教材第六章习题解答
教材课后题答案-第6章_指针习题答案
习题解答一、单项选择题1.若定义了int n=2, *p=&n, *q=p;则下面【】的赋值是非法的。
A.p=qB. *p=*qC. n=*qD. p=n【答案】D2.若定义了double *p, a;则能通过scanf函数给输入项读入数据的程序段是【】。
A.p=&a; scanf(“%1e”,p);B. *p=&a; scanf(“%1f”,p);C. p=&a; scanf(“%f”,p);D. p=&a; scanf(“%1f”,a);【答案】C3.若定义了int a[10], i=3, *p; p=&a[5];下面不能表示为a数组元素的是【】。
A.p[-5]B. a[i+5]C. *p++D. a[i-5]【答案】D4.若有如下定义：int n[5]={1,2,3,4,5},*p=n;则值为５的表达式是【】。
A.*+5B. *（p+5）C. *p+=4D. p+4【答案】C5.设变量b的地址已赋给指针变量ps，下面为“真”的表达式是【】。
A.b==&psB. b==psC. b==*psD. &b==&ps【答案】C6.设有以下定义和语句：int a[3][2]={1,2,3,4,5,6},*p[3];p[0]=a[1];则*(p[0]+1)所代表的数组元素是【】。
A.a[0][1]B. a[1][0]C. a[1][1]D. a[1][2]【答案】C7.若定义了char *str=”Hello!”;下面程序段中正确的是【】。
A.char c[ ], *p=c; strcpy(p,str);B.char c[5], *p; strcpy(p=&c[1],&str[3]);C.char c[5]; strcpy(c,str);D.char c[5]; strcpy(p=c+2,str+3);【答案】B8.若有下面的程序段，则不正确的fxy函数的首部是【】。
第六章-化学反应动力学习题解答
第六章 化学反应动力学思考题解答一、是非题（判断下列说法是否正确，并说明理由）1. 错2. 对3. 错4. 错5. 错6. 错7. 对8. 对9.错 10. 对 二、选择题1. B2. A.3. B.4. D. 5 .C 6.D. 7. A. 8. B 9. B. 10. C.习题解答1.请根据质量作用定律，写出下列各基元反应或复合反应中Ad d c t与各物质浓度的关系。
（1）2A + B 2P k−−→ （2）A + 2B P + 2S k−−→ （3）22A + M A M k−−→+ （4）2A B （5）2A 2B+D B+A 2D（6）解：（1）2A A B d 2d c kc c t -= （2）2A A Bd d c kc c t -=（3）2A A M d 2d c kc c t -= （4）2A 2B 1A d 2+2d c k c k c t -=- （5）222A 1B D 1A 2A B 2D d 2+2+d c k c c k c k c c k c t ---=--（6）A 1A 2A 3C d d ck c k c k c t-=+-2.某人工放射性元素放出α粒子，半衰期为15min 。
试问多长时间后该试样能分解掉80%。
解：由题意得该反应为一级反应，符合一级反应的条件，则112ln 2t k =得 1k = ln 215=0.0462mol -1 由积分定义式 1ln ak t a x=- 令0.8xy a==得 11ln 1k t y =- 则 t=34.84mink 1 k-1 k 1 k-1 k k3.反应25222N O (g)4NO (g)O (g)−−→+，在318K 下测得N 2O 5的浓度如下： t /min 0 20 40 60 80 100 120 140 160 c /mol·m -317.69.735.462.951.670.940.500.280.16求该反应的级数和速率常数及半衰期。
第6章 相关与回归分析习题解答
第六章 相关与回归分析思考与练习一、判断题1.产品的单位成本随着产量增加而下降，这种现象属于函数关系。
答：错。
应是相关关系。
单位成本与产量间不存在确定的数值对应关系。
2.相关系数为0表明两个变量之间不存在任何关系。
答：.错。
相关系数为零，只表明两个变量之间不存在线性关系，并不意味着两者间不存在其他类型的关系。
3.单纯依靠相关与回归分析，无法判断事物之间存在的因果关系。
答：对，因果关系的判断还有赖于实质性科学的理论分析。
4.圆的直径越大，其周长也越大，两者之间的关系属于正相关关系。
答：错。
两者是精确的函数关系。
5.总体回归函数中的回归系数是常数，样本回归函数中的回归系数的估计量是随机变量。
答：对。
6.当抽取的样本不同时，对同一总体回归模型估计的结果也有所不同。
答：对。
因为，估计量属于随机变量，抽取的样本不同，具体的观察值也不同，尽管使用的公式相同，估计的结果仍然不一样。
二、选择题1.变量之间的关系按相关程度分可分为：b 、c 、da.正相关；b. 不相关；c. 完全相关；d.不完全相关； 2.复相关系数的取值区间为：aa. 10≤≤R ；b.11≤≤-R ；c.1≤≤∞-R ；d.∞≤≤-R 1 3.修正自由度的决定系数a 、b 、da.22R R ≤； b.有时小于0 ； c. 102≤≤R ；d.比2R 更适合作为衡量回归方程拟合程度的指标 4.回归预测误差的大小与下列因素有关：a 、b 、c 、da 样本容量；b 自变量预测值与自变量样本平均数的离差c 自变量预测误差；d 随机误差项的方差三、问答题1．请举一实例说明什么是单相关和偏相关？以及它们之间的差别。
答：例如夏季冷饮店冰激凌与汽水的消费量，简单地就两者之间的相关关系进行考察，就是一种单相关，考察的结果很可能存在正相关关系，即冰激凌消费越多，汽水消费也越多。
然而，如果我们仔细观察，可以发现一般来说，消费者会在两者中选择一种消费，也就是两者之间事实上应该是负相关。
第六章 醇、酚、醚习题解答
第六章醇、酚、醚一、学习要求1.掌握醇、酚、醚的结构和命名。
2.掌握醇、酚、醚的主要化学性质和醇的重要的物理性质。
3.了解硫醇、硫醚和冠醚的结构、命名、性质及其重要用途。
二、本章要点醇、酚、醚是三类重要的有机化合物，有的在医药上用作消毒剂、麻醉剂、溶剂，有的是有机合成的常用原料。
（一）醇1.结构醇分子中的羟基氧为不等性sp3杂化，其中2个杂化轨道被2对未成键电子占据，另2个杂化轨道分别与α- C的sp3杂化轨道和氢原子的S轨道形成σ键。
由于氧的电负性大，故羟基氧电子云密度大，氢电子云密度小，因此氢氧键极性较大。
2. 命名醇的普通命名是在“醇”前加上烃基名称，并省去“基”字。
醇的系统命名原则是：（1）选择含有羟基的最长碳链作为主链，称为“某醇”，并使羟基相连的碳原子编号最小，将羟基位次写在“某醇”之前，其余的原则与烷烃相同。
（2）多元醇，应选择含羟基数目最多的最长碳链作主链，按羟基数目的多少称为“某二醇”、“某三醇”等。
（3）不饱和一元醇：选择既含羟基又含不饱和键数目最多的最长碳链作主链，编号时应使羟基位次最小，根据主链碳原子数称为“某烯（炔）醇”，并在“烯（炔）”、“醇”前面标明不饱和键和羟基的位次。
（4）命名芳香醇时，将芳环作为取代基，以侧链脂肪醇为母体。
（5）脂环醇，根据脂环烃基的名称，称为“环某醇”，从羟基所连接的碳原子开始，按“取代基位次之和最小”的原则给环碳原子编号，将取代基的位次、数目、名称依次写在“环某醇”的名称之前。
3. 性质（1）重要物理性质：由于醇可形成分子间氢键，故低级醇的沸点通常比相对分子质量相近的烷烃高得多。
随着醇中烷基的增大，醇羟基与水形成氢键的能力逐渐减弱，因此低级醇易溶于水，中级醇部分溶于水，高级醇则不溶于水。
（2）主要化学性质：①醇与活泼金属（如Na、K、Mg、Al等）反应，生成相应的醇盐，并放出氢气。
醇与活泼金属的反应速率顺序为：1）低级醇＞中级醇＞高级醇；2）甲醇＞伯醇＞仲醇＞叔醇②醇可以与氢卤酸、卤化磷及氯化亚砜等发生亲核取代反应。
数字信号处理第三版 教材第六章习题解答
6.2 教材第六章习题解答1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6p f kHz =，通带最大衰减3p a dB =，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减3s a dB =。
求出滤波器归一化传输函数()a H p 以及实际的()a H s 。
解：（1）求阶数N 。
lg lg sp spk N λ=-0.10.30.1 2.51011010.0562101101p s asp a k --==≈--332121022610s sp p πλπΩ⨯⨯===Ω⨯⨯将sp k 和sp λ值代入N 的计算公式得lg 0.05624.15lg 2N =-=所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。
） （2）求归一化系统函数()a H p ，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()a H p 为54321() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611a H p p p p p p =+++++或 221()(0.6181)( 1.6181)(1)a H p p p p p p =+++++ 当然，也可以按（6.12）式计算出极点:121()22,0,1,2,3,4k j Nk p ek π++==按（6.11）式写出()a H p 表达式41()()a k k H p p p ==-代入k p 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。
（3）去归一化（即LP-LP 频率变换），由归一化系统函数()a H p 得到实际滤波器系统函数()a H s 。
由于本题中3p a dB =，即32610/c p rad s πΩ=Ω=⨯⨯，因此()()a a cH s H p s p ==Ω5542332453.2361 5.2361 5.2361 3.2361c c c cc cs s ss s Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω对分母因式形式，则有()()a a cH s H p s p ==Ω52222(0.6180)( 1.6180)()c c c c cc s s s s s Ω=+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω如上结果中，c Ω的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。
第六章 化学平衡练习题解答
第六章 化学平衡练习题解答练习6.1 反应的r m G ∆是(),/T p G ξ∂∂，它可表示为G －ξ图中的 切 线。
化学亲和势是defrmΔG-=A 。
练习6.2 T 、p 及组成恒定时反应n 的摩尔反应吉布斯函数变r m G ∆与化学势的关系是r m B B B ,T pG G νμξ⎛⎫∂=∆= ⎪∂⎝⎭∑，写出两个中的任意一个即可。
练习6.3 已知气相反应A(g)+B(g)D(g)−−→←−−在温度T 时的标准摩尔反应吉布斯函数变r m G ∆(T )，用r mG ∆(T )判断反应自动进行的方向和限度的条件是在温度T 的标准状态下，且无其它功的条件下，才可以用r m G ∆(T )判断反应自动进行的方向和限度。
练习6.4 如用化学亲和势判断反应的方向和程度的判式是0>A ，反应自发地向右进行； 0A <，反应自发地向左；0=A ，反应达到平衡。
练习6.5 混合吉布斯自由能的定义是 混合后与混合前的吉布斯自由能之差，即mix BB Bln G RTnx ∆=∑，化学反应通常不能进行到底的本质原因是反应物和产物之间存在混合吉布斯自由能。
练习6.6 假设让反应能够进行到底，则使其反应在 Van ’t Hoff 平衡箱中进行，使反应物和产物 完全分离的状态 。
讨论6-1 化学平衡的热力学条件是什么？它遵循什么原则？化学反应为何不能进行到底？怎样才能进行到底？ 练习6.7p K 与p Q 与分压力的关系不同的地方在于 p K 是平衡时的分压商，p Q 是任意状态下的分压商。
练习6.8 在298 K 时反应N 2O 4(g)=2NO 2(g)的p K = 0.1132，当242(N O )(NO )1kPa p p ==时反应将向 右 移动。
当24(N O )10kPa,p =p (NO 2)=1 kPa 时，反应将向 左 移动。
练习6.9 若用下列两个化学计量方程来表示合成氨的反应， （1）2233H (g)+N (g)2NH (g) r m ,1G ∆ ，,1p K（2）22331H (g)+N (g)NH (g)22r m,2G ∆ ，,2p K 。
第六章金属电子论习题
电导率
q2 m*
n (EF0 )
弛豫时间
( E F0
)
m*
nq 2
平均自由程
v (EF0 )
m*v
nq 2
kF
nq2
0 K到室温之间的费密半径变化很小
9
固体物理
固体物理学
或近自由电子近似情况下
EF
EF0
1
2
12
kBT EF0
2
kF m
1.055
10 34 1.20 9.1110 31
