中考数学知识点总结三角形

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中考数学复习专题17：三角形及其性质(含中考真题)

专题17 三角形及其性质☞解读考点知识点名师点晴三角形的重要线段中线、角平分线、高线理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线三角形的中位线理解并掌握三角形的中位线的性质三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理三角形的外角三角形的外角的性质能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明☞2年中考【题组】1．（崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C．【解析】试题分析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选C．考点：三角形三边关系．2．（来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．考点：三角形的外角性质．3．（柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D ．考点：三角形的外角性质．4．（南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．5，6，10B ．5，6，11C ．3，4，8D ．4a ，4a ，8a （a ＞0）【答案】A ．【解析】试题分析：A ．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确； B ．∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； C ．∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； D ．∵4a+4a=8a ，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A ．考点：三角形三边关系．5．（宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（） A ．9 B ．12 C ． 7或9 D ．9或12 【答案】B ．【解析】试题分析：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选B ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（）A ．5B ．7C ．5或7D ．10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．7．（绵阳）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A ．118°B ．119°C ．120°D ．121° 【答案】C ．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE ，CD 是∠B 、∠C 的平分线，∴∠CBE=21∠ABC ，∠BCD=21∠BCA ，∴∠CBE+∠BCD=21（∠ABC+∠BCA ）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C ．考点：三角形内角和定理．8．（广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（）A ．10B ．14C ．10或14D ．8或10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．9．（北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（） A ．内心 B ．外心 C ．中心 D ．重心【答案】D ．【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D ．考点：三角形的重心．10．（百色）下列图形中具有稳定性的是（）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【答案】A ．【解析】试题分析：∵三角形具有稳定性，∴A 正确，B ．C 、D 错误．故选A ．考点：三角形的稳定性．11．（百色）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A ．4B ．4或5C ．5或6D ．6 【答案】B ．【解析】试题分析：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么a=24S ，b=212S ，c=2S h ，又∵a ﹣b ＜c ＜a+b ，∴22222412412S S S S Sh -<<+，即2233S S Sh <<，解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故选B ．考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系；4．综合题．12．（广安）下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．考点：三角形的角平分线、中线和高．13．（宜昌）下列图形具有稳定性的是（）A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．直角三角形【答案】D ．【解析】试题分析：直角三角形具有稳定性．故选D ．考点：1．三角形的稳定性；2．多边形．14．（长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】试题分析：为△ABC 中BC 边上的高的是A 选项．故选A ．考点：三角形的角平分线、中线和高．15．（鄂尔多斯）如图，A ．B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（）A ．256B ．51C ．254D ．257【答案】A ．考点：1．概率公式；2．三角形的面积．16．（淄博）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=12AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（）A．17 B ．16 C．15 D．14【答案】C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．三角形中位线定理；4．综合题．17．（淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．【答案】75°．【解析】试题分析：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB ∥CD ，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．18．（宜宾）如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC= ．【答案】80°．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．19．（巴中）若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足229(2)0a b -+-=，则第三边c 的取值范围是．【答案】1＜c ＜5．【解析】试题分析：由题意得，290a -=，20b -=，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c ＜5．故答案为：1＜c ＜5．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根． 20．（南充）如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是度．【答案】60．【解析】试题分析：∵∠ACD=∠B+∠A ，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°，∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=60°，故答案为：60．考点：三角形的外角性质．21．（佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．【答案】10．【解析】试题分析：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．故答案为：10．考点：三角形三边关系．22．（广东省）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若ABC 12S =△，则图中阴影部分的面积是．【答案】4．考点：1．三角形的面积；2．综合题．23．（长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为．【答案】5．【解析】试题分析：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴EM=AD ，BM=CE ，∵△ABE 的面积为8，∴12×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE=22BC CE +=2243+=5，故答案为：5．考点：1．正方形的性质；2．三角形的面积；3．勾股定理．24．（昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．【答案】53 2．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．25．（临沂）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则OBOD = ．【答案】2．