复变函数--习题课

解
F
[( t
2)
f
(2t
)]
1 2
1F 2
[tf
(t )]
Fra Baidu bibliotek
2
2F [ f (2t )]
i F ( ) 2 1 F ( )
4
2
22
i 4
F ( )
2
F( )
2
i d (F ( )) F( )
2 d 2
2
25
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练习 求函数 (1 t )f (1t) 的傅里叶变换, 其中
F () F [ f (t)].
解：
F ( )
(1
t
)
f
(1
t
)e
it
dt
1 t
f
(
)e
i
(1
)d
e i
f
(
)e i( )
d
eiF [tf (t)] iei F ( )
iei dF ( ) d
26
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(3) 设f (t ) tei0t , 则F [ f (t )] ( D )
1 t 0 t 1
0
1, (2) f (t) 0,
0, 1 t
t
其他
.
解 （1）
F ( ) f (t )eitdt
0 e itdt 1 e itdt
1
0
2(1 cos ) i
4
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(2)
F ( ) f (t )eitdt
1 e itdt
t 1
,
2
t
1
1
2
2
,
t 1 0,
t 1
0,
t 1 t 1
1
2
, ,
2
| t | 1 | t | 1
| t | 1
所以
0, | t | 1
f
(t
)
1 2
,
| t | 1.
1 4
,
| t | 1
15
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练习：
(1)设a
0,
f
(t)
eat ,
e
at
e d i(t t0 )
2
(t
t0 ).
18
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练习：
(1) 设f (t ) (t t0 ), 则F [ f (t )] ( D )
(A) 1
(B) 2
(C)ei t0
(D) eit0
(2) 设f (t ) cos 0t, 则F [ f (t )] ( A )
( A) e2i 2 ( 0 ) (C ) e2i 2 ( 0 )
(B) e2i 2 ( 0 ) (D) e2i 2 ( 0 )
(4)下列变换中不正确的是( C )
( A)F [u(t )] 1 ( ) (B)F [1] 2 ( ) i
(C )F [2 (t )] 1
(D)F [sgn(t )] 2
2i
2i
1 2i
[
1
i( 0 )]2
1 2i
[
1
i( 0 )]2
20 (
[
2 0
（
i ) i）2 ]2
30
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四、 综合运用
例8求函数f (t) tet2的Fourier变换,并推证
1
e
4 2
sintd
2
tet2 .
0
解 由钟型脉冲函数的Fourier变换知,
2
e(1ii )t dt e (1ii )tdt
0
0
| | 1 e(1ii )t 0
e(1i i )t 0
2 1 i i
1 i i
| | e e (1ii )t
(1 i i )t
1 i i 0
1 i i 0
11
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1 2
0
2 4
2 4
costd
2
e |t|
cos
t.
解 所给函数Fourier变换为
F ( ) F [ f (t )] f (t )eitdt
e |t| cos teitdt
e |t| e it e it e it dt
2
10
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1 0 e(1ii )tdt 0 e(1ii )tdt
i
20
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三、 利用性质计算傅里叶变换
设F1()= ℱ[f1(t)], F2()= ℱ[f2(t)], , 是常数
1.线性性质
ℱ[f1(t) f2(t)] F1( ) F2( ). ℱ-1 [F1( ) F2 ( )] f1(t ) f2 (t ).
2.位移性质
i
2. (t)和1构成一个Fourier变换对.
3.1和2 ()构成一个Fourier变换对. 4.ei0t和2 ( 0 )构成一个Fourier变换对.
5. (t t0 )和eit0构成一个Fourier变换对.
17
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e dt i( 0 )t
2
(
0 ).
F [2u(t) 1] 2F [u(t)]F [1]
[ 2
i
2 ( )] 2 ( )
2
i
.
由Fourier变换的微分性质,得
F
[|
t
|]
iF ( )
2
2
.
23
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练习：求函数 | t | cos0t 的傅里叶变换.
解 F [| t | cos 0t] F [t sgnt cos 0t]
f (t) 2
tet2 .
0
32
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例9 已知函数f (t )的Fourier变换为
F ( )
0, | | 1, | |
(
0),
求f (t ).
解 f (t ) F 1[F ( )] 1
F
(
)e
it
d
2
1 e itd
2
sint (sint ). t t
广义Fourier变换
*
2
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一、求古典傅里叶变换、积分并验证广义积分结果
F ( ) f (t )eitdt
f (t) 1
F ( )eitd
2
3
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例1 求下列函数的傅立叶变换.
0, t 1
(1)
f
(t
)
1, 1,
再由Fourier积分公式得，在连续点处
8
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f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
i
F ( )sintd
0
2
0
sin
1
sint 2
d
即
0
sin sint 12
d
2 0,
sint, | t | | t |
.
9
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例3 计算函数f (t ) e|t| cos t的Fourier变换, 并证明
dn
dn
F( )
( i )nF
[t n
f
(t )].
4 . 积分性质
F
t
f
(t
)dt
1 F[
i
f (t)].