0
10
1.39 106 m / s
固体物理
固体物理学
(4) 费密球面的横截面积
S (kF sin )2 4.52 sin 2m2
是 与 轴之间的夹角
kF
(3n
2
)
1 3
8
固体物理
固体物理学
(5) 在室温以及低温时电子的平均自由程
3
固体物理
固体物理学
N
N(
( E F0
E
)
)
4V
(
2m h2
3N / 2EF0
)3/2 E1/2
N(E)
(
EF EF0
)1/
2
N
(
EF0
)
TF
EF0 kB
3N 2kB N (EF0 )
3 6.0221023 21.3811023 3.321042
19624K
N
固体物理
第六章 习题解答
2
Λm =
κ
c
=(
0.944 )Ω −1 ⋅ m 2 ⋅ mol−1 = 9.44 × 10−3 Ω −1 ⋅ m 2 ⋅ mol−1 3 0.1 × 10
6－6 用银电极电解 AgNO3 溶液。通电一段时间后，测得在阴极上析出 1.15g 银，并知 ＋ ＋ 阴极区溶液中 Ag 的总量减少了 0.605g。试计算 AgNO3 溶液中离子的迁移数 t（Ag ）和 t（NO3－） 。 解：在电解池的阴极上：Ag +e →Ag(s),每还原 1molAg 则需 96500C 的电量，所以通 过电解池的总电量： Q 总 =
-
x-
(2) t (K + ) = 0.6 /1 = 0.6; t ([Ag(CN) 2 ]− ) = 1 − 0.6 = 0.4
6－9 用铜电极电解 CuSO4 溶液。电解前每 100g 溶液中含 10.06g CuSO4，通电一段时 间后，测得在银电量计中沉积了 0.5008g 银，并测知阳极区溶液重 54.565g，其中含 CuSO4 2－ 2＋ 5.726g。试计算 CuSO4 溶液中离子的迁移数 t（Cu ）和 t（SO4 ） 。
第六章 电化学
6－1 用铂电极电解 CuCl2 溶液，通过的电流为 20A，经过 15min 后，问在阴极上能析 出多少铜？在阳极上能析出多少 27℃、100kPa 下的 Cl2？ 解： （1）在电解池的阴极上 Cu +2e →Cu(s) 析出 Cu 的质量：
2+ -
m=
M Cu It 63.546 × 10−3 × 20 × 15 × 60 =( )kg = 5.927 × 10−3 kg ZF 2 × 96500
-3 -1
习题解答(第六章)
n
n
= X0 + Xi×2-i = -2Xs+ X0 + Xi×2-i
i 1
i 1
↓
↓
多项式表示法 → 配项
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第六章 6.5
第六章 6.9
r 6.9 讨论若[X]补>[Y]补，是否有X>Y？ 解： r 若[X]补>[Y]补，不一定有X>Y。 r 当 X > 0、Y > 0 时， [X]补 - [Y]补=X-Y
当 X < 0、Y< 0 时， [X]补 - [Y]补=2+X-(2+Y)=X-Y 所以，[X]补 > [Y]补时， X > Y成立。 r 当X>0、 Y<0 时，X>Y，但由于负数补码的符号位为 1，则[X]补<[Y]补。 r 当X<0、 Y >0 时，有X < Y，但[X]补>[Y]补。
补 码 [X]补 0 001 1010 1 001 1010 1 111 0001
原 码 [X]原 同补码
1 110 0110 1 000 1111
真值 同补码 -110 0110 -000 1111
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第六章 6.10
r 6.10 设[X]补 = a0 .a1a2a3a4a5a6，其中ai取0或1，若要X>-0.5，求 a0，a1，a2，……，a6的取值。
第六章 弯曲应力(习题解答)
6-3、图示矩形截面梁受集中力作用，试计算1-1横截面上a 、b 、c 、d 四点的正应力。
解：（1）外力分析，判变形。
荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。
中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直，沿水平方向。
（2）内力分析，弯矩图如图（b ）所示，1-1横截面的弯矩为：1115230(M -=-⨯=-⋅kN m)（3）应力分析，梁上边有弯矩图，上侧纤维受拉。
1-1横截面上的a 点处于拉伸区，正应力为正；c 点处于中性层上，正应力为零；b 、d 两点处于压缩区，正应力为负。
3111111max2301011.1110.1800.36a a zzzM M M y y I I W σ---⨯=⋅=⋅===⨯⨯Pa MPa 。
11.11b a σσ=-=-MPa0c σ= 31133010(0.1500.050)7.4110.1800.312d d zM y I σ-⨯=-⋅=-⨯-=-⨯⨯Pa MPa37M kN V 图(kN)(a)(c)(b)(c)(e)(d)2+q l /8MkN ·m)(f)(b)180q题6-3图 题6-5图6-5、两根矩形截面简支木梁受均布荷载q 作用，如图所示。
梁的横截面有两种情况，一是如图(b)所示是整体，另一种情况如图(c)所示是由两根方木叠合而成（二方木间不加任何联系且不考虑摩擦）。
若已知第一种情况整体时梁的最大正应力为10MPa ，试计算第二种情况时梁中的最大正应力，并分别画出危险截面上正应力沿高度的分布规律图示。
解：（1）外力分析，判变形。
荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。
第一种情况中性层为过轴线的水平纵向面，中性轴z 轴过整体形心C 与载荷垂直，沿水平方向。
而第二种情况，两根木梁以各自的水平纵向面为中性层发生弯曲，两根中性轴为与荷载垂直的水平形心主轴。
如图所示。
（2）内力分析，判危险面：弯矩图如图（b ）所示，跨中截面为危险面。
高等数学课后答案-第六章-习题详细解答
习 题 6—11、在平行四边形ABCD 中, 设−→−AB =a , −→−AD =b . 试用a 和b 表示向量−→−MA 、−→−MB 、−→−MC 、−→−MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点.解： 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以a +b −→−−→−==AM AC 2, 即 -(a +b )−→−=MA 2, 于是 21-=−→−MA (a +b ).因为−→−−→−-=MA MC , 所以21=−→−MC (a +b ). 又因-a +b −→−−→−==MD BD 2, 所以21=−→−MD (b -a ). 由于−→−−→−-=MD MB , 所以21=−→−MB (a -b ).2、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.证： =,BM =，∴=+=+BM =与 平行且相等,结论得证.3、 求起点为)1,2,1(A ，终点为)1,18,19(--B 的向量→AB 与12AB −−→-的坐标表达式.解：→AB =j i k j i 2020)11()218()119(--=-+--+--={20,20,0}--, 12AB −−→-={10,10,0}4、 求平行于a ={1，1，1}的单位向量.解：与a 平行的单位向量为{}1,1,131±=±a a .5、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),A - (1,1,1),B -(1,1,1),C -- (1,1,1).D -- 解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.6、 求点),,(z y x M 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标.解：),,(z y x M 关于x 轴的对称点为),,(1z y x M --，关于xOy 平面的对称点为),,(2z y x M -，关于原点的对称点为),,(3z y x M ---.7、已知点A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）. 解：分别为),0,0(),0,,0(),0,0,(),,0,(),,,0(),0,,(c b a c a c b b a .8、过点(,,)P a b c 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？解：平行于z 轴的直线上面的点的坐标：x a,y b,z R ==∈；平行于xOy 面的平面上的点的坐标为 z c,x,y R =∈.9、求点P (2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.解：到原点的距离为x y 轴的距离为到z10、 求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：222212(74)(13)(21)14M M =-+-+-=,222223(57)(21)(32)6M M =-+-+-= 222213(45)(32)(13)6M M =-+-+-=，即1323M M M M =，因此结论成立.11、 在yoz 坐标面上，求与三个点A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标. 解：设yoz 坐标面所求点为),,0(z y M ，依题意有||||||MC MB MA ==，从而222)2()1()30(-+-+-z y 222)2()2()40(++++-=z y222)2()1()30(-+-+-z y联立解得2,1-==z y ，故所求点的坐标为)2,1,0(-.12、 z 轴上，求与点A(-4, 1, 7), 点B(3, 5,-2)等距离的点. 解：设所求z 轴上的点为),0,0(z ，依题意：222)7()10()40(-+-++z 222)2()50()30(++-+-=z ，两边平方得914=z ，故所求点为)914,0,0(.13、 求λ使向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行. 解：由b a //得5051012==λ得51=λ.14、 求与y 轴反向，模为10的向量a 的坐标表达式. 解：a =j j 10)(10-=-⋅={0,10,0}-.15、求与向量a ={1，5，6}平行，模为10的向量b 的坐标表达式. 解：}6,5,1{6210==a a a ,故 {}6,5,16210100±=±=a b .16、 已知向量6410=-+a i j k ，349=+-b i j k ，试求： （1）2+a b ； （2）32-a b ．解：（1） 264102(349)1248i a b i j k i j k j k +=-+++-=+-; （2）323(6410)2(349)=122048a b =i j k i j k i j k --+-+--+.17、已知两点A 和(3,0,4)B ，求向量AB 的模、方向余弦和方向角．解： 因为(1,1)AB =-, 所以2AB =,11cos ,cos 22αβγ===-,从而π3α=,3π4β=,2π3γ=.18、设向量的方向角为α、β、γ．若已知其中的两个角为π3α=，2π3β=．求第三个角γ． 解： π3α=,2π3β=,由222cos cos cos 1αβγ++=得21cos 2γ=.故π4γ=或3π4.19、 已知三点(1,0,0)=A ，(3,1,1)B ，(2,0,1)C ，求：（1）BC 与CA 及其模；（2）BC 的方向余弦、方向角；（3）与BC 同向的单位向量.解：（1）由题意知{}{}23,01,111,1,0,BC =---=--{}{}12,00,011,0,1,CA =---=-- 故 2,2==BC CA .（2）因为{}1,1,0,=--BC 所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：cos 0αβγ===，方向角为：3,42ππαβγ===.（3）与BC 同向的单位向量为：oa =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭BCBC .20、 设23,23,34,m i j k n i j k p i j k =++=+-=-+和23a m n p =+-求向量在x 轴上的投影和在y 轴上的分向量.解：2(23)3(23)(34)5114a i j k i j k i j k i j k =++++---+=+-.故向量a 在x 轴上的投影5=x a ，在y 轴上的投影分量为11y a j =.21、一向量的终点为点B(-2,1,-4),它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为3，-3和8，求这向量起点A 的坐标.解：设点A 为（x, y, z ）,依题意有：84,31,32=---=-=--z y x ， 故12,4,5-==-=z y x ，即所求的点A （-5， 4，-12）.22、 已知向量a 的两个方向余弦为cos α=72 ,cos β=73, 且a 与z 轴的方向角是钝角.