【解析】试题分析：∵△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，∴点O 是△ABC 的重心，∴OBOD =2．故答案为：2．考点：1．三角形的重心；2．相似三角形的判定与性质．26．（六盘水）如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A ⊥l2，A 为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B 在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．【答案】理由见试题解析．考点：1．平行线之间的距离；2．三角形的面积．27．（达州）化简2221432a a a a a a +⋅----，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数．【答案】13a -，1．【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a 的值代入计算即可求出值．考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．28．（青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）n 7 8 9 10m你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2m【问题应用】：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型．【题组】1.（福建南平）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可：A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项错误；B、1+2＞2，能组成三角形，故此选项正确；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、1+2＜4，能组成三角形，故此选项正确．故选B．考点：三角形的三边关系．2.（浙江台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm【答案】D．考点：三角形的中位线．3．（•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．【解析】试题分析：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×5=10．故选C．考点：三角形中位线定理．4.（•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°【答案】B．考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．5.（•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．试题解析：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12（180°-60°）=60°，∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12（180°-70°）=55°，故D选项正确．故选B．考点：角平分线的性质；三角形内角和定理．6.（江苏淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）【答案】4（答案不唯一）．考点：三角形的三边关系．7、（广东广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是___________°．【答案】140．．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．考点：三角形的外角的性质．8.（湖北随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．【答案】75．【解析】试题分析：如答图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角的性质．☞考点归纳归纳 1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝_____．【答案】1．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．归纳 2：三角形的三边关系基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．【例2】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．12【答案】B．考点：三角形三边关系．归纳 3：内角和定理基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．归纳 4：三角形的外角基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．【例4】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠B=30°，∠D=40°，则∠AOC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．☞1年模拟1．（北京市平谷区中考二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】D．【解析】试题分析：根据平行线的性质及三角形的内角和定理，有图像可知∠1与∠2互余，因此∠2=90°-65°=25°．故选D．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．2．（安徽省安庆市中考二模）如图所示，AB∥CD，∠D=26°，∠E=35°，则∠ABE的度数是（）A．61° B．71° C．109° D．119°【答案】A ．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．3．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．30° D．25°【答案】A．【解析】试题分析：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选A．考点：1．三角形的外角性质；2．平行线的性质．4．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）A． 120° B． 135° C． 150° D． 180°【答案】D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．三角形内角和定理．5．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）A55255225105【答案】A．【解析】试题分析：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵55，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA=55BEAB，故选A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型．6．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．【答案】4．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积．7．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是．【答案】1 5．【解析】试题分析：从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条，所有的情况共有10种，其中，取出的三边能构成钝角三角形时，必须最大边的余弦值小于零，即：较小的两个边的平方和小于第三边的平方，故满足构成钝角三角形的取法只有：2、3、4 和2、4、5两种，故取出的三条线段为边能构成钝角三角形的概率是21105 ．考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系．8．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，已知△ABC 中，∠A=40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2= 度．【答案】220．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．9．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An 在射线OA 上，点B1，B2，B3，…，Bn ﹣1在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An ﹣1Bn ﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn ﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An ﹣1AnBn ﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于的阴影三角形共有__________个．【答案】12；6．【解析】试题分析：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，因此可知2132A B A B =212323A B B A B B S S=12，2233A B A B =212323A B B A B B SS=12，再由考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型．。

