第二章 §7向量应用举例
北师大版数学必修四课件：第2章§7 向量应用举例
及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素. 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
向量在物理中的应用
例3 一架飞机从A地向北偏西60o的方向飞行1000km到 达B地，然后向C地飞行。设C地恰好在A地的南偏西60o， 并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移. 分析
PQ y0 - y1
PQ x0 - x1
例题讲解
例1 求P 1, 2 到直线l： 2 x y 1 0的距离.
解： x0 1, y0 2 , A 2 ,B 1,C 1. 由点到直线的距离公式，得 d 2 1 1 2 1 2 1
么？
几何问题向量化 向量运算关系化
向量关系几何化.
铁路
仓库
l
仓库
点到直线的距离
一定是垂 线段哟！
l
.M
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
.M
o
(x0,y0)
x
点到直线的距离公式 已知点M(x0, y0)和直线l:Ax+By+C=0.
则P点到直线 l 的距离d为:
d=
Ax 0 + By 0 + C A +B
d PM n0 x0 x , y0 y A x 0 x B y0 y A B
2 2
, 2 2 2 2 A B A B A B A2 B 2
Ax0 By0 Ax By
又因为P x , y 为l 上任意一点，所以c Ax By , Ax0 By0 C 故d . 2 2 A B
向量应用举例
数学领域
向量几何
向量是几何学中的基本概念之 一，通过向量的运算和性质可 以研究几何图形的性质和关系 。
向量分析
向量分析是数学分析中的一个 分支，主要研究向量函数的极 限、连续性、可微性和积分等 性质。
向量代数
向量代数是线性代数中的一个 分支，主要研究向量的线性关 系、线性变换和矩阵等性质。
Hale Waihona Puke 03向量在解决实际问题中的应用
04
向量的未来发展与应用前景
向量在其他领域的应用拓展
物理学
向量在物理学的许多领域中都有广泛应用，如力、速度、加速度、 动量等概念都可以用向量来表示和计算。
计算机图形学
向量在计算机图形学中用于描述二维或三维空间中的方向和大小， 如向量可以表示物体的旋转、缩放和平移等变换。
经济学
向量在经济学中用于描述经济变量之间的关系，如需求和供给、成 本和收益等，可以帮助分析经济现象和预测未来趋势。
THANK YOU
感谢聆听
详细描述
向量的基本运算是向量运算的基础，包括加法、减法和数乘等。 向量的加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量；向量的 减法是通过加法实现的，即加上一个相反的向量；数乘则是将一 个数与一个向量相乘，得到一个新的向量。这些基本运算能够满 足向量的交换律、结合律和分配律等性质。
02
向量的应用领域
物理领域
交通工程中的向量应用
交通流量分析
通过向量的计算，可以分析道路上的交通流 量、速度和方向，从而优化交通流线和管理 交通拥堵。
车辆控制
在自动驾驶系统中，向量用于确定车辆的位置、速 度和方向，以及进行路径规划和运动控制。
轨道交通调度
向量的计算在轨道交通调度中用于确定列车 的位置、速度和时间表，以确保列车的准时 运行和安全运行。
向量在物理中的应用举例 课件
知识点归纳
向量在物理中的应用 (1)物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成 与向量的加法与减法相类似，可以用向量来解决． (2)物理中的功是一个标量，它是力f与位移s的数量积，即 W＝f·s＝|f|·|s|cos θ.
用向量方法解决力学问题
如图，在重300 N的物体 上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的 两侧，与铅垂线的夹角为30°和60°， 求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
【思路分析】力的合成与分解，可用向量的平行四边形法 则解决．
【规范解答】如右图，作平行四边形 OACB， 使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC 中，∠ ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，|O→A|＝|O→C |cos 30°＝ 150 3 (N) ， | A→C | ＝ | O→C |sin 30°＝ 150(N)，|O→B|＝|A→C|＝150 N.