求cos γ. 解：因222cos cos cos 1,αβγ++=22223366cos 1cos 77497γγ=-==±故（）—（），，又γ是钝角，所以76cos -=γ.23、设三力1232234F ,F ,F i j i j k j k =-=-+=+作用于同一质点，求合力的大小和方向角.解： 合力123(2)(234)()F F F F i k i j k j k =++=-+-+++323i j k =-+，因此，合力的大小为|F |=合力的方向余弦为,222cos ,cos 223cos -===βγα因此παγβ===-习 题 6—21、 {}0,0,1=a ，{}0,1,0=b ，)1,0,0(=c ，求⋅a b ，c a ⋅，c b ⋅，及a a ⨯，b a ⨯，c a ⨯，c b ⨯. 解：依题意，i a =，j b =，k c =，故0=⋅=⋅j i b a ，0=⋅=⋅k i c a ，0=⋅=⋅k j c b .0=⨯=⨯i i a a ，k j i b a =⨯=⨯，j k i c a -=⨯=⨯，i k j c b =⨯=⨯.2、 }}{{1,2,2,21,1==b a ,，求b a ⋅及b a ⨯ .a 与b的夹角余弦. 解：（1）121221⋅=⨯+⨯+⨯=a b 6, 112221⨯==i j ka b }{3,3,0-.(2)cos a b a b a b θ++==3、 已知 π5,2,,3∧⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b a b ，求23a b -解：()()2232323-=-⋅-a b a b a b 22412976=-⋅+=a a b b ，∴ 23-=ab4、 证明下列问题：1）证明向量}{1,0,1=a 与向量}{1,1,1-=b 垂直. 2） 证明向量c 与向量()()a c b b c a ⋅-⋅垂直. 证：1）01110)1(1=⨯+⨯+-⨯=⋅b a ,^π(,)2a b ∴=，即a 与b 垂直. 2） [()()]⋅-⋅⋅a c b b c a c [()()]=⋅⋅-⋅⋅a c b c b c a c ()[]=⋅⋅-⋅c b a c a c 0=[()()]∴⋅-⋅⊥a c b b c a c .5、 求点)1,2,1(M 的向径OM 与坐标轴之间的夹角.解：设OM 与x 、y 、z 轴之间的夹角分别为γβα,,，则211)2(11cos 22=++==α,22cos ==β, 21cos ==γ. 3π=∴α, 4π=β, 3π=γ.6、 求与k j i a ++=平行且满足1=⋅x a 的向量x .解：因x a //, 故可设{}λλλλ,,==a x ，再由1=⋅x a 得1=++λλλ，即31=λ，从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31x .7、求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量.解：=⨯=xy z x y zij kc a b a a a b b b 324112=--i j k =105+j k，||10==c 0||∴=c c c=.⎫±+⎪⎭j8、 在顶点为)2,1,1(-A 、)2,6,5(-B 和)1,3,1(-C 的三角形中，求三角形ABC 的面积以及AC 边上的高BD .解：{0,4,3},{4,5,0}AC AB =-=-,三角形ABC 的面积为,22516121521||21222=++=⨯=AB C A S ||||21,5)3(4||22BD S ==-+= ||521225BD ⋅⋅= .5||=∴BD9、 已知向量≠0a ，≠0b ，证明2222||||||()⨯=-⋅a b a b a b .解 2222||||||sin ()∧⨯=⋅a b a b ab 222||||[1cos ()]∧=⋅-a b ab 22||||=⋅a b 222||||cos ()∧-⋅a b ab 22||||=⋅a b 2().-⋅a b10、 证明：如果++=0a b c ，那么⨯=⨯=⨯b c c a a b ，并说明它的几何意义.证： 由++=0a b c , 有()++⨯=⨯=00a b c c c , 但⨯=0c c ，于是⨯+⨯=0a c b c ,所以⨯=-⨯=⨯b c a c c a . 同理 由()++⨯=0a b c a , 有 ⨯=⨯c a a b ,从而 ⨯=⨯=⨯b c c a a b .其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.11、 已知向量23,3=-+=-+a i j k b i j k 和2=-c i j ，计算下列各式：（1）()()⋅-⋅a b c a c b （2）()()+⨯+a b b c （3）()⨯⋅a b c （4）⨯⨯a b c 解： （1）()()8(2)8(3)⋅-⋅=---+=a b c a c b i j i j k 824--j k .(2) 344,233+=-++=-+a b i j k b c i j k ，故()()+⨯+a b b c 344233=-=-i jk--j k . （3）231()231(2)(85)(2)11311312-⨯⋅=-⋅-=--+⋅-=-=--i jk a b c i j i j k i j 2. （4）由（3）知85,()851120⨯=--+⨯⨯=--=-i jka b i j k a b c 221++i j k .习 题 6—31、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA =()()()222321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=z y x化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)M x y z C MA z ∈⇔= 亦即z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .3、 求下列各球面的方程：（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-；（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+=R ，所以球面方程为49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .4、将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解：222x y z +=(旋转抛物面) .5、将zOx 坐标面上的双曲线12222=-c z a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解： 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得122222=-+cz a y x .6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）221x z += ；（4）22220x y z x ++-=； （5）222y x z +=；（6）22441x y z -+=；（7）221916x y z ++=；（8）222149x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2223122z y x +=+.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1）1+=x y ；（2）422=+yx ；（3）122=-y x ；（4）22x y =.解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面； （2）422=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3）122=-y x 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）y x22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22149+=x z 绕x 轴旋转而成（2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线2214-=y z 绕y 轴旋转而成（3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成 （4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.9、 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42=+-=y x x z 及三坐标平面所围成； （3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围. 解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成； （4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.习 题 6—41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）⎩⎨⎧==21y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=0422y x y x z ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x ay x解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线； （2）上半球面z 与平面0x y -=的交线为14圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.2、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解：消去x 坐标得16322=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；消去y 坐标得：162322=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.3、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1122222z y z y x .4、试求平面20x -=与椭球面222116124x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：221932y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩； （2）⎩⎨⎧==+++-04)1()1(22z z y x解：（1）原曲线方程即：⎪⎩⎪⎨⎧=+=199222z x xy ，化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤==tz t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z y x .6、求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ；⎪⎩⎪⎨⎧==0cosy b z a x .7、指出下列方程所表示的曲线（1）222253⎧++=⎨=⎩x y z x （2）⎩⎨⎧==++13094222z z y x ；（3）⎩⎨⎧-==+-3254222x z y x ； （4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y ； （5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z y . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.8、 求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：⎩⎨⎧=-=3922z x y ，是位于平面3=z 上的抛物线，在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧=-=0922z x y9、 求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,4322=+y x 在xOy 面上的投影为,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原点，半径为23的圆周.