中考数学黄金知识点系列专题16直角三角形

A．4,5,6B．1.5,2，2.5C．2,3,4D．1，，3
【答案】B．
【解析】
考点：勾股定理的逆定理．
考点典例二、直角三角形的性质
【例2】（20xx湖北随州第13题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
四、互逆命题、互逆定理
1.互逆命题
如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.互逆定理
若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.
二、勾股定理及逆定理
1. 勾股定理：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
三、直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：
【例4】（20xx年福建龙岩第4题）下列命题是假命题的是（）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根
【答案】A.
【解析】
试题分析：选项A：若a=1，b=-1，则|a|=|b|，但a≠b，此命题为假命题；选项B：两直线平行，同位角相等是真命题；选项C：对顶角相等是真命题；选项D：若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根是真命题.故选A.

人教版数学中考知识点梳理-三角形的基本知识及全等三角形

第15讲一般三角形及其性质镇海中学陈志海一、知识清单梳理中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5. 三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C ）-（90°-∠C ）=12(∠C-∠B ）；如图②，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO 、CO 分别为∠ABC 、∠ACD 、∠OCD 的平分线，则∠O=12∠A ，∠O ’=12∠O ；如图④，BO 、CO 分别为∠CBD 、∠BCE 的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两和它们的夹角对应相等AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ） (2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS. 8.全等三（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的或例：角形的运用角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.【素材积累】1、走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠叠地挤摘水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。

中考数学三角形考点和易错点总结

中考数学三角形考点和易错点总结
易错点1：三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。

易错点2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。

求最短间隔的方法。

易错点3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。

易错点4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。

着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合。

根据边边角不能得到两个三角形全等。

易错点5：两个角相等和平行经常是相似的根本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。

易错点6：等腰(等边)三角形的定义以及等腰(等边)三角形的判定与性质，运用等腰(等边)三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。

易错点7：运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。

易错点8：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法。

易错点9：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。

易错点10：直角三角形判定方法：三角形面积确实定与底上的高(特别是钝角三角形)。

易错点11：三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值。

初三数学重要知识点

初三数学重要知识点初三数学知识点梳理三角形的垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

例如在△ABC中3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形。

5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP?tanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

12.西姆松(Simson)定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。

13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.14.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

九年级下册数学复习计划一、紧扣大纲，精心编制复习教案初中数学内容多而杂，其基础知识和基本技能又分散覆盖在三年的教科书中，学生往往学了新的，忘了旧的。

因此，必须依据大纲规定的内容和系统化的知识要点，精心编制复习计划。

计划的编写必须切合学生实际。

可采用基础知识习题化的方法，根据平时教学中掌握的学生应用知识的实际，编制一份渗透主要知识点的测试题，让学生在规定时间内独立完成。

初中三角形知识点总结

初中三角形知识点总结初中三角形知识点总结「篇一」1.知识概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

12.公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180°三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

多边形对角线的条数：(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分词(n-2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。

初中三角形知识点总结「篇二」初中三角形数学知识点总结三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

接下来为大家整合的是上海初中数学三角形知识点总结。

三角形知识点三角形两边的和大于第三边推论三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角中考知识点总结：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

初中数学中考第六讲三角形知识点分析

a60第4题图NPOA第六讲：三角形知识梳理知识点1. 三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。

它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。

另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。

三角形中有三条边，三个角，三个顶点。

重点：三角形分类的依据难点：三角形分类的划分（1）(2)例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、正三角形解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。

答案B练习：如图，已知OA ＝a ，P 是射线ON 上一动点（即P 可在射线ON 上运动），∠AON ＝600，填空：（1）当OP ＝时，△AOP 为等边三角形；（2）当OP ＝时，△AOP 为直角三角形；（3）当OP 满足时，△AOP 为锐角三角形；（4）当OP 满足时，△AOP 为钝角三角形。

答案：（1）a ；（2）a 2或2a ；（3）2a ＜OP ＜a 2；（4）0＜OP ＜2a或OP ＞a 2重点：掌握三角形三条重要线段的概念难点：三角形三条重要线段的运用三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。

这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。

并且对这三条线段必须明确三点：（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。

（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。

而三角形的高线在当△ABC 是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。

（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。

初三数学知识点总结大全(热门6篇)

初三数学知识点总结大全（热门6篇）初三数学知识点总结大全第1篇1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。

12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（平面镶嵌）。

镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形。

13、公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°。

⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形、②边形共有条对角线。

初三数学知识点总结大全第2篇平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A 的算术平方根。

②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。

中考数学复习----《三角形之与三角形有关的线段》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《三角形之与三角形有关的线段》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.三角形的定义：三条线段首尾顺次连接组成的图形。