力所做的功
已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N，F拉着80 N的木块在摩擦系数为μ＝0.02的水平 面上运动了20 m，问F和摩擦力f所做的功分别是多少？
【思路分析】利用向量数量积的物理意义求解．
【规范解答】设木块的位移为 s，则 F·s＝|F||s|·cos 30°＝
【规范解答】设船速为 v1，水速为 v2， 船的实际速度为 v3.建立如图所示坐标系， 则|v1|＝5 m/s，|v3|＝250 m/s＝4 m/s.
由 v3＝v1＋v2，得 v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)， ∴|v2|＝3，即 v2＝3 m/s.
用向量解决相关的物理问题，要将相关的 物理量用几何图形正确地表示出来；根据物理意义，将物理问 题转化为数学问题求解．最后将数学结论还原为物理问题．
高中数学 第2章 平面向量 7 向量应用举例 7.1 点到直线的距离公式 7.2 向量的应用举例练习
7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例课时跟踪检测一、选择题1．已知直线l ：5x －y －7＝0，向量P ＝(k ＋1,2k －3)，且P ∥v ，则k 的值为(向量v 为l 的方向向量)( )A ．73 B ．136C ．163D ．－83解析：l 的方向向量v ＝(1,5)，由v 与P 平行得 5(k ＋1)＝2k －3.解得k ＝－83.答案：D2．和直线3x －4y ＋7＝0平行的向量a 及垂直的向量b 分别是( ) A ．a ＝(3,4)，b ＝(3，－4) B ．a ＝(－3,4)，b ＝(4，－3) C ．a ＝(4,3)，b ＝(3，－4) D ．a ＝(－4,3)，b ＝(3,4)解析：直线3x －4y ＋7＝0的方向向量为(4,3)，法向量为(3，－4)，故a ＝(4,3)，b ＝(3，－4)．答案：C3．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，∴2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.故选C ．答案：C4．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)解析：设5秒后点P 运动到点A ，则PA →＝PO →＋OA →＝5v ＝(20，－15)，∴OA →＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．答案：C5．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积解析：∵|b ·c |＝|b |·|c |·|cos θ|，如图，∵a ⊥c ，∴|b |·|cos θ|就是以a ，b 为邻边的平行四边形的高，而|a |＝|c |，∴|b ·c |＝|a |(|b |·|cos θ|)，∴|b ·c |表示以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选C ． 答案：C6．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：∵F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)，∴|F 3|2＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝4＋16＋2|F 1|·|F 2|·cos60°＝20＋2×2×4×12＝28.∴|F 3|＝27. 答案：D 二、填空题7．已知作用在A (1,1)点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为________．解析：F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)．又∵起点坐标为A (1,1)，∴终点坐标为(9,1)． 答案：(9,1)8．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则向量a 与向量b 夹角的大小是________． 解析：设a 与b 夹角为θ，则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝1＋2cos θ＝0，整理得cos θ＝－22，∴θ＝3π4. 答案：3π49．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，则AO →·BC →等于________．解析：AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →，因为OA ＝OB ，所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|，所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2，同理AO →·AC →＝ 12|AC →|·|AC →|＝92，故AO →·BC →＝92－2＝52. 答案：52三、解答题10．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .证明：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 边长为a ，则B ，D ，C 的坐标分别为(a,0)，(0，a )，(a ，a )．∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2.从而DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0－(0，a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 2－(0,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，∴DE →·AF →＝a2×a ＋(－a )×a 2＝0.∴DE →⊥AF →，故AF ⊥DE .11．