（2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z （3）同理在yOz 面上的投影也为线段..23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z10、 求抛物面x z y =+22与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解： 交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x x z y ，（1）消去z 得投影,004522⎩⎨⎧==-++z x xy y x（2）消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，（3）消去x 得投影22200y z y z x ⎧++-=⎨=⎩.习 题 6—51、写出过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .2、求过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面方程.解：设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .3、求过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .4、求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解：平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以B (B 0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.5、求过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程.解：},1,1,1{1-=n }12,2,3{2-=n 取法向量},5,15,10{21=⨯=n n n所求平面方程为化简得:.0632=-++z y x6、设平面过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直，求此平面方程.解： 设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，{1,1,1},n ⊥- 0A B C ∴-+=,0A C B ⇒=-=，所求平面方程为0.x z -=7、写出下列平面方程：（1）xOy 平面；（2）过z 轴的平面；（3）平行于zOx 的平面；（4）在x ，y ，z 轴上的截距相等的平面.解：（1）0=z ,（2）0=+by ax （b a ,为不等于零的常数）, （3）c y = (c 为常数), （4） a z y x =++ (0)a ≠.8、 求平行于0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.解: 设平面为,1=++c z b y a x ,1=V 111,32abc ∴⋅=由所求平面与已知平面平行得,611161c b a ==化简得,61161c b a ==令tc t b t a t c b a 61,1,6161161===⇒===代入体积式 11111666t t t ∴=⋅⋅⋅ 1,6t ⇒=±,1,6,1===∴c b a 或1,6,1,a b c =-=-=-所求平面方程为666x y z ++=或666x y z ++=-.9、分别在下列条件下确定n m l ,,的值：（1）使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面； （2）使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面； （3）使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：168339133-=--=-+=+-l n n m m l 即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+092072032n l m n l m ，解之得 97=l ，913=m ，937=n . （2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：6362-=-=m l ，所以4-=l ，3=m . （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：7230l ++=所以： 57l=-.10、求平面011=-+y x 与083=+x 的夹角； 解：设011=-+y x 与083=+x 的夹角为θ，则cos θ ∴ 4πθ=.11、 求点(2,1,1)到平面2240x y z +-+=的距离. 解：利用点到平面的距离公式可得933d ===.习 题 6—61、求下列各直线的方程：（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线； （2） 过点()1,1,1且与直线433221-=-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线； （4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程. （5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线； （6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线.解：（1）所求的直线方程为：015323-=-=++z y x 即：01553-=-=+z y x ，亦即01113-=-=+z y x . （2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为413121-=-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=︒︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为： 132511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s −−→==所求直线方程.440322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-，所以，直线方程为：22111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为： 235635x y z -++==--.2、求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程.解 在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,063020000⎩⎨⎧=--=++⇒z y z y 解2,000-==z y .所求点的坐标为)2,0,1(-,取直线的方向向量{}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kji34312111--=-=,所以直线的点向式方程为：,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz ty tx3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧--=+==212t z t y tx 与142475x y z --+==-. 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：4343223z y x =-=--43227-=--=-z y x 234234-==-- ∴二直线平行.又点)0,43,23(与点（7，2，0）在二直线上，∴向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-，从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即0919225=++-z y x .（2）因为121475-≠≠-，所以两直线不平行，又因为0574121031=--=∆，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-⨯-，∴二直线所决定的平面的方程为：330x y z -++=.设两直线的夹角为ϕ，则cos ϕ==4、判别下列直线与平面的相关位置： （1）37423z y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）723zy x =-=与8723=+-z y x ； （3）⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 与07734=-+-z y x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x .解（1） 0)2(3)2()7(4)2(=-⨯+-⨯-+⨯-，而017302)4(234≠=-⨯--⨯-⨯，所以，直线与平面平行.（2） 0717)2(233≠⨯+-⨯-⨯,所以，直线与平面相交，且因为772233=--=，∴直线与平面垂直. （3）直线的方向向量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--⨯-， 0179354=⨯+⨯-⨯，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为{}9,2,1-， 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯∴直线与平面相交但不垂直.5、验证直线l ：21111-=-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 相交，并求出它的交点和交角. 解： 032111)1(2≠-=⨯-⨯+-⨯∴直线与平面相交.又直线的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y tx 211设交点处对应的参数为0t ，∴03)21()1()(2000=-+-++-⨯t t t ∴10-=t ，从而交点为（1，0，-1）. 又设直线l 与平面π的交角为θ，则：21662111)1(2sin =⨯⨯-⨯+-⨯=θ，∴6πθ=.6、确定m l ,的值，使： （1）直线13241zy x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行； （2）直线⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=135422t z t y t x 与平面076=-++z my lx 垂直.解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：015334=⨯-⨯+l 即1l =-. （2）欲使所给直线与平面垂直，则须：3642=-=m l ，所以：8,4-==m l .7、求下列各平面的方程： （１）通过点)1,0,2(-p ，且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面； （２）通过直线115312-+=-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=--+=---052032z y x z y x 平行的平面； （３）通过直线223221-=-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面；（4）. 求过点(2,1,0)M 与直线2335x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩垂直的平面方程.解：（１）因为所求的平面过点)1,0,2(-p 和)2,0,1(-'p ，且它平行于向量{}3,1,2-，所以要求的平面方程为：03331212=--+-z y x , 即015=-++z y x .（２）已知直线的方向向量为{}{}{}2,1,11,2,13,1,5--⨯-=，∴平面方程为：2311510315x y z -++--=,即3250x y z +--= （３）所求平面的法向量为{}{}{}13,8,11,2,32,3,2-=-⨯-，∴平面的方程为：0)2(13)2(8)1(=--+--z y x ，即09138=+--z y x .（4）.所求平面的法向量为{}2,3,1，则平面的方程为：2(2)3(1)(0)0x y z -+-+-=, 即 2370x y z ++-=.8、求点(4,1,2)M 在平面1x y z ++=上的投影.解： 过点(4,1,2)M 作已知平面的垂线，垂线的方向向量就是已知平面的法向量(1,1,1)，所以垂线方程为412111x y z ---==，此垂线与已知平面的交点即为所求投影.