本规律。

二、中西方数学文化的比较每个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学。

古希腊的数学和中国传统数学都有辉煌的成就、优秀的传统。

但是，它们之间有着明显的差异。

古希腊和古代中国的不同政治文明孕育了不同的数学。

古希腊是奴隶制国家。

当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治（广大奴隶不能享受这种民主）。

男性奴隶主的全体大会选举执政官，对一些战争、财政大事实行民主表决。

这种政治文明包含着某些合理的因素。

奴隶主之间讲民主，往往需要用理由说服对方，使学术上的辩论风气浓厚。

为了证明自己坚持的是真理，也就需要证明。

先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题，称为公理的逻辑推论。

欧氏的《几何原本》正是在这样的背景下产生的。

中国古代文明是人类最古老的文明之一。

原始思维所共有的数量关系，数字的神秘解释形式，在一相对独立的文明发展进程中演变成了中华民族古代数学的独特形式。

中国古代数学的独特现象之一，是数字最终演化成为“筹”的形式来表示，并就以此为工具进行数学的运演操作。

这是一种与古希腊数学符号运演相异的手工操作运演形式。

如果说古希腊用数学解释世界的起源归于毕达哥拉斯，那么，中国用竹棍体系解释世界的功劳应归于孔子：“正是由于孔子的极力推崇和宣扬，由竹棍运演体系成为的《周易》才正式成为中国文化中的一种宇宙万物的解释系统，而这种竹棍的摆排，操作由源于原始数学。

《九章算术》集中体现了中国古代数学的特征，他的方法，构造形式，解决问题的范畴成为中国古代数学的典范，后世的许多数学研究甚至连书名都与它相似。

数学作为一种文化它浓缩着整个民族的价值观念，表现了民族文化中宇宙哲学对数学概念，方法，构造的运用，也揭示了其理性观念中数学的地位和层次。

中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气，但是没有实行古希腊统治者之间的民主政治，而是实行君王统治制度。

春秋战国时期，也是知识分子自由表达见解的黄金年代。

当时的思想家和数学家，主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家。

因此，中国的古代数学，多半以“管理数学”的形式出现，目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收运输粮食等国家管理的实用目标。

理性探讨在这里退居其次。

因此，从文化意义上看，中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”，存在的形式则是官方的文书。

古希腊的文化时尚，是追求精神上享受，以获得对大自然的理解为最高目标。

因此，“对顶角相等”这样的命题，在《几何原本》里列入命题15，借助公理3（等量减等量，其差相等）给予证明。

在中国的数学文化里，不可能给这样的直观命题留下位置。

同样，中国数学强调实用的管理数学，却在算法上得到了长足的发展。

负数的运用、解方程的开根法，以及杨辉（贾宪）三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题，也只能在中国诞生，而为古希腊文明所轻视。

我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统，同时又必须吸收人类一切有益的数学文化创造，包括古希腊的文化传统。

当进入21世纪的时候，我们作为地球村的村运输粮食等国家管理的实用目标。

理性探讨在这里退居其次。

因此，从文化意义上看，中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”，存在的形式则是官方的文书。

三、数学文化的价值1. 数学文化体现出数学理性。

何谓数学理性？数学理性：我们把那种孕育于古希腊文明，并伴随着近代自然科学的形成和发展逐步定型和不断得到强化的西方理性精神成为“数学理性”。

因为数学在这一精神的形成和发展过程中发挥了特别重要的作用。

它的具体内涵是1）主客体的严格区分，而且在自然界的研究中，我们应当采取纯客观的，理智的态度不应掺杂有任何主观的情感的成分。

2）对自然界的研究应当是精确的，定量的，而不应该是含糊的，直觉的3）还应包含批判的精神和开放的头脑4）具有抽象的，超验的思维取向即我们应当努力超越直观经验并通过抽象思维达到对于事物本质和普遍规律的认识。

我们应当充分肯定数学对于人类理性精神发展的特殊意义。

正如克莱因指出的：“数学是一种精神，一种理性的精神。

正是这种精神，技法，促进，鼓舞和驱使人类思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质，道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

2. 数学化的思想数学带给我们是一种思维模式或研究思想，这些都在数学以外产生十分广泛的影响并取得了成功的应用。

从这一侧面对我们如何搞好数学教育改革指明了努力的方向，即在数学教育中我们不应唯一注意数学知识的学习，应更加重视思维方法的训练和培养。

1）有定量到定性的研究思想即在对事物或现象进行研究时,应当尽可能地用数学的概念去对对象作出刻画，并通过数学的研究去揭示其内在的规律2）对于实际问题而言，数学化的过程必然包含有一定的简化和理想化的思想。

即在数学模型的建构过程中我们应当集中于具有关键作用的量和关系3.数学文化在相关领域也体现出它的重要价值1.）数学和文学。

数学和文学的思考方法往往是相通的。

举例来说，中学课程里有“对称”，文学中则有“对仗”。

对称是一种变换，变过去了却有些性质保持不变。

轴对称，即是依对称轴对折，图形的形状和大小都保持不变。

那么对仗是什么？无非是上联变成下联，但是字词句的某些特性不变。

王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”。

这里，明月对清泉，都是自然景物，没有变。

形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变。

其余各词均如此。

变化中的不变性质，在文化中、文学中、数学中，都广泛存在着。

数学中的“对偶理论”，拓扑学的变与不变，都是这种思想的体现。

文学意境也有和数学观念相通的地方。

徐利治先生早就指出：“孤帆远影碧空尽”，正是极限概念的意境。

丹·布朗的小说《达·芬奇密码》一经问世，就引起了普遍的关注，至今在排行榜上高居不下，形成了一种全球现象。

小说里有多少真实，有多少虚构？这里不去评论，而引导小说展开的一条主线则是数学。

年迈的馆长在生命的最后时刻，把自己摆成达·芬奇名画《维特鲁威人》中的五角星形的样子，这种五角星形，正是从古代希腊流传下来的“神圣几何学”的一种标志；馆长蘸着自己的鲜血写下的一组数字“１３－３－２－２１－１－１－８－５”，经过重新排序正是著名的“斐波那契数列”１－１－２－３－５－８－１３－２１，这个数列揭示了大自然中许多数学奥秘，如花瓣的瓣数、向日葵的花盘、鹦鹉螺的螺旋形躯壳，等等；而且这个数列又引出了著名的黄金比例１．６１８！作者甚至在第二十章中用了大段的篇幅来介绍黄金比例的特性及其在生物、建筑、艺术、甚至音乐中的表现……当然，作者这样做，更多的是为了渲染小说中的神秘气氛，但却在有意或无意之中为我们揭示了数学与西方文化的历史渊源。