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)． (1)求AB →·AC →和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状； (2)若M 为BC 边的中点，求|AM →|.解：(1)由题知，AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)， ∴AB →·AC →＝(3，－1)·(－1，－3)＝－3＋3＝0. 设向量CA →、CB →夹角为θ， 根据夹角公式cos ∠ACB ＝cos θ＝CA →·CB→|CA →||CB →|.∵CA →＝(1,3)，CB →＝(4,2)，∴cos ∠ACB ＝ 4＋610×20＝22，∴∠ACB ＝π4. ∵AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →，即AB ⊥AC . 又∵|AB →|＝ 32＋(－1)2＝10， |AC →|＝ (－1)2＋(－3)2＝10. ∴|AC →|＝|AB →|，即AC ＝AB ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．(2)∵M 为BC 的中点，∴M (2,0)，∴AM →＝(1，－2)，∴|AM →|＝1＋4＝ 5.12．已知正方形ABCD 的面积为36，E 为AB 中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．解：分别以AB 、AD 所在直线为x 轴和y 轴，建立坐标系．∵正方形面积为36，∴其边长为6. 则B (6,0)，C (6,6)，E (3,0)，F (6,4)，∴AF →＝(6,4)，EC →＝(3,6)， 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )， EP →＝(x －3，y )，由于AP →∥AF →，且EP →∥EC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x －6y ＝0，6(x －3)－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3.∴S △APE ＝12×3×3＝92，S △BCE ＝12×3×6＝9.∴S 四边形APCD ＝36－92－9＝452.能力提升13.如图，在平面直角坐标系中，|OA →|＝2|AB →|＝2，∠OAB ＝2π3，BC →＝(－1，3)．(1)求点B ，C 的坐标；(2)求证：四边形OABC 为等腰梯形． 解：(1)设B 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝|OA →|＋|AB →|cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝2＋12＝52， y 0＝|AB →|sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝32.∴OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32. ∴OC →＝OB →＋BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32＋(－1，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332. (2)证明：连接OC ，∵OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OC →＝3AB →，∴OC →∥AB →. 又|OC →|≠|AB →|， |OA →|＝|BC →|＝2，∴四边形OABC 为等腰梯形．。
北师大版高中数学第二章7 向量应用举例
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7 向量应用举例
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考纲定位
重难突破
1.了解直线法向量的概念． 2.会用向量方法解决某些简单的平面几何 问题、力学问题及一些实际问题． 3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物
重点：向量方法在几何、物理中的应用． 难点：1.法向量的理解．
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2．点到直线的距离公式
设点 M(x0，y0)为平面内任一点，则点 M 到直线 l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的距离 d＝
|ax0＋by0＋c| ______a_2_＋__b_2____.
3．两平行线间距离
|c1－c2|
直线 l1：ax＋by＋c1＝0 与直线 l2：ax＋by＋c2＝0(a2＋b2≠0 且 c1≠c2)的距离 d＝___a_2_＋__b_2__.
10 2.
答案：
10 2
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探究一 向量在解析几何中的应用 [典例 1] 已知圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝4 及点 A(1,1)，M 是圆 C 上的任意一点，点 N 在 线段 MA 的延长线上，且M→A＝2A→N，求点 N 的轨迹方程．
高中数学第二章平面向量7向量应用举例课件必修4高二必修4数学课件
【解】 设点 M(x，y)为轨迹上的任一点，设 A(0，b)， Q(a,0)(a>0)，则A→M＝(x，y－b)，M→Q＝(a－x，－y)．∵A→M＝－32 M→Q，
∴(x，y－b)＝－32(a－x，－y)．∴a＝3x，b＝－2y， 即 A(0，－2y)，Q(3x，0).P→A＝(3，－2y)，A→M＝(x，32y)． ∵P→A·A→M＝0，∴3x－34y2＝0. 即所求轨迹方程为 y2＝4x(x>0)．
12/13/2021
(2)结合法向量的定义可知，向量(A，B)与(B，－A)垂直，从 而向量(A，B)为直线 l 的法向量.