为了求投影，将垂线方程化为参数方程412x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，代入平面方程求得2t =-，故投影为(2,1,0)-. 9、求点)1,3,2(-p 到直线⎩⎨⎧=++-=++-0172230322z y x z y x 的距离.解：直线的标准方程为：2251211-+==-z y x 所以p 到直线的距离 1534532025)2(1212392292421243222222===-++-+--+-=d .10、设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上一点，且直线的方向向量为s ，试证：点0M 到直线L 的距离为d =.证：设0M M 与L 的夹角为θ，一方面由于0sin d M M θ=；另一方面，00sin M M s M M s θ⨯=，所以d =.11、求通过平面0134=-+-z y x 和025=+-+z y x 的交线且满足下列条件之一的平面： （1）通过原点； （2）与y 轴平行；（3）与平面0352=-+-z y x 垂直. 解： （1）设所求的平面为：0)25()134(=+-++-+-z y x z y x λ 欲使平面通过原点，则须：021=+-λ，即21=λ，故所求的平面方程为 0)25()134(2=+-++-+-z y x z y x 即：0539=++z y x .（2）同（1）中所设，可求出51=λ.故所求的平面方程为 0)25()134(5=+-++-+-z y x z y x 即：031421=-+z x .（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面0352=-+-z y x 垂直，则须：0)3(5)51()4(2=-++--+λλλ从而3=λ，所以所求平面方程为05147=++y x .12、求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程．解：应用平面束的方法．设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束方程为0)1()1(=++-+--+z y x z y x λ即01)1()1()1(=-++-+-++λλλλz y x这平面与已知平面0=++z y x 垂直的条件是01)1(1)1(1)1(=⋅+-+⋅-+⋅+λλλ,解之得1-=λ代入平面束方程中得投影平面方程为10y z --=，所以投影直线为⎩⎨⎧=++=--001z y x z y .13、请用异于本章第五节例7的方法来推导点到平面的距离公式.证：设),,(0000z y x P 是平面π：0+++=Ax By Cz D 外的一点，下面我们来求点0P 到平面π的距离. 过0P 作平面π的垂线L ：000x x y y z z A B C---==，设L 与平面π的交点为(,,)P x y z ，则P 与0P 之间的距离即为所求.因为点(,,)P x y z 在L 上，所以000x x Aty y Bt z z Ct-=-=-=⎧⎪⎨⎪⎩，而(,,)P x y z 在平面π上，则000()()()0A x At B y Bt C z Ct D ++++++=000222Ax By Cz A B t DC ⇒=-+++++，故000222Ax By Cz Dd t A B C+++===++=.习 题 6—7飞机的速度：假设空气以每小时32公里的速度沿平行y 轴正向的方向流动，一架飞机在xoy 平面沿与x 轴正向成π6的方向飞行，若飞机相对于空气的速度是每小时840公里，问飞机相对于地面的速度是多少？解：如下图所示，设OA 为飞机相对于空气的速度，AB 为空气的流动速度，那么OB 就是飞机相对于地面的速度.840cos 840sin 4203420,3266OA i j i j AB j ππ=⋅+⋅=+=所以, 24203452,(420856.45OB i j OB =+=≈千米／小时.复习题A一 、判断正误:1、 若c b b a ⋅=⋅且≠0b ，则c a =； ( ⨯ )解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，k c =，有⋅=⋅=0a b b c ，但c a ≠．2、 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ )解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则k j i b a =⨯=⨯，k j i j c b =+-⨯=⨯)]([，c b b a ⨯=⨯，但c a ≠．3 、若0=⋅c a ，则=0a 或=0c ； ( ⨯ ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、 a b b a ⨯-=⨯． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ．解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；图6-1 空所流动与飞机飞行速度的关系(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．3 、在空间直角坐标系中，方程2221y x z --=所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．解析 对于曲面2221y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；(A)722=+y x ； (B)⎩⎨⎧==+5722z y x ； (C) ⎩⎨⎧==+0722z y x ；(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z解析 曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0722z y x ．5 、直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4-．解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ⋅=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行．三、填空题:1、若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a 0 ； 解 =⨯b a b a sin()a,b π22=2，=⋅b a b a cos()a,b π22=0．2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{66-±； 解 平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n =411++=6，所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{66-±．3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；解 已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有{20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得 05157=+--D Dz Dy ，即 057=-+z y ．4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为z yx -==20； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为z yx -==20 ．5、曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 ⎩⎨⎧==+.0,1222z y x解: 投影柱面为 1222=+y x ，故 ⎩⎨⎧==+0,1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、 已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ⨯； (b) ()()-⋅+2a b a b ； (c) 2b a -；解: (a) b a ⨯=211121-kj i 1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ， 所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=．(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2b a -10)19(2=+=．2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位向量．解: (1) }2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ；74926)3(222==++-=；(3) 21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos ,cos ,cos 777αβγ=-==；(4)k j i k j i 7276737263)(21++-=++-==P P．3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.解： 令{}1110,2,2111=⨯=-=-i j kc a b，01⎧==⎨⎩c c c ，故与a 、b都垂直的单位向量为0⎧±=±⎨⎩c .4、向量d垂直于向量]1,3,2[-=a和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，求向量d解： d垂直于a与b ，故d平行于b a⨯，存在数λ使()b a d⨯=λ⨯-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--=因6-=⋅c d，故6)7(1)7()1(72-=-⨯+-⨯-+⨯λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d.5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为π3． 解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为0241003211201210=---------z y x ，即01345=+--z y x ． 解2：}1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为k j i kj in 452131113121--=--=⨯=P P P P ， 又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即01345=+--z y x ．解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可． 因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{0,320,A B C A B C +-=-+=解得A C A B 4,5-=-=，于是所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为π1cos 32=≠=，所以0≠B ），令C B C'=，则有0='+z C y ，由题设得 22222212)5(10121503cos ++'++⨯'+⨯+⨯=πC C ， 解得3='C 或13C '=-，于是所求平面方程为03=+z y 或03=-z y ．6、 一平面过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 且与平面01284=+--z y x 垂直，求该平面方程；解法1： 直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 在平面上，令x =0，得 54-=y ，z =4，则（0，-54，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为n =},,{C B A ，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 1n ={1，5，1}，2n ={1，0，-1}，则直线的方向向量s =1n ⨯2n =101151-kj i ={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即⋅n s ={-5，2，-5}•},,{C B A =C B A 525-+-=0，因为所求平面与平面01284=+--z y x 垂直，则}8,4,1{},,{--⋅C B A =C B A 84--=0，解方程组{5250,480,A B C A B C -+=--= ⇒ 2,5,2A CBC =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所求平面方程为 0)4()54(25)0(2=-++---z C y C x C ，即012254=+-+z y x ．