2.三角形的分类：①按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

②按边分类：不等边三角形，等腰三角形。

等腰三角形底和腰相等时叫做等边三角形。

3.三角形的中线、高线、角平分线：①中线：连接顶点与对边中点得到的线段。

平分三角形的面积。

②高线：过定点做对边的垂线，顶点与垂足之间的线段。

得到两个直角三角形。

③角平分线：作三角形角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。

4.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。

专项练习题1．（2022•大庆）下列说法不正确的是（）A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C．有两个角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形【分析】根据直角三角形概念可判断A，C，由等腰三角形，等边三角形定义可判断B，D．【解答】解：∵有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角或钝角，∴有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形；故A不正确，符合题意；有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形，故B正确，不符合题意；有两个角互余的三角形是直角三角形，故C正确，不符合题意；底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意；故选：A．2．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，故选：D．3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【分析】根据三角形的高的概念判断即可．【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．4．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（）A．三角形B．平行四边形C．长方形D．正方形【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，故选：A．5．（2022•永州）下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，故选：D．6．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD 的面积是．【分析】由题意可得CE是△ACD的中线，则有S△ACD＝2S△AEC＝2，再由AD是△ABC 的中线，则有S△ABD＝S△ACD，即得解．【解答】解：∵E是AD的中点，∴CE是△ACD的中线，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面积是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝2．故答案为：2．7．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【解答】解：A、∵3+3＝6，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5＜10，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+6＞9，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；D、∵4+5＝9，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；故选：C．8．（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边直接列式计算即可．【解答】解：∵线段a＝1，b＝3，∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．观察选项，只有选项A符合题意，故选：A．9．（2022•南通）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三根木条的取值范围．【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由三角形三边关系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取值范围是3＜x＜9，观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．10．（2022•益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围．【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为6﹣2a．由题意得，．解得＜a＜3．所给选项中分别为：1，2，3，4．∴只有2符合上面不等式组的解集．∴a只能取2．故选：B．11．（2022•西宁）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．2 B．5 C．10 D．11【分析】根据三角形三边关系定理得出6﹣4＜a＜6+4，求出2＜a＜10，再逐个判断即可．【解答】解：∵长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，∴6﹣4＜a＜6+4，∴2＜a＜10，∴只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；故选：B．12．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．8【分析】由实数与数轴与绝对值知识可知该三角形的两边长分别为3、4．然后由三角形三边关系解答．【解答】解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．不妨设第三边长为a，则4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．13．（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：A、1+2＝3，不能构成三角形；B、3+4＞5，能构成三角形；C、4+5＜10，不能构成三角形；D、2+6＜9，不能构成三角形．故选：B．14．（2022•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案．【解答】解：∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm，∴第三边的长度可能是：6cm．故选：C．15．（2022•德阳）八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km 和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围，即可得到选项．【解答】解：当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，设杨冲，李锐两家的直线距离为xkm，根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，杨冲，李锐两家的直线距离可能为2km，8km，3km，故选：A．。

中考数学知识点总结(优秀4篇)

中考数学知识点总结（优秀4篇）一、三角形的有关概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

三角形的特征：①不在同一直线上；②三条线段；③首尾顺次相接；④三角形具有稳定性。

2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段；②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点；三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。

二、等腰三角形的性质和判定(1)性质1.等腰三角形的两个底角相等(简写成"等边对等角")。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成"等腰三角形的三线合一")。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。

7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

(2)判定在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。

在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。

三、直角三角形和勾股定理有一个角是直角的三角形是直角三角形，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半；30度所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形常用面积法求斜边上的高。

