人教版小学四年级下册数学扩展知识——误差、精确度和有效数字
实验基础知识——误差和有效数字
第一章实验基础知识——误差和有效数字在关于最新必修加选修教材的教学大纲中，对误差和有效数宁作出了明确的规定。
1．关于误差认识误差问题在实验中的重要性，了解误差的概念，知道系统误差和偶然误差，知道用多次测量求平均值的方法减小偶然误差，能在某些实验中分析误差的主要来源，不要求计算误差。
2．关于有效数字了解有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果。
间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2—3位有效数字表示。
一、误差做物理实验，离不开对物理量的测量，而测量值和真实值总有差异。
这种差异就叫做误差。
从来源看，误差分成系统误差和偶然误差两种，从数值看，误差又分为绝对误差和相对误差两种。
1．系统误差和偶然误差①系统误差：系统误差是由于仪器本身不精确，或实验方法粗略，或实验原理不完善而产生的。
其特点是，在多次重做同—实验时，其结果总是同样地偏大或偏小，不会出现有几次偏大而另外几次偏小的情况。
要减小系统误差，必须校准仪器、改进实验方法、设计原理更完善的实验。
②偶然误差：是由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。
偶然误差的特点是，多次重做同—实验时，结果有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。
减小偶然误差的一般方法是多次测量，取其平均值。
[例题1] 指出以下误差是系统误差还是偶然误差A．测量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差。
B．用有毫米刻度的尺测量物体长度，豪米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差C．用安培表内接法测电阻时，测量值比真实值大[)．在验证共点力合成的平行四边形法则实验中，在画出两分力方向及合力方向时，画线不准所致误差[解析] A是选项是实验仪器不精确所致，是系统误差；B选项是由于测量者在估计时由于视线方向不准造成的，是偶然误差；C选项是实验原理不完善、忽略电流表内阻影响所致，是系统误差；D选项是画力方向时描点不准、直尺略有移动，或画线时铅笔倾斜程度不一致所致，是偶然误差。
误差和有效数字介绍课件
误差的表示
误差通常用标准差或相对误差来 表示，这些值可以帮助我们了解
测量结果的可靠性和准确性。
有效数字的保留
在处理测量数据时，应根据误差 的大小来确定有效数字的保留， 以确保结果的准确性和可靠性。
有效数字对误差的影响
01
有效数字的精度
有效数字的精度决定了测量结果的精度，保留更多的有效数字可以提供
误差和有效数字介绍课件
目录
• 误差的基本概念 • 有效数字的基本概念 • 误差与有效数字的关系 • 误差的减小和避免 • 有效数字的取舍原则 • 误差和有效数字的应用实例
01
误差的基本概念
误差的定义
01
02
03
误差
测量值与真实值之间的差 异。
误差的来源
测量工具、测量方法、环 境条件、操作人员等。
质量测量的误差和有效数字分析
总结词
有效数字的位数是衡量质量测量结果 可靠性的重要指标。
详细描述
在质量测量中，有效数字的位数需要 根据称重工具的精度和称重方法的要 求来确定。例如，如果使用分辨率
THANKS
感谢观看
例子
将2345转换为科学记数法为2.345×10^3。
06
误差和有效数字的应用实例
长度测量的误差和有效数字分析
总结词
长度测量中的误差和有效数字分析是确保测量准确性的关键。
详细描述
在长度测量中，由于测量工具、测量方法和测量环境等因素的影响，测量结果往往存在误差。为了准确评估测量结果 的可靠性，需要对长度测量中的误差进行分析，并确定有效数字的位数。
误差的表示方法
绝对差
测量值与真实值之间的差值。
相对误差
4.2 误差和有效数字
代表了x 的上、下限. 越小, 近似值x* 的精度越高.
例如, 光速C 的近似值为
C 2.997902 1010 厘米 / 秒
又其绝对误差限为
ε* = 0.000009×1010厘米/秒
则把C 写成
C =(2.997902±0.000009)×1010厘米/秒 它表示了光速C 的准确值所在的范围.
称为近似值 x* 的绝对误差 , 简称误差.
当 e* >0时, 称 x* 为强
e x x
(1)
为近似值x* 的绝对误差限, 简称误差限或精度. 称此
也可用 x x 来表示(1). x 和 x
* r
* r
* 显然 r 称为近似值 x 的相对误差限.