解法2： 用平面束（略）7、求既与两平面1:43x z π-=和2:251x y z π--=的交线平行，又过点(3,2,5)-的直线方程.解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =⨯=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为325431x y z +--==---，即325431x y z +--==. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为32543x y z p p p +--==，即325431x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ⋅++⋅--⋅-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为423025330x z x y z -+=⎧⎨--+=⎩．8、 一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线11231:+==-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；解： 设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为 p z n y m x 121-=-=-，联立121,①,②320,③x y z m n p x y z m n p ---⎧==⎪⎨==⎪++=⎩由①，令λ=-=-=-p z n y m x 121，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,1,2,1p z n y m x λλλ代入方程②有{12,11,m n m p λλλλ+=++=+ 可得p m =，代入③解得p n 2-=， 因此，所求直线方程为112211-=--=-z y x ．9、 指出下列方程表示的图形名称：(a) 14222=++z y x ；(b) z y x 222=+；(c) 22y x z +=；(d) 022=-y x ；(e) 122=-y x ； (f) ⎩⎨⎧=+=222z y x z ．解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面． (d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形．解： 将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程122=+y x ，所以柱面与xOy 平面的交线⎩⎨⎧==+'01:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．复习题B1、设4=a ，3=b ，()6π=a,b ，求以2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.解：(2)(3)326A =+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯a b a b a a a b b a b b325=-⨯-⨯=-⨯a b a b a b 15sin()543302=⋅=⨯⨯⨯=a b a,b .2、设(3)(75)+⊥-a b a b ，(4)(72)-⊥-a b a b ，求()a,b . 解： 由已知可得：(3)(75)0+⋅-=a b a b ，(4)(72)0-⋅-=a b a b 即 22715160-+⋅=a b a b ，2278300+-⋅=a b a b ．这可看成是含三个变量a 、b 及⋅a b 的方程组，可将a 、b 都用⋅a b 表示，即==a b 1cos()22⋅⋅===⋅a b a b a,b a b a b ，()3π=a,b .3、求与}3,2,1{-=a 共线，且28=⋅b a 的向量b ．解 由于b 与a 共线，所以可设}3,2,{λλλλ-==a b ，由28=⋅b a ，得28}3,2,{}3,2,1{=-⋅-λλλ， 即2894=++λλλ，所以2=λ，从而}6,4,2{-=b ．4、 已知}0,1,1{},2,0,1{=-=b a ，求c ，使b c a c ⊥⊥,且6=c ．解法1: 待定系数法．设},,{z y x =c ，则由题设知0,0=⋅=⋅b c a c 及6=c ，所以有①20②③6x z ⎧-=⎪=由①得2xz = ④，由②得x y -= ⑤，将④和⑤代入③得62)(222=⎪⎭⎫⎝⎛+-+x x x ，解得2,4,4±==±=z y x ，于是 }2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ．解法2: 利用向量的垂直平行条件，因为b c a c ⊥⊥,，所以c ∥b a ⨯．设λ是不为零的常数，则k j i k j i b a c λλλλλ+-=-=⨯=22011201)(，因为6=c ，所以6]1)2(2[2222=+-+λ，解得2±=λ，所以}2,4,4{-=c 或{4,4,2}=--c ．解法3: 先求出与向量b a ⨯方向一致的单位向量，然后乘以6±．k j i kji b a +-=-=⨯22011201，31)2(2222=+-+=⨯b a ，故与b a ⨯方向一致的单位向量为}1,2,2{31-．于是}1,2,2{36-±=c ，即}2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ．5、求曲线222x y R x y z ⎧+=⎨++=⎩的参数式方程.解： 曲线参数式方程是把曲线上任一点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 都用同一变量即参数表示出来，故可令cos ,sin x R t y R t ==，则(cos sin )z R t t =-+．6、求曲线22:2z L x y x⎧⎪=⎨+=⎪⎩xOy 面上及在zOx 面上的投影曲线的方程．解： 求L 在xOy 面上的投影的方程，即由L 的两个方程将z 消去，即得L 关于xOy 面的投影柱面的方程222x y x +=则L 在xOy 面上的投影曲线的方程为2220x y xz ⎧+=⎨=⎩． 同理求L 在zOx 面上的投影的方程，即由L 的两个方程消去y ，得L 关于zOx 面的投影柱面的方程z =L 在zOx面上的投影曲线方程为0z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．7、已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线1211:201x y z L ---==，求平面π的方程． 解法1： 设平面π的法向量为n ，直线1L 的方向向量1(2,0,1)=s ，由题意可知1⊥n s ，(2,1,1)M 是直线1L 上的一点,则0(1,1,2)M M =在π上，所以0MM ⊥n ,故可取10MM =⨯n s (1,3,2)=--．则所求平面的点法式方程为1(1)3(0)2(1)0x y z ⋅-+⋅--⋅+=，即3230x y z +--=为所求平面方程．解法2： 设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意可知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+=, （1）在直线1L 上任取两点12(2,1,1),(4,1,2)M M ，将其代入平面方程，得20A B C D +++=, （2）420A B C D +++=, （3）由式（1）、（2）、（3）解得3,2,3B A C A D A ==-=-,故平面π的方程为3230x y z +--=.解法3： 设(),,M x y z 为π上任一点．由题意知向量0M M 、01M M 和1s 共面，其中()12,1,1M 为直线1L 上的点，1(2,0,1)=s 为直线1L 的方向向量．因此0011()0M M M M ⨯⋅=s ，故平面π的方程为1012110110201x y z --+--+=，即3230x y z +--=为所求平面方程．8、求一过原点的平面π，使它与平面0:π4830x y z -+-=成4π角，且垂直于平面1:π730x z ++=． 解： 由题意可设π的方程为0Ax By Cz ++=，其法向量为(,,)A B C =n ，平面0π的法向量为0(1,4,8)=-n ，平面1π的法向量为1(7,0,1)=n ，由题意得00||cos 4||||π⋅=⋅n n n n ，即=（1） 由10⋅=n n ，得70A C +=，将7C A =-代入（12=,解得20,B A =或10049B A =-，则所求平面π的方程为2070x y z +-= 或 491003430x y z --=．9、求过直线1L ：0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线2L ：23x y z ==的平面π的方程．解法1： 直线1L 的方向向量为1=s 111(4,1,3)213==---i j k，直线2L 的对称式方程为632x y z==，方向向量为2(6,3,2)=s ，依题意所求平面π的法向量1⊥n s 且2⊥n s ，故可取12=⨯n s s ，则413(7,26,18)632=--=-i j kn ，又因为1L 过原点，且1L 在平面π上，从而π也过原点，故所求平面π的方程为726180x y z -+=．解法2： 设所求平面π为 (23)0x y z x y z λ+++-+=，即(12)(1)(13)0x y z λλλ++-++=， 其法向量为(12,1,13)λλλ=+-+n ，由题意知2⊥n s ，故26(12)3(1)2(13)0λλλ⋅=++-++=n s ，得1115λ=-，则所求平面π的方程为726180x y z -+=．另外，容易验证230x y z -+=不是所求的平面方程．10、求过直线L ：⎩⎨⎧=+-+=+-+0185017228z y x z y x 且与球面1222=++z y x 相切的平面方程解： 设所求平面为 ()018517228=+-+++-+z y x z y x λ，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，由题意：球心)0,0,0(到它的距离为1，即1)2()828()51(17222=--+++++λλλλ解得：89250-=λ 或 2-=λ 所求平面为：42124164387=--z y x 或 543=-y x11、求直线L ：11111--==-z y x 在平面π：012=-+-z y x 上投影直线0L 的方程，并求直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程.解： 将直线L ：11111--==-z y x 化为一般方程 ⎩⎨⎧=-+=--0101y z y x ，设过直线L 且与平面π垂直的平面方程为()011=-++--y z y x λ，则有02)1(1=+--λλ，即2λ=-，平面方程为0123=+--z y x ，这样直线0L 的方程⎩⎨⎧=-+-=+--0120123z y x z y x 把此方程化为：⎩⎨⎧--==)1(221y z yx ，因此直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程为：22221(2)(1)2x z y y ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭即 0124174222=-++-y z y x .12、求过点)1,0,3(-A 且平行于平面1π：3450x y z --+=，又与直线1:2x L =1111y z -+=-相交的直线L 的方程．解法1： 用点向式方程.因为直线L 平行于平面1π，故直线L 的方向向量},,{p n m =s 垂直于平面1π的法向量}1,4,3{--=n ，从而得043=--p n m ①，又直线1L 的方向向量为}1,1,2{-=s ，)1,1,0(-B 是直线1L 上一点，)1,0,3(-A 是直线L 上一点，根据题设：直线L 与直线1L 相交，所以1s,s 及AB 共面，因此1()2110312m n pAB ⨯⋅=-=-s s ，即0=-+-p n m ②，将①和②联立解得p n p m 4,5-=-=，由此得145p n m =-=-，于是所求直线方程为11453-=-=-+z y x ．。
第6章_静电场习题解答1