中考数学知识点顺口溜及三角形复习

中考数学知识点顺口溜及三角形复习2)三个角相等的三角形是等边三角形;三边相等的三角形是等边三角形;一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形9、直角三角形的性质和判定：1)直角三角形两个锐角和为90o(互余)2)直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半3)直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半4)勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方5)勾股定理的逆定理：若一个三角形中，有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形10、全等三角形：1)对应边相等，对应角相等的三角形叫全等三角形2)全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL【观察这五种方法发现，要证三角形全等，至少要有一组相等的边，因此在应用是要养成先找边的习惯】3)全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角、面积、周长、对应高、对应中线、对应角平分线都相等11、分析、证明几何题的常用方法：1)综合法(由因导果)：从命题的题设出发，通过一系列的有关定义、公理、定理的应用，逐步向前推进，知道问题解决2)分析法(执果索因)：从命题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直到已知条件3)两头凑法：将分析法和综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法适宜表达，因此在实际思考问题时，可合并使用灵活处理。

以利于缩短题设与结论间的距离，最后达到完全沟通。

2022年中考数学知识点顺口溜有理数的加法运算：同号相加一边倒;异号相加大减小，符号跟着大的跑;绝对值相等零正好。

【注】大减小是指绝对值的大小。

合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。

去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。

恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。

(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(a-b)2n=(b-a)2n平方差公式：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

中考数学三角形知识点总结

中考数学三角形知识点总结一、三角形的基础概念三角形呢，就是由三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。

这三条线段就叫做三角形的边，相邻两边组成的角就叫做三角形的内角，简称角。

三角形的角那可太重要啦，就像人的眼睛一样关键呢。

三角形有三个角，这三个角的和永远是180度哦，这可是个铁打的定律，就像太阳每天都会升起一样。

二、三角形的分类1. 按角来分的话，可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

锐角三角形就是三个角都是锐角的三角形，锐角就是小于90度的角啦。

直角三角形呢，有一个角是直角，也就是90度的角，这个直角就像三角形里的大明星一样，特别显眼。

钝角三角形就是有一个角是钝角，钝角是大于90度小于180度的角，这种三角形看起来就有点“歪歪扭扭”的。

2. 按边来分，有等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。

等边三角形可厉害了，它的三条边都相等，三个角也都相等，每个角都是60度呢，就像三个好兄弟一样，完全一样，特别团结。

等腰三角形就是有两条边相等的三角形，这两条相等的边叫做腰，另一条边叫做底边。

等腰三角形的两个底角也是相等的，就像双胞胎一样。

不等边三角形就是三条边都不相等的三角形，这种三角形就比较普通啦。

三、三角形的性质1. 三角形的两边之和大于第三边，这就好比你要去两个地方，你肯定是直接走过去比绕远路要近，三角形的边也是这个道理。

比如说一个三角形的三条边分别是3、4、5，那3 + 4肯定大于5啦。

2. 三角形的稳定性。

这可是三角形的一个超酷的特性哦。

你看生活中的很多东西都利用了三角形的稳定性，像自行车的车架，就是三角形的结构，这样自行车骑起来才稳稳当当的，要是车架是四边形的，那可就东倒西歪啦。

四、三角形的高、中线和角平分线1. 高呢，就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做三角形的高。

每个三角形都有三条高呢，不过不同类型的三角形高的位置不太一样哦。

锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形的两条直角边就是两条高，另一条高在三角形的内部，钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在内部。

初中数学必背几何知识点总结归纳

初中数学必背几何知识点总结归纳初中数学几何的知识点三角形知识点、概念总结1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.高线、中线、角平分线的意义和做法7.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

8.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1直角三角形的两个锐角互余推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;三角形的内角和是外角和的一半9.三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。

10.三角形外角的性质(1)顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;(4)三角形的外角和是360°。

四边形(含多边形)知识点、概念总结一、平行四边形的定义、性质及判定1.两组对边平行的四边形是平行四边形。

2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行(2)平行四边形的对角相等，邻角互补(3)平行四边形的对角线互相平分3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形4.对称性：平行四边形是中心对称图形二、矩形的定义、性质及判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2.性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形4.对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。