6.相似性质
F[ f (at)]
1
F ( ).
|a| a
推广：F[ f (at b)]
1
e
i
b a
F
(
)
|a|
a
22
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例5 计算函数f (t) | t | 的Fourier变换. 解 由于 | t | t sgnt t[2u(t) 1], 并且
第七章 Fourier变换
一、求古典傅里叶变换、积分 二、广义傅里叶变换 三、利用性质计算傅里叶变换 四、综合应用
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Fourier积分定理
性质
Fourier变换
Fourier变换 的应用
线 性
位 移
微 分
积 分
相对 似称
性 性 性 性 性性
质 质 质 质 质质
δ函数
变 换.
解 法一 由F [u(t )et ] 1 ,
i
利用位移性质
F [u(t )et sin 0t]
1 F [u(t )etei0t ] 1 F [u(t )etei0t ],
2i
2i
28
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1
1
1
1
2i i( 0 ) 2i i( 0 )
2 0
2
F [et2 ]
e 4 .
再由微分性质可得
F [tet2 ]
2
e 4 .
2i
31
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注意到f (t)为奇函数
f (t) 1
F
[
f
(t
)]e
it d
2
1 π e itd
2 2i
1
2
e 4 isintd
4i
即有
2
e 4 isintd 2
s in t , 0,
| t | 的Fourier | t |
变 换, 并 证 明
0
s
in sint 12
d
2 0,
s in t ,
| t | | t |
.
解 所给函数是奇函数,其Fourier变换为
7
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F ( ) F [ f (t )] f (t )eitdt 2i0 f (t)sintdt 2i0 sint sintdt 2i sin 12 .
2F
[tu(t
)
cos
0
t
]
F
[t
cos
0t]
i
i(
1
0
)
i ( 0 )
i
i
(
1
0
)
i ( 0 )
i ( 0 ) i ( 0 )
(
1
0 )2
1
( 0 )
.
24
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例6 求函数 (t 2)f (2t) 的傅里叶变换, 其中
F () F [ f (t)].
F [ f (t t0 )] e F it0 [ f (t)]
F -1 [F( 0 )] f (t)ei0t .
3. 微分性质
F [ f (t)] iF [ f (t)].
F [ f (n) (t )] (i )nF [ f (t )].
21
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d F ( ) F [itf (t )]. d
f (t)
2
2
t
34
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例10 求解积分方程
(t
y( )2
)
a2
d
t2
1 b2
(0
a
b).
解
方
程
两
边
是未知
函
数y(t
)与
t
2
1
a2
的卷
积,
即y(t ) *
t
2
1 a2
.对 方 程 两 边 取Fourier变 换,
,
t
0 ,
则
函
数f
(t )的
t0
Fourier变 换 为
.
(2)设F
[
f
(t)]
1
3
2
, 则f
(t)
.
答案：
(1)
f
(t)
2a
a2 2
(2) 3 e |t| 2
16
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二、 广义傅里叶变换 一些常见函数的广义Fourier变换: 1.u(t )和 1 ( )构成一个Fourier变换对.
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记Sa(t ) sint ,则f (t ) Sa(t ),当t 0时,
t
定 义f (0) .信 号 Sa(t )(或 者Sa(t ))称 为
抽 样 信 号,它 在 连 续 时 间 的 离 散 化、 离 散 时
间 信 号 恢 复 以 及 信 号 滤波 中 发 挥 了 重 要 作 用.
( A) [ ( 0 ) ( 0 )] (B) [ ( 0 ) ( 0 )] (C )i[ ( 0 ) ( 0 )] (D)i[ ( 0 ) ( 0 )]
19
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(3) 设f (t ) (2 t ) ei0t , 则F [ f (t )] ( A )
e|t| cos t .
2
13
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例4 已知某函数的傅氏变换为
F ( ) sin ,
求该函数.
解
f
(t)
1
2
sin eitd
1
0
sin
cos
td
1
2
0
sin(1
t )d
1
2
0
sin(1
t )d
14
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,
2
1
2
2
,
0,
1
1 i
i
1
1 i
i
1
1 (1
)i
1
1 (1
)i
2 2 4 44 .
再由Fourier积分公式得
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
12
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1
F ( )costd
0
1
0
2 2 4 4 4 cos
td .
即
2
0 4
2 costd
4
0 (
i
)2
,
再由微分性质
F
[tu(t )et
sin 0t]
i
d
d
02
0 (
i )2
20 (
[
2 0
（
i ) i）2 ]2
29
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法二
F
[tu(t )et
]
i
d
d
F ( )
(
1
i )2
由位移性质,F [tu(t )et sin 0t]
1 F [tu(t )etei0t ] 1 F [tu(t )etei0t ],
在连续点处
2sin .
f (t ) 1 2 sin eitd
2
所以
2 sin costd
0
5
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sin costd
0
0, t
, t
4
2
,
t .
4
,
t
0, t
6
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例2 计 算 函 数f
(t)
( A) 2 ( 0 ) (C) 2i ( 0 )
(B) 2 ( 0 ) (D) 2i ( 0 )
(4)设f (t) sin2 t,则F [ f (t)]
.
() [ ( 2) ( 2)]
2
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例7 计算函数f (t) tu(t)et sin 0t的Fourier