12/13/2021
12/13/2021
类型一 直线的方向向量与法向量的应用 【例 1】 已知点 A(2，－1)，求： (1)过点 A 且与向量 a＝(5,1)平行的直线的方程； (2)过点 A 且与向量 a＝(5,1)垂直的直线的方程． 【思路探究】 可利用直线的方向向量和弦向量求直线的方 程．
12/13/2021
(1)如果一架飞机先向东飞行 200 km，再向南飞行 300 km，
设飞机飞行的路程为 s km，位移为 a，则( A )
A．s>|a|
B．s<|a|
C．s＝|a|
D．s 与|a|不能比较大小
(2)已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同
时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力 f4，
12/13/2021
类型三 向量在物理中的应用 【例 3】 设作用于同一点 O 的三个力 F1，F2，F3 处于平 衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，F1 和 F2 的夹角为23π(如图所示)．求：
北师版高中数学高一 2.7 向量应用举例
答案
知识点二 点到直线的距离公式
设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的 |Ax0＋By0＋C|
距离d＝
A2＋B2 .
知识点三 向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件： a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条 件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0.
第二章 平面向量
2.7 向量应用举例
学习 目标
1.了解直线法向量的概念. 2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际 问题. 3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.
栏目 索引
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知识点一 直线的方向向量与法向量
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
解析答案
返回
当堂检测
12345
1.已知△ABC，A→B＝a，A→C＝b，且 a·b<0，则△ABC 的形状为( A )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
答案
12345
2.已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB为直径的圆的方程是_x_2_＋__y_2＋__x_－__3_y_＝__0__. 解析 设P(x，y)为圆上任一点，则 A→P＝(x－1，y－2)，B→P＝(x＋2，y－1)， 由A→P·B→P＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)＝0， 化简得x2＋y2＋x－3y＝0.
高中数学第2章平面向量7向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例课件北师大版必修
知识点一 向量在物理中的应用
1．人骑自行车的速度为 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度 为( )
A．v1－v2 C．v1＋v2
B．v2－v1 D．|v1|－|v2|
答案：C
2．若向量O→F1＝(1,1)，O→F2＝(－3，－2)分别表示两个力→F1，
→F2，则|→F1＋→F2|为(
)
A．(5,0)
【方法总结】 用向量的方法解决相关的物理问题，要将 相关物理量用几何图形表示出来；再根据它的物理意义建立数 学模型，将物理问题转化为数学问题求解；最后将数学问题还 原为物理问题．
如图所示，用两根分别长 5 2 米和 10 米的绳子，将 100 N 的物体吊在水平屋顶 AB 上，平衡后，G 点 距屋顶距离恰好为 5 米，求 A 处所受力的大小(绳子的质量忽略 不计)．
解：设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b. 而|B→D|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－ 2a·b＝4，所以 2a·b＝1. 又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋ |b|2＝5＋2a·b＝6， 所以|A→C|＝ 6， 即 AC＝ 6.
第二章 平面向量
§7 向量应用举例 7.1 点到直线的距离公式
7.2 向量的应用举例
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 1．能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问 题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题． 2．能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等 问题.
B．(－5,0)
C． 5
D．－ 5
答案：C
知识点二 向量在解析几何中的应用
3．已知直线 l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与 l 平行，则
7向量应用举例
F
X
例3、求证：三角形三条高线共点.
C 证：设CF , AD, BE分别是ABC的三条高， AD BE H . AD BC, BE CA, E H D
AH CB 0, BH CA 0.
A
即(CH CA) CB CH CB CA CB 0,
例1. 求证平行四边形对角线互相平分． 证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条 对角线相交于M，设 AM x AC, BM y BD.
AM
AM AB BM AB y BD AB y( AD AB)
向量应用举例
例1、 (1)求以点C (a, b)为圆心，r为半径的圆的方程; (2)已知A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 试求以AB为直径的圆的方程.
例2、已知圆C : ( x a) ( y b) r , 求与圆C
2 2 2
相切于点P0 ( x0 , y0 )的切线方程 .
(1 y) AB y AD.
由平面向量的基本定理 知：
M是A, B的中点， 即两条对角线互相平分 .
x 1 y 1 x y . 2 x y
例2、P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为 矩形.求证：PA EF且PA EF .
Y A
P
B
E
C
D O
直线Ax By C 0的方向向量是 v (B, A).