初中数学中考一轮复习专题6 三角形重点、考点知识、方法总结及真题练习

A.
B.
【答案】A.
C.
D.
【解析】解：三角形具有稳定性．
故选：A．
知识点 2 等腰三角形
等腰三角形的概念不性质
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三
边叫做三角形的底.
2、等腰三角形的性质
①等腰三角形的腰相等
②等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“）
2.如图，在△ABC 中，AB=AC．以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交 AC 的延长线于
点 D，连结 BD．若∠A=32°，则∠CDB 的大小为度．
【答案】37 【解析】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD= ∠ACB=37°．
．
【答案】40° 【解析】解：∵BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∴∠BOC=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A，
3.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，BD 平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数
是
．
【答案】3
【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC 是等腰三角形，
∠ABC=∠ACB=
=72°，
BD 平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，
∴在△ABD 中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD 是等腰三角形，

中考数学三角形知识点总结

中考数学三角形知识点总结一、三角形的定义和性质1.三角形是由三条边和三个内角组成的封闭图形。

2.三角形的内角和等于180度。

3.三条边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

二、三角形的分类1.根据角度分类：(1)锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形。

(2)直角三角形：有一个内角为直角的三角形。

(3)钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形。

2.根据边长分类：(1)等边三角形：三条边长度相等的三角形。

(2)等腰三角形：有两条边长度相等的三角形。

(3)普通三角形：三条边长度都不相等的三角形。

三、三角形的重要性质1.三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180度。

2.三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于其两个不相邻内角。

3.三角形的角平分线：三角形的内角平分线上的点到三条边的距离相等。

4.三角形的中线：三角形的中线连接相邻顶点的中点，长度相等。

5.三角形的高：三角形的高是从顶点到底边的垂直线段。

6.三角形的面积公式：S=1/2*底边长*高。

四、三角形的相似性质1.相似三角形的性质：(1)对应角相等：相似三角形的对应角相等。

(2)对应边成比例：相似三角形的对应边成比例。

(3)边角对应：相似三角形的角与边成比例。

2.判定相似三角形的定理：(1)AA相似判定定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们相似。

(2)SAS相似判定定理：如果两个三角形的一个角相等，并且两个对应边的比值相等，则它们相似。

(3)SSS相似判定定理：如果两个三角形的三条边的比值相等，则它们相似。

五、三角形的勾股定理1.勾股定理的形式：直角三角形中，较长的斜边的平方等于两直角边的平方和。

(1)a²=b²+c²(2)b²=a²-c²(3)c²=a²-b²2.利用勾股定理求三角形的边长：(1)已知直角边和斜边，可以求另一个直角边的长度。

(2)已知两个直角边的长度，可以求斜边的长度。

2023年九年级中考数学复习讲义三角形及其全等

2023年中考数学复习讲义三角形及其全等第一部分：知识点精准记忆一、三角形的基础知识1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2.三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3.三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4.三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半．二、全等三角形1.三角形全等的判定定理：（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）；（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）．2.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．三、线段垂直平分线与角平分线1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．4.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．5.性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．第二部分：考点典例剖析考点一：三角形的三边关系【例1-1】（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是________．（写出一个即可）【例1-2】（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．考点二：三角形的内角和外角【例2-1】（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【例2-2】（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC 中，∠A =70°，∠C =30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则∠BDE 的度数是（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【例2-3】（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，，连结CD ，BE ．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．考点三：三角形中的重要线段【例3-1】（2022•大庆）下列说法不正确的是( )A ．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B ．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C ．有两个角互余的三角形是直角三角形D ．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形ABC 40A ∠=︒BD BC CE ==80ABC ∠=︒BDC ∠ABE ∠BEC ∠BDC∠【例3-2】（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（）A ．点B ．点C ．点D ．点【例3-3】如图，在ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠D ．