《概率论与数理统计》习题三答案

《概率论与数理统计》习题三答案

《概率论与数理统计》习题及答案

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正

面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.

【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1

2 3

1 0

13

1113

C 2228

⨯⨯=

23

111

C 3/8222

⨯⨯= 0

3 18

0 0

11112228

⨯⨯=

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.

【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2

3 0 0 0

22

324

7C C 3

C 35

= 31

32

4

7C C 2C 35= 1 0 112

322

4

7C C C 6C 35= 211

322

4

7C C C 12C 35=

3132

4

7C C 2C 35

=

2

P (0黑,2红,2白)=

121322

4

7C C C 6C 35

=

22324

7C C 3

C 35

=

X

Y X Y

224

2271

C C /C 35

=

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=

⎪⎩⎪⎨⎧≤

≤≤≤.,

020,20,sin sin 其他ππy x y x

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域

⎭⎬

⎫⎩

⎨⎧

≤<≤<36,40πππy x 内的概率.

【解】如图πππ

{0,}(3.2)463

P X Y <≤<≤公式 ππππππ

(,)(,)(0,)(0,)434636

F F F F --+

ππππππ

sin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346362

(31).4

=--+=

-

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度

f （x ，y ）=

⎩⎨

⎧>>+-.,

0,0,0,)43(其他y x A y x e

求：（1） 常数A ；

（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}.

【解】（1） 由-(34)0

(,)d d e d d 112

x y A

f x y x y A x y +∞+∞+∞

+∞

+-∞

-∞

==

=⎰⎰

⎰

⎰

得 A =12

（2） 由定义，有

(,)(,)d d y

x F x y f u v u v -∞-∞

=⎰⎰

(34)340012e

d d (1

e )(1e )0,0,

0,0,

y y

u v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨

⎩⎪⎩⎰⎰其他

(3)

{01,02}

P X Y ≤<≤<

1

2

(34)

3

8

00

{01,02}12e

d d (1

e )(1e

)0.9499.

x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰

⎰ 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩

⎨

⎧<<<<--.

,

0,

42,20),

6(其他y x y x k

（1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有

2

4

2

(,)d d (6)d d 81,

f x y x y k x y y x k +∞

+∞-∞-∞

=--==⎰⎰

⎰

⎰

故

1

8

R =

（2） 1

3{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞

<<=⎰⎰

13

02

13

(6)d d 88

k x y y x =--=⎰⎰ (3)

1

1.5

{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y

<<=

⎰⎰⎰⎰如图 1.5

4

2

127

d (6)d .832

x x y y =--=⎰

⎰

(4)

2

4

{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y

+≤+≤=

⎰⎰⎰⎰如图b 2

40

2

12

d (6)d .83

x

x x y y -=--=⎰⎰

题5图

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=

⎩⎨

⎧>-.,

0,

0,55其他y y e

求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.

题6图