点M ( x0 , y0 )到直线l : Ax By C 0的距离d为 d | Ax0 By0 C | A B
2 2
Y
L
n
v
O
M ( x0 , y0 )
第二章 平面向量(第7课时)平面向量的数量积
2
a b a b cos
a b a b cos
2
3 6 0 =0
新余市第六中学 高中数学 必修④
向量的数量积
例题讲解
[例1] 已知 a 3， b 6，当①a b，②a b，③a与b的夹角是 60时，分别求a b的值。
③ a与b的夹角
向量a, b的夹角记作 a, b
新知自解
向量的夹角
a
b
（）定义：已知非零向量 1 a 和（如图所示），作 b OA a, OB b, 则∠AOB =叫做向 量a, b的夹角。 （0 ）
同向； 注意：①当 0时， 向量a和b
②当 时，向量a和b反向；
③当
aa （目的：求模长） （3） a ____________________________ （4） cos a b ( a b 0)（目的：求夹角） a b ____________________________
（5）对任意两个向量a, b，有 a b a b ，当且仅当 a b时等号成立
3
a b a b cos
a b a b cos
3
3 6
1 =9 2
新余市第六中学 高中数学 必修④
向量的数量积
性质
a cos （目的：求射影） （ 1）若e是单位向量，则e a ________________________
（2） a b a b ___________________________ 0 （目的：证垂直）
同向，则它们的夹角 0 解： ①当a b时，若a与b
a b a b cos
高中数学第二章平面向量7向量应用举例课件北师大版必修
规律方法 1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理 问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量 的区别与联系． 2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的 加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形 法则． 3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功 抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
(2)由(1)得 F(x)＝x＋x 1＋x＝x＋1x＋1(0<x<1)，设 0<x1<x2<1，
则 F(x1)－F(x2)＝x1＋x11＋1－x2＋x12＋1
＝(x1－x2)＋x11－x12＝(x1－x2)1－x11x2 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 1， 由 0<x1<x2<1，得 x1－x2<0，x1x2－1<0，x1x2>0， 得 F(x1)－F(x2)>0，即 F(x1)>F(x2)． ∴F(x)在(0，1)上为减函数．
证明 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝e，D→B＝c，D→C＝d，则 a＝e＋c，b＝e＋d. ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知 a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0. ∵B→C＝D→C－D→B＝d－c，∴A→D·B→C＝e·(d－c)＝0， ∴A→D⊥B→C.即 AD⊥BC.
则|F1＋F2|为( )
A．(5,0)
B．(－5,0)
C. 5
D．－ 5
答案 C
2．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4，0)， 则力F对物体作的功为________． 答案 4
高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例课件 北师大版必修4
2,则 P 点坐标为( )
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(1,2),或(2,-1)
D.(2,1),或(-1,2)
解析:设 P(a,5-3a),
则 d=|������-(5-3������)-1| = |4������-6| = 2.
2
2
∴|2a-3|=1.∴a=2,或 a=1.
∴P 点坐标为(2,-1),或(1,2).
证明:方法一:建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形 ABCD 的边长为 2,则 A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),������������=(2,1),������������=(1,-2).
K12课件
12
探究一Leabharlann 探究二探究三因为������������ ·������������=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,
(3)某轮船需横渡河流,且船速为 v0,水流速为 v',要使轮船以最 快的速度到达另一岸,则需要保持船头方向与河岸垂直. ( )
答案:(1)× (2) (3)
K12课件
8
探究一
探究二
探究三
探究一点到直线距离公式的应用
【例 1】 P 点在直线 3x+y-5=0 上,且点 P 到直线 x-y-1=0 的距离为
做一做 1 若直线 l 方程为 3x-4y+1=0,则其单位法向量
是
.
解析:l 的法向量是(3,-4),其模等于 5,因此,单位法向量是 3 ,- 4 .