40 第6章 静电场6-1两个电量都是+q 的点电荷，相距a 2，连线中心为O ，今在它们连线的垂直平分线上放置另一点电荷'q ，'q 与O 相距r ，求（1）'q 所受的力；（2）'q 放在哪一点时所受的力最大,是多少?解 如解用图，以O 点为原点，建立直角坐标系oxy（1）点电荷'q 所受的力21F F F+='1222014πqq F F r a ε==+12121212sin sin cos cos x x x yy y F F F F F F F F F F αααα=+=-⎧⎪⎨=+=+⎪⎩ 将'1222014πqq F F r a ε==+ ，cos α=，代入上式并化简0x F = '322202πy qq r F r a ε=+（）故 '322202πqq rF j r a ε=+ （）（2）若点电荷'q 在r 处受力最大，则d 0d rFr=即 223/2221/22223/22233()()2d 20d ()()r a r a r r r r a r a +-+⎡⎤==⎢⎥++⎣⎦ 解得 2ra =此时 ''max32222002π9πr qq r F a r a εε==+（）6-2 三个点电荷的带电量均为Q ，分别位于边长为a 的等边三角形的三个角上，求在三角形重心应习题6—1解用图α1F 2Fy41放置一电量为多少的点电荷，系统处于平衡状态。
解 如解用图，以电荷a 为例来讨论，设放置的电荷为q ,b 对a 的作用力为ba F，c 对a 的作用力为ca F ，ba F 和ca F 的合力为bc F，q 对a 的作用力为q F ，则2204πba ca Q F F aε==, 20202cos3024π2bc ba Q F F a ε==⨯⨯q F =，由0=+q bc F F得2201204πQ a ε= 解得 Q q 33-= 不难看出，三个顶点上的点电荷对q 的合力为零，所以整个系统处于平衡状态。
第六章习题解答及参考答案
x 1 x y 1 y τ ( x1 y1 ) = [rect ( 1 ) * comb( 1 )][rect ( 1 ) * comb( 1 )] 其 中 ， a1 , a 2 分 别为 x, y 方向 a1 b1 b1 a2 b2 b2
上缝的宽度， b1 , b2 则是相应的缝间隔。频谱面上得到如图 X6-1（a）所示的频谱。分别用 图 X6-1（b） （c） （d）所示的 3 种滤波器进行滤波，求输出面上的光强分布。
λ = 632.8nm。
解：扫描点的表达式为：
f ( x1 , y1 ) = ∑∑ δ (x1 − mx0 , y1 − ny0 )
m n
− i 2π f x mx 0 + f y ny 0
其频谱为 F f x , f y =
(
) ∑∑ e
m n
(
)
=
n 1 m δ fx − , fy − ∑∑ y0 x0 x0 y0 m n x2 m y2 n = , = y0 λf x0 λf
（1）使用完全透明的位相板时 τ = 1 ， φ = 0.015 × 故 ∆l =
π 2π = 0.0075π ；而 φ = nG ∆l 2 λ
λφ = 1.56nm ； 2nGπ 1 π = 0.04 ， φ = 0.015 × 0.04 × = 0.0003π 25 2 λ × 0.0003 = 0.062 nm 2nG
[6-5] 用相衬法来检测一块透明玻璃的不平度，用 λ =632.8nm 的光照明，设人眼能分辨的最 小对比度 V=0.03，玻璃的折射率 n0 =1.52，求在下面两种情况下玻璃的不平度： （1） （2） 解：仿上题有 使用完全透明的位相板； 使用光强透过率为
第6章 习题解答
第六章 习题解答(部分)［1］数字滤波器经常以图P6-1描述的方式来处理限带模拟信号，在理想情况下，通过A/D 变换把模拟信号转变为序列)()(nT x n x a =，然后经数字滤波器滤波，再由D/A 变换将)(n y 变换成限带波形)(n y a ，即有∑∞-∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n a nT t nT t n y t y )(Tπ)(T πsin )()( 这样整个系统可等效成一个线性时不变模拟系统。
如果系统)(n h 的截止角频率是rad 8/π，ms T 01.0=，等效模拟滤波器的截止频率是多少？ 设s T μ5=，截止频率又是多少？解：对采样数字系统，数字频率ω与模拟角频率Ω之间满足线性关系T Ω=ω。
因此，当ms T 01.0=时，T T cc 8πω==Ω，Hz T f c c 6251612==Ω=π当s T μ5=时， TT c c 8πω==Ω，Hz T f c c 125001612==Ω=π［2］已知模拟滤波器的系统函数为()22)(b a s bs H a ++=，试用冲激响应不变法将)(s H a 转换为)(z H 。
其中抽样周期为T ，式中a 、b 为常数，且)(s H a 因果稳定。
解：)(s H a 的极点为：jb a s +-=1，jb a s --=1将)(s H a 部分分式展开： )(21)(21)(jb a s j jb a s j s H a +---+---= 所以有1)(1)(121121)(-+------+-=z e j zej z H T jb a Tjb a通分并化简整理得：TT T ez bT e z bTe z z H ααα2211cos 21sin )(------+-= ［3］设计一个模拟带通滤波器，要求其幅度特性为单调下降（无波纹），通带带宽s rad B /2002⨯=π，中心频率s rad /10020⨯=Ωπ，通带最大衰减dB p 2=δ，s rad s /80021⨯=Ωπ，s rad s /124022⨯=Ωπ，阻带最小衰减dB s 15=δ。
毛概湖北经济学院新教材 第六章习题
第六章社会主义本质和建设中国特色社会主义总任务一、单项选择题1、社会主义首要的基本的理论问题是（）A.解放思想，实事求是B.大力发展生产力C.一切从社会主义初级阶段出发D.什么是社会主义，怎样建设社会主义2、邓小平指出，建国以后我们在社会主义建设中所经历的曲折和失误，改革开放过程遇到的一些疑虑和困扰，归根到底是没有完全搞清楚（）A.阶级斗争与经济建设的关系B.改革、发展和稳定的关系C.什么是社会主义，怎样建设社会主义D.计划与市场的关系3、邓小平提出的社会主义两大原则是（）A.对内改革和对外开放B.公有制和按劳分配C.发展生产和共同致富D.建设高度的物质文明和精神文明4、社会主义的本质是（）A.生产资料为社会占有B.实行按劳分配原则C.有计划地组织生产D.解放生产力，发展生产力，消灭剥削，消除两极分化，最终达到共同富裕5、社会主义的根本任务是（）A.深化改革扩大开放B.坚持党的基本路线C.发展生产力D.加强社会主义精神文明和民主政治建设6、在社会主义阶段，解放生产力的正确途径是（）A.革命B.改革C.阶段斗争D.政治运动7、在当代中国，坚持发展是硬道理的本质要求就是坚持（）AA.科学发展B.解放生产力C.社会主义公有制D.改革开放8、消灭剥削的物质前提是（）A.实行社会主义公有制B.实行按劳分配C.实行人民民主专政D.生产力高度发达9、社会主义初级阶段的根本目标是实现（）A.共同富裕B.生产力高度发达C.人的自由全面的发展D.消灭剥削，消除两极分化10、科学发展必须坚持全面协调可持续，其中“可持续”是指（）BA.实现经济发展和社会全面进步B.促进人与自然的和谐，保证一代接一代的永续发展C.不断推动人的全面发展D.实现经济社会各构成要素的良性互动11、把党和国家的工作重点由以阶级斗争为纲转移到经济建设上来，是党的( )A.十一大B.1978年中央工作会议C.十一届三中全会D.十一届六中全会12、根据“三步走”发展战略，我国到21世纪中叶的战略目标是（）BA.全面建成小康社会B.基本实现现代化，达到中等发达国家的水平C.基本接近发达国家水平，生活比较富裕D.物质文明与精神文明基本协调发展13、党的十八大报告中提出的我国在本世纪头二十年的奋斗目标是（）CA.实现社会主义现代化B.达到中等发达国家水平C.全面建成小康社会D.人民生活总体上达到小康水平14、习近平在参观“复兴之路”展览时指出，中国梦是指（）AA.实现中华民族的伟大复兴B.全面建成小康社会C.到本世纪中叶达到中等发达国家水平D.实现共同富裕15、先进生产力的集中体现和主要标志是（）A.科学技术B.人才C.教育D.人民生活富裕16、党的十八大强调，提高社会生产力和综合国力的战略支撑是（），这一战略支撑必须摆在国家发展全局的核心位置。
第六章 化学平衡习题与解答
第六章 习题及解答1．反应CO(g)+H 2O(g) CO 2(g)+H 2(g)的标准平衡常数与温度的关系为lgpK =2150K/T-2.216，当CO ，H 2O ，H 2，CO 2的起初组成的质量分数分别为0.30，0.30，0.20和0.20，总压为101.3kPa 时，问在什么温度以下（或以上）反应才能向生成产物的方向进行？解 设反应体系的总量为1000g ，已知M(CO)=28g·mol -1, M(H 2O)=18g·mol -1,M(H 2)=2g·mol -1，M(CO 2)=44g·mol -1， 则 n(CO)=(300/28)mol=10.714moln(H 2O)=(300/18)mol=16.667mol n(H 2)=(200/2)mol=100mol n(CO 2)=(200/44)mol=4.545molΣn=(10.714+16.667+100+4.545)mol=131.926 mol x(CO)=10.714mol/131.926 mol=0.0812 x(H 2O)= 16.667mol/131.926 mol=0.1263 x(H 2)=100mol/131.926 mol=0.7580 x(CO 2)= 4.545mol/131.926 mol=0.0345222(CO )(H )0.03450.7850 2.6408(CO)(H O)0.08120.1263x x x Q x x ⨯===⨯因为本题ΣνB =0，所以p K =K x ，要使反应向生成产物方向进行，须 Q x < K x ，即2150K/T-2.216>lg2.6408,解得2150K815.1K 2.216lg 2.6408T <=+，即在815.1K 温度以下反应才能向生成产物方向进行。
2. PCl 5的分解作用为 PCl 5(g) PCl 3(g)+Cl 2(g)在523.2K 、101.325kPa 下反应达到平衡后，测得平衡混合物的密度为2.695kg·m -3，试计算（1） PCl 5(g)的离解度。
(6.5)--第6章部分习题解答
解：当存在不平衡的空位浓度时，单位长度刃位错受的化学力为
FS
kBT b2
ln
x x0
，因为
Fc=cb，即刃位错受到的攀移正应力 S
kBT b3
ln
x x0
，这个应力达到足够大时位错会发生攀
移。在不同温度下空位的平衡浓度为 x exp( G f kBT ) ，所以，在 1000K 和在 300K 下的空
x
Gb 2π(1
)
1 阻
时两个位错就会滑动。即
x
ﾴ
Gb 1 2ππ(1 ) 阻
5 ﾴ1010 b 2 (1 0.3)
1 9.8 ﾴ105
1.16 ﾴ104 b
若两个位错是同号的，则两个位错相距的距离小于上面计算的 x 时，两位错相斥移动到距
离为 x 时保持不动；若两位错是反号的，则两个位错间的距离小于上面计算的 x 时，两位
x6-2
6-9. 一个位错环能否各部分都是螺型位错?能否各部分都是刃型位错?为什么? 解：螺位错的柏氏矢量与位错线平行，一根位错只有一个柏氏矢量，而一个位错环不可能 与一个方向处处平行，所以一个位错环不能各部分都是螺位错。刃位错的柏氏矢量与位错线 垂直，如果柏氏矢量垂直位错环所在的平面，则位错环处处都是刃位错。这种位错的滑移面 是位错环与柏氏矢量方向组成的棱柱面，这种位错又称棱柱位错。
6-11. 晶体中，在滑移面上有一对平行刃型位错，它们的间距应为多大才不致在它们的交互 作用下发生移动?设位错的滑移阻力（切应力）为 9.8105 Pa，=0.3，G=51010 Pa。(答案以 b 表示) 解：两个平行刃型位错（设为 A 和 B），位错 A 处在坐标架的 z 轴，位错 A 对处在(x,y)位
(完整版)第六章非线性方程的数值解法习题解答
第六章非线性方程的数值解法习题解答填空题：1. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。
Ans ：1()1()n n n n n x f x x x f x +-=-'-2.求解方程在(1， 2)内根的下列迭代法中，（1) (2）(3)（4）收敛的迭代法是（A ）.A ．(1)和（2)B 。
（2)和（3) C. （3）和(4) D. (4）和（1)3.若0)()(<b f a f ，则0)(=x f 在),(b a 内一定有根. ( )4．用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间［0，1］内的根,进行一步后根的所在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 . （答案［0。
5,1]， ［0.5,0。