* r
*
x
例如, 两个量 x 10 1, y 1000 5 (*x ) 1 x 10 , (*x ) 1, r*( x ) 10%
x 10
y 1000 ,
* ( y)
二. 相对误差和相对误差限
定义2 近似值x* 的绝对误差e*与准确值x 的比值
e x x er x x
称为近似值x* 的相对误差. 由于真值 x 总是无法知道, 通常取 e x x er x x
作为相对误差的另一个定义.
若找到一个正数 r , 使
e
解: 上述各数具有5位有效数字的近似值分别为
187.93, 0.037856, 8.0000, 2.1783.
四. 小 结
1. 误差与误差限 2. 相对误差和相对误差限 3. 有效数字
第四章
误差、偏差、有效位数
消除方法：偶然误差是不可避免的， 但用多次平行测定的方法可以抵消。 一般平行测定3～5次，要求高的可测 定5～9次。 (3) 过失误差：错误操作产生的。 如读错数，装置漏气，打倒溶液等。 消除方法：确认发生过失后，结果作废，
重作。
Y
平均值 x 测定值的正态分布曲线
§2.2 有效数字及其运算规则 总原则：在数据的记录、运算（作图）等整个过程中，保 持测量的准确度基本不变。既不能降低，也不能提高。下面 按数据处理的几个环节依次介绍。 1、数据的记录—采用有效数字 （1）有效数字的慨念：各种测量值都有一定的误差，这 种误差的大小是由所用方法及仪器的准确度所确定的。因此 记录的数据应能表示出相应的误差，不能改变测定的准确度。 如： 称量表皿的质量m: 台称：21.6g (±0.1g) 天平：21.6321g (±0.0001g) 体积V: 量筒:（10ml的）8.1ml (±0.1ml) 滴定管：(50ml的) 8.15ml (±0.05ml) 这些数字都是有效数字：它是测量所得的数值。
12.0090
12.0095
_
12.0101
12.0106
求： 1. 测定的碳原子量的平均值 X 2. 第三次测定的绝对偏差d3 及相对偏差； 3. 整个测定的相对平均偏差； 4. 整个测定的标准偏差S及相对标准偏差RSD。 解: 1. X 0.0080 0.0090 0.0095 0.0101 0.0106 12 12.0094 5 2. d3 =12.0095－12.0094 = +0.0001 ;
保留有效数字的原则是：除最后一位数字可疑，是估计 的（通常有±1～±5个单位的误差）外，其他数字都是准确 可靠的。 (2)有效数字的位数：从最左面第一个非零的数字起到最 右面含零的数字为止的所有的数字的位数。 关键 在其他数字前：不算。如 0.0025g＝2.5mg 两位 只有最后一位数字可疑,算. 如 2.500g 四位 是“0” 在其他数字后： ＝2.5×103g＝2.5Kg 两位 未定的“2500g” ＝2.500×103g＝2.500Kg 四位 × 因此，记录数据必须用科学计数法。 说明:（i）表示“倍数”的数字是纯数，不是测定值，没 有 误差，无限多位。如“3倍”的3。 （ii）第一位数字≥8时，可多算一位。如8.314可算
培训资料--误差与有效数字
第三节 有效数字及运算规则
❖ 数据的位数不仅表示数字的大小，也反映测 量的准确程度。有效数字就是保留末一位不 准确数字，其余数字均为准确数字。例如在 分析天平上称取试样0.5000g，这不仅表示质 量为0.5000g，还表示误差在±0.0002g以内。 如将质量记录成0.50g，则表示是在台秤上称 量的，误差为±0.02g。因此记录数据的位数 不能任意增加或减少。
有效数字中“0”的意义
❖ 数字之间的“0”和末尾的“0”都是有效数字， 而数字前面所有的“0”是定位作用。以“0” 结尾的正整数，有效数字的位数不确定。采 用科学计数法，就可确定有效数字的位数了。 10.1430，2.1045，0.2104，0.0120
4.5 103 ,4.50 103
数字修约规则
❖ 在运算中，当第一位有效数字≥8时，有效数 字位数可多计一位
例题
❖ 计算：0.0121+25.64+1.05782= 0.0121×25.64×1.05782=
❖
每一次的加油，每一次的努力都是为 了下一 次更好 的自己 。20.11.2720.11.27Fri day, November 27, 2020
定量分析中的误差
方颖
第一节 准确度和精密度
❖ 真实值：物质中各组分的实际含量。