AD 一定经过ABC 的外心考点四：垂直平分线与角平分线的性质【例4-1】（2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（）A ．7.5B ．8C ．15D ．无法确定【例4-2】在△ABC 中，∠BAC =115°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG 的度数为 A B C D E F G ABC∆D E FGA ．50°B ．40°C ．30°D ．25°【例4-3】如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB =4，BD =5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是__________．考点五：全等三角形的性质与判定【例5-1】2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F ，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例5-2】（2021·陕西中考真题）如图，，，点在上，且．求证：．【例5-3】（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，，，ABC ADE 90BAC DAE ∠=∠=︒,BD CE AF BD CE =BF CF ⊥AF CAD ∠45AFE ∠=︒//BD AC BD BC =E BC BE AC =D ABC ∠=∠//AB CD A D ∠=∠，证明：．【例5-4】（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL 定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（简单应用）如图（1），在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AC 、AB 上．若CE ＝BD ，则线段AE 和线段AD 的数量关系是．（拓展延伸）在△ABC 中，∠BAC ＝（90°＜＜180°），AB ＝AC ＝m ，点D 在边AC 上．（1）若点E 在边AB 上，且CE ＝BD ，如图（2）所示，则线段AE 与线段AD 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E 在BA 的延长线上，且CE ＝BD ．试探究线段AE 与线段AD 的数量关系（用含有a 、m 的式子表示），并说明理由．【例5-5】（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．（问题解决）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE+CF ＝CD ；（类比探究）（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．考点六：三角形全等综合【例6-1】（2022·北京）在ABC 中，90ACB ∠=，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC = BE CF =AE DF=αα（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；（2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．【例6-2】（2022·山东泰安·中考真题）正方形ABCD 中，P 为AB 边上任一点，AE DP ⊥于E ，点F 在DP 的延长线上，且DE EF =，连接AF BF 、，BAF ∠的平分线交DF 于G ，连接GC ．(1)求证：AEG △是等腰直角三角形；(2)求证：2AG CG DG +=；(3)若2AB =，P 为AB 的中点，求BF 的长．第三部分：中考真题一．选择题1．（2022•鄂尔多斯）如图，15AOE ∠=︒，OE 平分AOB ∠，//DE OB 交OA 于点D ，EC OB ⊥，垂足为C ．若2EC =，则OD 的长为( )A ．2B ．23C ．4D ．43+2．（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A 与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A 的同岸选取点C ，测得30AC =，45A ∠=︒，90C ∠=︒，如图，据此可求得A ，B 之间的距离为( )A ．203B ．60C ．302D ．303．（2022•湘西州）如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作//CG AB ，交HM 的延长线于点G ，若8AC =，6AB =，则四边形ACGH 周长的最小值是( )A ．24B ．22C ．20D ．184．（2022•西宁）若长度是4，6，a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是( )A ．2B ．5C ．10D ．117．（2022•西宁）如图，60MON ∠=︒，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点P ，画射线OP ；连接AB ，AP ，BP ，过点P 作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ．则以下结论错误的是( )A ．AOB ∆是等边三角形B ．PE PF =C ．PAE PBF ∆≅∆D ．四边形OAPB 是菱形5．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是()A．5-B．4C．7D．86．（2022•大连）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒．分别以点A和点C为圆心，大于12 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若3AB=，则CD的长是()A．6B．3C．1.5D．1 7．（2022•青海）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE BC=，连接DE，F为DE中点，连接BF．若16AC=，12BC=，则BF的长为( )A．5B．4C．6D．88.（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，2OA=，1OB=，3OC=，则AOB∆与BOC∆的面积之和为()A 3B3C33D39．（2022•长沙）如图，在ABC∆中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若22AB=AM的长为()A．4B．2C3D2 10．（2022•海南）如图，直线//m n，ABC∆是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140∠=︒，则2∠的度数是()A．80︒B．100︒C．120︒D．140︒11．（2022•黑龙江）如图，ABC∆中，AB AC=，AD平分BAC∠与BC相交于点D，点E 是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若ABC∆的面积是24， 1.5PD=，则PE的长是()A ．90ADC ∠=︒B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =12．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是( )A ．三角形B ．平行四边形C ．长方形D ．正方形13．（2022•贺州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．34︒B ．44︒C ．124︒D ．134︒14.（2022•永州）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，点D 为边AC 的中点，2BD =，则BC 的长为( )A 3B ．