55
答案:
3 5
,-
4 5
K12课件
3
二、点到直线的距离公式推导过程
设 M(x0,y0)是直线 l:Ax+By+C=0 外一定点,P(x,y)为直线 l 上任意一
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uuur
uuur
BE ＝(－1,2)，CF ＝(－2，－1)．
uuur uuur 所以 BE ·CF ＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
uuur uuur 所以 BE ⊥CF ，即 BE⊥CF.
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[一题多变] 1．[变设问]本例条件不变，证明 AP＝AB.
证明：连接 AP.建系同例题，设点 P 坐标为(x，y)，
(√ )
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2．直线 3x－4y＋7＝0 的方向向量 a 与法向量 b 可以为 ( ) A．a＝(3,4)，b＝(3，－4) B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3) C．a＝(4,3)，b＝(3，－4) D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
解析：选 C 直线 Ax＋By＋C＝0 的一个法向量为(A，B)， 一个方向向量为(－B，A)，故可知 C 正确．
uuur 所以| AP |＝
652＋852＝2＝|
uuur AB |，即
AP＝AB.
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2．[变条件，变设问]本例条件变为“P 为对角线 BD 上的一点，
四边形 PECF 是矩形”，求证：AP⊥EF.
证明：法一：建立如图所示的平面直角坐标系， uuur uuur
设 P(x，y)，BP ＝λBD，则 E(2，y)，F(x,2)，(x－2，y)＝λ(－ 2,2)，即 x＋y＝2.
结束
预习课本 P101～104，思考并完成以下问题
1．如何计算点 M(x0，y0)到直线 l：ax＋by＋c＝0 的距离？ 2．直线的法向量的定义是什么？
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[新知初探]
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1．点到直线的距离公式
|ax0＋by0＋c|
点 M(x0，y0)到直线 l：ax＋by＋c＝0 的距离 d＝
uuur uuur AP·EF ＝[λa＋(λ－1)b]·[(λ－1)a－λb]
＝(λ2－λ)a2－(λ2－λ)b2＝0， uuur uuur
所以 AP⊥ EF ，即 AP⊥EF.
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用向量方法解决平面几何问题的步骤
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向量在物理中的应用
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[典例] 某人在静水中游泳的速度为 4 3 km/h，水的 流速为 4 km/h.
uuur uuur 所以 AP·EF ＝(x，y)(x－2,2－y) ＝x2－2x＋y(2－y) ＝x2－2x＋(2－x)(2－2＋x)＝0.
uuur uuur 所以 AP⊥ EF ，即 AP⊥EF.
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uuur
uuur
法二：如图，设 AB＝a， DA＝b，由已知得，|a|＝|b|且
uuur
uuur
则FP ＝(x，y－1)，FC ＝(2,1)，
uuur uuur 因为FP ∥FC ，所以 x＝2(y－1)，
即 x＝2y－2， uuur uuur
同理，由 BP ∥ BE ，得 y＝－2x＋4，
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由xy＝＝－2y－2x＋2，4， 得xy＝＝8565，，
所以点 P 坐标为65，85.
答案：171313
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向量在平面几何中的应用
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[典例] 已知正方形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，AD 的 中点，BE，CF 交于点 P.求证：BE⊥CF.
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB＝2，则
A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)如果他径直游向河对岸，他实际沿什么方向前进？速 度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进 (求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小 为多少？
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uuur
uur
[解] (1)如图①，设人游泳的速度为OB，水流的速度为OA，
以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则此人的实际速度
[活学活用]
如图，无弹性的细绳 OA，OB 的一端分别固定在 A，B 处， 同样无弹性的细绳 OC 下端系着一称盘，且使得 OB⊥OC， 试分析三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大．
解：如图，设 OA，OB，OC 三根绳子的受力分别为 a，b，c，
则 a＋b＋c＝0，a 与 b 的合力为 c′＝a＋b，|c′|＝|c|，
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[活学活用]
已知直线 l 经过点 A(1，－2)，且直线 l 的一个法向量 n＝(2, 3)， 则点 B(2, 3)到直线 l 的距离是________．
uuur
解析：依题意得 AB＝(1,5)，由距离的向量公式 d＝
，
可得 d＝|1×22＋2＋53×2 3|＝ 1173＝171313.