❖ 平均值：在日常分析工作中，总是对某试样 平行测定数次，取其算术平均值作为分析结
果。
x
x1 x2
xn
n
❖ 样品平均值不是真实值，是真实值的最佳估 计，只有在消除系统误差之后并且测定次数
趋于无穷大时，所得总体平均值才能代表真 实值。
❖
每天都是美好的一天，新的一天开启 。20.11.2720.11.2701:4901:49:0601:49:06Nov-20
有效数字知识点总结
有效数字知识点总结有效数字的定义有效数字是指用于表示测量结果或实验数据的数字。
有效数字反映了测量结果或数据的准确性和精度。
通常情况下，有效数字是从左侧第一个非零数字开始，到最后一个数字结束。
有效数字不包括前导零，但包括末尾的零。
例如，测量结果为0.035时，有效数字为35。
而测量结果为0.0035时，有效数字为3.5。
有效数字的规则有效数字有一些表示规则，这些规则有助于确定和处理测量结果和实验数据的准确性和精度。
下面是有效数字的一些基本规则：1. 所有非零数字都是有效数字。
2. 所有前导零都不是有效数字。
3. 所有末尾的零在小数点后面的数字之后都是有效数字。
4. 在科学计数法表示的数字中，有效数字从第一个非零数字开始，到末尾的数字结束。
举例说明：测量结果为0.035时，有效数字为35，共有两个有效数字。
测量结果为0.0035时，有效数字为3.5，共有两个有效数字。
数字5.20是有三个有效数字，0前方的0不是有效数字。
科学计数法表示的数字3.25×10^4有三个有效数字。
有效数字的应用了解有效数字的概念和规则对于正确处理测量数据和计算结果至关重要。
有效数字的应用涉及到测量数据的记录、计算结果的表示和估计值的确定。
以下是有效数字的一些应用：1. 测量数据的记录在记录测量数据时，应根据有效数字的表示规则进行记录。
记录测量数据时，应该遵循以下规则：在小数点后有限位数的数字的记录时，应该根据有效数字的表示规则来确定有效数字的位数。
在测量数据不确定的情况下，应该确定使用的有效数字的位数。
2. 计算结果的表示在进行测量数据的计算时，应根据有效数字的表示规则确定计算结果的有效数字的位数。
在对测量数据进行加减、乘除等运算时，应该根据有效数字的表示规则，确定计算结果的有效数字的位数，并对计算结果进行四舍五入。
3. 估计值的确定在进行测量数据的估计时，可以根据有效数字的表示规则，确定估计值的有效数字的位数。
精确度与有效数字
专题训练
重要性
考点一，常出现在选择题，其中必然会有一道用科学计数法表示一个数，要求 精确度。
考点二，常出现在选择题或者填空题，按精确度要求填写数字并说出有几个有 效数字等类型题目。
考点三，结合实际应用题目，在计算结果后，要求保留小数点后几位或者要求 精确度的位数。
准确数、近似数、有效数字
如何判断有效数字
一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，所有的 数字都叫这个数字的有效数字。 一个近似数有几个有效数字，就称这个数保留几位有效数字。 例如：0.0586 这是一个精确到0.0001的小数。 从左边第一个不为0的数字起是5 8 6 都是这个数的有效数字。那么这个数 字有三个有效数字，之前的两个0不记作有效数字个数。 又比如：0.02404500，有效数字是2404500，有7位有效数字，因此要谨记， 中间的0和后面的0是算作有效数字的。
易错点
3，8万和80000是一样的么？ 显然不一样，8万等同于8*10＾4，有效数字只有8；而80000有效数字有5个。
1
SECTION TITLE
易错点
1，小数点末尾的0不能随意舍去，末尾的0代表这数据的精确性和可靠性。 如99.90和99.9 ，显然99.90更加准确，因为前者精确到百分位后者精确到十分 位。
2，用科学记数法表示的数，在计算精确度时，要展开还原；而计算有效数 字个数时，则保持科学记数法的形式。
1
SECTION TITLE
比如：2.35*10＾6，那么我们首先肯定这个数精确到5这位。但是这里的5并 不是小数点后的百分位上，而是2350000这个数的万位上；因此在计算用科 学记数法表示精确度时要展开还原。那么这个数的有效数字是235，依然要 保持科学记数法的形式描述近似数与准确数的接近程度，一个近似数四舍五入到哪一位就 称这个数精确到哪一位，精确度是精确的程度。如2.01精确到小数点 后一位是2.0.