23C ．2D ．415．（2022•荆州）如图，直线12//l l ，AB AC =，40BAC ∠=︒，则12∠+∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒16．（2022•宜昌）如图，在ABC ∆中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD ∆的周长为( )A ．25B ．22C ．19D ．1817．（2022•岳阳）如图，已知//l AB ，CD l ⊥于点D ，若40C ∠=︒，则1∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒18．（2022•台湾）如图，ABC ∆中，D 点在AB 上，E 点在BC 上，DE 为AB 的中垂线．若B C ∠=∠，且90EAC ∠>︒，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？( )A ．12∠=∠，13∠<∠B ．12∠=∠，13∠>∠C ．12∠≠∠，13∠<∠D ．12∠≠∠，13∠>∠19．（2022•宜宾）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，D 是BC 上的点，//DE AB 交AC 于点E ，//DF AC 交AB 于点F ，那么四边形AEDF 的周长是( )A ．5B ．10C ．15D ．2020.（2022•广元）如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为( )A ．2.5B ．2C ．3.5D ．321.（2022•宜宾）如图，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC ∆内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则23CE =+．其中含所有正确结论的选项是( )A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④22.（2022•杭州）如图，CD AB ⊥于点D ，已知ABC ∠是钝角，则( )A ．线段CD 是ABC ∆的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC ∆的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC ∆的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC ∆的AC 边上的高线二．填空题1.（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AF AB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为_____．3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC 中，AC ＝4，∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC 边的垂直平分线DE 交AB 于点D ，连接CD ，则AB 的长为_________________．4题4．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为()1,0-，点A的坐标为()3,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90︒得到点B ，则点B 的坐标为_____________．5.（2020·湖北中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为_____．6．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且3AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是__________．7.如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．三．解答题1.（2022铜仁）如图，点C 在BD 上，,,,⊥⊥⊥=AB BD ED BD AC CE AB CD ．求证：ABC CDE △≌△．2.（2022福建）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．3.（2022广东）如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．4.（2022大庆）如图，在四边形ABDF 中，点E ，C 为对角线BF 上的两点，,,AB DF AC DE EB CF ===．连接,AE CD ．（1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（2）若AE AC =，求证：AB DB =．5.（2022云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF =90°（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．6.（2022梧州）如图，在ABCD 中，E ，G ，H ，F 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且,BE DH AF CG ．求证：EF HG =．7.（2022遵义）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．（1）求证：ADE CDG ≌；（2）若2AE BE ==，求BF 的长8.（2022贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．（1）求证：ABE FMN ≌△△；（2）若8AB =，6AE =，求ON 的长．9.（2022安徽）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ．连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．（1）如图1，若∥DE BC ，求证：四边形BCDE 是菱形；（2）如图2，连接AC ，设BD ，AC 相交于点F ，DE 垂直平分线段AC ．（ⅰ）求∠CED 的大小；（ⅱ）若AF ＝AE ，求证：BE ＝CF ．10.（2022玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB AC = ②DB DC = ③BAD CAD ∠=∠若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？解决方案：探究ABD △与ACD △全等．问题解决：（1）当选择①②作为已知条件时，ABD △与ACD △全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求ABD ACD △≌△的概率．11.（2022北部湾）已知MON α∠=，点A ，B 分别在射线,OM ON 上运动，6AB =．（1）如图①，若90α=︒，取AB 中点D ，点A ，B 运动时，点D 也随之运动，点A ，B ，D 的对应点分别为,,A B D '''，连接,OD OD '．判断OD 与OD '有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图②，若60α=︒，以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC ，求点O 与点C 的最大距离：（3）如图③，若45α=︒，当点A ，B 运动到什么位置时，AOB 的面积最大?请说明理由，并求出AOB 面积的最大值．。

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