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向量在解析几何中的应用
[典例] 已知 A(2,3)，B(4，－5)，P(1,2)，求： uuur
(1)过点 P 且方向向量为 AB的直线 l1 的方程； uuur
(2)过点 P 且法向量为 AB的直线 l2 的方程；
(3)过点 P 且与 A，B 两点等距离的直线 l3 的方程． uuur
uuur
uur
uuur
在 Rt△AOB 中，| AB|＝4 3，|OA|＝4，|OB|＝4 2.
∴cos∠BAO＝ 33，
故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为 33，且逆着水流
方向，实际前进速度的大小为 4 2 km/h.
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利用向量解决物理问题的步骤
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4 ． 过 点 A( － 1,2) ， 且 平 行 于 向 量 a ＝ (3,1) 的 直 线 方 程 为 __________．
解析：设点 P(x，y)是所求直线上的任意一点， uuur
则 AP＝(x＋1，y－2)． uuur
∴ AP∥a，∴(x＋1)－3(y－2)＝0. 即 x－3y＋7＝0.∴直线方程为 x－3y＋7＝0. 答案：x－3y＋7＝0
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uur uuur uuur
uuur
为OA＋OB＝OC ，根据勾股定理，|OC |＝8，且在 Rt△ACO
中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角 60°的方向前进，
速度大小为 8 km/h.
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uuur
uur
(2)如图②，设此人的实际速度为 OB ，水流速度为 OA .
uuur uur uuur ∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB－OA＝ AB，
∵直线 l2 过点 P(1,2)，∴2×1－8×2＋c2＝0，
∴c2＝14.
将
c2＝14
代入②式并化简，得直线
l2
的方程为
x－4y＋7＝0. uuur
(3)设线段 AB 的中点为 M，则点 M 的坐标为 M(3，－1)，PM
uuur
＝(2，－3)，又设 N(x，y)为直线 l3 上任一点，则 PN ＝(x－1，y
a2＋b2 .
2．直线 l：ax＋by＋c＝0 的法向量
(1)与直线的方向向量 垂直 的向量称为该直线的法向量．
(2)若直线 l 的方向向量 v＝(b，－a)，则直线 l 的法向量 n＝
(a，b) ．
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[点睛] (1)与直线垂直的向量都是该直线的法向量，故 任意直线的法向量都有无数多个．
uuur uuur uuuur uuur 在如图的平行四边形中，因为 OC ⊥OB ，| BC |＝|OA |，
uuur uuur
uuur uuur
所以 |OA|＞|OB|，且|OA|＞|OC|，即|a|＞|b|
且|a|＞|c|，故绳 OA 受力最大．
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十二)” (单击进入电子文档)
－2)． uuur uuur
由 PM ∥ PN ，得 2(y－2)＋3(x－1)＝0，整理，得 3x＋2y－
7＝0.与 AB 平行的直线方程同(1)，为 4x＋y－6＝0.
故满足条件的直线 l3 的方程为 4x＋y－6＝0,3x＋2y－7＝0.
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利用向量解决解析几何问题的方法 (1)利用直线的方向向量和法向量求直线方程； (2)利用向量共线的条件处理解析几何中有关平行、 共线等问题； (3)利用向量的数量积可以把有关长度、角度、垂直 等几何关系转化为数量关系，从而解决问题； (4)利用平面向量的知识求动点的轨迹方程．
[解] (1)由题意知 AB＝(2，－8)，故可设直线 l1 的方程
为－8x－2y＋c1＝0.①
∵点 P(1,2)在直线 l1 上，∴－8×1－2×2＋c1＝0，
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∴c1＝12.
即 c1＝12 代入①式并化简，得直线 l1 的方程为 4x＋y－6＝0.
(2)设直线 l2 的方程为 2x－8y＋c2＝0.②
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