精确度与有效数字的计算与估算
精确度与有效数字的计算与估算在科学、工程和数学领域，精确度和有效数字是非常重要的概念。
它们帮助我们判断和表示测量结果或计算结果的准确程度。
本文将探讨精确度和有效数字的计算和估算方法，以及它们在实际问题中的应用。
一、精确度的概念和计算方法精确度是指测量结果或计算结果与真实值之间的接近程度。
在实际测量或计算中，我们通常无法得到完全准确的结果，因此需要通过一定的方法来评估其精确度。
常用的计算精确度的方法有以下几种：1. 绝对误差：绝对误差是指测量结果或计算结果与真实值之间的差值的绝对值。
例如，如果我们测量一条线段的长度为10cm，而真实值为9.8cm，那么绝对误差就是0.2cm。
2. 相对误差：相对误差是指绝对误差与真实值之比。
相对误差可以用来评估测量结果或计算结果的相对准确程度。
例如，如果我们测量一条线段的长度为10cm，而真实值为9.8cm，那么相对误差就是0.2cm/9.8cm≈0.0204。
3. 百分比误差：百分比误差是指相对误差乘以100。
百分比误差常用来表示测量结果或计算结果的相对准确程度。
例如，上述例子中的百分比误差就是0.0204×100≈2.04%。
二、有效数字的概念和计算方法有效数字是指测量结果或计算结果中具有意义的数字。
在表示测量结果或计算结果时，我们通常只保留一定数量的有效数字，以避免给人造成不必要的误导。
常用的计算有效数字的方法有以下几种：1. 规则一：非零数字是有效数字，例如1、2、3等。
2. 规则二：非零数字之间的零是有效数字，例如101、2003等。
3. 规则三：末尾的零是有效数字，但是前面的零不是有效数字，例如0.01、0.200等。
4. 规则四：科学计数法中的指数部分不是有效数字，例如1.23×10^4中的10^4不是有效数字。
三、精确度和有效数字的估算方法在实际问题中，我们常常需要估算测量结果或计算结果的精确度和有效数字。
以下是一些常用的估算方法：1. 重复测量法：通过多次重复测量同一个物理量，取测量结果的平均值作为最终结果，可以提高测量结果的精确度和有效数字。
扩展知识--误差精确度和有效数字
扩展知识——误差、精确度和有效数字不论用哪一种方法截取近似数，它与准确值之间总要相差一个数，这个差数可以反映出近似数的精确程度．如果近似数比准确值小，就叫做不足近似值；如果近似数比准确值大，就叫做过剩近似值．在实际应用中，常常只需要知道近似数与准确值相差多少，而不必过问近似数比准确值小还是大．也就是说，重要的是我们要知道近似数a与准确数A的差的绝对值．我们把它叫做近似数的误差，用Δ①表示．即∆=-a A在大多数情况下，一个量的准确值是得不到的．因而近似数的误差也常常无法求出．但是，我们可以根据具体情况确定近似数的误差不会超过多少．例如，用最小刻度是毫米的钢尺来度量工件的长度，可以保证测量结果的误差不超过1毫米．近似数的误差不超过某个数，我们就说它的精确度是多少，或者说精确到多少．上面举的例子用钢尺测量工件的精确度是1毫米，也可以说成精确到1毫米．又如，近似数3.14，不管它是用什么方法截取的，它的误差一定不会超过0.01，因而它的精确度是0.01，也可以说精确到0.01．①Δ是希腊字母，读作“德耳塔”。
根据上面讲的我们可以知道：近似数4.3的精确度是0.1，近似数4.30的精确度是0.01，可见近似数4.3与4.30的精确度是不同的．因此，在近似数中，小数末尾不能随意添上或去掉“0”．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到右边截得的最后一个数字止，都叫做这个近似数的有效数字．例如，近似数4.3有两个有效数字：4，3；近似数4.30有三个有效数字：4，3，0．当一个近似数是整十、整百、整千……的数时，它的精确度并不是一目了然的．例如，近似数9400，如果它精确到100，就只有两个有效数字：9，4；如果它精确到10，就有三个有效数字：9，4，0；如果它精确到1，就有四个有效数字：9，4，0，0．为了区别它们，可以分别写成9.4×103、9.40×103、9.400×103．一般地，写成10n a ⨯(110a ≤<，n 是整数)的形式，这样我们就可以根据a 的有效数字来确定近似数的精确度．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