75］）计算题:1、已知方程3210x x --=在 1.5x =附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式： ①211x x =+;②321x x =+11x x =-试判断以上三种格式迭代函数的收敛性,并选出一种较好的格式。
解:①令121()1x x ϕ=+，则'132()x x ϕ=-，'132(1.5)0.592611.5ϕ=≈<,故迭代收敛； ②令322()1x x ϕ=+则2'2322()(1)3x x x ϕ-=+，'2(1.5)0.45581ϕ≈<,故迭代收敛； ③令31()1x x ϕ=-,则'33()2(1)x x ϕ=-'3(1.5) 1.41421ϕ≈>，故迭代发散。
以上三中以第二种迭代格式较好。
2、设方程()0f x =有根,且'0()m f x M <≤≤。
试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=-(0,1,2,)k =产生的迭代序列{}0k k x ∞=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当20Mλ<<时，均收敛于方程的根。
第六章习题和解答_高电压技术
第六章输电线路和绕组中的波过程一、选择题1)波在线路上传播，当末端短路时，以下关于反射描述正确的是______。
A．电流为0，电压增大一倍B．电压为0，电流增大一倍C．电流不变，电压增大一倍D．电压不变，电流增大一倍2)下列表述中，对波阻抗描述不正确的是______。
A．波阻抗是前行波电压与前行波电流之比B．对于电源来说波阻抗与电阻是等效的C．线路越长，波阻抗越大D．波阻抗的大小与线路的几何尺寸有关3)减少绝缘介质的介电常数可以______电缆中电磁波的传播速度。
A．降低 B．提高 C．不改变 D．不一定二、填空题4)电磁波沿架空线路的传播速度为______。
5)传输线路的波阻抗与______和______有关，与线路长度无关。
6)在末端开路的情况下，波发生反射后，导线上的电压会______。
7)波传输时，发生衰减的主要原因是______、______、______。
8)Z1、Z2两不同波阻抗的长线相连于A点，行波在A点将发生折射与反射，反射系数的β取值范围为______。
三、计算问答题9)简述波传播过程的反射和折射。
10)波阻抗与集中参数电阻本质上有什么不同11)彼得逊法则的内容、应用和需注意的地方。
第六章输电线路和绕组中的波过程一、选择题1、A2、C3、B二、填空题10m/s4、3×85、单位长度电感0L和电容0C6、提高一倍7、导线电阻和线路对地电导大地电阻和地中电流等值深度的影响冲击电晕的影响8、－1≤β≤1三、计算问答题9、当波沿传输线路传播，遇到线路参数发生突变，即有波阻抗发生突变的节点时，会在波阻抗发生突变的节点上产生折射与反射。
10、（1）波阻抗表示同一方向的电压波与电流波的比值，电磁波通过波阻抗为Z的导线时，能量以电能、磁能的方式储存在周围介质中，而不是被消耗掉。
（2）若导线上前行波与反行波同时存在时，则导线上总电压与总电流的比值不再等于波阻抗（3）波阻抗Z的数值只取决于导线单位长度的电感和电容，与线路长度无关。
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第六章化学动力学习题解答1．回答问题：（1）什么是基元反应(简单反应)和非基元反应（复杂反应）？基元反应和平时我们书写的化学方程式（计量方程式）有何关系？（2）从活化分子和活化能角度分析浓度、温度和催化剂对化学反应速率有何影响。
【解答】（1）化学反应进行时，反应物分子（或离子、原子、自由基）在碰撞过程中，只经过一步直接转化为生成物分子的反应，称为基元反应。
由一种基元反应组成的总反应，称为简单反应。
由两种或两种以上基元反应所组成的总反应，是非基元反应，称为复合反应。
基元反应是反应机理最简单的反应，化学方程式是一个宏观的总反应。
（2）一定温度下，气体分子具有一定的平均能量，具体到每个分子，则有的能量高些有的低些。
只有极少数的分子具有比平均值高得多的能量，它们碰撞时能导致原有化学键破裂而发生反应，这些分子称为活化分子。
活化分子所具有的最低能量与分子的平均能量之差称为简单碰撞的活化能，简称活化能。
对一定温度下的某一特定反应，反应物分子所占的分数是一定的。
因此单位体积内的活化分子的数目与单位体积内反应分子的总数成正比，当反应物浓度增大时，单位体积内分子总数增多，活化分子的数目也相应增多。
于是单位时间内有效碰撞次数增多，反应速度加快。
温度升高不仅使分子间碰撞频率增加，更主要的是使较多的分子获得能量而成为活化分子。
结果导致单位时间内有效碰撞次数显著增加，从而大大加快了反应速率。
升高温度可使活化分子的分数增加。
催化剂能加快化学反应速率的实质，主要是因为它改变了反应的途径，降低了反应的活化能，相应地增加了活化分子的分数，反应速率也就加快。
2．设反应A+3B →3C在某瞬间时3()3-=⋅c C mol dm ，经过二秒时3()6-=⋅c C mol dm ，问在二秒内，分别以A 、B 和C 表示的反应速率A B C υυυ、、各为多少？【解答】 A ＋ 3B → 3C由公式：υ= tc v B B∆∆⋅1有υ(A) =υ(B) =υ(C) = sdm mol dm mol t c v C C 23631133--⋅-⋅⨯=∆∆⋅ = 0.5 mol ·dm -3·s -13．下列反应为基元反应 （1）I+H →HI （2）I 2→2I（3）Cl+CH 4→CH 3+HCl写出上述各反应质量作用定律表达式。
它们的反应级数各为多少？ 【解答】对于基元反应, 有 υ= K ·a A c ·bB c所以 （1）υ= k c (I)·c (H) , 反应级数为2 （2）υ= k c (I 2), 反应级数为1 （3）υ= k c (Cl)·c (CH 4), 反应级数为24．反应2HI→H 2+I 2在600K 和700K 时的速率常数分别为 2.75×10-6和5.50×10-4dm 3·mo l -1·s -1。
计算：（1）反应的活化能；（2）该反应在650K 时的速率常数。
【解答】（1）由EaRTk Ae-=，（T 1∽k 1）（T 2∽k 2）得：2211122303lg().a E k T Tk R TT -= 212211461230370060055102303831470060027510185044.lg ...lg.T T kEa RT T k J mol ---=-⨯⨯=⨯⨯-⨯=⋅ （2）由2323322303185044700650230383147006501062lg().()...a E T T k k R T T -=-=⨯⨯=，2311535.k k =, k 2=5.50×10-4dm 3·mol -1·s -1, k 3=4.77×10-5dm 3·mol -1·s -1 该反应在650K 时的速率常数4.77×10-5dm 3·mol -1·s -15．根据实验，在一定的温度范围内，反应：2NO(g)+Cl 2(g)→2NOCl(g) 符合质量作用定律，试求：（1）该反应的反应速率方程式； （2）该反应的总级数；（3）其它条件不变，如果将容器的体积增大到原来的2倍，其反应速率如何变化？（4）如果容器体积不变，而将NO 的浓度增加到原来的3倍，反应速率又将如何变化？【解答】（1）该反应的速率方程式：22NO Cl r kc c =。
（2）该该反应的总级数n=2+1=3。
（3）如果将容器的体积增大到原来的2倍，反应物的浓度下降为原来的一半， 反应速率则为原来的1/8。
（4）如果容器体积不变，而将NO 的浓度增加到原来的3倍，反应速率则为原来的9倍。
6．蔗糖的转化反应为12221126126C H O H O C H O +→（果糖）+6126C H O (葡萄糖)当催化剂HCl 的浓度为30.1-⋅mol dm ，温度为321.15K 时，由实验测得其速率方程式为r=0.0193c （蔗糖）31(min )--⋅⋅mol dm 。
今有浓度为30.2-⋅mol dm 的蔗糖溶液，于上述条件下，在一有效容积为32dm 的容器中进行反应，试求：（1）初速率是多少？（2）20min 后可得多少摩尔的葡萄糖和果糖？（3）20min 时蔗糖的转化率是多少？【解答】（1）r = 0.0193c 蔗糖 (mol ·dm -3·min -1)= 0.0193⨯0.2 = 3.86⨯10-3mol ·dm -3·min -1 ≈ 6.43⨯10-5（mol ·dm -3·min -1） （2）20min 后，蔗糖的浓度为： 0lnc kt c= c ≈ 0.136 mol ·dm -3 20min 内蔗糖的变化为 ∆n = (0.200–0.136) mol ·dm -3 ⨯ 2 dm 3= 0.128 mol即20min 后可各得0.128 mol 的葡萄糖和果糖。
（3）转化率 = %322200.0128.0n n 0=⨯=∆7．根据实验结果，在高温时焦碳与二氧化碳的反应为：2()()2()C s CO g CO g +=其活化能为1167360-⋅J mol ，计算自900K 升高到1000K 时，反应速率之比。
【解答】2211122303lg().a E k T T k R TT -=， 211673601000900230383149001000lg()..k k -=⨯⨯⨯ ≈ 0.97 ∴ K 2/K 1 = 9.368．在301K 时鲜牛奶大约4.0小时变酸，但在278K 的冰箱中可保持48小时。
假定反应速率与变酸时间成反比，求牛奶变酸反应的活化能。
【解答】 1222112303.()lg a TT k E R T T k =-, 21124048.k t k t ==则 48.4lg )301278278301(314.8303.2⨯-⨯⨯⨯=a E ≈ 75176 J ·mol -1≈ 75 kJ ·mol -19．已知242()2()N O g NO g →的指前因子221110A s -=⨯，活化能415.4410-=⨯⋅a E J mol ，求此反应在298K 时的k 值是多少？【解答】由/Ea RT k Ae -= 得：2303lg()lg()[].[]a E k AK RT A =-+ 4225441011023038314298.lg()lg []..k K ⨯=-+⨯⨯⨯ k = 2.92 ⨯ 1012 s -110．反应252421()()()2N O g N O g O g →+在298K 时511 3.410k s --=⨯，在328K 时，312 1.510k s --=⨯，求此反应的活化能a E 和指前因子A 。
【解答】由/Ea RT k Ae -= 得：512221123031010.()lg .a TT k E R T T k =≈⨯- J ·mol -1 112303lg()lg()[].[]a E k A K RT A =-+ 222303lg()lg()[].[]a E k AK RT A =-+ 将相应数据代入，得 A = 1.1 ⨯ 1013 s -111．对下列反应2524()()()→+C H Cl g C H g HCl g已知其活化能1246.9-=⋅a E kJ mol ，700K 时的速率常数511 5.910k s --=⨯，求800K 时的速率常数 k 2是多少？【解答】由/Ea RT k Ae -=得：2211122303lg().a E k T T k R TT -= 将K 1=5.9⨯10-5s -1，E a =246.9⨯103J ·mol -1，T 1=700K ，T 2=800K 代入上式，可解得 K 2=1.2⨯10-2 s -112．已知在967K 时，2()N O g 的分解反应2221()()()2N O g N g O g →+，在无催化剂时活化能为1244.8-⋅kJ mol ，而在Au 作催化剂时的活化能为1121.3-⋅kJ mol 。
问：在金作催化剂时反应速率增加为原来的多少倍？【解答】由/Ea RTk Ae-=，得1224481213283149671...a a E E RTk e e k --⨯==得 K 2/K 1 = 4.69 ⨯ 106 倍13．在570K ，使重氮甲烷32()CH N -的分解反应在30.210dm 的容器中进行，得到下列结果：时间t/min15 30 48 75 CH 3-N 2的分压p/Pa 4826.33999.63319.72573.11476.5已知32CH N -的分解反应为一级反应。
计算此分解反应速率常数1k 的平均值和反应的半衰期。
【解答】根据公式0ln p kt p=，可得： 时间t/min0 15 30 48 75 CH 3-N 2的分压p/Pa 4826.33999.6 3319.7 2573.1 1476.5 lnp/Pa 8.4828.2948.1087.8237.297k/s -12.09×10-4 2.08×10-4 2.08×10-4 2.63×10-4分解反应速率常数1k 平均值=2.25⨯10-4s -1 反应的半衰期1210693/.t k ==3.08⨯103s -114．高层大气中微量臭氧3O 可由以下过程形成：（1）2NO NO O →+(一级反应) 311 6.010k s --=⨯（2）23O O O +→(二级反应) 61312 1.010--=⨯⋅⋅k mol dm s假设由反应（1）产生原子氧的速率等于反应（2）消耗原子氧的速率。