第讲 实验误差和有效数字长度的测量
创新·方法探究 提炼方法 展示技巧
题型方法
例1 有一游标卡尺，主尺的最小分度是1 mm，游标上 有20个小的等分刻度．用它测量一工件的长度，如图5－4所 示，则图示的示数是________mm．
图5－4
【解析】此图经过了二级放大．由一级放大图可知，工 件的长度约在10～11 cm之间；再从二级放大图中仔细看游标 上的零刻度线所对主尺的刻度线位置．由主尺读出测量的整 毫米数：L1＝104 mm(主尺上所标数值的单位为cm)；再看游 标上的哪一条刻度线与主尺上的某一刻度线对齐，由游标读 出毫米以下的小数．从二级放大图中可以看出，游标上零刻 度线右侧的第一条刻度线与主尺上的刻度线对得最齐，游标 上共20个分度，每个分度代表0.05 mm，所以游标上的读数 为：L2＝0.05 mm．故所测工件的长度L＝L1＋L2＝104.05 mm．
主尺上读的毫米数＋0.1N 主尺上读的毫米数＋0.05N 主尺上读的毫米数＋0.02N
3．注意事项 (1)测量物不可在钳口间移动或压得太紧，以免磨损钳口
或损坏工件． (2)测量物上被测距离的连线必须平行于主尺． (3)读数时，在测脚夹住被测物后适当旋紧紧固螺钉．
三、螺旋测微器 1．构造：如图5－3所示．
5．误差的表示方法 通常有如下两种表示方法：
绝相应对 对该误误明差差确ΔE的N＝是＝：|N测N由0 量×于值1测N00量－%误真差实的值存N0在| ，在测量中，真值
总是不能确切地知道，对于某一物理量进行多次测量的结果
不会完全一样．在同样的测量条件下，通常用多次测量的算
术平均值作为测量结果，它是真值的最好近似，一般是以多 次测量的平均值代替真实值．
2．有一种新式游标卡尺，它的刻度与传统的游标卡尺 明显不同．新式游标卡尺的刻线看起来很“稀疏”，使得读 数显得清晰明了，便于使用者正确读取数据．通常游标卡尺 的刻度有10分度、20分度、50分度三种规格；新式游标卡尺 也有相应的三种，但刻度却是：19 mm等分成10份，39 mm 等分成20份，99 mm 等分成50份．以“39 mm等分成20份” 的新式游标卡尺为例，如图5－8所示．
第3节-2 有效数字及其与误差的关系.
计算机经舍入处理后以fl x 接收，即fl x c a%,
其中：
a%
0.a01a.a21La2
L at
at
t
当0 at1 / 2 当 / 2 at1
计算机对x的舍入绝对误差满足：
e x fl x 0.5 ct
舍入相对误差满足：
er
x
fl x
x
0.5 ct 0.1 c
示近似值x*，如想其相对误差
* r
(
x)能满足：
* r
(
x)
1
2(! 1)
10n1
则x*至少具有n位有效数字。
证明如下：由
* r
(
x)
1 10n1及
2(! 1)
x*
(1 1) 10m1，
(x)
x*
1
2(1
1)
10
n
1
1 10mn 2
即表示x*至少具有n位有效数字。
例1、当用3.1416来表示的近似值时，它的相对误差是多少？
解：3.1416具有五位有效数字，1 3，那么有：
* r
(
x)
1 1051 23
1 104 6
例2、为了使积分I 1ex2 dx的近似值I *的相对误差不超过 0
0.1%，问至少需要几位有效数字。
解：可以知道I 0.7467L ，这样，1 7，有：
* r
(
x)
1 10n1 27
0.1%
可以解出：n 3,即I *只要取三位有效数字，I * 0.747就能
保证I *的相对误差不超过0.1%。
三.计算机舍入误差
设计算机的数系为F ,t, L,U ,某数
有效数字及其与误差的关系
表示方法
有效数字的表示方法通常采用科学记数法或常规表示法。在科学记数法中，有效 数字的位数表示为小数点后的位数；在常规表示法中，有效数字的位数表示为小 数点后的位数加一个指数。
在表示有效数字时，需要注意舍入规则和精度要求，以确保测量结果的准确性和 可靠性。
有效数字的位数
有效数字的位数取决于测量或计算的精度和可靠程度。在科 学和工程领域，通常采用不同的精度要求和舍入规则来确定 有效数字的位数。
科学计算精度
在进行科学计算时，需要 使用适当的有效数字，以 确保计算的精度和可靠性。
科学测量精度
在进行科学测量时，需要 使用有效数字来表示测量 结果，以确保结果的准确 性和可靠性。
在工程计算中的应用
工程设计精度
在工程设计中，需要使用有效数字来表示设计参数和数据，以确 保设计的准确性和可靠性。
工程计算精度
误差的合成
当多个测量值用于计算一个结果 时，需要将各个测量值的误差进 行合成，以评估结果的误差范围。
误差的分解
对于复杂测量系统，需要将总误 差分解到各个组成单元，以优化 系统设计和减小误差。
03 有效数字与误差的关系
有效数字对误差的影响
有效数字越多，测量 error越小
有效数字的多少直接反映了测量值的精确度，有效数字越多，表示测量值的精确度越高，从而误差越 小。
有效数字及其与误差的关系
目录
• 有效数字概述 • 误差来源与表示 • 有效数字与误差的关系 • 有效数字的运算规则 • 有效数字的实际应用 • 总结与展望
01 有效数字概述
定义与概念
01
有效数字是指在测量或计算中能 够表示测量结果可靠程度的数字 ，包括所有的非零数字和一位可 疑数字。
误差和有效数字教学课件.ppt
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
AB C
D
E
F
作图原则：
1.舍掉误差较大点
2.穿过部数据点，其余点均 匀分布在两侧
√
×
2.偶然误差
(1)原因：人的感官分辨能力限制和仪器精密程度制 约 (2)特点：随机性，时大时小
统计规律：偏大或偏小的测量值出现的机会相同； 误差较小的数据比误差较大的数据出现的机会多； 绝对值很大的误差出现的机会趋于零. (3)解决办法：多次测量求平均值
4.记数原则：保留一位不可靠数字
有效数字
读数方法：一看量程，二看精度，三定位数 精确度为1，0.1，0.01…保留到下一位 精确度为2，0.2，0.02 …保留到本位 精确度为5，0.5，0.05 …保留到本位
练一练：读出两个电表在两个量程下各自的 示数
课堂小结
1.能区分系统误差和偶然误差 2.会计算绝对误差和相对误差 3.仪器记数时能正确保留有效数字位数
(4)数据处理：逐差法和图像法
绝对误差和相对误差
思考：两物体的长度分别是1cm和100m,误差为 0.1cm和1m,哪个测量可靠程度要高些？
0.1 1
100％=10％
1 100
100％=1％
二.绝对误差和相对误差
1.绝对误差
（1）计算：绝对误差=测量值—真实值
（2）意义：反映测量值偏离真实值的大小（可靠性）
系统误差
天平不完全等臂、仪表刻度不 准、仪表使用前指针未归零等
仪器误差
方法误差
刻度尺受热膨胀、空气阻力 影响等
环境误差
一.系统误差和偶然误差 1.系统误差 （1）原因：仪器结构缺陷、调整不当、实验方法 不完善、客观环境影响等
人教版数学四年级下学期基础知识点
数学是一门用于研究数量关系、结构、变化以及空间形式的科学。
它是一门从逻辑学延伸出来的科学，而数学的知识点包括基础知识和高级知识。
下面是人教版数学四年级下学期的基础知识点。
一、四年级下学期数的运算四年级下学期主要学习整数的加减法运算。
学生需要掌握整数的含义和整数的数轴表示，了解正整数和负整数的关系，掌握加法、减法运算口诀以及整数运算的特点。
二、小数的认识与运算四年级下学期还要学习小数的认识与运算。
学生需要了解小数的定义和小数在数轴上的位置，学习小数的加法和减法运算，掌握小数的运算口诀。
三、量的单位四年级下学期还要学习长度、质量和容量的单位换算。
学生需要了解各种单位之间的换算关系，学会将一个单位换算成另一个单位。
四、图形的认识与绘制四年级下学期还要学习平行四边形、长方形、正方形和等腰三角形等图形的认识与绘制。
学生需要了解这些图形的基本特征，学会正确地识别和绘制它们。
五、时间的认识与计算四年级下学期还要学习时间的认识与计算。
学生需要了解小时、分钟和秒钟的概念，学会读写时间，掌握时间的计算方法。
六、简单的统计四年级下学期还要学习简单的统计。
学生需要掌握如何收集和整理数据，学会制作简单的统计图表，并能够从统计结果中得出一些简单的结论。
七、简单的计算题四年级下学期还会涉及一些简单的计算题，包括整数、小数和分数的计算。
学生需要掌握这些计算的方法和技巧，并能够正确解答各种类型的计算题。
八、问题解决能力同时，数学教学还会培养学生的问题解决能力。
学生需要通过解决各种问题，运用所学知识和方法，培养分析和解决问题的能力。
这些基础知识点是四年级下学期数学学习的重点内容，学生通过学习这些知识点，可以掌握数学的基本概念和基本技能，为进一步的数学学习打下坚实的基础。
同时，数学学习还可以培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，提高学生的综合素质。
人教版小学四年级下册数学扩展知识——误差、精确度和有效数字
扩展知识——误差、精确度和有效数字不论用哪一种方法截取近似数，它与准确值之间总要相差一个数，这个差数可以反映出近似数的精确程度．如果近似数比准确值小，就叫做不足近似值；如果近似数比准确值大，就叫做过剩近似值．在实际应用中，常常只需要知道近似数与准确值相差多少，而不必过问近似数比准确值小还是大．也就是说，重要的是我们要知道近似数a与准确数A的差的绝对值．我们把它叫做近似数的误差，用Δ①表示．即∆=-a A在大多数情况下，一个量的准确值是得不到的．因而近似数的误差也常常无法求出．但是，我们可以根据具体情况确定近似数的误差不会超过多少．例如，用最小刻度是毫米的钢尺来度量工件的长度，可以保证测量结果的误差不超过1毫米．近似数的误差不超过某个数，我们就说它的精确度是多少，或者说精确到多少．上面举的例子用钢尺测量工件的精确度是1毫米，也可以说成精确到1毫米．又如，近似数3.14，不管它是用什么方法截取的，它的误差一定不会超过0.01，因而它的精确度是0.01，也可以说精确到0.01．根据上面讲的我们可以知道：近似数4.3的精确度是0.1，近似数4.30的精确度是0.01，可见近似数4.3与4.30的精确度是不同的．因此，在近似数中，小数末尾不能随意添上或去掉“0”．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到右边截得的最后一个①Δ是希腊字母，读作“德耳塔”。
数字止，都叫做这个近似数的有效数字．例如，近似数 4.3有两个有效数字：4，3；近似数4.30有三个有效数字：4，3，0．当一个近似数是整十、整百、整千……的数时，它的精确度并不是一目了然的．例如，近似数9400，如果它精确到100，就只有两个有效数字：9，4；如果它精确到10，就有三个有效数字：9，4，0；如果它精确到1，就有四个有效数字：9，4，0，0．为了区别它们，可以分别写成9.4×103、9.40×103、9.400×103．一般地，写成10n a ⨯(110a ≤<，n 是整数)的形式，这样我们就可以根据a 的有效数字来确定近似数的精确度．。
1.2误差知识与算法知识.
二、 绝对误差、相对误差与有效数字 （1）绝对误差：
（2）相对误差:
马拉松的路程: 42.195公里
er
x
x
a
er
xa a
er
er
er2 1 er
er2 1 er
二、 绝对误差、相对误差与有效数字 （1）绝对误差：
（2）相对误差:
马拉松的路程: 42.195公里
er
x
x
y
( f (a,b)) f (a,b) (a) f (a,b) (b)
x
y
三、误差估计的基本方法
一元函数：
e( f (a)) f (a) e(a) ( f (a)) f (a) (a)
二元函数：
e( f (a,b)) f (a,b) e(a) f (a,b) e(b)
定义: 设数x的近似值
x* 0.x1x2 xk xn 10m
x 0 其中m是整数, x1x2 是0,1,2,…,9中的任一数,但 1
若
x x* 1 10mk (1 k n)
2
则称 x*具有k位有效数字。
x1, x2 , , xk 为有效数字。
（3）有效数字 设数x的近似值
x a 1 10k 2
则称近似值a准确到小数点后第k位。
从这个小数点后第k位数字直到最左边非零数 字之间的所有数字都叫有效数字。
(2.18) 1 102 (2.1200) 1 104
2
2
（3）有效数字 有效数字的定义：
设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即
几点说明:
(1)若a是经过四舍五入而得到的近似值，则从它的末位 数字到第一位非零数字都是有效数字。
有效数字及误差计算
有效数字及误差计算一、测量所谓测量，就是被测量的物理量和选为标准的同类量（即，单位）进行比较，确定出它是标准量的多少倍。
如：测量一本书的长度，将书与米尺进行比较，书的长度是米尺的18.85％，则书的长度为0.1885m。
测量结果的数值大小和选择的单位密切相关。
同样一个量，测量时选择的单位越小，测量结果数值就越大，所以任何测量结果都必须标明单位．如273.15K，3.0×108m/s等等。
二、测量分类根据获得数据的方法不同，测量可分为直接测量和间接测量两类。
1．直接测量直接测量：使用量具或仪表等标准量具经过比较可直接读数获取数据。
相应测得量称为直接测量量。
如：米尺测量长度、温度计测量温度、天平测量质量等等。
2．间接测量间接测量：不能直接测量出结果，而必须先直接测量与它有关的一些物理量，然后利用函数关系而获取被测量数据的测量．相应的测得量就是间接测量量。
如：物质的密度ρ=m/v、物体运动的速度v=s/t、物体的体积等等。
三、有效数字测量的结果因所用单位不同而不同，但在某一单位（量具）下，表示该测量值的数值位数不应随意取位，而是要用有确定意义的表示法。
如图1是用毫米尺测量一段工件长度的示意图。
此工件的长度介于13mm和14mm之间，其右端点超过13mm刻度线处，估计为6/10格，即工件的长度为13.6mm。
从获得结果看，前两位13是直接读出，称为可靠数字，而最末一位0.6mm则是从尺上最小刻度间估计出来的，称为可疑数字（尽管可疑，但还是有一定根据，是有意义的）。
定义：由几位可靠数字加上一位可疑数字在内的读数，称为有效数字。
如上读数13.6mm共有三位有效数字，这里的第三位数“6”已是估计出来的，因此，用这种规格的尺子不可能测量到以毫米为单位小数点后第2位。
注：1、有效数字的多少，表示了测量所能达到的准确程度，这与所用的测量工具有关。
2、当被测物理量和测量仪器选定后，测量值的有效数字位数就可以确定了。
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扩展知识——误差、精确度和有效数字
不论用哪一种方法截取近似数，它与准确值之间总要相差一个数，这个差数可以反映出近似数的精确程度．如果近似数比准确值小，就叫做不足近似值；如果近似数比准确值大，就叫做过剩近似值．
在实际应用中，常常只需要知道近似数与准确值相差多少，而不必过问近似数比准确值小还是大．也就是说，重要的是我们要知道近似数a与准确数A的差的绝对值．我们把它叫做近似数的误差，用Δ①表示．即
∆=-
a A
在大多数情况下，一个量的准确值是得不到的．因而近似数的误差也常常无法求出．但是，我们可以根据具体情况确定近似数的误差不会超过多少．例如，用最小刻度是毫米的钢尺来度量工件的长度，可以保证测量结果的误差不超过1毫米．
近似数的误差不超过某个数，我们就说它的精确度是多少，或者说精确到多少．上面举的例子用钢尺测量工件的精确度是1毫米，也可以说成精确到1毫米．
又如，近似数3.14，不管它是用什么方法截取的，它的误差一定不会超过0.01，因而它的精确度是0.01，也可以说精确到0.01．根据上面讲的我们可以知道：近似数4.3的精确度是0.1，近似数4.30的精确度是0.01，可见近似数4.3与4.30的精确度是不同的．因此，在近似数中，小数末尾不能随意添上或去掉“0”．
一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到右边截得的最后一个①Δ是希腊字母，读作“德耳塔”。
数字止，都叫做这个近似数的有效数字．例如，近似数 4.3有两个有效数字：4，3；近似数4.30有三个有效数字：4，3，0．
当一个近似数是整十、整百、整千……的数时，它的精确度并不是一目了然的．例如，近似数9400，如果它精确到100，就只有两个有效数字：9，4；如果它精确到10，就有三个有效数字：9，4，0；如果它精确到1，就有四个有效数字：9，4，0，0．为了区别它们，可以分别写成9.4×103
、
9.40×103、9.400×103．一般地，写成10n a ⨯(110a ≤<，n 是整数)的形式，这样我们就可以根据a 的有效数字来确定近似数的精确度．。